LECCIONES DE ESTADÍSTICA

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1 LECCIONES DE ESTADÍSTICA

2 Estos aputes fuero realzados para mpartr el curso de Métodos Estadístcos y umércos e el I.E.S. A Xuquera I de Potevedra. Es posble que tega algú error de trascrpcó, por lo que o me resposablzó de las cosecuecas que dchos errores pueda ducr. J.M. Ramos Potevedra 008

3 ÍNDICE Tema I. Estadístca Descrptva...4 Tema II. Dstrbucoes bdmesoales. Correlacó y Regresó...7 Tema III. Combatora...33 Tema IV. Álgebra de sucesos...39 Tema V. Probabldad...43 Tema VI. Cadeas de Markov...6 Tema VII. Varable aleatora dscreta y cotua...67 Tema VIII. Dstrbucó bomal...79 Tema IX. Dstrbucó ormal...85 Tema X. Estmacó putual...0 Tema XI. Estmacó medate tervalos de cofaza...05 Tema XII. Cotraste de hpótess...

4 Tema I. Estadístca descrptva 4 Métodos Estadístcos Feómeos determístcos TEMA I. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Llamados també causales, so aquellos e los que se obtee los msmos resultados, sempre que se realce e las msmas codcoes. E ellos es posble predecr el resultado fal coocedo el estado cal y las codcoes de realzacó. Está sujetos a leyes aturales que puede ser formuladas medate ecuacoes matemátcas. Se comprede fáclmete la mposbldad de realzar u feómeo e las msmas codcoes absolutas, pues la mperfeccó de la mete y de los setdos del hombre hace que o podamos represetaros todas las causas que tervee e u determado feómeo. Estas causas descoocdas las susttumos por lo que se llama azar, pero e el caso de los feómeos determístcos el azar juega u papel ta ífmo que suele desprecarse su efecto. E muchos feómeos (físcos especalmete) la preseca del azar es míma, s embargo e otros feómeos, como los socales, lo mprevsble es de tal magtud que hace que o podamos predecr el estado fal. Obvamete los feómeos determístcos so objeto de estudo por parte de cecas tales como La Físca, la Químca...etc. U ejemplo de feómeo determístco es la cada lbre y e vacío de u objeto desde ua altura h. Se sabe a pror que la velocdad fal co la que va a llegar al suelo (estado fal) vee determada por la ley v = gh. Otro sería que s teemos u gas comprmdo e u recpete de volume V y sometdo a ua presó P, su temperatura PV. vee dada por la fórmula : T =, dode es el úmero de moles de gas y R es ua R costate químca. Observemos que e ambos casos podemos saber co segurdad el estado fal sempre y cuado realcemos el expermeto co u estado cal coocdo y dádose la partculardad de que s lo volvemos a realzar tatas veces como deseemos, los resultados fales va a ser détcos. Todo ello es lo que caracterza a los feómeos determístcos o causales.

5 Tema I. Estadístca descrptva 5 Métodos Estadístcos Feómeos aleatoros A dfereca de los aterores, so aquellos e los que es mposble predecr el resultado fal, au reptédolo e las msmas codcoes y además, dode ua pequeña varacó e las codcoes cales produce ua gra varacó e los resultados fales. (El aleteo de ua marposa e cha puede provocar u huracá e Paamá). Esta característca podría haceros pesar e la mposbldad de u estudo formal y utl de este tpo de feómeos. La presuta esterldad del estudo de los feómeos aleatoros queda refutada de medato debdo a que todos preseta ua mportatísma propedad empírca deomada regulardad estadístca que aalzaremos co u ejemplo. Obvamete so feómeos aleatoros, el lazar u dado o ua moeda; extraer ua carta de ua baraja o ua bola de ua ura, rellear u boleto de la lotería prmtva...etcétera. Como se podrá tur hay toda ua fdad de feómeos aleatoros. Estos feómeos so objeto de estudo de la Estadístca. Estadístca. Cocepto: Como ya se cocluyó e el apartado ateror, la Estadístca es la ceca que estuda los feómeos aleatoros. Hstórcamete, parece ser que los datos más atguos que se posee acerca del uso de las téccas estadístcas, se remota a los cesos chos ordeados por el emperador Tao, 00 años a.c. També tuvero mportaca los cesos romaos haca el año 555 a.c. Es e el año 660 cuado se publca la obra Artmétca polítca o descrpcó de las cosas otables del Estado de Hoerá Corg. Es dode esta ceca comeza a deomarse Estadístca. Más adelate ctar los otables trabajos del alemá Medel (8-844), abad del moastero de Brü que fue qué puso los cmetos de la actual Geétca co sus estudos sobre la hereca. Ctar a Pascal y a otros colegas fraceses, que motvados por problemas surgdos e los juegos de azar, comeza a estudar e sero esta Ceca. E el sglo XX, la Estadístca adquere u mpulso reovador co los estudos de los gleses Pearso, Galto y Weldo, así como del ruso Kolmogorov. Hoy e día la Estadístca forma parte de uestra realdad más cotdaa, pues basta abrr u peródco o escuchar u otcaro para daros cueta de la catdad de datos y coceptos estadístcos que se maeja. Estadístca descrptva Es aquella rama de la estadístca dode las coclusoes que se obtee de las experecas o datos e estudo o rebasa los límtes de los msmos. Tee como propósto su represetacó medate tablas, gráfcos y reduccoes de datos. Puede també compreder el aálss de los msmos, sempre que sus coclusoes o trasceda más alla de dchos datos. Coceptos báscos de Estadístca descrptva.

6 Tema I. Estadístca descrptva 6 Métodos Estadístcos Poblacó o Uverso Estadístco.- Cojuto formado por todos los elemetos que posea ua sere de caracteres prevamete estpulados. Cada uo de los elemetos de la poblacó se deoma dvduo y éstos puede ser smples (hombres, pezas) o colectvos (famlas) Toda vez que el úmero de los elemetos de ua poblacó objeto de estudo estadístco, e la mayoría de los casos es muy umeroso, resulta caro y egorroso el estudo de los msmos, por lo que se recurre a u subcojuto represetatvo de la poblacó. Muestra.- Para evtar u estudo, a veces mposble, de ua poblacó debdo a su gra úmero de dvduos, se suele tomar u subcojuto represetatvo llamado muestra, bajo crteros prevamete estudados, de tal modo que el estudo e dcho cojuto os permta ducr resultados e toda la poblacó co u grado de certeza certamete grade. De la buea eleccó de la muestra, depederá la bodad de los datos extraídos para la poblacó. Tamaño de la poblacó: Obvamete el tamaño es el úmero de dvduos que compoe la poblacó o muestra. Lo represetaremos por N Varable estadístca.- Deomada també carácter, es ua característca o propedad comú a todos los dvduos de ua poblacó objeto de estudo estadístco. Por ejemplo e ua poblacó de persoas, el peso podría ser ua varable estadístca, el color de ojos...etc. A todos los posbles resultados de ua varable estadístca se le deoma modaldades o valores de la varable (datos) Normalmete represetaremos por X ua v.e y por x sus modaldades. U ejemplo de varable estadístca podría ser el sexo, cuyas modaldades sería varo, hembra. Se trataría de ua v.e. co dos modaldades; por el cotraro s cosderamos la v.e. estatura, las modaldades puede llegar a ser ftas, detro de u tervalo. Estos dos últmos ejemplos me va a permtr clasfcar las varables estadístcas segú el sguete esquema: Dscretas Cuattatvas Varable estadístca Cotuas Cualtatvas Vamos a aalzar esta clasfcacó: a) Varables estadístcas cuattatvas: So aquellas cuyas modaldades vee represetadas por u valor umérco; es decr so de algú modo medbles. Por ejemplo, la estatura, el peso, e valor de u dado...etc. a.) So dscretas cuado la catdad de modaldades e u cojuto fto o fto umerable (los valores de u dado, el úmero de bolas blacas que se extrae de ua ura co devolucó hasta que aparezca ua egra) a.) So cotuas cuado la catdad de modaldades es fto y toma cualquer valor e u tervalo real. (el peso de ua persoa)

