Capítulo 8. Estructura electrónica de moléculas diatómicas

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Capítulo 8. Estructura electrónica de moléculas diatómicas"

Transcripción

1 Cpítulo 8. Estuctu lctónic d moléculs ditómics Apoximción d Bon-Oppnhim Suponindo qu los núclos y lctons posn mss puntuls y dspcindo ls intccs spin-óit y ots considcs ltivists, l hmiltonino d un sistm d N núclos y n lctons s: Ĥ Tˆ Tˆ V Vˆ Vˆ [8.] N N NN Tˆ N N - h A Tˆ - h M m A A n i i N n n N Z A Z Vˆ N - Vˆ Vˆ NN A i Ai i j> i ij A B> A M. Bon y J.. Oppnhim popus tt spdmnt los movimintos nucls y lctónicos. Y qu los lctons s muvn mucho más ápidos qu los núclos, s pud consid qu los núclos pmncn fijos mints los lctons s muvn nt llos. El pim témino d l cución [8.] s nul y l último tom un vlo constnt. L cución d Schöding s pud scii como: ( Ĥ V l Ψ E Ψ [8.] NN El hmiltonino lctónico ( Ĥ l nglo los téminos, 3 y 4 d l cución [8.]. V NN spcific l pulsión nt núclos qu, como s h dicho ntiomnt, s contnt. L función d ond s pudn dsglos como poducto d funcs: Ψ (, A Ψ l (, A Ψ N ( A [8.3] Ψ l ( i, A s l función d ond lctónic qu dsci l moviminto d los lctons p un dtmind posición d los núclos. Ψ N ( A s l función d ond nucl qu dpnd sólo d ls coodnds nucls y qu s constnt si s supon qu los núclos stán fijos. ( Ĥ Vˆ Ψ Ĥ l NN Ψl ΨN E Ψl N Ψ N Ĥ l Ψl ΨN NN Ψl E Ψl ΨN l Ψ (E - Vˆ Ψ E Ψ [8.4] l NN l l l Vˆ A Z B AB Cpítulo 8. Moléculs Ditómics

2 P otn ls cuvs ngí-distnci s supon un configución fij d los núclos y s sulv l cución d Schöding. S pit l pocso ps difnts distncis intnucls. L ngí lctónic s utiliz como ngí potncil dl moviminto d los núclos. E(V st. xcit. Fig. 8.. Cuvs d ngí O. ntinlznt lctónic d los pimos stdos D O. nlznt lctónicos d l molécul d 3 (Å Ecución d Schöding p los nuclos: Ĥ N Ψ E Ψ [4.5] N N E s l ngí totl d l molécul (incluy l ngí lctónic y nucl. Molécul d hidógno L molécul más sncill qu pud xisti s l molécul d hidógno Fig. 8.. Molécul d El hmiltonino s: θ z O - h - - [8.6] m El sistm no tin simtí sféic (no s un sistm d fuzs cntls po lo qu Ĥ y Lˆ no conmutn. Ĥ y z Lˆ conmutn. Tinn conjunto d funcs popis comuns. Cpítulo 8. Moléculs Ditómics

3 Cmindo coodnds líptics confocls pudn nconts ls solucións xcts d l cución difncil ψ E ψ Coodnds líptics confocls: ξ η Cd nivl d ngí stá dolmnt dgndo (xcpto p m0 (Ef(m El nom d ls funcs d ond (oitls molculs dpnd dl vlo d m λ l númo cuántico dl qu dpnd L (y no xist l. z λ oitl σ π δ ϕ γ.997 ohs.06 Å D 0.06 ht.79 V 64.4 kcl/mol 3 Métodos poximdos Existn dos métodos poximdos p solv l cución d Schöding d un sistm molcul: Oitls Molculs(OM: S tt l molécul como si fu un átomo. S fijn los núclos y s sulv l cución d Schöding d un fom poximd. Los lctons s colocn n los oitls molculs otnidos (dsloclizdos tod l molécul Enlcs d Vlnci (EV: S pt d los átomos spdos. S vn ccndo y s considn ls intccs qu s fomn. Compción d los métodos: Amos métodos conducn sultdos simils. OM s más iguoso y sncillo, po conduc xpss mtmátics compljs. EV s más intuitivo y pmit simplific los cálculos mdint conocimintos químicos. Cpítulo 8. Moléculs Ditómics 3

4 Amos métodos sulvn l cución d Schöding d fom poximd, mplndo l método vicl. 4 Molécul d hidógno po Oitls Molculs y qu solv l cución d Schöding dl sistm: h - m - - Ψ E Ψ [8.7] L cución s sulv utilizndo l método vicl. L función vicl d pu s otin como cominción linl d oitls tómicos (poximción CLOA 4. Estdo fundmntl 4.. Cálculo d l ngí P l stdo fundmntl l función pud s: ϕ c Ψ s c Ψ s c s c s [8.8] ϕ * Ĥϕ dτ W E ϕ * ϕ dτ Ĥ (c s cc s c Ĥ s c Ĥ s ϕ * Ĥ ϕ c s Ĥ s c c s Ĥ s c c s Ĥ s c s Ĥ s * s Ĥs dτ Intgl d Coulom * s Ĥs dτ Intgl d nlc o sonnci ϕ * ϕ dτ c s s dτ c c s s dτ c s s s s dτs s dτ s s dτs (Intgl d Solpminto c c c c [8.9] c c c S c W dτ W y qu minimiz W con spcto c y c : 0 c Cpítulo 8. Moléculs Ditómics 4 W y 0 c

5 W c (c c (c c c S (c c c (c c S c c S (c c c c 0 W c (c c (c c (c c S c c S W 0 Ecucs sculs: c ( W c ( WS 0 c ( WS c ( W 0 W WS Dtminnt scul: 0 WS W [8.0] [8.] ( W ± ( WS W ( WS ( W S W [8.] S y qu clcul los vlos d y h s s dτ m h s - - s m dτ E 0 (E o. s dl átomo d hidógno s - s dτ K (ngí d tcción pomdio dl núclo y l lctón, dscito po s s s dτ (pulsión nt núclos E0 K [8.3] h s s dτ m h s - - s m dτ E 0 S Cpítulo 8. Moléculs Ditómics 5

6 s - s dτ J (intgl d cnj (J<0, dpnd dl solpminto nt los dos O.A. J no tin intptción clásic, sug dl hcho d qu l lctón pud st dscito po s o po s s s dτ S (E0 S J [8.4] Al sustitui [8.3] y [8.4] n W y W W W K J E0 W OM nlznt S K J E0 W OM ntinlznt S [8.5] 3 Fig Nivls ngéticos d W y W - (pulsión E 0 W W - nt núclos K J <0 S K J 3 <0 S Z Z S Z 3 Cpítulo 8. Moléculs Ditómics 6

7 Figu 8.4. psntción d l intgl d solpminto p dos oitls s hidognoids S tin un vlo pquño ± S J K Z ( Z / 0 J K 0,74 ( 0 /-0,7 0,4 ( 0 /-0,07 4 0,09 ( 0 /-4, ,074 ( 0 /-7,.0-6 Fig Cuv d ngí potncil-distnci d l molécul K, W K J E0 W S W E 0 J W E 0 J Cpítulo 8. Moléculs Ditómics 7

8 4.. Oitls Molculs Al sustitui W y W - n ls cucs sculs s pudn clcul los coficints d l cominción linl d cd OM. P l OM nlznt, s otin: c c S 0 S S c S c S S S S c ( S c ( S c ( S c ( S 0 c c ϕ c (s s [8.6] L constnt c s clcul nomlizndo l OM. ( s dτ s s dτ s dτ c ( S c (s s dτ c c ( S P l OM ntinlznt s otndí po un pocso nálogo: c - c ϕ- c (s - s [8.7] S 0 c ( S ϕ s s s -s ϕ - ( ϕ ( ϕ - Fig Oitls nlznt y ntinlznt d l molécul d Cpítulo 8. Moléculs Ditómics 8

