FACTORES DE DISTRIBUCION EN EL ANALISIS DE SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA.

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1 FACTORES DE DISTRIBUCION EN EL ANALISIS DE SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA. Introducción. En el presente trabajo se presentan algunas aplicaciones en el análisis de sistemas eléctricos de potencia como ser; análisis de flujos de carga en DC, cálculo de los coeficientes de pérdidas en las líneas de transmisión, cálculo de los factores de penalización (factores de nodo), tarifación de la transmisión, despacho económico, etc. Abstract. In the present work is present some applications in the analysis of electrical systems power as being; analysis of flows of load in DC, calculation of the loss ratios in the lines of transmission, calculation of the factors of penalty (factors of node), tariffication of the transmission, economic dispatch, etc. = es la variación del flujo de potencia activa en la línea que unes los nodos k y l, debida a la variación de generación. = es una constante de proporcionalidad o factor GSDF para la línea (l-k) y asociado al generador g. = es la variación de generación en el generador de referencia R. La linealidad que presenta la ecuación 1), presenta el uso de superposición, se produce un desplazamiento de la generación de cualquier generador del sistema, al generador de holgura (Slack), de esta forma la carga total del sistema debe permanecer inalterada, esta restricción se expresa de la siguiente manera: Marco Teórico. Factores de Distribución de Desplazamiento de Generación (GSDF o A). Las metodologías basadas en factores de distribución de desplazamiento /2/, relacionan flujos de potencia con inyecciones o retiros en una barra en particular (barra de referencia). Se debe resaltar que los elementos de la columna A (factores GSDF) asociada a la barra de referencia es nula, lo que permite establecer una sumatoria sobre todos los nodos del sistema. Derivación de los factores GSDF (A) sabiendo que el flujo DC cumple con la siguiente expresión: El conjunto de factores 1) 2) = es la variación de generación en el generador g excluido el generador de referencia. Donde es el ángulo del voltaje en la barra i y B es la matriz de coeficientes del modelo P -. Para una línea en particular se cumple:

2 Donde corresponde al ángulo de fase del voltaje en el nodo l y representa la reactancia serie en p.u. de una línea o transformador. La ecuación puede ser expresada como: g. = es la generación total en el generador = Es el flujo total en la línea que une los nodos k y l debida a las generaciones. = es el factor GGDF para la línea (l-k) y asociado al generador g. Donde [X] representa la matriz de reactancia del sistema. De la ecuación realizando una aproximación infinitesimal. Deducción de los factores GGDF. A partir de la ecuación 8) se asume que un generador g incrementa su generación en, esta variación es compensada en la misma magnitud pero en sentido contrario por un generador de referencia arbitrario R (R g). el nuevo flujo por la línea en particular queda expresado como: Factores Generalizados de Distribución de Generación (GGDF o D). Los factores generalizados de distribución de la generación (GGDF) se diferencian de los factores de distribución GSDF al suponer variaciones totales de generación-flujo y no incrementales. Estos factores son independientes de la barra de referencia, evitando así la elección de la barra de referencia considerándose como una propiedad positiva de estos factores. Los factores GGDF o D, pueden ser definidos de la siguiente forma: p = es la suma sobre todos los generadores. = es el flujo modificado en la línea (lk). = es la variación de generación en el generador g y generador de referencia R. = es la generación total en el generador g incluido el generador de referencia antes de la perturbación. De la ecuación 9) se tiene: Donde es el flujo de potencia original en la línea, por lo tanto la diferencia de flujos se tiene:

3 Ecuación que relaciona los factores generalizados de distribución GGDF con variaciones de flujo en una línea, comparando con la ecuación 11) se tiene: De esta forma se obtiene una relación clara entre los factores de distribución GGDF, expuestos en la sección anterior y los factores generalizados de distribución de la generación GGDF. Para poder conocer los factores asociados a una barra en particular, solo es necesario conocer el factor asociado a la barra de referencia y solucionar un sistema lineal muy simple. Realizando un desplazamiento de generación completo de todos los generadores del sistema a la barra de referencia R, es decir, de la ecuación 1) se tiene: = es la generación final en la barra de referencia R. El desplazamiento de generación efectuado, tiene el efecto de que la generación final en cada uno de los generadores, excluido el de referencia, sea cero, por lo tanto la ecuación queda expresada como: Después del desplazamiento, la generación del sistema queda concentrada en la barra de referencia R. Donde i suma sobre todos los generadores, excluido el de referencia R. Reemplazando las ecuaciones 12) y 15), finalmente se tiene la expresión para la determinación de los factores de distribución generalizados de distribución: Donde p suma sobre todos los generadores, excluido el de Referencia R. = es el flujo en la línea (l-k) antes del desplazamiento de generación. = es el flujo en la línea (l-k) después del desplazamiento de generación. Por otra parte se tiene: Factores Generalizados de Distribución de Carga (GLDF o C). Los factores generalizados de distribución de carga (GLDF), al igual que los factores GGDF, se diferencian de los factores de distribución GSDF al suponer variaciones totales de generación-flujo y no incrementales. Estos factores son independientes de la barra de referencia. Donde p suma sobre todos los generadores, excluida la barra de referencia: Los factores GLDF o C, son definidos de la siguiente forma: p. = es la generación final del generador

4 = es la carga total en el consumo c. = Es el flujo total en la línea que une los nodos k y l debida a la condición de la operación. = es el factor GLDF para la línea (lk) y asociado al consumo c. Se asume un consumo c que incrementa su carga en, variación que es compensada por un generador de referencia arbitrario R (R c). El nuevo flujo por la línea particular queda expresado de la siguiente forma: GSDF y los factores GLDF para un consumo c. De esta forma para conocer los factores asociados a una barra en particular, solo es necesario conocer el factor asociado a la barra de referencia y solucionar un sistema lineal muy simple. Realizando un desplazamiento de carga completo de todos los consumos del sistema a la barra de referencia R, es decir se tiene ahora: Donde p suma sobre todos los consumos, excluido el de referencia R. = es el flujo de la línea (l-k) antes del desplazamiento del consumo. Donde p suma todos los consumos: = es el flujo de la línea (l-k) después del desplazamiento del consumo. = es el flujo modificado en la línea (lk). Por otra parte se tiene: = es la variación de carga en el consumo c y generador de referencia R. = es la carga total en el consumo p. Reemplazando la ecuación 19) en la ecuación 18), se tiene la siguiente relación: Ecuación que relaciona los factores de distribución de carga GLDF, con variaciones de flujo en una línea, comparando la ecuación 20) con la ecuación 1) y tomando en cuenta que una variación en la carga corresponde a una variación negativa de la generación se tiene: Donde p es la suma de todos los consumos, excluida la barra de referencia. = es la carga final en el consumo p. = es la carga final en la barra de referencia R. El desplazamiento de consumo realizado hace que la carga final en cada uno de los consumos, excluido el de referencia sea cero, así la ecuación 23) queda expresada como: Después del desplazamiento la carga del sistema queda concentrada en la barra de referencia R: De esta forma se obtiene una relación clara entre los factores de distribución

5 Donde i suma sobre todos los consumos, excluido el de referencia R, sustituyendo las ecuaciones 24) y 20), finalmente se obtiene la siguiente expresión para el factor de distribución generalizado de carga asociado a la barra de referencia del sistema: Se considera el siguiente ejemplo: Se tiene un sistema eléctrico de potencia de 5 nodos y 7 líneas: Tabla N 2 Nodo I Nodo J r p.u. x p.u. ysh/2 p.u La matriz de admitancias (suceptancias) es la siguiente: Tabla N Para determinar la matriz [X], se elimina la fila 1 y columna que corresponde a la barra Slack (de referencia), donde se obtiene la siguiente matriz: Tabla N Se obtiene la matriz inversa y se añade una fila y columna de ceros, finalmente la matriz [X] es la siguiente: Tabla N 5 Los datos de las barras son los siguientes: Tabla N 1 PG QG PD QD MW MW MW MW Los factores GSDF o A, son obtenidos considerando la ecuación 7) y se presentan a continuación: Los datos de las líneas son los siguientes:

6 Tabla N Para el cálculo de los restantes factores se calcula mediante flujos DC, los flujos en las distintas líneas (no se consideran pérdidas de energía), los flujos calculados son los siguientes (en MW): Los factores GGDF o D, son obtenidos considerando la ecuación 17) y se presentan a continuación: Tabla N Los factores GLDF o C, son obtenidos considerando la ecuación 24) y se presentan a continuación: Tabla N Modelo del Flujo de Potencia DC. Los factores A se derivan a partir de la expresión 1), es decir del análisis de flujos de carga en DC (no se considera perdidas en las líneas de transmisión). Para obtener los flujos en las líneas, se procede a calcular la potencia inyectada en cada nodo de acuerdo a la siguiente expresión: = Potencia inyectada en el nodo i. = Potencia generada en el nodo i. = Potencia demandada en el nodo i. En el ejemplo anterior la potencia inyectada es la siguiente: Tabla N 9 PI i MW PI 1 80 PI 2 20 PI 3 10 PI 4-50 PI 5-60 Los flujos en las distintas líneas se determinan tomando en cuenta la siguiente expresión: Los flujos en las distintas líneas del anterior ejemplo se presentan a continuación: Tabla N 10 Nodo i Nodo j MW Calculo de los Coeficientes de Pérdidas [B]. Existen diversas metodologías para el cálculo de los coeficientes de perdidas [B], donde se consideran que las pérdidas están en función de las potencias generadas, por lo general son de la siguiente forma: En /1/ se presenta una metodología de cálculo de los coeficientes de perdidas utilizando los factores de distribución,

7 donde las pérdidas son calculadas considerando la siguiente expresión: Donde siguiente expresión: se obtiene a partir de la AC, porque los coeficientes de perdidas no son constantes sino que varían según el estado de carga del sistema. Una vez determinados los coeficientes de pérdidas se tendrá una expresión para las perdidas, que solo es válida para las condiciones correspondientes a los valores de las potencias generadas con lo que fueron calculados. Para fines de estudio se asumirá constantes los valores de la matriz [B] calculadas. Despacho Económico de Carga. = Resistencia en las líneas de transmisión. = Es el factor GGDF de la línea m debido al generador j. Del ejemplo de 5 nodos y 7 líneas, se han calculado los factores GGDF y la potencia generada en la barra slack se obtiene a partir de un flujo de carga, los valores de las potencias generadas son las siguientes: Tabla N 11 Pgi MW Es de notar que se han calculado los valores de los factores GGDF o D, tomando en cuenta la potencia en la barra slack y son los siguientes: Tabla N Se considera el cálculo de la potencia en la barra slack mediante flujos de carga La matriz de coeficientes de pérdidas puede ser utilizada para el despacho económico de carga que considera los límites de potencia, las pérdidas en las líneas de transmisión. Si se considera la siguiente función para el despacho económico de carga: Sujeto a las restricciones: = Perdidas de potencia en las líneas de transmisión. PD = Potencia demandada del sistema eléctrico. La condición para el despacho económico /3/, todas las unidades de generación deben trabajar con el mismo valor de costos incrementales, multiplicados por su factor de penalización. Donde el factor de penalización esta dado por la siguiente expresión:

8 Tabla N 14 Para el cálculo de la derivada de la función de pérdidas respecto de la potencia generada, se utiliza la expresión 30), por lo que la derivada se puede calcular con la siguiente expresión: Los factores de penalización son los siguientes: Tabla N 15 Para la solución se utilizara la siguiente expresión matemática: Nodo Li Los resultados del despacho económico son los siguientes: b y c son los coeficientes de la función de costos de la forma: La potencia generada se obtiene a partir de la siguiente expresión: Para el sistema de 5 nodos, previamente se ejecuta flujos de carga para conocer la potencia en la barra slack, los resultados se presentan en la siguiente tabla: Tabla N 16 Pgi Costo MW $ , Para la barra Slack se ha obtenido mediante flujos de carga, reemplazando los valores de potencia activa obtenidas. El despacho económico considerando el método del gradiente tiene un costo total de $ 1, Tabla N 13 N PG QG v ANG PD QD Fnodo MW MW p.u. º MW MW La matriz de coeficientes de perdidas [B] es la siguiente: En la siguiente tabla se presentan los resultados utilizando el método del gradiente y el de coeficientes de perdidas, para los casos de los sistemas eléctricos de 11 barras, 14 barras (IEEE 14) y 30 barras (IEEE 30).

