REPRESENTACIONES GRÁFICAS

Transcripción

1 Capítulo 5 REPRESENTACIONES GRÁFICAS Autores: José María García Palaco Marta Sáchez-Cabezudo Tirado

2 5 REPRESENTACIONES GRÁFICAS Cualquier experimeto tiee por fialidad comprobar la validez de u modelo teórico, cotrastado los valores experimetales co los predichos por el modelo, o bie, estudiar u feómeo y, de la iformació obteida experimetalmete, elaborar u modelo que describa ese feómeo. Los datos obteidos a partir de las medidas e u laboratorio debe presetarse de maera que los demás obtega la mayor catidad y calidad de iformació posible. Para lograr esto recurrimos a las tablas y a las represetacioes gráficas. Las tablas os permite ver el cojuto de los datos obteidos si teer que irlos persiguiedo a lo largo del iforme. Co las gráficas o sólo coseguimos ua iformació cuatitativa de la magitud medida sio tambié su relació co los parámetros del experimeto. 5. Tablas Cuado sea posible se registrará las medidas e forma de tablas, puesto que se trata de la forma más compacta y secilla de presetar los resultados, de acuerdo co las siguietes recomedacioes: E las tablas se represetará tato los datos directos de las medidas del laboratorio como los pasos itermedios relevates y los resultados buscados. Las medidas de ua misma magitud se escribirá preferiblemete sobre ua misma columa vertical, ya que es más secillo comparar a simple vista u cojuto de datos verticales. E la cabecera de cada columa se idicará el ombre de la magitud y/o el símbolo seguido por las uidades. Al idicar e la cabecera las uidades ya o es ecesario repetirlas después de cada medida; co esto se ahorra tiempo, eergía y se hace más claro el iforme. Es coveiete elegir las uidades (o las potecias de 0 adecuadas) para que los úmeros quede expresados e el rago etre 0. y 000. E el caso de que, como cosecuecia de lo idicado, todos los valores de ua columa de datos icluya u mismo factor potecia de 0, se podrá prescidir del mismo, idicado e la cabecera de la columa la magitud correspodiete multiplicada por el factor iverso del que se ha prescidido e la columa de valores experimetales. Los errores e la estimació de cada magitud se puede poer e la cabecera de la columa correspodiete, si so comues a todas las medidas; si o, puede poerse detrás de cada medida usado comillas para o teer que repetir su escritura iecesariamete. 5.

3 Ejemplo A modo de ejemplo se puede cosiderar la siguiete tabla: Tabla 5. Tabla e la que se ha seguido las recomedacioes para la presetació de datos Determiació experimetal del campo magético de u soleoide Frec. (±0) (Hz) I 0 (±0,0) (ma) V pp (±0, div) (medida) V pp (V) B exp (mt) 400 9,6 5,0 div 0,0 V/div 0,00 ± 0,00 0, ,58 3, div 0,05 V/div 0,60 ± 0,005 0, ,5 4,0 div 0,05 V/div 0,00 ± 0,005 0, ,46 4,8 div 0,05 V/div 0,40 ± 0,005 0,58 Media: 0,59 ± 0,00 El título que aparece justo ecima de la tabla os permite idetificar el tipo de experimeto realizado, o la fase e la que os ecotramos del mismo. E la tabla observamos que las tres primeras columas correspode a los datos obteidos directamete de los aparatos, la cuarta columa a u cálculo itermedio y la última al resultado fial buscado. La tercera y cuarta columas represeta la misma magitud; al tomar los datos e el laboratorio siempre es preferible hacerlo tal y como aparece e la tercera columa, ya que será mucho más fácil detectar cualquier posible error cometido, pero e el iforme fial podemos prescidir de esta columa. La estimació del error que aparece e las cabeceras de las tres primeras columas os idica que el error absoluto es el mismo para todos los datos de la columa. El error correspodiete a la magitud fial, quita columa, se ha obteido si embargo por medio de la estimació estadística y aparece juto a la media de la magitud e la última fila. Esto puede hacerse así porque sabemos que los datos de la última columa debe represetar u mismo valor obteido e diferetes codicioes. El criterio seguido tato para la estimació del error absoluto de cada valor de la cuarta columa como para el cálculo por estimació estadística de la magitud media de la quita columa, debe quedar claro e el iforme al que perteece la tabla. Las uidades de cada magitud ha sido elegidas para que los úmeros que figura e cada columa sea los más secillos posibles. La columa que recoge el resultado fial B exp (mt) podría haberse ecabezado como B exp 0 6 (T) para utilizar uidades del sistema iteracioal, pero los datos recogidos e la columa sería:59, 60, 59 y 58 e cada uo de los experimetos, idicado que los resultados reales so: T, T, T y T respectivamete. o NOTA: E alguas publicacioes se puede ecotrar otro criterio e esta cuestió, segú el cual el ecabezamieto B exp 0-6 (T) sigifica que cada dato de la columa ecabezada está multiplicado por el factor 0-6, igual que el criterio aterior. Sólo ua observació del orde de magitud medida os permitirá discerir cual de los dos se ha utilizado e cada caso. 5.

4 5. Represetacioes Gráficas El puto de partida para la elaboració de u gráfico, es el aálisis de la tabla de valores obteidos del experimeto. Este aálisis os permite tomar decisioes y proceder sobre los siguietes aspectos:. Escoger variables E u experimeto se suele variar ua magitud (variable idepediete) co el fi de observar el efecto que se produce sobre otra (variable depediete). Por coveio se represeta la variable idepediete e abscisas (eje horizotal) y la variable depediete e ordeadas (eje vertical).. Ejes y escalas Como ya hemos dicho, los ejes tiee, por coveio, ua fució predetermiada: sobre el eje horizotal se represeta la variable idepediete (la que osotros variamos) y sobre el vertical la variable depediete (la que os muestra el efecto). Los ejes debe llevar claramete idicada la magitud que represeta, el itervalo de medida y las uidades e que se expresa los datos. La elecció de los itervalos que determia la escala o es arbitraria: el itervalo represetado e el eje debe cocordar co el rago de la magitud represetada, de maera que todos los datos figure detro de la gráfica y ocupe la mayor parte del área de ésta. Los ejes debe llevar idicacioes del valor de la magitud a itervalos regulares, que o tiee por qué coicidir co los valores de los putos experimetales; es decir, ua misma logitud de eje o puede correspoder a dos itervalos distitos de valores de la magitud. No es ecesario marcar el valor de todos y cada uo de los itervalos y sí debe ser elegidos de forma que el valor de la magitud se lea co comodidad (por ejemplo, múltiplos o submúltiplos de 0). No es ecesario que el orige, el puto de coordeadas (0,0), esté icluido e la gráfica, icluso puede llegar a ser cotraproducete. 3. Represetació de los datos medidos Las represetacioes gráficas debe llevar claramete idicados los datos obteidos experimetalmete; para ello es ecesario señalarlos sobre la gráfica co u símbolo cuyo tamaño y forma permita apreciarlos (y distiguir uos de otros cuado correspoda a diferetes cojutos de medidas, que se suele deomiar series). Puesto que todos los putos experimetales va acompañados de u cierto grado de error, es recomedable, siempre que sea posible, hacer la represetació de dichos putos acotado ua regió detro de la cual cualquier puto puede represetar el valor real de la observació, de acuerdo co la escala empleada. La o acotació de u trazo, se iterpreta como la imposibilidad de represetar el error (por ser muy pequeño) e estos casos es coveiete represetar los putos mediate u pequeño círculo. 5.3