7 Tema I. Estadístca descrptva 7 Métodos Estadístcos b) Varables estadístcas cualtatvas: Sus modaldades so atrbutos o cualdades o medbles y por tato carece de represetatvdad umérca (color de ojos, cara o cruz...etc) Parámetro.- Es toda fucó defda sobre los valores umércos de ua poblacó (Meda artmétca de las altura de todos los alumos de Bachllerato de Galca) Estadístco.- Es toda fucó defda sobre los valores umércos de ua muestra (Meda artmétca de las altura de los alumos de ua muestra de 0 alumos por cetro de bachllerato de Galca) Sea ua poblacó o muestra, de tamaño N, sobre la que vamos a estudar ua varable estadístca dscreta co p modaldades: x, x, x 3... x p Frecueca absoluta de la modaldad x.- Es el úmero etero de veces que dcha modaldad aparece e la poblacó o muestra. Lo represetaremos por. So de destacar las sguetes propedades, que se deduce medatamete de la defcó: a) 0 N =... p p b) N = = Frecueca relatva de la modaldad x.- Es la proporcó co la que aparece la modaldad x e la poblacó o muestra. Se obtee dvdedo la frecueca absoluta etre N. E muchas ocasoes esta proporcó vee expresada e tato por ceto. Basta multplcar la frecueca relatva por 00. La frecueca relatva la represetaremos por f. E cosecueca: f = N So propedades trvales de la frecueca relatva, que se deduce de las dcadas para la frecueca absoluta, las sguetes: a) 0 f =... p p b) f = = Frecuecas acumuladas.- Ordeados e setdo crecete o decrecete los valores o modaldades de ua v.e., defremos la frecueca acumulada (absoluta o relatva) como la suma de frecuecas hasta u valor determado de la varable. Cuado la modaldad es la últma de la ordeacó crecete, la frecueca acumulada será gual a N s se trata de frecuecas absolutas, y s lo que se acumula so las frecuecas relatvas. La frecueca acumulada absoluta para la modaldad x, se represetará por N, metras que s se trata de la relatva, la represetaremos por F

8 Tema I. Estadístca descrptva 8 Métodos Estadístcos Tablas de recogda de datos.- Toda la formacó recogda aterormete se dspoe e ua tabla de la sguete maera: Datos Fr. Absoluta Fr. relatva Fr.Abs.Acu. Fr.Rel.Acu. % x f F = F = f 00.f x f F = + F = f +f 00.f x p p f p F p = N F p = 00.f p TOTALES N 00 Es de resaltar que estas defcoes aterores está establecdas cuado el cojuto de datos e dscreto. E caso de que la varable sea cuattatva cotua, el úmero de modaldades es fto y o toma valores aslados, por lo que o podemos represetarlas medate los x. Cómo se procede e este caso? Itervalos de clase. Marcas de clase.- Cuado la varable estadístca es cuattatva cotua o dscreta pero co gra catdad de modaldades, es ecesaro dvdr el recorrdo de la varable e tervalos, a ser posble de gual tamaño, deomados tervalos de clase. El úmero de tervalos flurá e la precsó de los estadístcos que se vaya a estudar. Obvamete a mayor úmero de tervalos, mayor precsó. Utlzaremos la sguete otacó. El tervalo de clase lo deotaremos por ( L L ), sedo L - y L los límtes feror y superor, respectvamete, del tervalo. La dfereca etre ambos límtes os determará el tamaño o logtud del tervalo, deomado ampltud y que represetaremos por c. Así pues, c =L -L -. Como vamos a segur teedo ecesdad de utlzar valores umércos para obteer los dsttos estadístcos de la muestra, cosderaremos como valores represetatvos de los tervalos de clase, sus valores cetrales, que deomaremos marcas de clase. Las marcas de clase so los equvaletes a los x e el caso dscreto. L + L Su valor vee dado por: x =. Las frecuecas absolutas y relatvas se referrá a los tervalos de clase, de tal modo que dremos que el tervalo ( L L ) tee frecueca absoluta cuado el úmero de dvduos, cuya modaldad caga detro de dcho tervalo, sea precsamete. Aálogamete haremos lo msmo para la frecueca relatva. Es mportate que cada dato esté e u solo tervalo, por lo que los extremos ha de ser dcados abertos o cerrados, segú el caso. E ocasoes para evtar esto, los valores extremos de los tervalos suele ser tomados co ua cfra decmal más que la que posee los datos. Este procedmeto de clasfcar los datos e tervalos va a producr ua evtable pérdda de formacó, puesto que o se cosderará los resultados exactamete, so por aproxmacó: o se drá que u elemeto tee u carácter cuya medda es x, so que dcho valor se ecuetra e el tervalo L L ) (.

9 Tema I. Estadístca descrptva 9 Métodos Estadístcos Así pues, lo que teresa es elegr ua ampltud (a ser posble costate) de los tervalos lo sufcetemete pequeña para que la pérdda de formacó sea la meor posble y, al msmo tempo, lo sufcetemete grade para que el agrupameto presete ua dstrbucó de o demasados tervalos, pues de lo cotraro dcho agrupameto perdería su faldad, es decr, la comoddad del tratameto. Tablas de recogda de datos Itervalos Marcas Fr. Absoluta Fr. relatva Fr.Abs.Acu. Fr.Rel.Acu. % L 0 -L x f F = F = f 00.f L -L x f F = + F = f +f 00.f L p- -L p x p p f p F p = N F p = 00.f p TOTALES N 00 Represetacoes gráfcas Partedo de la máxma vale más ua mage que ml palabras, el objeto de las represetacoes gráfcas es precsamete hacer valer esta frase hecha, de modo que el mpacto vsual de la represetacó respoda a la realdad y, por cosguete, el método segudo deberá basarse e prcpos geométrcos ortodoxos. Veamos los casos de represetacó para el caso de varables dscretas o agrupadas e tervalos. a) Dagrama de barras: Se elabora señalado e las abscsas de u sstema de ejes de coordeadas los valores de la varable costruyedo sobre ellos uas columas de altura gual a la frecueca de cada uo de los valores, medda e el setdo del eje de ordeadas. També puede realzarse u dagrama de barras para frecuecas acumuladas. b) Dagrama de sectores: Cosste e u círculo co sectores de área proporcoal a las frecuecas de cada uo de los valores. El águlo correspodete al sector de la modaldad x, vee dado por 360.f. També puede represetarse e u semcírculo, por lo que los águlos vedría dados por 80.f c) Pctograma: No es más que u dagrama de barras, pero e vez de smples columas, se lustra co fguras alusvas a los datos estudados (amales, persoas, máquas...etc) Cuado los datos vee agrupados por tervalos, dspoemos de otro tpo de represetacó gráfca: Los hstogramas. Los hstogramas so rectágulos de base gual a los tervalos de clase y altura proporcoal a la frecueca establecda para dchos tervalos. (també se puede hacer para frecuecas acumuladas) Polígoo de frecuecas: Es el polígoo lmtado e u hstograma por el eje de abscsas y la líea quebrada resultate de ur el puto medo del lado superor de cada rectágulo (co frecuecas

