PARA EMPEZAR. Escribe con el mismo denominador y ordena de menor a mayor las siguientes fracciones: 5 6, 7 9, 1 , 7 8 4, 0, 1, 2, 9

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1 5 INECUACIONES PARA EMPEZAR 1 Escribe con el mismo denominador y ordena de menor a mayor las siguientes fracciones: 7 Si sumas a cada fracción, se mantiene el orden? 0 5 6, 7 9, 1 15 El denominador común es 90. Las fracciones equivalentes son 7 5, 7 0, 7 8. Por tanto, el orden es Sumando a cada fracción, se mantiene el orden. Se obtiene Ordena de menor a mayor los siguientes números. 4, 0, 1,, 9 Si multiplicamos todos ellos por 1, se mantiene el orden? El orden es Al multiplicar por 1 se invierte el orden: Representa estos intervalos y semirrectas. a) (1, ) c) [4, ) b) [0, 1] d) (, ] a) c) b) d) El precio de un libro sobre el lince ibérico varía entre 10 y 1 euros. Un centro escolar quiere comprar 00 libros para su biblioteca. Entre qué valores estará la cantidad que tendrá que pagar? Estará entre y euros. Desigualdades. Inecuaciones con una incógnita PARA PRACTICAR 5.1 Halla tres puntos de la recta que cumplan cada una de las siguientes inecuaciones. a) x < 5 c) x 1 > 0 b) x 1 7 d) x 9 0 a) 1,, c),, 4 b) 4, 5, 6 d) 1, 0, 1

2 Ejercicio resuelto 5. Indica en la recta real el signo de x 9 para los distintos valores de x. Como x 9 (x ), el signo de x 9 es el mismo que el de x. Para que x 0, x. Para valores menores que, x será negativo. Para valores mayores que, x será positivo. Se puede representar en la recta real. + 0 También se puede resolver este ejercicio indicando en una tabla el signo en cada intervalo. (, ) (, ) x 9 5. Indica en la recta real el signo que toman las siguientes expresiones algebraicas en función del valor de x. a) x 1 c) x e) x g) x i) 5x 10 b) x d) x 1 f) x h) (x 1) a) Negativo en (, 1), 0 en x 1, positivo en (1, ) f) Positivo en (, ), 0 en x, negativo en (, ) b) Negativo en (, 0), 0 en x 0, positivo en (0, ) g) Negativo en (, 0), 0 en x 0, positivo en (0, ) c) Positivo para x distinto de 0, 0 en x 0 h) Positivo para x distinto de 1, 0 en x 1 d) Positivo para x distinto de 1, 0 en x 1 i) Positivo en (, ), 0 en x, negativo en (, ) e) Positivo en (, 0), 0 en x 0, negativo en (0, ) 5.4 Representa en la recta real los números que cumplen la inecuación x < 1. Cuál será la inecuación de los números que no cumplen que x < 1? El intervalo complementario es [1, ). La inecuación es x Representa en la recta real los números cuyo cubo es menor que 8. x 8 x. Es el intervalo (, ) Ejercicio resuelto Representa en la recta real los valores de x que verifican la siguiente expresión y escríbela en forma de intervalo: x 1. Esta expresión es un sistema formado por dos inecuaciones que deben cumplirse a la vez: x y x 1. La solución es el intervalo [, 1]. 1 0 Representa en la recta real la solución de las siguientes inecuaciones y exprésalas en forma de intervalo. a) 5 < x < 5 b) x < 7 a) 5 x y x 5 Es el intervalo (5, 5) b) x y x 7 Es el intervalo [, 7)

3 5.8 Indica para qué números se verifica la siguiente inecuación. (x 4)(x 9) 0 Para cualquier valor de x, cada factor es estrictamente positivo, ningún número verifica esa inecuación. PARA APLICAR 5.9 Traduce al lenguaje algebraico las siguientes frases. a) Un número es menor que 7. b) Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos. c) El cuadrado de un número está comprendido entre dos números naturales consecutivos. a) x 7 b) a b c c) n x n 1 Problema resuelto 5.10 En la cafetería de un centro escolar, el precio del bocadillo más barato es de 0,80 euros, y el del más caro, de 1,0. Se han comprado bocadillos para 5 alumnos. Entre qué cantidades estará el dinero gastado? Escribe la inecuación correspondiente. La cantidad gastada estará entre 0, euros y 1,0 5 0 euros. La inecuación será: 0 x En una ciudad, el precio de las viviendas varía entre 100 y 00 euros por metro cuadrado. En qué intervalo estará el precio de una vivienda que tiene 90 metros cuadrados? Estará entre y 00 90, es decir, entre y euros. 5.1 En los cinco primeros exámenes del curso, las notas de Natalia fueron 6,1; 6,; 6,7; 8,5 y x. En qué intervalo está la nota de su último examen, si su nota media es superior a 6,5 e inferior a 8? La suma de sus notas es x 7,5. Como la media está entre 6,5 y 8, esa suma estará entre 6,5 5 y 8 5, es decir, entre,5 y 40. Por tanto, la nota del último examen está entre,5 7,5 5 y 40 7,5 1,5. Como la nota no puede ser mayor que 10, el intervalo solución es (5, 10]. 5.1 La circunferencia máxima de un balón de baloncesto oficial debe medir entre 75 y 78 centímetros. Si colocamos 0 balones en el suelo formando una línea recta, cuánto medirá esa fila? La longitud estará en el intervalo 0 7 5, 0 7 8, que redondeando sería [477, 497], con un error inferior a 1 cm Si a, b y c son los lados de un triángulo, siendo a el mayor, el triángulo es acutángulo si a < b c. a) Encuentra un triángulo acutángulo cuyos lados sean tres números naturales consecutivos. b) Qué inecuación deben cumplir los lados? a) Por ejemplo, tomando como medidas de los lados 4, 5 y b) Si n es el lado intermedio, se debe cumplir (n 1) n (n 1) 4n n. Como n 0, la inecuación queda 4 n.

