INVERSA DE UNA FUNCIÓN

Transcripción

1 INVERSA DE UNA FUNCIÓN Si tenemos la función f = { (1, 2), (2, 4), (3, 1), (4, 2) } Se nos puede ocurrir la idea de invertir los pares ordenados y tratar de obtener así una nueva función. Veamos que sucede: g = { (2, 1), (4, 2), ( 1, 3), ( 2, 4) } Hemos obtenido una nueva función, sin embargo, esto no funciona siempre. Tomemos ahora como f el conjunto: f = {(1, 2), (2, 4), (3, 1), (4, 2)} Si invertimos los pares ordenados, entonces, g será: g = {(2, 1), (4, 2), ( 1, 3), (2, 4)} Que no es una función, g(2) no está determinado de forma única; es decir, g no cumple la condición de función porque Existen dos pares ordenados en g(x), (2, 1) y (2, 4), que tienen la misma primera coordenada y la segunda coordenada es distinta. a) Cuál es la diferencia entre estos dos ejemplos? Sencillamente, que en el segundo ejemplo: f(1) = f(4) = 2 y al invertir los pares ordenados, g(2) no está determinado de forma única; con lo cual g no es una función. En el primer ejemplo, para valores diferentes de la "x" se obtienen valores diferentes de la "y". Las funciones que se comportan como la del primer ejemplo se llaman funciones inyéctivas o funciones uno a uno. DEFINICIÓN: Una función f es inyéctiva o función uno a uno si se cumple cualquiera de estas dos afirmaciones: a) Si a b y tenemos que f(a) f(b) esto es que f(a) es distinto de f(b) cuando a es distinto de b.(es decir que valores distintos del dominio obtienen imágenes diferentes en el rango): b) Si ocurre f(a) = f(b), entonces a = b Cuando al invertir los pares ordenados de que consta una función se obtiene otra función, decimos que dicha función tiene inversa. Ejemplo1

2 Solamente las funciones inyéctivas tienen función inversa Una función que no sea inyéctiva la podemos convertir en inyéctiva si restringimos su dominio y eceptuamos la parte PRUEBA DE LA RECTA HORIZONTAL: Si tenemos la gráfica de una función y por algún punto podemos trazar una recta horizontal que toque más de un punto de la grafica, entonces la función no es inyéctivas. si solamente puede tocar en un solo punto de la gráfica es porque la función es inyéctivas Ejemplo 2:

3 La función inversa de f la denotamos por (), el -1 aquí no es un exponente, No debemos confundir dicha notación, por lo que () DEFINICIÓN: Si f es una función inyéctiva, llamamos función inversa de f y la representamos por f 1 al conjunto: f 1 = {(a, b) / (b, a) f (x)} Es decir, f 1 = {(x, y) / x = f(y), si y es del dominio de f } = { (f(y), y) / si y es del dom. de f } Utilizando la composición de funciones podemos escribir: (f o f 1 )(x) = f (f -1 (x)) = x, si x está en el rango de f. Está afirmación expresar que la función compuesta de una función y su función inversa da x como resultado. (f -1 o f)(x) = f -1 (f(x)) = x, si x está en el dominio de f. Está afirmación expresar que la función compuesta de la función inversa y su función da x como resultado. De la definición se sigue inmediatamente que el dominio de la función inversa f 1 () es el rango de f. Recíprocamente, el rango de f 1 es el dominio de f.

4 También es fácil observar que: f 1 (a) = b es equivalente a decir que f(b) = a. Utilizando la "x" y la "y" f 1 (x) = y es equivalente a decir que f(y) = x. F(x) = x 2 para todo x f(x) = x 2 para x 0 f(x) = para x 0 Para calcular la función inversa usaremos el método alternativo Sugerencias para el cálculo de la función inversa 1) Se escribe la ecuación de la función y = f( x). 2) Se intercambian las variables.(la x se cambia por y, la y se cambia por x) 3) Se despeja la variable y en función de la variable x. 4) Y = f -1 (x) Ejemplos: Calcular la función inversa de las siguientes funciones que son uno a uno: a) el dominio de f son todos los números reales excepto el 1

5 1) y = 2) x = 3) x = x (y-1) = (y 1) Hacemos y = f(x), luego intercambiamos los nombres de las variables despejamos para y, multiplicando ambos lados por (y-1) x y x = 2y + 3 agrupamos los términos que poseen y, en un solo lado x y 2 y = x + 3 y (x 2) = x + 3 : factor común en el lado izquierdo de la igualdad () = dividiendo ambos lados entre x - 2 tenemos y = que es la función inversa F- 1 (x) = El dominio de la función inversa son todos los números reales excepto el 2 ( Este es el rango de f y el dominio de f es el rango de la función inversa hallada) Vamos a comprobar el resultado para x = 2 F(2) = () = f(2) = 7, f -1 (7) = =, f-1 (7) =2 2) Hallar la función inversa de: f(x) = 3x 1 b) f(x) = 3x 1 y = f(x) y = 3x 1 cambiando x por y, cambiando y por x tenemos x = 3y 1 despejando y, sumamos 1 en ambos miembros x + 1 = 3y x + 1 = 3 y dividiendo ambos miembros entre 3 = = f-1 (x)= que es la función inversa Tanto como el dominio de f(x) como de su inversa f -1 (x es todo R. EJERCICIOS Las funciones siguientes son inyéctivas o funciones uno a uno encuentre las funciones inversa de cada una y diga el dominio y el rango de f(x) y f -1 (x)

6 1) ()= 4 5 2) ()= 3) ()= 4) f(x) = 2x ()= ()= ()= 8.()= 9. ()= 10. ()= 0 ( ) 11. 2x - f (x) = x + f (x) = f (x) = 3x - 5x f (x) = 2x + 3x x - f (x) = 5 3 Las gráficas de f y f -1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante. F(x) = x + 4 es la función inversa de g(x) = x - 4

7 Esto es lo mismo que decir que los puntos de la grafica de una función y de la grafica de la función inversa están ubicados a la misma distancia de la grafica función identidad La gráfica anterior corresponde a las funciones f(x) = x 3 y f -1 (x) = funciones inversas entre si. que son Ejercicio:

8 FUNCIONES EXPONENCIALES Y FUNCIONES LOGARÍTMICAS FUNCIONES EXPONENCIALES, PROPIEDADES Y GRÁFICA Observa las funciones: f(x) = x 2 y g(x) = 2 x. Las funciones f y g no son iguales. La función f(x) = x 2 es una función que tiene una variable elevada a un exponente constante, generalmente se le llama potencial, Es una función cuadrática que fue estudiada anteriormente. La función g(x) = 2 x es una función con una base constante elevada a una variable. esta función se llama función exponencial. Definición: Una función exponencial de base b es una función de la forma

9 f(x) = b x, donde b y x son números reales tal que b > 0 y b ±1. Propiedades de la función exponencial: a) El dominio es el conjunto de todos los números reales y el rango o recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos. b) El uno es un intersecto para el eje y c) El eje x es una asíntota horizontal para la grafica de f d) Si 0 b < 1, la función es decreciente, si b >1 la función es creciente, y es una función continua(sin huecos) e) La función f es una función uno a uno. Gráfica de la función exponencial Ejemplo: Grafique f(x) = 2 x Hacemos una tablita y tomamos algunos valores del dominio de x, y buscamos el valor de y. X Y ¼ 1/

10 La función exponencial natural o función exponencial de base e Al igual que π = , e = es un número irracional La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler (1727). Definición: : Para un número real x, la ecuación f(x) = e x define a la función exponencial natural o de base e. Las s calculadoras científicas y gráficas contienen una tecla para la función f(x) = e x.