10 Tema I. Estadístca descrptva 0 Métodos Estadístcos absolutas) o la líea quebrada resultate de ur e cada rectágulo el vértce del polígoo ateror co el suyo. Se realza tato para hstogramas de frecuecas smples como acumuladas. REDUCCIÓN DE DATOS. MEDIDAS CARACTERÍSTICAS Esta deomacó de reduccó de datos se debe a Fsher, y cosste e susttur la tabla estadístca, la cual os da ua dea de dfícl comparacó co otras tablas, por uos úmeros (estadístcos o meddas característcas) que mda las característcas más mportates de la dstrbucó de los datos. Estos valores o meddas característcas puede ser de dos tpos: de cetralzacó y de dspersó. Meddas característcas de cetralzacó: So valores de tedeca cetral e toro a los cuales se ecuetra los valores de la varable estadístca, co arreglo a u certo crtero de equbro para las frecuecas. Es la característca más mportate de la dstrbucó y se mde a traves de los promedos, etre los cuales está los sguetes: a) Meda artmétca (Cuado se habla de meda a secas, os referremos a la meda artmétca): Se obtee multplcado cada valor de la v.e. por su frecueca relatva y sumado todos los productos obtedos. Se represeta por x. x = p = x. f = p = x. N = N p = Se llama també cetro de gravedad de la dstrbucó por admtr la sguete terpretacó mecáca: Cosderemos que sobre cada puto x actúa ua fuerza de valor. E este caso x correspode al puto del eje e el cual, aplcado la fuerza de valor N, produce el equlbro del sstema. Para evtar largos y tedosos cálculos de artmétca elemetal, la meda artmétca la obtedremos medate el uso de calculadora cetífca. S cosderamos los valores de desvacó, x - x, se tee como propedad teresate que p = c) Meda artmétca poderada.- ( x x ). = 0. E determadas ocasoes queremos que algú dato tega más valor, o pese más a la hora de ser cosderado detro de la dstrbucó. As pues, e este caso, asocamos a los datos x, x,..., x p, certos factores peso (o pesos) w, w,..., w p, depedetes de la relevaca asgada a cada úmero. E tal caso, la expresó:

11 Tema I. Estadístca descrptva Métodos Estadístcos x = p = x. w w se llama meda artmétca poderada de pesos w, w,..., w p d) Meda geométrca G = N x p p N. x... x p = ( x ) = No tee uas propedades ta secllas y claras como la meda artmétca; o obstate se suele usar cuado la varable sgue progresó geométrca. També e la elaboracó de los úmeros ídces (que se verá más adelate), muestra ua propedad teresate. e) Meda armóca H = p = N. x f) Meda cuadrátca Esto puede geeralzarse defedo la meda geeral de orde m C= M(m) = p = x. N p m m x. N = resultado la meda armóca para m=-; la meda geométrca para m=0, la meda artmétca para m= y la meda cuadrátca para m= Se verfca: M ( ) M (0) M () M (), es decr que: H G x C Medaa Ordeados los datos de meor a mayor o vceversa, la medaa es el valor de la v.e, que deja el 50% de los datos a u lado y el 50% restate al otro. E otras palabras, la medaa dvde por la mtad a los datos. El cálculo de la medaa dfere e fucó del tpo de dstrbucó, es decr s se trata de valores aslados o dstrbudos por tervalos de clase.

12 Tema I. Estadístca descrptva Métodos Estadístcos E el prmer caso, la medaa se obtee del sguete modo: a) S el úmero de datos es par, la medaa es la meda artmétca de los dos valores cetrales que se obtee al ordear dchos datos, es decr que s los N datos ordeados so a, a,..., a N, la medaa es: Me = a N a + N + b) S el úmero de datos es mpar, solamete habrá u valor cetral. Este será precsamete la medaa, y dcho valor, sguedo la otacó ateror es. a N Et ( ) + E el caso de dstrbucó por tervalos el valor de la medaa es: ( N / ) N Me L +. = c., sedo L - el límte feror del tervalo dode se ecuetra la medaa (aquel dode se alcace el 50% del total de la poblacó N); N - es la frecueca acumulada absoluta hasta dcho tervalo; es la frecueca absoluta e el tervalo y c es la ampltud del tervalo. Esta fórmula se demostrará e clase. Ejemplo: Sea la dstrbucó sguete: Itervalos Marcas Frecu. Absoluta Frec. Abs. acum Prmero detectamos el tervalo dode se ecuetra la medaa. Como N=5, calculamos N/ =,5. Esta frecueca, vedo la tabla de frecuecas acumuladas, se ecuetra e el tervalo 8-0, por tato L - =8, N - =, =6.,5 De ahí se obtee que Me = 8 +. = 8, 6. 6 Método gráfco del cálculo de la medaa E el ejemplo ateror sería: Como ambos trágulos so semejates 6/ = 5,5/x ; de dode x =,83 Me = 0,83 = 8,7

13 Tema I. Estadístca descrptva 3 Métodos Estadístcos Moda Es el valor de la v.e. que más se repte. Segú esta defcó puede haber más de ua moda, llamádose la dstrbucó umodal, bmodal...etc, segú tega ua, dos...etc modas. El cálculo para dstrbucoes co valores aslados es trval; s embargo para el caso de dstrbucoes agrupadas por tervalos o es ta evdete, y la fórmula que determa la moda es: Mo = L +. c, sedo L - L el tervalo dode se ( ) + ( + ) ecuetra la moda. Método gráfco para el cálculo de la moda (e el caso de dstrb. agrupadas) Ejemplo: Sea la dstrbucó sguete: Itervalos Marcas Frecu. Absoluta Frec. Abs. acum Estudamos prmero cual es el tervalo modal (de mayor frecueca) y trazamos los segmetos que ue los vértces superores del rectágulo del hstograma correspodete e dcho tervalo co los extremos de los rectágulos cotguos, obteédose dos trágulos (el verde y el rojo) semejates pues tee águlos guales. S llamamos x a la altura (respecto del lado vertcal) del trágulo rojo, resulta que -x es la altura del verde. Por otra parte la base (lado vertcal) del rojo vale 7-4=3, y la del verde vale 7-6=. Establecedo la razó de semejaza, se obtee que x/3 = (-x)/; de dode x=,5; de dode la Moda será 6+,5 = 7,5. Relacó empírca etre meda, medaa y moda. Para dstrbucoes de frecueca umodal que sea poco asmétrcas se tee que: Meda Moda = 3(meda medaa) MEDIDAS POSICIONALES Los cuatles

