UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA SEBASTIÁN JESÚS OLIVA HENRÍQUEZ

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1 UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA COMPATIBILIDAD DE MÉTODOS DE CÁLCULO DE FLUJOS AC Y DC EN SISTEMAS DE POTENCIA MEMORIA PARA OPTAR AL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL ELECTRICISTA SEBASTIÁN JESÚS OLIVA HENRÍQUEZ PROFESOR GUÍA: LUIS VARGAS DÍAZ MIEMBROS DE LA COMISIÓN: OSCAR MOYA ARAVENA GUILLERMO PÉREZ DEL RÍO SANTIAGO DE CHILE ENERO 2008

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3 RESUMEN DE LA MEMORIA PARA OPTAR AL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL ELECTRICISTA POR: SEBASTIÁN OLIVA H. FECHA: 10/01/2008 PROF. GUÍA: Sr. LUIS VARGAS D. COMPATIBILIDAD DE MÉTODOS DE CÁLCULO DE FLUJOS AC Y DC EN SISTEMAS DE POTENCIA En los estudos de sstemas eléctrcos exsten muchas aplcacones en las que es necesaro utlzar fluos DC, debdo fundamentalmente a su efcenca en los tempos de cómputo. Sn embargo, en algunos casos sus resultados pueden ser poco confables lo que conduce a análss y conclusones erróneas. Esta memora busca meorar los resultados del fluo DC sn perudcar su velocdad de cálculo, para lo cual se evalúan dstntas alternatvas que ntentan compatblzar los métodos de fluo AC y DC, en cuanto a la confabldad de la solucón entregada y la efcenca de los tempos de proceso. De los estudos realzados sobre el fluo DC se encuentra que ncorporar la nformacón de la resstenca de las líneas no meora los resultados, n en casos de sstemas con altas razones R/X. Por otra parte, la modelacón de las pérddas en el fluo DC sí meora bastante sus resultados, aunque el cálculo toma cada vez más tempo al aumentar el tamaño del sstema. Sn embargo la gananca en la precsón compensa este mayor tempo. Así como el fluo DC es un smple modelo lneal para la potenca actva, tambén se desearía tener lo msmo para la potenca reactva, la cual está determnada fuertemente por la magntud de los voltaes de las barras. Se verfcó que utlzar ecuacones aproxmadas para estmar la magntud del voltae de las barras, como lo son la conocda estmacón del gradente de voltae o las ecuacones de nyeccón de reactvos de las ramas, no son una buena alternatva dada la volatldad de las varables nvolucradas. Se concluyó que la meor alternatva de cálculo de fluos de potenca es un método desacoplado robusto modfcado, ya que ofrece una excelente estmacón de las potencas para tan sólo pocas teracones, hecho que benefca tanto a la efcenca como a la precsón del cálculo.

4 Agradecmentos Unversdad de Chle Quero agradecer a m mamá abuela Laura el apoyo ncondconal brndado durante el desarrollo de m carrera; y dear en claro que todo lo que he ganado en realdad lo ha ganado ella. Además quero agradecer los conseos de m abuelo César que en todo momento me acompañan. Agradezco el apoyo brndado por el profesor Lus Vargas durante la realzacón de esta memora quen sempre me mantuvo optmsta ante los nuevos desafíos. Tambén agradezco al Profesor Marcelo Cortés por su gran voluntad en la colaboracón de esta memora. Además agradezco a CHILECTRA el apoyo económco y los recursos facltados para la realzacón de la memora, en especal al Gerente de Regulacón de la compañía, Gullermo Pérez del Río por la constante orentacón que me brndó. Fnalmente quero agradecer a m polola Rosta quén sempre me apoyo y aconseó en los momentos dfícles.

5 ÍNDICE 1 INTRODUCCIÓN ANTECEDENTES Y CONTEXTO DEL ESTUDIO MOTIVACIÓN Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA OBJETIVOS MÉTODOS DE FLUJO DE POTENCIA GENERALIDADES MÉTODOS DE FLUJOS DE POTENCIA EN COORDENADAS POLARES Y RECTANGULARES Fluos de potenca en coordenadas polares Fluo AC Método desacoplado rápdo XB Método desacoplado rápdo BX Método desacoplado rápdo para sstemas con altas razones R/X (FDLF R/X ) Método desacoplado rápdo robusto (RFDPFM) Fluo DC Fluos de potenca en coordenadas rectangulares Método de fluo de potenca de segundo orden (SOLF) Método desacoplado Métodos para sstemas mal condconados PRESICIÓN DE UN FLUJO DC INTRODUCCIÓN INFLUENCIA DE θ θ INFLUENCIA DE R << X INFLUENCIA DE V 1 pu MÉTODOS DESARROLLADOS INTRODUCCIÓN MODELOS DE POTENCIA ACTIVA Fluo DC versón BX Fluo DC con modelamento de las pérddas Cálculo de Fluo de Potenca actva utlzando los factores GGDF MODELOS DE POTENCIA REACTIVA Utlzacón de la fórmula del gradente Ecuacones de nyeccón de reactvos de las ramas MÉTODOS DESACOPLADOS IMPLEMENTACIÓN DE LOS MÉTODOS FORMULACIÓN AC Y DC EN MATPOWER DATOS GENERALES DIAGRAMA DE FLUJO DE LOS ALGORITMOS RESULTADOS INTRODUCCIÓN EVALUACIÓN DE LOS MÉTODOS Tempos de proceso Confabldad de los métodos Resultados para el Caso Base Pruebas de Robustez Estmacón de los módulos de los voltaes... 61

6 Usando la Fórmula del gradente del voltae Usando las ecuacones de nyeccón de reactvos CONCLUSIONES BIBLIOGRAFÍA ANEXOS A. MÉTODO DE NEWTON PARA LA POTENCIA REACTIVA B. EQUIVALENCIA ENTRE UN FLUJO DC Y EL CÁLCULO USANDO FACTORES GGDF C. DETALLE DE LOS RESULTADOS DE CONFIABILIDAD DE LOS MÉTODOS 73 C.1 Casobase C.2 Aumentando la resstenca C.3 Aumentando la demanda D. DETALLE DE LAS SIMULACIONES DE FLUJO AC PARA LOS CASOS BASE v