11 La gráfica de f(x) = e x es: Ejercicios: Grafique las siguientes funciones exponenciales 1. f(x) = 2 -x f(x) = ( ) 3. f (x) = x f(x) = - 2 x f(x) = ( ) 6. f(x) = ( ) 7. f(x) = - 2 x 8. f(x) = -3 x 9. f(x) = 3 x 10. f(x) = - 2 x Las Leyes de los exponentes: que ya conocemos se aplican para resolver ecuaciones exponenciales. Para a y b positivos, donde a y b son diferentes de uno y x, y reales: Propiedades de igualdad de potencia

12 Si b x = b y, entonces x = y, Si en una igualdad de dos potencias cuyas bases son iguales es porque sus exponentes son iguales. Para a > 0 y b > 0, Si a x = b x, entonces a = b Si en una igualdad de dos potencias cuyos exponentes son iguales es porque sus bases son iguales Ejercicios: 1) Usa las propiedades de los exponentes para hallar el valor de x en las siguientes ecuaciones: 1. 2 x = x = x - 3 = x = x 9 = x 3x = x + 1 2x = x = 27 2 x = x -8 = 256 2) Ejercicio de práctica: Halla el valor de x: a) 2 x = 64 a) 27 x + 1 = 9 3) Ejemplos: Simplifica Ejemplo: Hallar el valor de x en e x + 1 = e 3x 1, si hay una igualdad de potencias que tienen la misma base, entonces los exponentes son iguales. x + 1 = 3x 1 y resuelve esta ecuación

13 Práctica: 1) Simplifica: (e 3x + 1 ) (e 2x 5 ) 2) Halla el valor de x en: e 3x 4 = e 2x 3) Haz la gráfica de la función exponencial natural f(x) = e -x Encuentre los intersectos con x con y de la grafica de la función dada, no grafique 43. f(x) = 2 x f(x) = 3 2x f(x) = 2 x 8 FUNCIONES LOGARÍTMICAS: La función f(x) = log b (x) es la función logarítmica de base b, b > 0, b 1 la notación log b (x) se lee logaritmo de x en base b, y llamamos a la expresión log b (x) un logaritmo. Las funciones logarítmicas son las funciones inversas de las funciones exponenciales. Como la notación f -1 se utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación para este tipo de inversas. Si f(x) = b x, es una función exponencial con base b, su función inversa es :f -(x) = log b (x). Si f(x) = log b (x) es una función logarítmica. Entonces f -1 (x) = b x,

14 PROPIEDADES DE LAS FUNCIÓNES LOGARITMICAS a) El dominio está formado por el conjunto de los números reales positivos y su rango por el conjunto de todos los números reales. b) El punto (1,0) es un intercepto en x para la grafica de f(x) c) El eje y es una asíntota vertical para la grafica de f(x) d) Si b > 1, La función es creciente Definición: El logaritmo de un número x (y = log b x), es el exponente al cual hay que elevar la base b para obtener el numero x. Esto es, si b > 0 y b ±1, entonces log b x= y si y sólo si x = b y. Ejemplos: 1) A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25? Al exponente 2, ya que 5 2 = 25. Decimos que el logaritmo de 25 en la base 5 es 2. Lo expresamos de la forma log 5 25 = 2. Entonces, log 5 25 = 2 es equivalente a 5 2 = 25 de forma exponencial.(observa que un logaritmo es un exponente.) 2) También podemos decir que 2 3 = 8 es equivalente a log 2 8 = 3. Forma exponencial Forma logarítmica b y = x y = log b x, ó log b = y 2 5 = 32 log 2 32= = 81 Log 3 81= 4 a p = w 1 2 =8 Logaritmo = exponente (si usamos la misma base) Ejercicio: escriba en forma logarítmica Log a w = p log8= 3

15 4) 3 5 = 243 5) 2-5 = 6) m n = p 7) 4 3 = 64 8) 6 2 = 36 Ejercicio: escriba en forma Exponencial 9) Log 2 16 = 4 10) Log 5 25 = 2 11) Log a s = t 12) Log = 6 13) Log u r = t Observe que log = 2 está definido, pero el log 2 0 no existe y log 3 (-5) no es real. Esto significa que: 100 es un valor del dominio logarítmico, pero 0 y -5 no lo son. Propiedades de los logaritmos: 1) el logaritmo de cero no existe 2) el logaritmo de 1 es cero en cualquier base log b 1 = 0 3) el logaritmo de la base es 1 log b b = 1

16 4) el logaritmo de una cantidad negativa no es un número real, es un número complejo. Leyes o Propiedades operacionales de los logaritmos: Si m y n son números reales mayores que cero 1) log =log +log 2) log =log log 3) log =log Propiedad de igualdad de logaritmo 1) log =log si y sólo si m = n Esta propiedad se usa para resolver algunas ecuaciones logarítmicas Ejercicio: Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar: 1) log 2 1 = 2) log 3 3 = 3) log = Ejercicio de práctica: Usa las propiedades para simplificar: 1) log 5 1 = 2) log 5 25 = 3) log = Ejercicios : Usa las propiedades operacionales de los logaritmos y desarrolla cada expresión: 1) Log 3 (2x + 5) (2x - 3) Observa que este es el logaritmo de un producto y obtenemos la suma de los logaritmos Log 3 (2x + 5) (2x - 3) = Log 3 (2x + 5) + Log 3 (2x - 3)

17 2) log =log (3 6) log (5 2) observas que anteriormente teníamos un cociente y aplicamos su propiedad operacional. Halle el valor de x, si es posible. 1. Log 3 x = 4 2. Log 2 32 = x 3. Log x 25 = 5 4. log x 9 = 3 5. log 4 x = 2 6. log 2 64 = x 7. Log 2 x = Log 16 = x Log 3 27 = 2 x Ejercicios: Usa las propiedades operacionales de los logaritmos y desarrolla cada expresión: Ejemplo 3: Usa las propiedades para escribir cada expresión como un solo logaritmo:

18 1) log 3 (x - 4) + log 3 (6) = realizamos este ejercicio aplicando las propiedades en reversa, por ejemplo observamos que tenemos una suma de dos logaritmos, esto nos indica que teníamos el logaritmo de un producto log 3 (x - 4) + log 3 (6) = log 3 [(x - 4) (6)] = log 3 (6x -2 4) 2) log 3 (12) - log 3 (4) = observamos la resta de dos logaritmo y nos indica que era el logaritmo de un cociente ) log 3 (12/4) = log 3 3 = 1. Escriba como un solo logaritmo 3) log 10 (x + 1) + log 10 (x-2) - 5 log 10 (10x) = Ejercicios: Usa las propiedades operacionales para escribir cada expresión como un solo logaritmo: 1) log 10 (5+x) + log 10 (3x) = 2) log 3 (3x + 2) - log 3 (2 x - 1) = 3) 2 log 10 (x-7) - log 10 (y+1) + log 10 (2) =

19 Logaritmos vulgares o comunes y los logaritmos naturales Los logaritmos comunes son los logaritmos de base 10. Es opcional su marca como base log significa logaritmo en base 10.. Los logaritmos naturales son los logaritmos de base e. La notación log e x se escribe ln x. se lee logaritmo natural de x Las calculadoras tienen la tecla [log] para los logaritmos comunes o base 10, y la tecla [ln x] para los logaritmos naturales. Notación: Logaritmo común: log x = log 10 x Logaritmo natural: ln x = log e x Ejercicios: Usa la calculadora para hallar estos logaritmos y exprésalo con al menos 4 cifras decimales: 1) log 12 = 2) ln 354= 3) ln 0.5= 4) log 2= 5) log 1= 6) ln =

20 7) ln e = 8) log 10 9) ln 1 10) log 1 11) ln ) ln5,423 = 13) log (-23.52) = 14) log 25,786 = Propiedad del Cambio de base: El logaritmo en una base b de un número se puede obtener a partir de logaritmos en otra base especialmente en base 10 o en base e. Cambiaremos el logaritmo de base b a base n Log b c = Ejemplo: use la propiedad del cambio de base y encuentre: a) log 3 45 = =.. = 3.465, este cambio de base facilita el cálculo. b) El ejercicio anterior se podía realizar usando logaritmo en base e Log 3 45 = =.. = Otra propiedad muy importante de los logaritmos es b logb x = x El logaritmo natural tiene todas las propiedades para los logaritmos con base b. En particular: Ejercicios: Usa las propiedades para desarrollar

21 Expresa como un solo logaritmo: Ejemplos: Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y logarítmicas para x:( resolveremos el 1 y 3 tu profesor te ayudara a resolver los demás) En el ejemplo 1, 5 3x = 29 debemos aplicarle logaritmo en ambos miembros por que no podemos expresar la cantidad con la misma base. Log 5 3x = log 29, 3x log 5 = log 29 aplicamos las propiedades operacionales buscamos los logaritmos en la calculadora y Log 5 = , log 29 = x ( ) = , 3x =.. 3x = =. x= de modo que basta con resolver esta Ecuación luego dividiendo ambos lados entre 3 tenemos: En el ejemplo 3: tenemos que: log (x+3) + log x = 1 Observamos que tenemos una suma de dos logaritmos y los vamos a convertir en un solo logaritmo Log[(x + 3) x] = 1 lo expresamos de manera exponencial y tenemos que: x 2 + 3x = 10 1, x 2 + 3x - 10 = 0 y resolviendo esa ecuación cuadrática por factorización tenemos que: (x+ 5)(x-2) =0 de modo que: x 1 =-5 y x 2 =2 el conjunto solución es cs = {2} Prueba log (x+3) + log x =1

22 Para x = -5 log (-5 + 3) + log -5 = 1 es falso Por qué? Para x = 2 Log (2+3) + log 2 = 1, usando las propiedades operacionales Tenemos log 5(2) = 1 log 10 = 1 verdadero Ejercicio de práctica: con la ayuda de su profesor resuelva las siguientes ecuaciones: GRÁFICAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS Las funciones y = b x y y = log b x para b > 0 y b 1 son funciones inversas. La gráfica de y = log b x es una reflexión sobre la recta y = x de la gráfica de y = b x. La gráfica de y = b x tiene como asíntota horizontal al eje de x mientras que la gráfica de y = log b x tiene al eje de y como asíntota vertical. Ejemplo: Las funciones y = 2 x e y = log 2 x son funciones inversas una de la otra, por tanto, la gráfica de y = log 2 x es una reflexión de la gráfica de y = 2 x sobre la recta y = x. El dominio de y = 2x es el conjunto de los números reales y el recorrido es todos los números reales mayores que cero. El dominio de y = log 2 x es el conjunto de los números reales mayores que cero y el recorrido el conjunto de los números reales.

23 EJERCICIOS DE FIN DE CAPITULO Halle el valor de la incógnita, si es posible. 1. Log a 64 = 3 2. Log 3 9 = x 3. Log 5 x = 2 (x - 1) 4. GRAFIQUE LA FUNCION f(x) = 2 5. Escribe la expresión como un logaritmo. 1 loga x + loga (3x - 4) - 3 log (5x a 1) 8. Si log 2 = , log 3 = , log , halle aplicando las a a a = propiedades de los logaritmos: a) Log a 30 b) Log a 5 3

24 c) 5 Log a Resuelve: -3x + 2 a) 5 = 10 b) Log6 x + log6 (x - 13) = Halle el valor de la incógnita, si es posible. a) Log 3 x = 2 b) Log a 81 = 4 c) Log 5 25 = x 11. Escribe la expresión como un logaritmo. 1 2 loga x + loga (x - 2) - 5 loga 3 (3x - 2) 12. Si log 2 = , log 3 = , log , halle aplicando las a a a = propiedades de los logaritmos: a) Log a 128 b) Log a 3 2 c) 3 Log a Resuelve: 2x - 1 b) 3 = 8 c) Log3 x + log3 (x - 8) = Grafica la función exponencial: f (x) = x Determinar los logaritmos pedidos, usando las propiedades y tomando en cuenta que si log a 2 = ; log a 3 = ; log a 5 = Log a 5

25 80 Log a 5 Log a Resuelve las siguientes ecuaciones: 5x 2 a) 3 = 8 b.) Log5 x + log5(x + 4) = Grafique la siguiente función exponencial. f (x) = x Determinar los logaritmos pedidos, usando las propiedades y tomando en cuenta que: Log b 2 = 0.232; log b 3 = ; log b 5 = Log b 3 45 Log b 3 Log b Resuelve las siguientes ecuaciones: 3x 3 a) 5 = 8 b) Log6 x + log6 (x - 13) = Graficar la siguiente ecuación: f(x) = (x - 2)(x + 3)(x - 1) 20. Determinar los logaritmos pedidos, usando las propiedades y tomando en cuenta que si log a 2 = ; log a 3 = ; log a 5 = (15 puntos) log a 100 log a log a Resuelve cada ecuación 7 3x 1 = 9 5 2x 1 =125

