ANALISIS ESTADISTICO DE VALORES EXTREMOS

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1 ANALISIS ESTADISTICO DE VALORES EXTREMOS Aplicacioes e hidrología Gloria Elea Maggio Dr. Jua F. Aragure 84 - Bueos Aires oldor@oldor.com.ar

2 R E S U M E N El objetivo de este trabajo es ofrecer ua guía práctica para el estudio estadístico de tedecias de valores extremos que icluye expresioes de cálculo, métodos de ajuste, gráficos y tablas. Luego de ua itroducció referida a coceptos geerales de estadística clásica, se pasa a desarrollar la teoría de valores extremos para cotiuar co ua exposició detallada de la aplicació de la fució de Gumbel a este tipo de problemas y ua sítesis del empleo de las fucioes aplicadas a los logaritmos de los datos, es decir Galto, Fréchet y log-pearso. Por último, se extrae coclusioes de tipo geeral y se preseta u ejemplo cocreto viculado co el estudio del emplazamieto de ua cetral uclear. Las técicas aquí expuestas puede ser aplicadas a feómeos meteorológicos, tales como lluvias y vietos, a caudales o cotas hidrométricas de cursos fluviales y a cualquier otro problema e el que requiera coocer el comportamieto de los máximos o míimos de ua població, e lugar del típico aálisis de valores medios. NOLDOR S.R.L. i

3 TABLA DE CONTENIDO. CONCEPTOS BASICOS DE ESTADISTICA.... PROBABILIDAD.... SUCESOS SIMULTANEOS..... Regla de multiplicació Regla de adició FUNCIONES DE DISTRIBUCION PARAMETROS ESTADISTICOS Mometos Fució geeratriz Posició Valor medio Modo Mediaa Dispersió Desviació estádar Recorrido itercuartil Coeficiete de variació Asimetría Coeficiete de asimetría relativa Coeficiete de Pearso Aplaamieto Estimadores....5 DISTRIBUCIONES TEORICAS Prueba de Beroulli Distribució biomial Distribució de Poisso Distribució ormal Distribució Chi Cuadrado Distribució Gamma PRUEBAS ESTADISTICAS Prueba de Chi Cuadrado Prueba de Kolmogorof - Smirof.... DISTRIBUCIONES EXTREMAS PROBABILIDADES Y PERIODOS DE RETORNO FACTORES DE FRECUENCIA DISTRIBUCIONES TEORICAS Fució de Gumbel Fució de Fréchet Fució de Pearso tipo III Fució de Galto POSICIONES GRAFICAS AJUSTE DE CURVAS Método de máxima verosimilitud Método de los mometos Regresió míimo cuadrática RIESGO DISTRIBUCION DE GUMBEL PARAMETROS ESTADISTICOS DETERMINACION DE LA RECTA DE AJUSTE Método de Gumbel Ordeamieto de los datos Asigació de probabilidades Valores de la variable reducida Graficado de los datos Coeficietes de ajuste NOLDOR S.R.L. ii

4 3.. Método de Lieblei Selecció de subgrupos Cálculo de los estimadores Cálculo de la variaza INTERVALOS DE CONFIANZA Método de Gumbel Método de Lieblei Método de Kaczmarek Método de Berier-Vero Comparació etre métodos PRUEBAS DE HIPOTESIS DISTRIBUCIONES LOGARITMICAS DISTRIBUCION DE FRECHET Parámetros estadísticos Recta de ajuste Itervalos de cofiaza Pruebas de hipótesis DISTRIBUCION DE GALTON Parámetros estadísticos Recta de ajuste Itervalos de cofiaza Pruebas de hipótesis DISTRIBUCION LOG PEARSON Recta de ajuste Itervalos de cofiaza Pruebas de hipótesis CONCLUSIONES SOBRE LAS FUNCIONES DE AJUSTE APLICACIONES ANALISIS DE CRECIDAS ANALISIS DE ESTIAJES CONCLUSIONES ACERCA DEL ESTUDIO... 9 NOLDOR S.R.L. iii

5 . CONCEPTOS BASICOS DE ESTADISTICA E este capítulo se expodrá alguos coceptos básicos de estadística ecesarios para compreder los temas más específicos desarrollados e capítulos posteriores. Se trata de u cojuto de defiicioes y de ua apretada sítesis de los fudametos de la teoría de probabilidades presetados sólo como ua guía geeral. Estos coceptos puede ser ampliados e cualquier obra sobre estadística y probabilidad e geeral, por ejemplo e las referecias (), () y (3). La teoría de los valores extremos se aplica pricipalmete a feómeos meteorológicos o hidrológicos tales como velocidades de vietos, caudales o cotas hidrométricas de cursos de agua y registros pluviométricos, auque tambié puede utilizarse para estudiar problemas de políticas de "stock", logevidad o fatiga de materiales. () Tomado como ejemplo el caudal máximo de u río, puede comprobarse fácilmete que su valor variará de u día a otro si que el mismo pueda predecirse co exactitud, auque sí sea posible establecer a priori u rago de valores, resultado del experimeto "tomar la lectura del máximo caudal diario" Desde este puto de vista el aálisis del feómeo o sería distito del correspodiete al experimeto "tomar ota del resultado de arrojar u dado". Este tipo de experiecias e las cuales los resultados varía de ua realizació a otra se deomia experimetos aleatorios, mietras que las variables co ellos relacioadas so coocidas como variables aleatorias. Así, la velocidad del vieto, el ivel de las precipitacioes pluviales o el resultado de extraer ua carta de u mazo de aipes so variables aleatorias. E lo que sigue de este trabajo se operará exclusivamete co experimetos y variables aleatorios.. PROBABILIDAD Segú la teoría clásica, para u experimeto aleatorio que arroje, sobre u total de resultados c, u cojuto de valores favorables a, existirá ua probabilidad de éxito igual al cociete: a p = c Repitiedo u úmero elevado de veces el experimeto e cuestió, todos los casos posibles tederá a presetarse e ua catidad proporcioal a su probabilidad. Aceptado esta característica, puede ejecutarse veces el mismo experimeto; si e ellas aparece f casos favorables, la relació f / será aproximadamete igual a la probabilidad de ocurrecia del suceso, coicidiedo co ella para tediedo a ifiito, es decir: Lim f a = = c p El úmero de casos favorables f es la frecuecia del suceso y el cociete f / es su razó frecuecial. La defiició clásica tiee el icoveiete de torar dificultoso el NOLDOR S.R.L.

