Una Propuesta de Presentación del Tema de Correlación Simple

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1 Ua Propuesta de Presetacó del Tema de Correlacó Smple Itroduccó Ua Coceptualzacó de la Correlacó Estadístca La Correlacó o Implca Relacó Causa-Efecto Vsualzacó Gráfca de la Correlacó U Idcador de Asocacó: La Covaraza Sugereca para la Iterpretacó de la Moda Métodos Multvarados: Iter e Itra Varaza Métodos Multvarados: Asocacó o Correlacó Estadístca Smple Coclusoes Por Prof. Carlos Araújo 1 Departameto de Estadístca, Facultad de Matemátcas, PUC Las opoes vertdas e este documeto so de exclusva resposabldad del autor. El Departameto de Estadístca de la PUC o ecesaramete cocuerda co dchas opoes. Todo cometaro u observacó puede ser evado a: Itroduccó El cocepto de Asocacó o Correlacó Estadístca etre dos varables es, e geeral, otro de los temas de Estadístca Descrptva que o está correctamete presetado e los textos báscos de Estadístca. Por ello es frecuete ecotrar falsas y absurdas coclusoes supuestamete basadas e el estudo de correlacoes estadístcas como ejemplos para desprestgar los métodos estadístcos (ver La Correlacó o Implca Relacó Causa Efecto ) Isstmos que esta stuacó sólo refleja la cultura estadístca de quees propoe tales coclusoes y que dcha cultura es de resposabldad de los que estamos a cargo de la eseñaza de esta dscpla. Ua Coceptualzacó de Correlacó Estadístca Como se dcaba e la pága 4 del Artículo 05, ua adecuada terpretacó del cocepto de asocacó o e Estadístca es fudametal depedzar su defcó de cualquer sugereca sobre la relacó causa-efecto. Para ello se debe precsar e qué setdo se dce que dos varables cuattatvas está asocadas o correlacoadas estadístcamete. Al respecto se sugere utlzar la sguete caracterzacó: E Estadístca Descrptva se dce que dos varables cuattatvas está asocadas, so depedetes, o está correlacoadas s cuado se aumeta los valores de ua varable, los valores de la otra tede a: ) o be a aumetar (y se dce que la asocacó o depedeca es drecta o que la es postva) ) o be a dsmur (y se dce que la asocacó o depedeca es versa o que la es egatva) Cuado o se preseta esta tedeca se dce que las varables o está asocadas o o so depedetes o o está correlacoadas. Para completar la coceptualzacó de la Correlacó Estadístca es ecesaro destacar que la tedeca se refere a la segurdad o grado de certeza respecto del hecho de que cuado ua varable aumeta, la otra cumple o be ) o be ). S se tee ua alta expectatva sobre esta ocurreca, la Correlacó es alta ; s la expectatva de ocurreca es baja la Correlacó es baja. o se debe cofudr la calfcacó de alto o bajo co la magtud del cremeto o dsmucó. Los sguetes dbujos lustra mejor esta stuacó. 1 Prof. Carlos A. Araújo Ayesta fue Profesor del Cetro Iteramercao de Eseñaza de Estadístca - CIEES ( ), Asstete Geeral del Drector del CIEES ( ) y Secretaro Técco de la Cofereca Iteramercaa de Estadístca (CIE) de la OEA. A partr de eero de 005 es Profesor e la Potfca Uversdad Católca de Chle - PUC.

