PROBLEMAS SOBRE CÁLCULO DE PROBABILIDADES.

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1 ANDALUCIA: º) (Andalucía, junio, 98) Ana, Juan y Raúl, que están esperando para realizar una consulta médica, sortean, al azar, el orden en que van a entrar. a) Calcule la probabilidad de que los dos últimos en entrar sean hombres. b) Determine si son independientes los sucesos S y S, siendo: S: la mujer entra antes que alguno de los hombres. S: Los dos hombres entran consecutivamente. a) P ( MHH ) = 3 b) Los sucesos no son independientes. º) (Andalucía, Junio, 99) Una experiencia aleatoria consiste en preguntar a tres personas distintas elegidas al azar, si son partidarias o no de consumir un determinado producto. a) Escribe el espacio muestral asociado a dicho experimento, utilizando la letra s para la respuestas afirmativas y la n para las negativas. b) Qué elementos del espacio muestral anterior constituyen el suceso al menos dos de las personas son partidarias de consumir el producto. c) Describe el suceso contrario de más de una persona es partidaria de consumir el producto. a) E = {sss, ssn, sns, nss, snn, nsn, nns, nnn} b) A = {sss, ssn, sns, nss} c) Sería el suceso menos de dos personas son partidarias de consumir el producto. Esto es, A c = {snn, nsn, nns, nnn} 3º) (Andalucía, junio, 00) En un instituto se ofertan tres modalidades excluyentes, A, B y C, y dos idiomas excluyentes, inglés y francés. La modalidad A es elegida por un 50% de los alumnos, la B por un 30% y la C por un 0%. También se conoce que han elegido inglés el 80% de los alumnos de la modalidad A, el 90% de la modalidad B y el 75% de la C, habiendo elegido francés el resto de los alumnos. a) Qué porcentaje de estudiantes del instituto ha elegido francés? b) Si se elige al azar un estudiante de francés, cuál es la probabilidad de que sea de la modalidad A? a) 8% b) 9 5 4º) (Andalucía, Junio, 0) Dos urnas A y B, que contienen bolas de colores, tiene la siguiente composición: A: 5 blancas, 3 negras y rojas. B: 4 blancas y 6 negras. También tenemos un dado que tiene 4 caras marcadas con la letra A y las otras dos con la letra B. Tiramos el dado y sacamos una bola al azar de la urna que indica el dado a) Cuál es la probabilidad de que esa bola sea blanca? b) Cuál es la probabilidad de que esa bola sea roja? c) La bola ha resultado ser blanca, cuál es la probabilidad de que proceda de la urna B? a) 5 7 b) 5 c) 7 Página:

2 5º) (Andalucía, Junio, 0) Los alumnos de bachillerato de un I.E.S. proceden de 3 localidades, A, B y C, siendo un 0 % de A, un 30 % de B y el resto de C. El 80 % de los alumnos de A cursa º de Bachillerato y el resto, º. El 50 % de los alumnos de B cursa º de Bachillerato y el resto, º. El 60 % de los alumnos e C cursa º de Bachillerato y el resto, º. a) Seleccionado, al azar, un alumno de Bachillerato de ese I.E.S., cuál es la probabilidad de que sea de º? b) Si elegimos, al azar, un alumno de Bachillerato de ese I.E.S. y este es un alumno de º, cuál es la probabilidad de que proceda de la localidad B? a) 0,39 b) 0,46 6º) (Andalucía, Junio, 03) Blanca y Alfredo escriben, al azar, una vocal cada uno en papeles distintos. a) Determine el espacio muestral asociado al experimento. b) Calcule la probabilidad de que no escriban la misma vocal. a) E = {(a, a), (a, e), (a, i), (a, o), (a, u), (e, a), (e, e), (e, i), (e, o), (e, u), (i, a), (i, e), (i, i), (i, o), (i, u), (o, a), (o, e), (o, i), (o, o), (o, u), (u, a), (u, e), (u, i), (u, o), (u, u)} b) 5 4 ARAGÓN: 7º) (Aragón, Junio, 98) Tenemos tres cajas, una verde, una roja y una amarilla y, en cada caja, hay una moneda. La de la caja verde está trucada y la probabilidad de que salga cara es doble de la probabilidad de que salga cruz; la moneda de la caja roja tiene dos caras y la de la caja amarilla no está trucada. Se toma una caja al azar y se lanza la moneda que está en la caja. Calcula razonadamente: a) La probabilidad de que salga cara. b) La probabilidad de que, sabiendo que ha salido cara, se haya lanzado la moneda de la caja roja. 3 a) 8 b) 3 6 8º) (Aragón, Junio, 99) Un dado ha sido trucado de manera que la probabilidad de sacar un número par es doble que la de sacar un número impar. Se lanza el dado y se pide: a) La probabilidad de obtener un número par. b) Si, a la vez, se lanza un dado no trucado, la probabilidad de obtener un número par y un número impar. c) Si, a la vez, se lanza un dado no trucado, la probabilidad de obtener al menos, un número impar. a) 3 b) c) 3 9º) (Aragón, Junio, 00) De una baraja española de 40 cartas se extraen sucesivamente y sin reposición dos cartas, se pide calcular la probabilidad de que: a) la primera carta sea de copas y la segunda de espadas. b) una carta sea de copas y la otra de espadas. c) ninguna sea de bastos. d) las dos sean de oros. Página:

3 0 0 a) b) c) d) º) (Aragón, Sept., 00) En una empresa de transportes la probabilidad de que se accidente un camión es 0,. Si se produce el accidente la probabilidad de perder la carga es 0,95. Por otra parte, la probabilidad de perder la carga sin que haya accidente es 0,04. Calcular razonadamente: a) La probabilidad de que se pierda la carga de un camión. b) Sabiendo que se ha perdido la carga de un camión, la probabilidad de que no haya tenido un accidente. a) 0,3 36 b) 3 º) (Aragón, junio, 0) En una empresa el 65% de sus empleados saben manejar un ordenador y de estos el 40% hablan inglés. La cuarta parte de los que no saben manejar el ordenador hablan inglés. Calcular la probabilidad de que elegido al azar un empleado de esta empresa: a) Hable inglés y maneje el ordenador. b) Hable inglés. c) Maneje el ordenador, sabiendo que habla inglés. a) 0,6 b) 0,3475 c) 0,748 º) (Aragón, Sept., 0) De una baraja española de 40 cartas se extrae una carta al azar, se pide: a) calcular la probabilidad de que la carta extraída no sea rey. b) calcular la probabilidad de que la carta extraída no sea rey sabiendo que ha sido una figura. c) si de la misma baraja se extrae otra carta al azar después de introducir la primera, calcular la probabilidad de que al menos una de las dos cartas extraídas haya sido un rey. 9 a) 0 b) 3 9 c) = 0, º) (Aragón, junio, 0) Se tienen dos monedas, una sin trucar y otra trucada. Sabiendo que con la moneda trucada la probabilidad de obtener cruz es triple que la probabilidad de obtener cara, calcular la probabilidad de que al lanzar las dos monedas: a) se obtengan dos caras. b) no se obtenga ninguna cara. c) se obtenga una cara y una cruz. d) se obtengan dos caras o dos cruces. Página: 3