9 Nom: λ 0 σ ϕ(gd, simético con spcto l invsión σ g s ϕ-(ungd, ntisimético con spcto l invsión σ u s 4..3 sultdos y finmintos sultdos Si s sustituyn n ls cucs ntios ls funcs s s Z π 3 / Z / (Z s Z π 3 / Z / (Z S otin:.45 ohs D.78 V (.00 vlo xpimntl (.79 vlo xpimntl finminto. Cg fctiv (ζ El lctón s ncunt somtido un cg nucl supio Z. s ζ π 3 / ζ / s ζ π 3 / ζ / L cg fctiv s un pámto vicl y s clcul: E 0 ζ Los sultdos otnidos son:.0 ohs D.35 V ζ.4 c º finminto. Polizción d los OA L psnci ccn dl núclo poliz los oitls dl átomo, y vicvs. Los OA sán: ϕ s λ(p z ϕ s λ(p z L función vicl d pu sá: ϕ c ϕ c ϕ s 3 / 5 / ζ s ζs / ζ p ζ p / (p z cosθ π 4 π Los sultdos son: Cpítulo 8. Moléculs Ditómics 9.0 ohs D.73 V ζ s.46

10 ζ p.965 λ 0.38 P mjo los sultdos hí qu mpl funcs vicls más compljs. 4. Estdos xcitdos Cundo l disocis l molécul otnmos (s, s tom p l función d ond d pu vicl: ϕ c s c s El ttminto s nálogo l stdo fundmntl. W ; c c ϕ c (s s OM nlznt [8.8] c (dond S ( S s s dπ W - ; c - c ϕ- c (s - s OM ntinlznt [8.9] c ( S y son como n [8.3] y [8.4]. E 0 s ho l ngí dl OA hidognoid s. En los nuvos oitls: m 0 ; λ 0 σ ϕ (gd σ g s ϕ- (ungd σ u * s En los siguints stdos xcitdos sólo s cominn los qu tngn igul simtí. (p 0 con (p 0, (p x con (p x y (p y con (p y. - - σ u * p z - - (p z (p z Fig Intcción d oitls p z - - σ g p Cpítulo 8. Moléculs Ditómics 0

11 En stos oitls: m 0; λ 0 σ ϕ (gd σ g p ϕ- (ungd σ u * p - π * g p - z - - (p x (p x Fig Intcción - d oitls p x π u p x En stos oitls: m ; λ π ϕ (ungd π u p x ϕ- (gd π g * p x Los OM π u p y y π g * p y otnidos po cominción linl d los p y son nálogos los ntios po gidos 90. L cominción linl d OA tipo d, d OM tipo δ. Los OM tipo σ, π y δ tinn spctivmnt 0, y plnos nodls qu continn l j intnucl. L ngí d los OM p s: σ g s<σ u * s<σ g s<σ u * s<π u p x π u p y <σ g p<π g * p x π g * p y <σ u * p Cpítulo 8. Moléculs Ditómics

12 5 Molécul d hidógno po Oitls Molculs Fig Molécul d hidógno El miltonino molcul s: h Ĥ m h m [8.0] L función σ g s(σ g s( s un función vicl cptl. Al s un sistm con dos lctons l función d ond h d s ntisimétic, tin qu s un dtminnt d Slt. L función d ond OM poximd p l stdo fundmntl d l molécul d hidógno s: σ gs( α( σ gs( β( Ψ σ gs σ gs [8.] σ gs( α( σ gs( β( Ecución simil l [5.8] p l átomo d. Los sultdos otnidos son: 0.73 A (0.74 xp D 3.49 V (4.75 xp 6 Oitls Molculs d moléculs ditómics homonucls P ots moléculs ditómics homonucls s sigu l mismo citio qu l fom los átomos, s vn llnndo los OM po odn d ngí, tnindo n cunt qu cd OM pud ptis dos vcs, un p l función d spín α y ot β. En muchos csos l odn ngético d los OM s l mismo qu l otnido n l molécul d hidógno. Ejmplo 8.. Dtmin l configución lctónic dl N y clcul l digm d OM Solución: L molécul d N tin 4 lctons: Cpítulo 8. Moléculs Ditómics

13 (σ g s (σ u * s (σ g s (σ u * s (π u p 4 (σ g p p x p y p z p x p y p z Fig Digm d los oitls molculs d l molécul d nitógno. N s s s s N P l O y l F hy un modificción n l ngí d los OM. Su configución s: O : KK (σ g s (σ u * s (σ g p (π u p 4 (π g * p F : KK (σ g s (σ u * s (σ g p (π u p 4 (π g * p 4 Odn d nlc n lct. nlznts - n lct. ntinlznts [8.] Tl 8.. Configución lctónic d moléculs ditómics. Moléc. Configución O.Enl. D (V (Å Témino (σ g s /.8.06 (σ g s (σ g s (σ * u s / 3.08 (σ g s (σ * u s 0 Li KK(σ g s..67 B KK(σ g s (σ * u s 0 B KK(σ g s (σ * u s (π u p C KK(σ g s (σ * u s (π u p N KK(σ g s (σ * u s (π u p 4 (σ g p 5/ 8.9. N KK(σ g s (σ * u s (π u p 4 (σ g p O KK(σ g s (σ * u s (σ g p (π u p 4 (π * g p 5/ 6.8. Cpítulo 8. Moléculs Ditómics 3 Σ g Σ g Σ u Σ g Σ g Σ g Σ g Σ g Π g?

14 O KK(σ g s (σ * u s (σ g p (π u p 4 (π * g p F KK(σ g s (σ * u s (σ g p (π u p 4 (π * g p Σ g Σ g 7 OM d moléculs ditómics htonucls Al constui los OM como CLOA l poximción más sncill s utiliz solo los OA qu tngn ngís simils y simtí dcud. Tl 8.. Nomncltu d téminos ngéticos Mol. homonucls ton. At. spdos Po simtí σ g s σ g σ σ * g s σ u σ σ g s σ g 3σ σ * g s σ u 4σ π u p π u π σ g 3s 3σ g 5σ π * g p π g π σ * u p 3σ u 6σ Ejmplo 8.. Clcul l configución lctónic d l molécul d CO. Solución: y un gn similitud con l molécul d N (son isolctónics. L cominción d OA s nálog. L molécul no tin cnto d simtí. L molécul psnt 4 lctons, su configución lctónic s: (σ (σ (3σ (4σ (π 4 (5σ Odn d nlc 3 Los nlcs stán polizdos: l contiución d los OA d mos átomos no s l mism. σ c C s C c O s O (c C c O ; CC OO Cpítulo 8. Moléculs Ditómics 4

15 6σ Fig. 8.. π 5σ π Digm d los oitls molculs d l molécul d CO. 4σ 3σ π σ C σ O C - O Ejmplo 8.3. Clcul l configución lctónic d l molécul d F Solución: Los OA s y s dl F tinn mno ngí qu l s dl. El OA p z dl F tin ngí simil l s dl. Los dos tinn m 0. S fom l cominción linl d oitls p z dl F ys dl. L minimizción d l intgl vicl dá dos conjuntos d vlos d los coficints qu poducn los OM nlznts y ntinlznts: 3σ c s c p z 4σ c 3 s c 4 p z Cpítulo 8. Moléculs Ditómics 5

16 4σ s p z p y p x 3σ σ s Fig. 8.. Digm d los oitls molculs d l molécul d F. F σ s F 8 Símolo d los stdos Cd conjunto d OM dgndos fom un sucp molcul. Sucp σ const d OM, dsci lctons Sucp π const d OM, dsci 4 lctons Sucp δ const d OM, dsci 4 lctons Sucp ϕ const d OM, dsci 4 lctons Dd un configución lctónic molcul, son posils difnts stdos d ngí dpndindo dl coplminto d spins y momntos nguls oitls. (coplminto simil l LS Ĥ conmut con Lˆ z y Ŝ z. M s l sum d los m individuls. Λ M Λ 0 3 Nom Σ Π Φ Multiplicidd: S S Témino: Λ M L m l m l σ m l 0; π m l ; M S m s m s S0, M S 0; S/, M S /; S, M S,0 (sg m l 0 m l 0 M L 0 MS/-/0 S0 Σ Cpítulo 8. Moléculs Ditómics 6

17 (σ g (σ u m l 0 m s / m l 0 m s - ½ m l3 0m s3 ½ M L 0, M S ½ (S/ Σ B (σ g (σ u (σ g (σ u (π u (π u. M L 0 M S. M L 0 M S -. M L 0 M S 0. M L 0 M S 0. M L M S 0 M L - M S 0 3 Σ Σ 9 Funcs d ond d SCF, d t-fock El método d t-fock s pud plic moléculs p dtmin su ngí y función d ond, d un mn simil qu átomos polilctónicos. Los oitls d F s dtminn mdint l solución d ls cucs d t-fock: Fˆ ε [8.3] i i i Fˆ s l opdo d t-fock o d Fock. oothn dmostó qu los OM d F pud xpss como cominción d un conjunto complto d funcs llmds funcs d s. Un s complt podí s l fomd po todos los OA d los átomos qu intvinn, ocupdos y no ocupdos. P vi s pud tom un s mínim, fomdo po los OA ocupdos. Los OA qu contiuyn un OM ddo dpnd d ls popidds d simtí dl OM. i s c χ ( [8.4] si s Cpítulo 8. Moléculs Ditómics 7