14 Tema I. Estadístca descrptva 4 Métodos Estadístcos Se llama cuatl de orde m a u valor x m que deja por debajo de él al m por 00 de los elemetos de la poblacó. Cuartles: So los valores que dvde a la poblacó e 4 partes guales. Exste por tato tres cuartles: Q (prmer cuartl), Q (segudo cuartl), Q 3 (tercer cuartl). Resulta obvo que Q = Me. Cálculo de los cuartles. a) Caso dscreto o valores aslados: Ordeados de meor a mayor los datos y para =,,3. S N./4 o correspode a gú valor de la frecueca acumulada (está etre N k y N k+ ) se le da a Q el valor de la varable que correspode a la frecueca acumulada N k+. E caso de que N./4 correspode a u valor N k de la frecueca acumulada, el cuartl es la meda artmétca etre x k y x k+ b) Caso cotuo o por tervalos: Se utlza la fórmula: Q r = r.( N / 4) N + c, para r=,,3 L. Recorrdo tercuartílco o I.Q.R.: Es la dfereca etre Q 3 y Q. La dea es dvdr los datos e cuatro grupos guales y ver lo dstates que so los extremos de esos grupos Box plots o dagramas de Tukey de caja y bgotes Para realzar el IQR, Joh Tuker vetó u tpo de represetacó llamado Dagrama de caja y bgotes. Los extremos de la cja so los cuartles Q y Q 3. La Medaa se dbuja detro de la caja. S u puto está a más de,5 veces el IQR alejado de u extremo de la caja, se deoma atípco y se dbuja de forma aslada. Falmete se extede los bgotes hasta los putos más lejaos que o sea atípcos (es decr detro de,5 veces el IQR de los cuartles). Estos dagramas so especalmete bueos para realzar las dferecas etre grupos. Veamos como so: Datos atípcos Q Me Q 3 Datos atípcos,5 IQR

15 Tema I. Estadístca descrptva 5 Métodos Estadístcos Qutles: So los valores que dvde a la poblacó e 5 partes guales. Exste 4 qutles: K, K, K 3, K 4. Su cálculo es exactamete gual que e el caso de los cuartles y su fórmula es: K r = r.( N / 5) N + c, para r=,,3,4 L. Decles: So los valores que dvde a la poblacó e 0 partes guales. Exste 9 decles, sedo estos: D r, co r =...9 Su cálculo es exactamete gual que e el caso de los cuartles y además se verfca: D =K ; D 4 =K ; D 5 = Me ; D 6 =K 3 ; D 8 =K 4 La formula para los decles es: Cetles o percetles: r.( N /0) N D r = L +. c para r =,, So los que dvde a la poblacó e 00 partes guales. Hay 99 cetles que se represeta por C r o P r dsttamete, dode r= Para su cálculo os remtmos al cálculo de los cuartles. Se produce certas detdades tales como: C 5 =Q ; C 50 = Me...etc. La fórmula para cetles es: r.( N /00) N C r = L +. c para r=,,3...99

16 Tema I. Estadístca descrptva 6 Métodos Estadístcos ANEXO RECOGIDA DE DATOS CON LA CALCULADORA Depededo de las marcas comercales de las calculadores cetífcas, el modo de trabajar co datos estadístcos ormalmete varía de ua a otra. INTRODUCCIÓN DE DATOS CON LA CALCULADORA CASIO fx-00d Paso ) Actvar el modo de trabajo e Estadístca: MODE + 3 (E la cabecera de la patalla tee que aparecer la leyeda SD ) Paso ) Borrado de posbles datos e memora de trabajos aterores: KAC = SHIFT + AC Paso 3) Comprobar que, e efecto, o teemos datos = SHIFT + 3 (Este es el equvalete a uestro N). E la patalla tee que aparecer 0. Paso 4) Itroducr los datos: Para troducr, por ejemplo, el dato 8 co frecueca 4: 8 X 4 M+, o be 8 y se pulsa la tecla M+ cuatro veces. Paso 5) Comprobar que el úmero de datos troducdos cocde co N = SHIFT + 3. E la patalla tee que aparecer N. Paso 6) Calcular la meda artmétca, desvacoes típcas...etc. SHIFT + INTRODUCCIÓN DE DATOS CON LA CALCULADORA CASIO fx-570 ES ) SHIFT Mode 4(STAT) (FRECUENCIA ON) ) SHIFT (STAT) (DATA) 3) Itroducr x = x = x3 =... co el cursor pasar a la columa frec e troducr los valores de las frecuecas absolutas correspodetes ( = =...) 4) AC 5) SHIFT (STAT) 5(VAR): () = tamaño de la poblacó (x) = meda artmétca 3 (xó) = desvacó típca. 6) Borrar datos: SHIFT (STAT) 3(Edt) : (Del-A)

17 Tema I. Estadístca descrptva 7 Métodos Estadístcos INTRODUCCIÓN DE DATOS CON LA CALCULADORA CASIO fx-350 ES ) SHIFT Mode 3 (STAT) (FRECUENCIA ON) ) SHIFT (STAT) (DATA) 3) Itroducr x = x = x3 =... co el cursor pasar a la columa frec e troducr los valores de las frecuecas absolutas correspodetes ( = =...) 4) AC 5) SHIFT (STAT) 5(VAR): () = tamaño de la poblacó (x) = meda artmétca 3 (xó) = desvacó típca. 6) Borrar datos: SHIFT (STAT) 3(Edt) : (Del-A) INTRODUCCIÓN DE DATOS CON LA CALCULADORA caso fx-570 MS ) SHIFT MODE (SD) ) Comprobacó de datos SHIFT 3() 3) Itroduccó de datos: x ; M+ 4) Cálculo de parámetros SHIFT (x meda) (xo) desv. tpca. 5) Borrado de datos: SHIFT (Clr) CREAR TABLAS DE FRECUENCIAS EN EXCEL Caso dscreto: E u rago se escrbe todos los datos. A cotuacó e ua matrz columa se escrbe las modaldades. Seleccoamos la columa dode queremos que aparezca las frecuecas absolutas Se pulsa f x y vamos a las fucoes estadístcas, detro de las que escogeremos FRECUENCIA. Hay dos parámetros que hay que troducr: Datos y grupos. E datos seleccoamos la matrz de datos y e grupos la matrz de modaldades. y damos salda a los resultados, al tratarse de ua matrz, co CTRL.+Mayúsculas. Caso cotuo: Al gual que e el caso ateror pero e el parámetro grupos hemos de escrbr los lmtes superores de los tervalos de acogda de datos.

18 Tema I. Estadístca descrptva 8 Métodos Estadístcos EJERCICIOS PROPUESTOS. Las edades de ses depedetes de u comerco so: 8,9,5,9,34,35 años. Calcular la meda de dchas edades. La medda de la logtud de 50 varllas ha dado los sguetes resultados: de 5 cms, 8 varllas; de 7 cm., 6 varllas; de 8 cm., 6 varllas; de 9 cm., 9 varllas; de 0 cm., varllas; de cm., 7 varllas y de 3 cm., 3 varllas. Calcular la meda de estas logtudes. 3. Calcular la meda de la dstrbucó correspodete a la estatura de 40 chcos de prmero de Bachllerato, sedo esta: Itervalos 48,5-53,5 53,5-58,5 58,5-63,5 63,5-68,5 68,5-73,5 73,5-78,5 Frec.abs Calcular la meda de los sguetes valores agrupádolos prmero por tervalos de ampltud gual a 5 y después por tervalos de ampltud gual a 0. Estos valores so: 49,48,43,4,49,4,4,43,43,44,44,5,53,54,5,59,58,57,56,54,5,54,53,64,6,64, 63,6,6,6,68,68,67,66,69 5. Dada la dstrbucó de la tabla, calcular la meda artmétca, la meda geométrca, la meda armóca, la meda cuadrátca. Comprobar que relacó exste etre ellas: x Calcular la frecueca correspodete al tercer tervalo de la sguete dstrbucó, sabedo que la meda artmétca es gual a,5 It x 3 7. Calcular la medaa de las sguetes dstrbucoes de frecuecas: x x Dada la sguete sere estadístca de la dstrbucó de salaros a los obreros de ua empresa, calcular la medaa: SALARIO NUM. OBREROS NUM. OBREROS. ACUM