4 a) 8 b) 8 3 c) d) 4º) (Aragón, Sept., 0) Se lanzan un dado azul y tres rojos. Calcular la probabilidad de los siguientes sucesos: a) En todos los dados rojos se obtiene la misma puntuación que en el azul. b) Al menos en uno de los rojos se obtiene la misma puntuación que en el azul. c) Todas las puntuaciones obtenidas son pares o todas son múltiplos de 3. a) 6 9 b) 6 c) 7 5º) (Aragón, Junio, 03) La probabilidad de que un ciudadano conteste a una carta en la que se le ofrece una multipropiedad es igual a 0'. Si recibe a lo largo de un mes 3 cartas, calcular la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Contesta a las 3 cartas. b) Contesta solamente a la segunda. c) No contesta a ninguna carta. d) Contesta al menos a una carta. a) 0,008 b) 0,8 c) 0,5 d) 0,488 6º) (Aragón, Junio, 04) En una asignatura de primer curso de una titulación universitaria, asisten a clase regularmente 0 alumnos de los 300 que hay matriculados. Además se sabe que aprueban el 80 % de los alumnos que asisten a clase y el 5 % de los que no asisten. Calcular la probabilidad de los cuatro sucesos siguientes: a) Se elige al azar un alumno matriculado y resulta que: i) Ha asistido a clase. ii) No ha asistido a clase y ha aprobado. iii) Ha aprobado. b) Se elige al azar un alumno de entre los que han aprobado y resulta que ha asistido a clase. 7 9 a) i), ii), iii) b) 7º) (Aragón, Sept., 04) Un dado está cargado de forma que la probabilidad de obtener 6 puntos es / y que las probabilidades de obtener cada una de las otras caras son iguales. Se lanza el dado, calcular la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Se obtiene un dos. b) No se obtiene un tres. c) Se obtiene un número par. Página: 4

5 d) Se obtiene un número impar. a) 0 b) 0 9 c) 0 7 d) 0 3 MADRID: 8º) (Madrid, junio, 99) Se considera una célula en el instante t = 0. En el instante t = la célula puede o bien reproducirse, dividiéndose en dos, con probabilidad ¾; o bien morir, con probabilidad ¼. Si la célula se divide, entonces, en el instante t = cada una de sus dos descendientes puede también subdividirse o morir, con la misma probabilidad de antes, independientemente uno de otro. (a) Cuántas células es posible que haya en el tiempo t =? (b) Con qué probabilidad? a) En t = puede haber 0, o 4 células células = células = P 4 células =. b) P ( ), P ( ), ( ) º) (Madrid, junio, 99). Se escuchan tres discos y se vuelven a guardar al azar. Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los discos haya sido guardado en el envoltorio que le corresponde? 4 p = = º) (Madrid, Sept., 99) Se lanzan dos dados. Calcúlese la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos: (a) A = Se obtiene cinco en alguno de los dados. (b) B = Se obtiene un doble (los dos dados presentan la misma puntuación). (c) A B. (d) A B. 6 6 a) ; b) ; c) ; d) º) (Madrid, Junio, 00) Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio tales que P(A) = 0,6; P(B) = 0, y P( A B ) =0,7. (a) Calcúlese P( A B) y razónese si los sucesos A y B son independientes. b) Calcúlese P( A B) a) P( A B) = 0,3. No son independientes; b) P( A B) =0,5. º) (Madrid, junio, 00) De una urna con 4 bolas blancas y negras se extraen al azar, sucesivamente y sin reemplazamiento, dos bolas. (a) Cuál es la probabilidad de que las bolas extraídas sean blancas? (b) Si la segunda bola ha resultado ser negra, cuál es la probabilidad de que la primera también lo haya sido? a) 5 b) 5 Página: 5