7 ÍNDICE DE TABLAS Unversdad de Chle Tabla 6.1: Característcas topológcas de los sstemas en el caso base Tabla 6.2: Característcas operaconales de los sstemas en el caso base Tabla 6.3: Estmacones de voltaes usando la fórmula del gradente de voltae Tabla 6.4: Estmacones de voltae usando las ecuacones de nyeccón de reactvos Tabla 9.1: Errores máxmos en MW y su error porcentual correspondente (MW/%) Tabla 9.2: Errores máxmos en % y su error absoluto correspondente (%/MW) Tabla 9.3: Errores máxmos en MVAR y su error porcentual correspondente (MVAR/%) Tabla 9.4: Errores máxmos en % y su error absoluto correspondente (%/MVAR) Tabla 9.5: Errores promedo absolutos en MW Tabla 9.6: Errores promedo porcentuales de potenca actva Tabla 9.7: Errores promedo absolutos en MVAR Tabla 9.8: Errores promedo porcentuales de potenca reactva Tabla 9.9: Errores máxmos en MW, y su correspondente porcentual (MW/%), al aumentar las resstencas Tabla 9.10: Errores máxmos en %, y su correspondente en MW (%/MW), al aumentar las resstencas Tabla 9.11: Errores máxmos en MVAR, y su correspondente porcentual (MVAR/%), al aumentar las resstencas Tabla 9.12: Errores máxmos en %, y su correspondente en MVAR (%/MVAR), al aumentar las resstencas Tabla 9.13: Errores promedo en MW al aumentar la resstenca Tabla 9.14: Errores promedo porcentuales de potenca actva al aumentar la resstenca Tabla 9.15: Errores promedo en MVAR al aumentar la resstenca Tabla 9.16: Errores promedo porcentuales de potenca reactva al aumentar la resstenca Tabla 9.17: Errores máxmos en MW, y su correspondente porcentual (MW/%), al aumentar la demanda Tabla 9.18: Errores máxmos en %, y su correspondente en MW (%/MW), al aumentar la demanda Tabla 9.19: Errores máxmos en MVAR, y su correspondente porcentual (MVAR/%), al aumentar la demanda Tabla 9.20: Errores máxmos en %, y su correspondente en MVAR (%/MVAR), al aumentar la demanda Tabla 9.21: Errores promedo en MW al aumentar la demanda Tabla 9.22: Errores promedo porcentuales de potenca actva al aumentar la demanda Tabla 9.23: Errores promedo en MVAR al aumentar la demanda Tabla 9.24: Errores promedo porcentuales de potenca reactva al aumentar la demanda v

8 ÍNDICE DE FIGURAS Fgura 2.1: G + tb / B + tg versus r / x Fgura 2.2: Equvalente π de una línea de transporte de energía eléctrca Fgura 2.3: Crcuto equvalente de una red lneal Fgura 3.1: Dferencas angulares entre barras drectamente conectadas Fgura 3.2: Consecuencas de las aproxmacones de seno y coseno Fgura 3.3: Influenca de la razón X/R en el error de un fluo DC Fgura 3.4: Influenca de asumr un perfl plano de voltaes para dstntas desvacones estándar de los voltaes Fgura 4.1: Modelo π de una rama Fgura 4.2: Modelo de rama de un fluo DC con pérddas Fgura 4.3: Modelo de rama consderado en la estmacón del gradente de voltae Fgura 4.4: Dagrama fasoral del modelo Fgura 4.5: Correntes en el modelo π de una línea Fgura 5.1: Dagrama de fluo del fluo DC con modelamento de las pérddas Fgura 5.2: Dagrama de fluo de los métodos desacoplados XB y BX Fgura 5.3: Dagrama de fluo del método desacoplado rápdo robusto RFDPFM Fgura 6.1: Tempos de cálculo en segundos para 5000 fluos de potenca Fgura 6.2: Tempos de cálculo de los métodos en relacón a un fluo AC Fgura 6.3: Errores máxmos absolutos de potenca actva con respecto a un fluo AC Fgura 6.4: Errores promedo absolutos de potenca actva con respecto a un fluo AC Fgura 6.5: Errores promedo porcentuales de potenca actva con respecto a un fluo AC Fgura 6.6: Errores máxmos y promedos absolutos de potenca reactva con respecto a un fluo AC Fgura 6.7: Errores promedo porcentuales de potenca actva con respecto a un fluo AC Fgura 6.8: Errores máxmos absolutos de potenca actva con respecto a un fluo AC al aumentar la resstenca Fgura 6.9: Errores promedo absolutos de potenca actva con respecto a un fluo AC al. 54 aumentar la resstenca Fgura 6.10: Errores promedo porcentuales de potenca actva con respecto a un fluo AC al aumentar la resstenca Fgura 6.11: Errores máxmos y promedo absolutos de potenca reactva con respecto a un fluo AC al aumentar la resstenca Fgura 6.12: Errores promedo porcentuales de potenca actva con respecto a un fluo AC al aumentar la resstenca Fgura 6.13: Errores máxmos absolutos de potenca actva con respecto a un fluo AC al aumentar la demanda Fgura 6.14: Errores promedo absolutos de potenca actva con respecto a un fluo AC al aumentar la demanda Fgura 6.15: Errores promedo porcentuales de potenca actva con respecto a un fluo AC al aumentar la demanda Fgura 6.16: Errores máxmos y promedo absolutos de potenca reactva con respecto a un fluo AC al aumentar la demanda v

9 Fgura 6.17: Errores promedo porcentuales de potenca reactva con respecto a un fluo AC al aumentar la demanda v

10 SIMBOLOGÍA Unversdad de Chle AC : Newton Raphson, algortmo de Newton para resolver fluos de potenca en coordenadas polares. DC : Método de fluo de potenca lneal (drect current). XB : Método desacoplado rápdo estándar. BX : Método desacoplado rápdo general. FDLF R/X : Método desacoplado rápdo para sstemas con altas razones R/X. RFDPFM : Método desacoplado rápdo robusto. VNM : Método de normalzacón de los voltaes del sstema. SOLF : Método de fluo de potenca de segundo orden desarrollado en coordenada rectangulares. DLFR : Método desacoplado en coordenadas rectangulares. DCPL : Fluo DC con modelamento de las pérddas. DCBX : Fluo DC que ncorpora la nformacón de las resstencas. 2XB : Método consstente en sólo dos teracones de método XB. 2BX : Método consstente en sólo dos teracones de método BX. 2 RFDPFM : Método consstente en sólo dos teracones del método RFDPFM S & : Fasor de potenca aparente V & : Fasor de voltae de una barra. I & : Fasor de corrente. V θ : Fasor de voltae expresado en coordenadas polares. Y BUS : Matrz de admtanca nodal. G : Parte real de la matrz de admtanca nodal. B : Parte magnara de la matrz de admtanca nodal. B ' : Matrz asocada a las teracones P θ de un fluo desacoplado. B '' : Matrz asocada a las teracones Q V de un fluo desacoplado. J : Jacobano asocado al fluo AC. Matrz de dervadas parcales de las ecuacones de fluo de potenca. J Pθ : Submatrz del Jacobano. Dervadas de P con respecto a los ángulos. J PV : Submatrz del Jacobano. Dervadas de P con respecto a la magntud de los voltaes. J Qθ : Submatrz del Jacobano. Dervadas de Q con respecto a los ángulos. J QV : Submatrz del Jacobano. Dervadas de Q con respecto a la magntud de los voltaes. LU : Algortmo para soluconar sstemas del tpo Ax = b, obtenendo una factorzacón A = LU V θ : barra de referenca PV : barra de generacón. PQ : barra de carga. WSCC9 : Sstema del oeste norteamercano. IEEE 14 : Sstema estándar IEEE de 14 barras IEEE 30 : Sstema estándar IEEE de 30 barras IEEE 57 : Sstema estándar IEEE de 57 barras IEEE 118 : Sstema estándar IEEE de 118 barras IEEE 300 : Sstema estándar IEEE de 300 barras SING 45 : Modelo equvalente de 45 barras del sstema nterconectado del norte grande v

