TERCERA PARTE CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL

Transcripción

1 TECEA PATE COIENTE ALTENA SENOIDAL Corriente alterna senoidal El paso periódico de un campo magnético fijo cerca de un conductor, o el paso periódico de un conductor por un campo magnético fijo, produce un voltaje oscilatorio de forma senoidal. El voltaje o la corriente alterna sinusoidal son generados por una máquina rotativa simple de polos o de una máquina equivalente con número par de polos conectados de manera tal de entregar un solo valor senoidal en cada instante. Produce un voltaje variable de positivo a negativo con una forma de onda senoidal cuyo período es igual al período de paso del rotor entre dos polos consecutivos del mismo signo. Generador de CA muy simple ωeq = P ω / (radianes por segundo) Período Es el tiempo que transcurre para completar un ciclo completo de la onda senoidal. T = π / ω (seg) Frecuencia Es el número de ciclos de la onda senoidal producidos en cada segundo f = / T = ω / π (Hz = ciclos / seg) ω=πf Voltaje pico (Vp) Es el valor absoluto del máximo voltaje positivo o negativo. Voltaje instantáneo Es el valor de voltaje en un instante de tiempo. Si θ es el ángulo de giro del rotor en cual comienza la medición: v (t)=v p sen (ωt +θ) (V) Si f es la frecuencia en ciclos por segundo: La rotación del campo magnético produce una forma de voltaje senoidal ω= π f radianes seg v (t)=v p sen ( π f t +θ) (V) Si : f =60 Hz ω=377 rad seg T = seg Voltaje pico a pico (Vpp) Velocidad angular Es la velocidad de rotación del rotor ω o la velocidad equivalente para una máquina de mayor número de polos (P). Electrotecnia Parte 3 Prof. Ing. Horacio Fabres Diciembre 0 Es la máxima diferencia entre el voltaje máximo positivo y el máximo negativo. Vpp = Vp 9

2 Análisis de circuitos bajo CA (en el dominio del tiempo) Voltaje aplicado y corriente en una inductancia Voltaje y corriente en una resistencia i t = v t i t = vemos que no consume energía, excepto por sus pérdidas internas. Vp sen t El voltaje y la de intensidad coinciden en el tiempo, se dice entonces que voltaje e intensidad están en fase. v (t )= L di dt i (t )= Vp cos(ω t+θ) ωl El voltaje coincide en el tiempo con el cambio de intensidad. La intensidad está atrasada 90 º con respecto al voltaje La intensidad es inversamente proporcional a la frecuencia. Voltaje y corriente en un condensador q=cv dq dv =C dt dt i t =C dv dt i t = C V p cos t La intensidad coincide en el tiempo con el cambio de voltaje. La intensidad está adelantada 90º con respecto al voltaje. La intensidad es proporcional a la frecuencia. Una inductancia almacena flujo magnético en ½ ciclo y lo pierde induciendo un voltaje en el siguiente ½ ciclo. Intuitivamente vemos que no consume energía, excepto por sus pérdidas óhmicas y en el núcleo (si lo hay). Voltaje eficaz o rms Es el valor de un voltaje de CD que haría el mismo trabajo en el mismo tiempo sobre una resistencia. Un condensador almacena carga en ½ ciclo y la devuelve en el siguiente ½ ciclo, intuitivamente Electrotecnia Parte 3 Prof. Ing. Horacio Fabres Diciembre 0 30

3 Con el siguiente desarrollo se determina el valor eficaz o rms (root mean square) o valor cuadrático medio Vef de una onda de voltaje senoidal. W =P Δ T V ef = V ef = ΔT para Δ T =(π 0) W π v (t) π = π 0 dt = π 0 v (t) dt ΔT =V π ( cos (ωt ))dt π p V ef =V p V ef = V = Vef 0º I =I ef j0 π ( cos( ω t)) dt π 0 I =I ef 0º π ( cos( ω t ))dt π 0 π V π V ef = p π 0 dt 0 cos ( ω t )dt π Obsérvese en la figura que 0 cos( ω t )dt =0 ( V ef = V ef = Vp En un condensador: ) I =0 j I ef Vp (π 0) π I =I ef 90º V p =V ef En una inductancia: Igualmente: I ef = V = Vef + j0 0 Vp Los fasores en los elementos pasivos básicos son, considerando que la medición de voltaje comienza al inicio de un ciclo (ωt = 0, θ = 0): En una resistencia: π V ef = π 0 V p sen (ω t) dt V ef Como vectores polares, la magnitud representa el valor absoluto y el ángulo ϕ representa el desfase del inicio de la onda de voltaje o de corriente con respecto al ángulo del inicio de la medición (θ). Ip I p =I ef () I =0 j I ef Fasores Para muchos cálculos relacionados con la corriente alterna nos interesa el efecto sobre la potencia y la energía en un tiempo mucho mayor que un ciclo, de manera que no necesitamos conocer la respuesta de un circuito en cada instante de tiempo. Un fasor es la representación de la magnitud eficaz y el ángulo de fase de un voltaje o una corriente senoidal en coordenadas rectangulares planas, para ser tratados matemáticamente como vectores en coordenadas polares o como números complejos. Electrotecnia Parte 3 Prof. Ing. Horacio Fabres Diciembre 0 I =I ef 90º Como números complejos, la componente no desfasada con respecto al inicio de la onda de voltaje (ángulo=0) de la fuente, se considera en el eje x o real, y la componente desfasada en el eje y o imaginario. 3

