Centro de Investigación Operativa

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1 Centro de Investigación Operativa I Modelos probabilísticos de localización por cubrimiento: una panorámica Fernando Borrás y Jesús T. Pastor March 2004 ISSN Depósito legal A Centro de Investigación Operativa Universidad Miguel Hernández de Elche Avda. de la Universidad s/n Elche (Alicante) cio@umh.es

2 MODELOS PROBABILÍSTICOS DE LOCALIZACIÓN POR CUBRIMIENTO: UNA PANORÁMICA. Fernando Borrás y Jesús T. Pastor Centro de Investigación Operativa Universidad Miguel Hernández de Elche Marzo 2004 Resumen En este trabajo se revisarán los modelos probabilísticos de localización por cubrimiento utilizados habitualmente para ubicar servicios de emergencia. Con el fin de apreciar la evolución de este tipo de modelos, comenzaremos presentando los modelos de localización por cubrimiento más sencillos y seguiremos con su desarrollo histórico pero estructurado. Los modelos a los que nos referimos son típicamente discretos: las llamadas de emergencia se generan en un conjunto finito de nodos-demanda y los servidores que las atiendan se ubican, a través del modelo, en un subconjunto de estaciones que se debe seleccionar dentro de un conjunto finito de posibles nodos-servicio. A la hora de seleccionar el subconjunto de estaciones hay dos planteamientos posibles. Ó bien se fija de antemano el número total de servidores a ubicar, ó bien el modelo trata de minimizarlos. En el primer caso, distinguiremos los modelos cuyo objetivo reside en lograr la máxima eficiencia en la respuesta a las llamadas de emergencia de aquellos cuyo objetivo consiste en maximizar la equidad en el servicio que se presta al conjunto de nodos-demanda. En el segundo caso, las restricciones del modelo garantizan la consecución de unos niveles de servicio fijados de antemano. Así, el modelo más sencillo -y más antiguo, publicado en garantiza el cubrimiento total de los nodos-demanda, entendiéndose por cubrir el disponer de al menos un servidor a una distancia menor del umbral máximo admisible, definido en función de las características del servicio de emergencia que se esté modelizando. Naturalmente, si se conoce el número de llamadas diarias que se generan en cada punto-demanda los modelos deben tratar de atenderlas en la medida de sus posibilidades, surgiendo de forma natural los modelos probabilísticos. (El primer modelo probabilístico apareció en 1974, si bien nunca fue publicado.) En este trabajo prestaremos especial atención a los modelos probabilísticos derivados del Probabilistic Location Set Covering Problem, sin olvidar los correspondientes al Maximal Expected Covering Location Problem. Mostraremos formas alternativas de estimar la fracción de ocupación de cada vehículo, con sus respectivas modelos y métodos de resolución. En el terreno de la modelización nos preocuparemos por conseguir modelos lineales. Sugeriremos un método para estimar la eficiencia y la equidad alcanzada por una cierta asignación de vehículos sin necesidad de recurrir a la simulación. Por último mostraremos, por vez primera, dos modelos que maximizan la equidad, así como un nuevo modelo biobjetivo que aúna eficiencia y equidad, e indicaremos posibles líneas de investigación futuras. 1

3 I. Modelos deterministas I.1. El problema del cubrimiento total (LSCP) y relacionados. En localización, los modelos de cubrimiento surgen a partir del trabajo pionero de Toregas et al. [38]. Dichos autores plantean - sobre una estructura típica de red, de la cual conocemos los nodos-demanda y un conjunto de nodos donde ubicar los posibles puestos de servicio - la determinación del mínimo número de estaciones de servicio capaces de cubrir a todos los nodos demanda. La noción de cubrimiento está ligada a la definición de una distancia máxima, S, superada la cual el servicio que se presta pierde todo su valor. Pensemos, por poner un ejemplo, en localizar un servicio de ambulancias; en general, cualquier tipo de servicio de emergencia se adecua a este esquema. Se supone que todos los nodos-demanda - donde se ha discretizado la demanda del servicio correspondiente - son accesibles desde todos los nodos-servicio y, por tanto conocemos la correspondiente matriz de distancias (ó de tiempos de desplazamiento). Con cierta frecuencia, en la práctica son los propios nodos-demanda los que se eligen como nodos-servicio. La formulación del correspondiente problema de programación lineal con variables binarias es: Min j Jx j (1. 1) s.a. x j 1 i I (1. 2) x j {0, 1} j J, (1. 3) donde: J es el conjunto de potenciales ubicaciones de servicios de emergencia; I es el conjunto de nodos cuya demanda debe ser atendida; d ij es la distancia que separa el nodo i del potencial puesto de servicio j; N i = {j J/ d ij S} es el conjunto de ubicaciones potenciales que pueden servir al nodo i dentro { del tiempo máximo o distancia máxima S; 1, si una estación es ubicada en el lugar j x j = 0, en caso contrario El objetivo (1. 1) minimiza el número de estaciones necesarias de manera que, de acuerdo con (1. 2), cada nodo demanda i tenga al menos un servicio de urgencias dentro de la distancia máxima S. Finalmente (1. 3) determina el carácter binario de las variables, es decir, establece los puestos de servicio j en funcionamiento (x j = 1) y los inactivos (x j = 0). Este problema, denominado el problema del cubrimiento total, y al que nos referiremos como LSCP (Location Set Covering Problem), está estrechamente emparentado con el SCP (Set Covering Problem). De hecho, la única diferencia reside en los coeficientes de la función objetivo, que en el SCP pueden tomar valores distintos, por lo que al LSCP se le conoce también como SCP con pesos constantes (en realidad, unitarios). Su resolución, para problemas de tamaño mediano (menos de 100 nodos), no presenta grandes dificultades. De hecho algunos autores, como Rosing et al. [33] llegaron a sugerir que siempre, en 2