4 Resolución de inecuaciones de primer grado Ejercicio resuelto 5.15 Resuelve esta inecuación: 9x 10x + 1. Se aplica la regla de la suma: 9x 10x 10x 1 10x x 1. Se aplica la regla del producto. Como se multiplica por 1, la desigualdad cambia de sentido: x PARA PRACTICAR 5.16 Resuelve estas inecuaciones de primer grado. a) 5x > x 1 c) 4x 5 x 1 b) x 7 x d) x 7 < x 1 6x a) 5x x 1 4x 16 x 4 c) 4x 5 x 1 x 4 b) x 7 x 5x 4 x 4 d) x 7 x 1 6x x x 6x 1 7 8x 8 x Resuelve estas inecuaciones de primer grado. a) x 8 > 4 5x c) x 1 x 6 9x 1 b) x 5 < 6 x d) 5x 1 1 x 4x a) x 8 4 5x 7x 1 x 1 c) x 1 x 6 9x 1 5x 9x x 6 x 7 b) x 5 6 x x 1 x 1 d) 5x 1 1 x 4x x 8 x Resuelve estas inecuaciones de primer grado. a) (x 1) > 4 c) (x 1) x < 4 b) (1 4x) 7 x d) (x ) (4 x) 10 a) (x 1) 4 x 1 x x 1 b) (1 4x) 7 x 8x 7 x 7x 5 x 5 7 c) (x 1) x 4 x x 4 x 7 x 7 d) (x ) (4 x) 10 x 4 1 x 10 5x 6 x 6 5 Ejercicio resuelto 5.19 Resuelve: x > 7. 1 Denominador común: x Se multiplica por 1: x 10 7 Se opera: x 1 7 Se suma 1: x 0 Se divide entre : x 0 Solución: x 0

5 5.0 Resuelve las siguientes inecuaciones. a) x x b) x x 1 > x 5 4 c) x x d) x 1 7x < x 6 4 a) x x x 10x x 11 x b) x x 1 x 1 4x x x 0 1x 1 x 1 1 c) x x x 10x x 10x x 1 x d) x 1 7x x 4x x 1 1 4x 1x x Resuelve las siguientes inecuaciones. a) (x 1) 1 4 > 5 b) (x ) (9x 5) < 1 c) 5 x ( x) x a) (x 1) x x x 71 x b) (x ) (9x 5) 1 9x 9 18x x 7 6x x 5 x 5 6 c) 5 x ( x) x x 7 x x x x 14 x x 16 x Resuelve estas inecuaciones de primer grado. a) x 5x > (x ) b) (x 1) < (x 1)(x 1) a) x 5x (x ) x 5x x 4x 4 x 4 x 4 b) (x 1) (x 1)(x 1) x x 1 x 1 x x 1 Ejercicio resuelto 5. x < 7 Resuelve el sistema: 4 x x 5 Se resuelve cada inecuación por separado. x 7; x 10; x 5 4 x x 5; x 9; x La solución es la intersección de ambas semirrectas. x 5 [, 5) 0 5

6 5.4 Resuelve este sistema de inecuaciones. x 5 > (x ) x 1 5 x x 5 (x ) x 5 x 6 x 1 x 1 5 x x 4 x La solución es [, 1]. 5.5 Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones. x 1 x 1 4 La solución es 1 6, 5. x 1 4 x 5 x 1 x 15 x x 7 4 x 1 x Halla el intervalo en el que la fracción x 1 toma valores negativos. x 1 Se estudia el signo de cada factor según los valores de x. (, 1) (1, 1) (1, ) x 1 x 1 Cociente La solución es (1, 1). PARA APLICAR 5.7 Halla los valores de x para los que se puede calcular el valor numérico de esta expresión. x 5(x 7) El radicando debe ser mayor o igual que cero. x 5(x 7) 0 x Tres amigos de Olga celebran una fiesta por su cumpleaños. Le han comprado un regalo que ha costado 10 euros. Paula, que es su mejor amiga, ha puesto más de la mitad, y los otros dos amigos han pagado el resto a partes iguales. Cuánto puede haber pagado cada uno de los tres? Paula ha puesto x y cada uno de los otros 10 x. Como Paula puso más de la mitad, se cumple que 60 x 10y0 10 x Paula ha puesto entre 60 y 10 euros y cada uno de los dos entre 0 y 0 euros. 5.9 La edad de Rubén es mayor que el doble de la edad de Silvia, y menor que el triple. Si Silvia tiene entre 8 y 10 años, cuántos puede tener Rubén? Es seguro que Rubén tiene entre 16 años (el doble de la edad mínima de Silvia) y 0 años (el triple de la edad máxima).