5 Fig. 5. Formas de presetar la existecia o o del error e ua gráfica. E el ejemplo siguiete se represeta x = f (t) de acuerdo co los resultados de la Tabla x (cm) t (s) Fig. 5. Represetació de la posició, x, co el tiempo, t Tabla 5. Posició, x, e fució del tiempo, t, para u móvil t (±) (s) x (±0%) (cm) 5,0 3,0 5,0 37,0 48,0 69,0 0,0 33,0 56,0 Para el tiempo, los trazos so del mismo tamaño para todos los putos, ya que represeta segudo por ecima del valor y segudo por debajo del valor. Para las posicioes, la logitud de los trazos varía debido a que el error de cada medida (0 %) es diferete. 4. Represetació del comportamieto de las magitudes Los putos obteidos experimetalmete o so la úica iformació que puede deducirse de u experimeto, el espacio etre los putos debe ser completado. Para ello e las represetacioes gráficas hay que añadir ua líea que idique la tedecia (la ley física) que rige el comportamieto de ua magitud frete a la otra. Esta líea debe teer e cueta que los datos experimetales está afectados por errores, de los que ya hemos hablado, y que por tato las líeas o tiee por que pasar por todos y cada uo de esos putos experimetales. Como criterio geeral (el setido comú es aplicable siempre) debemos teer e cueta que: 5.4

6 Si se represeta variables cotiuas e cada uo de los ejes, la curva debe ser cotiua. Las variables o sufre casi uca cambios bruscos, por lo que las líeas o está compuestas uca por segmetos rectos; las iflexioes so siempre suaves, y por tato debe trazarse líeas curvas (o ua úica recta) que represete el comportamieto de las magitudes ivolucradas e el experimeto. Las líeas debe pasar por la mayoría de las zoas de observació de los putos experimetales; si uo de ellos se aleja demasiado del comportamieto geeral del resto de los putos, debe ser estudiado y, e cosecuecia, corregido o desechado. Los putos experimetales debe estar distribuidos, e lo posible, uiformemete a cada lado de la curva. Como ejemplo, podríamos trazar la recta correspodiete al ejemplo aterior, lo cual se observa e la Fig Al aplicar este método geométrico, siempre existe la posibilidad de trazar más de ua recta, auque se aplique todos los criterios ateriormete expuestos. La forma adecuada de ajustar ua expresió aalítica a los putos experimetales se basa e los métodos de regresió que se estudia e el apartado x (cm) t (s) Fig. 5.3 Represetació de la variació del espacio, x, co el tiempo, t Cuado sea posible realizar u ajuste por regresió (como por ejemplo el de míimos cuadrados) la líea del ajuste debe represetarse sobre los datos experimetales. 5. Idetificació y título del gráfico Hay que teer e cueta que toda represetació debe ir acompañada de u título que idique claramete el estudio que se ha realizado y el sistema físico que es objeto de estudio. Este rótulo suele situarse e la parte superior o iferior de la gráfica y o debe coteer iformació ya recogida e les ejes (por ejemplo, las uidades de la magitud represetada). 5.5

7 6. Papeles especiales E alguos casos la represetació de la gráfica puede exigir la utilizació de u papel especial por diversos motivos: La magitud (o magitudes) represetada cubre u itervalo muy grade o afecta a distitas escalas (por ejemplo al medir el comportamieto de u sistema respecto de la frecuecia e distitos ragos de frecuecias desde los Hz hasta los MHz). Se quiere liealizar ua curva (por ejemplo ua variació expoecial). Se quiere represetar ua magitud e fució de la direcció e la que se mide. Se quiere represetar la depedecia etre tres variables e lugar de dos, como es habitual. E los dos primeros casos se utilizará u papel semilogarítmico o logarítmico. E el papel semilogarítmico el espaciado etre divisioes e uo de los ejes es proporcioal al logaritmo decimal de la magitud, así el espaciado etre y (o etre y 0) es el mismo que etre 0 y 0 (o etre 0 y 00). E el papel logarítmico esto ocurre para los dos ejes. Para el tercer caso se suele utilizar el papel polar e el que las divisioes correspode a radios y circuferecias e lugar de líeas horizotales y verticales. E el cuarto caso se utiliza u papel co represetació triagular. 7. Ejemplos y errores frecuetes Utilizaremos u ejemplo para mostrar los aspectos mecioados e los apartados ateriores. Itetaremos represetar la curva de variació del campo magético e el iterior de u soleoide. Para ello medimos la fuerza electromotriz, V, iducida e u carrete e fució de su posició e el soleoide, X. Así, obteemos los datos de la tabla que figura a cotiuació: Tabla 5.3 Fuerza electromotriz iducida e u carrete, V, y posició de éste, X, detro de u soleoide X (cm) V (mv) 0 9,4 9,4 9,4 3 8,74 4 7,39 5 5,38 6 3,36 7,0 8,34 5.6

8 Puede tomarse esta gráfica realizada a partir de los datos de la tabla aterior como modelo de las cosas que NO debe hacerse: distacia 0 distacia 0, Fig. 5.4 Gráfica que muestra los errores más frecuetes e las represetacioes gráficas No todos los putos experimetales está represetados e la figura. Los putos experimetales o figura o o se distigue. Los putos está uidos por líeas (segmetos escaloados) que o correspode a ua variació cotiua. El espacio ocupado por los putos experimetales detro de la gráfica represeta ua parte míima del espacio total debido a ua mala elecció del itervalo de represetació. El color añadido al fodo estorba al restar claridad a la represetació. Los ejes X e Y tiee logitudes muy dispares. El tamaño del eje vertical es demasiado pequeño. El título de la gráfica o da igua iformació sobre lo que se pretede represetar, y es redudate ya que dice lo mismo que el rótulo del eje Y. Falta el rótulo del eje X. Falta las uidades del eje Y. Los itervalos etre marcas e el eje Y o está equiespaciados i represeta itervalos iguales etre datos. La abudacia de marcas e el eje X, y la falta de ellas e el eje Y hace que sea imposible estimar sobre la gráfica los valores de los putos experimetales. Puede ser útil icluir u pie de figura que aclare el sigificado de la represetació. Ua gráfica adecuada podría ser la siguiete: 0,0 8,0 V(mV) 6,0 4,0,0 0,0 -,0,0 3,0 x(cm) 5,0 7,0 9,0 Fig. 5.5 Variació de la f.e.m. iducida e el iterior de u soleoide, V, e fució de la posició, x 5.7

