PRESENTACIONES ESTADISTICAS. Número de Trabajadores (frecuencia)

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1 Distribucioes de frecuecia: PRESENTACIONES ESTADISTICAS So tablas e las que se agrupa lo valores posibles de ua variable y se registra el úmero de valores observados que correspode a cada clase. Como ejemplo se verá la distribució de frecuecias de los salarios semaales para 100 trabajadores: Salario semaal (e pesos) Número de Trabajadores (frecuecia) Total=100 (tamaño de la muestra) Itervalos de Clase: U ejemplo de ellos lo costituye , los límites de clase superior e iferior so: 159 y 140 respectivamete. Estos idica los valores icluidos detro de la clase. Las froteras de clase o límites exactos so putos específicos de la escala que sirve para "separar clases adyacetes". Se puede determiar idetificado los putos que está e la mitad etre los límites superior e iferior de las clases adyacetes. Por ejemplo, para y la frotera de clase está e El itervalo de clase idica el rago de valores icluídos detro de ua clase y se puede determiar restado la frotera de clase iferior de la frotera de clase superior. Puede ser útil el puto medio de clase, que se determia sumado la mitad del itervalo de clase a la frotera iferior de clase. 1

2 Resumiedo: Salario semaal (límite de clases) Froteras de clase Puto medio de clase Nro. de Trabajadores Total: 100 Coviee que los itervalos de clase sea iguales. Se puede determiar el itervalo de clase e forma aproximada del siguiete modo: Para el caso aterior, supuesto que los valores meores y mayores de los datos o agrupados fuera 142 y 258 respectivamete, y se desea 6 clases: It_aprox It_aprox El más próximo será 20. Para datos distribuido "irregularmete" puede ser coveietes itervalos irregulares de clase. Se utiliza itervalos mayores para los ragos de valores e los que hay relativamete pocas observacioes. HISTOGRAMAS Y POLIGONOS DE FRECUENCIA U histograma es u diagrama de barras de ua distribució de frecuecias, dode e ordeadas se represeta las observacioes y e abscisas las froteras de clase. E geeral es coveiete que el úmero de observacioes sea superior a las 30. Para el caso del ejemplo cosiderado: 2

3 lieal. U polígoo de frecuecias es u gráfico de distribució de frecuecias de tipo Es posible trabajar co estas figuras de resume e forma más diámica a través de la utilizació de Matlab. Para la realizació del histograma, se debe defiir el vector que compreda a los datos o agrupados y el vector de los itervalos. Luego, mediate ua operació que se verá más adelate, se podrá observar cómo se calcula u tercer vector correspodiete a la distribució de frecuecia e cada itervalo. La forma más secilla de represetar el histograma es cuado se tiee los datos agrupados como e el ejemplo. Para esto basta represetar "la fució" e diagrama de barras", mediate el siguiete segmeto de programa que utiliza la fució bar: fuctio barras % Permite represetar graficamete e u diagrama de barras elvector % de putos medios de clase y el de frecuecias % Etradas: putos: vector de putos medios de clase 3

4 % frecuecias: vector co las correspodietes frecuecias % Salida: Histograma % Vectores de etrada putos =[ ]; frecuecias =[ ]; % Grafico de barras bar(putos,frecuecias) que da el siguiete resultado: Si se posee los datos o agrupados, como podría ser 1000 úmeros aleatorios compredidos etre 0 y 10, se procede del siguiete modo utilizado la fució hist: fuctio aleatorio % Permite ver el histograma de u cojuto de datos o agrupados, como podría % ser 1000 úmeros aleatorios compredidos etre 0 y 10 % Etrada: datos, vector de datos % % Salida: Histograma % Vector de datos for i=1:1000, datos(i)=rad*10;ed % Vector co los cetros de itervalos x=0.5:1:9.5; % Histograma m=hist(datos,x); hist(datos,x) m %vector de frecuecias e cada itervalo Para esta corrida, el vector de frecuecias resultate es: 4

5 [ ] y el histograma correspodiete: Si se quisiera obteer el "polígoo de frecuecia" basta co cambiar las características de la presetació gráfica, pasado a represetar e el formato "líea". Para ello se recurre a: fuctio poligoo % Permite represetar graficamete el poligoo de frecuecias % Etradas: putos: vector de putos medios de clase % frecuecias: vector co las correspodietes frecuecias % Salida: Poligoo de frecuecias % Vectores de etrada putos =[ ]; frecuecias =[ ]; % Grafico plot(putos,frecuecias) que etrega por resultado: 5