7 5.0 Un mago duplica el dinero que le des, pero luego se queda con 100 euros como comisión. Después de dos duplicaciones, a Victoria le quedan menos de 50 euros. Cuánto dinero podía tener al principio? Empezando por el final, si Victoria tiene x euros después de la segunda duplicación, con x 50, antes tenía x 100, y siguiendo x hacia atrás se obtiene la cantidad inicial, x ,5 euros. Como al final le queda dinero 4 4 (x 0), partía con más de euros. Por tanto, Victoria tenía entre 75 y 87,5 euros Si los catetos de un triángulo rectángulo isósceles miden entre 5 y 7 centímetros cada uno, entre qué valores estará la medida de la hipotenusa? Indica el intervalo expresando los extremos en forma de raíz. Llamando x al cateto, se debe cumplir que h x x x 5 h 7. h x. Como x está entre 5 y 7, h cumplirá la inecuación 5. En una granja, el número de gallinas es mayor que el de ovejas más dos, y el de ovejas es mayor que el triple del número de perros más cuatro. Si en total hay menos de 4 animales de estos tres tipos, cuántos perros puede haber? Llamando p al número de perros, el número de ovejas será mayor que p 4, y el número de gallinas será mayor que (p 4) p 6. Sumando todo, obtenemos que el número de animales es menor que 4 y mayor que 7p 10. Por tanto, 7p Como el número de perros es un número natural, solo hay dos posibilidades: que no haya ningún perro, o que haya uno. Resolución de inecuaciones de segundo grado Ejercicio resuelto 5. Resuelve esta inecuación. x 7x 10 0 Se factoriza el polinomio: x 7x x x 5 0 x Así, x 7x 10 (x ) (x 5) Se dan valores a x para estudiar el signo en cada uno de los intervalos que se obtienen, y se representan las dos soluciones y los signos que resultan. La solución es (, ] [5, ). Valores Resultados Signo 0 (0 ) (0 5) 10 ( ) ( 5) 8 (8 ) (8 5)

8 PARA PRACTICAR 5.4 Resuelve y representa las soluciones en la recta real. a) x 6x 5 < 0 c) x x < 0 b) (x ) x d) x 48 0 a) x 6x 5 0 (x 1)(x 5) 0 (, 1) (1, 5) (5, ) x 1 x 5 Producto Solución: (1, 5) b) (x ) x 1 4 0, , (, ) x 1 4 x Producto Solución:, 1 4 [, ) c) x x 0 x(x 1) 0 (,0) 0, 1 1, x x 1 Producto Solución: 0, d) x 48 0 x 16 0 (x 4)(x 4) 0 (, 4) (4, 4) (4, ) x 4 x 4 Producto Solución: (, 4] [4, )

9 5.5 Resuelve y representa las soluciones en la recta real. a) x 5x > ( x) c) x 8x 16 > 0 b) x(x 1) x(x ) 6 d) x x 1 < 1 6 a) x 5x ( x) x 8x 9 0 (x 1)(x 9) 0 (, 1) (1, 9) (9, ) x 1 x 9 Producto La solución es (, 1) (9, ) b) x(x 1) x(x ) 6 x 5x 6 0 (x )(x ) 0 La solución es [, ]. (, ) (, ) (, ) x x Producto c) x 8x 16 0 (x 4) 0. Como un cuadrado siempre se mayor o igual que 0, solo hay que quitar el valor que anula ese factor, es decir, x 4. La solución es {4} d) x x x x 1 0 (x 1) 0. No tiene solución, un cuadrado es siempre mayor o igual que 0. Ejercicio resuelto 5.6 Resuelve la inecuación x x < 0. Se factoriza: x x x(x 1) x(x 1)(x 1). Se estudia el signo de los factores en los intervalos definidos por las raíces. (, 1) (1, 0) (0, 1) (1, ) x x 1 x 1 Producto La solución es (, 1) (0, 1).

10 5.7 Resuelve las siguientes inecuaciones. a) x(x 1)(x ) 0 c) (x ) x b) (x 1)( x)(x 1) 0 d) x 6x 9x 0 a) x(x 1)(x ) 0 (, ) (, 0) (0, 1) (1, ) x x x 1 Producto Solución: [, 0] [1, ) b) (x 1)( x)(x 1) 0 (, 1) (1, 1) (1, ) (, ) x 1 x x 1 Producto Solución: [1, 1] [, ) c) (x ) x (x ) x 1 x 1 0, 1 1, 1 1, (, ) x x 1 Solución:, 1 1, x 1 Producto d) x 6x 9x 0 x(x 1)(x ) 0 (, 1) (1, 0) (0, ) (, ) x x 1 x Producto Solución: [1, 0] [, )