18 En toí χ s d s un conjunto infinito d funcs. En l páctic s mpl un númo finito d funcs convnintmnt lgids. L cución [4.3] s tnsfom n: Fˆ Σ c si χ s Σ c si Fˆ χ s ε i Σ c si χ s [8.5] Multiplicndo po χ intgndo: s c si ( F s ε i S s 0 (,, 3, [8.6] F s < χ Fˆ χ s > S s < χ χ s > [8.7] L cución d oothn [4.6] indic qu s tinn un conjunto d cucs homogéns. P qu xist un solución distint d co, l dtminnt d oothn d los coficints d s co dt ( F s - ε i S s F s - ε i S s 0 [8.8] Dspués d c todo l pocso ittivo s otinn unos OM qu son un poximción los d F, y qu s h utilizdo un s mínim. El poducto ntisimtizdo d stos OM d l función d ond d cmpo utoconsistnt (SCF. Ejmplo 8.4: Cálculos n s mínim d l molécul d F Solución: Bs mínim p F : Fs, Fs, Fp z Fp x, Fp y y s. L molécul tin diz lctons. Po s zón l función d ond dl stdo fundmntl d l molécul d F s un dtminnt d Slt d 0x0. ( α( ( α( (3 α(3 (4 α(4 (5 α(5 Ψ N (6 α(6 (7 α(7 (8 α(8 (9 α(9 (0 α(0 ( β( ( β( (3 β(3 (4 β(4 (5 β(5 (6 β(6 (7 β(7 (8 β(8 (9 β(9 (0 β(0 ( α( ( β( En notción vid: Ψ ( α( 5 (0 α(0 5 ( β( 5 (0 β(0 5 Cd oitl i s otin como cominción linl d oitls tómicos (poximción CLOA c (s otinn 6 OM s c s c 3 p c 4 p c 5 p c 6 x y z s Cpítulo 8. Moléculs Ditómics 8

19 .000 s F (OA s 0.94 s 0.00 px 0.00 py 0.09 π z 0.5 s (E V (σ s 0.00 px 0.00 py 0.7 pz 0.5 s (E V (σ s.00 px 0.00 py pz 0.00 s (E V (OA s 0.00 px.00 py pz 0.00 s (E V (OA 6 6 (E V (oitl vitul (σ* (OM otnidos mdint l método PM3 A l mzcl d dos o más OA n un mismo átomo s llm hiidción. Estos oitls dsloclizdos tod l molécul son los dnomindos oitls cnónicos, qu son ls solucs d l cución d t-fock [8.3]. Dsd l punto d vist químico pud ints otn unos OM qu pmitn visuliz l fomción d nlcs. En l dtminnt d Slt s pudn sum o st colunms sin qu su vlo s v modificdo. Si s hc s modificción s pudn otn los oitls loclizdos. En l molécul d F los oitls ntuls son:.000 s (OA s pz s (E -.6 V (OM s pz (E V (OA híido. Cpítulo 8. Moléculs Ditómics 9

20 4-0.5 py px (E V (OA híido py px (E V (OA híido Estos oitls loclizdos coincidn con los oitls clásicos fomdos po: OM nlznts loclizdos nt dos átomos OA d cp intn OA d ps d lctons solitios Ejmplo 8.5: Cálculos n s mínim d l molécul d CO. Solución: Bs mínim p CO : Os, Os, Op z Op x, Op y, Cs, Cs, Cp z Cp x, Cp y. L molécul tin 4 lctons. Po s zón l función d ond dl stdo fundmntl d l molécul d F s un dtminnt d Slt d 4x4. En notción vid: Ψ Los oitls cnónicos ocupdos son:.000 sc (OA..000 so (OA sc pxc 0.89 so pxo (E V (OM sc pxc so pxo (E V (OM pyc 0.56 pzc pyo pzo (E V (OM pyc pzc pyo pzo (E V (OM sc pxc 0.04 so 0.48 pxo (E V (OM Ejmplo 8.6: Cálculos n s mínim d l molécul d N. Solución: L molécul tin 4 lctons. Po s zón l función d ond dl stdo fundmntl d l molécul d N s un dtminnt d Slt d 4x4. Los OM cnónicos ocupdos son:.000 sn (OA.000 sn (OA sn pxn sn pxn (E V sn pxn sn pxn (E V pyn pzn 0.7 pyn pzn (E V pyn pzn pyn pzn (E V sn pxn sn pxn (E V Los OM loclizdos son:.000 sn (OA.000 sn (OA sn 0.64 pxn sn 0.64 pxn (E V (OM σ sn 0.47 pxn (E V (OA híido n N sn 0.47 pxn (E V (OA híido n N pyn pzn 0.7 pyn pzn (E V (OM π pyn pzn pyn pzn (E V (OM π Cpítulo 8. Moléculs Ditómics 0

21 0 Molécul d hidógno po Enlcs d Vlnci (EV Cundo los átomos stán spdos: f s (.s ( ó f s (.s ( Función d pu vicl: ϕ c f c f [8.9] Al minimiz l intgl vicl spcto ls constnts s otin un sistm d cucs sculs y un dtminnt scul. L función spcil qu dsci l nlc nt los dos s: ϕ c [s (s (s (s (] [8.30] c S ff dτ ( S Y qu l sistm tin dos lctons, l función d ond totl d s ntisimétic. Es l dnomind función d nlc d itl-london: ϕ c [s (s (s (s (][α(β(-α(β(] [8.3] sultdos: 0.80 Å D 3.0 V L función d itl-london pud psnts como: ϕ L ϕ cov s s ( α( ( α( S s ( β( ( β( s s ( β( ( β( s s ( α( ( α( { s s ss } Tmién s pudn tn n cunt spcis iónics. Ls funcs d ond iónics - son: ϕ s s ( α( ( α( s s ( β( ( β( s s ϕ s s ( α( ( α( s s ( β( ( β( s s L función totl s: ϕ c ϕ c ϕ c ϕ N( ϕ λϕ [8.3] v cov c > c c 3 ( λ cov Cpítulo 8. Moléculs Ditómics

22 Compción d ls dos toís El dsollo d l pt spcil d [8.] conduc, xcptundo l constnt d nomlizción : OM s (s (s (s (s (s (s (s ( l pt spcil d [8.3] s: ϕ L c [s (s (s (s (] y dos téminos d difnci s (s ( s (s ( s (s ( s (s ( P mjo l función d EV hy qu intoduci ls foms iónics: EV s (s (s (s (λ[s (s (s (s (] [8.33] EV s l función d sonnci iónico-covlnt. sultdos: λ 0.5 D 4.0 V. P mjo l función d OM hy liz cálculos post-f. Un posiilidd s liz intcción d configucs. L configución fundmntl p l s (σ g s. Ot sí (σ u * s [s (-s (][s (-s (] OM [s (s (][s (s (]γ[s (-s (][s (-s (] [8.34] Ls cucs [8.33] y [8.34] coincidn si γ λ γ Cpítulo 8. Moléculs Ditómics

23 Método d EV n ots moléculs En tods ls moléculs hy qu consid l función d ond covlnt y l función iónic. P l molécul d F: L función d itl London o covlnt s: ϕ L ϕ cov s s ( α( ( α( p p ( β( ( β( s s ( β( ( β( p p ( α( ( α( { s p s p } L función d ond iónic F - s: ϕ p p ( α( ( α( p p ( β( ( β( p p L función d ond iónic F - s: ϕ s s ( α( ( α( s s ( β( ( β( s s L función totl sá: ϕ v c ϕ cov c ϕ c ϕ 3 ϕ c ϕ c ϕ c ϕ N( ϕ λϕ (c >>>c 3 v cov 3 L constnt λ s un mdid d l polidd dl nlc. cov Cpítulo 8. Moléculs Ditómics 3

p m son términos semejantes

p m son términos semejantes Páin dl Colio d Mtmátics d l ENP-UNAM Ocions con monomios olinomios Auto: D. José Mnul Bc Esinos OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS UNIDAD IV IV. OPERACIONES CON MONOMIOS Un vil s un lmnto d un ómul,

Más detalles

Ecuaciones de Poisson y Laplace

Ecuaciones de Poisson y Laplace Elctc y Mgntsmo / Elctostátc Dfncón Los conuctos n lctostátc. mpo un cg puntul. plccons l Ly Guss Intgls supposcón. Potncl lctostátco Dfncón Intptcón. Intgls supposcón. Ecucons Posson y Lplc. oncons Intfs.oncons

Más detalles

Para que exista límite de una f(x) en un punto han de coincidir los límites laterales en dicho punto.

