Análisis de Regresión y Correlación

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1 1 Análss de Regresón y Correlacón El análss de regresón consste en emplear métodos que permtan determnar la mejor relacón funconal entre dos o más varables concomtantes (o relaconadas). El análss de correlacón estuda el grado de asocacón de dos o más varables. Analss de Regreson Una relacon funconal matemátcamente hablando, está dada por: Y = f(x1,...,xn; θ1,...,θm) donde: Y : Varable respuesta (o dependente) x : La -ésma varable ndependente (=1,..,n) θj : El j-ésmo parámetro en la funcón (j=1,..,m) f : La funcón Para elegr una relacón funconal partcular como la representatva de la poblacón bajo nvestgacón, usualmente se procede: 1) Una consderacón analítca del fenómeno que nos ocupa, y ) Un examen de dagramas de dspersón. Una vez decddo el tpo de funcón matemátca que mejor se ajusta (o representa nuestro concepto de la relacón exacta que exste entre las varables) se presenta el problema de elegr una expresón partcular de esta famla de funcones; es decr, se ha postulado una certa funcón como térmno del verdadero estado en la poblacón y ahora es necesaro estmar los parámetros de esta funcón (ajuste de curvas). Como los valores de los parámetros no se pueden determnar sn errores por que los valores observados de la varable dependente no concuerdan con los valores esperados, entonces la ecuacón general replanteada, estadístcamente, sería: Y = f(x1,...xn;θ1,...,θm) + ε donde ε respresenta el error cometdo en el ntento de observar la característca en estudo, en la cual muchos factores contrbuyen al valor que asume ε. Regreson Lneal Smple Cuando la relacón funconal entre las varables dependente (Y) e ndependente (X) es una línea recta, se tene una regresón lneal smple, dada por la ecuacón Y = ßo + ß1X + ε F. de Mendburu

2 donde: ßo : El valor de la ordenada donde la línea de regresón se ntersecta al eje Y. ß1 : El coefcente de regresón poblaconal (pendente de la línea recta) ε : El error. Suposcones de la regresón lneal 1. Los valores de la varable ndependente X son "fjos".. La varable X se mde sn error (se despreca el error de medcón en X) 3. Exste una subpoblacon de valores Y normalmente dstrbudo para cada valor de X. 4. Las varancas de las subpoblacones de Y son todas guales. 5. Todas las medas de las subpoblacones de Y están sobre la msma recta. 6. Los valores de Y están nomalmente dstrbudos y son estadístcamente ndependentes. Los supuestos del 3 al 6 equvalen a decr que los errores son aleatoros, que se dstrbuyen normalmente con meda cero y varanca σ². Termnologa: Promedos y y = ; n x= x n Sumas de cuadrados y productos de X e Y. SCY = y y ( ) ; SCX = ( x) x ; SPXY = ( x)( y y) SCY tamben corresponde a la suma de cuadrados total = SC total Estmacón de parámetros La funcón de regresón lneal smple es expresado como: Y = ßo + ß1X + ε la estmacón de parámetros consste en determnar los parámetros ßo y ß1 a partr de los datos muestrales observados; es decr, deben hallarse valores como bo y b1 de la muestra, que represente a ßo y ß1, respectvamente. Empleando el método de los mínmos cuadrados, es decr mnmzando la suma de cuadrados de los errores, se determnan los valores de bo y b1, así: x F. de Mendburu

3 3 ( y ) Q = e = β 0 β1x b o = y b 1 x spxy b 1 = scx b0 : es el valor que representa (estmador) a ß0 consttuye el ntercepto cuando X=0; b1 : es el valor que representa (estmador) a ß1. Sus desvacones estandares respectvas son: Sb0= CMresdual. nscx. X Sb 1 = CMresdual SCX Luego, la ecuacón de regresón es: y = bo + b1x El coefcente de regresón (b1).- pendente de la recta de regresón, representa la tasa de cambo de la respuesta Y al cambo de una undad en X. S b1=0, se dce que no exste relacón lneal entre las dos varables. F. de Mendburu