6 determiar, por ejemplo, si los casos posibles so o o igualmete probables. Esto dió lugar a diversas cotroversias que fuero solucioádose a medida que la teoría de probabilidades fue profudizádose, e especial gracias a la obra de De Moivre y Beroulli. Actualmete se tiede a la creació de modelos matemáticos que permita explicar los feómeos probabilísticos. De esta forma puede postularse la existecia de u úmero p que represete la idealizació de la razó frecuecial f /, así como ua costate física puede ser tomada como la idealizació de medicioes empíricas. E este caso dicho úmero será, por defiició, la probabilidad matemática del suceso e estudio, siedo su frecuecia relativa o razó frecuecial, ua medida experimetal de la misma (3). E forma idepediete del tipo de defiició a que se recurra, resulta obvio que el campo de variació de la frecuecia relativa está dado por la siguiete desigualdad: f 0 Si f / represeta la razó frecuecial de la aparició de u suceso A e u cierto experimeto aleatorio, al hacer grade su valor se acercará asitóticamete al de la probabilidad de ocurrecia de A. Luego, esta probabilidad tomará valores e u itervalo compredido etre cero y la uidad. Si A es u "hecho cierto", se presetará e cada repetició del experimeto aleatorio, siedo etoces f = y p(a) =. Por cosiguiete la probabilidad de u suceso cierto es uitaria. Si A, e cambio, es u "hecho imposible", o se presetará para valor alguo de, resultado f = p(a) = 0. Por lo tato, la probabilidad de u suceso imposible es ula.. SUCESOS SIMULTANEOS ( ) 0 pa Si se tiee dos sucesos A y B relacioados co u cierto experimeto aleatorio, puede resultar ecesario coocer la probabilidad de ocurrecia de ambos simultáeamete, este hecho será expresado como p(a B), leyédose como "probabilidad de A y B" y siedo equivalete a la itersecció de dos cojutos. Si la aparició de uo de los dos sucesos afecta o codicioa la aparició del otro, podrá hablarse de probabilidades codicioales, expresadas como p(a / B) que se lee como "probabilidad de A codicioada a que se haya producido B". Si los sucesos o se afecta etre sí se dice que so idepedietes, resultado lo siguiete: p( A / B) = p( A) p ( B A) = p( B) / ( - ) Si los sucesos A y B so la extracció de dos aipes de u cierto palo, al tomarlos de mazos distitos será sucesos idepedietes mietras que si se los extrae de u úico NOLDOR S.R.L.

7 mazo, la probabilidad del segudo suceso se verá codicioada por el resultado del primero. E otros casos, se desea evaluar la probabilidad de que al meos uo de los sucesos simultáeos se presete. Este hecho se deota como p(a + B) y se lee "probabilidad de A o de B", tal como la operació uió de cojutos. Como caso particular debe cosiderarse los sucesos mutuamete excluyetes dode la aparició de uo de ellos implica la imposibilidad del otro. Si se extrae, uevamete, dos aipes de u mazo y si A y B represeta la extracció de ua carta e especial (úmero y palo), ambos sucesos será mutuamete excluyetes. Es decir p(a B) = 0... Regla de multiplicació La probabilidad de que dos sucesos A y B se produzca simultáeamete es igual a la probabilidad del suceso A multiplicada por la probabilidad de ocurrecia del suceso B bajo el supuesto de que A se haya presetado previamete. O, asimismo, es igual a la probabilidad de B por la probabilidad de A codicioada a la ocurrecia de B. ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) p AB p A p B / A p B p A / B ( - ) Si los sucesos A y B so idepedietes, la expresió aterior se simplifica de la siguiete maera: p( AB) = p( A) p( B) ( - 3) La expresió (-) puede extederse a sucesos simultáeos. ( L ) ( ) ( ) ( ) L ( L ) p A A A p A p A / A p A / A A p A / A A A ( - 4) = 3 Si todos ellos so idepedietes, resulta: ( L ) ( ) ( ) L ( ) p A A A = p A p A p A ( - 5).. Regla de adició La probabilidad de que se presete al meos uo de dos sucesos A o B está dada por la suma de las probabilidades de aparició de cada uo de ellos meos la probabilidad de presetació simultáea. p( A + B) = p( A) + p( B) p( AB) ( - 6) Como caso particular se cosidera los sucesos mutuamete excluyetes e los que el último termio de la ecuació ( - 6) es ulo. La extesió de ( - 6) a sucesos lleva a: p( A + B) = p( A) + p( B) ( - 7) NOLDOR S.R.L. 3

8 ( + + L ) = ( ) + ( ) + L+ ( ) ( ) ( 3) L ( ) + ( ) + ( ) + L+ ( ) L( ) ( L ) p A A A p A p A p A p A A p A A p A A p AAA p AAA p A A A p AA A 3 4 ( - 8) Para sucesos mutuamete excluyetes la ecuació aterior se reduce a la siguiete: ( + + ) = ( ) + ( ) + ( ) p A A LA p A p A L p A ( - 9).3 FUNCIONES DE DISTRIBUCION El establecimieto de modelos matemáticos implica el coocimieto de la distribució de probabilidades para todos los valores de la variable aleatoria x. E particular, es útil coocer la probabilidad de que esta variable tome u valor meor o igual a u cierto ivel de referecia X, situació que se expresa mediate la siguiete otació: F ( x) = p( x X) ( - 0) Siedo F(x) la fució de distribució de la variable aleatoria x, la cual, si es coocida para todo el itervalo de variació de x, describe completamete la distribució de probabilidad del feómeo estudiado. Por otra parte, de acuerdo a lo dicho e el puto., la fució de distribució cumple co las siguietes codicioes: Lim F x x + Lim x ( ) = F ( x) La primera represeta la probabilidad de u hecho cierto y la seguda la de u hecho imposible. Si la variable aleatoria viculada a u determiado experimeto sólo puede tomar ciertos valores, tal como úmeros eteros, tato la variable como la fució de distribució será del tipo discreto. La Figura.(a) muestra u ejemplo que correspode a ua distribució biomial. E cambio, si la variable aleatoria puede tomar cualquier valor detro de su campo de variació, tato ella como su fució de distribució será de tipo cotiuo. La Figura.(b) represeta la fució de distribució para ua variable que toma valores cotiuos etre a y b.. E el primer caso, la figura puede iterpretarse como ua distribució de masa ubicada e posicioes fijas del eje de abscisas, mietras que e el segudo caso dicha masa se distribuye uiformemete etre a y b. = 0 NOLDOR S.R.L. 4

9 , 0,8 0,6 0,4 0, (a) Fució de distribució discreta, 0,8 0,6 0,4 0, 0 0 a 4 b 6 8 (b) Fució de distribució cotiua Figura.: Fucioes de distribució E particular, la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores compredidos etre dos límites A y B, tal que defia u itervalo iferior al campo de variació de dicha variable, está dada por la diferecia etre los valores de su fució de distribució e esos putos. ( ) ( ) p( A < x B) = F B F A ( - ) De esta forma la catidad de masa compredida e u itervalo ifiitesimal x, x + dx, será tambié ua medida de la probabilidad de que la variable aleatoria tome u valor detro de ese itervalo. Por lo tato, puede establecerse ua fució f(x) que represete la desidad de distribució de la masa o, lo que lo mismo, la frecuecia relativa de aparició de valores de x e ese itervalo para experimetos repetidos. Así defiida, esta fució es la llamada desidad de probabilidad o fució de frecuecia de la variable aleatoria y resulta ser la derivada de la fució de distribució. f( x) = F' ( x) ( - ) Las Figuras. (a y b) ilustra las fucioes de frecuecia correspodietes a las fucioes de distribució represetadas e la Figura.. La masa completa de la distribució represeta la probabilidad de que la variable aleatoria tome u valor cualquiera detro de su campo de validez, o sea la probabilidad de u hecho cierto. ( ) f x dx = ( - 3) NOLDOR S.R.L. 5