4 casos prácticos, el problema lineal relajado ó bien daba directamente una solución entera, ó bien ésta se alcanzaba tras adicionar un plano de corte sencillo al problema. Pastor[27] mostró que ello no ocurría ni siquiera en el ejemplo histórico con 30 nodos del estado de Nueva York listado en el primero de los trabajos mencionados. Ello dio lugar al diseño de nuevos heurísticos para la resolución de LSCP s de tamaño mediano y grande. Así, Almiñana y Pastor [2] publicaron dos nuevos heurísticos tipo greedy, el FMC y el CMA, basados en criterios de eliminación de filas y/o columnas redundantes en la matriz de restricciones del problema, que proporcionaron mejores resultados computacionales, sobre una batería de problemas test de dimensiones hasta 100x400, que los hasta entonces considerados como mejores heurísticos greedy, los GH1 y GH2 de Vasko y Wilson [39]. Estos autores, en la misma publicación, presentaron el heurístico híbrido OPTSOL70, que resultaba ser el más eficiente diseñado hasta esa fecha. Posteriormente Almiñana y Pastor [3] propusieron un heurístico lagrangiano subrogado, denominado RS, superior a todos los anteriores, incluyendo el OPTSOL70 (véase [4] ). Desafortunadamente, la estación más cercana no siempre está disponible cuando una llamada llega al sistema. En la localización de servidores en sistemas congestionados, el LSCP puede ser usado, en un primer paso, para determinar la ubicación de las estaciones, pero no es capaz de determinar cuántos vehículos deben ser asignados a cada base. Algunas veces, un único vehículo en cada estación seleccionada puede ser bastante para cubrir las necesidades del sistema, si aseguramos que cada nodo demanda pueda ser servido por diferentes estaciones dentro del tiempo S. Por esta razón se ha diseñado un grupo de modelos para garantizar el cubrimiento múltiple. Berlin y Liebman [9] y Daskin y Stern [19] buscan el óptimo alternativo al LSCP con el que se obtiene el mayor número de cubrimientos adicionales sobre el conjunto de todos los nodos demanda. El defecto de esta formulación es que maximiza el total de cubrimientos redundantes sin tener en cuenta la magnitud o el número de llamadas de cada nodo demanda. Benedict [8] y Eaton et al. [20] corrigen esta deficiencia y encuentran el óptimo alternativo al LSCP que maximiza la suma de cubrimientos adicionales ponderado por la frecuencia de llamadas de cada nodo. Otra desventaja de estos modelos es que los cubrimientos adicionales pueden concentrarse en algunos nodo demanda, dejando otros con un único servidor. Hogan y ReVelle [22] maximizan el número de nodos con un segundo servidor (primer recubrimiento) en su BAckup COverage Problem 1 (BACOP1). La limitación que supone que en cada estación se ubique un solo vehículo junto a una demanda no uniforme dió lugar a la aparición de una nueva familia de problemas probabilísticos, cuyo primer miembro fue el BPLSCP de ReVelle y Hogan [30]. Naturalmente, se suponen conocidos los requerimientos de cada nodo demanda y los problemas se plantean sin restringir el número total de vehículos a ubicar. Estos modelos garantizan el cubrimiento total y, curiosamente consideran, de forma natural, la equidad del sistema. I.2 El problema del cubrimiento maximal (MCLP) y relacionados. El LSCP requiere que cada nodo sea cubierto al menos una vez, circunstancia que muchas veces no puede ser satisfecha, dado que el número de estaciones que deben ser 3