11 5.8 Resuelve las siguientes inecuaciones. a) x 4 1x 6 0 b) x 1 9 x 1 4 < 0 a) x 4 1x 6 0 (x )(x )(x )(x ) 0 (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) x x x x Producto Solución: (, ] [, ] [, ) b) x 1 9 x x 1 x 1 x 1 x 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 1, x 1 x 1 x 1 Solución: 1, 1 1, 1 x 1 Producto 5.9 Resuelve las siguientes inecuaciones. a) x(x ) < 0 b) (x 1) (x ) < 0 a) x(x ) 0. El factor (x ) es siempre positivo, salvo para x. Para que el producto sea negativo, debe ser x 0. La solución es (, 0). b) (x 1) (x ) 0. El factor (x 1) es positivo, salvo en x 1. Para que el producto sea negativo, debe ser x <, pero hay que quitar x 1. La solución es (, 1) (1, ) Resuelve las siguientes inecuaciones. a) (x ) ( x) < 0 b) x (x 1) > 0 a) (x )( x) 0. El primer factor es siempre positivo. La solución es x, es decir, (, ). b) x (x 1) 0. La solución es x 1, es decir, (1, ).

12 Ejercicio resuelto 5.41 Resuelve la inecuación: x 0 x Se estudia el signo de la fracción en los intervalos definidos por las raíces del numerador y denominador. (, ) (, ) (, ) x x Cociente Se observa si se cumple la inecuación en los extremos del intervalo solución. Para x, el cociente vale 0, se cumple. Para x no se cumple (no es posible dividir entre 0). Por tanto, la solución es (, ]. 5.4 Resuelve las siguientes inecuaciones. a) x x b) x x 15 > 0 a) x x ( x 4) x 0 5 (, 5) (5, 4) (4, ) x 4 x 5 Cociente La solución es (, 5) [4, ). No se incluye el 5 por ser raíz del denominador. b) x 1 x 5 x 5) x 0 (, ) (, 5) (5, ) x 5 x Cociente La solución es (, ) (5, ). 5.4 Resuelve las siguientes inecuaciones. a) (x )(x x ) 1) x 0 1 a) (x )(x ) 0 x (, ) (, ) (, ) (, ) x x x Cociente La solución es (, ] [, ). b) (x 1) 0. El numerador nunca es negativo. El signo dependerá del denominador. x 1 La solución es (1, ).

13 5.44 Resuelve las siguientes inecuaciones. x 6x 5 1 a) x 0 b) < 0 7x 1 x x x 6x 5 a) x 0 ( 7x 1 ( x x 1) ( x 5) 0 ) ( x 4) La solución es (, 1] (, 4) [5, ). 1 b) 0 0 x x (x )(x ) La solución es (??, ), 7. x 7 (, 1) (1, ) (, 4) (4, 5) (5, ) x 1 x 5 x x 4 Cociente (, ) (, ), 7 7, x 7 x x Cociente PARA APLICAR 5.45 Calcula para qué valores de a la ecuación x 4x a 0 tiene dos soluciones reales distintas. El discriminante, que es 16 4 a, debe ser estrictamente mayor que 0. Por tanto, a debe ser menor que Si el área de un rectángulo es mayor que 10 metros cuadrados y la base mide metros más que la altura, qué medidas puede tomar la altura? Si la altura es x, la base será x. x(x ) 10 x x 10 0 (x 5)(x ) 0 De los dos intervalos solución, solo tiene sentido uno (5, ), ya que la medida de los lados debe ser positiva Halla los valores para los que tiene sentido la expresión: x7x 10. Se resuelve x 7x 10 0 (x 5)(x ) 0. La solución es (, ] [5, ) Jesús ha medido los lados de un cuadrado. El área resultante, según sus cálculos, es de 49 centímetros cuadrados. El error cometido es inferior a 1 centímetro cuadrado. Cuál puede ser la medida real del lado del cuadrado? Si el error es inferior a 1 cm, el valor real está entre 48 y 50 cm. El lado cumplirá 48 x Cuáles pueden ser las edades de Yolanda y Fernando? Fernando tiene x años y Yolanda, x. Como x(x ) 80 x x 80 0 (x 10)(x 8) 0. La solución de la inecuación es el intervalo (8, 10), pero como las dos edades deben ser positivas, la edad de Fernando queda restringida a (, 10). La de Yolanda, por tanto, está en el intervalo (0, 8). El producto de nuestras edades es inferior a 80. Yolanda tiene dos años menos que yo.