10 0,5 0,4 0,3 0, 0, (a) Fució de frecuecia discreta 0,3 0, 0, 0 0 a 4 b 6 8 (b) Fució de frecuecia cotiua Figura.: Fucioes de frecuecia.4 PARAMETROS ESTADISTICOS Si bie el coocimieto de las fucioes de frecuecia o de distribució brida ua iformació completa acerca del experimeto aleatorio estudiado, a veces resulta coveiete o ecesario describir ua distribució estadística por medio de uos pocos valores represetativos. Estos recibe el ombre de características de la distribució o parámetros estadísticos y permite mesurar ciertas particularidades..4. Mometos Así como se efectuó ua aalogía etre masa y probabilidad, tambié es posible aplicar el cocepto físico de mometo a ua fució probabilística. El mometo k- ésimo de la variable aleatoria x, está defiida de la siguiete forma: α k = k x f( x) dx ( - 4) Y e particular, para ua distribució discreta: α k i ( ) = ( - 5) k x p x i Las ecuacioes ( - 4) y ( - 5) represeta mometos co respecto al orige. Si e ellas se reemplaza la variable aleatoria x por la diferecia x - c, se obtedrá los mometos co respecto al puto c, siedo dichas expresioes casos particulares para c = 0. Resulta de importacia especial el caso e que c coicide co α, es decir co el mometo de primer orde dado que éste determia la abscisa del cetro de gravedad de la distribució. ( ) α = xf x dx = m ( - 6) Los mometos co respecto de m so llamados mometos cetrales. NOLDOR S.R.L. 6

11 k µ k = ( ) ( ) x m f x dx ( - 7) O bie: x m p x i ( - 8) ( ) ( ) k µ k = i.4.. Fució geeratriz Para ua fució cotiua, se defie como fució geeratriz de los mometos a la siguiete expresió: Y para variable discreta: t x () t = e f ( x)dx ψ ( - 9) t x () t e p( x) ψ = ( - 0) Para t = 0, tato la itegral como la sumatoria so siempre covergetes resultado segú ( - 3): ψ ( 0) = E cambio para t 0, i la itegral i la sumatoria será ecesariamete covergetes, pudiedo darse el caso de que lo sea para u cierto rago de esa variable. Ua iteresate propiedad de la fució geeratriz es que, de existir el mometo α k, el mismo puede ser obteido por derivació sucesiva de ψ(t) haciedo t = 0 luego de derivar. α k = ψ ( k ) ( ) 0 ( -) Además, e el caso atedicho (existecia del mometo de orde k), el desarrollo de la fució geeratriz e serie de Mc Lauri será:.4. Posició ψ () t α k = t k! k = 0 k ( -) El parámetro posició es u valor de abscisa que determia u puto cetral de la fució alrededor del cual se distribuye todos sus demás valores. Como ejemplo se defiirá los parámetros de posició más frecuetemete usados: el valor medio, el modo y la mediaa. E los putos siguietes, las defiicioes se referirá al caso NOLDOR S.R.L. 7

12 geeral de variables cotiuas; si embargo, los coceptos so tambié aplicables a variables discretas, para cuales las itegrales se covierte e sumatorias..4.. Valor medio El valor medio está defiido como la abscisa del cetro de gravedad de la fució de frecuecia y coicide co el mometo de primer orde co respecto al orige. Represeta el baricetro de la fució. m ( ) = x f x dx = α ( - 3) E el caso de observacioes idirectas e las que exista ua relació lieal etre dos variables (y = a + b x), el valor medio tambié respode a ua relació lieal que surge de la aplicació directa de la ( - 3). m( y) = a + b m( x) ( -4) Para observacioes idirectas e las que ua variable es suma de otras dos (z = x + y), el valor medio tambié es igual a la suma de los valores medios idividuales. m( z) = m( x) + m( y) ( -5).4.. Modo El modo está defiido como el valor más probable de la variable aleatoria coicidiedo, por lo tato, co el máximo de la fució de frecuecia. Para su cálculo debe resolverse la siguiete ecuació:.4..3 Mediaa Si ( ) df x dx = 0 x = MODO ( - 6) La mediaa es la abscisa que divide la masa total e dos porcioes exactamete iguales. Puede determiarse fácilmete a partir de la fució de distribució: MEDIANA = F( 05, ) ( - 7) E distribucioes absolutamete simétricas, el valor medio, el modo y la mediaa coicide..4.3 Dispersió El parámetro dispersió idica la medida e que la variable aleatoria se distribuye alrededor del valor de posició. Da ua idea del grado de repetibilidad de los resultados de u experimeto aleatorio. Las pricipales medidas de dispersió so la desviació estádar y el recorrido itercuartil. NOLDOR S.R.L. 8

13 .4.3. Desviació estádar Cuado se utiliza el valor medio como medida de posició es lógico trabajar co la desviació estádar como parámetro de dispersió. Su valor coicide co la raíz cuadrada del mometo cetral de segudo orde. s = µ (- 8) Se recuerda la expresió que defie al mometo cetral de segudo orde: µ = ( ) ( x m) f x dx ( -9) El cuadrado de la desviació estádar se deomia variaza de la distribució. E el caso de observacioes idirectas e las que exista ua relació lieal etre dos variables (y = a + b x), la variaza puede hallarse aplicado la ( - 9). ( ) ( ) s y = b s x ( - 30) Para observacioes idirectas e las que ua variable es suma de otras dos (z = x + y), la variaza tambié es igual a la suma de las variazas idividuales. ( ) ( ) ( ) s z = s x + s y ( - 3) Nótese que las propiedades o se aplica a la desviació estádar sio a la variaza Recorrido itercuartil Así como la mediaa represeta la abscisa que divide la masa total e dos porcioes iguales, los cuartiles (primero, segudo y tercero) la divide e cuartos. El segudo cuartil coicide co la mediaa. ξ = F( 05, ) ; ξ = F( 05, ) ; ξ = F( 075, ) 3 Cuado se trabaja co la mediaa como parámetro de posició, suele recurrirse como medida de dispersió al recorrido itercuartil. Este está defiido como la diferecia etre los cuartiles tercero y primero. ξ 3 = F( 075, ) F( 05, ) ( - 3) Coeficiete de variació Es tambié ua medida de dispersió, auque, a diferecia de las ateriores, está expresado e forma adimesioal y o e uidades de la variable aleatoria. El coeficiete de variació está defiido como el cociete etre la desviació estádar y el valor medio y suele relacioárselo co el error cometido al realizar ua serie de medicioes. NOLDOR S.R.L. 9