9 5.. Escalas Lieales Ya se ha visto que cualquier depedecia, fucioal o o, etre dos variables, puede ser represetada gráficamete e u plao y se ha dado las ormas básicas que habitualmete se sigue para la cofecció y presetació de tales gráficos. La vetaja pricipal que se obtiee al represetar datos uméricos de forma gráfica es que se hace visible la relació que estos datos guarda etre sí. Geeralmete, las escalas que se utiliza e cada uo de los ejes de coordeadas so escalas lieales, es decir, la uidad de la magitud que se represeta se correspode co u segmeto de logitud costate a lo largo de todo el eje o, dicho de otro modo, a diferecias uméricas iguales correspode segmetos de igual logitud. E la Fig 5.6 se idica dos gráficas preparadas ambas co escalas lieales y x y x Fig. 5.6 Gráficas preparadas co escalas lieales Cuado e ambos ejes, la uidad de la magitud que se represeta se correspode co u segmeto de igual logitud, se dice que las escalas so isótropas. Cuado se represeta ua recta e escalas isótropas, etoces (y solamete e este caso) el valor umérico de la pediete física de la recta es igual al valor de su pediete geométrica. La pediete física tiee uidades y la pediete geométrica o las tiee. E la Fig 5.7 se idica ua fució lieal co este tipo de escalas y Fig. 5.7 Fució lieal represetada e u gráfico de escalas isótropas x 5.8

10 5.. Escalas Logarítmicas Muchas veces, al represetar gráficamete los datos obteidos e u experimeto o resulta ajustables a ua recta. E el caso más geeral, el cálculo umérico os proporcioa herramietas para ajustar tales datos experimetales, por ejemplo, a u poliomio de u cierto grado y obteer después los coeficietes del poliomio. Ua forma itermedia de actuar, que e geeral coduce a resultados aceptables, cosiste e represetar los datos que resulta o lieales, e papel logarítmico para ver si de este modo se puede ajustar a ua recta. Básicamete, esto ocurrirá cuado los datos obteidos e el experimeto respoda a ua relació potecial o expoecial.. Fució potecial Ua fució potecial tiee la forma: [ 5.] y = Ax dode x e y so las variables cuyos valores obteemos experimetalmete y A y so las costates físicas a determiar. U ejemplo secillo de este tipo de fució puede ser el movimieto rectilíeo uiformemete acelerado: y sería el espacio y x el tiempo. Si tomamos logaritmos decimales e la expresió [ 5.] obteemos: [ 5.] log y = log A+ log x y haciedo el cambio de variables: [ 5.3] y' = log y x ' = logx queda: [ 5.4] y' = log A+ x' que es la ecuació de ua recta de pediete y ordeada e el orige log A. Veamos co u ejemplo la forma de actuar. Dispoemos de los datos experimetales de la Tabla 5.4. Tabla 5.4 Datos ajustables a ua fució potecial x 0,5 0, y,5 5,5 9,8 39, Si los represetamos e papel milimetrado, Fig. 5.8, vemos claramete que o so ajustables a ua recta, auque tiee u aspecto de parábola. 5.9

11 Movimieto acelerado espacio e fució del tiempo y (m) x (s) Fig. 5.8 Gráfica de ua fució potecial de tipo parabólico E la Tabla 5.5 aparece los valores de log x y log y correspodietes a los datos de la Tabla 5.4. Tabla 5.5 Logaritmos de los datos ajustables a ua fució potecial x '= log x -0,30-0, 0,00 0,30 0,70,00,8,30,40 y' = log y 0,40 0,74 0,99,60,40 3,00 3,35 3,60 3,80 Y e la Fig 5.9 se muestra su represetació gráfica, dode vemos que ahora sí puede ser ajustados a ua recta. 4,00 3,50 3,00,50 y',00,50,00 0,50 0,00 -,00-0,50 0,00 0,50,00,50,00 Fig. 5.9 Represetació de los logaritmos de los datos ajustables a ua fució potecial x' Obsérvese que se ha represetado y log y e fució de x log x y e las escalas aparece valores suficietes para los ragos de x y de y. Utilizado la recta de la Fig. 5.9 se podría obteer las costates y A. E efecto, la pediete de la recta represetada viee dada por: y' y' [ 5.5] = x ' x ' y tomado, por ejemplo, los putos (0, ) y (, 3) se obtiee =. 5.0

12 Para x = 0, se lee y = co lo que log A = de dode A = 0, y la relació buscada queda de la forma: [ 5.6] y = 0x Si embargo, la forma habitual de procedimieto o es la que se ha descrito. Lo que realmete se hace, para evitar teer que tomar logaritmos e toda la tabla de datos, es represetar los datos x e y e ESCALAS LOGARÍTMICAS, que so las mismas que las ateriores (Fig. 5.9) pero e lugar de aparecer rotulados los ragos de valores de x e y aparece rotulados los ragos de valores de x e y. E estas escalas logarítmicas (Fig. 5.0) se LEE el valor de x o de y pero ESTÁ REPRESENTADO SU LOGARITMO Movimieto acelerado escalas logarítmicas 000 y (m) , 0 00 x (s) Fig. 5.0 Represetació e escalas logarítmicas de los datos ajustables a ua fució potecial Para hallar la pediete de la recta e este gráfico, se hace de la siguiete forma. Como por la fórmula [5.5]: y' y' [ 5.7] = x ' x ' restituyedo el cambio de variables: y log log y log y y [ 5.8] = = log x log x x log x y tomado, por ejemplo, los putos (, 0) y (0, 4000), teemos: 4000 log 0,60 [ 5.9] = = = 0, 30 log y para x = (o lo que es lo mismo x = 0), se lee y = 0, de dode A = 0. La ordeada e el orige se lee para x = porque log = 0. El papel pautado como aparece e la Fig. 5.0 se llama de escalas doblemete logarítmicas. 5.