14 5.50 Determina el conjunto de números que cumplen que la suma con su inverso es mayor que. Si x 1 x 1 x x 1 0 x x 1 x x x 0 (x 1) x 0. La solución son todos los números estrictamente positivos, salvo el 1. Matemáticas aplicadas PARA APLICAR 5.51 Tres alumnos tienen que resolver por separado las siguientes inecuaciones. a) x 1 5 < x 4 b) x x < x 4 c) x x 6 < 0 Qué números reales verifican a la vez las tres inecuaciones? x 1 5 x 4 x 1 15 x 1 x x 1 x x x 4 x x x 8 x 5 x x 6 0 (x )(x ) 0 x No tiene solución, no hay ningún número que cumpla las tres ecuaciones. 5.5 Mario propone a sus amigos que adivinen qué número entero está pensando; para ello le da a cada uno una tarjeta con una pista para que resuelvan por separado. El triple del número menos 7 es menor que 5. El doble del número menos 5 es positivo. El doble del siguiente número es menor que el número más 7. La tercera parte del número más 5 es menor que 8 Son necesarias todas las tarjetas? Con qué tarjetas bastaría para encontrar el número? Las inecuaciones de cada tarjeta son las siguientes x x 7 < 5 x 5 > 0 (x 1) < x x < 4 x 5 x < x 7 x 15 < 4 x < 5 x < 9 Bastaría con las dos primeras tarjetas. El número es. Actividades finales PARA PRACTICAR Y APLICAR 5.5 Razona si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas. a) Para cualquier número x distinto de cero, x < x. b) Si a, b y c son números enteros y a < b, entonces a c < b c. c) Si a, b y c son números enteros y a < b, entonces a c < b c. d) Para cualquier valor de x distinto de cero, 1 x < x. a) Falso. Por ejemplo, 0,5 0,5 0,5. c) Falso, no se cumple para c 0 o c 0. b) Cierto. Es válida para números cualesquiera. d) Falso, para x 0 o x 0 no se cumple Halla tres soluciones de cada inecuación. a) x < 7 b) x 1 5 c) x < 1 a) Cualquier número menor que 5, por ejemplo, 1, y. b) Cualquier número entre 6 y 6, como 1, 0 y 1. c) Cualquier número menor que 1, como 1, 0 y 1.

15 5.55 Estudia el signo para los distintos valores de x. a) x 4 b) 4 x c) x 4 a) Negativo para x < 4, cero para x 4, positivo para x > 4. b) Positivo para x < 4, cero para x 4, negativo para x > 4. c) Negativo para x < 8, cero para x 8, positivo para x > Escribe la inecuación correspondiente a los números que no cumplen x 5 < 10. x Resuelve estas inecuaciones. a) x 1 > 7x 11 e) x 1 x 1 > b) (x ) 6x f) x (x 1) c) (x ) (1 x) > 1 g) (x 1) 4( 7x) < 1 9 d) x < h) 1 x x( x) < a) x 1 7x 11 x 7x x 1 x b) (x ) 6x x x x x x x c) (x ) (1 x) 1 x 6 1 x 1 4x 19 x d) x x x 1 1 x 15 4 e) x 1 x 1 9x x 8 9x 9 4x 8 x f) x (x 1) x 6x x 18x 0 x 17 g) (x 1) 4( 7x) 1 18x 6 1 8x x 6 1 8x 9 x 7 46 h) 1 x x( x) x 6x 4x x 1 x Resuelve estos sistemas. a) x (1 x) > 9 b) 4 x 1 (x 1) (x ) > 16 x 1 x > 10 x (1 x) 9 x 1 x 9 5x 10 x a) Solución: (, ] 4 x 1 x 1 4 x x (x 1) (x ) 16 x 6x x 4 x 6 b) Solución: (, 1) x 1 x 10 x 1 x 0 x 1 x Para qué valores de x se cumple: > 0? x 7 El cociente será positivo si x 7 0 x 7.

16 5.60 Resuelve las siguientes inecuaciones. a) x(x 1) > 0 c) x 1 x < 0 e) x 1x < 5 g) 1 x 4 < 7x b) x 16 9 d) (x 1)( x) 0 f) x x 1 < 0 h) x(x ) 5(1 x) > 9 a) x(x 1) 0 (, 1) (1, 0) (0, ) x x 1 Producto b) x 16 9 x 5 0 (x 5)(x 5) 0 (, 5) (5, 5) (5, ) x 5 x 5 Producto c) x 1 x 0 x x 1 0 (,0) 0, 1 1, Solución: (, 1) (0, ) Solución: [5, 5] Solución: 0, 1 x x 1 Producto d) (x 1)( x) 0 (, 1) (1, ) (, ) x 1 x Producto Solución: [1, ] e) x 1x 5 x 1x 5 0 (x 7)(x 5) 0 (, 7) (7, 5) (5, ) Solución: (7, 5) x 7 x 5 Producto f) x x 1 0 (x 1) x 1 0, 1 1,1 (1, ) x 1 Solución: 1,1 x 1 Producto