2 Fuerte cremeto Baja Bajo cremeto Alta La Correlacó o Implca Relacó Causa-Efecto La asocacó, o depedeca e Estadístca Descrptva, o mplca relacó causaefecto. E otras palabras, s cuado ua varable aumeta la otra tede a aumetar (o a dsmur) o es posble afrmar que esta últma aumeta (o dsmuye) porque la prmera varable aumeta. Veamos u ejemplo. Sea: = úmero de glesas e ua cudad = úmero de bares e ua cudad S se cosdera, por ejemplo las 10 prcpales cudades de u país (las que tee mayor úmero de habtates) se obtee la Matrz de Datos Bvarada Udad If. (cudad) = º Iglesas x 1 x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 = º Bares y 1 y y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 y 9 y 10 S se represeta gráfcamete esta formacó e ua ube de putos seguramete mostrará u comportameto postvo o drecto e el setdo de que cuado ua varable aumeta la otra tede moderada o fuertemete a aumetar. Esto sgfca etoces que para mateer o cremetar la fe relgosa se debería promover el establecmeto de bares?, o be que para dsmur la gesta de alcohol se debería cerrar glesas? Obvamete esto o es así. S be es certo que e las cudades co más glesas exste más bares la explcacó de porqué ocurre esta stuacó o se ecuetra e el campo de la Estadístca Descrptva so que depederá de los especalstas del área de la cual provee los datos. Auque que e este ejemplo o se requere ser u especalsta para darse cueta de que exste ua tercera varable Z = º de habtates de la cudad que está asocada postvamete tato co como co y por lo tato, cuado aumeta los bares, aumeta las glesas y cualquer otro servco (hosptales, ces, restaurates, taxs, etc.) porque hay más habtates. Gráfco de ube de Putos Vsualzacó Gráfca de la Correlacó FFg. º 1 Correlacó drecta o postva FFg. º Correlacó versa o egatva Es fácl ver que e la Fgura º1 la tedeca es postva como lo dca las flechas (e la medda e que se aumeta el valor de ua varable se espera valores mayores de la otra

3 varable auque esta vculacó o ocurre sempre como lo muestra los putos destacados de la Fg- º 1. De gual forma, e la Fgura º la tedeca es egatva como lo dca las flecas (e la medda e que se aumeta el valor de ua varable se espera valores meores de la otra varable auque los putos destacados de la Fg- º muestra que, e ese caso partcular, al aumetar ua varable la otra dsmuye. Comportameto de los putos e los Cuadrates Cosderemos por ejemplo la stuacó gráfca de la Fg. º 1 y realcemos u cambo de coordeadas de tal forma que el uevo orge sea el puto medo de las coordeada orgales. Orge de uevos ejes está "e el medo" de la ube de putos Este uevo orge está determado por el puto,. De esta forma el uevo orge se ecotrará stuado e el medo de la ube de putos por lo tato aparecerá dstrbudos etre los cuatro cuadrates defdos por estos uevos ejes y podremos afrmar que: S so más mportates los putos del Prmer y Tercer Cuadrate que los putos del Segudo o Cuarto exstrá asocacó drecta o postva S so más mportates los putos del Segudo y Cuarto Cuadrate que los potos del Prmero y Tercero, debe exstr ua asocacó versa o egatva S los putos so gualmete mportates o se dstrbuye por gual etre los cuatro Cuadrates es señal de que o hay asocacó o depedeca. E geeral el gráfco correspoderá a ua de las sguetes stuacoes: y y* y y* y y* y* y* x* x* x* x* x* x* (0,0) x x (0,0) x x (0,0) x x Correlacó postva Correlacó egatva o hay Correlacó La mportaca de los putos e u cuadrate se mde por la catdad de puto y por su dstaca a los ejes (cuato más dstate, más mportate) U Idcador de Asocacó: la Covaraza Itetaremos costrur u dcador sobre el comportameto de los putos e los cuadrates defdos e el puto ateror de forma tal que os forme o sólo sobre s la es postva o egatva, so además sobre la mportaca de esta, es decr sobre s la tedeca que muestra la asocacó es alta, medaa, baja o exstete.