Para que exista límite de una f(x) en un punto han de coincidir los límites laterales en dicho punto. REPASO LÍMITES º BACH. RECORDAR: Para qu ista límit d una f() n un punto han d coincidir los límits latrals n dicho punto. A fctos dl f() no tnmos n cunta lo qu ocurr actamnt n a, sino n las a proimidads.

Más detalles

26 EJERCICIOS de LOGARITMOS

26 EJERCICIOS de LOGARITMOS 6 EJERCICIOS d LOGARITMOS Función ponncil y rítmic:. Pr cd un d ls funcions qu figurn continución, s pid: i) Tbl d vlors y rprsntción gráfic. ii) Signo d f(). iii) Corts con los js. iv) Intrvlos d crciminto.

Más detalles

IES CASTELAR BADAJOZ Examen Junio de 2011(General) Solución Antonio Mengiano Corbacho UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA MATEMÁTICAS II

IES CASTELAR BADAJOZ Examen Junio de 2011(General) Solución Antonio Mengiano Corbacho UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA MATEMÁTICAS II IES CASTELAR BADAJOZ Emn Junio d (Gnrl) Antonio ngino Corbcho UNIVERSIDAD DE ETREADURA ATEÁTICAS II ATEÁTICAS II Timpo máimo: hor minutos Instruccions: El lumno lgirá un d ls dos opcions propusts Cd un

Más detalles

4πε. q r 2. q r C 2 2

4πε. q r 2. q r C 2 2 . ) A un distnci d. cm dl cnto d un sf conducto con cg cuyo dio s d. cm, l cmpo léctico s d 48 N/. uál s l cmpo léctico.6 cm dl cnto d l sf? ) A un distnci d. cm dl j d un cilindo conducto muy lgo con

Más detalles

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Cpít ulo RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Dfiniions Pvis: I. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Llmo tmién n posiión nóni o stán. Es quél ángulo tigonométio uo véti oini on l oign l sistm

Más detalles

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS Proyectividad y homografía Homología y afinidad Inversión TEMA4. Objetivos y orientaciones metodológicas. 1.

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS Proyectividad y homografía Homología y afinidad Inversión TEMA4. Objetivos y orientaciones metodológicas. 1. TRNSRMINES GEMÉTRIS Poyctivi y homogfí Homologí y fini Invsión TEM4 IUJ GEMÉTRI bjtivos y ointcions mtoológics Est Tm tin como objtivos intouci l lumno n los conocimintos poyctivi, homogfí, homologí, fini

Más detalles

Solución Tarea de Aproximaciones y errores de redondeo

Solución Tarea de Aproximaciones y errores de redondeo Métodos numéicos y álgb linl CB0085 Apoximcions y os d dondo T d Apoximcions y os d dondo. Clcul l o bsoluto y l o ltivo si p y p 2.78 dond p s l vlo clculdo. : vlo l vlo clculdo 2.78 o bsoluto : vlo clculdo

Más detalles

la integral de línea de B alrededor de un trayecto cerrado

la integral de línea de B alrededor de un trayecto cerrado LEY DE AMPERE L ley de Guss de los cmpos elécticos implic el flujo de E tvés de un supeficie ced; estlece que este flujo es igul l cociente de l cg totl enced dento de l supeficie ente l constnte ε. En

Más detalles

TRANSFORMADORES EN PARALELO

TRANSFORMADORES EN PARALELO TRNFORMDORE EN PRLELO. Trnsformdors d igul rzón d trnsformción Not: no s tomn n cunt ls pérdids n l firro. q q q llmrmos s cumpl b. Trnsformdors d rzón d trnsformción un poco distints Rfridos l scundrio:

Más detalles

Solución de la ecuación de Schödinger para una partícula libre.

Solución de la ecuación de Schödinger para una partícula libre. Solución d l cución d Schöding un tícul lib. Vmos nliz l volución tmol d l función d ond d un tícul lib con un jmlo concto. Ptimos d l siguint condición inicil: (; ) ik dond y k son dos constnts ls. Lo

Más detalles

5. Convergencia de integrales impropias. Las funciones Γ y Β de Euler.

5. Convergencia de integrales impropias. Las funciones Γ y Β de Euler. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lcción. Intgals y aplicacions. 5. Convgncia d intgals impopias. Las funcions Γ y Β d Eul. La foma haitual d calcula una intgal impopia, po jmplo dl intgando, aplica

Más detalles

Facultad de Ingeniería Física 1 Curso 5

Facultad de Ingeniería Física 1 Curso 5 Facultad d Ingniía Física Cuso 5 Índic Funt n moviminto con spcto al ai 3 Rsumn5 Ejcicio 5 Ejcicio 28 El obsvado stá n moviminto spcto a la unt n poso8 Rsumn Funt y obsvado n moviminto Ejcicio 3 Númo d

Más detalles

Tomando como nivel de energía cero el nivel fundamental. Dada la diferencia de energía entre los niveles en la mayoría de los casos

Tomando como nivel de energía cero el nivel fundamental. Dada la diferencia de energía entre los niveles en la mayoría de los casos Capíulo. La fucó d pacó ) Spaacó d la fucó d pacó S ha dmosado aom - / k [.] La ía dl l s ual a: k [.] + + + [.] + S los ados d lbad o accoa [.4] - / k - / k... [.5] ) Fucó d pacó lcóca omado como l d

Más detalles

3. Explica en qué consisten la miopía y la hipermetropía. Qué lentes se usan para su corrección?

3. Explica en qué consisten la miopía y la hipermetropía. Qué lentes se usan para su corrección? CANARIAS / JUNIO 0. LOGS / ÍSICA / XAMN COMPLTO D las dos opcions popustas, sólo hay qu dsaolla una opción complta. Cada poblma cocto val po ts puntos. Cada custión cocta val po un punto. OPCIÓN A Poblmas.

Más detalles

Solución de los Problemas del Capítulo 3

Solución de los Problemas del Capítulo 3 1. Slccion l rspust corrct y xpliqu por qué. Un lctrón qu tin un n= y m= ) Db tnr un m s =+1/ b) Pud tnr un l= c) Pud tnr un l=, ó 1 d) Db tnr un l=1 L rspust corrct s l c) porqu si n=, los posibls vlors

Más detalles

D E C 9 & $ 9 B E F 10 $ 8

D E C 9 & $ 9 B E F 10 $ 8 CADA LETRA CORRESPONDE A UN NÚMERO DEL 1 AL 5 AVERIGUA A QUE NÚMERO CORRESPONDE CADA UNA. D E C 9 & $ 9 B E F 10 & @ $ 8 B E F 10 $ $ # 14 5 12 12 29 7 10 14 31 Φ Π Δ 12 P E E 5 Χ Φ Φ 12 P P W 8 Χ Δ Φ

Más detalles

Una variable es un elemento de una fórmula, proposición o algoritmo que puede adquirir o ser sustituido por un valor cualquiera.