9 Tabla N 17 Descripción 11 NODOS 14 NODOS Gradiente Coef. B Gradiente Coef. B Costo $ 1, , , , Perdidas MW sea a generadores o consumos, es tomando en cuenta las siguientes expresiones: Generadores: Descripción 30 NODOS Gradiente Coef. B Costo $ Perdidas MW Asignación de Peajes de los Sistemas de Transmisión Eléctrica según el Uso de la Red. Una forma de medida del uso de los sistemas de transporte de energía eléctrica, son los factores de distribución [Rudnick 1995], estos factores dan una medida de la utilización de la red basándose en la configuración de la misma. Al utilizar un flujo DC para calcular los factores A, C y D, no se están considerando las pérdidas en las líneas de transmisión y que están serán incorporadas posteriormente. Una alternativa utilizada frecuentemente es colocar las pérdidas como consumos en los extremos de cada línea, es decir la mitad de las pérdidas de cada línea se colocan como carga en los extremos de la línea. Una forma de prorrateo de los pagos por cada línea debe ser asignada por todos los usuarios de estas, en proporción al máximo de la potencia transportada por cada usuario, con respecto al máximo de la potencia transportada en esa línea. Se asigna un pago a aquellos que contribuyen al flujo en el mismo sentido del flujo máximo, aquellos que contribuyen con flujos negativos (en sentido contrario al flujo máximo), no se les asigna pago por el uso de la línea, pero tampoco se les premia. Se toma en cuenta cuando el factor es del mismo signo que el flujo y será 0 si el factor es de signo opuesto. Consumos: Se toma en cuenta cuando el factor es del mismo signo que el flujo y será 0 si el factor es de signo opuesto. = Participación en el flujo en la línea l-k, del generador o consumo m. Tomando en cuenta los valores GGDF o valores D presentados en la tabla N 7, se calculan la contribución de los generadores en los flujos de cada línea que se presentan en la siguiente tabla: Tabla N 18 Contribución de los Generadores Línea Flujos Pg1 Pg2 Pg3 Pg4 Pg5 MW MW MW MW MW MW Para el prorrateo del uso de las líneas, se utiliza la expresión 40) y los resultados se presentan en la siguiente tabla: Una de las formas de asignar responsabilidades al flujo por las líneas ya

10 Tabla N 19 Contribución de los Generadores Línea Flujos Pg1 Pg2 Pg3 Pg4 Pg5 MW % % % % % % 0.00% 4.94% 0.00% 0.00% % 16.44% 0.00% 0.00% 0.00% % 44.31% 0.00% 0.00% 0.00% % 39.95% 0.00% 0.00% 0.00% % 29.62% 13.64% 0.00% 0.00% % 14.24% 39.98% 0.00% 0.00% % 10.63% 46.15% 0.00% 0.00% Tomando en cuenta los valores GLDF o valores C presentados en la tabla N 8, se calculan la contribución de los consumos en los flujos de cada línea que se presentan en la siguiente tabla: Tabla N 20 Contribución de los Consumos Línea Flujos Pd1 Pd2 Pd3 Pd4 Pd5 MW MW MW MW MW MW Para el prorrateo del uso de las líneas, se utiliza la expresión 41) y los resultados se presentan en la siguiente tabla: Tabla N 21 Contribución de los Consumos Línea Flujos Pd1 Pd2 Pd3 Pd4 Pd5 MW % % % % % % 17.74% 9.65% 27.46% 45.15% % 3.81% 22.90% 46.98% 26.30% % 0.00% 36.31% 63.69% 0.00% % 0.00% 20.36% 69.50% 10.14% % 0.00% 4.00% 13.64% 82.36% % 5.60% 0.00% 59.55% 34.81% % 4.58% 0.00% 0.00% 95.38% Se hace notar que se han sumado las pérdidas de potencia de las diferentes líneas, a los consumos (pérdidas dividido sobre 2). Para la asignación del pago del peaje a los generadores y consumos, se debe realizar un reparto del peaje total a los generadores y a los consumos. Este porcentaje de reparto ha sido de bastante debate, por ejemplo se analizaron propuestas del reparto del 25% del peaje total a los generadores y el 75% del peaje total a los consumos, 50% del peaje total a ambos, etc. En el ejemplo considerado se dispone de 3 generadores, 4 consumos y 7 líneas. En la siguiente tabla se presentan los valores del peaje de las líneas: Tablas N 22: En /5/ se propone que el reparto del peaje entre los generadores sea en función a la potencia firme de cada agente y para los consumos sea en función a la potencia de punta de los consumos, de acuerdo a la siguiente expresión para el prorrateo del peaje entre los distintos agentes: Generadores: Consumos: = Peaje de la línea l-k asignado a los generadores. = Peaje de la línea l-k asignado a los consumos. al generador p. al consumo p. Línea Peaje Lij USD L , L , L , L , L , L , L , = Peaje de la línea l-k asignado = Peaje de la línea l-k asignado Se considera el reparto del 50% a los generadores y del 50% a los consumos. En las siguientes tablas se presentan los