6 Es posible hallar la "Curva de Frecuecia" haciedo u polígoo suavizado. Para ello se puede utilizar la fució "splie cúbica" icorporada e Matlab. SPLINE Iterpolació de datos co splie Cúbico YY = SPLINE(X,Y,XX) usa la iterpolació splie cúbica para ecotrar YY, los valores de la fució subyacete Y e los putos e los cuales está dados los datos Y. Esto se puede observar corriedo el siguiete segmeto de programa: fuctio suave % Permite represetar graficamete el poligoo de frecuecias e forma suavizada % Etradas: putos: vector de putos medios de clase % frecuecias: vector co las correspodietes frecuecias % Salida: Poligoo de frecuecias suavizado % Vectores de etrada putos =[ ]; frecuecias =[ ]; % Calculo del splie x=putos(1):putos(legth(putos)); % malla para represetar el suavizado PP = splie(putos,frecuecias,x); % vector resultate de la iterpolacio % Grafico plot(x,pp) que da como salida: 6

7 E térmios de disimetría se las puede clasificar e: E térmios de curtosis se las puede clasificar e: DISTRIBUCION DE FRECUENCIA ACUMULADA Salario semaal (límite de clases) Froteras Superior de clase Nro. de Trabajadores Frecuecia Acumulada = = = = =100 Total: 100 7

8 La tabla de arriba explicita este cocepto: El gráfico de ua distribució de frecuecia acumulada se llama "Ojiva". Para el tipo "meor que", el gráfico idica la frecuecia acumulada debajo de cada frotera de clase, obteido mediate el siguiete segmeto de programa: fuctio ojiva % Permite represetar graficamete la distribucio de frecuecia acumulada % Etradas: putos: vector de putos medios de clase % frecuecias: vector co las correspodietes frecuecias % Salida: distribucio de frecuecia acumulada (ojiva) % Vectores de etrada putos =[ ]; frecuecias =[ ]; % Vector de frecuecias acumuladas f_acumulada(1)=frecuecias(1); for i=2:legth(putos), f_acumulada(i)=f_acumulada(i-1)+frecuecias(i); ed % Grafico plot(putos,f_acumulada) que gráficamete etrega el siguiete resultado: Si se suaviza se obtiee la "curva ojiva suavizada". 8

9 DISTRIBUCION DE FRECUENCIA RELATIVA Es aquella e que el úmero de observacioes de cada clase se covierte e ua frecuecia relativa dividiédola por el úmero total de observacioes e la distribució. POBLACIONES Y MUESTRAS U cojuto de observacioes x 1, x 2,,x costituye ua muestra aleatoria de ua població fiita de tamaño de ua població fiita de medida N, si es elegida e forma tal que cada subcojuto de tamaño de los N elemetos de la població tega la misma probabilidad de ser elegida. U cojuto de observacioes x 1, x 2,,x costituye ua muestra aleatoria de ua població ifiita co desidad de probabilidad f(x) si: Cada x i es u valor de ua variable aleatoria cuya distribució tiee los valores coforme a f(x) Estas variables aleatorias so idepedietes E geeral, se pretede hacer iferecias sobre los parámetros de la població ( o ). Para efectuar las iferecias se utiliza estadísticos (como o s) que so catidades calculadas a partir de observacioes de muestras. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA ( coocida) Si de algua població de parámetros coocidos se extrae muestras es difícil que la medias de tales muestras coicida. Ejemplo I: Dada la població ifiita cuya distribució está dada por: 9

10 x f(x) listar las 16 muestras posibles de tamaño 2 (2 4 = 16) y costruir la distribució de muestras aleatorias de tamaño 2 de la població. para 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4 4,1 4,2 4,3 4,4 las medias correspodietes a cada muestra so; co lo que se puede hacer el siguiete agrupamieto de la distribució de medias: frecuecia Gráficamete, se puede observar el histograma ejecutado las siguietes setecias e Matlab: >> x=1.25:0.5:4.25; f=[ ];bar(x,f) 10