Una variable es un elemento de una fórmula, proposición o algoritmo que puede adquirir o ser sustituido por un valor cualquiera. Fcultd d Contduí Administción. UNAM Polinomios Auto: D. José Mnul Bc Esinos MATEMÁTICAS BÁSICAS POLINOMIOS OPERACIONES CON MONOMIOS Un vil s un lmnto d un ómul, oosición o loitmo u ud duii o s sustituido

Más detalles

Determinización: Construcción de Safra

Determinización: Construcción de Safra Determinizción: Construcción de Sfr Ddo: Autómt de Büchi A = (Q,Σ,Q 0,δ,F) Supong que Q = {q 1,...,q n }. Vmos construir un utómt de Rin determinist B tl que L ω (A) = L ω (B), donde B está compuesto por:

Más detalles

AUTOMATAS FINITOS Traductores

AUTOMATAS FINITOS Traductores Universidd de Morón Lengujes Formles y Autómts AUTOMATAS FINITOS Trductores AUTOMATAS FINITOS Un utómt finito es un modelo mtemático que posee entrds y slids. Un utomát finito recie los elementos tester

Más detalles

RESPONSABILIDAD CIVIL

RESPONSABILIDAD CIVIL RESPONSABILIDAD CIVIL PRIVADA E MUEBLES XTOS CONTRACTUALES * C Ei * bs * G * C G 1 bs Rpd C Am Do 28 ESPECIFICACIONES Y ALCANCE DE LA CTURA ANIMALES DOMÉICOS I - Oe b Me i Rpd C e p v A, cfd c n v, r l

Más detalles

Tema 2. Amplificadores Operacionales

Tema 2. Amplificadores Operacionales Tma. mplificador Opracional Joaquín aquro Lópz Elctrónica, 007 Joaquín aquro Lópz mplificador Opracional (O): Índic.) Introducción a lo O.) Modlo implificado. Modlo Idal.3) Circuito Linal con O.4.) mplificador

Más detalles

ÁÒÓÖÑ Ø ØÖº ÐÑÒØÓ ÔÖÓÔÙØÓ º ÊÐ ÑÞ ÅÖÒ Ý ÒÖ ËÖ ÊÑÖÞ ÔÙÐÓ ÔÓÖ Ð ÓÒÓ ØÓÖÐ Ð ÍÒÚÖ ÁÌ ¾¼¼¾º ÆÙ ØÖÓ ØÜØÓ Ø ÓØÓº Ä ÚÖ Ò ÕÙ Ù Ø Ø ÐÝÒÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ Öѹ ÔÖ Ò ÔÖ Ð Ï Ò Ð ÙÐ ÑÓ ÖÐÞÓ ÐÙÒ ÓÖÖÓÒ ÕÙ ÖÒ ÒÙ ØÖÓ ÓÒÓÑÒØÓº

Más detalles

Tema 4: Integrales Impropias

Tema 4: Integrales Impropias Prof. Susn López 1 Universidd Autónom de Mdrid Tem 4: Integrles Impropis 1 Integrl Impropi En l definición de un integrl definid f (x) se exigió que el intervlo [, b] fuese finito. Por otro ldo el teorem

Más detalles

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grado en Ingeniería Informática) Práctica 7. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grado en Ingeniería Informática) Práctica 7. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grdo n Ingnirí Informátic) Práctic 7. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS.- L intgrl dfinid d Rimnn. L intgrl dfinid d Rimnn surg prtir dl prolm dl cálculo d árs d suprficis dlimitds

Más detalles

4πε. r 1. r 2. E rˆ La carga puntual q 1

4πε. r 1. r 2. E rˆ La carga puntual q 1 .3 L cg puntul q -5. nc está en el oigen l cg puntul q 3 nc está sobe el eje de ls en 3 cm. l punto P está en 4 cm. ) Clcule los cmpos elécticos debidos ls dos cgs en P. b) Obteng el cmpo eléctico esultnte

Más detalles

9. MATRICES 189 9.1. DEFINICIÓN Y NOTACIONES... 189 9.2. OPERACIONES CON MATRICES... 190 9.3. MATRICES CUADRADAS... 192 9.3.1.

9. MATRICES 189 9.1. DEFINICIÓN Y NOTACIONES... 189 9.2. OPERACIONES CON MATRICES... 190 9.3. MATRICES CUADRADAS... 192 9.3.1. ÍNDICE 9. MATRICES 189 9.1. DEFINICIÓN Y NOTACIONES....................... 189 9.2. OPERACIONES CON MATRICES..................... 190 9.3. MATRICES CUADRADAS.......................... 192 9.3.1. Matrices

Más detalles

CAPÍTULO 14: LAS EXPECTATIVAS: LOS INSTRUMENTOS BÁSICOS

CAPÍTULO 14: LAS EXPECTATIVAS: LOS INSTRUMENTOS BÁSICOS CAPÍTULO 14: LAS EXPECTATIVAS: LOS INSTRUMENTOS BÁSICOS 14-1 Los tipos d intrés nominals y rals Slid 14.2 Los tipos d intrés xprsados n unidads d la monda nacional s dnominan tipos d intrés nominals. Los

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS DE TRABAJO Y ENERGÍA

PROBLEMAS RESUELTOS DE TRABAJO Y ENERGÍA POLEMS ESUELOS E JO Y ENEGÍ Equip dct: ti J. Gc Mi Hádz Puc lfs l lmt POLEM U l d ms qu s mu 4 m/s pt iztlmt u lqu d md st u pfudidd d 5 cm. uál s l fuz mdi qu s lizd s l l p dtl?. F N d m S F l fuz mdi

Más detalles

INTEGRAL DEFINIDA ÁREAS Y VOLUMENES

INTEGRAL DEFINIDA ÁREAS Y VOLUMENES Intgrl indinid. gl d Brrow INTEGA DEFINIDA ÁEAS Y OUMENES siguint rgl, qu s s n l torm undmntl dl cálculo intgrl, rlcion l intgrl dinid con ls intgrls indinids prmit clculr ls intgrls dinids. intgrl dinid

Más detalles

Si las cargas se atraen o repelen significa que hay una fuerza entre ellas. LEY DE COULOMB

Si las cargas se atraen o repelen significa que hay una fuerza entre ellas. LEY DE COULOMB Cuso: FISICA II CB 3U Ley de Coulomb (1736-186). Si ls cgs se ten o epelen signific que hy un fuez ente ells. LEY DE COULOMB L fuez ejecid po un cg puntul sobe ot Está diigid lo lgo de l líne que los une.

Más detalles

Problemas Resueltos. el radio de la órbita circular, y la energía tiene el valor GMm 2 = a GM. 0. Es decir, 2 T 4π. GMm

Problemas Resueltos. el radio de la órbita circular, y la energía tiene el valor GMm 2 = a GM. 0. Es decir, 2 T 4π. GMm Problmas sultos.0 Un satélit dscrib una órbita circular n torno a la Tirra. Si s cambia d rpnt la dircción d su vlocidad, pro no su módulo, studiar l cambio n su órbita y n su príodo. Al cambiar sólo la

Más detalles

Dpto. INGENIERÍA ENERGÉTICA Y FLUIDOMECÁNICA ESCUELA DE INGENIERÍAS INDUSTRIALES UNIVERSIDAD DE VALLADOLID

Dpto. INGENIERÍA ENERGÉTICA Y FLUIDOMECÁNICA ESCUELA DE INGENIERÍAS INDUSTRIALES UNIVERSIDAD DE VALLADOLID AIRE HÚMEDO Y PROCESOS PSICROMÉRICOS Introduccón. Crcterístcs del re úedo. Dgrs pscroétrcos. Análss de los procesos pscroétrcos báscos del re úedo ASIGNAURA: ERMODINÁMICA ÉCNICA RANSMISIÓN DE CALOR GRADO:

Más detalles

TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONDUCCIÓN

TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONDUCCIÓN ERMODINAMICA ÉCNICA Y RANSMISIÓN DE CAOR RANSMISIÓN DE CAOR POR RANSMISIÓN DE CAOR POR EN ESACIONARIO. Intoducción.. Balanc d ngía n una supfici plana. 3. Balanc d ngía n supficis cilíndicas y sféicas.

Más detalles

Electromagnetismo II

Electromagnetismo II Electomgnetismo II Semeste: 215-1 EXAMEN PARCIAL 2: Solución D. A. Reyes-Coondo Poblem 1 (2 pts.) Po: Jesús Cstejón Figueo ) Escibe ls cuto ecuciones de Mxwell en fom difeencil, escibiendo el nombe de

Más detalles

Integrales impropias.

Integrales impropias. IX / 8 UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR MA nro-mrzo d 4 Dprtmnto d Mtmátics Purs y Aplicds. Intgrls impropis. Ejrcicios sugridos pr : los tms d ls clss dl 4 y 9 d mrzo d 4. Tms : Otrs forms indtrminds. Intgrls

Más detalles

Estadística EIAE (UPM) Estadística p. 1

Estadística EIAE (UPM) Estadística p. 1 Ö Ó ÓÒØ ÒÙÓ ÑÓ ÐÓ p. 1 Ejercicio 1 A una gasolinera llegan, en media, 3 coches por minuto. Calcular la probabilidad de que a) En 1 minuto lleguen dos coches. b) En 1 minuto lleguen al menos dos coches.