13 . Fució expoecial Ua fució expoecial es de la forma: [ 5.0] y tomado logaritmos: y = Ba [ 5.] log y = log B+ xlog a y llamado: [ 5.] m= log a queda: [ 5.3] log y = mx+ log B x Evidetemete, las parejas de valores (x i, y i ) que obtegamos a partir de algú experimeto, represetadas e papel milimetrado ormal, o respoderá a ua gráfica lieal, pero si se represeta ahora y = log y e fució de x, se obtiee ua recta cuya pediete se calcula, como siempre, tomado dos putos de la recta, (x, y ) (x, y ) y la pediete es: [ 5.4] y log y' y' y m = = x x x x y la ordeada e el orige, para x = 0 es y (0) = log B, de dode se obtiee el valor de B. E este caso, vemos que solamete ua de las variables se represeta e escala logarítmica, lo que se cosigue utilizado el papel semilogarítmico. E la Tabla 5.6 se idica u cojuto de pares de valores que podría respoder a ua fució expoecial. Tabla 5.6 Datos ajustables a ua fució expoecial x y 5,6 0, 56, E la Fig. 5. se represeta tales datos e escalas lieales y se observa que o está sobre ua recta Fució expoecial uidades arbitrarias 5000 y x Fig. 5. Gráfica de ua fució expoecial 5.

14 E la Fig. 5. se represeta los mismos datos e escala semilogarítmica (eje de abscisas lieal) y se ve que ya aparece alieados, por lo que correspode a ua fució expoecial y x Fig. 5. Represetació e escalas semilogarítmicas de los datos ajustables a ua fució expoecial Para obteer el valor m de la pediete tomamos, por ejemplo, los putos: (, 0), (0, 000) y operado: [ 5.5] y 000 log y 0 log m = = = = 0, 5 x x 0 8 La ordeada e el orige se lee directamete, prologado la recta hasta que corte al eje y e x = 0, [ 5.6] y'( x = 0) = log B B 3, pero hay que advertir que, e muchas ocasioes, se puede cometer u error excesivo y habrá que recurrir a procedimietos de regresió lieal. Coocida m se puede restituir la fució [5.] a su represetació origial idicada e [5.0], para ua base cualquiera coocida. Naturalmete, e todos los casos ateriores, se puede hacer u tratamieto de regresió lieal como se verá más adelate, e lugar de u simple ajuste a ojo. 5.3

15 5.3 Regresioes y Ajustes Co mucha frecuecia, e el desarrollo de proyectos técico-cietíficos se platea u mismo tipo de problema, auque puede maifestarse a través de ua doble vertiete: Existe algú tipo de correlació etre dos o más magitudes experimetales de u mismo sistema?. Es decir que u cambio e ua de las variables supoga u cambio proporcioal e las otras. Si la relació etre variables existe, puede deducirse ua ley matemática simple que la reproduzca aalíticamete? E realidad ambas cuestioes se ecuetra completamete relacioadas, llegado a ser las dos caras de u mismo problema. Si somos capaces de ecotrar ua ley matemática que ligue ciertas variables de u sistema, es evidete que guardará algú tipo de relació etre sí, y viceversa. De mometo matedremos separadas ambas cuestioes y profudizaremos e ellas mediate el aálisis de dos supuestos cocretos. Supuesto º Imagiemos que tegamos ua sospecha razoada de que u cierto factor cuatificable pueda ifluir e el comportamieto de ua variable experimetal. Es desde luego ua situació cotidiaa e cualquier ámbito tecológico. Necesitaremos de algú procedimieto matemático parar evaluar la correlació. Por ejemplo, podríamos platear u estudio para ver las posibles vetajas de icluir pequeñas cocetracioes del ió Cr 3+ e el crecimieto de ciertas platas. Podríamos diseñar el experimeto adecuado y obteer uos resultados que vamos a supoer semejates a los que aparece e la siguiete figura: Peso platas (g 0 - ) Cocetració Cr 3+ (ppm) Fig. 5.3 Peso de las platas e fució de la cocetració de Cr

16 A la vista de los resultados obteidos, volvemos a platearos la cuestió que dio orige a este supuesto estudio. Existe algua ifluecia etre el ió Cr 3+ y el crecimieto de las platas?. Si los resultados presetados e la gráfica fuera reales, el lector podría ya obteer sus propias coclusioes al respecto. De lo que sí estamos seguros es de que este problema, aalizado por u úmero suficiete de lectores repartiría las iterpretacioes a favor y e cotra de ua forma bastate equitativa. La razó e el fodo es bie simple. Se trata de u cojuto de resultados que está más allá de la capacidad humaa para distiguir objetivamete u patró geométrico regular. Necesitaríamos de algú procedimieto matemático que evalúe por osotros, y de ua forma más rigurosa, si estos datos está correlacioado y e defiitiva, si debemos dar algua validez a la hipótesis iicial. A lo largo de este capítulo veremos que los llamados métodos de regresió so ua de las herramietas dispoibles para abordar este tipo de cuestioes. Supuesto º E otras ocasioes la correlació empírica etre dos o más variables de u mismo sistema, está ya pleamete verificada, pero os falta aú saber si esta correlació se maifiesta e forma de ua fució matemática simple. Esto supodría grades vetajas, ya que de este modo podríamos cuatificar el comportamieto del sistema. Por ejemplo, se ha verificado adecuadamete que la resistecia a la tracció del acero (ua aleació de hierro y carboo), es sesible a la proporció de otros metales mioritarios presetes e la misma. Podríamos predecir la resistecia a la tracció de u cierto tipo de acero e fució de su coteido e wolframio?. Para ello mediríamos experimetalmete esta propiedad e diferetes muestras de acero y posteriormete represetaríamos los resultados obteidos. Para cotiuar co el ejemplo, supogamos que los resultados obteidos so los que aparece e la siguiete gráfica: Resistecia a la tracció (MPa) % peso wolframio Fig. 5.4 Resistecia a la tracció de u acero e fució de la catidad de wolframio A simple vista ya es fácil observar que existe ua otable correlació etre los factores estudiados (lo cual ya era u requisito previo del estudio), pero existe algua fució matemática simple que reproduzca este comportamieto?. Este sería el segudo, y pricipal problema, al que pretedemos dar respuesta a lo largo del presete capítulo. 5.5

17 5.3. Correlació de Variables Sigamos de uevo trabajado co los datos del último supuesto, referido al acero. A la vista de los resultados gráficos, estaríamos dispuestos a cocluir que si so presetados para su iterpretació, simplemete visual, a u grupo de persoas, la mayoría de ellas cocluiría que hay ua clara correlació de variables. La siguiete cuestió sería saber la fució matemática que represeta esta correlació. Si dejamos que este cojuto de observadores opie tambié a este respecto, seguramete muchos podría pesar que ua simple recta podría ser suficiete para reproducir estos datos. La verdadera dificultad se geera cuado les pidamos que trace esta recta. Podríamos ecotraros co ua situació parecida a la que aparece e la Fig Es decir, diferetes persoas trazaría diferetes rectas de ajuste. Todos, e pricipio, puede llevar parte de razó, pero de todas las rectas posibles, habrá ua que sea la mejor de todas: aquella que se acerque a u mayor úmero de putos experimetales. Este podría ser u bue plateamieto para ecotrar la mejor recta pero o es muy eficaz desde el puto de vista matemático (los humaos podemos cotar fácilmete, pero los métodos matemáticos o puede hacerlo. Solo puede establecer relacioes etre variables). Lo cambiaremos por otro plateamieto, más operativo, y que al fial, veremos que egloba esta misma idea. Resistecia a la tracció (MPa) % peso wolframio Fig. 5.5 Posibles rectas que ajusta los datos de resistecia a la tracció de u acero La cuestió de partida será ahora pregutaros por qué los putos experimetales o está todos correctamete alieados e u hábito cocreto (por ejemplo ua recta, parábola, expoecial, etc). Ya sabemos suficietemete que las medidas experimetales viee afectadas ievitablemete por errores e imprecisioes, y que e el mejor de los casos este error se debe simplemete a la ifluecia errática del azar. De esta forma podríamos supoer como hipótesis de partida que la dispersió de putos obteida, se debe exclusivamete a la ifluecia del azar. Si esta ifluecia o estuviera presete, uestros putos estaría perfectamete alieados sobre ua curva matemática tal y como se observa e la Fig