11 Ejemplo II: Hallar 500 muestras aleatorias de tamaño =10 extraída de ua població que tiee distribució uiforme discreta que respode a la siguiete fució desidad: f(x) = 1/10 para x=0,1,,9 0 e los demás casos si el muestreo es co reemplazo se puede cosiderar a la població como ifiita. Es posible hallar la media de cada muestra y formar el arreglo correspodiete, mediate la corrida del siguiete segmeto de programa: fuctio muestras % Permite obteer u vector de medias de muestras de tamaño 10 de % ua poblacio uiformemete distribuida % % Salida: vector de medias =500; for i=1:,a=0; for j=1:10, a=a+floor(rad*10); ed m(i)=a/10; ed m % guarda el resultado e el archivo ascii m.pr save m.pr -ascii m A partir de aquí se puede orgaizar la distribució de frecuecias y el histograma correspodiete: fuctio hist_muestras % Permite obteer el histograma del cojuto de valores que coforma % el archivo "m.pr" 11

12 % Etrada: m, Vector obteido desde el archivo "m.dbf" % % Salida: f, vector de frecuecias % Histograma load m.pr % geeracio del vector de putos medios de itervalos =10 % umero de itervalos delta=(max(m)-mi(m))/ % acho de cada itervalo I(1)=mi(m)+delta/2 for i=2:, I(i)=I(i-1)+delta; ed % Grafico de barras (histograma) bar(h) De la corrida del programa se obtiee como vectores de putos medios de itervalo y de frecuecia e cada itervalo: y el siguiete histograma: A modo de verificació, si se quiere averiguar la media y la variaza de la simulació, se procede a ejecutar las siguietes setecias de Matlab: >> load m.pr >> mea(m) as =

13 >> var(m) as = La teoría dice que la media de la distribució dada por f(x) está dada por: 9 i 1 y la variaza por: x i p i 1 ( ) co lo que resulta: Co lo que se puede apreciar la proximidad etre los valores reales (4.5874, ) y teóricos de media y variaza (4.5, 0.825). FÓRMULAS PARA y Si ua muestra aleatoria de tamaño se elige de ua població que tiee la media y variaza 2, etoces es u valor de ua variable aleatoria cuya distribució tiee la media. Prueba: sea ua muestra de tamaño de ua població co media y variaza 2 co otació (x 1, x 2,, x ). La misma se puede idividualizar como valores observados de ua variable aleatoria X. Tambié se puede cosiderar a estos valores como observacioes simples de variables aleatorias X 1, X 2,, X que tiee la distribució de X (media y variaza 2 ) y que so idepedietes (ya que los valores de la muestra idepedietes). Luego la media muestral vale: X X 1 X 2.. X 1 X 2 X... X X 1 X 2.. X X 1 X 2 X... E X X E X 1 E X 2... E X... Para muestras tomadas de poblacioes ifiitas, la variaza de esta distribució es: Prueba: bajo las codicioes de la prueba aterior, la variaza de la suma de variables aleatorias idepedietes es la suma de las variazas de cada ua de las variables: 13

14 X X 1 var X X 2... var X 1 X var X 2... var La variaza de ua costate por ua variable aleatoria es: var ( cx) c 2 var ( X) luego, la expresió aterior queda: X Para muestras tomadas de poblacioes fiitas de tamaño N, la variaza de esta distribució es: X La correcció o tiee etidad cuado la muestra es meor que el 5% de la població. TEOREMA DE CHEBYSHEV Cuado la muestra es pequeña (<30) y se supoe que la població o está ormalmete distribuida, o es posible utilizar la distribució de probabilidad ormal i la t-studet para costruir u itervalo de cofiaza. El Teorema de Chebyshev establece: La proporció de las medias e u cojuto de datos que se sitúa detro de las k desviacioes estádar de la media o es meor de 1-1/k 2, siedo k > 1. Demostració: Cosidérese ua distribució cualquiera de fució desidad f(x), mostrada e la figura. A partir de aquí se puede verificar que: 2 k f( x) x 2 f( x) x k 2 k dx k dx 2 f( x) x dx 14

15 y tambié que: 2 k 2 f( x) x dx k 2 f( x) x dx Las regioes R 1 U R 3 (R 1 uió R 3 ) verifica: x k y x 2 k 2 2 Luego: 2 k f( x) k 2 2 dx k f( x) k 2 2 dx 2 k 2 2 k f( x) dx k f( x) dx 1 k 2 P x k o bie P x k 1 k 2 Tambié: P x k 1 1 k 2 Al aplicarlo a la distribució de muestreo de ua media, la probabilidad de que ua media muestral se sitúe detro de k uidades de error estádar ( ) a partir de la media de la població es: 15