26 log 4 x + log 4 (x + 6) = 2 RAZONES Y PROPORCIONES RAZON: Es la comparación entre dos cantidades a y b. a) Si dicha comparación se realiza mediante una sustracción se llama razón aritmética Ejemplo: 1. la razón aritmética de los números a y b es: a b 2. La razón aritmética entre b y a es: b a b) Pero si la comparación de las dos cantidades a y b se realiza mediante una división se llama razón geométrica. Ejemplo: a. la razón geométrica entre a y b es: a / b b 0. b. La razón geométrica entre b y a es: b / a a 0. Observa que el orden es importante. Ejemplo 3. Las edades de Reyna y John son 48 y 12 años se observa que : a) = 36 Razón aritmética (Sustracción) 48 excede a 12 en 36 unidades. b) 48/12 = 4 Razón geométrica (División) 48 es a 12 4 veces Por lo tanto si tenemos dos cantidades: a y b. Razón aritmética entre a y b Razón geométrica entre a y b a b = D a / b = R, b 0 Donde:

27 a : Antecedente b: Consecuente D : Valor de razón aritmética R: valor de la razón geométrica Observaciones: a) La razón geométrica es la que tiene más uso. de modo que si no indicamos el tipo o clase de razón nos referimos o entenderemos que es una razón geométrica, cuando la razón sea aritmética siempre mencionaremos el tipo de razón, en la geométrica solo diremos razón y se sobreentiende que es la razón geométrica.. b) Las comparaciones también las podemos dar para más de 2 cantidades, por Donde: ejemplo tres números se encuentran en la misma relación que los números 6, 10 y 14 a: Antecedente b: Consecuente D : Valor de razón Aritmética R: valor de la razón Geométrica Problemas sobre razones 1. En cada uno de los siguientes ejercicios marca con un círculo la respuesta correcta. A) El segmento de recta AB mide 15 metros y el segmento de recta CD mide 30 metros. La razón de sus medidas es: 1) 2 : 1 2) 1 : 3 3) 1 : 2

28 4) 30 : 15 B) El área del triangulo ABC es 20 pulgadas cuadradas y el área del triangulo A B C es 200 pulgadas cuadradas. La razón de sus áreas es: 1) 10 : 1 2) 1 : 10 3) 100 : 2 4) 200 : 20 C) La razón de 2 pies a 6 pulgadas es: 1) 4 : 1 2) 1 : 4 3) 2 : 6 4) 3 : 1 D) la razón de 8 onzas a 7 libras es: 1) 8 : 7 2) 7 : 8 3) 14 : 1 4) 1 : 14 E) La razón de 3 centímetros a 1 metro es: 1) 3 : 1 2) 1 : 3 3) 3 : 100 4) 100 : 3 F) Las aristas de dos cubos están en razón de 2 : 3. La razón de su volumen es: 1) 8 : 27 2) 2 : 3 3) 2 3 4) 6 : 9

29 G) Los radios de dos círculos están en razón de 4 : 9. La razón de sus áreas es: 1) 1 : 44 2) 16 : 81 3) 2 : 3 4) 2 3 H) El área de un rectángulo es 12 pulgadas cuadradas y el de otro rectángulo es 12 pies cuadrados. La razón de sus áreas es: 1) 1 : 144 2) 12 : ) 1 : ) 144 : 1 I) Un recipiente A tiene una capacidad de 6 centímetros cúbicos y un recipiente B una capacidad de 3 decímetros cúbicos. La razón de sus volúmenes es: 1) 6 : 3 2) 1 : ) 1 : 2 4) 1 : 500 Exprese en forma decimal las razones siguientes: a) 1 : 2 b) 2 : 3 c) -3 : 4 d) 8 : 5 e) f) 20 : 7 g) -5 : 3 h) 1 : 5 i) Proporción Es la igualdad de dos razones geométricas de una misma clase y que tienen el mismo valor

30 CLASES DE PROPORCIÓN 1) PROPORCIÓN ARITMÉTICA a b = c d a: es primer termino b: segundo término c: Tercer término d: cuarto termino Ejemplo se tiene 4 objetos cuyos precios son 15, 13, 9 y 7 los cuales se comparan mediante la sustracción del siguiente modo: = = = 9-7 Es una proporción aritmética, (Sustracción) Interpretando: El precio de 15 excede al precio de 13 tanto como el de 9 excede al de 7 TIPOS DE PROPORCION ARITMETICA Continua Discreta a b = b c m n = p q b = (a + c)/2 N diferente de p Donde: b: media diferencial o media aritmética c: tercera diferencial. q: cuarta diferencial NOTA: En toda proporción aritmética se cumple que: Suma de Extremos = Suma de Medios. 7 4 = = ) PROPORCION GEOMETRICA = a : Primer término b: Segundo término c: Tercer término d: cuarto término.

31 En donde: a y d: se llaman términos extremos b y c: términos medios si = Esta proporción se puede escribir a : b : : c : d se lee: a es a b tanto como c es a d Ejemplo: Se tiene 4 recipientes cuyas capacidades son: 21 L, 7 L, 15 L, 9 L cuales se comparan mediante la división del siguiente modo: las 21Ltrs / 7Ltrs = 3 15Ltrs / 5ltrs = 3, es decir que: 21 : 7 : : 15 : 5 Entonces: = Interpretación: La capacidad de 21 L es a la capacidad de 7 L como la de 15 L es a la de 5 L. TIPOS DE PROPORCION GEOMETRICA Continua Discreta a: b: : b: c m : n :: p:q b = n p LEY GENERAL DE LAS PROPORCIONES En toda proporción geométrica se cumple que: el Producto de los extremos es igual al Producto de medios Ejemplos: en cada proporción encuentre el valor que corresponde a x 1. 3 : 5 : : 6 : x si aplicamos la ley general de las proporciones 3 x = 5 (6)

32 = x = = si aplicamos la ley general de las proporciones 2 x = 8 (6) = x = 24 En las proporciones siguientes encuentra el valor que debe tener x e identifica extremos y medios de la proporción: 1. X : 3 : : 4 : : 3 : : x : : 3 = 3 : x 4. 5 : 4 : : 20 : x 5. 6 : x : : 10 : 5 6. X : 2 : : 4 : 8 Propiedades de una Proporción Geométrica Sea la proporción: a / b = c / d 1. (a + b) /a = (c + d) / c; ley composición (a + b) / (c + d) = a / c ley alternación de los medios 3. ( a b) / a =( c d) / c ley de división 4. ( a + b) / b = (c + d) / d ; 5. ( a- b) / b = (c d) / d 6. ( a + b) / (a b ) = ( c + d) / ( c d ) CUARTA, TERCERA Y MEDIA PROPORCIONAL Definición: sean a, b, c números reales, b 0. El número real x es la cuarta proporcional de a, b, c si y solo si a : b : : c : x Definición: sean a, b, números reales, b 0. El número real x es la tercera proporcional de a, b si y solo si a : b : : b : x x 0

