Integrantes: Leonardo Tilli Fernando Hernández
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- Raúl Rivero Ayala
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1 UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Computación Trabajo Práctico de Metaheurística Segundo cuatrimestre 2010 Implementación de un Algoritmo basado en la Técnica de Colonias de Hormigas para deducir reglas de clasicación de elementos de un universo, a partir de una muestra dividida en clases Integrantes: Leonardo Tilli (leotilli@gmail.com) Fernando Hernández (matematicas527@yahoo.es) Profesora: Dra. Irene Loiseau Fecha de Presentación 23 de Agosto del 2011
2 1. Introducción El propósito del presente trabajo consiste en estudiar los papers Induction of desición Trees[5] que pertenece familia de métodos de inducción conocida como la familia Top Down Induction Trees, A new system for inductive learning in atribute-based space[2], Combining Competition and Cooperation in Supervised Inductive Learning [3], que abordan problemas de inducir árboles de decisión, puede utilizarse para descubrir automáticamente reglas a partir de la información dispodnible. El objetivo de nuestro análisis consiste en estudiar esta técnica y adaptarla para aplicar Colonia de Hormigas. Para nalizar el estudio del problema, se realizará una comparación de los resultados obtenidos del algoritmo propuesto en términos del porcentaje de buena clasicación. Dicha mplementación se realizó con el software C Implementación del Algoritmo En nuestro caso vamos a entender por árbol de decisión como una disyunción de conjunciones. En donde cada camino desde la raíz hasta las hojas representa una conjunción, y todos los caminos son alternativos, es decir, son disyunciones. En este algoritmo ACO, la función aprendida es representada mediante un árbol de decisión, en el que árbol es convertido en un conjuntos de reglas if then en la que se desea obtener una mejor legibilidad. Cada nodo interno en el árbol corresponde a un test del valor de algún atributo (o propiedad) de la instancia que se desea clasicar, y las ramas que descienden de este nodo son rotuladas con los valores posibles del test. Cada nodo hoja de un árbol de decisión especica el valor retornado en caso de que dicha hoja sea alcanzada. Estos valores corresponden a posibles clasicaciones de una instancia. Una instancia se clasica comenzando en el nodo raíz del árbol generado, testeando el atributo especicado por este nodo, y moviéndose hacia abajo por la rama del árbol que corresponde al valor del atributo en la instancia a clasicar. Este proceso se repite para el subárbol cuya raíz es el nuevo nodo, y así sucesivamente hasta alcanzar un nodo hoja, en cuyo caso se retorna la clasicación asociada con este nodo. Como indicador para medir la performance del algoritmo, nos basamos en la Precisión, es decir, en cantidad de ejemplos positivos y negativos evaluados correctamente. Pero, esto trae consigo dos tipos de errores: los ejemplos positivos clasicados como negativos (falsos positivos) y viceversa. Estos dos tipos de errores nos ayudan a determinar si los conceptos aprendidos son demasiado generales o demasiado especí- cos. Además, para que nuestro sistema sea preciso, fue necesario tratar de generar descripciones que sean consistentes (i.e. no cubran ningún ejemplo negativo) y que 2
3 sean completas (i.e. cubran todos los ejemplos positivos) Detalles del Algoritmo: Las reglas que construye el algoritmo son fórmulas presentadas como una disyunción de conjunciones, en donde cada variable corresponde a un par atributo-valor válido del universo. La implementación cuenta de dos módulos: 1. Uno que almacena la solución en construcción, y fuerza distintos invariantes sobre las alternativas disponibles para extender una fórmula. (solucion.hpp/cpp) 2. El otro es el módulo que ejecuta el algoritmo de colonia de hormigas. (aco.hpp/aco.cpp) El módulo Solución establece varias reglas en una fórmula en construcción: 1. Cada conjunción puede tener a lo sumo una aparición de cada atributo. Por ejemplo:(a 2 B 3 D 2 ) es válido, pero (A 1 A 2 C 2 ) es inválido porque el atributo A aparece con dos valores distintos en el mismo término. 