5 activadas para verificar este requerimiento puede originar un gasto excesivo. Además, en ciertas ocasiones, se ubican estaciones que solamente cubren nodos periféricos con muy poca demanda. Para evitar estos incovenientes, Church y Revelle en 1974,[17], formulan el Maximal Covering Location Problem (MCLP) que maximiza el número de llamadas que son atendidas por al menos una estación cuando se dispone de p estaciones, donde p es menor o igual que el valor óptimo del LSCP. (En un artículo de ese mismo año, White y Case formulan un caso particular del MCLP,[40], donde se maximiza el número de nodos cubiertos con p estaciones.) El MCLP se modeliza como Max i If i y i (1. 4) s.a. x j y i i I (1. 5) j N i x j = p (1. 6) j J x j, y i {0, 1} j J, i I, (1. 7) donde las variables y parámetros aun no definidos son: p, el{ número de estaciones a ubicar; 1, si el nodo i es cubierto y i = 0, en caso contrario. El objetivo (1. 4) maximiza el número de llamadas que son atendidas por una estación ubicada a menos de la distancia S prefijada. Las desigualdades (1. 5) exigen que un nodo i no puede ser cubierto mientras no se haya posicionado al menos una estación en un lugar a distancia no superior a S. Con la igualdad (1. 6) se asegura que el número de estaciones a ubicar sea p. Por último, (1. 7) explicita el carácter binario de las variables. El MCLP está relacionado con otros problemas clásicos de localización. Así, en Pastor y Almiñana (1993) se explicita su relación con el problema de la p-mediana y con el problema de asignación generalizado. El MCLP no tiene en cuenta si un nodo demanda es cubierto más de una vez. En 1982, Storbeck formula el Goal Location Covering Problem (GLCP),[36], basado en la programación por metas, cuyo objetivo es maximizar el número de llamadas que tiene una estación ubicada a menos de la distancia S prefijada y, adicionalmente, maximizar el cubrimiento múltiple. Su modelo es como sigue: donde: Max s.a. W f i y i + i (1. 8) i I i Iz x j = y i + z i i I (1. 9) j N i x j = p (1. 10) j J x j, y i {0, 1} j J, i I (1. 11) z i 0 i I, (1. 12) 4

6 z i es el número de cubrimientos adicionales del nodo i, y donde W representa un peso suficientemente grande que propicia que en la función objetivo (1. 8) primero se maximice el cubrimiento y, en segundo lugar, se optimice el cubrimiento múltiple. Las restricciones (1. 9) determinan que el número de servidores del nodo i es igual al primer cubrimiento más el cubrimiento múltiple adicional. Con la igualdad (1. 10) se asegura que el número de estaciones a ubicar sea p. Por último, (1. 11) y (1. 12) explicitan el carácter de las variables. Si bien el GLCP constituye el primer modelo de cubrimiento que aúna dos aspectos hasta entonces inconexos, también es cierto que presenta cierta falta de flexibilidad. De hecho, busca la solución con cubrimiento maximal que, subsidariamente, ofrece el mayor cubrimiento múltiple. Para salvar este inconveniente, Storbeck y Vohra [37] han diseñado el Natural Slack Covering Problem (NSCP), que recurriendo a la programación multiobjetivo, permite el balanceo entre cubrimiento maximal y múltiple. Desafortunadamente, la estación más cercana no siempre está disponible cuando una llamada llega al sistema, y por tanto, el cubrimiento maximal alcanzado por una configuración de unidades de emergencia no permite una evaluación realista del sistema. Ello ha dado lugar a la aparición de una segunda familia de modelos probabilísticos cuyo primer y principal exponente es el modelo MEXCLP de Daskin [18]. En esta familia el número total de vehículos a ubicar, p, está fijada de antemano. Curiosamente, estos modelos introducen, de forma natural, la idea de maximizar la eficiencia del sistema, y ello sin abandonar la idea del cubrimiento maximal, al haberse fijado p. II. Modelos probabilísticos. Todos los modelos probabilísticos de localización por cubrimiento presentan un denominador común: son problemas de programación entera, por un lado y su formulación depende de la definición de la carga de trabajo de cada vehículo, por otro. La elección del tipo de la carga de trabajo influye en la precisión del modelo, si bien hay un factor adicional que la condiciona: en todo caso se desea formular un programa entero lineal ó, en su defecto, linealizable. La carga de trabajo se conoce también como fracción de ocupación (busy fraction ) y admite tres formulaciones básicas: ó bien se acepta una única carga de trabajo para todos los vehículos del sistema (system-wide busy fraction), ó bien se define una carga de trabajo específica para cada estación de servicio (site-specific busy fraction), ó, y ésta es la tercera posibilidad y una via poco natural, se define una carga de trabajo para todos los vehículos (de distintas estaciones) capaces de servir a cada nodo demanda (area-specific busy fraction). Curiosamente la tercera alternativa se ha utilizado con frecuencia al dar lugar a modelos fácilmente linealizables, si bien repele el hecho de que a un mismo vehículo el modelo le asigne tantas fracciones de ocupación distintas como nodos demanda pueda atender. No obstante, su uso se ha extendido porque hasta muy recientemente no se ha diseñado el primer modelo lineal con fracciones de ocupación específicas para cada estación (Borrás y Pastor, [12] ). 5