18 Medidas ideales X x 5 Y exp x 3 x 4 x x Fig. 5.6 Putos experimetales perfectamete alieados Observamos e la figura 5.7 que cada dato experimetal (y exp ) aparece disperso segú ua distribució, que previsiblemete será gaussiaa e toro al valor cetral marcado por la fució matemática e cada puto x i. Medidas experimetales X x 5 Y exp x 3 x 4 x x Fig. 5.7 Putos experimetales dispersos de acuerdo a ua distribució gaussiaa Si realizamos correctamete ua sola medida de la variable experimetal, sabemos que el valor obteido estará más o meos próximo al valor exacto (auque descoocido) y que sucesivas medidas e las mismas codicioes, iría geerado resultados distribuídos co ua probabilidad gaussiaa a lo largo de u cierto itervalo. Por eso, cabe esperar que cada ua de uestras medidas esté dispersa e toro al valor exacto, por el que debería pasar la fució. Si las medidas de todos los putos experimetales ha sido realizadas e similares codicioes, es de esperar que la variaza σ de la distribució sea la misma para cada puto. La probabilidad de obteer el valor experimetal y al realizar ua medida es: [ 5.7] Py ( ) = e σ exacto ( y y ) /σ Como estamos admitiedo que hay ua cierta fució matemática Y(x) que pasa por los valores exactos, tedremos: [ 5.8] Py ( ) = e σ ( y Y( x)) /σ 5.7

19 y e geeral, la probabilidad de obteer los datos del experimeto será: [ 5.9] i= Py (, y,..., y ) = e σ [ y Y( x )] /σ Esta probabilidad será máxima cuado al argumeto de la expoecial sea u míimo: [ 5.0] D d [ ] i yi Y xi = = ( ) = mi i= i= lo cual se correspode co ua idea fácilmete ituitiva. E efecto, cada uo de los térmios d i represeta la distacia etre el valor obteido experimetalmete (y i ) e ua medida y el valor exacto de la misma (Y i ). Por tato la mejor fució de ajuste será aquella que haga míimas las distacias etre los putos experimetales y la fució de ajuste. Y(x) i i d d d 3 d 4 d 5 Fig. 5.8 Distacia d i etre el valor experimetal y el exacto para ecotrarse alieado x Al pricipio de este epígrafe, itetábamos ecotrar la fució que pasaba por u mayor úmero de putos experimetales, argumeto que o era directamete computable. Ahora lo hemos reemplazado por algo equivalete, pero que sí resulta abordable mediate simple cálculo. Cualquier procedimieto ecamiado a ecotrar la mejor fució de ajuste a u cojuto de putos, se deomia Método de Regresió. Co frecuecia, e la bibliografía tambié se les deomia ajuste por Míimos Cuadrados, aludiedo a la miimizació de la suma de distacias al cuadrado, etre los putos experimetales y la recta de ajuste. E cualquier caso, recuerde que o todos los métodos de regresió se basa e los míimos cuadrados, existiedo otros métodos de ajuste a los que o haremos referecia. 5.8

20 5.3. Regresió Lieal Llegados a este puto se hace imprescidible hacer algua hipótesis sobre la fució Y(x) ates de seguir avazado. La situació más secilla co la que os podemos ecotrar es que la fució de ajuste sea ua recta. Cualquier recta tiee por ecuació geeral: [ 5.] Y( x )= ax + b i De esta forma, a través de los parámetros a y b podremos especificar cualquiera de las ifiitas rectas posibles. De todas ellas, cuál es la que os iteresa?. Por supuesto aquella que haga míimo el sumatorio D: i i i= D= y ( ax + b) = mi [ 5.] [ ] A partir de aquí el desarrollo ta solo cosiste e u proceso de cálculo elemetal. La codició de míimo se alcaza cuado la derivada primera se aula (tambié damos por setado, auque se podría demostrar, que la derivada seguda será u máximo e dichas circustacias). D = yi ( axi + b) ( xi) = 0 [ 5.3] [ ] a i= D = i ( i + ) ( ) = 0 [ 5.4] [ y ax b ] b i= Estas dos codicioes simultáeas geera u sistema lieal de dos ecuacioes: [ 5.5] + = = 0 y ( ax + b) = 0 y a x b= 0 [ yi ( axi b) ] xi 0 yi xi a xi b xi i= i= i= i= [ ] i i i i i= i= i= que puede ser expresado de forma más compacta como: [ 5.6] dode hemos llamado: S a S b S3 = 0 S4 a S3 b= 0 [ 5.7] = S xi yi, S = xi, S3 = xi, S4 = yi, S5 = yi i= i= i i= Fialmete las solucioes del sistema toma la forma: [ 5.8] Y( x)= ax+ b, S S S a = S 3 4 S3, i= S S b = S S 4 3 S S3 i= 5.9

21 Ejemplo Se ha estudiado e el laboratorio la absorbacia (A) de u cierto catió B 3+, a ua logitud de oda de 37 m, y a diferetes cocetracioes. Los resultados aparece e la siguiete tabla: Tabla 5.7 Absorbacia de u catió a diferetes cocetracioes Absorbacia 0,0 0,4 0,34 0,44 0,58 Cocetració (mol litro - ) 0,0 0,04 0,06 0,08 0,0 La absorbacia y la cocetració de ua sustacia absorbete se ecuetra relacioadas mediate la ley de Beer-Lambert: [ 5.9] A= k 3+ [B ] dode k es ua costate característica de cada sistema, descoocida e este caso, pero que puede obteerse mediate el aálisis de regresió de estos datos experimetales. Para realizar el estudio de regresió lieal, podemos comezar por costruir ua tabla e la que calculemos todos los sumatorios ecesarios. Tabla 5.8 Sumatorios para realizar la regresió lieal i A y i [B 3+ ] x i x i y i x i x i y i 0,0 0,0 0,0004 0,0004 0,0 0,0 0,4 0,04 0, ,006 0,04 0,4 3 0,34 0,06 0,0884 0,0036 0,06 0,34 4 0,44 0,08 0,0339 0,0064 0,08 0,44 5 0,58 0,0 0,0580 0,000 0,0 0,58 = 5 S = 0,56 S = 0,00 S 3 = 0,30 S 4 =,57 La recta de ajuste vedrá dada por la ecuació: [ 5.30] Y( x)= ax+ b dode los coeficietes so: [ 5.3] S S S 5 0,56 0, 30, 57 a = = = 5, M S 3 4 S 5 0, 00 0, 30 3 [ 5.3] S S S S 0, 00, 57 0,56 0, 30 b = = = 0, S S3 5 0, 00 0, 30 Cabe aú pregutarse por qué obteemos u valor distito de cero (auque pequeño) para la ordeada e el orige, e cotradicció co ley de Beer-Lambert. La explicació está e la presecia de errores aleatorios. Nuestra fució ajusta ciegamete los datos, si ceñirse a ua justificació teórica. [ 5.33] A = , [B ] 0,