11 chleno. SIC 92 : Modelo equvalente de 92 barras del sstema nterconectado central chleno. CHILECTRA : Modelo de 299 barras del anllo de subtransmsón de la compañía CHILECTRA. x

12 1 INTRODUCCIÓN 1

13 1.1 ANTECEDENTES Y CONTEXTO DEL ESTUDIO El cálculo de fluos de potenca es una herramenta ndspensable en el estudo de los sstemas eléctrcos de potenca. Se le pueden encontrar una gran cantdad de aplcacones, tanto en la planfcacón de la expansón futura del sstema como en la determnacón de las meores condcones de operacón, entre otras. Es por ello que cualquer meora a los métodos de cálculo de fluos de potenca tanto en ahorro de memora computaconal, rapdez del cálculo o mayor confabldad de la solucón entregada, es de gran valor. Los prmeros métodos de fluos de potenca fueron desarrollados durante los años cncuenta, métodos ahora conocdos como Gauss Sedel y Ward Hale. A pesar de que son muy smples y confables, ambos presentan problemas en los tempos de computacón cuando son aplcados a sstemas muy grandes. El método de Newton fue un hto que, báscamente, comprende en encontrar las solucones de un gran número de ecuacones lneales de un proceso teratvo. S éstas son resueltas, tenendo en cuenta la dspersón de la matrz Jacobana, los tempos de cómputo aumentan sólo lnealmente con el tamaño del sstema. Es así como la fuerte convergenca cuadrátca y el estalldo de la dspersón han hecho de este método el más general y más utlzado. Con el avance en el estudo de los sstemas de potenca, nuevas aplcacones ban necestando de centos o mles de smulacones de fluos de potenca como por eemplo en los estudos de la segurdad del sstema o en la planfcacón de la expansón de las redes. Sumando a esto el problema de lenttud del cálculo para sstemas de grandes dmensones se do una gran necesdad por obtener meoras a los métodos de cálculo. En 1974 B. Stott y O. Alsaç desarrollaron el método desacoplado rápdo en el cual se realzan varos supuestos váldos para la mayoría de los sstemas eléctrcos, lo que permte obtener una solucón en mucho menor tempo y con menor requermento de memora. Sn embargo, exsten sstemas en los cuales no se cumplen del todo las hpótess supuestas para llegar a la formulacón desacoplada, con lo que el sstema se torna mal condconado y los métodos tardan mucho en converger a la solucón o ncluso dvergen. Es así como desde ese momento hasta nuestros días se han desarrollado múltples meoras a los métodos desacoplados los que ntentar ldar con las dstntas característcas que producen el mal condconamento como los son los sstemas sobrecargados, los sstemas con topología longtudnal o de operacón cerca de los límtes de establdad operaconal. La formulacón lneal de las ecuacones de fluo de potenca conocda como fluo DC (drect current) fue un hto dada su tremenda efcenca en los tempos de cálculo ya que sólo se lmtaba a resolver un sstema lneal, por lo que rápdamente adquró una gran cantdad de aplcacones sobre todo en los casos en que se necestaban smular mles de fluos de potenca. Sn embargo exsten sstemas donde las hpótess asumdas por un fluo DC no se cumplen por lo que sus resultados son poco confables. 2

14 Es así como en un extremo se tene el método de Newton Raphson completo, tambén conocdo como fluo AC, como el más confable pero el más nefcente en cuanto a tempo de proceso, y en otro extremo se tene el fluo DC con las característcas opuestas. De ahí, y dada la gran cantdad de aplcacones que requeren de confabldad en la solucón y efcenca en los tempos de proceso, la necesdad de encontrar una compatbldad entre los dos métodos para así poder ntegrar estas dos grandes habldades. 1.2 MOTIVACIÓN Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Exsten múltples estudos en donde se requere smular mles de fluos de potenca como ocurre en la determnacón del predespacho de undades de generacón, en la planfcacón de la expansón futura de redes de transporte y parques generadores, en el análss de confabldad de los sstemas eléctrcos, etc. La cantdad de fluos de potenca a smular para resolver este tpo de problemas puede hacer que los tempos de proceso computaconal sean naceptables. Por eemplo, en la determnacón del predespacho óptmo de las undades generadoras de un sstema eléctrco, se deberían smular todas las combnacones posbles de generacón de las undades. Así, s N es el número de undades generadoras dsponbles del sstema, la cantdad de fluos de potenca a smular para una determnada condcón de demanda serían 2 N -1. S N fueran trenta undades la cantdad de fluos a smular serían aproxmadamente Por supuesto las técncas de optmzacón usadas en la actualdad sempre vaan por un subconunto de solucones que garantcen al menos un óptmo local hacendo que el número de smulacones dsmnuya. Sn embargo, de todas maneras el número de smulacones resultantes aún resulta grande. A lo anteror se le conoce como la maldcón de la dmensonaldad. Otras aplcacones que requeren de muchas smulacones, es el análss de confabldad de los sstemas de potenca ya sea porque se empleará el método de Montecarlo o se smularán contngencas de modo exhaustvo. La optmzacón de la expansón de redes de transporte es tambén un análss que requere del proceso de varos mles de fluos de carga. Por esta razón es de suma mportanca dsponer de métodos de fluos de potenca que sean efcentes en cuanto a los tempos de proceso. Para estas aplcacones se utlza el modelo lneal de fluos de potenca conocdo como fluo DC (drect current) el cual erradca la no lnealdad de las ecuacones de fluo de potenca a través de una sere de supuestos váldos para la mayoría de los sstemas eléctrcos. En defntva un fluo DC se lmta a resolver un smple sstema lneal. Ello transforma a este modelo en una herramenta deal para ser empleada en aquellos casos que se requere procesar muchos fluos de carga en tempos reducdos. Por certo, esta velocdad tene como contrapartda un sacrfco en la precsón de los resultados, sacrfco que es aceptable en la medda que la pérdda de precsón esté dentro de rangos razonables y que no ncda en las conclusones del análss. En este sentdo, la gran desventaa del fluo DC se encuentra en la baa confabldad de sus resultados en algunos sstemas mal condconados donde se pueden cometer grandes errores al estmar el fluo de potenca. Por esta razón en esta memora se buscarán y evaluarán métodos que entreguen resultados más confables que un fluo DC y en tempos de proceso razonables. 3

