Este centro consta de 20 cuartos sencillos, 12 cuartos dobles, 7 corredores y 4 salas de sesiones.

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1 reguta 6 utos Ua empresa de limpieza cotrata persoal e forma putual depediedo de las solicitudes de trabajo de sus clietes. ara el iicio de ua coferecia iteracioal, u cliete platea la limpieza a fodo del lugar dode se va a realizar la misma. Este cetro costa de cuartos secillos, cuartos dobles, 7 corredores y salas de sesioes. La limpieza del lugar debe ser realizada por dos empleados: Aiat y Bucsht. De la base de datos de la empresa se desprede que el empleado Aiat limpia cuartos secillos, 6 dobles, corredor y saloes por día. El limpiador Bucsht limpia cuartos secillos, dobles, corredores y salas de sesioes por día. El costo de cotratació de Aiat es de $5 por día y el de Bucsht es de $ por día. Formular como u problema de rogramació Lieal el problema de limpiar el lugar a costo míimo. Las variables de decisió so x A y x B, cuátos días cotratar a cada empleado. El objetivo es miimizar el costo diario: 5x A x B Las restriccioes so satisfacer la demada de limpieza: Habitacioes simples: x A x B Habitacioes dobles: 6x A x B Corredores: x A x B 7 Salas de sesioes: x A x B El problema queda formulado como u problema lieal de la siguiete maera: mi 5x A x B x A x B 6x A x B x A x B 7 x A x B x A, x B

2 reguta utos Utilizar el Método Simplex para determiar la solució óptima del siguiete problema lieal: max x x x x x x x x x, x Escribimos el problema e forma stadard agregado variables de holgura x, x y x 5 y cambiado el sigo de la fució objetivo: mi x x x x x x x x x x x 5 x, x, x, x, x 5 Al o cotar co ua base iicial factible evidete (por teer restriccioes de ), aplicamos fase I: mi y x x x x x x x x x 5 y x, x, x, x, x 5, y La base iicial es {x, x, y } y el tableau: x x x x x 5 y fase I fase II Despejamos la variable y de la fució objetivo (de fase I), restado la fila a la fila de costos: x x x x x 5 y fase I fase II

3 El costo reducido (e fase I) de x es egativo, x igresa a la base y sale y: x x x x x 5 y 8 / / / 7 / / / fase I / / / fase II Hemos ecotrado ua solució óptima para la fase I de costo, por lo tato teemos ua solució básica iical del problema origial. Elimiamos la variable y y la líea de costos de fase I y seguimos: x x x x x 5 8 / / 7 / / / / La variable x tiee costo reducido egativo, etoces igresa a la base y sale x. x x x x x 5 6 La variable x 5 tiee costo reducido egativo, etoces igresa a la base y sale x. x x x x x 5 / / / 5/ / / / / / / / / La variable x tiee costo reducido egativo, etoces igresa a la base y sale x. x x x x x 5 /5 /5 /5 /5 5/ / /5 /5 8 Los costos reducidos de las variables o básicas so positivos, etoces la solució es óptima. La solució óptima es x x, x x, x 5. El valor óptimo es 8.

4 reguta 6 utos Hallar u óptimo global del siguiete problema utilizado las codicioes de Kuh-Tucer: mi (x ) (x ) 6(x ) (x ) 9 x, x Sea: f(x, x ) (x ) (x ), la fució objetivo y g(x, x ) 6(x ) (x ) 9 la restricció (g(x, x ) ) Los gradietes so: f(x, x ) ( (x ), (x )) y g(x, x ) ( 6(x ), (x )). lateamos las codicioes de Kuh-Tucer: (x ) 6λ(x ) y () (x ) λ(x ) () 6(x ) (x ) 9 () λ () λ(6(x ) (x ) 9) (5) De (5), se deduce que λ o 6 (x ) (x ) 9. Si λ. Etoces, de () y (): x y x. Estos valores viola la ecuació (). or lo tato, λ (λ > ). Si λ >, etoces, teemos el sistema: (x ) 6λ(x ) (x ) λ(x ) 6(x ) (x ) 9 De la seguda ecuació, teemos ( λ)(x ). Es decir, λ o x. Como λ viola (), teemos x. Sustituyedo, teemos el sistema: (x ) 6λ(x ) 6(x ) 9 De la seguda, teemos x 5/. Sustituyedo e la primera, teemos λ /. or lo tato, x 5/, x y λ / cumple las codicioes de Kuh-Tucer. Como la fució objetivo y las restriccioes so covexas, las codicioes de Kuh-Tucer so suficietes para u óptimo global. or lo tato, x 5/, x es u óptimo global del problema. rueba de la covexidad La Hessiaa de la fució objetivo es, que es semidefiida positiva y la fució objetivo es covexa. La regió factible es de la forma {x f(x) α} co f(x, x ) 6(x ) (x ) y α 9. Como f es covexa, la regió es covexa.