16 P x k x 1 1 k 2 haciedo, queda: Para que sea pequeño (meor o igual que ) basta co hacer grade. Ejemplo I: Para ua muestra de tamaño =15 tubos de TV, la vida útil media de operació es = 8900 co ua desviació estádar de s = 500. Costruir u itervalo de cofiaza 90% para la media de la població si e este caso la vida útil media de operació de todos los tubos o puede supoerse ormalmete distribuida. Ya que se pide u itervalo de cofiaza 90%: k 3.16 k 2 La cofiabilidad de la media como ua estimació de es medida a meudo por el llamado error estádar de la media: Si la media proviee de ua població grade ( > 30, aú supoiedo que o se coozca la variaza de la misma) es posible defiir ua variable aleatoria llamada media estadarizada cuyos valores está dados por: y que tiee ua distribució ormal estádar. Ejemplo II: Supógase los datos del problema aterior, pero co la misma media extraída de ua muestra de tamaño =40. Como la cofiaza debe ser del 90%, a ambos lados de la campaa debe quedar colas co áreas de 5%. Esto implica la siguiete desigualdad que defie el itervalo de cofiaza: 16

17 Gráficamete: Luego e base a los datos, despejado : lo que lleva a: Itervalo de cofiaza desde ya que se aprecia u acotamieto del mismo debido a dos hechos: La aplicació del estadístico z, e vez de usar el Teorema de Chebishev El icremeto del tamaño de la muestra. TOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Sea la variable aleatoria Y = X 1 + X X, dode X 1, X 2,, X so variables aleatorias distribuidas idéticamete, cada ua co media y variaza fiita Luego la distribució de: 17

18 Y z se aproxima a ua distribució ormal estádar cuado tiede a ifiito. Este teorema establece que la suma de u úmero grade de variables aleatorias tedrá ua distribució ormal, idepedietemete de la distribució idividual de la variables sumados. Además: o sea: Y Y X La media de variables aleatorias idepedietes, idéticamete distribuidas, es decir la media de ua muestra aleatoria, tedrá aproximadamete ua distribució ormal. Más geeralmete, cuado las variables aleatorias idividuales sólo hace ua cotribució relativamete pequeña respecto a la suma total, este teorema se cumple aú cuado las variables sumados o tega idética distribució. Esta es ua propiedad que se utiliza e Teoría de Errores e el campo de las medidas co istrumetos, ya que usualmete los errores cosiste de la suma de muchos compoetes idepedietes y pequeños. Si las variables aleatorias idividuales que coforma la muestra tiee ua distribució descoocida y su úmero o es suficietemete grade, o puede supoerse que la distribució de la media muestral es ormal. Ejemplo I: Se cosiderará ua muestra extraída de ua població co distribució triagular: f ( x) 2x 2 fució desidad (válida para 0 < x < 1) la fució acumulada es, por simple itegració: Gráficamete, las fucioes desidad y distribució se ve a cotiuació: 18

19 Si se despeja x de esta expresió y se hace tomar a F(x) valores uiformemete distribuidos etre 0 y 1, se obtiee ua muestra co distribució de triagular. Esto se logra resolviedo e x la siguiete ecuació cuadrática: x 2 2x F( x) 0 que implica dos solucioes: de las que sólo tiee setido la de sigo meos. La simulació de ua muestra de este tipo, se puede ver e el siguiete segmeto de programa Matlab: se obtiee: fuctio tria() % Obtecio de ua muestra de elemetos co distribucio triagular % Etrada:, etero, umero de elemetos de la muestra % Salida: T, vector, co elemetos distribuidos triagularmete % Geeracio de la muestra for i=1:, T(i)=1-sqrt(1-rad);ed % Grafico para verificacio hist(t) Ejecutado la setecia: >> tria(1000) 19

20 Ua població triagular tiee ua media y ua variaza que se calcula del siguiete modo: Para verificar el Teorema Cetral del Límite, se habrá de tomar 1000 muestras de tamaño 5 y a cada ua de ellas se les extraerá la media para posteriormete estudiar la distribució de estas. Para ello se platea: fuctio cetral(,m) % Verificacio del Teorema Cetral del Limite para ua distribucio triagular % Etrada:, etero, umero de elemetos cada muestra % m, etero, umero de medias para la prueba % Salida: M, vector, co elemetos distribuidos ormalmete % Geeracio de la muestra de medias for j=1:m, s=0; for i=1:, T(i)=1-sqrt(1-rad); s=s+t(i);ed M(j)=s/; ed 20

