Pruebas de hipótesis basadas en una sola muestra

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1 8 Pruebas de hipótesis basadas en una sola muestra INTRODUCCIÓN Un parámetro puede ser estimado a partir de datos muestrales o con un solo número (una estimación puntual) o un intervalo completo de valores plausibles (un intervalo de confianza). Con frecuencia, sin embargo, el objetivo de una investigación no es estimar un parámetro sino decidir cuál de dos pretensiones contradictorias sobre el parámetro es la correcta. Los métodos para lograr esto comprenden la parte de la inferencia estadística llamada prueba de hipótesis. En este capítulo, primero se discuten algunos de los conceptos y terminología básicos en la prueba de hipótesis y luego se desarrollan procedimientos para la toma de decisiones para los problemas de realización de pruebas más frecuentemente encontrados con base en una muestra tomada de una sola población. 284

2 8.1 Hipótesis y procedimientos de prueba Hipótesis y procedimientos de prueba Una hipótesis estadística o simplemente hipótesis es una pretensión o aseveración sobre el valor de un solo parámetro (característica de una población o característica de una distribución de probabilidad), sobre los valores de varios parámetros o sobre la forma de una distribución de probabilidad completa. Un ejemplo de una hipótesis es la pretensión de que 0.75, donde es el diámetro interno promedio verdadero de un cierto tipo de tubo de PVC. Otro ejemplo es la proposición p 0.10, donde p es la proporción de tarjetas de circuito defectuosas entre todas las tarjetas de circuito producidas por un cierto fabricante. Si 1 y 2 denotan las resistencias a la ruptura promedio verdaderas de dos tipos diferentes de cuerdas, una hipótesis es la aseveración de que y otra es que No obstante otro ejemplo de una hipótesis es la aseveración de que la distancia de detención en condiciones particulares tiene una distribución normal. Hipótesis de esta última clase se considerarán en el capítulo 14. En éste y en los siguientes capítulos, la atención se concentra en hipótesis en relación con parámetros. En cualquier problema de prueba de hipótesis, existen dos hipótesis contradictorias consideradas. Una podría ser la pretensión de que 0.75 y la otra 0.75 o las dos proposiciones contradictorias podrían ser p 0.10 y p El objetivo es decidir, con base en información muestral, cuál de las dos hipótesis es la correcta. Existe una analogía conocida de esto en un juicio criminal. Una pretensión es la aseveración de que el individuo acusado es inocente. En el sistema judicial estadounidense, esta es la pretensión que inicialmente se cree que es cierta. Sólo de cara a una fuerte evidencia que diga lo contrario el jurado deberá rechazar esta pretensión a favor de la aseveración alternativa de que el acusado es culpable. En este sentido, la pretensión de inocencia es la hipótesis favorecida o protegida y el agobio de comprobación recae en aquellos que creen en la pretensión alternativa. Asimismo, al probar hipótesis estadísticas, el problema se formulará de modo que una de las pretensiones sea inicialmente favorecida. Esta pretensión inicialmente favorecida no será rechazada a favor de la pretensión alternativa a menos que la evidencia muestral la contradiga y apoye fuertemente la aseveración alternativa. DEFINICIÓN La hipótesis nula denotada por H 0, es la pretensión de que inicialmente se supone cierta (la pretensión de creencia previa ). La hipótesis alternativa denotada por H a, es la aseveración contradictoria a H 0. La hipótesis nula será rechazada en favor de la hipótesis alternativa sólo si la evidencia muestral sugiere que H 0 es falsa. Si la muestra no contradice fuertemente a H 0, se continuará creyendo en la verdad de la hipótesis nula. Las dos posibles conclusiones derivadas de un análisis de prueba de hipótesis son entonces rechazar H 0 o no rechazar H 0. Una prueba de hipótesis es un método de utilizar datos muestrales para decidir si la hipótesis nula debe ser rechazada. Por consiguiente se podría probar H 0 : 0.75 contra la H a alternativa: Sólo si los datos muestrales sugieren fuertemente que es otra diferente de 0.75 deberá ser rechazada la hipótesis nula. Sin semejante evidencia, H 0 no deberá ser rechazada, puesto que sigue siendo bastante plausible. En ocasiones un investigador no desea aceptar una aseveración particular a menos y hasta que los datos apoyan fuertemente la aseveración. Como ejemplo, supóngase que una compañía está considerando aplicar un nuevo tipo de recubrimiento en los cojinetes que fabrica. Se sabe que la vida de desgaste promedio verdadera con el recubrimiento actual es de