Más detalles

XIV.- ALIMENTACIÓN AL RODETE CÁMARA ESPIRAL

XIV.- ALIMENTACIÓN AL RODETE CÁMARA ESPIRAL XIV.- ALIMENTACIÓN AL OETE CÁMAA ESPIAL XIV..- IMENSIONAMIENTO PAA TUBINAS FANCIS (ELECTOCONSULT) c [m/s] 0,44 5,4 nq Figura 4.. Vlocia ntraa n la spiral n función la vlocia spcífica n s. Figura 4.. Esquma

Más detalles

Cálculo con vectores

Cálculo con vectores Unidd didáctic 1 Cálculo con vectoes 1.- Mgnitudes escles vectoiles. Son mgnitudes escles quells, como l ms, l tempetu, l enegí, etc., cuo vlo qued fijdo po un númeo (con su unidd coespondiente). Gáficmente

Más detalles

TEMA 7. SUCESIONES NUMÉRICAS.

TEMA 7. SUCESIONES NUMÉRICAS. º EO Tem 7 TEMA 7. UCEIONE NUMÉRICA.. UCEIONE NUMÉRICA. Imgiemos el ecoido que efectú u bló que se h lzdo l suelo y midmos ls distcis ete bote y bote: Ls distcis fom u sucesió de úmeos: 0, 5, 0, 5,. U

Más detalles

FORMACIÓN PROFESIONAL

FORMACIÓN PROFESIONAL FOMCIÓN POFIONL DIÑO CUICUL N UNIDD TÉCNIC CUDO 1228 D GOTO D 1985 INTUCCIÓN 0329 D 1986 DOGÓ L INTUCCIÓN 217 D 1972 Oscar Gaboa Carrillo FOMCION POFIONL: POCO MDINT L CUL L PON: DQUI Y DOLL CONOCIMINTO,

Más detalles

Tema 4: Potencial eléctrico

Tema 4: Potencial eléctrico 1/38 Tem 4: Potencil Eléctico Fátim Msot Conde Ing. Industil 2007/08 Tem 4: Potencil Eléctico 2/38 Índice: 1. Intoducción 2. Enegí potencil eléctic 1. de dos cgs puntules 2. de un sistem de cgs 3. Intepetción

Más detalles

Ejercicio 1. x a. Ejercicio 2.

Ejercicio 1. x a. Ejercicio 2. Sptim 5 - Opción A (Molo 6) Ejcicio. D un función f: R R s s qu f() y qu f (. () [ punto] Dtmin f. () [ 5 puntos] Clcul l á l ión limit po l áfic f, po l j sciss y po ls cts cucions - y. () Aplicno l Tom

Más detalles

( ) ( ) ( ) ( ) BLOQUE A + = + IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti

( ) ( ) ( ) ( ) BLOQUE A + = + IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti IES Mditáno d Málg Solución Junio Jun Clos Alonso Ginontti BLOQUE A CUESTIÓN A..- ) Discut l guint stm d cucions n unción dl pámto [ 5 puntos] ) Rsul l stm cundo s comptil [ punto] λ λ λ Solución 8 Con

Más detalles

MATEMÁTICAS II. Departamento de Matemáticas I.E.S. A Xunqueira I (Pontevedra)

MATEMÁTICAS II. Departamento de Matemáticas I.E.S. A Xunqueira I (Pontevedra) MATEMÁTICAS II 1 José M. Ramos González Este libro es totalmente gratuito y solo vale la tinta y el papel en que se imprima. Es de libre divulgación y no está sometido a ningún copyright. Tan solo se

Más detalles

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz Reprtido N 5 Limites ISCAB EMT prof. Fernndo Diz El resultdo de un límite es un vlor de y en un función cundo el vlor de se proim mucho un vlor ddo sin llegr ser igul él. Es cercrse mucho un vlor en pr

Más detalles

ASIGNATURA: INGENIERIA DE PROCESOS III (ITCL 234) PROFESOR: Elton F. Morales Blancas

ASIGNATURA: INGENIERIA DE PROCESOS III (ITCL 234) PROFESOR: Elton F. Morales Blancas UNIVESIDD USTL DE CILE INSTITUTO DE CIENCI Y TECNOLOGI DE LOS LIMENTOS (ICYTL) / SIGNTU: INGENIEI DE POCESOS III (ITCL 34) POESO: Elton. Moals Blancas UNIDD : TNSEENCI DE CLO PO CONDUCCION (ESTDO ESTCIONIO)

Más detalles

INFORME DE LA PRÁCTICA nº 2: LA RUEDA DE MAXWELL. Fernando Hueso González. Carlos Huertas Barra. (1º Fís.), L1, 21-XI-07 - 0 -

INFORME DE LA PRÁCTICA nº 2: LA RUEDA DE MAXWELL. Fernando Hueso González. Carlos Huertas Barra. (1º Fís.), L1, 21-XI-07 - 0 - INFORME DE LA PRÁCTICA nº : LA RUEDA DE MAXWELL Fernndo Hueso González. Crlos Huerts Brr. (1º Fís.), L1, 1-XI-7 - - RESUMEN L práctic de l rued de Mxwell consiste en medir el tiempo que trd en descender

Más detalles

q 1 q 2 Resp.: V A = 1800 V; V B = 0 V; W A - B = 450*10-7 Joul. 13 cm 13 cm 6 cm 4 cm 4 cm

q 1 q 2 Resp.: V A = 1800 V; V B = 0 V; W A - B = 450*10-7 Joul. 13 cm 13 cm 6 cm 4 cm 4 cm UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL FRANCISCO DE MIRANDA COMPLEJO DOCENTE EL SABINO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA UNIDAD CURRICULAR: FÍSICA II PROFESORA CARMEN ADRIANA CONCEPCIÓN 1. Un potón (q potón

Más detalles

Masa y composición isotópica de los elementos

Masa y composición isotópica de los elementos Masa y composición isotópica de los elementos www.vaxasoftware.com Z Sím A isótopo Abndancia natral Vida Prodcto 1 H 1 1,00782503207(10) 99,9885(70) 1,00794(7) estable D 2 2,0141017780(4) 0,0115(70) estable

Más detalles

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE NAVARRA JUNIO 2012 (GENERAL) (RESUELTOS por Antonio Menguiano) Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE NAVARRA JUNIO 2012 (GENERAL) (RESUELTOS por Antonio Menguiano) Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos IES CSTELR DJOZ nguino PRUE DE CCESO (LOGSE) UNIVERSIDD DE NVRR JUNIO (GENERL) (RESUELTOS por nonio nguino) TEÁTICS II Timpo máimo: hors minuos Rlir un d ls dos opcions propuss ( o ) OPCIÓN º) Esudi l

Más detalles

61.1 6.1. SERIES NUMÉRICAS INFINITAS 6.2. SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS 6.3. SERIES ALTERNANTES 6.4. SERIES DE POTENCIAS

61.1 6.1. SERIES NUMÉRICAS INFINITAS 6.2. SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS 6.3. SERIES ALTERNANTES 6.4. SERIES DE POTENCIAS Cp. 6 Sris 6. 6.. SERIES NUMÉRICAS INFINITAS 6.. SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS 6.. SERIES ATERNANTES 6.. SERIES DE POTENCIAS Objtivo: S prtd qu l studit: Dtrmi covrgci o divrgci d sris. Empl sris pr rsolvr

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición

Más detalles

Cantidad de movimiento en la máquina de Atwood.

Cantidad de movimiento en la máquina de Atwood. Cntidd de movimiento en l máquin de Atwood. esumen Joge Sved y Pblo Adián Nuñez. jogesved@topmil.com. pblo_nuniez2000@yhoo.com. ed pticiptiv de Cienci UNSAM - 2005 En el pesente tbjo se puso pueb l pedicción

Más detalles

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de

Más detalles

1.3.4 Ejercicios resueltos sobre la función exponencial y logarítmica

1.3.4 Ejercicios resueltos sobre la función exponencial y logarítmica .. Ejrcicios rsultos sobr l función ponncil rítmic. Us ls propidds d l función ponncil (torm ) pr simplificr totlmnt l siguint prsión:. Prub qu Simplifiqu inicilmnt l numrdor l dnomindor d l frcción. Así:

Más detalles

(+) (+) ( ) 5/30/2013 (+) ( ) (+)

(+) (+) ( ) 5/30/2013 (+) ( ) (+) 5/30/013 : Describe a los electrones en una molécula utilizando funciones de onda llamadas orbitales moleculares (OM). Los OM se forman por combinación lineal entre orbitales atómicos (OA) Estas combinaciones

Más detalles

Ac tiv idad... ra tu. No olvides tener precaución y sentido común en cuanto a las tareas que tu Bingki pueda realizar ACAMAR FILMS LTD.