21 se obtiee: % Grafico para verificacio hist(m) mea(m) var(m) Ejecutado: >> cetral(5,1000) as = media as = variaza que sigifica ua gra cocordacia co los resultados teóricos. Recuérdese que la media de la distribució de medias coicide co la de la població, pero la variaza es la correspodiete a la misma pero dividida por el tamaño de la muestra sobre la que se obtiee la media. El resultado gráfico muestra cómo la distribució de las medias coforma ua ormal. k ídice auxiliar Para verificar que el cojuto de valores determiados por el vector z tiee distribució ormal stadard, se elabora co él el histograma correspodiete y superpuesto a este último se dibuja la distribució ormal stadard correspodiete a los mismos 21

22 itervalos. DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA MEDIA ( descoocida) Como se ha dicho más arriba, cuado es grade (mayor de 30) o hay problema e reemplazar a por s (desviació estádar de la muestra). Si se supoe que la muestra o es grade ( meor que 30) pero que proviee de ua població ormal, se puede probar el siguiete teorema: Si es la media de ua muestra aleatoria de tamaño tomada de ua població ormal que tiee media y variaza 2, etoces: x t s es el valor de ua variable aleatoria co distribució t-studet y parámetro =-1 (grados de libertad). La variaza depede de los grados de libertad. Cuado este valor tiede a ifiito( grade) la variaza de la distribució tiede a 1 y la t_studet se covierte e ormal estádar. Hay tablas de valores de para t (valor de t para el cual el área bajo la distribució a la derecha de él es igual a. Por ejemplo t 0.75 para =3, vale Gráficamete: Ejemplo: U fabricate de fusibles asegura que, co ua sobrecarga del 20%, sus fusibles fudirá al cabo de miutos () e promedio. Para probar esta afirmació, ua 22

23 muestra de =20 de los fusibles fue sometida a ua sobrecarga del 20% y los tiempos que tardaro e fudirse tuviero ua media de miutos ( ), y la desviació estádar de 2.48 miutos (s). Si se supoe que los datos costituye ua muestra aleatoria de ua població ormal tiede a apoyar o a refutar la afirmació del fabricate?. Se procede a calcular el estadístico t, mediate la siguiete expresió: t x s Como t < t (u valor razoable el de para el ivel de sigificació), los datos tiede a refutar la afirmació. Los fusibles co sobrecarga del 20% fudirá e meos de miutos E la práctica, se ecesita que la població que se está muestreado tega forma acampaada y o sea demasiado asimétrica. TABLA DE RESUMEN PARA ESTIMACION DE INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA POBLACI ÓN. 23

24 DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA VARIANZA Al estudiar la distribució muestral de la variaza, ua de las primeras apreciacioes es que o puede ser egativa, luego es evidete que o puede respoder a ua distribució ormal. Ejemplo I: Se produce ua simulació tal como la de extraer muestras de tamaño =5 de ua població ormal estádar (=0, =1), se calcula la variaza de cada ua de estas muestras y fialmete se preseta el histograma para apreciar la forma de la distribució. Esto se puede realizar co el siguiete programa: fuctio dis_var(,m) % Verificacio de la dsitribucio muestral de variazas desde ua % poblacio co distribucio ormal estadar % Etrada:, etero, umero de elemetos de cada muestra % m, etero, umero de muestras para la prueba % Salida: M, vector, co elemetos distribuidos e forma de chi-cuadrado % Geeracio de la muestra de variazas for j=1:m, for k=1:, % Geeracio de la muestra ormal estadar s=0; for i=1:12, s=s+rad;ed T(k)=s-6; ed M(j)=var(T); ed % Grafico para verificacio hist(m/m) Ejecutado la istrucció: >> dis_var(5,1000) se obtiee el siguiete gráfico: 24

25 La distribució correspodiete es la llamada Chi-cuadrado ( 2 ) la cual está tabulada para valores 2 (co parámetro que so los llamados grados de libertad). 2 es tal que el área bajo la distribució a su derecha es. La fució desidad correspodiete a esta distribució esta dada por: x e Fx x E el gráfico se observa el resultado que se obtedría de ua tabla etrado co u valor de 2 = 8 y co = 5 grados de libertad. Si embargo, las tablas trabaja co alguos valores de típicos, como por ejemplo E ese caso, lo que se obtiee como respuesta es la abscisa 2 =11: 25