14 s cv = ( - 33) m.4.4 Asimetría Permite evaluar la medida e que ua fució de frecuecia se aparta de la simetría perfecta, caso para el cual este parámetro es ulo. U alto valor positivo de asimetría sigifica ua larga cola para valores crecietes de la variable aleatoria, mietras que u valor egativo idica lo opuesto, es decir cola a la izquierda Coeficiete de asimetría relativa Este parámetro se basa e el hecho de que todos los mometos cetrales de orde impar so ulos para distribucioes simétricas. Aprovechado esta característica, toma el mometo cetral de tercer orde dividido por el cubo de la desviació estádar para dar orige a u coeficiete adimesioal. γ µ = ( - 34) s Coeficiete de Pearso E este caso se establece la diferecia etre valor medio y el modo de la distribució y se la divide por la desviació estádar para dar lugar tambié a u parámetro adimesioal. m MODO γ p = s ( - 35).4.5 Aplaamieto Este parámetro refleja el grado e que ua fució de frecuecia resulta achatada e sus valores cetrales. Se basa e el mometo cetral de cuarto orde al que se lo divide por la cuarta potecia de la desviació estádar a efectos de hacerlo adimesioal. Como se verá más adelate la fució de frecuecia ormal o de Gauss ormalizada tiee valor medio, mediaa, modo y coeficiete de asimetría ulos y desviació estádar uitaria. Si se aplica la defiició aterior a esta fució resulta u coeficiete de aplaamieto o kurtosis igual a tres. Co el objeto de llevarlo a cero, se le resta tres uidades al mecioado valor para así obteer el coeficiete de exceso. γ µ 4 = s 3 ( - 36) Ua fució co γ < 0 es llamada platocúrtica, mietras que ua γ > 0 co es deomiada leptocúrtica. NOLDOR S.R.L. 0

15 .4.6 Estimadores Los parámetros ya estudiados que caracteriza ua cierta població so fijos, es decir que o so variables aleatorias, pero so descoocidos. Puede ser evaluados a partir de ua muestra tomada de la població a través del cálculo de ciertos valores característicos los cuales bridará sólo ua estimació de los verdaderos parámetros. De esta forma puede afirmarse que el parámetro α*, calculado a partir de los resultados de u experimeto aleatorio, costituye ua estimació del parámetro α de la població, fijo y descoocido. Los estimadores so variables aleatorias que toma valores distitos para diferetes muestras. Si embargo, si so elegidos e forma apropiada, represeta adecuadamete a los verdaderos parámetros. Se dice que u estimador es isesgado cuado cumple co la codició siguiete: m ( α*) = α ( - 37) Es decir, que el valor medio de u gra úmero de estimacioes del mismo parámetro, calculadas a partir de distitas muestras, se aproximará asitóticamete a ese parámetro cuado el úmero de estimacioes tieda a ifiito. Resulta, e cosecuecia, muy vetajoso trabajar co estimadores isesgados al evaluar las características de ua distribució probabilística. Los estimadores isesgados para el valor medio y la variaza so, respectivamete: x = xi i m = ( xi x) s σ i ( - 38) ( - 39) Estas ecuacioes se obtuviero aplicado la propiedad ( -4). E ellas puede comprobarse que la expresió correspodiete al estimador isesgado del valor medio es igual al promedio aritmético de las observacioes, mietras que e el caso de la variaza e el deomiador aparece - e lugar de. De haber empleado este último valor, la aplicació de la ( - 37) o habría coducido a s, sio al siguiete valor: Es decir que se habría producido u sesgo e la estimació de la variaza..5 DISTRIBUCIONES TEORICAS s Existe u gra úmero de distribucioes probabilísticas represetativas de experimetos aleatorios que puede ser descriptas razoablemete co ayuda de expresioes matemáticas correspodietes a distribucioes teóricas. Esto tiee la gra vetaja de permitir la aplicació de ciertas propiedades de estas distribucioes a s NOLDOR S.R.L.

16 los resultados experimetales. A cotiuació se describirá las más importates fucioes teóricas..5. Prueba de Beroulli Las más importates fucioes teóricas se origia a partir de u secillo experimeto coocido como prueba de Beroulli. Ua serie de experiecias recibe esta deomiació si, e cada esayo, es posible obteer sólo dos resultados (favorable - desfavorable) y si las probabilidades respectivas se matiee costates a lo largo de toda la serie. Es comú llamar p a la probabilidad de éxito y q a la de fracaso, resultado: p + q = ( - 40).5. Distribució biomial Frecuetemete es ecesario coocer la probabilidad de obteer x éxitos e pruebas de Beroulli, si importar el orde de los mismos. Puede tomarse como base el caso particular e el cual los x éxitos se obtiee e las primeras x experiecias y los - x fracasos aparece posteriormete, e forma tambié cosecutiva. Dado que las pruebas so idepedietes, es factible aplicar la regla de multiplicació simplificada ( - 5) para el cálculo de la probabilidad P de esta secuecia. x P = p q Dado que hay otras posibles series de resultados, debe cosiderarse todas las posibilidades para el cálculo correcto de la probabilidad buscada. Esta resultará igual a la suma de todos los casos idividuales debido a que las secuecias so mutuamete excluyetes. E cosecuecia, la fució de frecuecia de la distribució biomial estará dada por la expresió aterior multiplicada por las combiacioes de elemetos tomados de a x. La fució de distribució es igual a: F f x x x x p q ( ) = ( - 4) x x i i ( x) = p q i= i ( - 4) Se recuerda la expresió que permite calcular u úmero combiatorio: x =! x! ( x)! Los pricipales parámetros estadísticos de la distribució biomial so: m = p ( - 43) NOLDOR S.R.L.

17 s = p q ( - 44) γ = q p pq ( - 45) γ 6 = pq pq ( - 46).5.3 Distribució de Poisso Existe umerosas aplicacioes prácticas de la distribució biomial e las cuales la probabilidad del hecho favorable es muy baja, mietras que el úmero de repeticioes del experimeto es muy elevado, siedo el producto de ambas magitudes costate; es decir: p 0 p λ ( - 47) E situacioes como la descripta, la distribució biomial puede aproximarse por otra fució, tambié de tipo discreto, llamada distribució de Poisso, cuya fució de frecuecia se caracteriza por la expresió matemática siguiete: f ( x) = x λ x! e λ ( - 48) Siedo su fució de distribució: x i λ λ i= x! F( x) = e ( - 49) Las codicioes ( - 47) se cumple pricipalmete e ciertos procesos distribuidos e el tiempo tales como llamadas telefóicas, desitegració radiactiva, arribo de vehículos a u puete y accidetes. Los parámetros pricipales de la distribució de Poisso so: m = λ ( - 50) = λ s ( - 5) NOLDOR S.R.L. 3