19 Tema I. Estadístca descrptva 9 Métodos Estadístcos 9. Las calfcacoes de la asgatura de Matemátcas de los 40 alumos de ua clase vee expresadas por la sguete tabla: Nota Alum Calcular los cuartles y 3 así como los percetles de orde 30 y Se tee la sguete dstrbucó cotua, expresada por la tabla sguete: Iterv N Calcular los cuartles y 3, así como los percetles 40 y 90. Ua zapatería de caballeros vede e u día 45 pares de zapatos de las sguetes tallas. Talla Zapatos ? Calcular a) la medaa, b) Cuartles, c) Qué percetles correspode a la talla. El úmero de hjos de 0 famlas seleccoadas al azar, es el sguete: 3,,,,, 5,,, 0, 6, 3,, 4, 3, 4,, 3,, 7, 6 a) formar la tabla de frecuecas b) Costrur el correspodete dagrama de barras c) Costrur el polígoo de frecuecas. d) Costrur u dagrama de sectores o e su defecto dcar el águlo que correspodería a cada modaldad e dcho dagrama. 3. Los valores el ph saguíeo e 80 dvduos so los sguetes: 7,33 7,3 7,34 7,40 7,8 7,9 7,35 7,33 7,34 7,8 7,3 7,35 7,3 7,33 7,33 7,36 7,3 7,3 7,35 7,36 7,6 7,39 7,9 7,3 7,34 7,30 7,34 7,3 7,39 7,30 7,33 7,33 7,35 7,34 7,33 7,36 7,33 7,35 7,3 7,33 7,37 7,38 7,38 7,33 7,35 7,30 7,3 7,33 7,35 7,33 7,7 7,33 7,3 7,3 7,34 7,3 7,3 7,3 7,3 7,36 7,30 7,37 7,33 7, 3 7,3 7,33 7,3 7,30 7,9 7,38 7,33 7,35 7,3 7,33 7,3 7,34 7,3 7,34 7,3 7,33 a) Formar la tabla de frecuecas utlzado 5 tervalos de clase. b) Costrur el hstograma de frecuecas c) Polígoo de frecuecas d) Costrur el hstograma de frecuecas acumuladas e) Costrur el polígoo de frecuecas acumuladas

20 Tema I. Estadístca descrptva 0 Métodos Estadístcos 4. Se ha meddo la logtud de 50 dvduos adultos de ua determada espece de raa, obteédose los sguetes resultados: 3, 3,0 3,6 30,0 3,8 3,4 3,0 30,0 30, 3,8 34,0 3,7 33,0 3,0 3,3 3,6 3,0 3,4 30, 3,0 33,0 3,4 3,4 3,6 3,7 34,0 33, 33, 33,7 3,0 3,8 33,0 3,3 3,4 3,4 3,4 34,0 33,4 3,7 3,3 3, 33, 34, 3,3 9,6 3,7 33,0 3,4 3,6 33,0 a) Formar la tabla de frecuecas e 5 tervalos de clase b) Costrur el hstograma de frecuecas relatvas c) Polígoo de frecuecas relatvas d) Costrur el hstograma de frecuecas relatvas acumuladas e) Costrur el polígoo de frecuecas relatvas acumuladas 5. El úmero de accdetes mortales daros e ua gra cudad e ueve días ha sdo: 6, 4, 8,, 5, 3, 3, 7,. a) Hallar la meda artmétca b) Hallar la meda geométrca c) Hallar la meda armóca d) Hallar la meda cuadrátca e) Relacó etre estas medas. 6. El úmero de dvduos muertos por cólera e u determado pás por año, e el trascurso de años ha sdo:, 7, 5, 8,, 3,, 8,,, 3. f) Hallar la meda artmétca g) Hallar la meda geométrca h) Hallar la meda armóca ) Hallar la meda cuadrátca j) Relacó etre estas medas. 7. El úmero de pétalos de 3 flores de ua determada espece es el sguete: 8, 0, 6, 5, 8,, 8, 0, 7, 0, 7, 0, 9 a) Calcular la medaa b) Calcular la moda c) Calcular los cuartles de prmer y tercer orde d) Calcular el recorrdo tercuartlco e) Represetar el Box Plot.

21 Tema I. Estadístca descrptva Métodos Estadístcos 8. Cosderado el valor teórco del metabolsmo basal gual a 00, los valores observados e 50 dvduos ha dado los sguetes resultados Calcular agrupado los datos e 0 clases, los sguetes valores: a) Meda artmétca b) Medaa c) Moda d) Cuartles de prmer y tercer orde e) Recorrdo tercuartílco f) Dagrama de Tukey de caja y bgotes 9. La dstrbucó por pesos de 70 empleados de u hosptal se expresa e la tabla sguete: Kg Nº empl Calcular la meda artmétca, la medaa y la moda. 0. Dada la sguete dstrbucó, qué cetl correspode a?. Qué cetl correspode a 30? Itervalo

22 Tema I. Estadístca descrptva Métodos Estadístcos Meddas característcas de dspersó: El smple coocmeto de las meddas de cetralzacó o sólo es sufcete para daros ua dea de cómo está los datos dstrbudos, so que cluso puede llegar a ser egañoso. Pesemos e ua poblacó dode la meda artmétco del sueldo de sus dvduos es ptas; eseguda os vee a la mete que la gra mayoría de la poblacó gaa ua catdad etoro a esta cfra; s embargo pudera ocurrr que la mtad de la poblacó gaa y la otra mtad ada. De este modo vemos que e ambos casos: Rqueza be repartda y mal dstrbuda so dos casos e los que la meda cocde, s embargo las realdades so opuestas. El ejemplo ateror demuestra que se hace ecesaro dspoer de formacó acerca de cómo está dstrbudos los datos alrededor de las meddas de cetralzacó; dcho de otro modo.. qué alejados o dspersos está los datos?. Esto coduce a las meddas de dspersó, etre las que se ecuetra las sguetes: Recorrdo o rago: Ya utlzado co aterordad, el recorrdo de ua varable estadístca es la dfereca etre el valor más alto y el más bajo de dcha varable. Desvacó a la meda de la modaldad x. La desvacó a la meda de la modaldad a x, mde la dstaca etre dcho valor x y la meda, por tato su valor vee determado por: d = x x Es mportate destacar que dcha medda vee dada por el valor absoluto de la dfereca, ya que s omtésemos dcha fucó, podría ocurrr que algua medda fuese egatva y estos sería cotradctoro co el cocepto de dstaca (alejameto o dspersó) como u valor postvo. Obsérvese que esta defcó es válda solamete para los valores de la modaldad aslados, por tato d es depedete de la frecueca, as como del resto de valores, por lo que es ua medda de dspersó que o os da ua formacó de cojuto. Esto os los cubre la sguete medda. Desvacó meda Es la meda artmétca de las desvacoes a la meda d, esto es: D m = p = d. N = p = x x. N