26 Si s 2 es la variaza de ua muestra aleatoria de tamaño tomada de ua població ormal cuya variaza es 2, etoces: 2 s 2 ( 1) 2 es u valor de ua variable aleatoria que tiee la distribució chi-cuadrado co parámetro =-1. Ejemplo II: Ua població ormal tiee ua variaza de 15. Si se extrae muestras de tamaño 5 de esta població Qué porcetaje puede teer variazas a) meores que 10, (b) mayores que 20, (c) etre 5 y 10. a) se calcula el estadístico y co él se calcula el área bajo la curva, a la izquierda, co esa abscisa. U programa e Matlab que puede calcular esta área es: fuctio chicuadrado(chi,) % Calcula el area a la izquierda del valor chi e ua distribucio chi-cuadrado % co grados de libertad, mediate itegraci o por el metodo rectagular % Etradas: chi, real, valor del estad istico chi-cuadrado %, etero, grados de libertad % Salida: M, real, Area a la izquierda de chi, bajo la curva 26

27 % calculo del area bajo la fucio desidad etre 0 y chi M=0; for x=0:0.01:chi; M1=1/(2^(/2)*gamma(/2))*exp(-x/2)*x^(/2-1)*0.01;M=M+M1; ed M de modo que realizado las siguietes corridas, se resuelve el problema: >> chicuadrado(2.667,4) M = b) se calcula el estadístico para s 2 =20: ( 5 1) >> chicuadrado(5.333,4) M = c) por diferecia, la probabilidad que la variaza muestral esté etre 10 y 20 es: >> as = Es importate ecotrar la razó de dos muestras tomadas aleatoriamete. Sirve e pruebas para determiar si dos muestras proviee de poblacioes co variazas iguales, e dicho caso la razó debe ser cercaa a 1. Si s 1 2 y s 2 2 so las variazas de muestras aleatorias idepedietes de tamaño 1 y 2, respectivamete, tomadas de dos poblacioes ormales que tiee la misma variaza, etoces: 27

28 es ua variable aleatoria que tiee la distribució F co parámetros 1 = 1 1 (grados de libertad del umerador) y 2 = 2 1 (grados de libertad del deomiador) La distribució correspodiete es la llamada F, la cual está tabulada para valores F (co parámetros y. F es tal que el área bajo la distribució a su derecha es. E el gráfico se observa el resultado que se obtedría de ua tabla etrado co u valor de F = y co = 4 grados de libertad del umerador y = 6 grados de libertad del deomiador. La fució desidad de esta distribució está dada por: fx1 2 x x Ejemplo III: Si dos muestras aleatorias idepedietes de tamaños 1 =7 y 2 = 13 se toma de ua població ormal Cuál es la probabilidad de que la primera sea al meos 3 veces más grade que la de la seguda?. fuctio F(f,u1,u2) % Calcula el area a la derecha del valor f e ua distribucio F % co u1 y u2 grados de libertad, mediate itegracio por el metodo rectagular % Etradas: f, real, valor del estadistico F % u1 y u2, eteros, grados de libertad % Salida: M, real, Area a la izquierda de f, bajo la curva % calculo del area bajo la fucio desidad etre 0 y f M=0;K=gamma((u1+u2)/2)/gamma(u1/2)/gamma(u2/2)*u1^(u1/2)*u2^(u2/2); for x=0:0.01:f; M1=K*x^((u1-2)/2)/(u1*x+u2)^((u1+u2)/2)*0.01;M=M+M1; ed 1-M de modo que realizado la siguiete corrida, se resuelve el problema: >> F(3,6,12) 28

29 as = luego la probabilidad buscada es cercaa al 5%. Ua propiedad de esta distribució es que: esto se puede apreciar, a partir del trabajo co tablas, para =0.95, 1 =7 y 2 = 13, resulta: F 0.95 ( 713) F 0.05 ( 137) dichos úmeros so evidetemete uo el recíproco del otro. INFERENCIAS RELATIVAS A MEDIAS Estimació Putual: La estimació putual se refiere a la elecció de u estadístico, es decir u úmero calculado a partir de los datos muestrales (y quizás de más iformació) respecto al cual teemos algua esperaza o seguridad de que esté razoablemete cerca del parámetro que se ha de estimar. Estimador Isesgado: U estadístico es u estimador isesgado, si y sólo si la media de la distribució de estimados es igual a. Si se compara las distribucioes muestrales de la media y la mediaa de muestras aleatorias de tamaño de la misma població ormal. Las dos distribucioes tiee la misma media, ambas so simétricas y co forma acampaada, pero sus variazas difiere. Para la primera es / y para la seguda es * / (para poblacioes ifiitas). Esto se puede apreciar mediate el siguiete programa: fuctio eficiete(m,) % Distribucio de m medias y mediaas de muestras de tamaño % de ua poblacio ormal % Etradas: m, etero, umero de muestras %, etero, tamaño de las muestras % Salida: M, real, relacio de variazas de la distribucio de % mediaas a la de medias % Geeracio de la muestra de variazas for j=1:m, for k=1:, % Geeracio de muestras co distribucio ormal s=0; for i=1:12, s=s+rad;ed T(k)=s-6; ed media(j)=mea(t); mediaa(j)=media(t); 29