18 γ = ( - 5) λ.5.4 Distribució ormal Otra aproximació de la distribució biomial e la que se cosidera ua serie grade de repeticioes del experimeto aleatorio si impoer restriccioes especiales respecto del valor de probabilidad es la fució ormal o de Gauss, la que, a diferecia de las ateriores, es del tipo cotiuo. Ates de defiir la fució de frecuecia ormal es coveiete itroducir el cocepto de variable ormalizada. Esta ormalizació cosiste e aplicar a la variable aleatoria origial la siguiete trasformació lieal: z = x m s ( - 53) Las defiicioes de valor medio y desviació estádar aplicadas a la ( - 53) da por resultado los valores siguietes: m () z = 0 s () z = ( - 54) Es decir que ua variable ormalizada tiee valor medio ulo y desviació estádar uitaria, e tato que esos mismos parámetros para la variable origial so m y s respectivamete. La fució de frecuecia ormal o de Gauss está caracterizada por la siguiete expresió: f ()= z e π z ( - 55) Su represetació gráfica es ua campaa simétrica co respecto al orige y putos de iflexió e ±. El valor medio, el modo y la mediaa coicide, siedo todos ellos ulos. La fució de distribució es la siguiete: Fx ( ) = e du π z u ( - 56) Sus parámetros estadísticos, referidos a la variable ormalizada z, so: m = 0 ( - 57) s = ( - 58) γ = 0 ( - 59) NOLDOR S.R.L. 4

19 γ = 0 ( - 60) El área ecerrada por la curva de frecuecia ormal e u itervalo simétrico co respecto al orige crece rápidamete hacia la uidad al icremetarse dicho itervalo. La Tabla. preseta alguos valores para los casos más sigificativos desde el puto de vista de ajuste de datos. La Tabla A del apédice preseta ua iformació completa respecto del área bajo la curva ormal. TABLA.: AREA DELIMITADA POR LA FUNCION NORMAL Itervalo Area ±,0 0,686 ±,5 0,8664 ±,0 0,9546 ±,5 0,9876 ± 3,0 0,9974 La Figura.3 muestra las aproximacioes dadas por las fucioes de Poisso y Gauss para u caso particular de la distribució biomial (p = 0,; q = 0,8; = 0). 0,5 p(x) 0,0 0,5 0,0 p = 0, q = 0,8 = 0 0,05 0, x Biomial Poisso Normal Figura.3: Distribució biomial y aproximacioes NOLDOR S.R.L. 5

20 .5.5 Distribució Chi Cuadrado La distribució Chi Cuadrado (χ ) surge de cosiderar la suma de los cuadrados de variables aleatorias idepedietes Xi, todas ellas ormales co valor medio ulo y desviació estádar uitaria. = X + X + L + X ( - 6) χ Haciedo χ = x, la fució de frecuecia resulta ser la siguiete: f ( x) = Γ x x e ( - 6) La fució de frecuecia para la distribució χ está defiida sólo para valores positivos de x, mietras que para x 0 es ula. El parámetro represeta el úmero de grados de libertad de la distribució. Para = y = la fució decrece moótoamete co x, e tato que para > es ula e el orige, alcaza u máximo para x = - y luego se acerca asitóticamete al eje de abscisas para x tediedo a ifiito. La fució Γ(p) es coocida como fució factorial y está defiida, para p > 0, por la itegral siguiete: p x Γ p = x e dx ( ) 0 ( -63) La fució factorial tiede a ifiito para p tediedo a cero o a ifiito y toma valores positivos para los restates casos, co u míimo para p =,466 para el que la fució vale 0,8856. Para valores eteros de la variable idepediete es válida la siguiete relació que justifica el ombre de la fució: Tambié cumple la siguiete propiedad: Γ p + = p! ( - 64) ( ) Γ( 05, ) = π La fució Chi Cuadrado se caracteriza por los parámetros que se detalla a cotiuació: s m = (- 65) = ( - 66) La Figura.4 muestra la fució chi cuadrado para varios grados de libertad. NOLDOR S.R.L. 6

21 0,5 = 0,0 = 3 Fució Chi Cuadrado 0,5 = 5 f(x) 0,0 = 0 = 0 0,05 0, x Figura.4: Distribució Chi Cuadrado para varios grados de libertad.5.6 Distribució Gamma Está defiida por la siguiete fució desidad de probabilidad: f ( x) = e x x p Γ( p) ( - 67) El deomiador es la fució factorial defiida por la ecuació ( - 63), siedo, e este caso, p el llamado factor de forma de la distribució. Este factor determia tres casos distitos, represetados e la Figura.5, segú sea 0 < p, < p o p >. Para grades valores de p, la distribució gamma se aproxima a la ormal. Sus parámetros so: m s = p ( - 68) = p ( - 69) Cuado se trabaja e hidrología, por lo geeral o se utiliza la expresió ( - 67), que defie la distribució gamma co u solo parámetro, sio que se prefiere la distribució co dos parámetros dada por la siguiete fució de frecuecia: f ( x) = p k p x p e Γ( ) k x ( - 70) Aquí p es u parámetro de forma y k de escala. El valor medio y la desviació estádar toma ahora los siguietes valores: NOLDOR S.R.L. 7

22 m p = ( - 7) k s p = ( - 7) k 0,5 0,4 p = 0,5 Fució Gamma 0,3 p =,5 f(x) 0, p = 5 0, p = 0 0, x Figura.5: Distribució Gamma.6 PRUEBAS ESTADISTICAS Ua prueba estadística, o dócima, es u procedimieto cuyo objetivo es evaluar la bodad del ajuste resultate de aplicar ua fució teórica sobre u cojuto de datos experimetales. Estas pruebas, etre las que puede citarse la de Pearso (Chi Cuadrado) y la de Kolmogorov-Smirof, permite dispoer de elemetos de juicio para aceptar o rechazar la fució previamete seleccioada para aproximar los datos obteidos prácticamete. Para ello se fija, u tato arbitrariamete, u ivel de sigificació para la prueba, esto es el riesgo que se corre de rechazar la hipótesis propuesta cuado e realidad era verdadera. De aquí puede cocluirse que la prueba estadística o es ifalible sio que está afectada de ua probabilidad de fallo. Su correcta aplicació debería dismiuir el riesgo de fracaso a u míimo. Si se dispoe de u cojuto de datos experimetales etre los que predomie, por azar, alguos perteecietes a la cola de la distribució teórica co la que se iteta el ajuste, el valor arrojado por la prueba caerá e la zoa de rechazo de la hipótesis, auque esta sea verdadera; esto implica icurrir e u error tipo I, el cual está directamete relacioado co el ivel de sigificació de la prueba. Parecería lógico, etoces, llevar el ivel de sigificació a valores ta bajos como sea posible para dismiuir al míimo el riesgo de cometer u error de esta aturaleza. Si embargo, esta estrategia coduce a icremetar la probabilidad de caer e u error tipo II, o sea aceptar la hipótesis propuesta para el ajuste cuado e realidad ésta es falsa. Como NOLDOR S.R.L. 8