15 1.3 OBJETIVOS El obetvo general del tema de memora es buscar y evaluar metodologías de cálculo de fluos de potenca que ntenten ser más confables que un fluo DC y cuya efcenca en los tempos de proceso sea mucho mayor a la de un fluo AC. De este modo se buscará la compatbldad entre los fluos AC y DC. Para lo anteror la estratega con la que se enfrentará el problema será por una parte desarrollar propuestas de cálculo y por otra realzar modfcacones a los prncpales métodos desarrollados con el obeto de meorarlos. La evaluacón de estos métodos a estudar consstrá en medr la confabldad de la solucón y su efcenca en cuanto a tempo de proceso. Estas varables se compararán con las de un fluo AC, cuyo resultado se consderará el resultado exacto. Los obetvos específcos de esta memora son: 1. Evaluar métodos que ntenten meorar los resultados de un fluo DC mantenendo la lnealdad del modelo y la efcenca en los tempos de proceso. 2. Proponer y evaluar metodologías para la estmacón de los voltaes de las barras del sstema y el fluo de potenca reactva por las ramas, de modo tal que el cálculo sea más efcente en cuanto a tempo de proceso que un fluo AC. 3. Evaluar los prncpales métodos desacoplados desarrollados y compararlos con las metodologías de los puntos 1 y 2 en cuanto a tempo de proceso y confabldad de la solucón para un número fo de teracones. 4

16 2 MÉTODOS DE FLUJO DE POTENCIA 5

17 2.1 GENERALIDADES Los métodos de fluo de potenca han sdo un tema de nvestgacón por décadas. Muchas técncas han sdo desarrolladas; el método de Gauss Sedel fue uno de los prmeros en ser mplementado en un computador dgtal, sn embargo las nvestgacones ndcan que el método de Newton es numércamente más efcente que el método de Gauss Sedel, por lo cual es el método más utlzado hoy en día [2]. Muchas varantes al método de Newton se encuentran en la actualdad, logrando meorar la convergenca, adqurendo así mayor rapdez en el cálculo. Sn embargo, en sstemas que operan en torno a sus límtes de establdad y/o sstemas con altas razones R/X en sus líneas de transmsón, los métodos convenconales presentan dfcultades para converger. Esto últmo es característco de sstemas longtudnales como lo es el chleno. Otro problema que causa una lenta convergenca es la sobrecarga de un sstema dado que se producen baas tensones [3]. En térmnos generales cualquer método de solucón de fluo de potenca se basa en resolver las ecuacones determnadas a partr de un conunto de gualdades defndas como ecuacones de nyeccón de potenca a la red. Para cualquer barra, estas ecuacones pueden escrbrse como: S = P + Q = V& I& (2.1) * Donde S es la potenca aparente nyectada a la barra, P y Q son las nyeccones de potenca actva y reactva respectvamente, V & es el voltae compleo en la barra, e I & es la corrente complea nyectada en la barra, donde el astersco ndca el conugado. Descomponendo la ecuacón (2.1) en potenca actva y potenca reactva se tene { V& * I& } { V& I& * } P = Re (2.2) Q = Im (2.3) En todos los nodos de un sstema de potenca exsten cuatro varables nvolucradas: las nyeccones de potenca actva y reactva, y el voltae compleo. Este últmo puede ser representado por su magntud y ángulo de fase, o por su parte real e magnara. De aquí surgen los planteamentos de las ecuacones de fluo de potenca en coordenadas polares y rectangulares. Para encontrar la solucón al sstema de ecuacones defndo por (2.2) y (2.3) se deben cumplr dos condcones necesaras (pero no sufcentes). La prmera es que al menos una barra debe tener los valores de potenca actva y reactva lbres (no necesaramente en la msma barra), es decr, que no se encuentren pre especfcadas. Con esto se cumple con que la potenca total nyectada al sstema es nula. Debe menconarse que cada barra que no tenga la potenca reactva especfcada debe tener un valor especfcado en la magntud de su voltae, y vceversa. La segunda condcón es que es necesaro defnr una referenca para el ángulo de fase del voltae. 6

18 tpos: Dependendo de las varables especfcadas, las barras se clasfcan en los sguentes Barras PQ: En estas barras los valores de P y Q son conocdos. Tambén son conocdas como barras de carga. Barras PV: En estas barras los valores de P y V son conocdos. Tambén son conocdas como barras de voltae controlado. Cuando en una barra PV el límte de potenca reactva es volado entonces esta barra camba a PQ y su valor de Q se fa en el del límte volado mentras que su voltae queda lbre. Barra Vθ: En esta barra el voltae completo es completamente especfcado. En general sólo una barra del sstema es de este tpo, sn embargo el fluo de potenca puede generalzarse para sstemas con más de una de estas barras. 2.2 MÉTODOS DE FLUJOS DE POTENCIA EN COORDENADAS POLARES Y RECTANGULARES Los métodos de fluos de potenca en coordenadas polares y rectangulares dferen en la representacón complea del voltae. Es así como dependendo de esta representacón el método utlzado puede tener convergencas cuadrátcas para el caso del método de Newton en coordenadas polares o una convergenca más lenta para el caso del uso de las coordenadas rectangulares. En coordenadas polares el voltae compleo se representa como ( θ + senθ ) V & = V cos (2.4) mentras que en coordenadas rectangulares, el voltae es representado como V & = e + f (2.5) Fluos de potenca en coordenadas polares Fluo AC Este método, tambén conocdo como de Newton Raphson, es la versón completa del método de Newton, sn realzar nnguna smplfcacón. 7

19 Para calcular los fluos de potenca en coordenadas polares las ecuacones (2.2) y (2.3) se pueden escrbr como n ( G cos + B senθ ) = 1,... n P = V V θ, (2.6) = 1 n ( G sen B cosθ ) = 1,... n Q = V V θ, (2.7) = 1, donde Y = G + B es el elemento de la matrz de admtanca nodal, θ = θ θ ; y n es el número de barras del sstema. Aplcando sere de Taylor a las ecuacones (2.6) y (2.7) y desprecando los térmnos de segundo orden y mayores, se obtenen las sguentes ecuacones lneales utlzadas en los métodos teratvos de Newton: P = P Q = Q + + n P P Δθ + = 1 θ θ n Q Q Δθ + = 1 θ θ ΔV ΔV (2.8) (2.9) +1 +1, donde θ = θ + Δθ ; V = V + ΔV ; y P y Q son calculados a través de las ecuacones (2.6) y (2.7) respectvamente, y el superíndce ndca la ésma teracón. Por lo general se asume una partda plana de voltaes, es decr, para las barras de voltae no especfcado el valor ncal del voltae para comenzar las teracones se asume con magntud 1 p.u. y ángulo de fase 0º. La ecuacón (2.8) debe valdar los valores especfcados de potenca actva de las barras de tpo PQ y PV. Asmsmo la ecuacón (2.9) debe valdar la potenca reactva especfcada en las barras PQ. En forma matrcal las ecuacones (2.8) y (2.9) pueden ser escrtas como: ΔP ΔQ P P = Q Q J = J Pθ Qθ J J PV QV Δθ ΔV (2.10), donde los J son las submatrces Jacobanas de las dervadas de prmer orden de las ecuacones (2.8) y (2.9) con respecto a la magntud del voltae y a los ángulos de fase calculadas en la teracón. La solucón de la ecuacón (2.10) es obtenda cuando en alguna teracón todos los componentes del vector de error [ Δ P, ΔQ ] T son menores que una toleranca aceptable. 8