4 Usaremos las coordeadas defdas por el cambo de ejes, es decr s ejes orgales, etoces x, dode : x x ; msmo puto e los uevos ejes. x, y es el puto e los será las coordeadas del El producto de estas coordeadas os forma s qué cuadrate se ecuetra el puto y además os dca se está cerca de los ejes, es decr S x y > 0 etoces el puto x *, y * PRODUCTO COORDEADAS EGATIVO 5 PRODUCTO COORDEADAS POSITIVO está e el Prmer Cuadrate o e el Tercer Cuadrate. Puto (-6,5) II Cuadrate (-6)x5 = -30 <0 3 Puto (4,3) I Cuadrate 4x3 = 1 >0 S, e cambo,, x y < 0 etoces x y está e el Segudo o e el Cuarto Cuadrate. -8 SEGUDO CUADRATE -6 TERCER CUADRATE - PRIMER CUADRATE 4 CUARTO CUADRATE La stuacó se muestra e la fgura de al lado Puto (-,-8) III Cuadrate (-)x(-8) = 16>0-4 Puto (,-4) IV Cuadrate x(-4) = -8 <0 PRODUCTO COORDEADAS POSITIVO PRODUCTO COORDEADAS EGATIVO Etoces, s x y > 0 es porque los productos postvos so mportates más que los 1 egatvos y muestra etoces que los putos del Prmer y Tercer Cuadrate so más mportates que los del Segudo y Cuarto Cuadrate. E cosecueca, s x y > 0 es 1 señal de asocacó o drecta o postva. S e cambo x y < 0 es porque los productos egatvos pesa más que los postvos y 1 muestra etoces que los putos del Segudo y Cuarto Cuadrate so más mportates que del Prmer y Tercer Cuadrate. E cosecueca, s x y < 0 es señal de asocacó o 1 versa o egatva. E cosecueca, s P prod xy 1,,..., es el cojuto de los productos de las coordeadas, se elje como dcador de la asocacó o al mejor represetate de estos productos el cual, por el prcpo de mímos cuadrados, correspode a la Meda de dchos 1 1 productos, es decr: prod prod x 1 1 Por lo tato se defe la Covaraza etre e medate Cov, Etoces x y x y x y S Cov, > 0 la asocacó o es drecta o postva.

5 S Cov, < 0 la asocacó o es versa o egatva. S Cov, 0 o hay asocacó o. El problema es qué valores de la Covaraza se cosdera cerca del cero? Tal cual está costrudo el dcador resulta mposble dar ua respuesta porque la Covaraza depede de la udad de medda de las varables y etoces para los msmos datos (dfere sólo e la udad de medda) el valor de la Covaraza su valor puede ser más grade o más chco. Será ecesaro costrur otro dcador que os forme sobre s el valor de la Covaraza es alto o bajo y para ello ecotraremos prmeramete ua cota para la Covaraza. Para ello costruremos otro dcador llamado Coefcete de Correlacó Smple o Coefcete de Correlacó Leal. Otro Idcador de Asocacó: El Coefcete de Correlacó La Desgualdad de Cauchy - Schwart Sea a R, b R 1,,...,. Etoces: ab a b Además la gualdad se verfca s y sólo s: 1,,..., a kb La demostracó de esta desgualdad o forma parte de u curso de Estadístca. E el caso de que esta demostracó o sea coocda por los alumos, medate alguos ejemplos presetados e ua hoja electróca, el alumo puede eteder rápdamete su sgfcado y aceptar fáclmete su veracdad. S aplcamos la desgualdad reemplazado xy x a por * x y b por. Dvdedo la desgualdad por xy x 1 1 1, * y se tee que Además, la gualdad es válda s y sólo s Cov V V se tee que: m y kx 1,,..., k k 1,,..., k k 1,,..., Es decr la gualdad es válda s y sólo s, ídce. Por ser sólo s tedremos etoces que s es ua combacó leal de etoces Cov, será estrctamete meor que V V cualquera sea el o es ua combacó leal de. E cosecueca, puesto que Cov, V V Cov, V V por lo que V V Cov, VV y dvdedo estas desgualdades por V V se tee que: se tee que:

6 , Cov 1 1. La gualdad a 1 (o a -1) ocurre s y sólo s a b V V El úmero, Cov V V etre e y se desga por,. Es decr: se defe como el Coefcete de Correlacó Smple o Leal, S, 1 es la máxma egatva o versa y s, 0, Cov V V la es la máxma postva o drecta; s, 1 o exste o depedeca. la Covee otar que s exste ua depedeca fucoal perfecta pero o leal etre e (por ejemplo o be l ) la asocacó o depedeca fucoal sería la máxma, auque el coefcete de O es gual a 1 porque dcha depedeca o es leal (es gual a 1 s y solo s la relacó es leal. Por esta razó al coefcete de se le llama coefcete de leal. S be o exste ua regla geeral para decr s ua es alta meda o baja, e geeral se podría propoer adoptar el sguete crtero: Alta egatva Moderada egatva Baja egatva o hay Baja postva Moderada postva Alta postva -1-0,8-0,4-0,1 0 0,1 0,4 0,8

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