7 II.1. Modelos basados en la equidad. Chapman y White,[16], formulan la primera versión probabilística del LSCP. En su modelo, para cada zona demanda, la probabilidad de ser atendido dentro de un tiempo S es obligada a ser mayor o igual que un cierto nivel de fiabilidad prefijado, habitualmente un número próximo a 1. Este modelo puede ser formulado como: Min j Jx j (2. 1) s.a. x j j N 1 ρ i α i I (2. 2) x j 0, x j Z j J, (2. 3) donde: ρ es la fracción de ocupación media, es decir, una estimación de la probabilidad de que un servidor esté atendiendo una llamada en el sistema; y x j es el número de vehículos a ubicar en la estación j. La función objetivo (2. 1) minimiza el número de vehículos necesarios para satisfacer las restricciones de fiabilidad impuestas. Bajo la hipótesis de que los servidores actúan independientemente, el conjunto de restricciones (2. 2) impone que la probabilidad de ser atendido dentro del tiempo de desplazamiento S para un nodo demanda es igual al complementario de no poder ser servido por los vehículos ubicados en un entorno de radio S y obliga a esta probabilidad a ser mayor que el nivel de fiabilidad prefijado α. Además, (2. 3) define las variables como enteras, permitiendo establecer el número de vehículos necesarios en cada base. Es evidente, que cuando dicho número es 0, la base está inactiva. El modelo presentado es no lineal, aunque es linealizable tomando logaritmos. Para resolver este modelo es obvio que necesitamos una estimación a priori de ρ. Esta estimación plantea serias dificultades, ya que la fracción de ocupación media depende del número total de llamadas generadas por el sistema y del número total de vehículos ubicados. Es decir, sólo se conoce exactamente a posteriori, una vez resuelto el modelo planteado. ReVelle y Hogan [30] presentan el Binomial Probabilistic Location Set Covering Problem (BPLSCP) un modelo que intenta eliminar la limitaciones del modelo anterior considerando que la fracción de ocupación de cada vehículo es uniforme para cada nodo demanda. Esta idea, que a la postre ha resultado ser operativa, surgió como alternativa a la idea de utilizar fracciones de ocupación ligadas a estaciones. Así, los propios autores reconocen no poder resolver -ni linearizar- el problema correspondiente cuando recurren a fracciones de ocupación de este último tipo. Utilizando la ecuación propuesta por Daskin, [18], estiman la fracción de ocupación local basada en cada nodo demanda como: r i = t k M i f k 24 x j i I, (2. 4) donde: f i es el número o frecuencia de llamadas del nodo demanda i (en llamadas por día); 6

8 t es la duración media de un servicio de emergencia (en horas); M i = {k I/d ki S} es el conjunto de nodos demanda que están ubicados en un entorno de radio S del nodo i. La fracción de ocupación local r i definida en (2. 4) es interpretada como el cociente entre la cantidad de tiempo de servicio, medido en horas, necesario para atender los nodos demanda situados alrededor del nodo i, calculada como la cantidad de llamadas atendidas por la duración media de cada emergencia, y el número diario de horas disponible para atender las llamadas del nodo-demanda i, suponiendo que cualquier vehículo esté disponible 24 horas al día. El BPLSCP se formula así: Min j Jx j (2. 5) s.a. x j j N 1 r i i α i I (2. 6) x j 0, x j Z j J. (2. 7) Las restricciones de cubrimiento probabilístico (2. 6) basadas en la distribución binomial, es decir, en la independencia entre los servidores, pueden ser reescritas como ( t k M i f k 24 x j ) x j 1 α i I. (2. 8) Aunque (2. 8) no tiene una expresión lineal analítica equivalente, ReVelle y Hogan [30] han encontrado la siguiente expresión lineal numérica equivalente: x j b i (2. 9) donde: { b i = min n N/ ( t k M i f k 24n ) n 1 α}. (2. 10) La formulación lineal del BPLSCP queda entonces como: Min j Jx j (2. 11) s.a. x j b i i I (2. 12) x j 0, x j Z j J. (2. 13) Obsérvese que la estructura del BPLSCP es muy similar a la del LSCP (la única diferencia reside en los valores que toman los b i ) por lo que el correspondiente programa lineal relajado presenta un buen comportamiento. Por otro lado, Batta y Mannur [6] generalizan la formulación lineal del BPLSCP presentando un modelo donde el cubrimiento es alcanzado cuando existen múltiples unidades de emergencia dispuestas de forma escalonada. 7