23 Tema I. Estadístca descrptva 3 Métodos Estadístcos Varaza E ocasoes se suele prmar los alejametos grades y mmzar las pequeños dspersoes, esto produce la medda característca llamada varaza que o es más que la meda cuadrátca de las desvacoes a la meda, esto es: p p d. ( x x) σ = = = N = N Esta medda tee el coveete que vee expresada e udades de la varable al cuadrado. Para evtar este problema se extrae la raz cuadrada, y el valor obtedo se deoma: La varaza també puede expresarse del sguete modo: p p ( x x) σ = = ( x x) f = x. f x. (La meda artmétca de los = N = = cuadrados de los x meos el cuadrado de la meda artmétca de los x Desvacó típca: Llamada també desvacó stadard o desvacó cuadrátca meda, es la raz cuadrada (postva) de la varaza σ = E Excel es la fucó DESVESTPA p = ( x x) N Coefcete de varacó de Pearso: E ocasoes se hace ecesaro comparar dos o más dstrbucoes de datos de dstta aturaleza. Supogamos que queremos saber que dstrbucó está más dspersa e los sguetes casos: Ua varable estadístca X de pesos de dvduos de meda 70 cm. y desvacó típca 0 cm., o ua varable Y de produccó de ua gaadería vacua de meda 30 ltros y desvacó típca 6,5 ltros. Obvamete o se puede comparar ltros co cetímetros, pero para saber comparatvamete cuál está más cocetrada o tee los datos meos dspersos co respecto a la meda, se utlza el llamado coefcete de varacó de Pearso σ ν = x Es por tato ua medda admesoal y establece u valor de relacó depedete de las udades e las que se esté trabajado. A mayor coefcete, mayor dspersó de datos. MOMENTOS Geeralzado lo ateror, tato e las meddas de cetralzacó como e las de dspersó, podemos defr los llamados mometos potecales respecto al orge y

24 Tema I. Estadístca descrptva 4 Métodos Estadístcos respecto a la meda. So teresates porque os va a proporcoar uos valores para obteer más formacó acerca de la dstrbucó. Mometo de orde r respecto al orge: r p x. ar =. Obsérvese que esto es ua geeralzacó de alguas meddas de = N cocetracó, ya que s r= se obtee la meda artmétca, s r= se obtee la meda cuadrátca. Mometo de orde r respecto a la meda: p r ( x x). mr = = N S r= su valor es 0. S r= obteemos la varaza Relacoes etre mometos: Todos los mometos respecto a la meda puede expresarse e fucó de los mometos respecto al orge medate las sguetes gualdades: m = a a ; m 3 = a 3 3a.a + a 3 ; m 4 = a 4 4a 3.a + 6a.a 3a 4 Demostrar como ejercco la prmera gualdad. MEDIDAS DE FORMA Nos da formacó acerca de cómo es la gráfca de la dstrbucó o curva evolvete del hstograma, etre las más mportates teemos las sguetes: Meddas de asmetría o sesgo: Elabora u dcador que permte establecer el grado de smetría (o asmetría) que preseta la dstrbucó s realzar su represetacó gráfca. Puede ser campaformas y e forma de U y se llama sesgadas a la derecha cuado la cola de la dstrbucó se prologa haca la derecha. Aálogamete para las sesgadas a la zquerda. Para medr el sesgo teemos: Coefcete de asmetría de R.A. Fsher m3 g = 3 σ S g = 0, la dstrbucó es smétrca S g >0, la dstrbucó es sesgada a la derecha.

25 Tema I. Estadístca descrptva 5 Métodos Estadístcos S g <0, la dstrbucó es sesgada a la zquerda Coefcete de K. Pearso A p = x Mo σ Su secllez tee el coveete de que solamete es segura para dstrbucoes campaformes umodales y moderadamete asmétrcas. Decde segú los msmos crteros que el coefcete de Fsher. Coefcete de asmetría de Bowley-Yule A B Q = 3 + Q. Q 3 Q Me Sgue los msmos crteros de sgos que el de Fsher Coefcete absoluto de asmetría: Q3 + Q. Me A B = σ Sgue los msmos crteros de sgos que los aterores Meddas de aputameto o curtoss Cuado la dstrbucó es campaforme, umodal y lgeramete asmétrca puede ser segú la moda esté e baja, meda o alta frecueca platcúrtca (achatada), mesocúrtca (s exceso) y leptocúrtca (co exceso) Esta característca os la mde la curtoss o coefcete de aputameto, cuyo valor vee dado por: g = s m S g = 0. la dstrbucó es mesocúrtca (o s exceso) S g > 0. la dstrbucó es leptocúrtca (o co exceso) S g < 0. la dstrbucó es platcúrtca (o achatada)

26 Tema I. Estadístca descrptva 6 Métodos Estadístcos EJERCICIOS PROPUESTOS.) Calcular la desvacó típca y varaza de las dstrbucoes de los ejerccos que fgura e las págas 3, 4 y 5 de estos aputes. ) Dada la sguete dstrbucó, calcular los cuatro prmeros mometos respecto al orge x - 3 3) Dada la sguete dstrbucó, calcular los cuatro prmeros mometos respecto a la meda x ) Dada la sguete dstrbucó, calcular el tercer y cuarto memeto respecto a la meda a partr de los mometos respecto al orge. x ) Dada la sguete dstrbucó de frecuecas, calcular el coefcete de asmetría de Fsher y su curtoss. x ) Calcular el coefcete de asmetría de Pearso de la sguete dstrbucó de frecuecas. x ) La dstrbucó por tervalos de u test de Ecoomía realzado a 30 opostores putuado de 0 a 800, da los sguetes resultados: PUNTUACIÓN TEST % OPOSITORES Hasta 60 6, , , , , , ,65 Mas de 700 0,45 Calcular los cuartles y el coefcete de asmetría de Bowley-Yule

27 Tema II. Dstrbucoes bdmesoales 7 Métodos Estadístcos TEMA. DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES. CORRELACIÓN Y REGRESIÓN. Varables estadístcas bdmesoales: So los resultados de la observacó de u feómeo respecto de dos característcas. A estas varables estadístcas se le deoma bdmesoales. Se represeta por el par de valores (X,Y), sedo X ua varable udmesoal que toma los valores x, x,...,x p e Y ua varable udmesoal que toma los valores y, y... y k Las varables estadístcas bdmesoales toma los valores (x,y ), (x,y )...(x p,y k ) Represetacó gráfca. Cuado los valores x e y o está agrupados e tervalos, a cada valor x (eje de abscsas) y a cada valor y (eje de ordeadas), tomados cojutamete les correspode u puto e el plao. Este cojuto de putos se deoma ube de putos o dagrama de dspersó. S cada pareja tuvera ua frecueca dstta de la udad, se puede expresar co u úmero, la frecueca correspodete al lado del puto o cotrur ua gráfca trdmesoal dode la tercera dmesó z, represetaría la frecueca. S los datos está agrupados e tervalos, la represetacó gráfca tedríamos el plao dvddo e p.k rectágulos, sedo h el umero de tervalos de x y k el umero de tervalos de y y sobre cada uo de estos rectágulos se levata u prsma cuya altura es proporcoal a la frecueca de la pareja (x,y ) Tablas de frecuecas. Tabla de columas: S la frecueca de cada par (x,y ) es x y x.y x y totales totales totales totales totales S las frecuecas o so, habría que añadr ua columa co los valores de dcha frecueca. Tabla de doble etrada: y y y k x k x... k x p p p pk N