20 La matrz Jacobana de un problema de fluo de potenca es real, bastante rala, no smétrca, defnda postva y con un número de condconamento grande que crece con el tamaño del sstema. En general este es el método más confable y lento de todos ya que en cada teracón se debe actualzar y factorzar la matrz Jacobana Método desacoplado rápdo XB Con el obeto de smplfcar los cálculos y obtener una solucón mucho más rápda y con menos requermento de memora se desarrollo el método desacoplado rápdo [4] (Fast Decoupled Load Flow o FDLF, método XB en adelante) en el cual se asumen certos supuestos váldos para la mayoría de los sstemas de potenca. Los supuestos son: Se desprecan las submatrces J PV y desacopla en dos sstemas: uno que relacona con Δ V. JQ θ de la ecuacón (2.10); así la ecuacón se Δ P con Δ θ, y otro que relacona Δ Q cosθ 1, G senθ << B y Q << B V. 2 Se omte en J Pθ la representacón de las reactancas shunt, las resstencas en sere y los transformadores con cambador de tap que no estén en su tap nomnal. Se omte en J QV los efectos de los transformadores cambadores de fases. Basado en los supuestos anterores los sstemas desacoplados poseen la sguente estructura: Donde [ B '] y [ ''] Ambas matrces [ B '] y [ ''] [ Δ P V ] = [ B' ] [ Δθ ] [ Δ Q V ] = [ B' '] [ ΔV ] / (2.11) / (2.12) B son las matrces smplfcadas de J Pθ y J QV, respectvamente. B son funcones de los parámetros de la red, por lo que no dependen de los valores de V y θ. Así, estas matrces son constantes durante todo el proceso de teracón y son calculadas sólo al comenzo, a menos que sea volado algún límte de potenca ( P Límte y/o Q Límte ) en cuyo caso la barra camba de tpo. 9

21 Además [ B ''] es smétrca y de orden gual al número de barras que tengan especfcada su potenca reactva. La matrz [ B '] es del orden gual al número de barras menos uno, y es smétrca para sstemas sn transformadores cambadores de fase Método desacoplado rápdo BX Una varante al método XB es realzada en [5], en donde las prncpales dferencas están en la forma en que se desprecan las resstencas y en el esquema en que se llevan a cabo las teracones. En el método XB las resstencas son desprecadas sólo cuando se construye la matrz [ '] BX en adelante), despreca las resstencas sere sólo al construr la matrz [ B '']. B. Esta nueva varante, conocda como la versón desacoplada rápda BX (método El método desacoplado rápdo logra el desacoplamento debdo a dos condcones: La prmera es que las resstencas en sere son pequeñas en comparacón con las reactancas, y la segunda es que los ángulos de los voltaes son pequeños entre barras drectamente conectadas. Con las condcones anterores es posble obtener un desacoplamento como el de las ecuacones (2.11) y (2.12), pero se pueden hacer más aproxmacones a las matrces [ '] [ B ''], prmero desprecando las reactancas shunt cuando se construye [ '] [ B ''], luego omtendo los transformadores cambadores de fase cuando se construye [ ''] B y B y duplcándolas en B y la nfluenca de los transformadores cambadores de tap que se encuentren en un tap no nomnal en [ B ']. Las aproxmacones anterores son las msmas que las realzadas en el método XB, sn embargo al desprecar la resstenca sólo en [ B ''] (método BX) la convergenca es mucho más rápda para sstemas con altas razones R/X. Además en el esquema tradconal del método XB exste la posbldad de saltar teracones para uno o más P y/o Q, cuando para alguna barra el error es pequeño. Esta opcón puede producr una conducta cíclca que perudca la convergenca, por lo que el método BX utlza un esquema de teracones sucesvas estrctas, y cuando P y Q convergen el procedmento termna Método desacoplado rápdo para sstemas con altas razones R/X (FDLF R/X ) Para sstemas con altas razones R/X, las aproxmacones realzadas en el método XB ya no son váldas, por lo cual en muchos casos los fluos de potenca tardan demasado en converger o smplemente no convergen. El método desacoplado rápdo para sstemas con altas razones R/X (Fast Decoupled Load Flow for systems wth hgh R/X ratos o FDLF R/X ) [6] meora la convergenca ya que ncorpora nformacón de las resstencas sere de las ramas de transmsón, que para sstemas con altas razones R/X no deben ser desprecadas, mantenendo el msmo desacoplamento entre Δ P y Δ V y entre Δ Q y Δ θ. Las modfcacones son: B ' = B 0,4 G 0,3 G / B para (2.13) B 2 B ' = ' (2.14) 10

22 Donde los coefcentes 0,4 y 0,3 fueron encontrados expermentalmente [6]. Los efectos de las resstencas en sere son consderados en la ecuacón (2.12) al sumar las ecuacones (2.6) y (2.7): P + Q = 2 ( G B ) V + V V [( G B ) cosθ + ( G + B ) senθ ] (2.15) Asumendo que cos 1 reemplazada por:, donde [ B '''] está dada por: θ y G B >> ( G B ) sen [ Δ P V + ΔQ / V ] = [ B'' '] [ ΔV ] θ, la ecuacón (2.12) es / (2.16) B ''' = G B, (2.17) Resolvendo las ecuacones (2.11) y (2.16) con el msmo procedmento usado para las ecuacones (2.11) y (2.12) del método XB, con la excepcón de que [ B '] es reemplazada con los valores determnados según (2.13) y (2.14), se encuentra la solucón por este método Método desacoplado rápdo robusto (RFDPFM) Otro método efcente y rápdo para calcular fluos de potenca en sstemas con altas tasas de R/X y/o baos nveles de tensón es el método desacoplado rápdo robusto (Robust Fast Decoupled Power Flow Method o RFDPFM) [3]. A causa de las baas tensones la convergenca de los métodos desacoplados es deterorada debdo a que en ellos se asume que los voltaes se encuentran cercanos a sus valores nomnales, lo cual no ocurre en barras sobrecargadas. Esto últmo, más los problemas de altas razones R/X llevan a los métodos desacoplados a una convergenca lenta para las teracones Q V, las cuales son un factor domnante en el proceso de convergenca [3]. Este método ntroduce una cantdad Δ P en las teracones Q V de tal modo de reducr el acoplamento entreθ y V, para así meorar la convergenca de estas teracones en el caso de sstemas con altas razones R/X. La cantdad Δ P ntroducda está dado por t Δ P, donde el parámetro t está determnado por el promedo de las tasas R/X en el sstema. Este auste fue propuesto basado en una ustfcacón heurístca [7] y en este método es desarrollado a través del camno de Montcell [15]. Además, para meorar la velocdad de convergenca para sstemas con baos nveles de tensón, como lo son los sstemas sobrecargados, este método es complementado con un método de normalzacón de voltaes conocdo como VNM (Voltage Normalzaton Method) el cual fue desarrollado en [8]. Con el auste el sstema de ecuacones resulta: 11