Ac tiv idad... ra tu. No olvides tener precaución y sentido común en cuanto a las tareas que tu Bingki pueda realizar ACAMAR FILMS LTD. Ac tiv idd...! t i F D Id tu t i F g! p Bin No olvid tn pcución y ntido común n cunto l t qu tu Bingki pud liz. Comid y bbtid p l fi A Bing l ncntn hoi lo dlicioo bgl d zn l ct y lo btido. Pud ncont n

Más detalles

Estimación de la discriminación por polarización. 1 Definición de la polarización de una onda electromagnética

Estimación de la discriminación por polarización. 1 Definición de la polarización de una onda electromagnética Rec. UIT-R S.736-3 1 RECOMENDACIÓN UIT-R S.736-3* Rec. UIT-R S.736-3 ESTIMACIÓN DE LA DISCRIMINACIÓN POR POLARIZACIÓN EN LOS CÁLCULOS DE INTERFERENCIA ENTRE REDES DE SATÉLITES GEOESTACIONARIOS EN EL SERVICIO

Más detalles

PROBLEMAS DE ELECTROESTÁTICA

PROBLEMAS DE ELECTROESTÁTICA PBLMAS D LCTSTÁTICA I CAMP LCTIC N L VACI. Cagas puntuales. Cagas lineales. Cagas supeficiales 4. Flujo le de Gauss 5. Distibuciones cúbicas de caga 6. Tabajo enegía electostática 7. Poblemas Pof. J. Matín

Más detalles

En la figura se muestra el esquema del circuito eléctrico correspondiente a los datos proporcionados en el enunciado.

En la figura se muestra el esquema del circuito eléctrico correspondiente a los datos proporcionados en el enunciado. EJECCO DE OTENCA EN TEMA TFÁCO. EJECCO 1.- n sistma tifásico tifila d 40 V y scuncia T, alimnta una caga tifásica quilibada conctada n tiángulo, fomado po impdancias d valo 0 80º Ω. Halla la lctua d dos

Más detalles

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS . INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS.. INTEGRAL DEFINIDA Se y = f(x) definid pr todo x [, b]. Consideremos un prtiión P del intervlo [, b] P {x 0 = < x < x 2 < < x n = b} Sen P = máx{x i x i }, s n = n m

Más detalles

Practico 7 Fuerza y Leyes de Newton

Practico 7 Fuerza y Leyes de Newton 008 Pctico 7 uez y Leyes de Newton ) Un bloque de 5.5 Kg. está inicilmente en eposo sobe un supeficie hoizontl sin ficción. Es empujdo con un fuez hoizontl constnte de 3.8 N. ) Cuál es su celeción? b)

Más detalles

Validación del programa FERCIN para la calibración de las barras de control del reactor RP-10

Validación del programa FERCIN para la calibración de las barras de control del reactor RP-10 Validación del programa FERCIN para la calibración de las barras de control del reactor RP-10 José Castro (1) jcastro@ipen.gob.pe; Magaly Zapata (2) magalibalcazar@yahoo.com; Rubén Bruna (3) rbruna@ipen.gob.pe

Más detalles

1 Inductancia interna de conductores

1 Inductancia interna de conductores Cmpos y Onds nductnci inten de conductoes Pág. nductnci inten de conductoes En est sección se efectún ls deducciones de l inductnci inten de distints geometís de conductoes, que conducen un coiente estcioni

Más detalles

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel

Más detalles

CAPÍTULO 1. PROPAGACIÓN DE LAS ONDAS PLANAS UNIFORMES

CAPÍTULO 1. PROPAGACIÓN DE LAS ONDAS PLANAS UNIFORMES CAPÍTULO 1. PROPAGACIÓN DE LAS ONDAS PLANAS UNIFORMES 1.1 Ecuación de onda. Las ecuaciones de Maxwell se publicaron en 1864, su principal función es predecir la propagación de la energía en formas de Onda.

Más detalles

A modo de repaso. Preliminares

A modo de repaso. Preliminares UNIDAD I A modo de repso. Preliminres Conjuntos numéricos. Operciones. Intervlos. Conjuntos numéricos Los números se clsificn de cuerdo con los siguientes conjuntos: Números nturles.- Son los elementos

Más detalles

Integrales impropias

Integrales impropias Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección

Más detalles

Vectores. a) Para que sean linealmente dependientes, el determinante formado por los tres vectores ha de valer cero.

Vectores. a) Para que sean linealmente dependientes, el determinante formado por los tres vectores ha de valer cero. Vectores. Dados los vectores a y b del espacio. Siempre es posible encontrar otro vector c tal que multiplicado vectorialmente por a nos de el vector b?. Por que?. No siempre será posible. El vector a

Más detalles

Porcentaje de la poblacion de 18 y mas anos de edad con instruccion superior1, y su distribucion porcentual segun nivel de instruccion, 2000

Porcentaje de la poblacion de 18 y mas anos de edad con instruccion superior1, y su distribucion porcentual segun nivel de instruccion, 2000 Nivl instuccin Pcntj l pblcin 8 y s ns cn instuccin supi, y su istibucin pcntul sgun nivl instuccin, Pcntj 6.8 Msti' y ct.6 Msti' y ct Pf si il Pfsinl 94 5.9 93., 6.9 tncluy ls psns cn lgun g n! nivl pfsinl,

Más detalles

Modelos probabiĺıstas para juegos: los orígenes.

Modelos probabiĺıstas para juegos: los orígenes. Modelos probabiĺıstas para juegos: los orígenes. Por: María Emilia Caballero Instituto de Matemáticas, UNAM 2o. Congreso de Actuaría, FC UNAM Por: María Emilia Caballero (IMUNAM) Modelos probabiĺıstas

Más detalles

2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR

2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR 1. INTRODUCCIÓN CÁLCULO VECTORIAL Mgnitud: Es todo quello que se puede medir eperimentlmente. Ls mgnitudes físics se clsificn en esclres ectoriles. Mgnitud esclr: Es quell que iene perfectmente definid

Más detalles

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE COSTA RICA ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA CURSO: MODELOS DE SISTEMAS CÁLCULO DE RESIDUOS Y SUS APLICACIONES

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE COSTA RICA ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA CURSO: MODELOS DE SISTEMAS CÁLCULO DE RESIDUOS Y SUS APLICACIONES INSTITUTO TENOLÓGIO DE OSTA RIA ESUELA DE INGENIERÍA ELETRÓNIA URSO: MODELOS DE SISTEMAS ÁLULO DE RESIDUOS Y SUS APLIAIONES ING. FAUSTINO MONTES DE OA FEBRERO DE álculo d Rsiduos y sus Aplicacions INDIE

Más detalles

3º.- Junio i) Producto de matrices: definición, condiciones para su realización. Si A M m n. (la matriz A tiene m filas y n columnas), B M n p

3º.- Junio i) Producto de matrices: definición, condiciones para su realización. Si A M m n. (la matriz A tiene m filas y n columnas), B M n p IES EL PILES SELECTIVIDD OVIEDO DPTO. MTEMÁTICS Mtrics dtrinnts Mtrics dtrinnts. Ejrcicios d Slctividd. º.- Junio 99. i) Dfin rngo d un triz. ii) Un triz d trs fils trs coluns tin rngo trs, cóo pud vrir

Más detalles

Reglamento de D i v er s i ones y E s p ec tá c u los P ú b li c os Ayuntamiento Constitucional de Zapotlanejo 2007-2009 e n t e M u n i c i Z a t n e j o, J a o, a h a t a n t e m u n i c i o h a g o

Más detalles

El éxito de los cálculos radica en la correcta elección de la base.