6 3º) (Madrid, Sept., 00) La probabilidad de que en un mes dado un cliente de una gran superficie compre un producto A es 0,6; la probabilidad que compre un producto B es 0,5,. Se sabe también que la probabilidad de que un cliente compre un producto B no habiendo comprado el producto A es 0,4. (a) Cuál es la probabilidad de que un cliente haya comprado sólo el producto B? (b) Cuál es la probabilidad de que un cliente no haya comprado ninguno de los productos? a) 0,6 b) 0,4 4º) (Madrid, Junio, 0 ) Tres máquinas A, B y C fabrican tornillos. En una hora, la máquina A fabrica 600 tornillos, la B 300 y la C 00. Las probabilidades de que las máquinas produzcan tornillos defectuosos son, respectivamente, de 0,0 para A, de 0,0 para B y de 0,03 para C. Al finalizar una hora se juntan todos los tornillos producidos y se elige uno al azar: (a) Cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso? (b) Cuál es la probabilidad de que lo haya fabricado la máquina A, sabiendo que no es defectuoso. a) 0,985 b) 0,603 5º) (Madrid, Sept., 0) En un videoclub quedan 8 copias de la película A, 9 de la B y 5 de la C. Entran tres clientes consecutivamente y cada uno elige una copia al azar. Calcúlese la probabilidad de que: (a) Los tres escojan la misma película. (b) Dos escojan la película A y el otro la C. 5 a) 54 b) 6º) (Madrid, junio, 0) Se tiene tres cajas iguales. La primera contiene 3 bolas blancas y 4 negras; la segunda contiene 5 bolas negras y, la tercera, 4 blancas y 3 negras. (a) Si se elige una caja al azar y luego se extrae una bola, cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea negra? (b) Si se extrae una bola negra de una de las cajas, cuál es la probabilidad de que proceda de la segunda caja? a) 3 b) 7º) (Madrid, Sept., 00) Una persona desea jugar en una atracción de feria, donde regalan un peluche, si al tirar un dardo se acierta en un blanco. Si sólo se permite tirar tres dardos y la probabilidad de acertar en cada tirada es 0,3. (a) Cuál es la probabilidad de llevarse el peluche? (b) Cuál es la probabilidad de llevarse el peluche exactamente en el tercer intento?, y de llevárselo exactamente en el segundo? a) 0,657 b) La probabilidad de llevárselo en el tercer intento es 0,47, y en el segundo es 0, 8º) (Madrid, junio, 03) El 45 % del censo de cierta ciudad vota al candidato A, el 35 % al candidato B y el resto se abstiene. Se elige al azar tres personas del censo. Calcular la probabilidad de los siguientes sucesos: (a) Las tres personas votan al candidato A. (b) Dos personas votan al candidato A y la otra al candidato B. (c) Al menos una de las tres personas se abstiene. Página: 6