11 repartos del peaje a los distintos generadores y consumos: Tabla 23 Generadores: Línea Peaje Pg1 Pg2 Pg3 USD USD USD USD , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Tabla 24 Consumos: Línea Pd1 Pd2 Pd3 Pd4 Pd5 USD USD USD USD USD , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Conclusiones. Tal como se presenta en el siguiente trabajo, existen diversas aplicaciones de los factores de distribución en los sistemas eléctricos de potencia, en la tabla N 10 por ejemplo se presentan los resultados de flujos DC utilizando los factores A. Para el caso del uso de los factores de distribución en el despacho económico, las diferencias obtenidas en el despacho económico, de los costos de generación y perdidas de potencia presentados en la tabla 17, muestran que el despacho económico utilizando los coeficientes de perdidas [B], son bastante cercanos a los obtenidos utilizando el método del gradiente. Sin embargo para el caso del sistema eléctrico de 14 nodos existen diferencias que son debidas a que la matriz [B] se obtuvo con valores bastante diferentes de potencias generadas, esto nos muestra que la matriz [B] no es constante. Se hizo el ejercicio adicional del cálculo del despacho económico utilizando valores diferentes a cero de las potencias generadas y los resultados son muy próximos a los obtenidos utilizando el método del gradiente. Una aplicación de los factores de distribución, es determinar el uso del sistema de transmisión por los distintos generadores y consumos, tomando en cuenta la máxima potencia transportada. Como se puede observar los resultados de las tablas 19, 21, 23 y 24. Bibliografía Consultada. /1/. Yung-Chung Chang, Wei-Taen Yang, Chun-Chang Liu, A new Method for Calculating Loss Coefficents, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 9 N 3 August 1994, page /2/. Tomás Fahrenkrog Borghero, Tesis Tarificación de Sistemas de Transmisión Eléctrica, Universidad de Chile Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Departamento de Ingeniería Industrial julio 2004, 134 páginas. /3/. Gonzalo Oscar Eulate Choque, Proyecto de Grado Condiciones de Operación Óptima en Sistemas Hidrotérmicos, Ingeniería Eléctrica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Mayor de San Andrés, diciembre páginas. /4/. Francisco Javier Danitz Miller, Tesis Métodos de Asignación de Peajes de los Sistemas de Transmisión Eléctricas según el uso de la Red, Facultad de Ingeniería de la Pontificia Universidad Católica de Chile, páginas. /5/. Edby Casiano Ortega Sanchez, Proyecto de Grado Estudio de Cálculo de Peajes en el Sistema Interconectado Nacional, Ingeniería Eléctrica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Mayor de San Andrés, julio páginas.

12 Gonzalo Oscar Eulate Choque Ingeniero Electricista, Docente Universidad Mayor de San Andrés, Trabaja en el Departamento de Planificación de la Empresa Electropaz S.A., áreas de interés: Regulación de Electricidad, Inteligencia Artificial, Sistemas Eléctricos de Distribución. Página web: N N a b c Pg Pg min Pgmax BARRA MW MW MW

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