4 Operaciones con fasores y números complejos Por ser la suma y la resta muy extensas para vectores polares, es preferible usar números complejos para sumar y restar. Por ser la multiplicación y división muy extensas en el plano complejo, es preferible usar vectores en coordenadas polares para multiplicar y dividir. Suma: a jb c jd = a c j b d esta: a jb c jd = a c j b d M ultiplicación: a b = ab a a = b b División: La unidad imaginaria j j = j= = = j = = j Conversión entre valores complejos y polares De complejo a polar: a j b= a b tan b a De polar al plano complejo: a =a cos j a sen Conversión entre radianes y grados 80 º= (rad) y (rad)= º 80 Impedancia elación entre el voltaje y la corriente fasorial en una corriente alterna. epresenta la oposición al paso de la corriente eléctrica no directa (alterna, pulsante, transitoria) ejercida por una carga, puede estar formada por cualquier combinación de componentes resistivos (resistencias) y componentes reactivos (inductancias, capacitancias). La dimensión de la impedancia es el Ohm. Electrotecnia Parte 3 Prof. Ing. Horacio Fabres Diciembre 0 Intuitivamente, la oposición al paso de la corriente alterna en una resistencia es igual que si la corriente fuera directa, es igual a la resistencia. En un condensador, a mayor capacidad C y a mayor velocidad angular ω, más rápido varía la carga en el tiempo, por lo que ejerce una menor oposición al paso de la corriente. Para un inductor, a mayor inductancia L, y a mayor velocidad angular ω, más oposición a los cambios de flujo en el tiempo y por ende, a los cambios de voltaje y corriente. Por estas razones, la impedancia de un circuito que incluya capacitancias e inductancias depende de la frecuencia. El concepto de impedancia se utiliza en el dominio de la frecuencia, ya que en el dominio del tiempo no tiene significado. Debido al desfase de 90º entre el voltaje y la corriente en cada componente reactivo (capacitor o inductor), la impedancia se puede representar de diferentes maneras:. En forma compleja (el cálculo obedece a la geometría rectangular), con la componente resistiva como la parte real y la reactiva como la parte imaginaria.. En forma polar, donde la magnitud representa el valor absoluto y el ángulo representa el desfase entre el voltaje y la intensidad de corriente. 3. En forma rectangular, con la componente resistiva en el eje x y la componente reactiva en el eje y. El valor complejo de la impedancia de elementos pasivos básicos sale de la relación entre intensidad y voltaje en cada elemento: En una resistencia: V ef I ef = Z = j 0 Z = 0º En un condensador: I ef = C V ef Z C =0 j C Z C= 90º C En una inductancia: I ef = V ω L ef Z L=0+ j ω L Z L=ω L 90º 3

5 epresentación polar de la impedancia La impedancia es la relación entre los fasores de voltaje y corriente, por lo tanto sólo nos interesa la magnitud y el desfase entre voltaje e intensidad. Fasores de voltaje y corriente en una impedancia Z. El ángulo de la impedancia será igual pero de signo opuesto al ángulo de la corriente. Para una impedancia Z con desfase ϕ y ángulo inicial de voltaje θ: En un diagrama eléctrico se pueden representar la resistencia y la reactancia de una impedancia como elementos en serie. Las relaciones entre las componentes resistiva y reactiva quedan así: Z =+ j X =Z cos ϕ Z = + X tan = Z X 0º X 90º ϕ +90º La parte real o resistiva de una impedancia se comporta como una resistencia pura, y no produce desfase entre el voltaje y la corriente. Una resistencia sola es una impedancia resistiva que no tiene parte imaginaria. Si la impedancia es inductiva, se puede representar como la serie de una resistencia (parte real) y una inductancia (parte imaginaria positiva): V =V ef cos θ+ j V ef sen θ V =V ef θº I = I ef cos(θ ϕ)+ j I ef sen(θ ϕ) X L=Z sen ϕ I =I ef (θ ϕ)º V ef θº V V Z= = = ef ϕº I I ef (θ ϕ)º I ef ohm X L = Z 0º ϕ +90º Si la impedancia es capacitiva, se puede representar como la serie de una resistencia (parte real) y una capacitancia (parte imaginaria negativa): epresentación rectangular y compleja de la impedancia. esistencia y eactancia Podemos representar también una impedancia en forma rectangular con dos componentes en el plano cartesiano, una en el eje real, la parte resistiva, y una imaginaria o reactiva en el eje imaginario, llamada reactancia. La reactancia puede ser capacitiva (ángulo ϕ negativo) o inductiva (ángulo ϕ positivo). X C =Z sen ϕ X C = Z 90º ϕ <0º El valor complejo de una impedancia formada por una combinación de elementos pasivos básicos en serie y/o paralelo se calcula con las reglas de conexión en serie y en paralelo de los elementos que la componen, y operando en números complejos o vectores polares. Admitancia El inverso de la impedancia se llama admitancia y se mide en mho. La parte real de la admitancia es la conductancia y la parte imaginaria de la admitancia se llama susceptancia, las cuales no corresponden Electrotecnia Parte 3 Prof. Ing. Horacio Fabres Diciembre 0 33

6 necesariamente a los inversos de la resistencia ni de la reactancia de la impedancia correspondiente. Y= Z Admitancia: Para calcular impedancias en serie es más fácil si se plantean en forma compleja: n (mho) Y = G + j B (mho) Se pueden ordenar en una tabla: donde G = conductancia y B = susceptancia Mientras en un diagrama eléctrico una impedancia se puede representar como la serie (la suma vectorial) de una resistencia y una reactancia, la admitancia equivalente se representa como el paralelo (la suma vectorial) de una conductancia y una susceptancia. Conductancia y susceptancia La conductancia es el inverso de una resistencia, y la susceptancia el inverso de una reactancia, y se combinan siguiendo las leyes de las admitancias. Podemos deducir la admitancia, conductancia y susceptancia a partir de una impedancia: X Y= = = tan Z jx X Y= X G= cos tan X X X j sen tan X cos tan X mho X B= j sen tan X mho NOTA: De acuerdo a las ecuaciones anteriores, una admitancia NO es la suma de los inversos de la resistencia y la reactancia de la impedancia correspondiente, a menos que la impedancia sea una resistencia o una reactancia pura. En general: Y / + j/x. Combinación de impedancias El cálculo de impedancias compuestas utiliza reglas similares a las de las resistencias compuestas, aunque se deben usar las operaciones adecuadas según la representación que se elija, ya sea compleja o polar. Impedancias en serie: n Z S = i j X i n eal Imaginaria Z X Zn n Xn ZS n X+X +Xn n = ZP Zi Impedancias en paralelo: Para calcular impedancias en paralelo se debe hacer una operación más complicada. Primero se obtienen los inversos en forma polar, se trasladan a forma compleja y luego se suman en una tabla. Mag. Ang. eal Imaginaria /Z -ϕ /Z cos ϕ /Z sen -ϕ /Zn -ϕn /Zn cos ϕ n /Zn sen -ϕ n /ZP Σ /Zi cos ϕ i Σ /Zi sen ϕ i = YP = GP = BP Con estos resultados parciales se obtiene la admitancia, conductancia y susceptancia equivalentes del paralelo de impedancias. La impedancia equivalente es el inverso de la admitancia. Z P= B P = tan Y P G P +B P GP Luego se puede convertir a la forma compleja si se requiere. Para dos impedancias en paralelo el cálculo se puede hacer un poco más directo si se tienen las formas polar y compleja de cada una: Z P= Z Z Z +Z Z S = Z i Electrotecnia Parte 3 Prof. Ing. Horacio Fabres Diciembre 0 34