23 solució de compromiso, se cosidera razoable trabajar co iveles de sigificació del 5% o 0%..6. Prueba de Chi Cuadrado Para aplicar la prueba de Chi Cuadrado sobre u cojuto de datos experimetales, éstos debe agruparse e r itervalos mutuamete excluyetes co frecuecia idividual f i. Se supoe que esta distribució será ajustada por ua fució teórica que otorga ua probabilidad p i al i-ésimo itervalo. Obviamete, se cumplirá las siguietes igualdades: p + p + L + p = f + f + L + f = r r ( - 73) Si la hipótesis a verificar es cierta, f i represeta la frecuecia de u suceso co probabilidad p i e ua serie de observacioes y, e cosecuecia, tedrá ua distribució biomial co media p i siedo, además, asitóticamete ormal. E este supuesto, las dos series de úmeros (f i y p i ) coicidirá e la medida e que sea lo suficietemete grade. De aquí que resulte coveiete emplear el siguiete parámetro como medida del apartamieto etre las frecuecias esperadas teóricamete y las observadas experimetalmete: χ = ( fi pi) r p i = r z i ( - 74) Siedo: z i = f i p p i i ( - 75) La variable z i es asitóticamete ormal co media ula, mietras que la sumatoria de sus cuadrados coduce, segú lo visto e.5.5, a ua distribució χ co sólo r - grados de libertad e virtud de la restricció lieal que liga las variables. Puede demostrarse que, si la hipótesis a verificar es cierta, la variable χ defiida por la ( - 74) se aproxima, cuado tiede a ifiito, a ua distribució Chi Cuadrado co r - grados de libertad. El procedimieto práctico para aplicar la dócima se iicia agrupado los datos e itervalos de clase tratado de que cada uo de ellos cotega al meos cico valores. Luego se determia la catidad de datos que debería haber perteecido a cada itervalo, de ser válida la hipótesis propuesta. Fialmete se calcula el valor de variable χ aplicado la ( - 74) tal como se muestra e la Tabla.. NOLDOR S.R.L. 9

24 TABLA.: PRUEBA DE CHI CUADRADO Itervalo Frecuecia Frecuecia Idicador de experimetal teórica apartamieto f p z f p z r f r p r z r Sumatorias χ Por otro lado, debe emplearse ua tabla o u gráfico de la fució chi cuadrado para hallar el valor de abscisa χ p que delimita a su derecha u área igual al ivel de sigificació asigado a la prueba, tal como p = 5%. La curva a emplear debe ser la correspodiete a r - k - grados de libertad, siedo k el úmero de parámetros de la fució teórica calculados a partir de los datos experimetales. Esto implica que, si la fució de ajuste e ua distribució ormal caracterizada por dos parámetros (valor medio y desviació estádar), ambos tedrá que ser calculados partiedo de los datos dispoibles y estas operacioes quitará dos grados de libertad adicioales a la distribució (k = ). Si, e cambio, se esaya u ajuste por Poisso, sólo habrá que determiar el parámetro λ resultado ua reducció de u úico grado de libertad (k = ). La Tabla A del apédice preseta los valores críticos de Chi cuadrado (χ p ) para diferetes valores de probabilidad y para diversos grados de libertad. Se cosiderará que la hipótesis sometida a prueba es aceptable, al ivel de sigificació estipulado, siempre que se cumpla la siguiete desigualdad: χ χ p ( - 76) U procedimieto alterativo que coduce a idético resultado es buscar e tablas la probabilidad p(χ ) correspodiete al valor χ calculado para r - k - grados de libertad y compararlo co el ivel de sigificació de la prueba. La hipótesis puede aceptarse e el siguiete caso: p p( χ ) p( χ p) = ( - 77) 00 NOLDOR S.R.L. 0

25 .6. Prueba de Kolmogorof - Smirof E forma similar a lo requerido por la aplicació de la prueba del Chi Cuadrado sobre u cojuto de datos experimetales, la prueba de Kolmogorov-Smirof exige su agrupació e r itervalos mutuamete excluyetes co frecuecia idividual f i pero, a diferecia de aquella, o compara las frecuecias absolutas sio las relativas acumuladas, para lo cual toma como referecia los valores de la fució de distribució teórica F(x) propuesta para el ajuste. E este caso se cumple las siguietes desigualdades: F( x) F ( x) L F ( x) < f f + f r fi L < r i= ( - 78) El paso siguiete cosiste e efectuar, para cada grupo, las diferecias, e valor absoluto, etre los valores esperados y los experimetales. k k = F k ( x) f i i = Por último, a partir de la máxima diferecia ( max), se defie la siguiete fució. ϕ P ( max ) ()= z z ( - 79) Kolmogorof demostró que para tediedo a ifiito, ϕ (z) tiede a la fució k(z) que lleva su ombre. k k z Lim ϕ () z = k() z = ( ) e ( - 80) La prueba de Kolmogorof-Smirof determia la aceptació de la fució de ajuste propuesta toda vez que se cumpla la siguiete desigualdad: z (- 8) max La Tabla.3 muestra la forma e que debe presetarse los datos para la aplicació de esta prueba estadística. NOLDOR S.R.L.

26 TABLA.3: PRUEBA DE KOLMOGOROF - SMIRNOF Itervalo Frecuecia Frecuecia Idicador de experimetal teórica apartamieto f / F (x) (f + f ) / F (x) r (f + f +... f r ) / F r (x) r max Ates de aplicar la ( - 8) sobre el valor max calculado, se seleccioa, partir de tablas, los valores de la variable z de acuerdo co el ivel de sigificació asigado a la prueba. He aquí alguos ejemplos: TABLA.4: FUNCION DE KOLMOGOROF Nivel (%) z 0, 5,36,63 0,5,95 NOLDOR S.R.L.

27 . DISTRIBUCIONES EXTREMAS El euciado del teorema cetral del límite dice que la fució de distribució cojuta de variables aleatorias respode a ua fució ormal cuado tiede a ifiito. Esta propiedad es idepediete de la fució de distribució origial de dichas variables. Si, a partir de ua població cualquiera, se toma muestras de m elemetos cada ua, los valores medios idividuales formará parte, a su vez, de ua ueva muestra aleatoria distribuida alrededor de la gra media, tal que: x = i = x i Es decir que la gra media es ua ueva variable aleatoria geerada a partir de la suma de otras variables aleatorias, siedo, por lo tato, aplicable el teorema cetral del límite a esa distribució cojuta. O sea que los valores medios de muestras de m elemetos cada ua se distribuye ormalmete alrededor de la gra media. Si embargo, si e lugar de cosiderar los valores medios se tiee e cueta los máximos o míimos de cada muestra, la distribució cojuta o será ormal sio que respoderá a otra fució distita. La teoría de las distribucioes extremas se ocupa de este tipo de problemas. La probabilidad de que la variable aleatoria tome u valor iferior o igual a X es, por defiició ( - 0) la fució de distribució: P( x X) = F( x) Si se cosidera observacioes idepedietes, la probabilidad Φ(x) de que el máximo valor obteido o, lo que es igual, que todos los valores resulte iferiores o iguales a X puede hallarse recurriedo a la regla de multiplicació para sucesos idepedietes ( - 5): O sea: Φ( x) = P( x X) P( x X) P( x X) L Φ( x) = F ( x) ( - ) La fució de frecuecia de los máximos de observacioes idepedietes está defiida por la derivada de esta expresió. ϕ( x) F = ( x) f ( x) NOLDOR S.R.L. 3

