APRENDER A ENSEÑAR GEOMETRIA. UNA EXPERIENCIA EN LA FORMACION INICIAL DEL PROFESORADO DE PRIMARIA

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1 - 1 - APRENDER A ENSEÑAR GEOMETRIA. UNA EXPERIENCIA EN LA FORMACION INICIAL DEL PROFESORADO DE PRIMARIA Lorenzo J. Blanco Nieto Prof. de Didáctica de las Matemáticas Dpto de Dca. de las Ciencias Experimentales y de las Matemáticas Universidad de Extremadura. Badajoz Resumen El trabajo que se presenta quiere reflejar una experiencia muy concreta llevada a cabo en un curso de formación inicial de profesores de Primaria, donde se señalan y analizan algunas de las dificultades que los Estudiantes Para Profesores (EPPs) tienen para aprender a enseñar Matemáticas. El tipo de actividad que se propone y el trabajo que se desarrolla a partir de ella, pueden ser una alternativa a los actuales programas que se contemplan en la formación inicial de profesores de Matemáticas, puesto que permiten, a los EPPs, la construcción de su propio Conocimiento Didáctico del Contenido (Shulman, 1993, y Blanco, Mellado y Ruiz, 1995). Rev. Epsilón pag. - 1

2 - 2 - APRENDER A ENSEÑAR GEOMETRIA. UNA EXPERIENCIA EN LA FORMACION INICIAL DEL PROFESORADO DE PRIMARIA 1. Nuevo contexto general para la Formación Inicial de Profesores. Parece evidente considerar que la formación Inicial del profesorado ha sufrido cambios importantes en las tres últimas décadas. Aspectos concretos de esta evolución han sido recientemente considerados en algunos trabajos por diferentes autores como Cooney (1994), Sierra (1995), Blanco (1995), y otros. La renovación producida no sólo ha afectado a la estructura de los Centros de Formación Inicial de Profesores (Escuelas Normales - Escuelas de Formación del Profesorado de EGB - Facultades de Educación), o a la dedicación del profesorado, sino, fundamentalmente, ha implicado una renovación de contenido y metodología de las materias que constituyen el currículo de la formación de los maestros, y evidentemente entre ellas, las Matemáticas. Este último aspecto es el que más preocupa en estos momentos, puesto que constituye el núcleo fundamental de nuestra actividad docente como formador de profesores. A este respecto, en nuestro trabajo profesional tendremos que considerar, por una parte, diferentes aspectos como los cambios en los planes de estudios, las nuevas propuestas curriculares, las perspectivas sobre enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas, diferentes roles y concepciones de los profesores en el aula, la crítica sobre la falta de conexión entre la teoría y la práctica, etc. y, de otra, las investigaciones sobre la formación de los profesores que hacen referencia al conocimiento básico para la enseñanza de las Matemáticas (Thompson, 1992; Linares, 1994; Bromme, 1994) y aquellas que ponen de manifiesto las dificultades que los estudiantes para profesores tiene para aprender a enseñar Matemáticas ((Ball y Wilson, 1990; Blanco, 1991; Brown y Borko, 1992). Todas estas situaciones hacen que se intente determinar un nuevo marco para la formación inicial del profesorado donde se definiría un nuevo contexto de enseñanza y aprendizaje: aprender a enseñar Matemáticas. Uno de los aspectos centrales de este nuevo marco debería ser la identificación y reflexión sobre los conocimientos y creencias de los profesores sobre las matemáticas, que debería apoyarse en nuevos materiales que tuvieran su origen en situaciones prácticas de enseñanza (Dossey y otros, 1994). Por nuestra parte, consideramos que el núcleo de la formación de profesores debería llevar a los profesores en formación a la construcción de su propio Conocimiento Didáctico del Rev. Epsilón pag. - 2