30 ed M=var(mediaa)/var(media) e el que se geera m muestras de tamaño co distribució ormal, extrayédosele a cada ua la media y la mediaa, realizádose a posteriori el cociete de las variazas de ambas. La corrida correspodiete es: >> eficiete(1000,20) as = M = cuyo resultado cocuerda co el euciado teórico. Luego, es más probable que la media esté más cerca de que la mediaa. U estadístico es u estimador isesgado más eficiete del parámetro que el estadístico si: 1) y so ambos estimadores isesgados de 2) La variaza de la distribució muestral del primer estimador es meor que la del segudo. E la práctica, la media muestral es u estadístico aceptable para estimar la media de la població. La posibilidad de acertar exactamete a es escasa, por ello es coveiete acompañar la estimació putual de co ua afirmació de cuá cercaa podemos razoablemete esperar que se ecuetre la estimació. El error x es la diferecia etre la estimació y la catidad que se supoe estima. Para grade, se puede asegurar co ua probabilidad 1- que la desigualdad: z 2 será satisfecha. Dode es de /2. x x z o bie z 2 2 es ua abscisa tal que el área bajo la curva ormal estádar a su derecha 30

31 E es el valor máximo de x o sea, el Error Máximo de Estimació: a los valores y se los deomia Límites de Cofiaza. Los valores de mayor uso para 1- so 0.95 y 0.99 y los valores correspodietes será: z z z z Ejemplo I: U supervisor iteta utilizar la media de ua muestra aleatoria de tamaño =150 para estimar la aptitud mecáica promedio (la cual se mide co ua cierta prueba) de los obreros de ua líea de esamblado. Si por su experiecia puede supoer que =6.2 para tales datos. Qué podemos asegurar co ua probabilidad de 0.99 sobre la media máxima de este error? E z se puede asegurar co ua probabilidad del 99% que el error será a lo sumo Si al recoger los datos se obtiee x 69.5 Se puede asegurar aú co probabilidad 99% que el error es a lo sumo 1.304? Se hace afirmacioes de probabilidad acerca de valores futuros de variables aleatorias (digamos error potecial de ua estimació) y afirmacioes de cofiaza ua vez que los datos ha sido obteidos. Luego, se diría que el supervisor puede teer ua cofiaza del 99% de que el error de estimació para x 69.5 sea a lo sumo U Itervalo de Cofiaza para la media es u itervalo estimado costruido co respecto a la media de la muestra, por el cual puede especificarse la probabilidad que el itervalo icluya el valor de la media poblacioal. El Grado de Cofiaza, asociado co u itervalo de cofiaza, idica el porcetaje de los itervalos que icluirá el parámetro que se está estimado. Si se desea usar la media de ua muestra grade aleatoria para estimar la media de ua població y que se quiere asegurar co probabilidad 1- que el error será a lo sumo ua catidad predetermiada E, el úmero de elemetos de la muestra debe ser: 2 E z z E 2 2 Ejemplo II: Ua ivestigació quiere determiar el tiempo promedio que u mecáico tarda e itercambiar los eumáticos de u auto, y además desea poder asegurar co ua 31

32 cofiaza del 95% que el error de su muestra sea a lo sumo de E=0.50 miutos. Si puede presumir, por experiecia que =1.6 miutos. Qué tamaño deberá teer la muestra? z E vale decir la muestra debe teer u tamaño de 40. E es el factor de error más o meos permitido e el itervalo (siempre es la mitad del Itervalo de Cofiaza). Hasta aquí era ecesario coocer o su valor aproximado por s (desviació estádar muestral) requiriedo grade. Para chico, si se está muestreado e ua població ormal: x t s t es ua variable aleatoria co distribució t-studet co =-1 grados de libertad. Luego, el error máximo de estimació será: s E t 2 o co ua cofiaza del (1-)100% de que el error sea meor que esa catidad. Ejemplo III: Ua muestra de 10 medidas de diámetro de ua esfera dio ua media de =10.95 cm y ua desviació típica de s=0.15 cm. Hallar los límites de cofiaza para el diámetro verdadero del a) 95% y b) 99%. Los valores de E para 95% (=0.05) y para 99% (=0.01) co =-1= E 95 t E 99 t lo que lleva al itervalo para =0.05: y para = x x x x co lo que se puede decir e la cofiaza del 95% que el valor verdadero de la media se ecuetra etre y , o e la cofiaza del 995 que se ecuetra etre y 32