7 Combinación de admitancias Circuito -L en paralelo: Al igual que con las impedancias, las operaciones deben hacerse en forma vectorial. n Z= = = L j L Z ZL j Y P = Y i Admitancias en paralelo: Z= n = YP Yi Admitancias en serie: Debido a que las admitancias en paralelo se suman, algunos problemas se resuelven más fácilmente si se convierten las impedancias en admitancias. Impedancia de circuitos -C y -L Z= tan L L L tan L Impedancia de un circuito -L-C, resonancia Circuito -C en serie: Circuito -L-C en paralelo Z =Z Z C Z = j0 0 Z = j C j C Circuito -C en paralelo: Z= Z= Z ZC = j C C tan C Z= C [ ( Impedancia: Z =S + +j XL XC )] Circuito -L-C en serie tan C Circuito -L en serie: Z =Z Z L Z = j0 0 j L Z = j L Electrotecnia Parte 3 Prof. Ing. Horacio Fabres Diciembre 0 Impedancia: Z = j X L X C Las impedancias de los componentes capacitivos e inductivos se restan, ya que tienen direcciones opuestas sobre el mismo eje imaginario. En ambos casos la frecuencia de resonancia se produce cuando X L= X C ω L= ω= ω= f= ωc LC π LC LC 35

8 Circuito -L-C en paralelo la corriente es mínima en resonancia (debe minimizarse a la frecuencia fundamental) Las armónicas producen un aumento de corriente en los capacitores, motores y transformadores Circuito -L-C en serie la corriente es máxima en resonancia Alguna de las armónicas podría dañar componentes no filtrados Potencia bajo corriente alterna Potencia instantánea: P (t )=v (t )i (t ) La potencia media durante un ciclo es: P m = π v (t )i(t )dt π 0 Para una resistencia: v (t )=V P sen (ω t ) y i (t )= v(t), considerando por simplicidad θ=0 V p V ef π V p V p π Vp P m = 0 sen (ω t) dt= ( cos( ωt ))dt = π π= = =V ef I ef π π 0 Para un condensador o una inductancia: P m= π V p I p 0 sen(ω t )cos (ω t )dt =0 π Se concluye que de los elementos pasivos básicos, sólo las resistencias consumen potencia, calculada con los valores eficaces de voltaje y corriente, mientras los condensadores y las inductancias almacenan y devuelven energía. Electrotecnia Parte 3 Prof. Ing. Horacio Fabres Diciembre 0 36

9 Para una impedancia Z = V / I ϕ y un desfase entre V 0º e I -ϕ : P (t )=V p sen (ω t ) I p sen(ω t+ϕ)=v p sen (ω t ) I p (sen(ω t )cos ϕ+sen ϕ cos(ω t )) P(t )=V p I p (sen (ω t )cosϕ+sen (ω t )cos(ω t )sen ϕ) P m= P m= V I π p p ( π 0 π cosϕ sen (ω t )+ 0 sen ϕ sen (ω t )cos (ωt ) ) π V p I p cos ϕ 0 sen (ω t) + 0 = V I cos ϕπ=v ef I ef cos ϕ π π p p Para una resistencia, cosϕ es : P m =V ef I ef La potencia en un circuito resistivo - reactivo P t =S =V I POTENCIA TOTAL (VA) (POTENCIA APAENTE) Sabemos que la potencia media en un elemento reactivo (condensador, inductancia) es cero, pero nos interesa conocer todas las relaciones para una impedancia compuesta por elementos resistivos, capacitivos e inductivos. P a =P=V I cosϕ POTENCIA ACTIVA (W) (POTENCIA EAL) P r =Q=V I sen ϕ POTENCIA EACTIVA (VA) (POTENCIA IMAGINAIA) P t = P a +P r (VA) P a =P t cos ϕ= Pt P r Ya no nos intereresan los valores pico V p e Ip, en adelante sólo trabajaremos con V e I como valores eficaces o rms, con los cuales podemos calcular las potencias real, imaginaria, y aparente o total. (W) Impedancia inductiva: P r =P t sen ϕ=+ P t P a (VA) Impedancia capacitiva: P r =P t sen ϕ= P t P a (VA) 90º ϕ +90º 0º ϕ<+90º 90º ϕ 0º Debido a que por la definición de impedancia Z= =Z cos ϕ y V I X =Z sen ϕ entonces son válidas: Pt = V =I Z Z P a= P r= Electrotecnia Parte 3 Prof. Ing. Horacio Fabres Diciembre 0 V cos ϕ=i Z cos ϕ=i Z V sen ϕ=i Z sen ϕ=±i X Z 37

10 Factor de potencia y corrección del FP Una impedancia con un ángulo de desfase muy alto (cos ϕ muy bajo) obliga al sistema eléctrico a suministrar un amperaje muy alto en relación a la potencia efectivamentre utilizada. Este amperaje ocasiona pérdidas mayores en las líneas de transmisión, mayores caídas de voltaje, y requiere un generador de mayor capacidad. Un cos ϕ alrededor de se considera adecuado, aunque las empresas distribuidoras sólo penalizan cos ϕ menores de Se llama factor de potencia (FP o cos ϕ) a la relación entre la potencia media o activa y la potencia aparente o total. F.P. = Pa P = = cos ϕ Pt S 90º ϕ +90º Si 0 sen ϕ 0º ϕ 90º la carga es inductiva (corriente atrasada <=> FP atrasado) Si sen ϕ<0 90º ϕ<0º la carga es capacitiva (corriente adelantada <=> FP adelantado) Variación de la potencia reactiva y de la potencia total al reducir el ángulo de ϕ a ϕ, aumentando el cos ϕ Otra forma de entender la acción de los capacitores en la corrección del factor de potencia, es que los capacitores, por su capacidad de almacenar carga, y luego entregarla, serán los que suministrarán la corriente atrasada a las cargas inductivas, en lugar de que sea la fuente. Cálculo de la potencia capacitiva P r=p a tan ϕ P r =P a tan ϕ P c =P r P r=p a (tan ϕ tan ϕ ) P c=p a (tan (cos (cosϕ )) tan(cos (cos ϕ ))) Como puede observarse, la potencia activa no va a variar, pero sí va a reducirse la potencia reactiva y la potencia total, ya que PC será negativa. Los condensadores que se usan para la corrección del factor de potencia se denominan por su potencia capacitiva en KVA y no por su capacidad en farad, e indican el voltaje rms, fases, y frecuencia para el cual están fabricados. Por ejemplo: capacitor trifásico de,5 KVA a 480V 60 Hz. Generalmente la carga en cualquier establecimiento industrial o comercial tiene un factor de potencia inductivo causado por la inductancia de los motores. Este FP debe mejorarse (aproximarlo a ) para evitar multas y mejorar el desempeño de la instalación, conectando condensadores (capacitores) en paralelo con la carga, que compensen la impedancia inductiva de la misma. Después de calcular la necesidad de potencia reactiva capacitiva a adicionar, hay que buscar valores comerciales de capacitores disponibles en el mercado para el voltaje de la instalación, y que estén fabricados con este fin. Electrotecnia Parte 3 Prof. Ing. Horacio Fabres Diciembre 0 Por seguridad, deben disponer de elementos (resistencias o bobinas) para descargarlos en pocos minutos después de ser desconectados. La relación entre potencia Pr y capacidad C y se puede determinar como sigue: P r= V =V ω C Zc P r= π f C V 000 C=0 9 VA KVA P r [ KVA] π f V μf 38