4 4 Fuentes de varacón en la regresón lneal Los cálculos de regresón pueden ser vstos como un proceso de partcón de la suma total de cuadrados; así, gráfcamente se tene: ) y ) y ( y) = ( y) + ( ) y y F. de Mendburu

5 5 Se observa que la desvacón total para un Y en partcular es gual a la suma de las desvacones explcada e nexplcada, smbolcamente. Luego: ) ( y y) = ( y y) ( y y ) + ) SC total = SC regreson + SC resdual Suma de Cuadrados del Total (SCT), mde la dspersón (varacón total) en los valores observados de Y. Este térmno se utlza para el cálculo de la varanca de la muestra. Suma de Cuadrados explcada (Suma de Cuadrados debdo a la Regresón, SCR) mde la varabldad total en los valores observados de Y en consderacón a la relacón lneal entre X e Y. Suma de Cuadrados resdual (nexplcada, Suma de Cuadrados del Error, SCE) mde la dspersón de los valores Y observados respecto a la recta de regresón Y (es la cantdad que se mnmza cuando se obtene la recta de regresón). Análss de Varanca para la regresón lneal smple Cuando cada partcón se asoca a una porcón correspondente del total de grados de lbertad, la técnca es conocda cono analss de varanca (ANVA), que generalmente se presenta en un cuadro de la sguente forma: Cuadro del ANVA. Fuentes Grados de Suma de Cuadrados Cuadrados Medos Fc Lbertad (SC) (CM) Regreson 1 b1.spxy b1.spxy CM(regreson)/ CM(resdual) Resdual: Error n- Dferenca SC(resdual) / (n- ) Total n-1 SC Y La prueba estadístca F evalua las hpótess: Hp: ß1 = 0. No exste una regresón lneal entre X e Y. Ha: ß1 0. Exste regreson lneal de Y en funcón de X. F. de Mendburu

6 6 Para el ejemplo del grafco (año base 1990 = 0) Años (X) Madera Aserrada (Y) Gl SC CM F F0.05 Pr>F Regresson ,9941 5,31 0,095 Resdual Total Modelo de regreson estmado: Total de Madera aserrada (mles de m3 ) = 467,4 + 4,4 X X = El perodo. R² = (493 / 10556) *100% = 46% Intercepto = 467,4 Tasa = 4,4 Sgnfca que el crecmento anual es de 4 ml metros cubcos. Intervalos de Confanza Intervalos de confanza para ß1 (tasa) En muchos casos es de nterés conocer entre que valores se encuentra el coefcente de regresón de la poblacón ß1 para un certo grado de confanza fjada, este procedmento permte hallar los valores llamados límtes de confanza, así: b1 - t0 Sb1 ß1 b1 + to Sb1 donde: t0 es el valor "t" tabular al nvel de sgnfcacón α y n- grados de lbertad ( t0 = tα,n-). t 0.05, 8 =,30; SC X = 8.5; Sb1 = 9,3 Lmte Inferor = 4,4,30 (9,3) = 3.1 Lmte Superor = 4,4 +,30 (9,3) = 45,7 Con estos resultados se puede afrmar al 95% de confanza que la tasa de crecmento en madera aserrada es postva y por lo menos se tendra un crecmento de 3 ml metros cubcos por año. F. de Mendburu