3 286 CAPÍTULO 8 Pruebas de hipótesis basadas en una sola muestra 1000 horas. Si denota la vida promedio verdadera del nuevo recubrimiento, la compañía no desea cambiar a menos que la evidencia sugiera fuertemente que excede de Una formulación apropiada del problema implicaría probar H 0 : 1000 contra H a : La conclusión de que se justifica un cambio está identificada con H a y se requeriría evidencia conclusiva para justificar el rechazo de H 0 y cambiar al nuevo recubrimiento. La investigación científica a menudo implica tratar de decidir si una teoría actual debe ser reemplazada por una explicación más plausible y satisfactoria del fenómeno investigado. Un método conservador es identificar la teoría actual con H 0 y la explicación alternativa del investigador con H a. El rechazo de la teoría actual ocurrirá entonces sólo cuando la evidencia es mucho más compatible con la nueva teoría. En muchas situaciones, H a se conoce como hipótesis del investigador, puesto que es la pretensión que al investigador en realidad le gustaría validar. La palabra nulo significa sin ningún valor, efecto o consecuencia, la que sugiere que H 0 no deberá ser identificada con la hipótesis de ningún cambio (de la opinión actual), ninguna diferencia, ninguna mejora, y así sucesivamente. Supóngase, por ejemplo, que 10% de todas las tarjetas de circuito producidas por un cierto fabricante durante un periodo reciente estaban defectuosas. Un ingeniero ha sugerido un cambio del proceso de producción en la creencia de que dará por resultado una proporción reducida de tarjetas defectuosas. Sea p la proporción verdadera de tarjetas defectuosas que resultan del proceso cambiado. Entonces la hipótesis de investigación en la cual recae el agobio de comprobación, es la aseveración de que p Por consiguiente la hipótesis alternativa es H a : p En el tratamiento de la prueba de hipótesis, H 0 siempre será formulada como una afirmación de igualdad. Si denota el parámetro de interés, la hipótesis nula tendrá la forma H 0 : 0 donde 0 es un número específico llamado valor nulo del parámetro (valor pretendido para por la hipótesis nula). Como ejemplo, considérese la situación de la tarjeta de circuito que se acaba de discutir. La hipótesis alternativa sugerida fue H a : p 0.10, la pretensión de que la modificación del proceso redujo la proporción de tarjetas defectuosas. Una opción natural de H 0 en esta situación es la pretensión de que p 0.10 de acuerdo a la cual el nuevo proceso no es mejor o peor que el actualmente utilizado. En su lugar se considerará H 0 : p 0.10 contra H a : p El razonamiento para utilizar esta hipótesis nula simplificada es que cualquier procedimiento de decisión razonable para decidir entre H 0 : p 0.10 y H a : p 0.10 también será razonable para decidir entre la pretensión de que p 0.10 y H a. Se prefiere utilizar una H 0 simplificada porque tiene ciertos beneficios técnicos, los que en breve serán aparentes. La alternativa de la hipótesis nula H 0 : 0 se verá como una de las siguientes tres aseveraciones: 1) H a : 0 (en cuyo caso la hipótesis nula implícita es 0 ), 2) H a : 0 (por consiguiente la hipótesis implícita nula establece que 0 ) o 3) H a : 0. Por ejemplo, sea la desviación estándar de la distribución de diámetros internos (pulgadas) de un cierto tipo de manguito de metal. Si se decidió utilizar el manguito a menos que la evidencia muestral demuestre conclusivamente que 0.001, la hipótesis apropiada sería H 0 : contra H a : El número 0 que aparece tanto en H 0 como en H a (separa la alternativa de la nula) se llama valor nulo. Procedimientos de prueba Un procedimiento de prueba es una regla, basada en datos muestrales, para decidir si rechazar H 0. Una prueba de H 0 : p 0.10 contra H a : p 0.10 en el problema de tarjetas de circuito podría estar basado en examinar una muestra aleatoria de n 200 tarjetas. Sea X el número de tarjetas defectuosas en la muestra, una variable aleatoria binomial; x representa el valor observado de X, Si H 0 es verdadera, E(X) np 200(0.10) 20, en tanto que se pueden esperar menos de 20 tarjetas defectuosas si H a es verdadera. Un valor de x un poco por debajo de 20 no contradice fuertemente a H 0, así que es razonable rechazar H 0 sólo si x es sustancialmente menor que 20. Un procedimiento de prueba como ése es

4 8.1 Hipótesis y procedimientos de prueba 287 rechazar H 0 si x 15 y no rechazarla de lo contrario. Este procedimiento consta de dos constituyentes: 1) un estadístico de prueba o función de los datos muestrales utilizados para tomar la decisión y 2) una región de rechazo compuesta de aquellos valores x con los cuales H 0 será rechazada a favor de H a. De acuerdo a la regla que se acaba de sugerir, la región de rechazo se compone de x 0, 1, 2,..., y 15, H 0 no será rechazada si x 16, 17,..., 199 o 200. Un procedimiento de prueba se especifica como sigue: 1. Un estadístico de prueba, una función de los datos muestrales en los cuales ha de basarse la decisión (rechazar H 0 o no rechazar H 0 ) 2. Una región de rechazo, el conjunto de todos los valores estadísticos de prueba por los cuales H 0 será rechazada. La hipótesis nula será rechazada entonces si y sólo si el valor estadístico de prueba observado o calculado queda en la región de rechazo. Como otro ejemplo, supóngase que una compañía tabacalera afirma que el contenido de nicotina prometido de los cigarrillos marca B es (cuando mucho) de 1.5 mg. Sería imprudente rechazar la afirmación del fabricante sin una fuerte evidencia contradictoria, así que una formulación del problema apropiada es probar H 0 : 1.5 con H a : 1.5. Considérese una regla de decisión basada en analizar una muestra aleatoria de 32 cigarrillos. Sea X el contenido de nicotina promedio muestral. Si H 0 es verdadera E(X) 1.5, en tanto que si H 0 es falsa, se espera que X exceda de 1.5. Una fuerte evidencia contra H 0 es proporcionada por un valor de x que exceda considerablemente de 1.5. Por consiguiente se podría utilizar X como un estadístico de prueba junto con la región de rechazo x 1.6. Tanto en el ejemplo de tarjetas de circuito como en el de contenido de nicotina, la selección del estadístico de prueba y la forma de la región de rechazo tienen sentido intuitivamente. Sin embargo, la selección del valor de corte utilizado para especificar la región de rechazo es un tanto arbitraria. En lugar de rechazar H 0 : p 0.10 a favor de H a : p 0.10 cuando x 15, se podría utilizar la región de rechazo x 14. En esta región, H 0 no sería rechazada si se observaran 15 tarjetas defectuosas, mientras que esta ocurrencia conduciría al rechazo de H 0 si se emplea la región inicialmente sugerida. Asimismo, se podría utilizar la región de rechazo x 1.55 en el problema de contenido de nicotina en lugar de la región x Errores en la prueba de hipótesis La base para elegir una región de rechazo particular radica en la consideración de los errores que se podrían presentar al sacar una conclusión. Considérese la región de rechazo x 15 en el problema de tarjetas de circuito. Aun cuando H 0 : p 0.10 sea verdadera, podría suceder que una muestra inusual dé por resultado x 13, de modo que H 0 sea erróneamente rechazada. Por otra parte, aun cuando H a : p 0.10 sea verdadera, una muestra inusual podría dar x 20, en cuyo caso H 0 no sería rechazada, de nueva cuenta una conclusión incorrecta. Por lo tanto es posible que H 0 pueda ser rechazada cuando sea verdadera o que H 0 no pueda ser rechazada cuando sea falsa. Estos posibles errores no son consecuencia de una región de rechazo tontamente seleccionada. Cualquiera de estos dos errores podría presentarse cuando se emplea la región x 14, o cuando se utiliza cualquier otra región.