11 Si se usa un capacitor de 480 volts a 40 volts y a la misma frecuencia, su potencia en KVA se reduce al 5% de la nominal a 480V. En general, se debe medir el voltaje real de la instalación para calcular la capacidad final de los capacitores a ese voltaje, y no a su voltaje nominal. Hay tres métodos de conexión de capacitores:. Instalar un banco de capacitores fijo y conectado permanentemente, que va a ayudar a compensar toda la instalación. Este banco no puede ser muy grande, pero es la opción más económica. Su capacidad en KVA no debe exceder el 0% de la capacidad del banco de transformadores en KVA, ya que sin carga, se podría llegar a una corriente adelantada o a la resonancia al conectar y desconectar.. Conectar capacitores individuales a los motores grandes, de manera que la carga inductiva de cada motor eléctrico quede compensada. No se debe exceder el 0 5% de la potencia del motor en KW porque se podría dañar el equipo de control del motor. Si todos los motores son pequeños o están controlados con convertidores de fecuencia, este método no es muy práctico. 3. Instalar un banco de capacitores automático varias etapas, el cual, por medio de controlador automático, irá conectando desconectando grupos de capacitores según factor de potencia y la carga del sistema. de un o el La conexión y desconexión frecuente de las etapas de un banco automático produce voltajes y corrientes transitorias elevados, las cuales pueden dañar equipos electrónicos. Debido a que la impedancia de un capacitor es inversamente proporcional a la frecuencia, cuando hay equipos que producen corrientes armónicas, las armónicas de orden mayor van a circular con mayor libertad, produciendo daños en los equipos de protección y control de un banco de capacitores automático, y en los mismos capacitores, por el calentamiento producido por el exceso de corriente, especialmente cuando se llega a la resonancia de los circuitos a una determinada frecuencia armónica. Banco de capacitores con fusibles y elementos de descarga Por estas razones, cada vez es más necesario instalar filtros para armónicas en los conductores alimentadores, aislando así las corrientes armónicas producidas en el interior de la planta o edificio, de los tableros principales y de los bancos de condensadores. Electrotecnia Parte 3 Prof. Ing. Horacio Fabres Diciembre 0 39

12 Capacidades máximas para la corrección individual de motores Electrotecnia Parte 3 Prof. Ing. Horacio Fabres Diciembre 0 40

13 Corriente alterna trifásica Es el voltaje o la corriente generada por una máquina rotativa de 6 polos o de una máquina equivalente con número par de polos conectados de manera tal de entregar tres valores senoidales distintos y separados 0º entre sí, cuyo período es igual al período de paso del rotor entre dos polos consecutivos del mismo signo y del mismo circuito o fase. Generador trifásico simple de polos por fase D. A esta también se le llama conexión en triángulo. Conexión estrella o Y Se conecta un terminal de cada fase a un punto común llamado neutro. De una fuente trifásica conectada en estrella salen 4 conductores, uno para cada fase (A, B y C) y uno para el neutro (N). Conexión estrella o Y Forma de onda y ángulos del voltaje inducido trifásico Diagrama fasorial de los voltajes de fase y de línea en una conexión estrellla Voltajes trifásicos sinusoidales Si: dφ v (t )= N = NBS sen (ω t +θ) dt Entonces si para v, θ=0 : v (t )=V sen ( π f t ) Voltaje de fase V F Voltaje de línea V L= 3 V F,73 V F Corriente de fase I F Corriente de línea I L=I F Potencias P=P A +P B +P C v (t )=V sen ( π f t 0º) v 3 (t)=v sen ( π f t 40º) Dependiendo de cómo se conecten los terminales de un aparato trifásico (generador, motor, resistencias, etc.), la conexión puede ser estrella o Y o delta Electrotecnia Parte 3 Prof. Ing. Horacio Fabres Diciembre 0 Conexión delta, Δ o triángulo Se conecta el o. terminal de cada fase al primer terminal de la siguiente. No existe neutro. De una fuente trifásica en delta salen 3 conductores, uno para cada fase (A, B y C). 4

14 Conexión delta (Δ) o triángulo Fuente en delta carga en delta Fuente en delta carga en estrella Voltaje de fase V F Voltaje de línea V L=V F Corriente de fase I F Potencia P=P A +P B +P C Conexión de una carga trifásica a una fuente trifásica Los siguientes diagramas muestran las diferentes configuraciones posibles, con fuentes y cargas en estrella o en delta. Fuente en estrella carga en estrella Cargas balanceadas Son las cargas eléctricas trifásicas cuya corriente, potencia y factor de potencia son iguales en las tres fases, y donde se cumple P = 3 V FIF cos ϕ. Ejemplo: motores eléctricos trifásicos nuevos, hornos con 3 resistencias idénticas. Si v(t) e i(t) son los voltajes y corrientes de fase: p(t) = Vp (sen(ωt)) Ip sen(ωt + ϕ)) p(t) = Vp (sen(ωt - /3π)) Ip sen(ωt - /3π+ ϕ)) p3(t) = Vp (sen(ωt 4/3π)) Ip sen(ωt 4/3π+ ϕ)) Fuente en estrella carga en delta Se puede demostrar que en cada instante: P (t )= p (t)+ p (t )+ p 3 (t )=3 V Fef I Fef cos ϕ y también: P (t )= p (t )+ p (t)+ p 3 (t )= 3V Lef I Lef cos ϕ P(t) es un valor constante en el tiempo y a lo largo del ciclo, y esa es una gran ventaja de un sistema trifásico balanceado, como el caso de los motores, donde todas las fases son idénticas. Electrotecnia Parte 3 Prof. Ing. Horacio Fabres Diciembre 0 4