3 - 3 - Contenido (Shulman, 1993; Blanco, Mellado y Ruiz 1, 1995) entendiendo que esto debería ser la referencia básica a partir de la cual establecer los aspectos concretos que definirían este nuevo currículum. Es por esto que en nuestra actividad intentamos poner actividades específicas que pongan de manifiesto los conocimientos, creencias y actitudes de los profesores en formación sobre el aprendizaje y enseñanza de las Matemáticas y en la que estos tengan oportunidades de analizar su actuación como profesor de Matemáticas. En algunas ocasiones las prácticas docentes nos permiten la utilización de técnicas cualitativas (observaciones y grabaciones de clases, entrevistas, etc.) y en otras, como el ejemplo que presentamos, mediante actividades tomadas de situaciones posibles de una clase de Primaria y que serán analizadas individualmente o en grupo. Y todo ello porque asumismos que los estudiantes para profesores necesitan oportunidades para examinar y cuestionar sus concepciones sobre el papel del profesor, así como desarrollar su conocimiento didáctico del contenido (Ball y Wilson, 1990, p. 20). 1 ANTECEDENTES FORMACIONINICIAL Creencias Actitudes Conocimiento de si mismo DESARROLLO PROFESIONAL EN EL CONTEXTO DEL AULA Teniendo en cuenta: Valores, Creencias, Actitudes, Roles, Conocimientos, etc. Componente estática del C.D.C. Incluye conocimientos de: Contenido Psicopedagogía general Dtca de las Matemáticas Otras materias Componente dinámica del C.D.C.M. Desarrollada a partir de: Prácticas de enseñanza Estudio de casos Reflexión personal Cambio Conceptual y Metodológico Desarrollo del C.D.C. Esquema que describe el C.D.C. como conocimiento base de los profesores, especificando dos componentes diferenciadas: Estática y Dinámica (Blanco, Mellado y Ruiz, 1995) Rev. Epsilón pag. - 3

4 Un contexto específico para aprender a enseñar geometría Marco de la experiencia El trabajo descrito tiene su origen en una actividad desarrollada con alumnos de 3º de la especialidad de Primaria en la Facultad de Educación de Badajoz. No es una experiencia aislada dentro del programa, aunque no es todavía, un tipo de actividad generalizado en el desarrollo del trabajo en la clase. No es nuestra intención generalizar los resultados, ni sacar conclusiones universales sino, simplemente, proporcionar un elemento de reflexión sobre el proceso desarrollado en nuestra actividad docente. Intentamos que los estudiantes para Profesores de Primaria aprendan a enseñar Matemáticas, adoptanto una perspectiva constructivista, para este nuevo conocimiento, que tenga en cuenta sus concepciones previas. A este respecto, debemos señalar que la actividad desarrollada contempla las dos referencias que se indican en García y otros (1994) para contextualizar el contenido en la formación inicial. De una parte, en relación a la naturaleza del contenido matemático escolar y a la forma en que este contenido se genera en el aula, y de otra, el contexto de aprendizaje donde los estudiantes para profesores desarrollan su actividad discente. La experiencia se inserta en la actividad desarrollada en la asignatura Didáctica de las Matemáticas II (Didáctica de la Geometría), de carácter obligatoria de la Universidad, que se propone en el Plan de Estudios para los estudiantes de tercer curso que han escogido la Especialidad de Primaria. Uno de los objetivos de la asignatura es que los estudiantes vayan adquiriendo, como consecuencia de la experiencia en clase en el Centro de Formación Inicial y durante las prácticas docentes, el Conocimiento Didáctico del Contenido en relación a la Geometría, necesario para poder desarrollar la docencia en los niveles de Primaria. Dentro de este marco, uno de los objetivos del curso es ayudar a nuestros alumnos a desarrollar la capacidad de razonamiento pedagógico 2 (Wilson; Shulman y Richert, 1987, Brown y Borko, 1992). Por lo tanto nuestra actividad va dirigida a estudiar y analizar el proceso de transformación de determinados contenidos matemáticos, en este caso contenidos de Geometría, en formas útiles y adaptadas al nivel de los estudiantes de Primaria. En este proceso, incluimos la identificación y selección de estrategias para representar ideas 2 "Razonamiento pedagógico es el proceso de transformación de la materia en formas útiles y adaptadas al nivel de los estudiantes. Incluye identificación y selección de estrategias para representar ideas claves en la lección, y adaptación de estas estrategias a las características de los estudiantes. (Brown y Borko, 1992, p. 212) Rev. Epsilón pag. - 4