33 ESTIMACIÓN POR INTERVALOS Dado que la probabilidad de estimar putualmete es cero, es preferible reemplazar a esta co estimacioes por itervalos. Para ilustrar esto, supogamos ua muestra grade ( > 30)co y 2 coocidos. x z z z x z x z x z 2 2 se puede asegurar co ua cofiaza del (1-)100% que el itervalo x z x z 2 2 cotiee. Este es u Itervalo de Cofiaza para, co u Nivel de Cofiaza 1- Cuado se descooce (y > 30) se la sustituye por la desviació estádar muestral. Ejemplo I: Las medidas de los diámetros de ua muestra de 200 cojietes de bolas hechos por ua determiada máquia durate ua semaa diero ua media de 2.06 cm y ua desviació típica de cm. Hallar los límites de cofiaza del a) 95% y b) 99% para el diámetro de todos los cojietes. a) para =0.05 E z luego, el itervalo de cofiaza es: b) para =0.01 E z luego, el itervalo de cofiaza es: ESTIMACIÓN BAYESIANA 33

34 REGLA DE BAYES Si a los evetos A j se los llama causas, la fórmula puede cosiderarse como la probabilidad de que el eveto B, que ha ocurrido, sea el resultado de la causa A k, esto es, para la probabilidad de que la causa A k esté actuado, calculada bajo la hipótesis de que hemos observado B. Por lo tato, este es u método para calcular la probabilidad de ua causa dado el efecto. Ejemplo I: Ua ura cotiee 3 moedas C 1 C 2 y C 3 co probabilidad de caer cara iguales a 0.4, 0.5 y 0.6 respectivamete. Ua moeda se extrae aleatoriamete y se arroja 20 veces. Aparece cara hacia arriba 11 veces. Ecotrar la probabilidad de que la moeda elegida sea la legal (p=0.5). Si igua iformació, la probabilidad de extraer la moeda legal es 1/3. Esta se deomia a priori. Co la iformació dada, podemos proceder como sigue: sea A j el eveto tal que la moeda C j se extrae, y sea B el eveto tal que se obtuviero 11 caras e 20 pruebas. Etoces, e la fórmula de Bayes: P(A j ) =1/3 (j=1, 2, 3) y la respuesta es: que es mayor que la previa. Esta es la llamada probabilidad a posteriori. Hay métodos de iferecia que cosidera a los parámetros como variables aleatorias. Aquí se valora coceptos de probabilidad subjetiva. Se presetará u método bayesiao para estimar la media de ua població cosiderado a como ua variable aleatoria, cuya distribució es subjetiva. Para el aalista, esta clase de Distribució A Priori, obteida de maera subjetiva, tiee ua media 0 y ua desviació stadard 0. 34

35 Como problema cocreto, supógase u problema de emisió de óxido de azufre de ua plata idustrial, dode el igeiero jefe supoe, por experiecia, que la emisió tiee las siguietes características (Distribució A Priori): media y desviació stadard x rago de variació de x (para graficar la distribució) f( x) 1 2 exp ( x ) fució desidad de la distribució 'a priori' gráficamete: f( x) dx Probabilidad que la emisió esté etre 18 y 19 Si posteriormete se realiza la toma de 80 muestras y los resultados da: x' media y desviació stadard de las 80 muestras 80 úmero de muestras Los parámetros de la distribució "a posteriori" será (aquí se combia creecias previas co evidecias muestrales directas): x' ( x ) 2 f1( x) exp fució desidad de la distribució 'a posteriori' 35

36 19 18 gráficamete: f1( x) dx Probabilidad que la emisió esté etre 18 y 19 Si o se hubiese hecho el aálisis bayesiao y se hubiera cosiderado la muestra "cruda", la probabilidad de emisió etre 18 y 19 sería: x' f2( x) 1 2 exp ( x x' ) f2( x) dx evidetemete meor que aplicado Bayes (0.55). 36

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