28 Tema II. Dstrbucoes bdmesoales 8 Métodos Estadístcos E las zoes sombreadas se cosgará las sumas de los j por flas y columas, teedo que sumar por ambos lados N Dstrbucoes margales: Se llama así a las dstrbucoes de las dos varables que tervee X e Y, cosderadas de forma aslada. Segú esto las dstrbucoes margales so las que fgura e la zoa sombreada de la gráfca de doble etrada ateror. Mometos e dstrbucoes bdmesoales: Respecto al orge: Mometo de orde r, s respecto al orge: a rs = p k = j= r s j x. y. j N a 0 es la meda de y, metras que a 0 es la meda de x. Mometos de orde r, s respecto a las medas m rs = p k ( = j= r s j x x).( y j y). N Segú esta defcó m 0 = m 0 = 0 m 0 es la varaza de y m 0 es la varaza de x m se deoma covaraza. Por tato la covaraza es: m j x x).( y j y). N p k = ( = j= Suele represetarse por σ xy o S xy Se puede demostrar que σ = x. y x y, es decr la meda del producto meos el xy. producto de las medas. (Hágase como ejercco) Cuado dos varables X e Y so depedetes, la covaraza es 0 Correlacó Es la teoría que estuda la relacó de depedeca etre las dos varables (x, y) de ua dstrbucó bdmesoal. Hay varos tpos de correlacó, pero os vamos a cetrar e la leal, esto es cuado la ube de putos se codesa más o meos e tora a ua lea recta. Podemos dstgur:

29 Tema II. Dstrbucoes bdmesoales 9 Métodos Estadístcos Correlacó postva o drecta: Cuado ua varable crece també lo hace la otra. E la correlacó leal esto se traducría e que la recta sería crecete, o lo que es lo msmo, de pedete postva. Correlacó egatva o versa: Cuado ua varable crece la otra decrece. E la correlacó leal esto se traducría e que la recta sería decrecete, o lo que es lo msmo, de pedete egatva. Correlacó ula: Cuado o exste gua relacó etre las varables. Se dce que las varables está correladas. Regresó matemátca: Es el resultado de susttur la ube de putos o dagrama de dspersó de ua dstrbucó bdmesoal por la fucó matemátca que mejor se aproxma a ella. Nosotros vamos a cetraros e la regresó leal solamete, que se da cuado la fucó que se ajusta a la ube de putos es ua recta. Recta de regresó de y sobre x: Es la recta que hace mímos la suma de los cuadrados de las dferecas etre los valores observados expermetalmete y y los teórcos y que se obtee medate la recta, meddos paralelamete al eje Y (mímas sumas (y -y ). Su ecuacó es : σ y y = σ xy ( x x x Recta de regresó de x sobre y: Es la recta que hace mímos la suma de los cuadrados de las dferecas etre los valores observados expermetalmete x y los teórcos x que se obtee medate la recta, meddos paralelamete al eje X (mímas sumas (x -x ). Su ecuacó es : σ xy x x = ( y y) σ Es mportate hacer otar que ambas rectas se corta e el puto ( x, y), llamado cetro de gravedad de la dstrbucó cojuta. Coefcetes de regresó: Se llama así a las pedetes de las rectas aterores, que so: σ xy b = que es el coefcete de regresó de y sobre x y represetaremos por β σ σ x xy b' = y que es el coefcete de regresó de sobre y, y represetaremos por β σ x Ua propedad mportate de estos coefcetes es que el producto de ambos coefcetes es meor que. )

30 Tema II. Dstrbucoes bdmesoales 30 Métodos Estadístcos Coefcete de correlacó leal: σ xy r =. σ σ x y Puesto que r, se obtee lo sguete: -S r= : Correlacó perfecta postva (fucoal) -S r=-: Correlacó perfecta egatva (fucoal) -S r=0 : Correlacó ula, las rectas so y = y x = x -S <r<0 :Correlacó egatva, más fuerte cuato más se aproxme el valor a -S 0<r< :Correlacó postva, más fuerte cuato más se aproxme el valor a

31 Tema II. Dstrbucoes bdmesoales 3 Métodos Estadístcos Problemas propuestos º) Dada la sguete dstrbucó que represeta a 60 hombres de la msma edad co respecto a los caracteres: altura (x) y peso (y),55-,65,65-,75,75-, Calcular: La dstrbucó margal de la varable y. Meda y varaza margales de la varable y. º) Dada la sguete dstrbucó bdmesoal: Se pde: a) Dstrbucoes margales b) Meda y moda de las dstrbucoes margales c) Desvacó típca y asmetría de las dstrbucoes margales. 3º) Dadas las sguetes seres de valores de las varables x e y, calcular la recta de regresó de y xobre x y de x sobre y x y º) Dada la sguete dstrbucó bdmesoal, obteer las rectas de regresó y el coefcete de correlacó:

32 Tema II. Dstrbucoes bdmesoales 3 Métodos Estadístcos 5º) Las otas obtedas por 0 uverstaros e Aatomía y Fsología so: Aatomía , Fsología 6,5 4, Se pde: Calcular las rectas de regresó. Dbujarlas y dbujar la ube de putos o dagrama de dspersó. Calcular el coefcete de correlacó Cuál sería la ota esperada e Fsología de u uverstaro que haya obtedo 8,3 e Aatomía. 6º) Dada la sguete dstrbucó x y Calcular la covaraza, la recta de regresó de y xobre x. Estudar la depedeca leal etre ambas varables. 7º)Las rectas de regresó de dos varables aleatoras x e y so : x + y = 7 x + 3y = 3 Calcular los valores medos, los coefcetes de regresó y la correlacó.

33 Tema III. Combatora 33 Métodos Estadístcos TEMA III. COMBINATORIA Factoral de u úmero: Dado u úmero etero, se llama factoral de, al sguete valor:! = ( )( ) Por coveo se establece que 0!=. Dados m elemetos x, x, x 3,..., x m, podemos defr los sguetes coceptos: Varacoes ordaras (s repetcó) de m elemetos tomados de p e p. So el cojuto formado por todas las coleccoes de p elemetos dsttos elegdos de etre los m dados, cosderado dsttas dos coleccoes cuado se dfereca e algú elemeto o cuado teedo los msmos elemetos, dfere e el orde de colocacó. El úmero de las varacoes ordaras se represetará por Vm,, y su valor es: m! Vm, p =. Otro valor de este cocete es: Vm, = m( m )...( m p + ) ( m p)! Es obvo que de la defcó se desprede que p m Permutacoes de m elemetos Cuado m=p, las Varacoes aterores resulta ser las coleccoes de los m elemetos (por tato se toma todos) elegdos e las codcoes ya dcadas, es decr Vm,m. A estas coleccoes se les deoma Varacoes de m elemetos y su valor es: m! Pm = Vm, m = = m! 0! Varacoes co repetcó de m elemetos tomados de p e p. So el cojuto formado por todas las coleccoes de p elemetos elegdos de etre los m dados, pudedo estos repetrse, cosderado dsttas dos coleccoes cuado se dfereca e algú elemeto o cuado teedo los msmos elemetos, dfere e el orde de colocacó. Al troducr la posbldad de repetcó de los elemetos, p puede ser mayor que m. Su úmero vee dado por: RVm, p = E calculadora. Las Varacoes ordaras e la calculadora vee determadas e la tecla Vr. Para las permutacoes se utlzaría també Vr, cosderado =r, pero la mayoría de las marcas tee la fucó! Por tato, s quséramos obteer V 3, pulsaríamos 3 Vr = S quséramos obteer P 3, pulsaríamos 5 Vr 5 =, o be drectamete 5! E Excel La fucó que e Excel determa Vm,p y Pm es PERMUTACIÓN, dode hay que establecer dos parámetros úmero y tamaño, el úmero sería m y el tamaño p. E caso de ser ua permutacó ambos parámetros sería m. p m