23 ΔP J = tδp + ΔQ J Pθ PQθ J J PV PQV Δθ ΔV (2.18), donde J PQθ y J PQV son las nuevas submatrces Jacobanas. Y así, medante las aproxmacones usuales realzadas en los métodos desacoplados, se puede obtener el sguente sstema: [ Δ ] = [ V ][ B ][ V ][ Δθ ] [ tδ P + ΔQ] = [ V ][ B '][ ΔV ] P ' (2.19) ' (2.20), donde los elementos de las nuevas matrces B y B están dados por: B ' 1 = t r + x (2.21) ' ' B = B (2.22) B '' = B t G (2.23) B '' ( b tg ) '' = 2 B (2.24) Donde g y b son la conductanca y susceptanca shunt de la barra (suma de todas las ramas shunt conectadas a la barra ), r es la resstenca de la rama -, G es la componente - de la matrz G la cual es la parte real de la matrz de admtanca. El parámetro t puede tomar cualquer valor, pero un rango entre 0 y 1 es recomendado. S ben este método requere un leve mayor tempo de computacón, s se almacena en memora G + tb y tg + B, el tempo se reduce llegando a cerca del tempo de computacón del método XB. El método RFDPFM se reduce al método desacoplado XB para t = 0. Generalmente, la resstenca y reactanca de una línea de transmsón son mayores que cero, lo cual sgnfca que G < 0 y B > 0. Este método tene la habldad de ldar con altas razones R/X al escoger un t apropado que permta que la aproxmacón de J QV sea menos sensble a las altas razones R/X. Para llegar al sstema desacoplado (2.19) y (2.20) se despreca ( G + tb ) senθ con respecto a ( B + tg ) cosθ en J PQV con lo que es ahora la razón G + tb / B + tg la que afecta a la exacttud de la aproxmacón. La dea es controlar esta razón a través de la eleccón de un t apropado. La Fgura 2.1 muestra la relacón entre las razones G + tb / B + tg y r / x. En general se cumple la sguente relacón: 12

24 G B + tb + tg max ( t, 1/ t) r / x (2.25) Es claro que para valores altos de t la razón G + tb / B + tg se hace más pequeña para altas razones R/X, sn embargo un t muy alto no es una buena opcón para baas razones R/X. Fgura 2.1: G + + tb / B tg versus x r /. Este método además dsmnuye el acoplamento entre las teracones teracones Q V. Generalmente t se escoge de la sguente forma: P θ y las, donde n l es el número total de líneas. 1 r t = Mín, 1 (2.26) nl Todas las x Líneas Este método comenza calculando el parámetro t y luego sgue con las teracones según el sstema (2.19) y (2.20). Luego de unas pocas teracones se observan los nveles de voltae de las barras y s alguna barra presenta baos nveles con respecto a su valor nomnal, entonces se realza la normalzacón de voltaes del sstema VNM, la que consste en la transformacón del sstema en otro equvalente con respecto a la solucón del fluo de potenca, pero cuyos nveles de tensón son más cercanos a los valores nomnales, de modo tal de erradcar el mal condconamento para las sguentes teracones. Una vez realzada la transformacón se contnúa con las teracones hasta que el sstema converga partendo las nuevas teracones con el últmo voltae actualzado obtendo antes de aplcar el VNM. El método RFDPFM en la mayoría de los casos, para sstemas normales, tene característcas de convergenca smlares a las de las otras versones de los métodos desacoplados. Sn embargo, para sstemas con altas razones R/X y barras con baos nveles de 13

25 tensón, RFDPFM es mucho meor que todas las otras versones desacopladas y mucho meor que el fluo AC completo, salvo en pocas excepcones Fluo DC Se consderará una línea de transporte de un sstema de potenca representada por su equvalente π como se muestra en la Fgura 2.2 Fgura 2.2: Equvalente π de una línea de transporte de energía eléctrca. La expresón de los fluos de potenca, actva y reactva, desde el nudo al son: P Q = g V V V cos ' 2 2 = b V + V V cos ( g θ + b senθ ) ( b θ g senθ ) (2.27) (2.28), donde g b b ' r = es la conductanca del tramo r + x x = es la susceptanca del tramo y r + x b = 2 x C r + x S la resstenca del tramo es mucho más pequeña que la reactanca, lo que se cumple sn dfcultad en líneas de transmsón de alta tensón, la conductanca se aproxma a cero y la susceptanca al nverso de la reactanca por lo que la ecuacón (2.27) queda reducda a: P = V V γ senθ (2.29) donde 14

26 γ = 1 x Se apreca que en la ecuacón de fluo de potenca actva (2.27) no aparece refleada la susceptanca capactva de la línea. S se asume un perfl plano para las tensones e gual a 1 p.u., una dferenca angular entre los nodos tan pequeña que se cumpla cosθ 1 y senθ θ y se desprecan las admtancas conectadas en dervacón a terra, la potenca reactva se hace desprecable y la potenca actva se obtene de la ecuacón (2.30). P θ θ = γ θ = (2.30) x Esta últma ecuacón, es amplamente usada para estudos de planfcacón por realzar en general una buena estmacón de los fluos de potenca actva. Tambén, es posble asocarle un crcuto equvalente eléctrco en el cual, los ángulos corresponderían a voltaes de nudos, las reactancas a resstencas y los fluos de potenca actva a correntes. Esta red se exctaría con fuentes de correntes contnua equvalentes a las potencas actvas netas nyectadas a los nudos. Es por esta razón, que a esta aproxmacón se la conoce como DC (drect current) y más recentemente modelo lneal. La Fgura 2.3 muestra el crcuto equvalente del modelo lneal de la red. Fgura 2.3: Crcuto equvalente de una red lneal Este modelo tene un equvalente a las redes eléctrcas en el cual, los ángulos corresponderían a voltaes de nudos, las reactancas a resstencas y los fluos de potenca a correntes. Tomando la prmera ley de Krchhoff en cada nodo (sn tomar en cuenta el nudo de terra) y la ecuacón (2.30) para cada elemento, (análogo a la ley de Ohm) se obtene un modelo matrcal de la red. P A P = (2.31) g P d t P γ A θ = 0 (2.32) donde P g vector de potencas actvas generadas 15