22 5.3.3 Estimació del Error e u Ajuste Pese a que hemos mecioado la idea de que, para ua fució dada, u ajuste por regresió proporcioa los coeficietes que mejor reproduce los datos experimetales, estos o ecesariamete so valores exactos. Por simplicidad cosideremos el caso de ua recta de regresió e la que determiamos su pediete (a) y su ordeada e el orige (b). Si repetimos las medidas experimetales para los mismos valores de las abcisas x i, obtedremos uevos valores de y i, que e defiitiva os llevará a coeficietes de ajuste algo diferete a los ateriores. Si repetimos este proceso muchas veces veremos como los distitos valores obteidos para la pediete a tedría ua distribució gaussiaa e toro a u valor cetral, e igualmete obtedríamos para b. Qué vetaja podríamos sacar a esta situació?. E realidad puede demostrarse que resulta posible calcular la variaza (es decir ua medida del error o el marge de icertidumbre) del ajuste, etedida como la desviació de los putos experimetales co respecto al correspodiete valor obteido por regresió. La expresió para esta variaza s r es: [ 5.34] [ 5.35] s y y a x ( ) r = i i i i= x i i= i= i= sr = ( S S a S ) S dode el sigificado de los térmios S j so los que ya defiimos e el estudio de la regresió lieal. E su mometo se defiió tambié el térmio S 5 [5.7], el cual o iterviee e el cálculo de la ordeada e el orige i e el de la pediete. Podemos comprobar ahora que sí iterviee e el cálculo de la icertidumbre total del ajuste. Igualmete puede demostrarse que la variaza de los coeficietes de ajuste se calcula de: [ 5.36] s a s = S r S3, s s S r b = S S3 Normalmete la ordeada e el orige y la pediete de ua recta de ajuste suele teer algú sigificado físico cocreto, y su determiació suele ser el objeto del estudio. A la vista de las expresioes ateriores observamos que mediate u procedimieto de regresió podemos tambié determiar el error y, por tato, el límite de cofiaza de las magitudes físicas que represeta los coeficietes de la recta de ajuste. E realidad, la raíz cuadrada de estas variazas puede ser idetificada co el error absoluto de dichas magitudes físicas. 5.

23 5.3.4 Coeficiete de Correlació Hasta el mometo hemos dado por supuesto que podemos realizar el ajuste de u cojuto de datos experimetales a ua determiada fució. Si embargo esto o sigifica que la fució elegida represete suficietemete bie los datos de partida. Sería coveiete dispoer de algú procedimieto para medir objetivamete si, detro de la atural dispersió de los putos, este cojuto puede ser descrito por ua fució de ajuste. Puede demostrarse que, para u ajuste lieal, el llamado coeficiete de correlació (r), defiido como: Sxy [ 5.37] r = = S S cumple esta importate misió. xx yy i= ( x x)( y y) i ( xi x) ( yi y) i= i= i El coeficiete solo puede variar etre los límites ±, de forma tal que: - Ajuste perfecto: r = - Ajuste ulo: r = 0 Más aú, su cuadrado puede etederse como el tato por uo de efectividad del ajuste: [ 5.38] Grado de ajuste (%) = 00 r Y (x) r = 0.86 (74%) Fig. 5.9 Ajuste co baja correlació e icluso co poca dispersió x 5.

24 Y (x) r = 0.98 (96%) Fig. 5.0 Ajuste co alta correlació e icluso co alta dispersió x Podríamos pesar que u ajuste realizado co ua efectividad del 74% (Fig. 5.9) puede ofreceros grades garatías de reproducir los datos experimetales, y si embargo o es así. E efecto, el coeficiete de correlació solo da cueta del grado e que los cambios de la variable x geera cambios proporcioales e la variable y, co idepedecia de la dispersió de putos. Por tato u grado de ajuste del 74%, supoe tambié que hay u 6% de los cambios que o puede ser explicados mediate regresió lieal. Tal vez e este caso, deberíamos elegir otro tipo de fució para el ajuste. Si la recta fuera la elecció correcta estaríamos e correlacioes muy próximas al 00%, co idepedecia de la mayor o meor dispersió de putos (Fig. 5.0). 5.4 Iterpolació Para termiar este capítulo, haremos referecia a u problema que e cierto modo guarda relació co los procedimietos de correlació. Hasta ahora os hemos cetrado e el caso de dispoer de u cojuto de datos experimetales, co la lógica dispersió iherete al proceso de medida, y que ecesitamos ajustar a algú tipo de fució matemática para alcazar u doble objetivo: Por u lado facilitar el cálculo y la predicció de uevos resultados, y por otro, obteer coclusioes acerca del error y el grado de cofiaza de los resultados. E otras ocasioes os efretamos a ua circustacia algo distita: ecesitamos coocer el valor de ua fució Y(x) e u puto x 0 a partir de valores de la fució e putos próximos a éste, es decir, iterpolar. Pesemos por ejemplo que estamos estudiado u problema e el que ecesitamos coocer la presió de vapor del agua. Podemos acudir a u socorrido hadbook e el que si duda ecotraremos tabuladas las presioes de vapor del agua etre 0ºC y 00ºC. Tal vez ecotremos que los icremetos de la tabla so de u grado cetígrado, pero uestro problema requiere que coozcamos la presió de vapor a 86.4 ºC. So por tato 00 putos que deberíamos represetar gráficamete, y tratar de ajustar a algua fució matemática. Si duda u esfuerzo que pocas persoas estaría dispuestas a asumir. E otras ocasioes es ua fució matemática algo erevesada la que os platea dificultades. 5.3