33 Definición: sean a, b, números reales, b 0. El número real x es la media proporcional de a, b si y solo si a : x : : x : b x 0 Ejemplos: 1. Encuentre la cuarta proporcional entre 4, 3, 2 Solución 4 : 3 : : 2 : x = () =. 2. Encuentre la tercera proporcional entre 2, 6, Solución 2: 6 : : 6 : x = () = Encuentre la media proporcional entre 2 y 32 Solución 2: x : : x : 32 = () = 8 Ejercicios 1. Encuentre la cuarta proporcional entre a) 3, 6, 2 b) 8, 2, 4 c) 9, 12, 3 d) 8, 2, 4 e) 30, 10, 6 f) 2, 60, 4 c. Encuentre la tercera proporcional de: 1. 2 y y y y y y 6 d. Encuentre la media proporcional entre 1. 5 y y 3

34 3. 4 y y y y y 9 e. Encuentre la tercera proporcional entre: 1. 6 y y y y y y y 4 Analiza estos conceptos a) Propiedad 1.. En toda proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos. En símbolos: a : b : : c : d b) Propiedad 2. En toda proporción se puede cambiar ar los medios, uno por otro, de lo cual resulta otra proporción. O sea: c) Propiedad 3. En toda proporción se pueden invertir las razones, de los cual resulta otra proporción. Esto es: d) e) Propiedad 4. En toda proporción pueden restarse de los antecedentes sus respectivos consecuentes, de lo cual resulta otra proporción. Realizando la operación propuesta se tiene: f) g) Propiedad 5. En toda proporción pueden tomarse a los dos antecedentes sus respectivos consecuentes, de lo cual resulta otra proporción. Esta propiedad se escribe como sigue:

35 h) i) Propiedad 6. En toda serie de razones iguales la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes, como uno cualquiera de los antecedentes es a su consecuente. Sean las razones iguales: j) k) entonces, según la propiedad enunciada: l) ó SERIE DE RAZONES GEOMETRICA EQUIVALENTES a 1/b 1 = a 2 / b 2 = a 3 / b 3 =.=a n / b n = k Donde: K es constante de proporcionalidad Ejemplo: 30 / 5 = 24 / 4 = 72 / 12 = 42 / 7 = 6 Ejemplo: Dos hermanos tienen 15 y 21 años respectivamente dentro de cuantos años la razón de sus edades es 9 : 11? Solución: Sea x el número de años a determinar. Dentro de x años las edades de los hermanos serán: (15 + x) y (21 + x) respectivamente Luego, (15 + x) : (21 + x) : : 9 : 11 ahora bien,

36 = = = 11 (15+)=9 (21+) = = = = 2 =24 =12 Razones y proporciones aplicados en la interpretación de los negocios El estudiante debe lograr entender Interpretación, generalización y modelos matemáticos en las diferentes situaciones de la vida cotidiana, particularmente las relacionadas con la administración de negocios utilizando las razones y proporciones Asimismo se busca el razonamiento y la forma didáctica de aplicar los problemas y al desarrollo profesional, y sus posibles soluciones Explicar las características de los problemas como una generalización de sus posibles respuestas y aplicarlas hacia el campo profesional El estudiante deberá desarrollar de manera conceptual y grafica y el razonamiento en el momento de resolver problemas de aplicación de las razones y proporciones. PROBLEMAS SOBRE PROPORCIONES Ejemplo 1: encontrar los valores de x, y, z si x : y : z = 2 : 5 : 6 y además x + y z = 11, hallar x, y, z solución: =, : =, : = Despejando cada variable x = 2 k, y = 5k z = 6 k sustituya en la ecuación x + y z = 11 2k + 5 k 6 k = 11, k = 11

37 x = 2(11) =22 y = 5(11) = 55, z = 6(11) = 66 Ejemplo 2: Una inversión de $ 5,500 produce una utilidad de $. 385 al año, otra inversión produjo una utilidad de $ 560 a la misma tasa de interés durante el mismo tiempo. Cuál era el valor de la segunda inversión? Resolución: use una proporción o use una regla de tres simple Ejemplo 3: Si quinientos alumnos de la especialidad de negocios internacionales y administración realizan un examen de ingreso del curso de matemática de los cuales la relación de los que aprobaron y las que no aprobaron es de 7 es a 3 Cuántos alumnos aprobaron. Resolución: Aprobaron 7k = 7(50) = 350 alumnos aprobaron

38 Ejemplo 4: El dinero de Juan es al dinero de Pedro tanto como 7 es a 3. Si Juan gasta $ 200 le queda $150 Cuánto de dinero tiene Pedro? Halla el total de Juan y Pedro. Resolución: sea J el dinero de Juan Sea P el dinero de Pedro Ejemplo 5: La edad de un padre es a la edad de su hijo como 7 a 2, además entre las edades sumas 72 qué edad tiene el hijo hace 2 años? Resolución: sea p la edad del padre = 7 k Sea H la edad del hijo = 2k Edad del hijo hace 2 años = 2 k 2 P = 7k H = 2k

39 La edad del hijo hace 2 años era 14 años, actualmente tiene 16 y el padre tiene 56 años. Ejercicio: Resuelva el siguiente problema En una bodega la razón de varones que toman cerveza a una gaseosa es 6 / 8. Si en la bodega hay 60 clientes varones cuántos de ellos toman una cerveza?. Si la cerveza cuesta $ 45 cuántos fueron los ingresos del día por la venta de cerveza a los varones? Repaso de fin de la unidad Recuerda : Qué es una Razón entre dos cantidades?, cuándo es aritmética y cuando es geométrica? Si en un curso existe un total de 42 alumnos, de los cuales 10 son mujeres y 32 hombres, podemos comparar estas cantidades de personas de diversas formas: a) De un total de 42 alumnos, 10 son mujeres b) De un total de 42 alumnos, 32 son hombres Existe una diferencia de 22 personas entre las cantidades de hombres y mujeres, a favor de los hombres Por cada 5 mujeres hay 16 hombres en el curso El cociente entre la cantidad de mujeres y la de hombres es 0,3125 Por cada hombre hay 0,3125 mujeres ( Qué sentido tiene esto?, cómo se interpreta?) Ahora ustedes. Completen: 1. cociente entre la cantidad de hombres y mujeres es 2. Por cada 16 hombres hay mujeres en el curso 3. El cociente entre la cantidad hombres y la de mujeres es 4. Por cada mujer hay hombres ( qué sentido tiene esto?, cómo se interpreta?)