9 Una versión distinta debida a Marianov y ReVelle [24], es conocida como el Queueing Probabilistic Location Set Covering Problem (QPLSCP). En esta versión se modeliza el comportamiento en cada entorno de un nodo demanda como una cola con llegadas distribuidas Poisson, tiempo de servicio exponencial y pérdida de llamadas cuando el sistema está saturado. La probabilidad de que todos los vehículos (disponibles en el entorno de radio S de un nodo demanda) estén ocupados puede ser calculada usando la función de probabilidad de una Poisson truncada de media λ i /µ i : P ( nodo i no sea atendido dentro del tiempo S ) = 1+( λi µ i )+ 1 2! ( ) 1 λi k k! µ ( ) i λi µ i k! ( λi µ i ) k i I, (2. 14) donde: k es el número de unidades de emergencia que pueden atender al nodo demanda i en no más del tiempo estándar S; λ i es la media de llamadas de emergencia, por día, en el entorno de tiempo S del nodo i, que puede ser calculada como k M i f k, i I; 1/µ i es el tiempo medio de servicio necesario para atender una llamada, en días, que puede ser calculado como t 24. Las correspondientes restricciones de cubrimiento probabilístico basadas en la distribución Poisson truncada admiten un tratamiento similar a las originales del BPLSCP y dan lugar a un modelo formalmente igual al BPLSCP, pero con valores distintos para los b i. Recientemente, Ball y Lin [5] han formulado una nueva versión probabilística del LSCP. Las hipótesis de su modelo son: Las llamadas de emergencia se distribuyen según una distribución de Poisson. T es una cota superior para el tiempo de servicio. El modelo utiliza las siguientes definiciones: R es un subconjunto de ubicaciones potenciales de estaciones en la red. D(R) es el número de llamadas que llegan a B j durante el intervalo (t 0 T, t 0 ), j R donde B j = {i I/d ji S} es el conjunto de nodos demanda que pueden ser atendidos por la estación j. NA(i) = R Ni { D(R) } x j es el suceso aleatorio de que el nodo i no sea atendido j R en el tiempo t 0 dentro de S, es decir, que el número de llamadas que llegan en el intervalo anterior de longitud T sea mayor que el número de vehículos ubicados. La cadena de desigualdades utilizada para la modelización se basa en establecer una cota superior de la probabilidad de no ser atendido para cada nodo demanda y restringir dicha cota a ser menor que 1 α. P ( R N i { D(R) }) x j P (D(j) x j ) 1 α i I, (2. 15) j R 8

10 donde: D(j) es el número de llamadas que llegan a B j durante ( ) el intervalo (t 0 T, t 0 ) y que sigue una distribución de Poisson con media λ j = T llamadas por hora. 24 i B j f i Redefiniendo { x j, el número de vehículos a ubicar en la estación j, con las variables 1, si k vehículos son ubicados en la estación j x jk = 0, en caso contrario, y tomando L como el número máximo de vehículos que se pueden ubicar en cada estación podemos reescribir (2. 15) como k=1 L P (D(j) k) x jk 1 αi i I (2. 16) L x jk 1 j J (2. 17) k=1 La restricción (2. 16) impone la condición de que la probabilidad de que una llamada de emergencia emitida desde un nodo demanda cualquiera no sea atendida debe ser inferior a la cota 1 α. Las restricciones (2. 17) son necesarias para convertir la variable entera x j en L variables binarias y afirma que en cada estación o no se ubica ningún vehículo o se ubica un número k de vehículos. Tomando logaritmos en ambos lados y cambiando los signos, (2. 16) puede ser transformada en una restricción lineal. La formulación completa del Poisson Reliability Location Set Covering Problem (PRLSCP) de Ball y Lin [5] es Min s.a. j Jk=1 k=1 L kx jk (2. 18) L log(p (D(j) k))x jk log(1 α) i I (2. 19) L x jk 1 j J (2. 20) k=1 x jk {0, 1} j J, k = 1, 2,..., L. (2. 21) La gran aportación del PRLSCP es el cambio de variables sugerido para su linealización, que, a posteriori, ha permitido resolver otros problemas relacionados. De hecho, el recurso a este cambio de variables nos ha permitido diseñar el BRLSCP, convirtiendo en realidad el sueño de ReVelle y Hogan ([12])). El Binomial Reliability LSCP tiene inicialmente la misma formulación que el BPLSCP pero considerando las restricciones probabilísticas con fracciones de ocupación de estaciones, es decir, 1 j α, i I. (2. 22) r x j Utilizando el mismo cambio de variables que en el PRLSCP, en lugar de r j deberemos introducir r jk, que son los r j con la información adicional de que en la estación j se ubican exactamente k vehículos. De hecho la estimación que se usa es: 9