34 Tema III. Combatora 34 Métodos Estadístcos Permutacoes co repetcó. Llamaremos permutacoes co repetcó de m elemetos etre los que hay a guales etre sí, otros b guales etre sí,..., sedo a+b+...+c=p, a los dsttos grupos que se puede formar co los m objetos, etre los que aparece repetdos a, b,...,c elemetos, cosderado dsttos dos permutacoes cuado dfere e el orde de colocacó. Su úmero es: a, b,..., c ( a + b +... c)! Pm = a!. b!... c! Es destacable observar que e las varacoes co repetcó, u elemeto puede repetrse u úmero varable de veces, que llega hasta el orde de dcha varacó. Esto o sucede, e cambo, e las permutacoes co repetcó, dode el úmero de veces que aparece repetdo cada elemeto es sempre el msmo. Por tato para dstgur uas de otras, smplemete hemos de pregutaros s la repetcó de los elemetos es fja o varable; e el prmer caso estaríamos ate uas permutacoes co repetcó y e el segudo sería varacoes co repetcó. Combacoes de m elemetos tomadas de p e p. So todos los grupos posbles que se puede formar co p dsttos tomados de los m elemetos dados, de modo que dos grupos cualesquera dfera e algú elemeto, es decr que o mporta el orde de colocacó de los elemetos como ocurría e las varacoes. Su úmero vee determado por: m! Cm, p =,a este valor se le deoma úmero combatoro y se ( m p)! p! m represeta por. p Los úmeros combatoros se obtee fáclmete utlzado el trágulo de Pascal-Tartagla: m p Propedades de los úmeros combatoros: m.- 0 = m m m = p p + p +

35 Tema III. Combatora 35 Métodos Estadístcos m m 3.- = p m p U caso dode tervee los úmeros combatoros. El bomo de Newto: ( a m a p= 0 p m m p + ) =.. b b m p E calculadora La tecla correspodete a las combacoes o úmeros combatoros es Cr y se utlza exactamete gual que e el caso Vr. E Excel p. La fucó a usar es COMBINAT, dcado umero y tamaño, es decr m y Combacoes co repetcó de m elemetos tomados de p e p. So las dsttas agrupacoes de p elemetos guales o dsttos que se puede formar co los m elemetos dados, de modo que cada dos combacoes co repetcó dfera al meos e u elemeto. Su úmero vee dado por: RCm, p = m + p p

36 Tema III. Combatora 36 Métodos Estadístcos Problemas propuestos de Combatora (Nvel ) ) Ua carrera e la que partcpa ses atletas se realza co el f de clasfcar a tres de ellos (para posterores competcoes); los restates corredores queda elmados. Cuátos resultados dsttos puede haber, e prcpo? (Se supoe que o hay posbldad de empate). ) S e la carrera ateror hubera tres premos: medalla de oro, medalla de plata y medalla de broce, cuál sería etoces el resultado? 3) Cuál sería el resultado del ejercco ateror s hubera ses premos dsttos? 4) Cuátas palabras de 7 letras dsttas puede escrbrse co las letras de la palabra CADAQUES? 5) E ua jorada de fútbol, cuátas quelas de ua apuesta, dsttas, se podría hacer? 6) E u estate de ua lbrería capaz para 5 volúmees, hay sete ejemplares guales de El Qujote, ocho ejemplares guales de La Celesta y dez ejemplares guales de La vegaza de Do Medo. De cuátas maeras dferetes (cluso e desorde) puede colocarse dchos lbros. 7) E ua bolsa hay dez bolas rojas, dez azules y dez egras, todas ellas del msmo tamaño y calda. De cuátas maeras puede extraerse dez bolas de dcha bolsa: a) S mporta el orde e que se extraga b) S o mporta el orde e que se extraga. 8) Cuátos productos dferetes, co cuatro factores, se puede formar co los úmeros prmos compreddos etre y 9, ambos clusve. a) s repetr gú factor? b) reptedo s se desea? 9) De cuátas maeras posbles puede colocarse cuatro soldados e ua fla. 0) U camarero descadsa dos días cualesquera por semaa; cuátas semaas podrá trascurrr para que o se repta los dos días de descaso? ) Cuátas permutacoes se puede formar co las letras de la palabra permutacó? Cuátas termará e y cuátas empezará por per? ) Co las cfras del úmero 57836, cuátos úmeros dsttos de tres cfras se puede formar? a) o etrado repetda gua de las cfras? b) reptedo s se desea? 3) Co ses pesas de,, 5, 0, 0, 50 klogramos, cuátas pesadas dferetes puede obteerse tomado aquéllas de tres e tres?

37 Tema III. Combatora 37 Métodos Estadístcos 4) Cuátos úmeros dsttos de ocho cfras se puede escrbr, de modo que parezca dos uos, tres cuatros y tres ochos? 5) E uas eleccoes para ombrar cco ellaces sdcales se presetaro 5 caddatos; cada productor, para hacer erectvo su voto escrbó e u papel 5 ombres (o mportaba el orde de su colocacó) y se do la extraña crcustaca de que se regstro u empate total etre los 5 caddatos, porque todos los votos fuero dsttos. Cuátos productores trabaja e la fábrca? 6) Co las letras de la palabra valdespo, cuátas palabras de cuatro letras dsttas puede escrbrse? De éstas, cuátas empezará por d y termará e a? 7) Cuátos úmeros dsttos de ses cfras se puede formar co las cfras del úmero 3756, de modo que empece y terme e. 8) Co 0 soldados, cuátas guardas dferetes de a cuatro soldados cada ua puede formarse, y e cuátas etrará u soldado determado J.? 9) E ua clase hay 5 alumos y 8 mesas, supogamos que cada día se dstrbuye de forma dstta, o respeco a los días aterores Durate cuatos días puede mateerse esta stuacó? 0) Se extrae ua carta de ua baraja de 5 cartas; se troduce uevamete. Se repte esta operacó tres veces más. Cuátos resultados dsttos puede obteerse: a) S mporta el orde b) S o mporta el orde. ) Supogamos que e el ejercco ateror las cartas extradas o vuelva a la baraja Cuáles so etoces los resultados? ) De cuatas maeras puede colocarse e fla cuatro moedas de euro, cuatro de euros y cuatro de 50 cétmos 3) Cuátos modelos de bllete de tre se debe mprmr para cubrr u trayecto de dez estacoes, s e cada bllete ha de fgurar la estacó de salda e prmer lugar, y la llegada e segudo lugar? 4) Ua hormga desea r desde el extremo feror zquerdo de u tablero de ajedrez, hasta el extremo superor derecho, recorredo la míma dstaca posble y co la codcó de pasar ucamete por los bordes de los escaques (cuadrados), uca e dagoal. De cuátas formas dsttas puede hacerlo?

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