15 Diagrama fasorial de voltajes y corrientes de línea en un sistema trifásico balanceado (corrientes iguales) Para una conexión estrella desbalanceada: IA, IB, IC dependen de las cargas conectadas entre cada fase y neutro o entre fases (cargas de línea o trifásicas). P a =V F ( I A cosϕ A+ I B cos ϕb +I C cos ϕc ) Si Φ =Φ =Φ 3, la corriente de neutro es: Si las impedancias en 'Y' son iguales: Voltaje de fase V F = VL 3 P t =3 V F I F = 3 V L I L P a =3 V F I F cos ϕ= 3 V L I L cos ϕ P r =3 V F I F sen ϕ= 3 V L I L sen ϕ Corriente de neutro I N =0 Si las impedancias en 'Δ' son iguales: Corriente de fase I F = IL 3 P t =3 V L I F = 3 V L I L P a =3 V L I F cosϕ= 3V L I L cos ϕ P r =3 V L I F senϕ= 3V L I L sen ϕ Cargas desbalanceadas Son cargas eléctricas trifásicas formadas por cargas diferentes en cada fase. El caso más común es una carga de alumbrado y tomacorrientes conectados a un tablero trifásico, como un edificio. En este caso debe calcularse la potencia, voltaje neto y corriente separadamente para cada fase. Diagrama fasorial de voltajes y corrientes de línea en un sistema trifásico desbalanceado (corrientes desiguales) I N = I A +I B +I C I A I B I B I C I C I A Si no existe conductor de neutro, el punto común de las cargas se llama neutro flotante y si las cargas llegan a desbalancearse, pueden producirse desbalances severos entre los voltajes de fase. En una conexión delta desbalanceada: Las corrientes de fase I AB, IBC, ICA dependen de las cargas conectadas entre cada líneas. P a =V L ( I AB cos ϕ AB +I BC cos ϕ BC +I CA cos ϕca ) Si Φ =Φ =Φ 3, las corrientes de línea son: I A = ( I AB+ I CA +I AB I CA) I B = (I BC +I AB+I BC I AB ) I C = (I CA +I BC +I CA I BC) Estas ecuaciones se resuelven fácilmente para las corrientes de fase si dos corrientes de línea son iguales y positivas, por ejemplo IA = IB, entonces: I BC =I CA= I AB= I A IC 3 I C I C 4 3 Para resolver las corrientes de fase conociendo las corrientes de línea, si estas están totalmente en desbalance, se deben utilizar métodos numéricos, como por ejemplo, aproximando resultados en una tabla. Conductores eléctricos en sistemas trifásicos Como se puede observar en los diagramas de conexión estrella y delta, se requieren 3 conductores para la transmisión de la energía, de manera que se Electrotecnia Parte 3 Prof. Ing. Horacio Fabres Diciembre 0 43

16 utilizan conductores más delgados que en un sistema monofásico para transmitir la misma potencia, con las ventajas que ello conlleva sobre el costo. Unicamente en caso de cargas desbalanceadas conectadas en estrella, donde el neutro sí conduce corriente, se requiere un cuarto conductor. En la mayoría de las instalaciones donde el neutro sólo conduce las corrientes de desbalance, se puede utilizar un conductor de neutro más delgado que los de las fases. El ahorro en material conductor de un sistema trifásico con respecto a uno monofásico es del 5%. Teorema de Kennelly (conversión de impedancias D-Y y Y-D) Una delta o triángulo de impedancias se puede convertir a una estrella de impedancias equivalente, y viceversa, con las siguientes fórmulas, aplicadas vectorialmente: De Delta a Estrella: Z AB Z AC Z AB Z BC Z AC Z AB Z BC Z BN = Z AB Z BC Z AC Z AC Z BC Z CN = Z AB Z BC Z AC Para impedancias iguales: Z ZY= 3 Z AN = De Estrella a Delta: Z AN Z BN Z CN Z Z Z BC =Z BN z CN BN CN Z AN Z Z Z CA=Z AN Z CN AN CN Z BN Para impedancias iguales: Z AB=Z AN Z BN Z =3 Z Y Electrotecnia Parte 3 Prof. Ing. Horacio Fabres Diciembre 0 Ilustración de la conversión de Kennelly La conversión de Kennelly es útil para resolver impedancias trifásicas compuestas que incluyen cargas en delta y cargas en estrella en paralelo, ya que al convertir las cargas delta en estrella, se puede trabajar con cada fase individualmente. Ejercicio: demuestre que V L P t= ZY y que 3 V L P t= ZΔ Energía y carga de un sistema eléctrico Factor de diversidad Es la relación entre la carga máxima conectada en cualquier momento y la carga total de una instalación o circuito eléctrico, por efecto de la no simultaneidad pre-establecida de las cargas. Ejemplo: dos bombas instaladas para obtener confiabilidad del suministro de agua por redundacia (una queda de reserva), pero que no están programadas para utilizarse simultáneamente. Factor de demanda Es la relación entre la demanda máxima de potencia y la carga total de una instalación eléctrica por efecto de la no simultaneidad aleatoria de las cargas. Ejemplo: en un edificio de apartamentos es improbable que todas las luces de todos los apartamentos estén encendidas al mismo tiempo, o que todas las lavadoras de ropa funcionen simultáneamente. Una estimación bien informada de los factores de demanda de una instalación eléctrica permite utilizar conductores y equipos eléctricos de tamaño adecuado, sin dimensionarlos en forma excesiva para el uso real que van a tener. Para la mayoría de los diferentes tipos de edificación, tales como residencial, multifamiliar, educativa, oficinas, hoteles, restaurantes y fincas, el código eléctrico NEC (NFPA-70) establece los factores de 44