5 288 CAPÍTULO 8 Pruebas de hipótesis basadas en una sola muestra DEFINICIÓN Un error de tipo I consiste en rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera. Un error de tipo II implica no rechazar H 0 cuando H 0 es falsa. En el problema de contenido de nicotina, un error de tipo I consiste en rechazar la afirmación del fabricante de que 1.5 cuando en realidad es cierta. Si se emplea la región de rechazo x 1.6 podría suceder que x 1.63 aun cuando 1.5, con el resultado de un error de tipo I. Alternativamente, puede ser que H 0 sea falsa y no obstante x 1.52, lo que conduciría a que H 0 no sea rechazada (un error de tipo II). En el mejor de todos los mundos posibles, se podrían desarrollar procedimientos de prueba en los cuales ningún tipo de error es posible. Sin embargo, este ideal puede ser alcanzado sólo si la decisión se basa en el examen de toda la población. La dificultad con la utilización de un procedimiento basado en datos muestrales es que debido a la variabilidad del muestreo, el resultado podría ser una muestra no representativa. Aun cuando E(X), el valor observado x puede diferir sustancialmente de (por lo menos si n es pequeño). Por consiguiente cuando 1.5 en la situación de la nicotina, x puede ser mucho más grande que 1.5 y el resultado sería el rechazo erróneo de H 0. Alternativamente, puede ser que 1.6 y no obstante que se observe una x mucho más pequeña que este valor, lo que conduce a un error de tipo II. En lugar de demandar procedimientos sin errores, habrá que buscar procedimientos con los cuales sea improbable que ocurra cualquier tipo de error. Es decir, un buen procedimiento es uno con el cual la probabilidad de cometer cualquier tipo de error es pequeña. La selección de un valor de corte en una región de rechazo particular fija las probabilidades de errores de tipo I y tipo II. Estas probabilidades de error son tradicionalmente denotadas por y, respectivamente. Como H 0, especifica un valor único del parámetro, existe un solo valor de. Sin embargo, existe un valor diferente de por cada valor del parámetro compatible con H a : Ejemplo 8.1 Se sabe que un cierto tipo de automóvil no sufre daños visibles el 25% del tiempo en pruebas de choque a 10 mph. Se ha propuesto un diseño de defensa modificado en un esfuerzo por incrementar este porcentaje. Sea p la proporción de todos los choques a 10 mph con esta nueva defensa en los que no producen daños visibles. Las hipótesis a ser tratadas son H 0 : p 0.25 (ninguna mejora contra H a : p La prueba se basará en un experimento que implica n 20 choques independientes con prototipos del nuevo diseño. Intuitivamente, H 0 deberá ser rechazada si un número sustancial de los choques no muestra daños. Considérese el siguiente procedimiento de prueba: Estadístico de prueba: X número de choques sin daños visibles Región de rechazo: R 8 {8, 9, 10,..., 19, 20}; es decir, rechazar H 0 si x 8, donde x es el valor observado del estadístico de prueba. Esta región de rechazo se llama de cola superior y se compone de sólo grandes valores del estadístico de prueba. Cuando H 0 es verdadera, la distribución de probabilidad de X es binomial con n 20 y p Entonces P(error de tipo I) P(H 0 es rechazada cuando es verdadera) P(X 8 cuando X Bin(20, 0.25)) 1 B(7; 20, 0.25) Es decir, cuando H 0 en realidad es verdadera, aproximadamente el 10% de todos los experimentos compuestos de 20 choques darían por resultado que H 0 fuera rechazada incorrectamente (un error de tipo I).

6 En contraste con, no hay una sola. En su lugar, hay una diferente por cada p diferente que exceda de Por consiguiente hay un valor de con p 0.3 (en cuyo caso X Bin(20, 0.3), otro valor de con p 0.5 y así sucesivamente. Por ejemplo, (0.3) P(error de tipo II cuando p 0.3) P(H 0 no es rechazada cuando es falsa porque p 0.3) P(X 7 cuando X Bin(20, 0.3)) B(7; 20, 0.3) Cuando p es en realidad 0.3 y no 0.25 (un pequeño alejamiento de H 0 ), aproximadamente el 77% de todos los experimentos de este tipo darían por resultado que H 0 fuera incorrectamente rechazada! La tabla adjunta muestra para valores seleccionados de p (cada uno calculado para la región de rechazo R 8 ). Claramente, disminuye conforme el valor de p se aleja hacia la derecha del valor nulo Intuitivamente, mientras más grande es el alejamiento de H 0, menos probable es que dicho alejamiento no sea detectado. p (p) Hipótesis y procedimientos de prueba 289 El procedimiento de prueba propuesto sigue siendo razonable para poner a prueba la hipótesis nula más realista de que p En este caso, ya no existe una sola, sino que hay una por cada p que sea cuando mucho de 0.25: (0.25), (0.23), (0.20), (0.15) y así sucesivamente. Es fácil verificar, no obstante, que (p) (0.25) si p Es decir, el valor más grande de ocurre con el valor límite 0.25 entre H 0 y H a. Por consiguiente si es pequeña para la hipótesis nula simplificada, también igual o más pequeña para la H 0 realista. Ejemplo 8.2 Se sabe que el tiempo de secado de un cierto tipo de pintura en condiciones de prueba especificadas está normalmente distribuido con valor medio de 75 min y desviación estándar de 9 min. Algunos químicos propusieron un nuevo aditivo para reducir el tiempo de secado. Se cree que los tiempos de secado con este aditivo permanecerán normalmente distribuidos con 9. Debido al gasto asociado con el aditivo, la evidencia deberá sugerir fuertemente una mejora en el tiempo de secado promedio antes de que se adopte semejante conclusión. Sea el tiempo de secado promedio verdadero cuando se utiliza el aditivo. Las hipótesis apropiadas son H 0 ; 75 contra H a : 75. Sólo si H 0 puede ser rechazada será declarado exitoso y utilizado. Los datos experimentales tienen que estar compuestos de tiempos de secado de n 25 especímenes de prueba. Sean X 1,..., X 25 los 25 tiempos de secado, una muestra aleatoria de tamaño 25 de una distribución normal con valor medio y desviación estándar 9. El tiempo de secado medio muestral X tiene entonces una distribución normal con valor esperado X y desviación estándar X /n 9/ Cuando H 0 es verdadera, X 75, así que un valor x un poco menor que 75 no contradeciría fuertemente a H 0. Una región razonable de rechazo tiene la forma X c, donde el valor de corte c es adecuadamente seleccionado. Considere la opción c 70.8, de modo que el procedimiento de prueba se componga del estadístico de prueba X y una región de rechazo x Debido a que la región de rechazo se compone de sólo valores pequeños del estadístico de prueba, se dice que ésta es de cola pequeña. El cálculo de y ahora implica una estandarización de rutina de X seguida por una referencia a las probabilidades normales estándar de la tabla A.3: P(error de tipo I) P(H 0 es rechazada cuando es verdadera) P(X 70.8 cuando X normal con X 75, X 1.8) (2.33) 0.01