11 r jk = t i B j f i 24k (2. 23) Tras los pertinentes cambios de variables el BRLSCP se formula linealmente así: Min s.a. j Jk=1 L kx jk (2. 24) L log((r jk ) k )x jk log(1 α) i I (2. 25) k=k 0j L x jk 1 j J (2. 26) k=k 0j donde k 0j = min {k {1, 2,..., L}/r jk 1}. Es evidente que el primer conjunto de restricciones del modelo exige que r jk 1. Una forma de fijar la cota L necesaria para el cálculo de los k 0j se propone en [12]. En este mismo trabajo se comprueba computacionalmente que el nuevo modelo es superior a sus predecesores en dos sentidos: primero, requiere ubicar un númerode vehículos menor, y segundo, el nivel de equidad real que alcanza es mayor si exceptuamos el modelo de Ball y Lin, si bien es cierto que éste último propone la ubicación de un número excesivo de vehículos. Además, la linearización propuesta por Ball y Lin permite formular una versión más precisa del QPLSCP que también presentamos en el trabajo mencionado y a la que bautizamos como QRLSCP. Sin embargo su comportamiento no llega a igualar al BRLSCP. La necesidad de evaluar, de forma realista y a posteriori, el nivel de equidad alcanzado por cada modelo era una necesidad puesta de manifiesto por diversos autores (véase, por ejemplo, [10]). En nuestro trabajo anteriormente citado se propone un procedimiento basado en la resolución de un sistema de ecuaciones no lineales a través de un método iterativo de punto fijo tanto bajo la hipótesis de independencia como de dependencia. Con la excepción del PRLSCP ninguno de los modelos arriba mencionados alcanza siempre el nivel de fiabilidad fijado inicialmente, si bien tanto el BRLSCP como el QRLSCP presentan un índice de fallos inferior al 7 por mil, en contraste con el BPLSCP y el QPLSCP cuyos índices son superiores al 36%. Ello nos ha llevado al diseño de un nuevo modelo, el Iterative BPLSCP, que consiste en recurrir al clásico BPLSCP y, mediante un procedimiento iterativo, ir afinando el valor de los b i en base a las sucesivas soluciones óptimas halladas y al recálculo de las correspondientes fracciones de ocupación, hasta alcanzar el nivel de fiabilidad deseado ([13]). Hemos conseguido probar que el procedimiento anterior converge en un número finito de pasos. II.2. Modelos relacionados con la eficiencia. Curiosamente, el primer modelo probabilístico de localización por cubrimiento publicado, el Maximum Expected Covering Location Problem de Daskin [18] está directamente relacionado con la eficiencia del sistema de emergencia. El MEXCLP trata de ubicar de 10

12 forma óptima un número fijo de vehículos, p, al objeto de maximizar la probabilidad de que cualquier llamada de emergencia sea atendida. Para ello recurre a una única fracción de ocupación media, ρ. La función objetivo original es: f i (1 ρ n i ) (2. 27) i I siendo n i el número de vehículos capaces de atender al nodo-demanda i. Al objeto de linearizar la función objetivo el propio Daskin propuso la siguiente expresión equivalente: ( p ) Max f i (1 ρ)ρ k 1 y ik (2. 28) i I k=1 donde y ik vale 1, si el node i está cubierto al menos por k vehículos, 0 en caso contrario. Las restricciones del modelo de Daskin s son: x j = p y ik (2. 29) j N i k=1 x j = p (2. 30) j J y ik y i,k 1, i I, k = 2, 3,...p (2. 31) x j {0, 1,..., p}, j J (2. 32) y ik {0, 1}, i I, k = 1, 2,...p (2. 33) Obsérvese que las restricciones que relacionan a los y s son redundantes por la naturaleza de la función objetivo, por lo que pueden ser eliminadas. Aquí la estimación de ρ, r, es sencilla ya que tenemos fijado el número total de vehículos a ubicar. De hecho, r = t i I f i. 24p Este programa lineal con variables enteras se resuelve, para problemas de tamaño medio, en la forma habitual, por ejemplo, con un método de ramificación y acotación. Obsérvese, además que la eficiencia del sistema no es sino el cociente entre el valor de la función objetivo y el número total de llamadas diarias, es decir, el promedio de llamadas que son atendidas en el sistema. A partir del MEXCLP se ha originado una segunda familia de modelos probabilísticos. La evolución comenzó con el Nonlinear MEXCLP de Saydam y McNew [35], seguido por el Adjusted-MEXCLP de Batta et al. [7], que introduce el factor corrector de Larson [23] para la dependencia. Goldberg y Paz [21] diseñan el primer modelo MEXCLP con fracciones de ocupación ligadas a estaciones pero con el inconveniente de ser altamente no-lineal, mientras que Repede y Bernardo [29] se inclinan por una nueva versión, el TIMEXCLP, con distintos escenarios a lo largo del día. Finalmente Saydam y Aytug [34] presentan un algoritmo genético que combina el cubrimiento esperado con el hipercubo de Larson [23]. 11