5 - 5 - claves de los tópicos señalados, adaptación de estas estrategias a las características de los estudiantes (conocimiento, nivel de razonamiento y maduración, etc.), el conocimiento que los EPPs tienen sobre los tópicos considerados y sobre la enseñanza/aprendizaje de los mismos, etc.. Por otra parte, el desarrollo de estas actividades nos permiten detectar y comprender las dificultades que los EPPs tienen para responder a preguntas inusuales de los alumnos de Primaria, dificultades para discriminar nociones válidas o no, dificultades para representar ideas Matemáticas adecuadamente al nivel de Primaria, para generar ejemplos útiles para la enseñanza en algunos temas específicos sacados del currículum escolar, etc, lo que les lleva a situaciones de incertidumbre cuando tienen que tomar decisiones sobre cómo responder a los alumnos en estas situaciones. En muchas ocasiones estas preguntas inusuales o situaciones de incertidumbre surgen como consecuencia de una participación creativa de los alumnos de Primaria, lo que hace más interesante y necesaria considerar estos contextos dentro de los programas de formación inicial. En el trabajo que exponemos nos hemos centrado en un aspecto concreto de la enseñanza de la Geometría como son los conceptos de área, perímetro y la relación que se establece entre ambos conceptos Una actividad concreta No vamos a señalar cuál es el programa específico de la materia, sino simplemente y, en la línea señalada, vamos a exponer algunas de las conclusiones establecidas a partir de una actividad concreta propuesta a los EPPs durante el curso El ejemplo escogido fue sugerido a partir del trabajo de Ball y Wilson (1990), y fue desarrollado en el aula con los alumnos de la especialidad de Primaria dentro de la asignatura mencionada, así como con un grupo de maestros en ejercicio que participaban en un curso de un CEP. La actividad propuesta tiene su origen en una situación normal en una clase de Primaria en la que un alumno realiza un razonamiento, a partir de un ejercicio del libro de texto, como consecuencia del cual cree haber descubierto una teoría que él desconocía. Como tal se la presenta al maestro presentándose en el aula una nueva situación que deberá ser analizada por los profesores en formación. Así, repartimos a los EPPs una hoja con la siguiente propuesta: Imagina que un alumno llega a tu clase interesado en una idea que quiere comunicarte. Te dice que ha resuelto una nueva teoría a la que tu nunca habías hecho referencia. Explica que, a partir de una actividad que ha visto en el libro de texto, ha descubierto que cuando el perímetro de una figura cerrada aumenta, entonces el área también se Rev. Epsilón pag. - 5

6 - 6 - incrementa. Para probarlo te muestra la figura del libro donde se refleja la solución, dadas por él mismo, a las preguntas propuestas: 20 u Cuál es el perímetro de la figura A? 16 u Cuál es el perímetro de la figura B? Cuál es el área de la figura A? 16 u 2 Cuál es el área de la figura B? 24 u 2 Ante esta situación cuál debería ser tu actitud?, cómo deberías actuar con ese niño?, qué harías en esa clase?. El alumno del ejemplo declara que ha descubierto una teoría y ofrece un dibujo de un caso particular como una prueba. De todos es conocido que un ejemplo no establece la verdad de una generalización en Matemáticas. Aún muchos ejemplos deberían hacer la declaración más plausibles, pero no probarlo. De aquí que el alumno declara una conjetura, no una teoría. De hecho, es falsa, el área y el perímetro de una figura cerrada sólo se relacionan de forma directa cuando las figuras son semejantes (dos círculos, dos cuadrados, etc.). En este caso, el rectángulo de 3 x 3 tiene un perímetro de 12 u. y un área de 9 u2. Si modificamos las dimensiones del rectángulo hasta convertirlo en un rectángulo de 1 x 9, el perímetro crecería a 20 u, mientras que el área quedaría igual Objetivo El objetivo específico de esta actividad es dar oportunidad, a los EPPs, para examinar y cuestionar sus concepciones sobre el papel del profesor y sobre el aprendizaje y la enseñanza de las Matemáticas, en relación a un aspecto concreto, pero que de cuya reflexión pueden sacarse importantes aspectos comunes a otras actividades y situaciones semejantes. Queríamos analizar cual sería el razonamiento de los EPPs ante una situación posible de una clase de Primaria. Intentabamos conocer algo del conocimento didáctico de los EPPs., planteando una situación factible, y que implicaba un razonamiento falso de un supuesto alumno. Deberían reflexionar sobre una situación de enseñanza/aprendizaje en la que necesariamente nos mostrarían sus conocimientos de Geometría, en los tópicos implicados en el ejemplo, y verterían sus conocimientos sobre métodos de enseñanza en relación a la Geometría, niveles de aprendizajes de los alumnos de Primaria, o la Rev. Epsilón pag. - 6