40 Recuerda Qué es una Proporción?, Presta atención a los siguientes ejemplos: 1 : 2 y 2 : 4 forman una proporción, pero 1 : 3 y 2 : 4 No 3 : 4 y 6 : 8 forman una proporción, pero 3 : 4 y 5 : 8 No Tenemos una proporción cuando hay una igualdad de dos razones. Cuándo dos razones son iguales? NO OLVIDE ESTO: Propiedad fundamental de las Proporciones: En una proporción se cumple siempre que: el producto de los extremos es igual al producto de los medios. EJERCICIOS CON RAZONES Y PROPORCIONES Resolver los problemas 1. Un segmento de 50 cms. se divide en dos partes cuyas longitudes están en la proporción 2 : 3 Hallar las longitudes de ambas partes. 2. Encontrar dos números enteros positivos cuya razón 1 : 5 y que sumándole 3 unidades están en razón 5 : Qué cantidad x hay que restar a los números 73 y 16 para obtener dos números cuya razón es 13 : Encontrar dos números enteros positivos cuya razón es 7 : 3 y que sumándole 5 unidades su razón es 23 : 7 5. Qué cantidad x hay que sumar a los números 11 y 17 para obtener dos números cuya razón es 16 : Si x : y : z = 2 : 3: 4 y 2x 3y + 5z =125, encuentre x, y, z. 7. Si a : b : c = 4 : 5 ; 7 y a + c = 44, encontrar b 8. Dividir 175 en 4 partes proporcionales a : 2, 5, 7 y 11

41 9. Un segmento de 120 cms de largo se divide en 3 partes que están en razón de 1 : 2 : 3 hallar las longitudes de cada partes. 10. Dos nueros enteros positivo están en razón de 17 : 3, si se restan dos unidades del mayor y 3 unidades del menor se obtienen dos números cuya razón es 32 : 3, encuentre los números. 11. Dividir 175 en cuatro partes proporcionales a 2, 5, 7, Un segmento se divide en dos partes que están a razón 1: 2: Dos números positivo están en razón de 17 : 3, si se restan dos unidades del mayor y 3 unidades del menor se obtienen dos número cuya razón es 32 : Encuentre los números. 15. Se sabe que la temperatura expresada en grado Celsius es c y en grado Fahrenheit es f se cumple que c: 5 : : (F 32) :9 a) Exprese en Fahrenheit 20 c, 40 c, 10 c. b) Determine las escalas en que c y f son iguales Resuelva estos problemas 1. En una feria de animales por 6 loros se canjean 3 docenas de codornices. Cuántas codornices se necesitan para canjearlos por 5 loros? A) 30 B) 28 C) 25 D) En un puesto de frutas las naranjas se venden a 3 por 5 pesos. Cuántos pesos se pagará por 2 docenas de naranjas? A) 40 B) 42 C). 50 D) Para alimentar a 8 ovejas se necesitan 44 kg. de pasto. A cuántas ovejas se podrá alimentar con 110kg. de pasto al día? A) 20 B) 18

42 C) 15 D) Si 6 kg. de carne cuestan $ 75, Cuántos pesos se pagará por 8 kg de carne? A).120 B).90 C) 80 D) En un circo, para alimentar a 3 tigres se necesitan 40 kg. de carne por día. Cuántos kg. de carne diaria se necesitarán para alimentar a 12 tigres? A) 180 B) 120 C) 150 D) Un carro recorre 150km. en 2 horas. Cuánto recorrerá en 3 horas? A) 220km. B) 225km. C) 180km. D) 245km. 7. En una caja hay 200 caramelos de dos sabores: limón y naranja. Si por cada caramelo de limón hay 3 de naranja, Cuántos caramelos de naranja hay en la caja? A) 80 B) 150 C) 120 D) Para preparar el menú de un batallón de 136 soldados se necesitan 34kg. de arroz. A cuántos soldados se les puede preparar el menú con 7kg. de arroz? A) 25 B) 30 C) 28

43 D) Una vaca da 65 litros de leche en 4 días. Cuántos litros debe dar en 16 días? A) 130 B) 260 C) 240 D) 360 Ejercicios: Resuelva los siguientes ejercicios, colocando el planteo o el desarrollo de cada uno. 1) La razón entre dos números es 8 : 3 y su diferencia es 55. Hallar los números. 2) Las edades de un padre y su hijo están en la razón 10:3. Si entre ambos tienen 78 años, cuántos años más tiene el padre que el hijo? 3) Dos personas se reparten U$ 1200 de modo que sus partes estén en la razón 8:4. Qué cantidad le toca a cada uno? 4) Una persona solicita un préstamo a una institución por $ La institución accede al préstamo bajo las siguientes condiciones: deberá devolverlo en 6 cuotas que estén en la razón 4:3:3:2:1:1, así no le cobrará intereses. Si él acepta, cuánto paga cada mes 5) Un estadio de básquetbol tiene capacidad para personas, ubicando a 50 en cada corrida de asientos. Si se instalan 80 asientos por corrida, cuál será la capacidad del estadio? 6) Si se gastan $ en llenar un estanque de bencina de 40 litros, cuántos litros alcanzan a comprar si se dispone de $6.336? 7) Cinco secretarias escriben 100 cartas al día. Cuántas cartas escriben 8 secretarias? 8) Dos personas arriendan una hacienda. Una de ellas ocupa cinco onceavos de la hacienda y paga, mensualmente $ Cuánto le corresponde pagar mensualmente a la otra persona? 9) En ocho cajas iguales hay 56 dados, cuántos dados habrán en veinte cajas? 10) Por el alquiler de cinco videos, que están en promoción, cobran

44 $ De cuánto dinero debo disponer para alquilar tres videos? 11) Doce cajones contienen 960 manzanas. Cuántos cajones se necesitan para almacenar manzanas? 12) para pintar una sala cuyos muros tienen una superficie de 48 m2, se usaron cuatro litros de pintura. Cuántos litros se necesitan para pintar una superficie de 60 m2? 13) Hay diapositivas que miden 3,5 cm de largo por 2,5 cm de ancho. Una proyectora de una imagen de ellas de 80 m de ancho, cuántos cm de largo tendrá la imagen proyectada? 14) Dos ruedas dentadas están engranadas. Tienen 12 y 24 dientes respectivamente. Cuántas vueltas habrá dado la segunda, cuando la primera ha dado 144 vueltas? 15) Un padre desea repartir $ entre sus dos hijos, en forma inversamente proporcional a las edades, que son 14 y 16 años respectivamente. Cuánto dinero le corresponde a cada uno?. 16) En 12 días, cuatro personas hacen un trabajo. Cuántos días se demorarán seis personas en realizar el mismo trabajo? 17) Una casa se pinta en veinte días con 40 trabajadores, cuántos trabajadores se necesitarán si se quiere pintar la casa en 80 días? 18) En los piques de clasificación, el auto líder demoró 2,5 minutos en dar una vuelta a la pista a 240 km/h. Si el segundo auto demoró 2,8 minutos, a qué velocidad promedio dio vuelta a la pista? 19) Una travesía en velero por la bahía demora 50 minutos a 80 km/hr. Si por problemas de viento y marejadas no se puede desarrollar más que a una velocidad de 50 km/hr, cuánto tiempo empleará la travesía? 20) Doce obreros hacen un camino de 144 m. Cuántos metros harán 42 obreros en las mismas condiciones? 21) Un jardinero planta un sitio de 50 m2 en seis horas. Cuánto demorarán dos jardineros en plantar un sitio de 60 m2, en iguales condiciones?. 22) Doce animales consumen 300 kilos de alimento en 30 días. En cuántos días, 60 animales consumirán 600 kilos de alimento? B) aprende Otras Propiedades de las proporciones Si, entonces:

45 a) Alternar Extremos: b) Alternar Medios: c) Permutar: d) Invertir: e) Componer respecto al Antecedente y Consecuente respectivamente: f) Descomponer respecto al Antecedente y Consecuente respectivamente: g) Componer y descomponer a la vez: Dos cantidades son recíprocas (o inversas) cuando su producto es igual a la unidad. Veamos, si esto es cierto, para r1 y r2: r1 x r2= Ejemplo: Si un hombre pesa 80 Kg., y su hijo tiene un peso de 40 Kg. Cuántas veces será mayor el peso del hombre, respecto al peso del hijo?