7 290 CAPÍTULO 8 Pruebas de hipótesis basadas en una sola muestra (72) P(error de tipo II cuando 72) P(H 0 no es rechazada cuando es falsa porque 72) P(X 70.8 cuando X normal con X 72 y X 1.8) (0.67) (70) (67) Con el procedimiento de prueba especificado, sólo el 1% de todos los experimentos realizados como se describió darán por resultado que H 0 sea rechazada cuando en realidad es verdadera. No obstante, la probabilidad de un error de tipo II es muy grande cuando 72 (sólo un pequeño alejamiento de H 0 ), un poco menor cuando 70 y bastante pequeño cuando 67 (un alejamiento muy sustancial de H 0 ). Estas probabilidades de error se ilustran en la figura 8.1. Obsérvese que se calcula con la distribución de probabilidad del estadístico de prueba cuando H 0 es verdadera, en tanto que la determinación de requiere conocer la distribución del estadístico cuando H 0 es falsa. Área sombreada a) Área sombreada (72) 70.8 b) Área sombreada (70) c) Figura 8.1 y ilustradas para el ejemplo 8.2: a) la distribución de X cuando 75 (H 0 verdadera); b) la distribución de X cuando 72 (H 0 falsa); c) la distribución de X cuando 70 (H 0 falsa). Como en el ejemplo 8.1, si se considera la hipótesis nula más realista 75, existe una por cada valor de parámetro con el cual H 0 es verdadera: (75), (75.8), (76.5), y así sucesivamente. Es fácil verificar que (75) es la más grande de todas estas probabilidades de error de tipo I. Enfocándose en el valor límite equivale a trabajar explícitamente con el peor caso.

8 8.1 Hipótesis y procedimientos de prueba 291 La especificación de un valor de corte para la región de rechazo en los ejemplos que se acaban de considerar fue algo arbitraria. El uso de R 8 {8, 9,..., 20} en el ejemplo 8.1 dio por resultado 0.102, (0.3) y (0.5) Muchos pensarán que estas probabilidades de error son intolerablemente grandes. Quizá puedan reducirse si se cambia el valor de corte. Ejemplo 8.3 (continuación del ejemplo 8.1) Ejemplo 8.4 (continuación del ejemplo 8.2) Utilice el mismo experimento y el estadístico de prueba X como previamente se describió en el problema de la defensa de automóvil pero ahora considere la región de rechazo R 9 {9, 10,..., 20}. Como X sigue teniendo una distribución binomial con parámetros n 20 y p, P(H 0 es rechazada cuando p 0.25) P(X 9 cuando X Bin(20, 0.25)) 1 B(8; 20, 0.25) La probabilidad de error de tipo I se redujo con el uso de la nueva región de rechazo. Sin embargo, se pagó un precio por esta reducción: (0.3) P(H 0 no es rechazada cuando p 0.3) P(X 8 cuando X Bin(20, 0.3)) B(8; 20, 0.3) (0.5) B(8; 20, 0.5) Ambas son más grandes que las probabilidades de error correspondientes y para la región R 8. En retrospectiva, no es sorprendente; se calcula sumando las probabilidades de los valores estadísticos de prueba en la región de rechazo, en tanto que es la probabilidad de que X quede en el complemento de la región de rechazo. Al hacerse más pequeña la región de rechazo debe reducirse al mismo tiempo que se incrementa con cualquier valor alternativo fijo del parámetro. El uso del valor de corte c 70.8 en el ejemplo de secado de la pintura dio por resultado un valor de muy pequeño (0.01) pero grande. Considere el mismo experimento y pruebe el estadístico de prueba X con la nueva región de rechazo x 72. Como X sigue siendo normalmente distribuida con valor medio X y X 1.8, P(H 0 es rechazada cuando es verdadera) P(X 72 cuando X N(75, )) (1.67) (72) P(H 0 no es rechazada cuando 72) P(X 72 cuando X es una variable aleatoria normal con media de 72 y desviación estándar de 1.8) (0) (70) (67) El cambio del valor de corte agrandó la región de rechazo (incluye más valores de x y el resultado es una reducción de por cada fija menor que 75. Sin embargo, en esta nueva región se ha incrementado desde el valor previo 0.01 hasta aproximadamente Si una probabilidad de error de tipo I así de grande puede ser tolerada, se prefiere la segunda región (c 72) a la primera (c 70.8) debido a las más pequeñas. Los resultados de estos ejemplos pueden ser generalizados de la siguiente manera.

9 292 CAPÍTULO 8 Pruebas de hipótesis basadas en una sola muestra PROPOSICIÓN Supóngase que un experimento y un tamaño de muestra están fijos y que se selecciona un estadístico de prueba. Entonces si se reduce el tamaño de la región de rechazo para obtener un valor más pequeño de se obtiene un valor más grande de con cualquier valor de parámetro particular compatible con H a. Esta proposición expresa que una vez que el estadístico de prueba y n están fijos, no existe una región de rechazo que haga que al mismo tiempo y sean pequeños. Se debe seleccionar una región para establecer un compromiso entre y. Debido a las indicaciones sugeridas para especificar H 0 y H a, casi siempre un error de tipo I es más serio que uno de tipo II (esto en general se puede lograr mediante la selección apropiada de las hipótesis). El método seguido por la mayoría de los practicantes de la estadística es especificar el valor más grande de que pueda ser tolerado y encontrar una región de rechazo que tenga valor de en lugar de cualquier otro más pequeño. Esto hace a tan pequeño como sea posible sujeto al límite en. El valor resultante de a menudo se conoce como nivel de significación de la prueba. Niveles tradicionales de significación son 0.10, 0.05 y 0.01, aunque el nivel en cualquier problema particular dependerá de la seriedad de un error de tipo I: mientras más serio es este error, más pequeño deberá ser el nivel de significación. El procedimiento de prueba correspondiente se llama prueba de nivel (p. ej., prueba de nivel 0.05 o prueba de nivel 0.01). Una prueba con nivel de significación es una donde la probabilidad de error de tipo I se controla al nivel especificado. Ejemplo 8.5 Considere la situación previamente mencionada en la cual era el contenido de nicotina promedio verdadero de los cigarrillos marca B. El objetivo es probar H 0 : 1.5 contra H a : 1.5 con base en una muestra aleatoria X 1, X 2,..., X 32 de contenido de nicotina. Suponga que se sabe que la distribución del contenido de nicotina es normal con Entonces X está normalmente distribuida con valor medio X y desviación estándar X 0.20/ En lugar de utilizar X como estadístico de prueba, se estandariza X suponiendo que H 0 es verdadera. X 1.5 X 1.5 Estadístico de prueba: Z /n Z expresa la distancia entre X y su valor esperado cuando H 0 es verdadera como algún número de desviaciones estándar. Por ejemplo, z 3 resulta de una x que es 3 desviaciones estándar más grande de lo que se habría esperado si H 0 fuera verdadera. Rechazar H 0 cuando x excede considerablemente de 1.5 equivale a rechazar H 0 cuando z excede considerablemente de cero. Es decir, la forma de la región de rechazo es z c. Determínese ahora c de modo que Cuando H 0 es verdadera, Z tiene una distribución estándar normal. Por consiguiente P(error de tipo I) P(rechazar H 0 cuando H 0 es verdadera) P(Z c cuando Z N(0, 1)) El valor de c debe capturar el área de la cola superior 0.05 bajo la curva z. O de la sección 4.3 o directamente de la tabla A.3, c z Obsérvese que z equivale a x 1.5 (0.0354)(1.645), es decir, x Entonces es la probabilidad de que X 1.56 y puede ser calculada con cualquier mayor que 1.5.