El éxito de los cálculos radica en la correcta elección de la base. Funciones de base: b Ψ = c χ i si s s= 1 Ψ { } χ s OM, función desconocida Funciones conocidas Conjunto de bases, basis set El éxito de los cálculos radica en la correcta elección de la base. - Número

Más detalles

Matemáticas II CURVAS

Matemáticas II CURVAS CURVAS En este tema introduciremos nuevos conceptos relacionados con la curva y sus parametrizaciones. Definiciones.- Sea γ : I = [a,b] R n. Se dice que la curva es cerrada si γ(a) = γ(b). Se dice que

Más detalles

Manual de Ayuda del Sistema para la Impresión de Planilla de Reemplazo

Manual de Ayuda del Sistema para la Impresión de Planilla de Reemplazo Manual d Ayuda dl Sstma paa la Impsón d Planlla d Rmplazo PASOS A REALIZAR PASO NRO 1: El pm paso s ngsa al sto d la Dccón Gnal d Escula, la dccón s http//:bass.mndoza.du.a/ntant, n l stos dbá ngsa l nomb

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA: PRUEBA DE SELECTIVIDAD. FÍSICA. JUNIO 2006

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA: PRUEBA DE SELECTIVIDAD. FÍSICA. JUNIO 2006 I.E.S. Al-Ándalus. Aahal. Svilla. Dpto. Física y Química. Slctividad Andalucía. Física. unio 6 - UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA: PRUEBA DE SELECTIVIDAD. FÍSICA. UNIO 6 OPCIÓN A. San dos conductos ctilínos

Más detalles

Ayudantía 11 - Soluciones Representaciones termodinámicas alternativas

Ayudantía 11 - Soluciones Representaciones termodinámicas alternativas Pontici Universidd Ctólic de Chile Fcultd de Físic Termodinámic y Teorí Cinétic: Fiz 0 Ayudntí - Soluciones Representciones termodinámics lterntivs Profesor: Miguel Kiwi mkiwi@puc.cl Ayudnte: Dniel Nrris

Más detalles

CH1 Mi Plan 150 CH2 Mi Plan 250 CH3 Mi Plan 350 CH4 Mi Plan 500 CH6 Mi Plan 800 CH9 Mi Plan Plus 165 CI1 Mi Plan Plus 385 CI5 Mi Plan Plus 1100 CI6

CH1 Mi Plan 150 CH2 Mi Plan 250 CH3 Mi Plan 350 CH4 Mi Plan 500 CH6 Mi Plan 800 CH9 Mi Plan Plus 165 CI1 Mi Plan Plus 385 CI5 Mi Plan Plus 1100 CI6 ID_PLAN PLAN CH1 Mi Plan 150 CH2 Mi Plan 250 CH3 Mi Plan 350 CH4 Mi Plan 500 CH6 Mi Plan 800 CH9 Mi Plan Plus 165 CI1 Mi Plan Plus 385 CI5 Mi Plan Plus 1100 CI6 Mi Plan Plus 1430 CI9 Pool Optimo 167 CJ0

Más detalles

Soluciones: 343 m/s 15 Hz. = 22.87 m (audio frecuencias) 10 9 m = 1.6977 106 m 1. H = +225 kcal/mol 4.184 J 6.022 10 23 1

Soluciones: 343 m/s 15 Hz. = 22.87 m (audio frecuencias) 10 9 m = 1.6977 106 m 1. H = +225 kcal/mol 4.184 J 6.022 10 23 1 Soluciones: 1. El oído humano es sensible a ondas sonoas con fecuencias compendidas ente 15 Hz y khz. La velocidad del sonido en el aie es 343 m/s. Calcula las longitudes de onda coespondientes a estas

Más detalles

Hidrología. Ciencia que estudia las propiedades, distribución y circulación del agua

Hidrología. Ciencia que estudia las propiedades, distribución y circulación del agua 3/1/01 Hidrologí Cinci qu studi ls roidds, distribución y circulción dl gu Smn 4 - Procsos d Gnrción d l Prciitción. - Vor d Agu n l Atmósfr. - Agu rciitbl. Mcnismos d Elción d ls Mss d Air Concto gnrl

Más detalles

Siempre verifica que a 2 = b 2 + c 2 (Th. Pitágoras)

Siempre verifica que a 2 = b 2 + c 2 (Th. Pitágoras) Págin 1 FIGURAS EN EL PLANO POLÍGONOS FIGURAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO 1.- Polígono de 3 ldos: Tiángulo. B Los ángulos inteioes de culquie tiángulo sumn siempe 180º. El áe de culquie tiángulo se puede

Más detalles

NOASDTODODESFLO DSQUECACIÓNDFFPARECERAD

NOASDTODODESFLO DSQUECACIÓNDFFPARECERAD NOASDTODODESFLO DSQUECACIÓNDFFPARECERAD NOASDTODODESFLO DSQUECACIÓNDFFPARECERAD ASELDPODERDDEFLA NEDUCACIÓNDFFINANCIERAD ASELDPODERDDEFLA NEDUCACIÓNDFFINANCIERAD É U Q DE A S O M A V Y O H R A L HAB N

Más detalles

Vectores y álgebra vectorial

Vectores y álgebra vectorial 1. Notas Preliminares Vectores y álgebra vectorial Desde siempre, desde los primeros cursos de Física en educación media, venimos hablando de vectores como cantidades que tienen que ser representadas con

Más detalles

Esta guía es una herramienta que usted debe usar para lograr los siguientes objetivos:

Esta guía es una herramienta que usted debe usar para lograr los siguientes objetivos: Deptmento de Físic, UTFSM Físic Genel II / of: A. Bunel. FIS10: FÍSICA GENERAL II GUÍA #3: otencil Eléctico. Objetivos de pendizje Est guí es un hemient que usted debe us p log los siguientes objetivos:

Más detalles

Las anteriores fórmulas suelen expresarse matricialmente como

Las anteriores fórmulas suelen expresarse matricialmente como Capítulo III Teoría de las curvas 1. Clasificación de curvas en R 3 En esta sección veremos que, esencialmente, la curvatura y la torsión determinan las curvas de R 3. Para ello necesitaremos las conocidas

Más detalles

Fundamentos Físicos de la Ingeniería Segundo Parcial / 2 abril 2009

Fundamentos Físicos de la Ingeniería Segundo Parcial / 2 abril 2009 undamntos sicos d a Ingnira Sgundo Parcia / abri 9. Una aria rctina y uniform, d masa m y ongitud ca ibrmnt n posición horizonta. En instant n qu su ocidad s, a aria gopa ásticamnt bord d una cuchia rgida

Más detalles

RODAMIENTOS DE RODILLOS CÓNICOS

RODAMIENTOS DE RODILLOS CÓNICOS B 106 RODAMIENTOS DE RODILLOS CÓNICOS RODAMIENTOS DE RODILLOS CÓNICOS DE DISEÑO MÉTRICO Diámeto Inteio 15~100mm...................... Págins B116~B123 Diámeto Inteio 105~240mm.................... Págins

Más detalles

Valora la madurez y destrezas básicas:

Valora la madurez y destrezas básicas: Etct d l PAU FASE GENERAL (Obligtoi) Vlo l mdz y dtz báic: Compió d mj Uo dl lgj p liz, ittiz y xp id Compió báic d l lg xtj Coocimito y técic d mti d modlidd FASE ESPECÍFICA (Volti) Elció d coocimito

Más detalles

TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS

TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS 8. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 8.. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límit d una función n un punto f () = l S l: El it cuando tind a c d f() s l c Significa:

Más detalles

Tema 8. Funciones vectoriales de variable real.

Tema 8. Funciones vectoriales de variable real. Tem 8. Funciones vecoiles de vile el. 8.1 Cuvs ecuciones pméics. Cálculo en pméics. 8. Funciones vecoiles: límie, coninuidd, deivción e inegción. 8.3 Cuvs en coodends poles. Aneo: cónics. E. U. Poliécnic

Más detalles

Estructuras de control

Estructuras de control Estructuras de control (Control avanzado) Prof. Mª Jesús de la Fuente Dpto. Ing. de Sistemas, UVA ISA. UVA 1 Estructuras de control Modificaciones de lazos de control convencionales para mejorar: Rechazo

Más detalles

Unidad 3 Sistemas de Ecuaciones Lineales

Unidad 3 Sistemas de Ecuaciones Lineales Unidd 3 Sistems de Ecuciones Lineles Popedéutico 8 D. Ruth M. Aguil Ponce Fcultd de Ciencis Deptmento de Electónic Popedéutico 8 Fcultd de Ciencis Popedéutico 8 Fcultd de Ciencis Sistem de Ecuciones Lineles

Más detalles

Lámina 01. Ejercicio 3. Con la ayuda del compás, trazar: ( AB + CD) - EF, a partir del punto N, y

Lámina 01. Ejercicio 3. Con la ayuda del compás, trazar: ( AB + CD) - EF, a partir del punto N, y E F G I J H M K M L N N Q P R S Ejecicio 1. Medi con un egl estos segmentos y not, encim de cd uno de ellos, el esultdo en milímetos. T Ejecicio 2. on l yud del compás, tz: +, pti del punto M, -, pti del

Más detalles

Manual de teoría: Trigonometría Matemática Bachillerato

Manual de teoría: Trigonometría Matemática Bachillerato Manual de teoría: Trigonometría Matemática Bachillerato Realizado por José Pablo Flores Zúñiga Trigonometría: José Pablo Flores Zúñiga Página Contenido: 4) Trigonometría 4. Trigonometría Básica 4. Funciones

Más detalles