17 demanda mínimos permitidos para el cálculo de los conductores alimentadores. Demanda máxima Es la relación entre la potencia promedio y la potencia máxima durante un período de tiempo. Ejemplo: la potencia promedio durante un mes comparada con la demanda máxima de una casa de bombas; esta demanda máxima puede llegar a ser la potencia total de las bombas, cuando todas funcionan simultáneamente a potencia máxima durante algunos intervalos, sin embargo la potencia promedio es la energía consumida en Kw-h durante el mes, dividida entre las horas del mes (70 para un mes de 30 días). Un componente de la factura eléctrica para una carga importante comercial o industrial es el cargo por demanda máxima, que es la medición de la energía en intervalos cortos (5 o 30 minutos), registrándose durante el mes el intervalo corto de mayor consumo promedio. Esto produce un cargo por demanda que puede superar al cargo por consumo total de energía. La justificación de este cargo es que una demanda máxima muy alta en relación a la demanda promedio, obliga a la empresa eléctrica a disponer de mayor capacidad de generación y distribución para suplir los períodos de mayor demanda, capacidad que resulta sub-utilizada el resto del tiempo. Consumo de energía Factor de potencia El principal componente de la facturación de la empresa eléctrica es el consumo de energía, el cual se mide en el medidor de la empresa eléctrica instalado en la acometida principal del cliente. El medidor es un integrador de la potencia en el tiempo. El otro componente importante de la facturación de energía eléctrica industrial o comercial es el recargo por bajo factor de potencia, que se vio anteriormente. Factor de carga T T W = T P dt= T v (t)i (t) dt En un sistema trifásico, la capacidad de los capacitores de corrección del factor de potencia se calcula igual que en un sistema monofásico, pero se utilizan capacitores trifásicos. Sistemas normalizados de voltaje secundario (baja tensión) MONOFASICOS Volts Sistemas americanos 60 Hz TIFASICOS Y Volts TIFASICOS Δ Volts 0/40 (+) esidencial, comercio pequeño 0/08 (*) 0/ /40 77/480 (#) 345/600 Sistemas europeos 50 Hz USO 0 (antiguo) 30 (nuevo)(&) 0/380 (antiguo) 30/400 (nuevo) 40/45 7/0 esidencial (apartamentos) esidencial (aptos.), comercial Industria pequeña, mediana Talleres, pequeña industria Industria, complejos comerciales Industria con motores de 600V esidencial, comercio pequeño Talleres, industria Gran Bretaña G.B. y antiguas colonias británicas, en obsolescencia (+) El neutro sólo conduce el desbalance de corriente de las líneas vivas. (*) Se deriva de un sistema trifásico en estrella; la corriente en el neutro correspondiente a las cargas de 0V de ambas líneas vivas se suma vectorialmente y puede ser igual a la de las líneas vivas. (&) Se utiliza una sola fase de un sistema trifásico. (#) El voltaje de 77V de línea a neutro se utiliza para iluminación fluorescente o de descarga HID. Electrotecnia Parte 3 Prof. Ing. Horacio Fabres Diciembre 0 45

18 EJECICIOS ESUELTOS. Calcule el valor pico de un voltaje de valor eficaz a) 0 V b) 40 V c) 480 V d) V a) Vp = 0 = 70 V c) Vp = 480 = 679 V b) Vp = 40 = 339 V b) Vp = = V = 48,8 KV. Una instalación eléctrica donde la corriente puede llegar a circular por el suelo debido a un contacto fortuito del conductor activo con una cerca metálica, produce una caída de tensión entre el punto de contacto fortuito y la conexión a tierra del neutro en la base del poste de la compañía eléctrica. Por qué razón el ganado muere fácilmente si se produce una fuga de corriente a tierra desde un punto situado a 0 metros de la fuente de 0V en una finca con una instalación deficiente? Caída de voltaje máxima a lo largo de la tierra: VMAX = Vp = 0 = 70 V Caída de voltaje en cada metro: dv = VP / L = 70 / 0 = 7 V / m Si las patas delanteras y traseras de un animal están separadas,4m, el voltaje que recibe la vaca es de 7 x,4 = 3,8 V, y para que resulte en un paro cardíaco basta con unos 0 ma, lo cual ocurrirá con una resistencia de 3,8 / 0,00 = 4760 ohm. 3. Calcule los valores individuales y totales de la potencia eléctrica consumida (activa), potencia reactiva, potencia total (o aparente) y la impedancia a plena carga de tres motores eléctricos monofásicos que tienen los siguientes datos de placa: M: 7 A a 40 V 60 Hz, factor de potencia de 0,84 M: 9,6 A a 40 V 60 Hz con FP = 0,77 M3:, A a 40 V 60 Hz con FP = 0,8 Motor V ef I ef Cos ϕ rad M M M3 Totales ,6, 38,7 0,84 0,77 0,8 0,8 0,574 0,69 0,67 0,609 Pa (W) VI cos ϕ Pr (VA) VI sen ϕ Pt (VA) VI Z(Ω) V/I 8,89 5 4,3 6,0 Pa y Pr totales son las sumatorias de las individuales, mientras Pt debe calcularse obteniendo la raíz Electrotecnia Parte 3 Prof. Ing. Horacio Fabres Diciembre 0 46

19 cuadrada de la suma de los cuadrados de Pa y Pt totales. Las potencias totales no se pueden sumar ya que tienen ángulos diferentes. Cos ϕ del conjunto = Pa / Pt Ief = Pt/V ef Zt = Vef / I ef 4. Para los motores anteriores, calcule la potencia en Kvar de un condensador que lleve el factor de potencia del conjunto a: a) 0,9 atrasado b) 0,95 atrasado c) 0,98 atrasado Pc = Pa (tan(acos(cosφ)) tan(acos(cosφ))) a) Pc = 765 (tan(0,606 rad)-tan(acos(0,9))) = 765 (0,693 0,46) = 036 VA b) Pc = 765 (tan(0,606 rad)-tan(acos(0,95))) = 765 (0,693 0,39) = 775 VA c) Pc = 765 (tan(0,606 rad)-tan(acos(0,98))) = 765 (0,693 0,03) = 3736 VA Observe que para mejorar el FP a 0,98 se requiere casi el doble de potencia capacitiva que para subirlo a 0,9, y este es todavía mejor que lo exigido por las empresas eléctricas (0,9), pero un FP de 0,9 ofrece un factor de seguridad por si hubiera aumento de la carga.. 5. Si se pone en paralelo con cada motor un condensador, calcule a) la impedancia de cada condensador: Para M: C=00 uf Condensador C C C3 Para M: C= 40 uf C (F) Para M3: C3= 0 uf rad -,57 -,57 -,57 Z= /( πfc) 6,53 66,3 65,3 b) Calcule las impedancias en paralelo de cada conjunto motor-condensador. M//C M C MxC M+C MxC/(M+C) eal 7,47 0 Imaginario 4,83-6,53 7,47 -,70 M//C M C MxC M+C MxC/(M+C) eal 9,5 0 Imaginario 5,95-66,3 9,5-50,37 M3//C3 M3 C3 M3xC3 M3+C3 M3xC3/(M3+C3) eal 9,58 0 Imaginario 67,06-65,3 9,58-98,4 Electrotecnia Parte 3 Prof. Ing. Horacio Fabres Diciembre 0 Magnitud 8,89 6,53 35,85,95 0,8 rad 0,574 -, ,39 0,4 Magnitud 5,00 66,3 658,00 53,9 30,75 rad 0,69 -, ,0 0,33 Magnitud 4,3 65,3 3033,8 8,79 38,60 rad 0,67 -,57-0,944 -,34 0,90 47