27 P d γ θ A vector de potencas actvas demandadas matrz dagonal de susceptancas de cada elemento vector de ángulos de las tensones de los nudos matrz ncdenca nudo elemento Reemplazando la ecuacón (2.32) en la ecuacón (2.31) se obtene el sguente sstema de ecuacones: t [ ] A θ = B θ = Pg Pd A γ (2.33) A la matrz B se le denomna matrz de susceptancas y no es dfícl demostrar que sus elementos se obtenen de las sguentes relacones: B = γ, s (2.34) Ω B = γ, s = (2.35) donde Ω es el conunto de nudos conectados drectamente al nudo. La matrz de ncdenca se ha planteado para cada barra de la red (no se consdera el nudo de terra), de modo que el sstema de ecuacones resultante en la ecuacón (2.33) es de tamaño n, donde n es el número de barras del sstema. Este sstema tene rango (n 1), (esto es resultado de que se desprecaron los elementos paralelos), de modo que exste dependenca lneal entre las ecuacones. Para obtener una solucón únca, es necesaro reducr la base del sstema a (n 1) ncógntas. Por lo tanto, se elge en forma arbtrara una barra en la cual se asume un valor conocdo del ángulo (habtualmente cero), esta barra será la barra de referenca. La reduccón de las ncógntas, camba la referenca respecto de la cual se mden los ángulos de los voltaes, de modo que ahora los ángulos quedan referdos con respecto a la barra de referenca. Por supuesto se llegaría al msmo sstema lneal s se realzarán las smplfcacones drectamente en (2.6) Fluos de potenca en coordenadas rectangulares Representando el voltae en su parte real e magnara, e ntroducendo en las ecuacones (2.2) y (2.3), se obtenen las sguentes expresones: Q P n = [ e ( e G f B ) + f ( f G + e B )] = 1,... n, = 1 [ e ( f G + e B ) + f ( e G f B )] = 1,... n n =, = 1 (2.36) (2.37) Como ahora la magntud del voltae es una funcón de la parte real e magnara del voltae compleo, su correspondente ecuacón debe estar ncluda: 16

28 V = e + f (2.38) Método de fluo de potenca de segundo orden (SOLF) El método de segundo orden (Second Order Load Flow Method o SOLF), desarrollado en [9], tene la ventaa de que las ecuacones (2.36), (2.37) y (2.38) son funcones cuadrátcas de las componentes real e magnara del voltae. La expansón en sere de Taylor de estas tres ecuacones termna con los térmnos de segundo orden, esto sgnfca que la expansón de Taylor completa de las ecuacones (2.36), (2.37) y (2.38) termna en los térmnos de segundo orden, sn errores de truncacón. Se defnen los vectores dependente e ndependente del problema como sgue: P e y = Q, x = (2.39) f V Donde P denota al vector de las nyeccones de potenca actva a cada barra del sstema, excepto a la barra de referenca V θ ; Q es el vector con las nyeccones de potenca reactva a las barras PQ; V es el vector de voltae de las barras PV y V θ ; e y f son los vectores, con la parte real e magnara respectvamente, del voltae compleo de todas las barras a excepcón de la barra de referenca V θ. La expansón en sere de Taylor de las ecuacones (2.36), (2.37) y (2.38), conduce a la sguente ecuacón escrta en forma matrcal: y espec est ( x ) + JΔx + y( Δx) = y (2.40) Donde los superíndces espec y est denotan especfcado y estmacón ncal. de: La solucón de Δ x de la ecuacón (2.40) puede ser determnada medante la teracón J est ( x ) y( Δx ) espec Δ x +1 = y y (2.41) est donde = 0 x y Δ x son calculadas utlzando las ecuacones (2.36), (2.37) y (2.38). Es mportante notar que J es constante y es calculado una sola vez con el est estmador ncal x. La ecuacón (2.41) es smplfcada a: Δx para = 0, e y ( ) e ( ) P Q 2 V espec espec espec P Q V ( f, e ) J Pf J Pe J Pe Δf PQ PV ( ) ( ) = Δ f, e J Qf J Qe J Qe e PQ PV PQ 2 f, e J J J Δe Vf VePQ VePQ PV (2.42) 17

29 +1 +1 Los valores actualzados de e y f son: e = e + Δe y f = f + Δf. Debdo a que el Jacobano es constante durante el proceso teratvo es mportante escoger apropadamente los valores estmados ncales. El valor ncal del voltae de todas las barras se escoge gual al voltae de la barra de referenca V θ, esto es, V & = e + 0. Vθ sw Los elementos de la matrz Jacobana son: esw B para = J ( ) = Pf, (2.43) eswb para e sw = ( ) 2G + = G para J Pe PQ, eswg para (2.44) esw G para = J ( ) = Qf, eswg para (2.45) e sw = ( ) 2B + = B para J Qe PQ, eswb para (2.46) J J (, ) J (, ) = 0 = 1,... n = (2.47) Vf Ve, PQ 2esw para =, = (2.48) para ( ) Ve PV 0 La ecuacón (2.47) muestra que el sstema de la ecuacón (2.42) puede ser desacoplado en dos sstemas de ecuacones, estos son: ΔP ΔQ 1 2 e e sw sw G' B' [ Δe ] PV 2 [( ΔV ) esw ] = [ ΔePV ] B = G 1 1 G B T 1 2 Δf Δe PQ (2.49) (2.50) El orden de la matrz Jacobana de este método es el msmo que en el método de Newton Raphson. El método teratvo SOLF calcula [ Δ e PV ] de la ecuacón (2.50), y luego se resuelve la ecuacón (2.49). Los valores de e y f son actualzados y utlzados para calcular 2 Δ P, Δ Q y Δ V para una nueva teracón. 18

30 Método desacoplado La versón desacoplada en coordenadas rectangulares (Decoupled Load Flow Method n Rectangular Coordnates o DLFR), descrta en [10], esta basada en supuestos smlares a los realzados para los métodos desacoplados en coordenadas polares, esto es, e B >> f G y e e s la barra está drectamente conectada con la barra. Con esto se forma el sguente sstema: ( ΔP e) ( ΔQ e) ' B1 = ' G1 G B ' T 1 ' 2 Δf Δe (2.51) ' ' ' donde G 1 está formado por los elementos de la matrz G, y las matrces B 1 y B 2 están formadas por los elementos de la matrz B, donde G y B son la parte real e magnara respectvamente de la matrz de admtanca nodal. En la referenca [10] desprecan la submatrz G, obtenendo el desacoplamento. ' 1 ' [( ΔP e) ] = [ B ] [ Δf ] ' ( ΔQ e) = B Δe [ ] [ ] [ ] 1 (2.52) 2 (2.53) En este método, la expansón en sere de Taylor ya no es consderada completa, ya que en DLFR se desprecan los térmnos de segundo orden al gual que en el método de Newton Raphson. Este método requere recalcular las matrces Jacobanas en cada teracón, aunque esta condcón no es muy estrcta y muchas veces la actualzacón es realzada medante la actualzacón de la parte real del voltae que dvde la parte zquerda de las ecuacones (2.52) y (2.53) Métodos para sstemas mal condconados Los métodos en coordenadas rectangulares para sstemas con mal condconamento ntroducen un multplcador óptmo en los métodos SOLF y DLFR [2]. Este multplcador puede ser obtendo de dstntas formas, ya sea por mínmos cuadrados o mnmzando la norma nfnta. 19