7 - 7 - utilización de algunos materiales didácticos. En el análisis que realizamos de las contestaciones dadas consideramos tres apartados diferenciados: a) Referencia a los conceptos específicos de perímetro y área, pero sobre todo a la relación que se establece entre ambos conceptos, qué es el aspecto de contenido más sobresaliente. b) Referencia al conocimiento matemático y su justificación en relación al proceso de generalización de determinados conceptos o procesos. c) Razonamiento pedagógico de los futuros profesores ante una conjetura que presenta un alumno de Primaria Resultados. La actividad fue presentada a 52 estudiantes para profesores, y de las respuestas dadas vamos a sacar algunos datos que nos parecen de enorme interés. Así, veintinueve de las respuestas consideran que el razonamiento establecido por el alumno ha sido correcto, aceptando que efectivamente cuando crece el perímetro aumenta la superficie interior. De estas, hay tres respuestas que considerando que es cierta la relación señalan, sin embargo, que no se da una relación directa, indicando, expresamente, que el doble del perímetro no implica el doble de área. Es indudable que parece de alguna manera lógico que si el perímetro aumenta, también aumentara el espacio interior. Doce alumnos declaran que la relación es falsa. De ellos, seis intentan probar su afirmación con algún contra-ejemplo, considerando, en todo momento, formas similares a las del ejercicio. Los otros seis simplemente señalan que es falsa sin justificar su afirmación. Hay que desatacar que tan sólo hubo un caso (de los seis señalados en primer lugar) en el que señala expresamente la circunstacia de que ser cierto para un caso no puede implicar una afirmación general. Es decir, sólo uno de los 52 consideró el error de generalizar a partir de un caso particular. Diez estudiantes manifiestaron su duda acerca de que pueda establecerse la relación entre área/perímetro en el sentido que el alumno indica en el ejemplo. Sin embargo, no proponen actividad alguna, o sugerencia que permita salir de la duda. En un caso se nos manifestó no entender la actividad propuesta. El mismo ejercicio fue propuesto a 15 maestros de Primaria en ejercicio, en un curso de matemática realizado en un CEP. Las respuestas dadas, que no se analizan en el presente trabajo, fueron similares por lo que podemos intuir que los resultados obtenidos pudieran ser tenidos en cuenta de una manera más general. Rev. Epsilón pag. - 7