46 Expresemos la razón del peso del hombre al peso del hijo. W = peso del hombre = 80 Kg. W = peso del hijo = 40 Kg. ó W=2w El peso del hombre es dos veces mayor que el peso del hijo. Las cuatro cantidades que aparecen en una proporción se llaman términos de la proporción. a) El primero y tercer términos se llaman antecedentes. b) El segundo y cuarto términos se llaman consecuentes. c) El primero y cuarto términos se llaman extremos. d) El segundo y tercer términos se llaman medios. Variaciones. Las cantidades que intervienen en una fórmula matemática son constantes cuando tienen un valor fijo y determinado y son variables cuando toman diversos valores. Variación directa. Cuando dos variables x, y están relacionadas de tal manera que la razón es igual a una constante (la razón no cambia), decimos que y varía directamente con x. El significado anterior se expresa en símbolos matemáticos de la siguiente manera: y varia directamente con x, significa que = constante = k donde: k se llama constante de proporcionalidad (k 0)

47 Puesto que = k, es equivalente a y = k x, las dos ecuaciones: = k ó y = k x, representan una variación directa. Variación inversa. Dadas dos cantidades pueden ocurrir que al aumento de una, corresponda una disminución para la otra; o que a toda disminución de una, corresponda un aumento para la otra; entonces se dice que las dos cantidades son inversamente proporcionales donde k = a b Si una varía inversa y proporcionalmente con otra, entonces la primera es igual al producto de una constante por el recíproco de la segunda. (Estos temas fueron tratados en mat 101 y te los incluimos aquí a manera de repaso) Proporcionalidad o las variaciones La proporcionalidad o variación: : es una relación entre magnitudes medibles. Es uno de los escasos conceptos matemáticos ampliamente difundido en la población. Esto se debe a que es intuitiva y de uso muy común, se usa en algunas investigaciones científicas para describir relaciones entre cantidades variables. Ejemplo: Un carro que se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme (la velocidad es constante) y la distancia y el tiempo son las variables. D = V T hágase de cuenta que v = k(constante de proporcionalidad). Veamos la tablita si v = 10 m/s T 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s D 10 m/s 20 m/s 30 m/s 40 m/s 50 m/s

48 Observa que si t = 1 s, la distancia es 10m, pero si t = 2 s, o sea que, se duplica también d se duplica de 10m/s a d =20 m y asi sucesivamente. Observa que la razón entre d y t =10/, =10/, =10/, =10/, =10/ es un valor constante = Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida respectivamente por el mismo número Ejemplo: Un automóvil consume 4 galones de gasolina por 120 km de recorrido Cuantos kilómetros recorre con 12 galones? La variable independiente es x la cantidad de gasolina y y el kilometraje dado el rendimiento por galón. Datos X = 4 g Y = 120 km. k = K = =30/ Observamos que las magnitudes son directas Si la razón o cociente entre ellas es un valor constante. La constante de proporcionalidad es k = 30 km/galón 30 km/g es la constante de proporcionalidad y podemos elaborar una tabla de valores hasta llegar a 12 galones o realizar la formula para variables que son directamente proporcionales. Y= k x, y = 30 km/g. 12 g Y = 360 km. galones kilometro Con 12 galones de gasolina, el auto recorre 360 kilómetros: Mientras más kilómetros se recorran, mas galones de gasolina de consumen. El número de kilómetros recorridos es directamente proporcional (D.P) al número de galones de gasolina. Siempre que las demás condiciones se mantuvieran constantes. Esto es, que no se modificaran las condiciones climáticas o geográficas que modificaran el consumo. Sean x, y dos variables para las cuales a cada valor de x le corresponde un único valor de y decimos que y varia directamente con x si y solo si k = Ejemplos: k 0

49 a) el área de un circulo varia con el cuadrado del radio k = k = π. b) La fuerza varia con la aceleración F = m. a donde la constante es m. c) El volumen de un esfera varia con el cubo del radio v = 4/3 π r 3, y la constante K= 4/3 π La proporcionalidad directa: es un caso particular de las variaciones lineales. El factor constante de proporcionalidad k puede utilizarse para expresar la relación entre cantidades. Si y es directamente proporcional a x se escribe y = k x, de ahí que k = k 0, y α x = por lo tanto y α x y = k x Esto significa que en la misma proporción que crece x así mismo crece y, o que en la misma proporción que decrece x así mismo decrece y. Ejemplos:: para cada una de la siguiente proposición escriba la ecuación correspondiente en forma de cociente k =? a) La longitud C de una circunferencia es directamente proporcional a su diámetro d la constante k es π b) El peso p de cualquier liquido varia directamente con el volumen v c) El área de un triangulo equilátero es directamente proporcional al cuadrado de su lado d) El volumen de un cubo varia directamente con el cubo de su arista e) El volumen v del cono circular recto de altura constante es directamente proporcional al área de la base Ejercicios: 1) Si la variable A es directamente proporcional a una variable B, y A = 20 cuando 2) B =10 Hallar la constante de proporcionalidad. a) hallar el valor de A cuando B = 2.5.

50 3) Si la variable M es directamente proporcional a una variable N +3, y M =12 cuando N =3 Hallar la constante de proporcionalidad. k a) Hallar el valor de M cuando N = 5 4) Si la variable A es directamente proporcional a una al cuadrado de B sumándole 1 B, y A = 15 cuando B =2 Hallar la constante de proporcionalidad. k a) Hallar el valor de A cuando B = 3 5) Si la variable L es directamente proporcional a 3G - 5, y L = 21 cuando G = 4 Hallar la constante de proporcionalidad. k a) Hallar el valor de L cuando G = 6 6) Si la variable S es directamente proporcional a una variable Q, y S = 4 cuando Q =8 Hallar la constante de proporcionalidad. a) Hallar el valor de L cuando Q = 68 RELACIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA Para el pago de transporte de una excursión se dispone de $6,000. La cantidad aportada por persona depende del numero de persona que asistan a la excursión Número de personas Cantidad aportada por persona $6000 $3,000 $2,000 $1,500 $1,200 $1000 Observa que: 1 x 6,000 = 6,000, 2 x 3,000 = 6,000, 3 x 2,000 = 6,000 4 x 1,500 = 6,000