28 U razoamieto aálogo permite determiar la probabilidad de que el meor valor de x sea meor que X, cuado se hace observacioes. Su fució de frecuecia es: [ ] Φ ( x) = F( x) [ ] ϕ = ( x) F( x) f ( x) Si la fució de frecuecia iicial es simétrica, se tedrá la siguiete relació etre las fucioes de frecuecia extremas para máximos y míimos: ϕ ( x) = ϕ ( x ) De las expresioes plateadas ateriormete, surge dos coclusioes imediatas: Coociedo la distribució iicial de F(x) es posible obteer la distribució correspodiete a valores extremos, Φ(x). La fució Φ(x) depede del úmero de observacioes,. Ahora bie, dado que, por lo geeral, la expresió matemática de F(x) o se cooce co exactitud, Fréchet e 97 y Fisher y Tippet e 98 estudiaro u cojuto de fucioes asitóticas coocidas como distribucioes de valores extremos, las que, partiedo de ciertas fucioes iiciales, brida u ajuste adecuado para grades valores de, como se verá más adelate. Si se extrae de ua població, muestras de m elemetos cada ua y luego se toma los más grades valores, el mayor de todos éstos será tambié el más grade del cojuto de m elemetos cosiderados. Etoces, de acuerdo co Fisher y Tippet, la distribució estadística de los valores extremos e ua muestra de tamaño m debería de ser la misma que la correspodiete al mayor valor e ua muestra de tamaño excepto ua trasformació lieal e la variable aleatoria x (6) (8) (). m F ( x) = F( a x + b ) Para esta ecuació se ha propuesto tres solucioes distitas que cotempla otras tatas familias de distribucioes. Las fucioes de distribució que coverge hacia la uidad al meos ta rápidamete como ua expoecial perteece al tipo Ι o expoecial, del cual esta fució es su prototipo. Esta familia de distribucioes iiciales está itegrada por u cojuto de importates fucioes tales como la ormal (Gauss), la log-ormal (Galto) y la chi cuadrado (Pearso). Se caracteriza por teer defiidos todos sus mometos auque esto o sigifica que cualquier fució que cumpla co esta codició perteezca al tipo Ι. m m NOLDOR S.R.L. 4

29 La distribucioes iiciales tipo ΙΙ o de Cauchy, cuyo prototipo es esta misma fució, o posee mometos superiores a los de u cierto orde. Tal como e el caso aterior o todas las fucioes que carezca de mometos superiores está icluidas e el tipo ΙΙ. Al tipo ΙΙΙ o trucadas perteece aquellas distribucioes iiciales co campo de variació de la variable limitado a u cierto valor. Cada uo de los tres tipos de distribucioes iiciales coduce a diferetes distribucioes asitóticas, tal como se verá posteriormete.. PROBABILIDADES Y PERIODOS DE RETORNO Cuado la variable aleatoria cosiderada es ua magitud relacioada co algú feómeo atural (caudales, velocidades de vieto), es coveiete referirse a períodos de retoro e lugar de a probabilidades de ocurrecia. Si p es la probabilidad de que ua variable x supere u dado valor X e u cierto lapso (por lo geeral u año), el período de retoro T represetará el úmero de uidades de tiempo que trascurrirá e promedio etre dos oportuidades e que la variable supere dicho valor, es decir: p = P( x X) = T ( - ) Por lo tato, es equivalete especificar u período de retoro o recurrecia de 00 años o ua probabilidad aual de 0,0. El aálisis estadístico cosiste e hallar la fució que mejor represete el comportamieto de la variable aleatoria x, para luego asigar a cada valor X ua probabilidad o u período de recurrecia. Si Φ(x) es la fució de distribució, resulta que, a partir de ( - 0) y ( - ): p = Φ( x) ( - 3). FACTORES DE FRECUENCIA Para el caso especial de los feómeos hidrológicos que respode a ua distribució teórica de valores extremos (crecidas y estiajes) o existe ua fució que se adapte a todos los casos sio que cada uo debe ser aalizado idividualmete para aplicar luego la ley que mejor lo represete. No obstate esto, Ve Te Chow (4) demostró que ua variable aleatoria hidrológica x, puede ser represetada por ua combiació lieal de su valor medio y su desviació estádar de la siguiete maera: x = x + k σ x ( - 4) NOLDOR S.R.L. 5

30 Para ello se basó e que cada valor de x puede expresarse como la media aritmética más u desplazamieto x proporcioal a la desviació estádar. x = x + x La expresió ( - 4) es coocida como expresió geeral para el aálisis hidrológico de frecuecias. Resulta evidete que ahora el problema cosiste e determiar la fució que mejor represete al factor de frecuecia k para cada caso. E geeral éste depede del período de retoro T, existiedo tablas y gráficos que da la relació etre ambos para las distribucioes de uso más extedido. A este efecto puede cosultarse las referecias (5), (6) y (0)..3 DISTRIBUCIONES TEORICAS A cotiuació se describirá las fucioes de distribució más empleadas e hidrología detallado sus características pricipales y sus parámetros estadísticos. La Figura. ilustra alguas de ellas comparádolas co la fució de frecuecia ormal. 0,6 Fréchet 0,5 Gauss Galto 0,4 0,3 Gumbel 0, 0, 0, Figura.: Fucioes de frecuecia para variables extremas.3. Fució de Gumbel Si la fució de distribució iicial coverge hacia ua expoecial para x tediedo a ifiito, es aplicable la ley de valores extremos tipo Ι (Gumbel) cuya expresió matemática es la siguiete: Φ( y) e e y = ( - 5) NOLDOR S.R.L. 6

31 Siedo y la variable reducida de Gumbel que es, a su vez, fució lieal de la variable aleatoria origial x. y = ( x u ) ( - 6) α 0 0 El campo de variació de x se extiede etre - y +. Las costates α 0 y u 0 se determia a partir de los datos para lograr su óptimo ajuste. El valor medio y la desviació estádar de la variable reducida so fijos e idepedietes de la muestra. y = γ ( - 7) π σ = y 6 ( - 8) Siedo γ la costate de Euler, defiida por la expresió siguiete: γ = Lim i = l = 0577, K i Teiedo e cueta la relació lieal que existe etre las variables x e y puede calcularse fácilmete el valor medio y la desviació estádar para la variable aleatoria origial. Tambié es secillo comprobar la validez de la siguiete igualdad: k = x x y y = σ σ x y Esto implica que, despejado y de la ( - 5), puede hallarse la relació k-t para ua distribució de Gumbel. Si se tiee e cueta, además, la viculació existete etre la fució de distribució y el período de retoro dada por las expresioes ( - ) y ( - 3) se llega a la siguiete coclusió: k 6 T = γ + l l π T ( - 9) Otro aspecto iteresate a cosiderar es la tedecia asitótica de la fució de Gumbel cuado el período de retoro tiede a ifiito. Este puto reviste particular importacia debido a que el objetivo pricipal del aálisis estadístico es precisamete predecir el comportamieto de la variable bajo estudio (caudal, velocidad del vieto, ivel de precipitacioes u otras) para grades períodos de retoro. A partir de las expresioes ( - ), ( - 3) y ( - 5) se llega fácilmete a la siguiete igualdad: y = l l T T ( - 0) NOLDOR S.R.L. 7