17 g) 1 x 4 7x x 14x 48 0 (x 6)(x 8) 0 (, 6) (6, 8) (8, ) x 6 x 8 Producto Solución: (6, 8) h) x(x ) 5(1 x) 9 x x 4 0. La ecuación x x 4 0 no tiene raíces reales y como para un número real cualquiera se cumple la desigualdad, la solución son todos los números reales. Solución: R Un campo de fútbol debe medir entre 90 y 10 metros de largo y entre 45 y 90 metros de ancho. Entre qué valores se encuentra su área? El área mínima será m, y la máxima m. 5.6 Los padres de Alfredo le harán un regalo si su nota media supera el 8,5. Ya conoce la media de 10 asignaturas, que es de 8,7. Qué nota puede sacar en la asignatura que le queda si quiere conseguir su premio? Indica el intervalo correspondiente. Las 10 asignaturas que conoce suman 87 puntos. Como necesita que x 87 8,5, la nota deberá cumplir que x ,5 x 6,5. Debe estar en el intervalo (6,5, 10] Halla cuántos rectángulos de menos de 0 metros cuadrados se pueden construir de forma que sus lados sean números naturales consecutivos. Este problema puede resolverse haciendo recuento de todas las posibilidades. El planteamiento con inecuaciones sería: n(n 1) 0 n n 0 0 (n 4)(n 5) 0. La solución de la inecuación es el intervalo (5, 4). Como el lado debe ser positivo, debe estar en el intervalo (0, 4). Solo hay tres números naturales en este intervalo: 1, y. Los rectángulos posibles medirán 1 x, x, x Un famoso futbolista cobra un sueldo de millones de euros al año. Otro futbolista cobra millones al año, pero tiene una prima de euros por cada gol que consiga. A partir de cuántos goles superará este las ganancias del primero? Sea x el número de goles. La inecuación es x x 60 x 0. El futbolista debe meter más de 0 goles Un ascensor soporta una carga máxima de 00 kilogramos. Suben al mismo dos personas que pesan entre 60 y 75 kilogramos cada una, otra que pesa entre 75 y 80, y una más que pesa entre 80 y 90. Qué peso añadido puede llevar ese ascensor? Indica el intervalo correspondiente. Como mínimo, el ascensor lleva una carga de kg. Como máximo, lleva una carga de kg. El ascensor admite con seguridad una carga en el intervalo [0, 00]. El peso añadido que puede llevar el ascensor en ese momento oscila entre 0 y 0 kg, es decir, está en el intervalo [0, 0] Observa esta inecuación: 4x 5x > x 4x. Se puede simplificar dividiendo por x, y resolver así una inecuación más sencilla, 4x 5 > x 4? Resuelve ambas inecuaciones y explica si son o no equivalentes. La solución de la inecuación simplificada es x > 1, es decir, (1, ). La inecuación inicial es 4x 5x x 4x x x 0 x(x 1) 0, cuya solución es (, 0) (1, ). No son equivalentes Dada la fracción 1, halla el número natural n que hay que sumar al numerador y al denominador para obtener una fracción comprendida entre 5 y n 4 ( n) 5(1 n) 4( n) n 5 ( n) 5(1 n) n Se resuelve el sistema. 5(1 n) 4( n) n 7 El número estará en el intervalo (, 7). Hay cuatro posibilidades:,4,5 y 6.

18 5.68 En el Concurso de Primavera hay que responder a 5 preguntas. Cada acierto suma 5 puntos, cada respuesta en blanco suma, y cada fallo no suma ni resta. Una alumna ha respondido bien a más de 16 preguntas, y ha fallado en al menos 7. No ha dejado ninguna en blanco. Qué puntuación ha podido obtener? La alumna tiene x aciertos y 5 x fallos. x 16 5 x 7 x 18 Solo hay dos posibilidades: 17 aciertos y 8 fallos, en total 85 puntos. 18 aciertos y 7 fallos, en total 90 puntos Un niño lleva caramelos a clase para repartirlos entre sus compañeros. En clase hay 15 niños, cada uno recibe 7 caramelos y sobran menos de 5. Tres compañeros llegan tarde, y se vuelven a repartir todos los caramelos. Ahora, cada uno recibe 6, pero el maestro tiene que añadir de su bolsillo menos de 5 para que todos reciban la misma cantidad. Cuántos caramelos pudo traer el niño a clase? El niño lleva x caramelos. x x x 5 x 11 El niño pudo traer 111 ó 11 caramelos. PARA REFORZAR 5.70 Indica en la recta real los valores que cumplen las siguientes condiciones. a) x < 8 b) x 1 > 6 c) x 5 6 d) x 1 1 a) x 5 c) x b) x 7 d) x Un ciclista circula a una velocidad de entre 0 y 45 kilómetros por hora. Durante el recorrido ha hecho dos descansos de media hora. Podrá recorrer 150 kilómetros en 5 horas? De las 5 horas, 1 se pierde en descansos. Para hacer 150 km en las 4 horas restantes, debe circular a una velocidad en el intervalo [7,5, 45]. Por debajo de esa velocidad no podrá recorrer la distancia. 5.7 Para qué valores de a no tiene solución la ecuación x 6x a 0? No hay solución si el discriminante es negativo. En este caso, 6 4a 0 a Resuelve estas inecuaciones. a) 1 x > x 1 c) (x 5) 8 e) x 1 > b) x 7 < x 1 d) (x 1) (x 1) 5x 6 f) x 1 4 > 7 6 a) 1 x x 1 x x 1 b) x 7 x 1 x x 1 7 x 8 x 8 c) (x 5) 8 6x 15 8 x 6 d) (x 1) (x 1) 5x 6 x x 5x 6 x x 5x 6 6x 1 x 1 6 e) x x x f) x x x 1 7 1

19 5.74 Resuelve estas inecuaciones. a) x 7 5x < x b) x 5 4 x c) (x ) (1 4x) > x 5 15 d) (1 x) x 8 > x 4 a) x 7 5x x 1 9x x 1 x 1 9x 6 8 0x x 7x x 7 b) x 5 4 x 1 1 8x 0 x 1 64x 160 1x x 15 x c) (x ) (1 4x) x x 1x 5 x 1 5 0x 0 9 6x x 65x 6 x d) (1 x) x x 9x x x x 8x 6x 5x 9 x Resuelve estos sistemas. x < 5 1 5x > 7 a) b) c) x > 7 x 4 > 10 6x x (1 x) 7x 1 x 1 < 1 4 x 5 x a) No tiene solución. x 7 x 4 b) Solución: 1 5x 7 5x 6 x 6 5 x x 5x 14 x , 5 5 x (1 x) 7x x 6x 7x x c) Solución: 5, x x 1 x Resuelve la inecuación: 7x 1 > 8. 7x 1 8 x 9 7 7x 1 8 o 7x 1 8 x 1 Solución: (, 1) 9 7, 5.77 Halla los valores de x para los que se puede calcular (x (x 1). ) El radicando debe ser mayor o igual que cero. (x 1) (x ) 0 x x 6 0 x 8 x 8