8 Análisis de los resultados a partir del trabajo en clase Las respuestas dadas por los EPPs a las cuestiones planteadas constituyen la base a partir de la cual iniciamos el análisis de la situación planteada en el ejemplo. En este análisis tendremos en cuenta dos referencias básicas: En primer lugar, los contenidos y procesos matemáticos subyacentes en el ejemplo y, en segundo lugar, la situación de enseñanza/aprendizaje que puede generarse a partir de la conjetura del alumno. Todo ello nos proporciona un contexto de aprendizaje sobre cómo enseñar matemáticas, donde se contraponen viejas concepciones sobre las matemáticas y la enseñanza de las matemáticas de los EPPs, con las nuevas concepciones que subyacen an las actuales propuestas curriculares (MEC, 1992; NCTM, 1991a) En relación a los contenidos y procesos matemáticos Destacamos, en primer lugar, el número excesivo de respuestas que consideran cierta, sin ninguna duda, la afirmación señalada por el alumno del ejemplo. 29 de los 52 EPPs creyeron al alumno, mientras que en el caso de los maestros en ejercicio la proporción fue 7/15. El análisis posterior de la actividad realizado en el aula nos mostró que los EPPs razonaban más basándose en la falsa intuición que sugiere el razonamiento del alumno que por el estudio que pudieran hacer a partir de las figuras geométricas. Los EPPs mostraron dificultades para establecer relaciones entre conceptos diferentes, en este caso entre los conceptos de área y perímetro. Esto puede venir determinado por dos aspectos diferentes que surgen como consecuencia del desarrollo del aprendizaje de las Matemáticas durante la enseñanza obligatoria. En primer lugar, los EPPs muestran una forma de conocimiento cuadriculado de las Matemáticas. Conocen diferentes conceptos y algoritmos matemáticos, unos independientes de otros, pero encuentran dificultad para relacionarlos. A este respecto, recordamos la dificultad mostrada por los EPPs para encontrar ejemplos nuevos que ratificara o rectificaran la conjetura del alumno. A este respecto podríamos recordar las recomendaciones del NCTM acerca de la necesidad de presentar y trabajar las Matemáticas como una materia unificada, como un todo integral, en vez de un conjunto integrado de temas (NCTM, 1991a), diseñando actividades que evidencien y profundicen en las interconexiones entre conceptos y procesos matemáticos, en la idea de que estas actividades harán nacer en los estudiantes expectativas sobre la utilidad de las Matemáticas para resolver problemas y explorar otros matemáticos (NCTM, 1991a y b) 3. 3 Estandar curriculares 4: Conexiones matemáticas (NCTM, 1991a) Estandar 4 para la evaluación de la enseñanza de las Matemáticas: Conceptos, procesos y Rev. Epsilón pag. - 8

9 - 9 - En segundo lugar, el trabajo en el aula nos muestra las dificultades que tienen para abordar una cuestión matemática. Ambos grupos manifiestan un desconocimiento práctico de las estrategias sobre resolución de problemas (Blanco, 1993). En este sentido, es importante destacar que no encuentran caminos válidos para salir de la duda que manifiestan un número importante de EPPs. Podríamos señalar que tienen dificultades para pensar matemáticamente en el sentido expresado en el NCTM, donde se recomienda expresamente explorar ejemplos y contraejemplos para investigar conjeturas (NCTM, 1991b, p. 45) 4. Igualmente, el aspecto de generalización de resultados a partir de un caso particular pasa desapercibido tanto para los EPPs como para los profesores en activos. Esta forma de razonamiento resulta muy usual en los alumnos de Primaria. El problema de generalizar a partir de un caso particular está asumido, no sólo para el caso de las Matemáticas, y es uno de los aspectos que dificulta la adquisición del pensamiento matemático En relación a la enseñanza de las Matemáticas Es evidente, que la observación que los EPPs hacen sobre la relación área/perímetro condiciona el tipo de actuación que deberían manifestar como profesores. La mayoría de los que consideran que el razonamiento es correcto no ven la obligación de intervención de ningún tipo, simplemente el reconocimiento al niño por su trabajo. De igual manera, aquellos que dudan de la certeza del argumento dado tienen dificultades evidentes para decidir el tipo de intervención deseada. Es decir, la mayoría no manifiestan ningún tipo de actuación ante el resto de la clase, quedando el hecho como una mera anécdota de un niño muy avispado. Algunos pocos retoman el mismo ejemplo para volver a insistir en la certeza del razonamiento, otros proponen ejemplos similares (igual forma pero diferente tamaño) que reforzarían el razonamiento establecido, ratificando la relación área/perímetro. Entre aquellos que consideran algún tipo de intervención tenemos que destacar expresiones como les explicaría, les diría, que indican un predominio de la relación profesor-alumno, mostrando una concepción tradicional de la enseñanza muy alejada de la conexiones matemáticas (NCTM, 1991b) 4 Estandar 3 para la enseñanza de las Matemáticas: Papel de los estudiantes Rev. Epsilón pag. - 9