25 Por ejemplo tal vez estamos iteresados e calcular la itegral: [ 5.39] ( ) 0 I x = e dz x z pero al o ser aalítica, o tedremos resultados directos para cualquier valor de x. E la bibliografía ecotraremos tablas de esta fució, para ua gra catidad de valores de x. Por desgracia tal vez verifiquemos ua vez más la idemostrable Ley de Murphy, y el valor que vamos buscado sea precisamete uo de los que falta e la tabla. Tato e este caso, como e el aterior, la solució más sesata o será ajustar todo el cojuto de datos, i resolver uméricamete la itegral, sio tratar de iterpolar el valor buscado a partir de datos coocidos, y que sea próximos a él. El caso más simple de iterpolació es aquel que utiliza solo dos putos, uo de ellos situado algo por debajo del valor buscado y el otro algo por ecima. Como es evidete, la fució matemática de más bajo orde, que pasa por dos putos, es la líea recta y si dispoemos de ua pareja de putos (x, y ) e (x, y ), tal vez estemos e codicioes de iterpolar el valor Y(x m ), dode x m es ua abscisa itermedia a x y x. y y y (x m ) y x x m x Fig. 5. Recta que iterpola el valor etre dos putos Para ello ta solo tedremos que calcular la ecuació de dicha recta: [ 5.40] yx ( ) α β x = + y aplicarla al puto de uestro iterés: x ( xy xy) ( x y) ( ) α = α + βx = y α + βx = y y y β = x x [ 5.4] Y( xm) y( xm) = α + β x m El resultado obteido seguramete se parecerá mucho al que obtedríamos si coociésemos el valor de la fució e el puto x m, pero o será idético. La razó es que estamos tratado de aproximar ua fució matemática, co ua cierta curvatura, mediate ua simple recta. Si el icremeto de separació etre las ordeadas y e y o es muy grade, tal vez sea razoable aproximar este tramo mediate ua recta. E caso cotrario, el error cometido puede ser sigificativo. 5.4

26 La alterativa imediata a los casos dificultosos es emplear otro tipo de fució iterpoladora, tal vez u poliomio de orde. Si embargo veremos que esta solució o es pleamete satisfactoria. Para ecotrar la ecuació de u poliomio de segudo orde, ecesitamos coocer 3 putos por los que pase dicha curva: [ 5.4] yx ( i) = α + β xi + γ x i y de esta forma platear u sistema de ecuacioes cuya solució determie el valor de los coeficietes α, β, γ. y y 3 y (x m ) + y y x x x 3 x m x Fig. 5. Iterpolació co u poliomio de segudo orde Podemos comprobar e la figura que el uevo valor que ecesitamos iterpolar x m, estará situado ecesariamete etre dos de los putos, dejado el tercero e ua situació más asimétrica. Si los putos experimetales o puede ser represetados exactamete por u poliomio de segudo orde, esto se traducirá e ua pérdida de la capacidad para iterpolar correctamete el valor buscado. Cosideremos ahora u poliomio de tercer grado: y x = α + β x+ γ x + δ x [ 5.43] ( ) 3 Para determiar sus coeficietes ecesitamos u total de 4 putos. y y 4 y 3 y (x m ) y y + x x x 3 x 4 Fig. 5.3 Iterpolació co u poliomio de tercer orde x m x 5.5

27 De esta forma la coordeada sobre la que ecesitamos iterpolar, sí puede colocarse e ua posició cetral co respecto a los putos base de iterpolació. Los resultados obteidos será así más próximos al valor exacto. La coclusió fial que debemos extraer es que las iterpolacioes mediate poliomios debe llevarse a cabo, preferetemete, co poliomios de orde impar (, 3, 5, etc), situado siempre el puto a iterpolar e ua posició cetral. Ejemplo Realizar ua iterpolació sobre la tabla de iveles de cofiaza de ua distribució ormal, y determiar cual es el factor z que correspode a u ivel de cofiaza del 75%. Tabla 5.9 Niveles de cofiaza para ua distribució ormal Factor z Nivel de cofiaza (%) Factor z Nivel de cofiaza (%) 0,67 50,96 95,00 68,00 96,9 80,58 99, , Podemos comezar por realizar ua iterpolació lieal. Para u ivel de cofiaza del 75%, los dos valores tabulados más próximos so: (68,,00) y (80,,9). A partir de ellos podemos platear el sistema: [ 5.44] α + β 68 =, 00 α = 0, 6433 Y (75) = 0, , =,77 α + β80 =, 9 β = 0, 04 Podemos tambié esayar la iterpolació mediate u poliomio de 3 er orde. E este caso el sistema será: 3 α + β50 + γ 50 + δ 50 = 0, 67 3 α + β 68 + γ 68 + δ 68 =, 00 3 α + β80 + γ 80 + δ80 =,9 3 α + β90 + γ 90 + δ 90 =, 64 [ 5.45] Y ( ) 75 =,558 La solució exacta a este problema es Y(x) =,5035, poiédose de maifiesto el mejor grado de aproximació co el poliomio de tercer grado, au cuado la iterpolació lieal sea razoablemete próxima, y desde luego mucho más rápida de calcular. 5.6

28 Por último deberíamos mecioar u problema relacioado co los ateriores, la extrapolació. Ahora se trata de ecotrar u valor que se ecuetra próximo, pero fuera del itervalo de putos coocidos. La siguiete figura puede ayudaros a compreder mejor esta situació: y y extrapol. + y exacto y y x x x m x Fig. 5.4 Gráfica explicativa del procedimieto de extrapolació El procedimieto a seguir e ua extrapolació es el mismo que e la iterpolació, pero e geeral los resultados obteidos será meos precisos. La razó podemos observarla e la figura aterior. Al estar fuera del rago de los datos, descoocemos el hábito que describe la colecció de putos, y puede que la fució de extrapolació os sitúe e ua posició alejada del verdadero valor. E geeral, los resultados de ua extrapolació deber ser maejados co extremada cautela, y solamete podremos cosiderarlos aceptables, si se cooce bie el hábito de la fució, o si estamos e u puto muy próximo al extremo de los datos dispoibles. 5.7

29 5.5 Cálculos Gráficos Co mucha frecuecia el aálisis de ua colecció de datos experimetales requiere la itegració o derivació de los mismos. Por ejemplo, si medimos la masa m que hay depositada e distitos putos x de u alambre, estaríamos e disposició de poder calcular el mometo de iercia I, alrededor de su eje de giro. Para ello, al meos e pricipio, os bastaría co calcular la itegral: [ 5.46] I = M xdm 0 Parece tambié bastate atural que si dispoemos de datos acerca de la cocetració de u reactivo C A a medida que progresa el tiempo de reacció t, podríamos calcular la velocidad de la reacció v A mediate el simple cálculo de la derivada: dca [ 5.47] va = dt Calcular la derivada o la itegral de ua secilla fució cotiua (Fig. 5.5a) puede resultar muy secillo, pero es posible que se platee mayores dificultades si lo que tiee es u cojuto de putos aislados (Fig. 5.5b). Y(x) Y Y(x) = e - a x Derivada: - a e -a x Itegral: - e -a x / a X Derivada:? Itegral:? X Fig. 5.5 Derivada e itegral obteidas de ua fució aalítica, plateamieto del problema e el caso de u cojuto de putos aislados Puesto que e los estudios experimetales los resultados obteidos suele cosistir e ua colecció de datos discretos, resultará de máximo iterés para osotros dispoer de procedimietos que os permita calcular derivadas, itegrales, e icluso otro tipo de operacioes sobre estos datos. 5.8