20 5.78 Resuelve estas inecuaciones de segundo grado. a) x 81 < 0 e) x < x 4 b) x 6x 0 f) 10x 6x 4 0 c) x 10x g) x 10x 5 0 d) 16x 5 > 0 h) x 6x < 4(9x 5) a) x 81 0 (x 9)(x 9) 0 Solución: (9, 9) b) x 6x 0 x(x ) 0 Solución: [0, ] c) x 10x x(x 5) 0 Solución: (, 0] [5, ) d) 16x 5 0. El término de la izquierda es siempre mayor que 0. La solución es el conjunto de los números reales. e) x x 4 x x 4 0 (x 1)(x 4) 0 Solución: (1, 4) f) 10x 6x 4 0 5x x 0 5(x 1) x 5 0 Solución:, 5 [1, ) g) x 10x 5 0 (x 5) 0 Solución: x 5 h) x 6x 4(9x 5) x 0 0 No tiene solución Al lanzar una pelota, este describe una parábola cuya ecuación es y t 0t, donde y es la altura en metros, y t, el tiempo transcurrido desde el lanzamiento en segundos. Determina el intervalo de tiempo en el que la pelota está a una altura superior a metros. t 0t t(0 t) 0. La solución es el intervalo (0, 0). PARA AMPLIAR 5.80 Resuelve estas inecuaciones. a) x(x 5)(x ) < 0 b) x 4x 5x c) x 6x 11x 6 > 0 a) x(x 5)(x ) 0 Solución: (, ) (0, 5) (, ) (, 0) (0, 5) (5, ) x x 5 x Producto b) x 4x 5x x(x 1)(x 4) 0 Solución: [0, 1] [4, ) (, 0) (0, 1) (1, 4) (4, ) x x 1 x 4 Producto c) x 6x 11x 6 0 (x 1)(x )(x ) 0 Solución: (, ) (1, ) (, ) (, ) (, 1) (1, ) x 1 x x Producto

21 5.81 Resuelve estas inecuaciones. x 1 a) 0 b) x( x (x 4)(x 4) 1 ) x 1) x > 0 x 1 a) 0 (x 4)(x 4) (, 4) (4, 1) (1, 4) (4, ) x 1 x 4 x 4 Solución: (4, 1] (4, ) b) x( x ) 0 1 x Cociente (, 0) (0, 1) (1, ) x 1 x x Solución: (, 0] (1, ) Cociente c) (x 1) 0. El numerador es positivo para todo x distinto de 1. El denominador es positivo para x. x Solución: (, 1) (1, ) 5.8 Demuestra que para cualquier par de números positivos a y b se cumple que: (a b) a b ab a b, ya que ab es positivo. (a b) > a b 5.8 Resuelve la inecuación x 7 9. x 7 9 x 7 9 x 8 o x 7 9 x 1 Solución: (, 1) [8, ) 5.84 Resuelve la inecuación x x <. x x x x Si x 0, x x x x 0. Se cumple siempre la desigualdad. Si x < 0,x x x (x) x x x La solución es,.,. Como x 0, x,0.

22 5.85 Julián metió sus ahorros en una hucha. Sacó 70 euros, que era menos de la mitad de sus ahorros. Más tarde metió 6 euros, y para terminar sacó 6, con lo que le quedaron menos de 4 euros. Sabiendo que inicialmente tenía un número entero de euros, cuál era esa cantidad? La cantidad inicial era x. Se cumplen las siguientes condiciones: x 70 x 140 x x 14 Por tanto, Julián tenía 141 euros Un balón de fútbol debe pesar entre 410 y 450 gramos. En una red hay 0 balones oficiales. Al pesar la red, la báscula indica un peso de 1,5 kilogramos. a) Es posible que alguno tenga un peso menor del reglamentario? b) Es posible que haya dos balones pinchados? Se puede asegurar? c) Si cada balón pinchado pierde un mínimo de 10 gramos, cuántos balones pinchados puede haber como máximo en la red? a) Dividiendo 1 5 entre 0, se obtiene 407,8, luego al menos hay un balón con menos peso del reglamentario. b) El peso de 0 balones reglamentarios está en el intervalo [1 00, 1 500]. Para alcanzar el extremo inferior faltan 65 gramos, que pueden proceder de un único balón o de varios. c) El máximo de balones pinchados se alcanza cuando estos pierden 10 gramos y los correctos están al máximo. Si x son los defectuosos, se cumplirá que 400x 450(0 x) 1 5. Se obtiene x 5,. Hay un máximo de 5 balones pinchados. PARA INTERPRETAR Y RESOLVER 5.87 El marco Un marco para una fotografía tiene forma rectangular de 1 centímetros. Se quiere que la zona dedicada a la fotografía tenga también forma de rectángulo centrado en el anterior y que el borde x sea siempre constante. Entre qué valores debe estar comprendida la longitud del borde x para que su área total esté comprendida entre 15 y 45 centímetros cuadrados? Área de la fotografía: S ( x) (1 x) x 4x Área del borde: S b 1 (69 108x 4x ) 108x 4x x 4x 45 4x 108x 15 0 x 5 1 4x 108x 45 0 x 5 o x 4 9 x 5 o 4 9 x 5 1 La segunda opción no vale ya que sobrepasaría las medidas del marco. Así, la longitud del borde debe estar comprendida entre 1,5 cm y 5,5 cm.