51 5 x 1,200 = 6,000 6 x 1,000 = 6,000 Es claro que el numero de persona que asistirá a la excursión multiplicado por la cantidad de dinero aportada por cada uno tiene que ser igual a $ 6,000 Si el número de persona aumenta, el pago por persona disminuye en la misma proporción. Se denomina relación de proporcionalidad inversa: a la proporcionalidad que se establece entre una variable independiente x y una variable dependiente y, de tal forma que el producto de ambas es siempre igual a una constante k. y y = por tanto x y = k k 0 Esta relación expresa que: cuando x se duplica el valor de y queda dividido entre 2, si se x triplica, el valor de y queda dividido entre 3, si x se cuadruplica el valor de y queda dividido entre 4 y así sucesivamente Si x se divide entre 2, el valor de y queda multiplicado por 2, Si x se divide entre 3, el valor de y queda multiplicado por 3, Si x se divide entre 4, el valor de y queda multiplicado por 4 y así sucesivamente. Cuando dos cantidades son inversamente proporcionales, una disminuye al aumentar la otra y viceversa. Ejemplos: 1. El volumen de un gas a temperatura constante es directamente proporcional a su presion. 2. En igualdad de fuerza la aceleracion que adquiere un cuerpo es inversamente proporcional a su masa. 3. En un triangulo de area constante la longitud de la altura es inversamente proporcional a la longitud de la base 4. La iluminacion I, de un objeto por un foco luminoso varia inversamentecon el cuadrado de la distancia d entre ellos Ejercicios: ESCRIBA UNA ECUACIÓN QUE ESTABLEZCA LA RELACIÓN ESPECIFICADA ENTRE LA VARIABLES DADAS

52 a) X es inversamente proporcional con el cuadrado de y b) A varia inversamente con el duplo de la raíz cubica de b c) M varia inversamente con el triple del cuadrado de n d) P varia inversamente con el cociente de el cuadrado de q entre 5 la fórmula para el área de un rectángulo. Si A es el área, L la longitud y H el ancho, A = L H Supongamos que se comparan varios rectángulos, todos de la misma área pero de longitudes y anchos variables.entonces LH = A tiene la misma forma que x y = k, donde A y k son las constantes. Así, L es inversamente proporcional a H, y H es inversamente proporcional a L, Si el área constante es 12 cm 2 esta relación se transforma L H = 12 la constante k = 12 Si la longitud es 4 cm, el ancho se determina como sigue: =, = =3, y x = k, Si el área constante es 12, Es el ancho de un rectángulo disminuye de 3 a 2 cuando la longitud aumenta de 4 a 6, pero si la longitud varia de 4 a 2 el ancho se duplicaria de 3 a 6. Otro ejemplo de variación inversa se encuentra en el estudio de la electricidad. La corriente que circula en un circuito eléctrico a potencial constante varía inversamente a la resistencia del circuito. Supongamos que la corriente es 10 amperes cuando la resistencia R es 11 ohms y que se desea determinar la corriente cuando la resistencia es 5 ohms. Puesto que I y R varían inversamente, la ecuación para la relación es IR = k, donde k es el voltaje constante. Por tanto, (10)(11) = k. k =110, Además, cuando la resistencia es 5 ohms, (5) (22 = k. La corriente es 22 amperes cuando la resistencia es 5 ohms. Cuando la resistencia disminuye de 11 a 5 ohms, la corriente aumenta de 10 a 22 amperes. Un problema típico de variación que tiende a confundir al, principiante es el que implica relaciones de velocidad o relaciones de trabajo. Por ejemplo, si 7 hombres pueden completar un trabajo en 20 días, cuánto requerirán 50 hombres para realizar el mismo trabajo? La aproximación estrictamente mecánica a este problema daría como resultado la siguiente solución falsa, al relacionar hombres a hombres y días a días:

53 PROBLEMAS: Exprese la ecuación para hallar k como constante de proporcionalidad en función de las variables especificadas 1) La razón, r, a la cual un buque se desplaza cierta distancia d, varía inversamente con el tiempo t. 2) El volumen V, de un gas, varía inversamente a la presión, p. Resuelve este problema 1) Un barco que se mueve a una velocidad de 15 nudos necesita 10 horas para trasladarse a determinada distancia. Si la velocidad se aumenta a 25 nudos cuánto requerirá para atravesar la misma distancia? EJERCICIOS: 2) Si la variable A es inversamente proporcional a una variable B, y A = 20 cuando B =10, Hallar la constante de proporcionalidad. a) Hallar el valor de A cuando B = ) Si la variable M es inversamente proporcional con N + 4, si M = 12 cuando N =2 Hallar la constante de proporcionalidad k. b) Hallar el valor de M cuando N =5 4) Si la variable A es inversamente proporcional con el cuadrado de B, restándole 1, A = 12 cuando B = 3, Hallar la constante de proporcionalidad k. b) Hallar el valor de A cuando B = 2 5) Si la variable L varia inversamente proporcional con el duplo de la raíz cuadrada de G, si L = 16 cuando G = 9 Hallar la constante de proporcionalidad k. b) Hallar el valor de L cuando G = 25 6) Si la variable S es inversamente proporcional al cuadrado de Q, si S =14 cuando Q =3 Hallar la constante de proporcionalidad k. b) Hallar el valor de S cuando Q = 6. VARIACIONES COMBINADAS (variación conjunta) Si y varia conjuntamente con x, z entonces y = k x z

54 Ejemplo 1: 1. El volumen de un cono varia conjuntamente con el cuadrado de su radio y su altura 2. El costo c de un trabajo varia conjuntamente con el numero de trabajadores que los realizan y el número de días en que se realiza Si y varia directamente con x e inversamente con z, entonces y = Ejemplo1: 1. El numero N de obreros necesarios para realizar un trabajo, si tienen igual rendimiento, es directamente proporcional a la cantidad de trabajo por hacer c, e inversamente proporcional al tiempo t estipulado para realizarlo. = 2. Una variable w varía directamente proporcional con el producto de a y b e inversamente proporcional con el cuadrado de f, a) exprese la fórmula Solución Como a y b son directamente proporcional a w deber ir multiplicando en el numerador y el cuadrado de f debe ir en el denominador = de ahí que el valor de k se encuentra con la fórmula = Observas en la ecuación que: W y el cuadrado de f son inversamente proporcional, a y b son inversamente proporcional, w y a son directamente proporcional, w y b son directamente proporcional. a) Hallar el valor de k si cuando w=8, f =4, a =2 b=32 b) Hallar el valor de w usando el valor de k encontrado si a = 9, b= 6 y f = 3. Ejercicios: 1) Una variable A es directamente proporcional con el producto de B y C e inversamente proporcional al cubo de d, escribe la formula. Si A=16, B = 6, C = 4 y D=2 hallar el valor de k. a) Hallar el valor de A cuando B=32, C=12, D=4.