2. Ninguna nueva conjunción puede generalizar una ya existente. Por ejemploi: si tengo (A 2 B 3 ) (C 2 ) en la fórmula en construcción, no se puede agregar B Ninguna nueva conjunción puede especializar una ya existente. Por ejemplo: si tengo (A 2 B 3 ) (C 2 ) en la fórmula en construcción, no puedo agregar una conjunción que sea únicamente (C 2 D 1 ). 4. Los atributos dentro de una conjunción se agregan de manera ordenada. Por ejemplo: si estoy construyendo un conjunción (B2 D3...) no le puedo agregar ningún par atributo-valor anterior a E Las nuevas conjunciones pueden empezar con un atributo anterior a las otras. Por ejemplo: si tengo (B 2 D 3 ) (C 2 ) en la fórmula en construcción, puedo agregar una conjunción del tipo (A 1 D1). A medida que se va construyendo la solución, ofrece las posibles extensiones válidas ; también indica si se puede empezar una nueva conjunción o si se puede nalizar la fórmula. El módulo ACO hace uso del módulo solución para obtener la lista de posibles acciones, y aplica la técnica de colonia de hormigas para ir eligiendo la siguiente extensión-nueva conjunción-n de una fórmula. A continuación se agrega la función ejecutaraco, que implementa el módulo: 3
4 ejecutaraco(datosmuestraaco, datosresultadoaco) { vector<vector<double> > feromonas; vector<vector<double> > trails; datosresultadoaco.nromuestra = datosmuestraaco.nromuestra; inicializarferomonas(feromonas, datosmuestraaco); inicializartrails(trails, datosmuestraaco); datosresultadoaco.objetivo = 0.0; datosresultadoaco.costo = (double)feromonas.size(); for (int iter = 0; iter < datosmuestraaco.cantmaxiter; iter++) { datosresultadoacoiter = DatosResultadoAco(); datosresultadoacoiter.nromuestra = datosmuestraaco.nromuestra; datosresultadoacoiter.objetivo = 0.0; for (int ant = 0; ant < datosmuestraaco.cantatr; ant++) { list<propiedad> formula; solucion(datosmuestraaco.detatri, datosmuestraaco.traduccion, datosmuestraaco.indiniatri, datosmuestraaco.tammuestra); calcularformula(feromonas, trails, datosmuestraaco, solucion, formula); actualizarresultado(datosmuestraaco, datosresultadoacoiter,solucion, formul } mostrarresultado(datosresultadoacoiter); } } if (datosresultadoaco.objetivo < datosresultadoacoiter.objetivo (datosresultadoaco.objetivo == datosresultadoacoiter.objetivo && datosresultadoaco.costo > datosresultadoacoiter.costo)) { datosresultadoaco = datosresultadoacoiter; } actualizarferomonas(feromonas, datosmuestraaco.indiniatri, datosmuestraaco.e, datosresultadoacoiter.objetivo, datosresultadoacoiter.costo, datosresultadoacoiter.solucion, datosresultadoaco.objetivo, datosresultadoaco.costo ); El algoritmo central realiza una búsqueda greedy, top-down a través del espacio de posibles árboles de decisión. Este toma en cuenta un conjunto de ejemplos de entrenamiento, un atributo objetivo cuyo valor debe predecir el árbol, un conjunto 4
5 de atributos que pueden ser testeados por el árbol de decisión y dando como salida un árbol de decisión que clasifca correctamente las instancias de entrenamiento. Tiene una matriz de trail, que guarda el valor de la heurística golosa, y la matriz de feromonas. Particularidad: para ambas matrices hay un valor para cada posible transición entre pares de atributo-valor, inicio, n. Esto implica una granularidad más na que en otros experimentos, que tienen granularidad por atributo en vez de por par de atributo-valor. Para cada intersección válida de la matriz de trail, toma la la como el lugar donde está (f ila0 = inicio) y la columna a donde quiere ir (columna0 = inicio, columnatam 1 = final). No hay la para el nal, porque de ahí no vas a ningún lado. A partir de la muestra, evalúa la cantidad de muestras verdaderas que tienen al par atributo/valor origen y al destino, sobre todas las que tienen al origen; el valor obtenido lo multiplica por el complemento de las falsas. El valor de trail está siempre entre 0 y 1. La matriz de feromonas se inicializa a un valor aproximado de la inversa de la cantidad de transiciones válidas. Se pasan por parámetro el valor mínimo de feromona y el máximo (entre 0 y 1), así como un multiplicador de ajuste para la actualización. El algoritmo determina un número de hormigas igual a la cantidad de atributos del universo. Por cada iteración, cada hormiga encuentra una solución, las cuáles son comparadas y se determina la