10 8.1 Hipótesis y procedimientos de prueba 293 EJERCICIOS Sección 8.1 (1-14) 1. Por cada una de las siguientes aseveraciones, exprese si es una hipótesis estadística legítima y por qué: a. H: 100 b. H: x ~ 45 c. H: s 0.20 d. H: 1 / 2 1 e. H: X Y 5 f. H: 0.01 donde es el parámetro de una distribución exponencial utilizada para modelar la vida útil de un componente. 2. Para los siguientes pares de aseveraciones, indique cuáles no satisfacen las reglas de establecer hipótesis y por qué (los subíndices 1 y 2 diferencian las cantidades de dos poblaciones o muestras diferentes). a. H 0 : 100, H a : 100 b. H 0 : 20, H a : 20 c. H 0 : p 0.25, H a : p 0.25 d. H 0 : , H a : e. H 0 : S 2 1 S 2 2, H a : S 2 1 S 2 2 f. H 0 : 120, H a : 150 g. H 0 : 1 / 2 1, H a : 1 / 2 1 h. H 0 : p 1 p 2 0.1, H a : p 1 p Para determinar si las soldaduras de las tuberías en una planta de energía nuclear satisfacen las especificaciones, se selecciona una muestra aleatoria de soldaduras y se realizan pruebas en cada una de las soldaduras. La resistencia de la soldadura se mide como la fuerza requerida para romperla. Suponga que las especificaciones indican que la resistencia media de las soldaduras deberá exceder de 100 lb/pulg 2 ; el equipo de inspección decide probar H 0 : 100 contra H a : 100. Explique por qué podría ser preferible utilizar esta H a en lugar de Sea el nivel de radioactividad promedio verdadero (picocuries por litro). Se considera que el valor 5 pci/l es la línea divisoria entre agua segura e insegura. Recomendaría probar H 0 : 5 contra H a : 5 o H 0 : 5 contra H a : 5? Explique su razonamiento. [Sugerencia: Piense en las consecuencias de un error de tipo I o de un error de tipo II con cada posibilidad.] 5. Antes de aprobar un gran pedido de fundas de polietileno para un tipo particular de cable de energía submarino relleno de aceite a alta presión, una compañía desea contar con evidencia conclusiva de la desviación estándar verdadera del espesor de la funda es de menos de 0.05 mm. Qué hipótesis deberán ser probadas y por qué? En este contexto, Cuáles son los errores de tipo I y II? 6. Muchas casas viejas cuentan con sistemas eléctricos que utilizan fusibles en lugar de cortacircuitos. Un fabricante de fusibles de 40 amp desea asegurarse de que el amperaje medio al cual se queman sus fusibles es en realidad de 40. Si el amperaje medio es menor que 40, los clientes se quejarán porque los fusibles tienen que ser reemplazados con demasiada frecuencia. Si el amperaje medio es de más de 40, el fabricante podría ser responsable de los daños que sufra un sistema eléctrico a causa del funcionamiento defectuoso de los fusibles. Para verificar el amperaje de los fusibles, se selecciona e inspecciona una muestra de fusibles. Si tuviera que realizarse una prueba de hipótesis con los datos resultantes, Qué hipótesis nula y alternativa sería de interés para el fabricante? Describa los errores de tipo I y II en el contexto de este problema. 7. Se toman muestras de agua utilizada para enfriamiento al momento de ser descargada por una planta de energía en un río. Se ha determinado que en tanto la temperatura media del agua descargada sea cuando mucho de 150 F, no habrá efectos negativos en el ecosistema del río. Para investigar si la planta cumple con los reglamentos que prohíben una temperatura media por encima de 150 del agua de descarga, se tomarán al azar 50 muestras de agua y se registrará la temperatura de cada muestra. Los datos resultantes se utilizarán para probar la hipótesis H 0 : 150 contra H a : 150. En el contexto de esta situación, describa los errores de tipo I y tipo II. Qué tipo de error consideraría más serio? Explique. 8. Un tipo regular de laminado está siendo utilizado por un fabricante de tarjetas de circuito. Un laminado especial ha sido desarrollado para reducir el alabeo. El laminado regular será utilizado en una muestra de especímenes y el laminado especial en otra muestra y se determinará entonces la cantidad de alabeo en cada espécimen. El fabricante cambiará entonces al laminado especial sólo si puede demostrar que la cantidad de alabeo promedio verdadera de dicho laminado es menor que la del laminado regular. Formule las hipótesis pertinentes y describa los errores de tipo I y de tipo II en el contexto de esta situación. 9. Dos compañías diferentes han solicitado proporcionar el servicio de televisión por cable en una cierta región. Sea p la proporción de todos los suscriptores potenciales que favorecen a la primera compañía sobre la segunda. Considere probar H 0 : p 0.5 contra H a : p 0.5 basado en una muestra aleatoria de 25 individuos. Sea X el número en la muestra que favorece a la primera compañía y x el valor observado de X. a. Cuál de las siguientes regiones de rechazo es más apropiada y por qué? R 1 {x: x 7 o x 18}, R 2 {x: x 8}, R 3 {x: x 17} b. En el contexto de este problema, describa cuáles son los errores de tipo I y de tipo II. c. Cuál es la distribución de probabilidad del estadístico de prueba X cuando H 0 es verdadera? Úsela para calcular la probabilidad de un error de tipo I. d. Calcule la probabilidad de un error de tipo II en la región seleccionada cuando p 0.3, otra vez cuando p 0.4 y también con p 0.6 y p 0.7. e. Utilizando la región seleccionada, qué concluiría si 6 de los 25 individuos encuestados favorecen a la compañía 1? 10. Una mezcla de cenizas combustibles pulverizadas y cemento Portland utilizada para rellenar con lechada deberá tener una resistencia a la compresión de más de 1300 KN/m 2. La mezcla no será utilizada a menos que la evidencia experimental indique concluyentemente que la especificación de resistencia ha sido satisfecha. Suponga que la resistencia a la compresión de especímenes de esta muestra está normalmente distribuida con 60. Sea la resistencia a la compresión promedio verdadera.