20 Calcule c) el factor de potencia, d) la corriente y e) las potencias de cada conjunto. Observe cómo se reduce la corriente y mejora el factor de potencia en cada conjunto motor-condensador en relación al motor solo. Motor M M//C M M//C M3 M3//C3 V ef (V) d) I ef (A) V/Z 7 3,35 9,6 7,8,,73 c) cosφ rad 0,84 0,97 0,77 0,95 0,8 0,98 0,574 0,4 0,69 0,33 0,67 0,90 Pa (W) VIcosφ e) Pr (VA) VIsenφ Pt (VA) VI Z (ohm) 8,89 0,8 5 30,75 4,3 38,6 6. Tenemos una lámpara de descarga de alta intensidad de 400W a 40V 60 Hz cuyo conjunto (bombillo y balastro en serie) tiene un factor de potencia de 0,6. Calcule a) la corriente b) la impedancia del conjunto. c) Suponiendo que el bombillo funciona como una carga resistiva, calcule su valor en ohm y el valor de la reactancia representada por el balastro. d) Calcule la capacidad en uf de un condensador a conectarse en paralelo con el conjunto para elevar el FP a 0,95. e) Cuál es la impedancia total de la lámpara con su condensador al conectar este? a) Pt = Pa / cos ϕ = 400 / 0,6 = 667 VA I = Pt / V = 667 / 40 =,78 -cos- (0,6) A b) Z = V / I = 40 /,78 = 86,3 cos- (0,6) ohm c) Z = + j X debido a que el conjunto es una serie. = Z cos ϕ = 5,8 ohm 0º ohm X = j Z sen ϕ = 69,04 90º ohm d) Pc = Pa (tan(acos(cos ϕ)) tan(acos(cos ϕ))) = 400 (tan(acos(0,6))-tan(acos(0,95))) Pc = 400 (,333-0,39) = 40,6 VA capacitivos Zc = V / I = V / Pc = 40 / 40,6 = 43,4 -π/ rad (ohm) C= / π f Z = 8,5 uf e) Pt = Pa / cos ϕ = 400 / 0,95 = 4 VA (inductiva) I = Pt / V = 4 / 40 =,754 acos(0,95) A Zf = V / I = 40 /,754 = 36,8 0,37 rad (ohm) 7. Si los motores del ejemplo 5 (sin sus condensadores) pertenecen a una fábrica de helados que se ilumina con 8 lámparas como las indicadas (con su condensador), a) Calcule la potencia activa total en KW, la potencia reactiva total en KVA, la potencia total en KVA y el factor de potencia. b) Calcule la factura eléctrica mensual para una jornada de 0 horas durante días hábiles mensuales, a 90 colones cada Kw-h. c) Explique por qué no se deben sumar aritméticamente las potencias totales, sólo las activas o las reactivas. a) Pa = Pa motores + Pa luces = x 400 = 085 W Pr = Pr motores + Pr luces = Pt luces sen φ Pr = x 4 x sen(0,37rad) = 638 VA Electrotecnia Parte 3 Prof. Ing. Horacio Fabres Diciembre 0 48

21 Pt = (Pa + Pr)/ = 539 VA FP = Pa / Pt = 085 / 539 = 0,863 b) W = Pa x Horas / 000 = 085 x 0 x / 000 = 38,5 Kw-h Factura = W x Precio = 38,5 x 90 = 4,335 colones c) Las potencias totales no se deben sumar aritméticamente debido a que no tienen el mismo ángulo. 8. Calcule a) la corriente total b) la caída de tensión aproximada en la alimentación, c) la potencia perdida en los conductores de alimentación si esta tiene 35 metros de longitud y está formada por conductores No. AWG en tubería de acero. Debido a características propias de los motores de inducción y de las lámparas de descarga, la potencia casi no varía con pequeñas variaciones de voltaje, por lo cual supondremos que la corriente en la carga será la misma aun cuando el voltaje tenga una caída en la alimentación. d) calcule la magnitud de la corriente de cortocircuito máxima posible (valor pico) al final de la alimentación. a) I = Pt / V = 539 / 40 = 5.5 A -0,530 rad (corriente inductiva) b) a = 0,66 ohm / Km = x 0,66 x 35 /000 = 0,046 ohm Xa = 0,87 ohm / Km = x 0,87 x 35 / 000 = 0,03 ohm Za = (a + Xa ) atan(xa / a) = 0,048 0,76 rad (ohm) Va = Za I = 0,048 x 5.5 0,76 +(- 0,530) rad =,5 V -0,54 rad c) Pa alimentación = Ia a = 5.5 x 5.5 x 0,048 = 3 W d) Icc = Vef / Za = 40 x,44 /.048 = 7070 A 9. Dos cargas trifásicas balanceadas conectadas en paralelo a 08V 60 Hz son: a) Una carga A conectada en Y con una corriente de fase de 3 A y un F.P. atrasado de 0,85 b) Una carga B conectada en delta con una potencia total de 3 KW y un F.P. atrasado de 0,9 Calcule: a) Corriente fasorial de línea de la carga en estrella IA = 3 cos- 0,85 = 3-3,79º = 3 x 0,85 + j 3 sen -3,79º =,05 j 6,848 A b) Corriente fasorial de línea de la carga en delta PTB = PAB / cos ϕ = 3000 / 0,9 = 3333 VA IB = PTB / V / 3 = 3333 / 08 /,73 = 9,5 cos- 0,9 IB = 9,5-5,84º = 9,5 x 0,9 + j 9,5 sen -5,84º = 8,37 j 4,033 A c) Corriente total de línea en forma polar y F. de Pot. (indicar Adelantado o Atrasado) IT = IA + IB = (,05 j 6,848) + (8,37 j 4,033) = 9,377 - j 0,88 IT = (9, ,88) tan- (0,88/9,377) =, -9,3º A F.P. = cos -9,3º = 0,87 atrasado d) Potencias total, activa y reactiva PT = V I 3 = 08 x, x.73 = 8005 VA PA = V I cos ϕ 3 = 08 x, x 0,87 x.73 = 6980 W P = (PT PA) = 399 VA inductivos e) Potencia en VA de un banco de condensadores que suba el FP total a 0,9 PC = PA (tan(cos- 0,87) - tan(cos- 0,9)) = -946 VA (capacitivos) Electrotecnia Parte 3 Prof. Ing. Horacio Fabres Diciembre 0 49