13 II.3. Integración de la eficiencia con la equidad. Nosotros hemos sido los primeros en plantear un modelo con la equidad como función objetivo ([14]). El único antecedente que se encuentra en la literatura es obra de ReVelle y Hogan [32], los cuales plantean un procedimiento indirecto de barrido consistente en resolver repetidamente el BPLSCP para valores igualmente espaciados de α. El primer modelo que propusimos, derivado directamente del MEXCLP, utiliza una única fracción de ocupación y admite la siguiente formulación lineal: Max E (2. 34) s.a. x j = p (2. 35) j J b x j E, i I (2. 36) x j 0, x j Z, j J (2. 37) donde b = lnr, y E = ln(1 α). Obsérvese que al ser E una función estrictamente creciente de α, maximizar E equivale a maximizar el nivel de equidad, α. Este modelo ha sido bautizado como MAXEQG. El segundo modelo es similar al primero pero recurre a fracciones de ocupación ligadas a las estaciones, con la siguiente formulación lineal: Max E (2. 38) p s.a. b jk x jk E, i I (2. 39) k=k 0j p x jk 1, j J (2. 40) k=k 0j p kx jk = p (2. 41) j Jk=k 0j x jk {0, 1}, k = k 0j, k 0k + 1,..., p, j J (2. 42) E 0 (2. 43) donde E = ln(1 α) y b jk = ln(r jk ) k. Este segundo modelo es mucho más preciso que el primero, como se comprueba en nuestro último trabajo citado anteriormente. El tercer posible modelo basado en fracciones de ocupación ligadas a nodos demanda fue también planteado inicialmente. Al no tener un proceso de linealización conocido fue desechado. Al objeto de plantear un modelo biobjetivo que integrase la eficiencia con la equidad teníamos varias posibilidades derivadas de combinar los dos modelos de equidad arriba expuestos con algunos de los modelos de eficiencia derivados del MEXCLP. De hecho consideramos tanto el MEXCLP como el Nonlinear MEXCLP. Comparando los modelos de equidad por un lado y los de eficiencia por otro concluimos que la mejor combinación la proporcionaba, curiosamente, el MEXCLP con el segundo modelo de equidad arriba formulado, bautizado como MAXEQ. Llegamos así a la formulación del siguiente programa biobjetivo lineal con variables binarias: 12

14 Max Z = ( p ) f i (1 ρ)ρ k 1 y ik (2. 44) i I k=1 Max E (2. 45) p s.a. kx jk = p y ik, i I (2. 46) k=k 0j k=1 y ik y i,k 1 i I, k = 2, 3,..., p (2. 47) p b jk x jk E, i I (2. 48) k=k 0j p x jk 1 j J (2. 49) k=1 p kx jk = p j Jk=k 0j j J (2. 50) y ik, x jk {0, 1}, i I, j J, k = 1, 2,..., p (2. 51) E 0 (2. 52) Este nuevo modelo ha sido bautizado como BIMEXCLP. Todas las restricciones salvo la (2. 48) corresponden al MEXCLP - una vez efectuado el correspondiente cambio de variables - y solo las restricciones en las que no intervienen las y s corresponden al MAXEQ. Para su resolución proponemos recurrir al método NISE (véase, por ejemplo, [18]) al objeto de hallar un subconjunto representativo de puntos no-dominados, resolviendo cada problema con un solo objetivo mediante un código de ramificación y acotación y completando el procedimiento con el cálculo ex post de la eficiencia y la equidad alcanzadas (resolviendo el correspondiente sistema no lineal). En Borrás y Pastor [14] aparecen distintas tablas con resultados computacionales. A título de ejemplo listamos aquí una de ellas, consistente en la localización de p=6 vehículos en una red de 55 nodos (identificada como Network 55.1 en [11]). Hay que significar que p=5 es la solución del LSCP, es decir, el menor valor de p que garantiza el poder alcanzar un nivel de equidad no nulo. Obsérvese, no obstante, que la solución del MEXCLP proporciona equidad=0 en la Tabla 1, lo cual justifica indirectamente la consideración del modelo biobjetivo. En el ejemplo de la Tabla 1 todos los puntos que obtenemos resultan ser no dominados (véase las columnas de Eficiencia y Equidad) aunque podría no haber ocurrido esto. La razón es sencilla: el método NISE se aplica a Z y a E y no a los valores de eficiencia y equidad que se computan a posteriori. 13