7 a) 0,095 b) 0,6 c) 0,488 9º) (Madrid, Sept., 03) Un test para detectar una sustancia contaminante en agua, presenta los siguientes resultados: si el agua no está contaminada, suceso que ocurre con una probabilidad igual a 0,99, el resultado del test es que el agua está contaminada con una probabilidad igual a 0,05. Cuando el agua está contaminada, el test lo detecta con una probabilidad igual a 0,99. Se ha realizado una prueba y el test indica que hay contaminación. Calcular la probabilidad de que el agua no esté realmente contaminada. Interpretar el valor numérico obtenido. 0,833. Esto significa que el 83,3% de las veces que el test detecta que el agua está contaminada, realmente no lo está. (Obviamente, ese test es muy poco fiable). 30º) (Madrid, Junio, 04) Dos expertos, E y E, realizan peritaciones para una cierta compañía de seguros. La probabilidad de que una peritación haya sido realizada por E es 0,55 y por E es 0,45. Si una peritación ha sido realizada por E, la probabilidad de que de lugar al pago de una indemnización es de 0,98 y si ha sido realizada por E, la probabilidad de que de lugar al pago de una indemnización es de 0,90. Un siniestro ha supuesto a la compañía el pago de una indemnización. Hallar la probabilidad de que la peritación haya sido realizada por E. 0,49. 3º) (Madrid, Sept., 04) Una cierta señalización de seguridad tiene instalados dos indicadores. Ante una emergencia los indicadores se activan de forma independiente. La probabilidad de que se active el primer indicador es 0,95 y de que se active el segundo es 0,90. (a) Hallar la probabilidad de que ante una emergencia se active sólo uno de los indicadores. (b) Hallar la probabilidad de que ante una emergencia se active al menos uno de los indicadores. a) 0,4 b) 0,995 EXTREMADURA: 3º) (Extremadura, Junio, 99) El equipo directivo de cierta empresa del sector de hostelería está constituido por 5 personas de las que un 60% son mujeres. El gerente tiene que seleccionar a una persona de dicho equipo para que represente a la empresa en un certamen internacional. Decide lanzar una moneda: si sale cara, selecciona una mujer y si sale cruz, a un hombre. Sabiendo que 5 mujeres y 3 hombres del equipo directivo no hablan inglés, determina, justificando la respuesta, la probabilidad de que la persona seleccionada hable inglés. 4/60. 33º) (Extremadura, Junio, 00) En un estudio realizado en cierta universidad se ha determinado que un 0% de sus estudiantes no utiliza los transportes públicos para acudir a sus clases y que un 65% de los estudiantes que utiliza los transportes públicos, también hace uso del comedor universitario. Calcula la probabilidad de que seleccionado al azar un estudiante en esa universidad, resulte ser usuario de los transportes públicos y del comedor universitario. Justifica la respuesta. 0,5. 34º) (Extremadura, Junio, 0) El ganado ovino de una región es sometido a un control sanitario para comprobar que está libre de cierta enfermedad infecciosa. En el proceso de control cada animal es sometido a las pruebas P, P y P3 (en ese orden). Por la experiencia ase sabe que el 95% de los casos P da resultado negativo, que 0 de cada 00 ovejas sometidas a P dan resultado positivo y que con probabilidad 0,03 P3 da resultado positivo. Sabiendo que si una prueba da resultado positivo el animal es sacrificado, determinar la probabilidad de que una oveja sometida a dicho proceso de control no sea sacrificada. Justificar la respuesta. 0,8935. Página: 7

8 35º) (Extremadura, Junio, 0) Un examen de inglés consta de tres pruebas. En primer lugar se hace una prueba de gramática que suele ser superada por el 85 % de los alumnos que se presentan. Esta primera prueba es eliminatoria y los alumnos que no la superan suspenden la signatura. La segunda prueba es de fonética y 7 de cada 0 alumnos que la realizan la superan. Esta segunda prueba tiene recuperación y es conocido que el 50 % de los alumnos que se presentan a dicha recuperación la superan. La última prueba es oral y a ella acceden los alumnos que han superado las dos pruebas anteriores. La prueba oral se supera con probabilidad 0,55. Sabiendo que la asignatura se aprueba cuando se han superado las tres pruebas, determinar la probabilidad de que un alumno apruebe el inglés. Justificar la respuesta. 0, º) (Extremadura, Sept., 03) En una empresa hay un total de 500 trabajadores, de los cuales 350 son obreros, 0 son administrativos y el resto es personal directivo. El gerente de la empresa pregunta a todos si están a favor o en contra de donar un % de sus ingresos mensuales para una causa benéfica. Sabiendo que obtiene respuesta (a favor o en contra) de todo el personal de la empresa y que se manifiestan a favor un 30 % del personal obrero, un 50% del personal administrativo y un 60 % del personal directivo, determinar la probabilidad de que seleccionado al azar un trabajador de dicha empresa: a) Resulte ser un directivo de los que se han manifestado a favor de la propuesta. b) Resulte ser de los que se han manifestado en contra de la propuesta. Justificar la respuesta. a) 8/83. b) 37/ º) (Extremadura, Sept., 04) Cierto meteorólogo ha comprobado en determinada ciudad: a) Que si un día llueve, con probabilidad 0,6 también llueve al día siguiente. b) Que si un día no llueve, hay un 30 % de posibilidades de que llueva al día siguiente. Sabiendo que en esa ciudad ha llovido el lunes, determina la probabilidad de que llueva el miércoles de esa misma semana. Justificar la respuesta. 0,48. Página: 8

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