5 reguta 7 utos (,,,,,, ) ara cada afirmació, idique si es Verdadera o Falsa. Las respuestas equivocadas resta puto. No se requiere justificació. a) Si f(x) y g(x) so fucioes covexas e el cojuto covexo S, etoces h(x) mi {f(x), g(x)} es ua fució covexa e S. b) Cosidere el siguiete problema y u puto x que o es óptimo local ( ) mi f ( x) x F Existe ua direcció factible de desceso e x si y sólo si F es covexo y f es difereciable y covexa e F. c) Los multiplicadores simplex correspodietes a la solució óptima del problema primal costituye ua solució óptima del problema dual. d) Sea los problemas ( M ) ( x) mi f g( x) x X y ( M ) λ mi f ( x) λg( x) x X Si $x λ es ua solució óptima de (M λ ) que cumple g( $x λ ), etoces $x λ es ua solució óptima de (M). e) Las ecuacioes de balace para Cadeas de Marov de Tiempo Cotíuo expresa, para ua distribució estacioaria y u subcojuto A del espacio de estados, que la tasa de salida de A es igual a la tasa de etrada a A. f) E u grafo cojutivo, u arco (i,j) co poderació w y u arco (j,i) co poderació w expresa la misma restricció potecial. g) Sea G u grafo cojutivo. Si G tiee u circuito de valor egativo, etoces o existe u cojuto de poteciales sobre G. a) FALSO b) FALSO c) VERDADERO d) VERDADERO e) VERDADERO f) FALSO g) FALSO 5

6 reguta 5 9 utos (,,, ) Cierto proyecto costa de 5 tareas cuyas duracioes y restriccioes de precedecia se idica e la tabla: Tarea Duració (e semaas) Restriccioes A - B - C Luego de semaa de comezada E D Luego de semaa de comezada E E A y B fializadas a) De el grafo potecial tareas asociado al problema. b) Aplique el algoritmo de Bellma para ecotrar los ordeamietos más tempraos y más tardíos. c) Idique u camio crítico. Es úico? d) Calcule el marge total, libre y seguro de la tarea C. a) Las restriccioes poteciales so: t C t E t D t E t E t A t E t B El grafo potecial tareas es el siguiete: A C E B D b) Luego de asigar las fehas más tempraas y más tardías, teemos (,) (,) (,) A (,) B (,) E C (,) D (,) 6

7 c) U camio crítico es (, A, E, ). No es úico, otro es (, B, E, ). d) Marge total: M C f c r C 7 Marge libre: m C mi [j U (C)] {r j (r C w Cj )} ( ) 7 Marge seguro: u C max {, mi [j U (C)] (r j w Cj ) max [ U (C)] (f w C )} ( ) 7. 7

8 reguta 6 utos (,,,, ) U sistema de filas de espera tiee dos servidores y ua sola fila. Los clietes llega al sistema segú u proceso de oisso de tasa llegada / miuto. Cada servidor atiede a ua tasa expoecial de atecioes / miuto siempre que el úmero de idividuos e el sistema sea meor o igual a. Si la catidad de idividuos e el sistema es mayor a, cada servidor atiede a tasa de ateció / miuto. a) Modelar este sistema como u roceso de Nacimieto y Muerte (dar el espacio de estados y las tasas). b) Calcular la distribució estacioaria del sistema e fució de. c) ara : i. calcular el tiempo medio de espera e la fila. ii. calcular la proporció del tiempo e la cual ambos servidores está ocupados. iii. calcular la probabilidad de que al llegar al sistema, u cliete o tega que esperar e la fila. a) El diagrama de tasas correspodiete al proceso es: Es decir, E {,,,...}. λ llegada/miuto para µ µ atecioes/miuto µ atecioes/miuto para µ atecioes/miuto para > b) ara calcular la distribució estacioaria, aplicamos las ecuacioes de balace: (/) (/)(/) (/)(/) E geeral, (/)(/) para (/) (/) (/) - (/) (/) - E geeral, (/) (/) para 8