mejor. Sólo la mejor hormiga por iteración actualiza las feromonas. Además, se va actualizando la mejor solución global cuando corresponda. La función objetivo evalúa= positivosbienclasificados positivost otalesmuestra negativosbienclasificados negativost otalesmuestra Costo : 1 por cada variable, 2 por cada bloque de conjunciones. Para la decisión de actualización, el objetivo es principal, y el costo es secundario (sólo desempata). Si la solución de la mejor hormiga en la iteración tiene mejor objetivo que la mejor solución global, entonces actualiza las feromonas sin ningún penalizador. Si tiene peor objetivo (y peor costo), se aplica un multiplicador proporcional al complemento de la diferencia relativa, al cuadrado: (1 objmaxglobal objhormiga objmaxglobal ) 2 La actualización se da luego de la evaporación. Se suma el valor mínimo de feromona, por el objetivo (que está entre 0 y 1), por el ajuste pasado como parámetro, por los penalizadores correspondientes (en caso de ser peor solución). 5
6 2.2. Análisis de los Resultados En la siguiente gura vemos los resultados obtenidos del conjunto de instancia para la muestra de lung-cancer, en la que se gráca la cantidad de iteraciones vs el porcentaje obtenido, cuando a la muestra no se le aplica feromona. Y en la que la interpolamos con una curva cúbica. En la siguiente gura vemos los resultados obtenidos del conjunto de instancia para la muestra de lung-cancer, en la que se gráca la cantidad de iteraciones vs el porcentaje obtenido, cuando a la muestra se le aplica feromona. Claramente podemos observar que el valor del objetivo es mejor cuando aplicamos feromona. En los distintos experimentos se utilizaron algunas instancias que se encuentran en la página web[1] UC Irvine Machine Learning Repository, con algunas modi- caciones realizadas con el n de poner a prueba el algoritmo, para poder generar instancias válidas de nuestro problema en cuestión, donde Prueba4 corresponde lung-cancer, Prueba5 corresponde mammographic_masses, Prueba6 corresponde SPECTF, Prueba7 corresponde SPECTF, Prueba8 corresponde SPECTFin, Prueba9 corresponde SPECTFtrain, Prueba10 corresponde SPECTtrain. 6
7 n ACO - 10 Iter ACO con feromona- 10 Iter pos/fpos neg/fneg objetivo pos/fpos neg/fneg objetivo Prueba1 2/0 4/ /0 4/0 1 Prueba2 4/0 4/ /0 4/1 0.9 Prueba3 199/31 412/ /16 427/ Prueba4 363/ / /43 384/ Prueba5 53/20 83/ /21 82/ Prueba6 55/21 82/ /21 82/ Prueba7 152/1 14/ /0 15/ Prueba8 141/6 49/ /5 50/ Prueba9 36/5 35/ /5 35/ Prueba10 14/5 49/ /6 48/ En las tabla anteriores se puede observar los atributos clasicados como positivos(pos), negativos(neg), falsos positibos(fpos), falsos negativos(fneg) y mejor valor objetivo obtenido, claramente podemos observar que el valor objetivo es mejor cuando aplicamos feromona, coroborando los gracos obtenidos anteriormente, con un número reducido de 10 iteraciones. n ACO - 20 Iter ACO con feromona- 20 Iter pos/fpos neg/fneg objetivo pos/fpos neg/fneg objetivo Prueba1 3/0 4/0 1 3/0 4/0 1 Prueba2 5/0 4/0 1 5/0 4/0 1 Prueba3 217/21 422/ /17 426/ Prueba4 355/90 337/ /86 341/ Prueba5 55/23 80/ /21 82/ Prueba6 55/21 82/ /21 82/ Prueba7 148/0 15/ /0 15/ Prueba8 139/5 50/ /9 46/ Prueba9 39/5 35/ /4 36/ Prueba10 14/6 48/ /8 46/ En la siguiente tabla también se puede observar los atributos positivos(pos), negativos(neg), falsos positibos(fpos), falsos negativos(fneg) clasicados y el mejor valor objetivo obtenido, claramente se puede observar que el valor objetivo es mejor cuando se aplica feromona, al igual que en el caso anterior, coroborando aún más la idea de los grácos obtenidos, en la que se incremento las iteraciones de 10 a 20 iteraciones. 7