10 metodología que se proponen en las nuevas propuestas curriculares, y que queremos significar con la expresión hacer Matemáticas. Y ello a pesar de que estos profesores en formación conocían el significado de tal expresión, así como de diferentes propuestas metodológicas para la enseñanza de las Matemáticas de las que habían tenido experiencia previa. De igual manera, constatamos que aquellos que se dirigen a los alumnos para que intervengan lo hacen mayoritariamente para que estos expliquen oralmente su propuesta, sin considerar algún tipo de actividad complementaria. Esta referencia a la enseñanza tradicional de las Matemáticas, usual en la práctica docente de los EPPs ante situaciones de incertidumbre, ha sido puesta de manifiesto en trabajos anteriores y desde diferentes ópticas. Así, Cooney (1985), Blanco (1991) y Borko y otros (1992), entre otros, señalan que los EPPs tiene en sus actuación docente como referencia fundamental su experiencia como alumnos de enseñanza obligatoria más que su aprendizaje en los Centros de Formación Inicial. Ball y Wilson (1990), en el trabajo que da origen a este ejemplo, señalan la preferencia de los profesores noveles por una metodología de tipo tradicional basada en hablar y mostrar a los alumnos formas de hacer Matemáticas, en un proceso que se situaría lejos de postulados constructivistas más usuales en estos días. Así, se deduce de las respuestas a las cuestiones planteadas que van en la línea de responder directamente a los estudiantes, hablarles a los estudiantes si las ideas son correcta o no Consecuencias inmediatas del análisis. El reconocimiento de los EPPs de sus propias limitaciones, fué un punto de partida eficaz, interesante y motivador, para desarrollar con posterioridad actividades geométricas específicas encaminadas a evitar estas lagunas en su conocimiento matemático, y a poner de manifiesto otra forma de enseñanza de las Matemáticas. Estas nuevas actividades se desarrollaban teniendo en cuenta las nuevas recomendaciones curriculares, y considerando que los futuros profesores deberán ser enseñados de forma parecida a como ellos habrán de enseñar. La reflexión sobre las contradicciones entre esta nueva metodología, ahora experimentada, y las concepciones por ellos manifestadas a los largo del análisis de la situación, es justamente el elemento de partida necesario para permitir a los EPPs la construcción de un nuevo conocimiento didáctico, y su transferencia a la práctica del aula. A este respecto, recordamos que los maestros en formación transferirán al aula los conocimientos que se les imparten en las Escuelas de Magisterio, en la medida en que estos conocimientos interaccionen con sus propias concepciones, consolidándolas y Rev. Epsilón pag. - 10

11 cambiándolas (Mellado y Bermejo, 1995, p. 123). 4. Conclusiones. El análisis de los documentos presentados como respuestas escritas a la actividad plateada, conjuntamente con la quehacer docente desarrollado a partir del mismo, nos mostraron dificultades de diferente naturaleza en los tres puntos señalados en los objetivos. Al margen de las dificultades de contenidos que nuestros alumnos tienen, nos interesan resaltar el desconocimiento que los futuros profesores muestran acerca del proceso metodológico de la propia Matemática, y las dificultades que tienen para considerar una situación específica de enseñanza enmarcada en un contexto escolar determinado. Es evidente que estos dos aspectos dificultan, enormemente, el aprendizaje de los EPPs de cómo enseñar Mátemáticas de acuerdo a las nuevas orientaciones profesionales (NCTM, 1991b). La experiencia desarrollada confirma la conveniencia de este nuevo tipo de propuestas de actuación ante los EPPs, encaminadas a desarrollar la capacidad de Razonamiento Pedagógico y de Conocimiento Didáctico del Contenido. Estas actividades deberán estar recogidas en las nuevas propuestas curriculares que deben establecerse en los Centros de Formación Inicial de Profesores. Es necesario desarrollar nuevos materiales que nos ayuden a analizar, conjuntamente con los EPPS, sus conocimientos, creencias y actitudes sobre las Matemáticas y sobre enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas, y que surgen como consecuencia de su estancia escolar y de sus largos años vividos como aprendices de Matemáticas. Todo ello para corregir que los estudiantes para profesores sigan tomando como referencia en sus prácticas docentes su experiencia como alumnos en la enseñanza obligatoria, más que las actividades y trabajo desarrollado en las clases de Didáctica de las Matemáticas. A este respecto, la experiencia desarrollada, a partir del ejemplo propuesto, constituye un nuevo tipo de actividad que favorece el aprendizaje sobre cómo enseñar matemáticas dentro del marco concreto establecido en el comienzo de este trabajo. Rev. Epsilón pag. - 11

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