32 Por otra parte, desarrollado e serie la fució e T ifiito, se llega a la siguiete aproximació: resulta que, para T tediedo a e T T O, lo que es igual: T l T T ( - ) Etoces, reemplazado ( - ) e ( - 0), se obtiee la siguiete expresió válida para grades períodos de recurrecia: y l T Fialmete, la expresió completa toma la forma siguiete: u = u0 + l T ( - ) α Es decir que el valor predicho por Gumbel para la variable de iterés crece, aproximadamete, co el logaritmo del período de retoro. Para T = 0 el error cometido es del orde del %, e tato que para T = 00 alcaza apeas el 0,%. Por último, las ecuacioes ( - ) y ( - 0) permite completar la Tabla. que relacioa probabilidades, períodos de retoro y valores de la variable reducida. 0 TABLA.: FUNCION DE GUMBEL VARIABLE REDUCIDA Y PERIODO DE RETORNO Probabilidad (p) Período de retoro (T) Variable reducida (y) 0,500 0,367 0,00 5,500 0,00 0,50 0,050 0,970 0, ,90 0, ,600 0, ,96 0, ,4 0, ,907 NOLDOR S.R.L. 8

33 .3. Fució de Fréchet Cuado la distribució iicial respode a ua fució de Cauchy, los valores extremos se ajusta por ua fució tipo ΙΙ, de Fréchet. Su expresió matemática es similar a la de Gumbel, pero la variable reducida está viculada co la variable aleatoria origial e forma logarítmica. Φ ( y) = e e y ( - 3) y = (l x u ) ( - 4) α 0 0 El campo de variació se extiede etre 0 y +. Presetada de esta forma, la ley de Fréchet resulta de fácil aplicació ya que puede emplearse los métodos desarrollados para Gumbel utilizado para los cálculos el logaritmo de los datos (8) (9). Reemplazado ( - 4) e ( -3) y agrupado costates, se obtiee ua expresió alterativa para la fució tipo ΙΙ. ( Θ x) Φ ( x) = e α 0 ( - 5) Partiedo de esta expresió, puede estudiarse la tedecia para grades valores de período de retoro. T ( Θ x) α 0 = l T Para T tediedo a ifiito resulta, si se tiee e cueta la ( - ), la siguiete aproximació: x α 0 T Θ ( - 6) Como puede comprobarse fácilmete, el empleo de la fució de Fréchet produce u ajuste co u crecimieto mucho más rápido de la variable aleatoria e fució del período de retoro que el correspodiete a u ajuste por Gumbel. Si embargo, puede demostrarse que cuado α 0 tiede a ifiito, la fució de Fréchet coverge hacia la de Gumbel (8)..3.3 Fució de Pearso tipo III Esta distribució, que tambié se aplica al logaritmo de los datos, tiee la siguiete expresió: p( x) c = c x / e d x ( - 7) x p0 a El campo de variació está compredido etre - y ε co ε <. Los coeficiete p 0, a y c so muy complicados de determiar dado que depede de los mometos de NOLDOR S.R.L. 9

34 segudo y tercer orde de la distribució iicial y de la fució Gamma del parámetro c, cosecuetemete resulta más práctico el empleo de la fórmula de Chow ( - 4) trasformada logarítmicamete (5). x = x + k σ log log log Los coeficietes represeta el valor medio y la desviació estádar del logaritmo de los datos. El factor de frecuecia k es fució del período de retoro y del coeficiete de asimetría de los datos y puede obteerse de tablas (5). Para los casos e que el coeficiete de asimetría es ulo, el ajuste por log-pearso coicide co el dado por log-ormal, razó por la cual esta distribució goza de cierta popularidad a pesar de sustetarse e escasas bases teóricas (5). Para grades valores de T, la variable aleatoria crece co el logaritmo del período de retoro, tal como ocurre co la distribució de Gumbel (8)..3.4 Fució de Galto Es ua modificació de la fució de ormal o de Gauss e la cual la relació etre la variable reducida y la variable aleatoria origial es logarítmica y, por ello es llamada log-ormal. Fue estudiada origialmete por Galto e 875 y, si bie o fue cocebida como ua ley para valores extremos, su marcada asimetría positiva permite lograr, e ciertos casos, u excelete ajuste de máximos o míimos (6) (0). Su fució de frecuecia es la siguiete: f ( x) = π σ z e z e z z σ z ( - 8) Dode tato la variable reducida z como su valor medio y su desviació estádar debe evaluarse a partir de los logaritmos de la variable origial. z = l x z = l xi ( 9) i σ z = ( l xi z) Para grades períodos de retoro, puede demostrarse que el comportamieto asitótico de la fució de Galto es el siguiete: i x C e l T ( - 0) Siedo C, ua costate arbitraria. NOLDOR S.R.L. 30

35 .4 POSICIONES GRAFICAS El aálisis estadístico e hidrología tiee por objeto asigar a cada cota hidrométrica o caudal ua probabilidad de ser alcazado o superado o, lo que es lo mismo, atribuirle u período de retoro. Dichas probabilidades surge del ajuste de los registros históricos, base de todo aálisis, por medio de ua fució de distribució coocida. Por ello resulta ecesario ubicar cada dato histórico e u gráfico probabilidad-caudal ates de iiciar el ajuste correspodiete. Fuero propuestos varios métodos que otorga u valor de probabilidad empírica a cada uo de los datos. E todos los casos la muestra (cojuto de datos históricos) debe ordearse e forma decreciete si importar la fecha de ocurrecia de cada suceso, asigado a cada uo de los elemetos u úmero de orde i, tal que i. TABLA.: PROBABILIDADES EMPIRICAS Nombre Fecha Expresió Califoria 93 i Haze 930 i Weibull 939 i + i Beard 943 ( ) Grigorte , + 0, E el Tabla., tomada de la referecia 4, se resume las expresioes propuestas para otorgar ua probabilidad a cada dato. Las dos primeras fuero usadas e los albores del aálisis estadístico pero posteriormete se extedió el empleo de la fórmula de Weibull que asiga al mayor de los datos históricos u período de retoro de ( + ) años y al más pequeño u período de ( + ) / años, es decir aproximadamete uitario si el registro es lo suficietemete exteso. U estudio comparativo llevado a cabo por Beso etre la ecuacioes de Haze, Beard y Weibull ha demostrado que esta última es la que brida resultados más acordes co la experiecia práctica. Si embargo, Grigorte afirma que su expresió es la que permite u mejor exame visual de los valores extremos cuado éstos so graficados e papel probabilístico. De todas maeras, la totalidad los métodos propuestos para determiar las posicioes gráficas da valores similares e la zoa media de la distribució otádose, e cambio, las pricipales discrepacias e las colas. NOLDOR S.R.L. 3