15 Tabla 1: Resultados computacionales para p=6 vehículos (Network 55.1) Pesos N. iter. simplex N. nodos explorad. Tiempo(s) Z E Eficiencia Equidad Posi. vehíc. MEXCLP ,97 21,584 0,000 0,981 0, MAXEQ ,08 21,055 1,666 0,953 0, , ,24 21,530 0,947 0,978 0, , ,77 21,271 1,407 0,966 0, , ,28 21,200 1,503 0,956 0, III. Conclusiones En este capítulo hemos presentado una panorámica de los modelos de localización por cubrimiento utilizados para el diseño de servicios de emergencia. Hemos hecho especial hincapié en los modelos más avanzados, es decir, en los modelos probabilísticos, y más en concreto, en los modelos que proporcionan cubrimiento total. Nuestra aportación a su evolución gira en torno a tres ejes básicos. Primero, el diseño de nuevos modelos proporcionando resultados más satisfactorios que los ya conocidos. En este apartado hemos mostrado el BRLSCP, el QRLSCP y el IBLSCP. Segundo, el diseño de un método capaz de evaluar con precisión tanto la eficiencia como la equidad lograda por una cierta asignación de vehículos, sin necesidad de tener que recurrir a la simulación. Más en concreto, nuestro método consiste en la resolución de un sistema de ecuaciones no-lineales por un método de punto fijo. Y tercero, el diseño, por vez primera, de dos modelos capaces de maximizar la equidad del sistema. Nos referimos al MAXEQG y al MAXEQ. Además, y como desarrollo adicional de ésta tercer eje hemos presentado un problema biobjetivo lineal entero para maximizar, conjuntamente, la eficiencia y la equidad (el BIMEXCLP). En el diseño de todos los modelos y procesos hemos tenido muy en cuenta tanto la definición de la carga de trabajo de cada vehículo como el conseguir modelos lineales ó fácilmente linealizables. Ambos tópicos son de particular relevancia y han presidido la evolución de las dos grandes familias de modelos referenciadas en la bibliografía. Nos vamos a permitir sugerir dos líneas de investigación futuras. La primera consiste en extender nuestras investigaciones al campo de los modelos con cubrimiento parcial. En principio, no parece descabellado abordar la mejora del Maximum Availability Location Problem (ReVelle y Hogan, [32]) ó de alguna de sus variantes ( véase, por ejemplo, [26]), incluyendo aquellas que incluyen la diferenciación de vehículos como en los servicios de bomberos. La segunda consiste en recurrir a nuevas técnicas para el diseño y resolución de problemas de localización por métodos heurísticos (véase, por ejemplo,[1]). Por último, recomendar al lector dos surveys diectamente relacionados con el tema que nos ocupa, como son el debido a Marianov y ReVelle [25] y el más reciente de Brotcorne, Laporte y Semet [15]. Agradecimientos. Agradecemos a D. Juan Aparicio Baeza, Profesor Colaborador, el apoyo prestado en la redacción definitiva de este texto. 14

16 IV. Bibliografía [1] Almiñana M., Borras F. and Pastor J.T. A new directed branching heuristic for the pq-median problem. Location Science, 6, 1-23, [2] Almiñana M. and Pastor. J.T. Two New Heuristics for the Location Set Covering Problem. Top, 2(2), , [3] Almiñana M. and Pastor. J.T. An adaptation of SH heuristic to the Location Set Covering Problem. European Journal of Operational Research, 100, , [4] Almiñana M. and Pastor. J.T. A Comparison of Algorithm RS with Algorithm OPT- SOL70. Top, 5(2), , [5] Ball M. and Lin F. A reliability model applied to emergency service vehicle location. Operations Research, 41, 18-36, [6] Batta R. and Mannur N.R. Covering-location models for emergency situations that require multiple response units. Management Science, 36(1), 16-23, [7] Batta R., Dolan J.M. and Krishnamurthy N.N. The Maximal Expected Covering Location Problem: revisited. Transportation Science, 23, ,1989. [8] Benedict J.M. Three hierarchical objective models which incorporate the concepts of excess coverage to locate EMS vehicles or hospitals. M.S. Thesis, Department of Civil Engineering, Northwestern University, Evanston, IL, [9] Berlin G.R. and Liebman J.C. Mathematical analysis of emergency ambulance location. Socio-Economic Planning Sciences, 8(6), , [10] Berman O. and Krass D. Facility location problems with stochastic demands and congestion in Facility location: applications and theory, Z. Drezner and H.W. Hamacher, ed., Springer, , [11] Borras F. Nuevos Modelos Probabilísticos de Localización de Servicios de Emergencias. PhD thesis, Departamento de Estadistica y Matematica aplicada. Universidad Miguel Hernandez de Elche, [12] Borras, F. and J.T. Pastor. The ex - post evaluation of the minimum local reliability level: an enhanced probabilistic location set covering model. Annals of Operations Research 111, 51-74, [13] Borras, F. and J.T. Pastor. The Binomial Probabilistic Location Set Covering Problem: revisited. Submitted to the European Journal of Operational Research, [14] Borras, F. and J.T. Pastor. Balancing Efficiency and Equity by means of a Linear Biobjective Probabilistic Location Set Covering Model. Submitted to Computers and Operations Research, [15] Brotcorne, L., G. Laporte and F. Semet. Ambulance location and relocation models. European Journal of Operational Research, 147(3), ,

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