31 3 PRESICIÓN DE UN FLUJO DC 20

32 3.1 INTRODUCCIÓN De todos los métodos de fluos de potenca vstos, el DC es una aproxmacón. Interesa por lo tanto conocer que tan confables son sus resultados. Para obtener las ecuacones lneales de fluo de potenca se deben realzar las sguentes aproxmacones: θ θ : Las dferencas angulares entre barras drectamente conectadas son pequeñas. R << X sstema. : Se depreca la resstenca con respecto a la reactanca de las ramas del V 1 pu : Se supone un perfl plano de voltae e gual a 1 p.u. Los supuestos anterores son váldos para la mayoría de los sstemas de potenca, sn embargo en algunos casos pueden no cumplrse del todo, como podría ocurrr en sstemas sobrecargados en los cuales los nveles de tensón pueden ser baos, o en sstemas de dstrbucón donde las pérddas son no desprecables, o smplemente en sstemas cuyas líneas tenen resstencas no desprecables con respecto a su reactanca. En prmer lugar, la condcón para las razones R/X puede ser dfícl de garantzar. La nfluenca de las resstenca aumenta al dsmnur el nvel de tensón nomnal del sstema dado que se producen mayores pérddas de tpo Joule. De ahí que generalmente el fluo DC no se utlce para sstemas de dstrbucón, y sí para nveles de transporte de alta tensón. Asmsmo, para algunos sstemas los nveles de tensón pueden desvarse bastante de su valor nomnal. Estas característcas nfluyen drectamente en la confabldad de la solucón de un fluo DC. Se ha estudado la nfluenca de realzar cada una de estas aproxmacones en la confabldad de la solucón de un fluo DC [1]. A contnuacón se muestra lo más destacable de las nvestgacones. 3.2 INFLUENCIA DE θ θ Esta smplfcacón permte aproxmar las funcones snusodales de la sguente manera: sen ( θ θ ) ( θ θ ) ( θ ) 1 (3.1) cos θ (3.2) 21

33 Frecuentemente se dce que esta condcón se cumple ben para sstemas déblmente cargados. Con el obeto de chequear los valores de las dferencas angulares actuales de un sstema de potenca real se tomó como eemplo un sstema de alta tensón de Bélgca conformado por más de 900 líneas, con nveles de tensón de 70 KV a 380 KV y en un escenaro punta de nverno de 13 GW de demanda. Los resultados se aprecan en la Fgura 3.1 Fgura 3.1: Dferencas angulares entre barras drectamente conectadas. Se apreca que las más altas dferencas de voltae se encuentran en el rango de 6º 7º y que en el 94% de las líneas la dferenca angular no supera los 2º. En la Fgura 3.2 se muestra el error asocado a las aproxmacones (3.1) y (3.2). Fgura 3.2: Consecuencas de las aproxmacones de seno y coseno. De acá se puede conclur que suponer dferencas angulares pequeñas no debería causar errores sgnfcatvos en la solucón fnal entregada por un fluo DC. 22

34 3.3 INFLUENCIA DE R << X Otra smplfcacón que uega un mportante rol en la confabldad de un fluo DC es el desprecar la resstenca de las líneas. En este caso se calculó el error promedo porcentual (sobre todas las líneas) del fluo de potenca actva consderando el error como la dferenca entre el resultado calculado por un fluo DC y por un fluo AC, es decr: PAC PDC P ERROR = 100% (3.3) P AC Esto se calculó para un sstema enmallado de 30 barras a cuyas líneas se les varó la razón su X R aleatóramente (en un rango de resstencas encontradas en sstemas reales) a través de una smulacón de Montecarlo. Se tomaron 5000 muestras y los resultados se aprecan en la Fgura 3.3 Fgura 3.3: Influenca de la razón X/R en el error de un fluo DC. Se observa que s las resstencas de las líneas están dentro de un rango pequeño el porcentae de error promedo no varía con la razón X R, y ésta comenza a adqurr mayor mportanca para rangos más altos de resstenca. Esto puede ser explcado por el aumento de consumo de potenca reactva de las líneas altamente nductvas, llevando a un peor perfl de voltaes. 3.4 INFLUENCIA DE V 1 pu Se sabe que en cuanto a los voltaes lo que provoca las malas estmacones de un fluo DC no son su valor absoluto sno su desvacón con respecto a un valor predefndo. De esta manera se calculó nuevamente el error promedo porcentual, y además el error máxmo porcentual, para el msmo sstema de 30 barras para dstntos valores (1000 muestras) de 23

35 desvacón estándar de los voltaes de las barras con respecto a un valor predefndo nomnal, es decr 1 2 s U = (3.4) ( U U ) = 1 donde U son los voltaes de las barras y U es el valor nomnal. Los resultados se muestran en la Fgura 3.4 Fgura 3.4: Influenca de asumr un perfl plano de voltaes para dstntas desvacones estándar de los voltaes. Aunque el error promedo se mantene por lo general bao el 5%, el error máxmo llega ser muchas veces más grande. De ahí que suponer un perfl plano de voltae sea la más crítca de las aproxmacones realzadas, y la mayor fuente de error en la estmacón de la potenca actva través de un fluo DC. 24

36 4 MÉTODOS DESARROLLADOS 25

37 4.1 INTRODUCCIÓN Se ha buscado compatblzar los métodos de fluo AC y DC medante la búsqueda y desarrollo de métodos que permtan calcular los fluos de potenca de tal modo que el cálculo no sea tan costoso en tempo de proceso como ocurre en un fluo AC y a la vez cuya estmacón de las potencas no sea tan errónea como en algunos casos ocurre con un fluo DC. En este capítulo, en una prmera parte, se tratan métodos para estmar el fluo de potenca actva. Éstos conssten báscamente en realzar modfcacones al fluo DC con el obeto de meorar sus resultados, prmero ncorporando la nformacón de las resstencas de las líneas de transmsón y segundo ncorporando la nformacón de las pérddas. Además se demuestra que calcular la potenca actva a través de los factores GGDF es equvalente al cálculo realzado por un fluo DC s es que se mantenen constantes los perfles de demanda. Luego se pasa a analzar la estmacón de la potenca reactva a través del uso de fórmulas aproxmadas y a partr de los resultados de un fluo DC (o sus posbles versones meoradas). Para esto se ntenta calcular la magntud de los voltaes de las barras, prmero utlzando la conocda estmacón de gradente de voltae, y segundo desarrollando aproxmacones para la nyeccón de reactvos de la líneas. Fnalmente se estuda la utlzacón de los métodos desacoplados en sus versones más mportantes, es decr la versón estándar XB, la versón general BX y la versón robusta RFDPFM, analzando la caldad de la estmacón de las potencas para un número fo de teracones, para así comparar el error cometdo con el error de un fluo DC, y tenendo en cuenta que los tempos de proceso en este caso serán más comparables. 4.2 MODELOS DE POTENCIA ACTIVA Fluo DC versón BX Es fácl ver que la matrz B utlzada en un fluo DC es déntca a la matrz B de un fluo desacoplado rápdo versón XB. Además se sabe que las ecuacones lneales de un fluo DC se pueden deducr aplcando las aproxmacones drectamente a la ecuacón (2.6). En esta versón no se desprecará la resstenca r al construr la matrz B sno sólo el elemento G con lo que se tendrá n n ( G cos + B senθ ) B ( θ θ ) = 1,... n P = V V θ, (4.1) = 1 Con esto se tendrá un fluo DC en el cual s se consderan las resstencas y cuya matrz B será déntca a la matrz B del método desacoplado rápdo BX. = 1 P = B BX θ (4.2) 26