23 5.88 * La oferta En una tienda se quiere promocionar la venta de los siguientes artículos: CD M. MODERNA 1 CD M. CLÁSICA 15 ENSAYOS CIENTÍFICOS 0 NOVELAS 18 Para ello, después de elegir los artículos que va a comprar, el cliente extraerá al azar dos tarjetas, una que establecerá el descuento en los artículos de música, y otra que lo hará en los de literatura. Las tarjetas de música determinan descuentos de un mínimo del 10% y un máximo del 5%, y las de libros, descuentos de un mínimo del 5% y un máximo del 10%. Si se ha sacado una tarjeta de descuento de música del 15%, qué tarjetas de libros se podrán sacar para pagar, como mucho, 10,41 euros por tres CD de música moderna, tres CD de música clásica, una novela y tres ensayos? ( 1 15) 0,85 (1 18 0) x 10,41 x 10,41 58,65 0,9 78 Lo cual indica que se debe extraer una tarjeta con un descuento mayor o igual que el 8%. AUTOEVALUACIÓN 5.A1 Sabiendo que x < 4, indica qué desigualdad cumplen los siguientes números. A x 7 B x 5 C x a) A x b) B 9 c) C 5.A Representa en la recta los números que cumplen cada una de las siguientes inecuaciones. a) x < 9 b) 5 x c) x < 0 a) x 9 x 1 x 6 (,6) b) 5 x x x (,] c) x x (, ) A Resuelve las siguientes inecuaciones. a) x 7 > 5x b) (x ) (x 8) 1 a) x 7 5x x 5x 7 4x 16 x 4 b) (x ) (x 8) 1 x 6 x 8 1 x 1 x 1

24 5.A4 Resuelve las siguientes inecuaciones. a) x 1 5x 4 > b) x 1 (x 1) < a) x 1 5x x x 8 1 6x 6 10x 8 4x 1 x b) x 1 (x 1) x 1 4x x x 0 5 6x 6 40x x 9 x 4 5.A5 Resuelve y representa este sistema. x 5 < 7 x 4 < 7 x 5 7 x 1 x 6 Solución: [1, 6) x 4 7 x x A6 Resuelve las siguientes inecuaciones. a) x 75x < 0 b) x 75 > 0 a) x 75x 0 x(x 5) 0 (, 0) (0, 5) (5, ) x x 5 Producto Solución: (0, 5) b) x 75 0 x 5 0 (x 5)(x 5) 0 (, 5) (5, 5) (5, ) x 5 x 5 Producto Solución: (,5) (5, )

25 5.A7 Resuelve las siguientes inecuaciones. a) x 5x 0 b) (x )(x ) > 0 a) x 5x 0 (x 1) x 0 Solución:,1,,1 (1, ) x 1 x Producto b) (x )(x ) 0 Solución: (, ] [, ) (, ) (, ) (, ) x x Producto 5.A8 Una torre cilíndrica tiene una base de 70 metros cuadrados, y una altura de entre 0 y 5 metros. Entre qué valores se encuentra su volumen? El volumen de un cilindro de altura h cuya base tiene un radio r se calcula mediante la fórmula V A base h. En este caso se cumplirá que V El volumen estará entre 1400 y 1750 metros cúbicos. 5.A9 Susana tiene 0 años más que Teresa. Calcula en qué intervalo de sus vidas la edad de Susana era mayor que el triple de la edad de Teresa. Si Teresa tiene x años, Susana tendrá x 0. x 0 x x 10 Teresa tendrá una edad en el intervalo (0, 10), y Susana en el intervalo (0, 0). 5.A10 Resuelve la inecuación (x 1)(x 4)(x ) < 0. (, 4) (4, 1) (1, ) (, ) x 1 x 4 x Producto Solución: (, 4) (1, ) 5.A11 Halla los valores de x para los que tiene sentido la expresión x(x (9 7) ) x El radicando debe ser mayor o igual que cero. x(x 7) (9 x) 0 x 8x 9 0 (x 1)(x 9) 0 (, 9) (9, 1) (1, ) x 9 x 1 Producto Solución: (, 9] [1, )

26 ENTRETENIDO Los tres errores En esta frase ay tres herrores Se te escapa alguno? Dos de los errores se deben a faltas de ortografía, debería poner hay en lugar de ay y errores en lugar de herrores. El tercer error no es del mismo tipo que los anteriores, no se trata de un error ortográfico sino de un uso inapropiado de una palabra; se debe a que aparece la palabra TRES en lugar de DOS. Para que la frase no tenga errores, hacen falta realmente tres correcciones.

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