8 n ACO - 50 Iter ACO con feromona- 50 Iter pos/fpos neg/fneg objetivo pos/fpos neg/fneg objetivo Prueba1 3/0 4/0 1 3/0 4/0 1 Prueba2 5/0 4/0 1 5/0 4/0 1 Prueba3 220/11 432/ /9 434/ Prueba4 292/35 392/ /91 336/ Prueba5 55/21 82/ /24 79/ Prueba6 55/21 82/ /21 82/ Prueba7 157/0 15/ /0 15/ Prueba8 155/6 49/ /5 50/ Prueba9 38/2 38/ /1 39/ Prueba10 15/7 47/ /11 43/ En la tabla anterior también se puede observar los atributos positivos(pos), negativos(neg), falsos positibos(fpos), falsos negativos(fneg) clasicados y mejor valor objetivo obtenido, claramente podemos observar que el valor objetivo es mejor cuando aplicamos feromona, coroborando los gracos obtenidos, en la que se incremento las iteraciones a 50, podemos observar que el valor objetivo no varias mucho, salvos para los casos de Prueba8, 9 y 10 respectivamente Análisis de los Resultados Variando los parámetros En la siguiente gura vemos los resultados obtenidos del conjunto de instancia para la muestra de lung-cancer, en la que se gráca la cantidad de iteraciones vs el porcentaje obtenido, cuando a la muestra no se le aplica feromona, al variar los parámetros y al experimentar nos quedarmos con los mejores resultados obtenidos, con un α = 2; β = 1; y Evaporacion = 0,02, además se puede ver una gran mejoría, que en los casos anteriores. En la siguiente gura vemos los resultados obtenidos con la misma muestra y párametros para el caso anterior, en la que se gráca la cantidad de iteraciones vs el porcentaje obtenido, cuando a la muestra se le aplica feromona. Claramente podemos observar que el valor del objetivo es mejor cuando aplicamos feromona. 8
9 Cabe destacar que también se realizón prueba con 100, 200, 500 y 1000 iteraciones para las distinatas muestras, cuyos resultados no vario mucho con los obtenidos anteriormente, por ende podriamos decir que el algoritmo tiende a converger a estos valores. Aunque hubo una mejoria, cuando variamos los parámetros esto lo podemos ver en las grácas anteriores, con 1000 iteraciones. 3. Conclusiones El ACO implementado puede aplicarse a cualquier conjunto de datos, siempre y cuando los atributos sean discretos. El proceso descripto para la construcción del árbol de decisión asume que las operaciones de cálculo, especialmente, las de evaluación de las frecuencias relativas del conjunto, pueden ser realizadas ecientemente, lo cual signica, en la práctica, que para que el proceso sea rápido, ese conjunto debe residir en memoria. La solución aplicada por ACO es una solución iterativa, que crea sucesivos árboles de decisión de precisión cada vez mayor, hasta llegar al árbol de decisión óptimo. El proceso termina cuando se forma una regla que no tenga excepciones y sea correcta para todo el conjunto. El algoritmo fue probado con un problema de clasicación 9 atributos y cerca de 680 instancias para los cuales el árbol de decisión(fórmula) correcto obtenido hasta ese momento alcanzó un valor obejetivo del 0,930342, es decir bastante cercano al valor deseado. El ACO convergen rápidamente, para instancias chicas; se precisaron sólo 10 iteraciones para llegar a un árbol de decisión correcto, cuando las muestras eran chicas y 50 iteraciones para muestras más grandes. El tiempo requerido para obtener un árbol de decisión correcto para el problema de clasicación crece polinómicamente(tiende a una cúbica si interpolamos los puntos medios del obejtivo obtenido) con la cantidad de ejemplos que se analizó. La heurística golosa funciona lo sucientemente bien como para obtener resultados buenos simplemente repitiendo las iteraciones (similar a GRASP, pero sin la subsecuente búsqueda local por iteración); sin embargo el uso de la técnica de colonia de hormigas garantiza una convergencia en una solución buena. Habría que encontrar una manera inteligente de resolver situaciones de estancamiento, tal vez mediante 9
10 el cálculo dinámico de parámetros como el de evaporación, alpha, beta y ajuste, para que el algoritmo saque una ventaja cuantitativa además de cualitativa sobre la versión GRASP-like. Referencias [1] [2] Cezary Z. Janikow, A New System for Inductive Learning in Attribute-Based Spaces, In Proceedings of ISMIS, 1991, pp [3] Cezary Z. Janikow. Combining Competition and Cooperation in Supervised Inductive Learning. In Proceedings of ML. 1992, [4] Michalski, R. S A Theory and Methodology of Inductive Learning, Machine Learning. [5] Quinlan, J. R Induction of Decision Trees, Machine Learning,1: [6] Quinlan, J.R Generating Production Rules from Decision trees. [7] Quinlan, J. R Learning Logic Denitions from Relations. 10
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5.1.3 Multiplicación de números enteros. El algoritmo de la multiplicación tal y como se realizaría manualmente con operandos positivos de cuatro bits es el siguiente: 1 1 0 1 x 1 0 1 1 1 1 0 1 + 1 1 0
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