7 7 En funcón del modelo se puede hacer estmacones para los sguentes años: Estas proyeccones son puntuales, en base al modelo; para año 000, X=10, resulta una produccón de 711 ml m3 de madera aserrada. Para obtener lmtes de confanza para estos valores predecdos, se debe determnar sus desvacones estandar correspondente; utlce la sguente formula: S _ Predcho= 1 CMresdual 1+ + n ( x) x 0 SCX Lmtes : Valor Predcho ± (t0.05,n- ) (S_predcho) Para el 00, los lmtes de confanza son: Lmte Inferor = 760,55,30 (111,98) = 50 Lmte Superor = 760,55 +,30 (111,98) = 1018 Esta nformacón sgnfca que para el año 00, se estma una produccon de madera aserrada entre 50 a 1018 mles de m3. Prueba de Hpotess Se plantea los sguentes casos: a) Cuando ß1 = 0; es decr, s la varable Y no esta relaconada lnealmente con la varable X. Esto equvale a plantear la hpótess Hp: ß1=0, y vía una prueba F comparar el valor de F calculado (Fc) con el valor F tabular (Fo), donde Fc=CMR/CME y Fo=Fα(1,n-)gl. S Fc>Fo, se rechaza la hpótes planteada, esto supone un valor ß1 dstnto de cero y se concluye que Y se puede expresar en termnos de X lnealmente. b) Cuando ß1 tene un valor específco dstnto de cero ß10; es decr, Hp: ß1=ß10. En este caso, para la prueba de esta hpótess se usa el estadístco t de Student. El valor t calculado es hallado medante la expresón: tc = (b1-ß10)/sb1 S tc > tα se rechaza la hpótess planteada, donde tα es el valor de la tabla al nvel α y n- gl. F. de Mendburu

8 8 Para el ejemplo planteado, se rechaza la hpotess planteada, esto sgnfca que exste una relacón lneal sgnfcatva del tempo y la produccón de madera aserrada total. Analss de Correlacon El análss de correlacón emplea métodos para medr la sgnfcacón del grado o ntensdad de asocacón entre dos o más varables. El concepto de correlacón está estrechamente vnculado al concepto de regresón, pues, para que una ecuacón de regresón sea razonable los puntos muestrales deben estar ceñdos a la ecuacón de regresón; además el coefcente de correlacón debe ser: - grande cuando el grado de asocacón es alto (cerca de +1 o -1, y pequeño cuando es bajo, cerca de cero. - ndependente de las undades en que se mden las varables. Coefcente de correlacon Lneal Smple ( r). Es un número que ndca el grado o ntensdad de asocacón entre las varables X e Y. Su valor varía entre -1 y +1; esto es: -1 r 1. S r = -1, la asocacón es perfecta pero nversa; es decr, a valores altos de una varable le corresponde valores bajos a la otra varable, y vceversa. S r=+1, tambén la asocacón es perfecta pero drecta. S r=0, no exste asocacón entre las dos varables. Luego puede verse que a medda que r se aproxme a -1 ó +1 la asocacón es mayor, y cuando se aproxma a cero la asocacón dsmnuye o desaparece. El coefcente de correlacón está dada por: r = SPXY SCX. SCY Para los datos de la produccón de madera aserrada total entre los años 1990 a 1999, exste una asocacón de r = 015,17 ( 10555,86)( 8,5) = 0.68 Coefcente de Determnacon (R²) F. de Mendburu

9 9 Mde el porcentaje de varacón en la varable respuesta, explcada por la varable ndependente. De la descomposcón de la suma de cuadrados total, se obtuvo: SCT = SCR + SCE SCR = Suma de cuadrados de la regresón. SCE = Suma de cuadrados resdual (error). dvdendo ambos membros por la SCT, se tene: 1 = SCR/SCT + SCE/SCT de este resultado, se defne el coefcente de determnacon como: R² = 1 - SCE/SCT = SCR/SCT R² = SC regreson / SC total Como SCR SCT, se deduce que 0 R² 1. Interpretacón de R²: Se nterpreta como una medda de ajuste de los datos observados y proporcona el porcentaje de la varacón total explcada por la regresón. R² es un valor postvo, expresado en porcentaje es menor de 100. Tamben, se puede obtener el R² ajustado que es la relacon entre cuadrados medos, as: R² ajustado = 1 CME / CM Total; Este valor podra ser negatvo en algunos casos. Lo que se espera que ambos R², resulten smlares, para dar una confanza al coefcente de determnacón. Para el ejemplo, resulta: R² ajustado = / (10556 / 9 ) = 0,39 y R² = ,7 / 10555,86 = 0,46 F. de Mendburu

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