30 5.5. Iterpretació Gráfica de la Derivada La derivada de ua fució e u puto, coicide co la pediete de la recta tagete a la fució e dicho puto. Parece u trabaleguas, pero e realidad es u cocepto muy simple. Y x 0 X Recta tagete a la curva Y(x) e el puto x 0 Derivada < > pediete recta Fig. 5.6 Sigificado geométrico de la derivada Si dispoemos de ua colecció de datos experimetales tales que al ser represetados proporcioe u hábito coherete, podemos calcular de forma gráfica, y algo aproximada, el valor de la derivada e uo de los putos. Para ello basta recordar el sigificado que hemos dado al cocepto de la derivada. Situados e la represetació gráfica, sobre el puto e que queremos calcular la derivada (llamemosle x 0 ), trazaremos ua recta tagete a la curva que pasa por los putos experimetales. La recta tagete debe pasar ecesariamete por el puto x 0. y tg (x 0 ) y + y + x x 0 x x Fig. 5.7 Recta tagete a la curva que pasa por los putos experimetales e el puto x 0 Naturalmete este procedimieto carece de ua gra exactitud, y solo debemos etederlo como ua estimació aproximada. Basta darse cueta que dos persoas distitas probablemete trazará rectas algo diferetes, pero que cada uo de ellos juzgará como tagete a la curva e dicho puto. 5.9

31 E cualquier caso, ua vez que dispoemos de la recta tagete, elegiremos ua pareja de putos situados sobre la misma recta y leeremos sus coordeadas. E uestra figura se correspode co los pares (x, y ) e (x, y ). Podemos ahora calcular la ecuació de la recta tagete: [ 5.48] y = mx+ c y más cocretamete, su pediete m, que como ya hemos mecioado, coicide co el valor de la derivada de la fució y(x) e el puto x 0 : [ 5.49] ( y y) dy( x) ( x x) dx x = x 0 m = 5.5. Iterpretació Gráfica de la Itegral La itegral de ua fució y =F(x) a lo largo de u cierto itervalo cerrado, coicide co el área bajo dicha fució y el eje de abscisas colocado éste e la posició 0 del eje de ordeadas. Y x x X Itegral defiida < > Área bajo la curva Fig. 5.8 Sigificado geométrico de la itegral Calcular alguas propiedades mecáicas de u sistema móvil, como por ejemplo el trabajo, puede resultar bastate fácil. Podría bastar co hacer uso de la defiició: [ 5.50] W = F( x) dx b a El problema surge si la fuerza aplicada sobre el móvil, va cambiado de ua forma complicada, o o bie coocida, a medida que este se desplaza. Podríamos solucioar este problema si realizamos medidas experimetales e las que determiemos la fuerza aplicada sobre el móvil e determiados putos del recorrido. Tedríamos así u cojuto de datos uméricos que podría ser represetados e ua gráfica como la que aparece a cotiuació: 5.30

32 Fuerza (F) Posició (x) Fig. 5.9 Fuerza aplicada sobre u móvil e fució de la posició La solució está ahora más cercaa: puesto que el trabajo es la itegral de la curva F(x) a lo largo del recorrido, bastará co calcular el área bajo la curva, pero cómo es posible este cálculo?. Ates de la llegada de las calculadoras electróicas, el cálculo del área bajo la curva se covertía e ua cuestió que requería bueas dosis de paciecia y habilidad. Básicamete había dos procedimietos: Tomar ua regla y u lápiz, para descompoer pacietemete el área egedrada por la curva e varias figuras regulares, cuyo área es coocida, y posteriormete sumar todas las áreas parciales. F Fig Descomposició de ua fució F e figuras regulares de área coocida x 5.3

33 El segudo procedimieto es aú más sorpredete. Recortar cuidadosamete el trozo de papel que correspode al área bajo la curva y pesarlo e ua balaza de precisió. Posteriormete recortamos, sobre la misma hoja de papel que hemos utilizado e la represetació, otro área bie coocida (pogamos por caso u cuadrado), y pesamos tambié este segudo trozo de papel. Como la desidad y espesor del papel es aproximadamete igual e los dos casos, las masas (M) y las áreas (S) de ambas figuras será proporcioales. Área de referecia Área bajo la curva [ 5.5] Fig. 5.3 Trozos de papel de forma igual al área bajo la curva y a u área de referecia M S exp exp M = S ref ref [ 5.5] S exp = S ref M M exp ref 5.3

34 5.6 Métodos Numéricos Métodos igeiosos, verdad?, pero poco prácticos y limitados. Los cálculos basados e gráficos o puede ofrecer ua gra cofiaza e la elaboració de resultados. Más aú, si teemos que calcular, por ejemplo la derivada, e cada uo de ua larga lista de putos experimetales, i siquiera será u proceso rápido. Más aú, volvamos al ejemplo del móvil y cosideremos otra situació bastate habitual. Tal vez sea posible coocer de forma explícita la fuerza que actúa sobre el móvil por lo que podría parecer que el cálculo del trabajo resulta imediato, pero supogamos que el móvil se mueve gracias a la acció de ua fuerza oscilatoria u tato peculiar: Fig. 5.3 Fuerza oscilatoria e fució de la posició [ 5.53] ( ) = ( ) = b ( ) a F x se x W se x dx Esta itegral tiee u aspecto muy iocete, pero e realidad o es posible obteer su primitiva de forma aalítica (o se cofuda la fució se x, si primitiva, co se x, que sí la tiee). Qué podemos hacer e este caso?, o icluso e cualquier otro problema de cálculo e el que tegamos que resolver ecuacioes complicadas, derivar, itegrar o resolver ecuacioes difereciales. Secillamete recurrir a los potetes procedimietos que os ofrece el cálculo umérico o icluso a programas de ordeador dode este tipo de algoritmos ya está automatizados. Hoy e día dispoemos de herramietas uméricas muy eficaces y fácilmete programables e u ordeador. So los llamados métodos uméricos, cálculo co variables discretas o métodos de cálculo co elemetos fiitos, de los cuales la itegració y la derivació so solo dos ejemplos cocretos. Los métodos uméricos se ha covertido e ua herramieta fudametal para la ciecia e igeiería, dode el estudio de modelos a escala y la realizació de simulacioes por ordeador, se ha hecho imprescidibles. 5.33