11 294 CAPÍTULO 8 Pruebas de hipótesis basadas en una sola muestra a. Cuáles son las hipótesis nula y alternativa apropiadas? b. Sea X la resistencia a la compresión promedio muestral de n 20 especímenes seleccionados al azar. Considere el procedimiento de prueba con estadístico de prueba X y región de rechazo x Cuál es la distribución de probabilidad del estadístico cuando H 0 es verdadera? Cuál es la probabilidad de un error de tipo I para el procedimiento de prueba? c. Cuál es la distribución de probabilidad del estadístico de prueba cuando 1350? Utilizando el procedimiento de prueba de la parte (b), cuál es la probabilidad de que la mezcla será juzgada insatisfactoria cuando en realidad 1350 (un error de tipo II)? d. Cómo cambiaría el procedimiento de prueba de la parte (b) para obtener una prueba con nivel de significación de 0.05? Qué impacto tendría este cambio en la probabilidad de error de la parte (c)? e. Considere el estadístico de prueba estandarizado Z (X 1300)/(/n) (X 1300)/ Cuáles son los valores de Z correspondientes a la región de rechazo de la parte (b)? 11. La calibración de una báscula tiene que ser verificada pesando 25 veces un espécimen de prueba de 10 kg. Suponga que los resultados de diferentes pesadas son independientes entre sí y que el peso en cada ensayo está normalmente distribuido con kg. Sea la lectura de peso promedio verdadero en la báscula. a. Qué hipótesis deberá poner a prueba? b. Suponga que la báscula tiene que ser recalibrada si o x o x Cuál es la probabilidad de que se realice la recalibración cuando en realidad no es necesaria? c. Cuál es la posibilidad de que la recalibración sea considerada innecesaria cuando en realidad 10.1? Cuándo 9.8? d. Sea z (x 10)/(/n). Con qué valor de c la región de rechazo de la parte (b) equivale a la región de dos colas o z cozc? e. Si el tamaño de muestra fue de sólo 10 y no de 25, cómo modificaría el procedimiento de la parte (d) de modo que 0.05? f. Utilizando la prueba de la parte (e), qué concluiría basado en los siguientes datos muestrales: g. Exprese de nuevo el procedimiento de prueba de la parte (b) en función del estadístico de prueba estandarizado Z (X 10)/(/n). 12. Un nuevo diseño del sistema de frenos de un cierto tipo de carro ha sido propuesto. Para el sistema actual, se sabe que la distancia de frenado promedio verdadera a 40 mph en condiciones específicas es de 120 pies. Se propone que el nuevo diseño sea implementado sólo si los datos muestrales indican fuertemente una reducción de la distancia de frenado promedio verdadera del nuevo diseño. a. Defina el parámetro de interés y formule las hipótesis pertinentes. b. Suponga que la distancia de frenado del nuevo sistema está normalmente distribuido con 10. Sea X la distancia de frenado promedio de una muestra de 36 observaciones. Cuáles de las siguientes regiones de rechazo es apropiada: R 1 {x : x }, R 2 {x : x }, R 3 ={x :ox o x }? c. Cuál es el nivel de significación de la región apropiada de la parte (b)? Cómo cambiaría la región para obtener una prueba con 0.001? d. Cuál es la probabilidad de que el nuevo diseño no sea implementado cuando la distancia de frenado promedio verdadera sea en realidad de 115 pies y la región apropiada de la parte (b) sea utilizada? e. Sea Z (X 120)/(/n). Cuál es el nivel de significación de la región de rechazo {z: z 2.33}? Para la región {z: z 2.88}? 13. Sean X 1,..., X n una muestra aleatoria de una distribución de población normal con un valor conocido de. a. Para probar las hipótesis H 0 : 0, contra H a : 0 (donde 0 es un número fijo), demuestre que la prueba con el estadístico X y región de rechazo x /n tiene un nivel de significación de b. Suponga que se utiliza el procedimiento de la parte (a) para probar H 0 : 0 contra H a : 0. Si 0 100, n 25 y 5, cuál es la probabilidad de cometer un error de tipo I cuando 99? Cuándo 98? En general, qué se puede decir sobre la probabilidad de un error de tipo I cuando el valor real de es menor que 0? Verifique su aseveración. 14. Reconsidere la situación del ejercicio 11 y suponga que la región de rechazo es {x : x o x } {z: z 2.51 o z 2.65}. a. Cuál es para este procedimiento? b. Cuál es cuando 10.1? Cuándo 9.9? Es ésta deseable? 8.2 Pruebas sobre una media de población La discusión general en el capítulo 7 de intervalos de confianza para una media de población se enfocó en tres casos diferentes. A continuación se desarrollan procedimientos para estos mismos tres casos. Caso I: Una población normal con conocida Aun cuando la suposición de que el valor de es conocido rara vez se cumple en la práctica, este caso proporciona un buen punto de partida debido a la facilidad con que los