22 f) Potencia total y corriente total del conjunto incluyendo el banco de condensadores P = P + PC = = 973 VA PT = 3 (PA + P) = 7588 VA ( se redujo en = 47 VA) IT = PT / V / 3 = 7588 / 08 /,73 =,06 A (se redujo en,-,06 =,6 A) 0.Tres cargas trifásicas balanceadas conectadas en paralelo se alimentan desde el secundario de un transformador con 3 conductores, cada uno con una impedancia de 0,03 + j0,0 ohm y son: a) Un horno (carga resistiva) de 30V (voltaje de línea) conectado en estrella con una corriente de fase de 30 A b) Una máquina conectada en delta con una potencia de 7 KW a 30V y un factor de potencia atrasado de 0,75 c) Un motor trifásico con una corriente de línea de 38 A y KW de potencia eléctrica. Suponiendo que el voltaje de línea que llega a cada máquina es de 30V 60 Hz debido a la caída de voltaje en la alimentación, calcule (6 x 0 = 60 puntos): a) Potencia activa, reactiva y total, y corriente total del conjunto Horno: PA= VL x IL x 3 cos(0º) = 30 x 30 x 3 x = 95 W; PT = PA= 95 VA; P = 0 Máquina: PA= 7000 W; PT = PA / cosϕ = 7000 / 0,75 = 667 VA; P = (PT-PA) = 4993 VA Motor: PA = 000 W; PT = VL x IL x 3 = 30x38x 3 = 538 VA; P = (PT-PA) = 0400 VA Conjunto: PA = Σ PA = = 3995 W; P = Σ P = = 5393 VA PT = (PA+P) = ( ) = VA; IT = PT / (VL 3) = 9 A b) Potencia compleja (S = P + jq) perdida en la alimentación S = 3IT + j 3IT X = 3x9x0,03 + j3x9x0,0 = 7+j847 VA c) Potencias activa, reactiva y total y FP de toda la instalación incluyendo máquinas y conductores P=3995+7=4 W; Q= =640 VA; S= (P+Q) = VA FP = P / S = 4 / = 0,844 d) Voltaje a la salida del transformador. Si los valores comerciales cercanos son ,5 KVA, es suficiente un transformador de 45 KVA, o cuál se debe usar? VS = S / (IT 3) = / (9 3) = 37 V (la caída de voltaje es aproximadamente de 7V) Si la potencia total S es de VA 49 KVA, se debe usar el transformador de 75 KVA e) Potencia en VA de un banco de condensadores conectado a la salida del transformador que suba el FP total a 0,9 PC = P (tan(acos(0,9))-tan(acos(0,844)))= VA f) Potencia total y corriente del secundario incluyendo el banco de condensadores. Es suficiente ahora un transformador de 45 KVA? P=4 W; Q= =7560 VA; S= (P+Q) = VA; IS = S / (VS 3) = 09 A En este caso el transformador de 45 KVA es suficiente, siempre que el banco de condensadores funcione corectamente. Puede ser inconveniente no contemplar el caso de falla. Electrotecnia Parte 3 Prof. Ing. Horacio Fabres Diciembre 0 50

23 .Circuito de corriente alterna con dos fuentes. Ley de voltajes de Kirchoff: V Z=V V Z3 y V Z=V V Z3 Ley de corrientes de Kirchoff: I 3 =I +I V Z3 V V Z3 V V Z3 = + Z3 Z Z V Z3 Z Z =(V V Z3 )Z Z 3+(V V Z3) Z Z 3 V Z3= V Z Z 3 +V Z Z 3 Z Z +Z Z 3 +Z Z 3 Ya se pueden calcular V Z,V Z y las corrientes I Z, I Z, I Z3 Nótese la analogía con un circuito magnético con tres brazos y doble excitación! (ver ejercicios parte ).Circuito trifásico estrella estrella desbalanceada. Determinar los voltajes en la carga. Debe considerarse la misma polaridad en las 3 fuentes, así como en las 3 corrientes de la carga. Los ángulos determinarán el sentido real de la corriente en cada instante. Determinaremos primero el voltaje Vn en el neutro de la carga (neutro flotante) con respecto al neutro de la fuente VN = 0. Ley de corrientes de Kirchoff en n : I + I +I 3 =0 => Electrotecnia Parte 3 Prof. Ing. Horacio Fabres Diciembre 0 V Z V Z V Z3 + + =0 Z Z Z3 5

24 V Z Z Z 3+V Z Z Z 3 +V Z3 Z Z =0 (V V n ) Z Z 3 +(V V n )Z Z 3 +(V 3 V n )Z Z =0 V n (Z Z +Z Z 3 +Z Z 3 )=V Z Z 3+V Z Z 3 +V 3 Z Z V n= V Z Z 3+V Z Z 3 +V 3 Z Z Z Z +Z Z 3 +Z Z 3 V Z=V V n V Z =V V n V Z3 =V 3 V n En cualquier caso páctico, todas las operaciones se deben hacer vectorialmente. Una aplicación práctica del neutro flotante es un circuito para determinar la secuencia de fases de una fuente trifásica (Práctica 6-3 de LabVolt, Circuitos de potencia y transformadores). La solución del ejercicio 0 es un caso especial del donde V3=0 y Vz3=Vn. Electrotecnia Parte 3 Prof. Ing. Horacio Fabres Diciembre 0 5