9 9 Impoiedo que sea ua distribució de probabilidades, hallamos : ( ) or lo tato, 5. c) ara, las probabilidades e estado estacioario so: 7 6 para para i. El tiempo medio de espera e la fila se deduce de la ecuació de Little: f ν λt. ( ) ( ) ( ) ν La tasa de llegadas es costate, por lo tato λ. Sustituyedo e la ecuació de Little, teemos. 7 8 λ ν f t miutos. ii. Ambos servidores está ocupados e los estados,,, 5... or lo tato, la proporció del tiempo e que ambos servidores está ocupados es : iii. La probabilidad de que el cliete o tega que esperar e la fila, es la probabilidad de que al llegar ecuetre al sistema e los estados o. or ASTA, esa probabilidad es que, por la parte aterior, vale 8/9.

10 reguta 7 8 utos U taque T 8 esta emplazado e forma estática e u cierto lugar del desierto iraquí. El taque tiee tres modalidades de disparo: M, M y M. Depediedo de la modalidad de disparo, el taque puede ser detectado y parcialmete dañado o detectado y fuertemete dañado por el eemigo (el tiempo trascurrido etre la detecció y el daño es muy pequeño y puede supoerse igual a ). Se cooce los siguietes datos: El taque permaece e modalidad M u tiempo expoecial de parámetro λ. E las modalidades M y M el taque permaece e ambos casos u tiempo expoecial de parámetro λ. Además, siempre que o sea detectado, el taque cambia de modalidad de disparo e forma cíclica, es decir: M M M M... Estado e modalidad M el taque uca será detectado. Estado e modalidad M el taque es detectado e u tiempo expoecial de esperaza /λ. Cuado es detectado será parcialmete dañado co probabilidad / o fuertemete dañado co probabilidad /. Estado e modalidad M el taque es detectado e u tiempo expoecial de parámetro λ. Cuado es detectado será dañado fuertemete. Si el taque fue dañado (ya sea parcialmete o fuertemete) o puede efectuar disparos (o está e igua de las tres modalidades). Además: o Si fue dañado parcialmete, es reparado de acuerdo a u tiempo expoecial de parámetro λ y posteriormete pasa a estar operativo e modalidad M. o Si fue dañado fuertemete, es reparado de acuerdo a u tiempo expoecial de parámetro λ / y posteriormete pasa a estar operativo e modalidad M co probabilidad / o e modalidad M co probabilidad /. o Mietras esta siedo reparado o es detectado (o puede ser dañado uevamete). Modelar la operativa del taque como ua cadea de Marov de tiempo cotiuo, dado su espacio de estados, tiempos de permaecia e cada estado y probabilidades de trasició. El espacio de estados es E {M, M, M,, F}. Dode M i idica que el taque está operado e la modalidad de disparo i, idica que fue parcialmete dañado y esta siedo reparado, F idica que fue fuertemete dañado y esta siedo reparado. Estado M El taque permaece e M hasta que pasa el tiempo para cambiarse a M (a tasa λ ): E(T(M )) / λ. Ua vez que se abadoa el estado, siempre se va al estado M : p(m, M ). Estado M El taque permaece e M hasta que pasa el tiempo para cambiarse a M (a tasa λ ) o hasta que es detectado (a tasa λ ): E(T(M )) / (λ λ ). Ua vez que se abadoa el estado: Fue para cambiarse a M co p(m, M ) λ / (λ λ ). Fue detectado y parcialmete dañado co p(m, ) ¼ λ / (λ λ ). Fue detectado y fuertemete dañado co p(m, F) ¾ λ / (λ λ ).

11 Estado M El taque permaece e M hasta que pasa el tiempo para cambiarse a M (a tasa λ ) o hasta que es detectado (a tasa λ ). E(T(M )) / (λ λ ). Ua vez que se abadoa el estado: Fue para cambiarse a M co p(m, M ) λ / (λ λ ). Fue detectado y fuertemete dañado co p(m, F) λ / (λ λ ). Estado El taque permaece e hasta que es reparado (a tasa λ ). E(T()) /λ. Ua vez que abadoa el estado, va a M : p(, M ). Estado F El taque permaece e F hasta que es reparado (a tasa λ /). E(T(F)) /λ. Ua vez que abadoa el estado: Va a M : p(f, M ) /. Va a M : p(f, M ) /. El grafo asociado a la Cadea es: / λ ¼ λ / (λ λ ) / λ M M / (λ λ ) λ / (λ λ ) λ / (λ λ ) / (λ λ ) M / / ¾ λ / (λ λ ) λ / (λ λ ) F / λ

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