12 procedimientos generales y sus propiedades pueden ser desarrollados. La hipótesis nula en los tres casos propondrá que tiene un valor numérico particular, el valor nulo, el cual será denotado por 0. Sean X 1,..., X n una muestra aleatoria de tamaño n de la población normal. Entonces la media muestral X tiene una distribución normal con valor esperado X y desviación estándar X /n. Cuando H 0 es verdadera X 0. Considérese ahora el estadístico Z obtenido estandarizando X de conformidad con la suposición de que H 0 es verdadera: Z X 0 /n 8.2 Pruebas sobre una media de población 295 Al sustituir la media muestral calculada x se obtiene z, la distancia entre x y 0 expresada en unidades de desviación estándar. Por ejemplo, si la hipótesis nula es H 0 : 100, X /n 10/ y x 103, entonces el valor estadístico de prueba es z ( )/ Es decir, el valor observado de x es 1.5 desviaciones estándar (de X) más grande de lo que se espera sea cuando H 0 es verdadera. El estadístico Z es una medida natural de la distancia X, el estimador de y su valor esperado cuando H 0 es verdadera. Si esta distancia es demasiado grande en una dirección consistente con H a, la hipótesis nula deberá ser rechazada. Supóngase primero que la hipótesis alternativa tiene la forma H a : 0. Entonces un valor de x menor que 0 indudablemente no apoya a H a. Tal x corresponde a un valor negativo de z (puesto que x 0 es negativa y el divisor de /n es positivo). Del mismo modo, un valor de x que exceda de 0 por sólo una pequeña cantidad (correspondiente a z la cual es positiva aunque pequeña) no sugiere que H 0 deberá ser rechazada a favor de H a. El rechazo de H 0 es apropiado sólo cuando x excede considerablemente de 0, es decir, cuando el valor de z es positivo y grande. En suma, la región de rechazo apropiada basada en el estadístico de prueba Z en lugar de X tiene la forma z c. Como se discutió en la sección 8.1, el valor de corte c deberá ser elegido para controlar la probabilidad de un error de tipo I al nivel deseado. Esto es fácil de lograr porque la distribución del estadístico de prueba Z cuando H 0 es verdadera es la distribución normal estándar (es por eso que 0 se restó al estandarizar). El valor c de corte requerido es el valor crítico z que captura el área de la cola superior bajo la curva z. Como ejemplo, sea c 1.645, el valor que captura el área de cola 0.05 (z ). Entonces, P(error de tipo I) P(H 0 es rechazada cuando H 0 es verdadera) P(Z cuando Z N(0, 1)) 1 (1.645) 0.05 Más generalmente, la región de rechazo z z tiene un probabilidad de error de tipo I. El procedimiento de prueba es de cola superior porque la región de rechazo se compone de sólo valores grandes del estadístico de prueba. Un razonamiento análogo para la hipótesis alternativa H a : 0 sugiere una región de rechazo de la forma z c, donde c es un número negativo adecuadamente seleccionado (x aparece muy debajo de 0 si y sólo si z es bastante negativo). Como Z tiene una distribución normal estándar cuando H 0 es verdadera, con c z da P(error de tipo I). Esta es una prueba de cola inferior. Por ejemplo, z implica que la región de rechazo z 1.28 especifica una prueba con nivel de significación de Por último, cuando la hipótesis alternativa es H a : 0, H 0 deberá ser rechazada si x está muy lejos a ambos lados de 0. Esto equivale a rechazar H 0 si z c o si z c. Supóngase que se desea Entonces, 0.05 P(Z c o Z c cuando Z tiene una distribución normal estándar) (c) 1 (c) 2[1 (c)] Por consiguiente c es tal que 1 (c), el área bajo la curva z a la derecha de c, es ( y no 0.05!). De acuerdo con la sección 4.3 o la tabla A.3, c 1.96 y la región de rechazo

13 296 CAPÍTULO 8 Pruebas de hipótesis basadas en una sola muestra z 1.96 oz1.96. Con cualquier, la región de rechazo de dos colas z z /2 o z z /2 tiene una probabilidad de error de tipo I (puesto que el área /2 está capturada debajo de cada una de las dos colas de la curva z). De nueva cuenta, la razón clave para utilizar el estadístico de prueba estandarizado Z es que como Z tiene una distribución conocida cuando H 0 es verdadera (estándar normal), es fácil de obtener una región de rechazo con probabilidad de error de tipo I mediante un valor crítico apropiado. El procedimiento de prueba en el caso I se resume en el cuadro adjunto y las regiones de rechazo correspondientes se ilustran en la figura 8.2. Hipótesis nula: H 0 : 0 Valor del estadístico de prueba: z x 0 /n Hipótesis alternativa Región de rechazo para la prueba de nivel H a : 0 z z (prueba de cola superior) H a : 0 z z (prueba de cola inferior) H a : 0 o z z /2 o z z /2 (prueba de dos colas) Curva z (distribución de probabilidad del estadístico de prueba Z cuando H 0 es verdadera) Área total sombreada P(error de tipo I) Área sombreada P(error de tipo I) Área sombreada /2 Área sombreada /2 z 0 z 0 z /2 0 z /2 Región de rechazo: z z Región de rechazo: Región de rechazo: z z z z /2 o z z/2 a) b) c) Figura 8.2 Regiones de rechazo para pruebas z: a) prueba de cola superior; b) prueba de cola inferior; c) prueba de dos colas. Se recomienda utilizar la siguiente secuencia de pasos cuando se prueben hipótesis con respecto a un parámetro. 1. Identificar el parámetro de interés y describirlo en el contexto de la situación del problema. 2. Determinar el valor nulo y formular la hipótesis nula. 3. Formular la hipótesis alternativa apropiada. 4. Dar la fórmula para el valor calculado del estadístico de prueba (sustituyendo el valor nulo y los valores conocidos de cualquier otro parámetro, pero no aquellos de cualquier cantidad basada en una muestra).

14 8.2 Pruebas sobre una media de población Establecer la región de rechazo para el nivel de significación seleccionado. 6. Calcular cualquier cantidad muestral necesaria, sustituir en la fórmula para el estadístico de prueba y calcular dicho valor. 7. Decidir si H 0 debe ser rechazada y expresar esta conclusión en el contexto del problema. La formulación de hipótesis (pasos 2 y 3) deberá ser realizada antes de examinar los datos. Ejemplo 8.6 Un fabricante de sistemas rociadores utilizados como protección contra incendios en edificios de oficinas afirma que la temperatura de activación del sistema promedio verdadera es de 130. Una muestra de n 9 sistemas, cuando se somete a prueba, da una temperatura de activación promedio muestral de F. Si la distribución de los tiempos de activación es normal con desviación estándar de 1.5 F, contradicen los datos la afirmación del fabricante a un nivel de significación 0.01? 1. Parámetro de interés: temperatura de activación promedio verdadera. 2. Hipótesis nula: H 0 : 130 (valor nulo 0 130). 3. Hipótesis alternativa: H a : 130 (un alejamiento del valor declarado en una u otra dirección es de interés). 4. Valor de estadístico de prueba: z x 0 /n x /n 5. Región de rechazo: La forma de H a implica el uso de una prueba de dos colas con región de rechazo o de z z ozz De acuerdo con la sección 4.3 o la tabla A.3. z , así que se rechazaría H 0 si z 2.58 o z Sustituyendo n 9 y x , z /9 0.5 Es decir, la media muestral observada es de un poco más de 2 desviaciones estándar sobre el valor que era de esperarse si H 0 fuera verdadera. 7. El valor calculado z 2.16 no queda en la región de rechazo ( ), así que H 0 no puede ser rechazada al nivel de significación de Los datos no apoyan fuertemente la afirmación de que el promedio verdadero difiere del valor de diseño de 130. y determinación del tamaño muestral Las pruebas z para el caso 1 se encuentran entre las pocas en estadística para las cuales existen fórmulas simples para, la probabilidad de un error de tipo II. Considérese en primer lugar la prueba de cola superior con región de rechazo z z. Esta equivale a x 0 z /n, por lo que H 0 no será rechazada si x 0 z /n. Si ahora denota un valor particular de que exceda el valor nulo 0. Entonces, () P(H 0 es no rechazada cuando ) P(X 0 z /n cuando ) P X z 0 /n /n z 0 /n cuando

15 298 CAPÍTULO 8 Pruebas de hipótesis basadas en una sola muestra Conforme se incrementa 0 se vuelve más negativa, de modo que () será pequeña cuando excede 0 en gran medida (porque el valor con el que se evalúa será entonces bastante negativo). Las probabilidades de error para las pruebas de cola inferior y de dos colas se derivan de manera análoga. Si es grande, la probabilidad de un error de tipo II puede ser grande con un valor alternativo de que sea de interés particular para un investigador. Supóngase que se fija y que también se especifica para semejante valor alternativo. En el ejemplo de los sistemas rociadores, los oficiales de la compañía podrían considerar 132 como un alejamiento muy sustancial de H 0 : 130 y desear por consiguiente (132) 0.10 además de Más generalmente, considérense las dos restricciones P(error de tipo I) y () para, y especificadas. Entonces para una prueba de cola superior, el tamaño de muestra n debe ser elegido para satisfacer Esto implica que z z 0 /n valor z crítico que captura el área de cola inferior z 0 /n Es fácil resolver esta ecuación para el tamaño de muestra n deseado. Un argumento paralelo da el tamaño de muestra necesario para las pruebas de cola inferior y de dos colas como se resume en el siguiente cuadro. Hipótesis alternativa Probabilidad de error de tipo II () para una prueba de nivel H a : 0 z 0 / n H a : 0 1 z 0 / n H a : 0 z /2 0 / n z /2 0 / n donde (z) función de distribución acumulativa normal estándar. El tamaño de muestra n con el cual una prueba de nivel también tiene () con el valor alternativo es n (z z ) 2 0 (z /2 z ) 0 para una prueba de una cola (superior o inferior) 2 para una prueba de dos colas (una solución aproximada) Ejemplo 8.7 Sea la vida promedio verdadera de la banda de rodamiento de un cierto tipo de llanta. Considere poner a prueba H 0 : contra H a : basado en un tamaño de muestra n 16 de una distribución de población normal con Una prueba con 0.01 requiere z z La probabilidad de cometer un error de tipo II cuando es (31 000) /16 (0.34)

16 Como z , el requerimiento de que el nivel de prueba 0.01 también tenga (31 000) 0.1 necesita 1500( ) 2 n (5.42) El tamaño de muestra debe ser un entero, por lo tanto se deberán utilizar n 30 llantas. Caso II: Pruebas con muestras grandes Cuando el tamaño de muestra es grande, la pruebas z en el caso I son fáciles de modificar para dar procedimientos de prueba válidos sin requerir una distribución de población normal o conocida. El resultado clave se utilizó en el capítulo 7 para justificar intervalos de confianza para muestra grande: Un tamaño de muestra grande n implica que la variable estandarizada Z X S/n 8.2 Pruebas sobre una media de población 299 tiene aproximadamente una distribución normal estándar. La sustitución del valor nulo 0 en lugar de da el estadístico de prueba Z X 0 S/n la que tiene aproximadamente una distribución normal estándar cuando H 0 es verdadera. El uso de las regiones de rechazo dadas previamente para el caso I (p. ej., z z cuando la hipótesis alternativa es H a : 0 ) produce entonces procedimientos de prueba con los cuales el nivel de significación es aproximadamente (y no exactamente). Se utilizará de nuevo la regla empírica n 40 para caracterizar un tamaño de muestra grande. Ejemplo 8.8 Se utiliza un penetrómetro cónico dinámico (DCP, por sus siglas en inglés) para medir la resistencia de un material a la penetración (mm/golpe), a medida que el cono es insertado en pavimento o subrasante. Suponga que para una aplicación particular, se requiere que el valor penetración cónica dinámica promedio verdadera para un cierto tipo de pavimento sea menor que 30. El pavimento no será utilizado a menos que exista evidencia concluyente de que la especificación fue satisfecha. Formule y pruebe las hipótesis apropiadas utilizando los datos siguientes ( Probabilistic Model for the Analysis of Dynamic Cone Penetrometer Test Values in Pavement Structure Evaluation, J. of Testing and Evaluation, 1999: 7-14: La figura 8.3 muestra un resumen descriptivo obtenido con MINITAB. La penetración cónica dinámica media muestral es menor que 30. Sin embargo, existe una cantidad sustancial de variación en los datos (coeficiente de variación muestral s/x ), de modo que la media sea menor que el valor de corte de la especificación de diseño puede ser una consecuencia simplemente de la variabilidad muestral. Obsérvese que el histograma no se asemeja en absoluto a una curva normal (y una curva de probabilidad normal no exhibe un patrón lineal), aunque las pruebas z con muestras grandes no requieren una distribución de población normal.