Capítulo Teoría de la relatividad... 1 Transformaciones... 3 Riemannian metric... 4 Lorentz transformation (or Poincare) Group...

Transcripción

1 Capítul 7 Tería de la relatividad Las ecuacines de Newtn sn invariantes cn respect a las transfrmacines de galile = Rx+ vt+ a t' = t+ t Estas transfrmacines definen ls sistemas inerciales de referencia, en dnde las ecuacines de Newtn sn satisfechas. Que sea invariante n significa que tenga el mism valr, sin que significa que las ecuacines tienen la misma frma. Esta definición funcinaría muy bien, except que las ecuacines de Maxwell (lease la ecuacin de nda) n sn invariantes baj una transfrmacin Galileana, ya que es experimentalmente bservad que la velcidad de la luz c es una cnstante universal independiente del sistema de referencia inercial. Pstulad de la universalidad de la velcidad de la luz: En el vaci, la luz se prpaga cn la velcidad universal c= ms -1 en tds ls sistemas inerciales de referencia. Pstulad del principi de Relatividad Especial: Las leyes de la naturaleza sn invariantes (tienen la misma frma) baj el grup de transfrmacines de Lrentz (L,a) que mantienen la cnstancia de la velcidad de la luz en tds ls sistemas de referencia inerciales.

2 Capítul Tería de la relatividad Transfrmacines Riemannian metric Lrentz transfrmatin (r Pincare) Grup....7 Dilatación del tiemp Cntracción de las distancias Efect Dppler relativista Terema: descmpsición de POLT Crlaris Adición de velcidades Precesión de Thmas Transfrmación de vectres La paradja de ls gemels Energia y Mment Clisines En el Labratri En el COM Dinámica Electrmagnetism

3 Transfrmacines Definams ds sistemas de referencia inerciales, K(x) y K (x ). Supngams que tenems una transfrmación entre ds sistemas de referencia, = Lx ( ) ( ) j Lj x = = x x x... i i j i x= L 1 ( ) j Pr l tant la transfrmación de una ecuación generada pr un escalar (n se transfrma) H es H ( x,,...) = H ( L ( x ), DL ( x ),...) = H '( x ',,...) 1 x 1 x= L ( x) En principi H pdría también transfrmarse. Para el cas de las ecuacines de Maxwell verems mas adelante que ls camps tambien requieren transfrmarse. H es invariante, su frma es independiente del sistema de referencia elegid, si el resultad es H '(,,...) = H(,,...) Pr ejempl, mirems la ecuación de Newtn, dv (i) (i) (j) mi = (i) V(x x ) x dt j y le aplicams una transfrmación Galileana de la trayectria de x(t) a x (t ) ( ) v R (v ' v ) (i) 1 (i) j = j,k k,k (i) (i) dvj 1 dv k ' = ( R ) dt j,k dt' j T = = R j,i = ( R ) i,j i i j j j x x x x = i j i j esta es claramente invariante si R es una rtación, dv ' m RR V(x ' x ') (i) T (i) (j) i = ( ) (i) x ' dt' j

4 Mirems las ecuacines de Maxwells entre sistemas de crdenadas (x,t) y (x,t ). L primer que ns dams cuenta es que las Leyes de Maxwell, sea la ecuacin de nda, x 1 c t A = 0 baj una transfrmacin Galileana, A'(,t') = A'(Rx+ vt+ a,t+ t) = A(x,t) A A' R x A' A' x x x j jk k = = = R ji i i j i j j A A' T l A' T A' A' = R = ( R ) = R ( R ) = x x x x ji ij li ij i i i j i l j l j i A A' A' A' A' i = + = + v,i t t t i t i A A' A' A' A' A' = + v = + v + v v t t t t t n es invariante,i,i,i,j i i j i A 1 A A' 1 A' v A' v v A',i,i,j = x c t c t c i t c c j i Si en un sistema de referencia A satisface la ecuación de nda, vems que en el tr A n la satisface. Este es extremadamente relevante, ya que implicaría que si en un sistema de referencia se satisfacen las ecuacines de Maxwell, entnces en tr sistema habría que escribir tra frma para estas ecuacines. Un pdría pensar que est requiere transfrmar tambien A, per est tampc es factible. Pr l tant, este pstulad restringe las transfrmacines entre sistemas de referencia inerciales. Clar que sabems que en el limite de pequeñas velcidades las transfrmacines Galileanas parecen estar crrectas, ya que v / c<< 1. Riemannian metric Supngams que una nda de luz se genera en el punt (t s,x s ). En el sistema de referencia K tenems que ls punts (t,x) en el frente de la nda de luz ( ) x x c t t ( ) = 0. Esta relacin debe de ser invariante en ls ds sistemas de crdenadas cn la misma velcidad c. Esta relación define una metrica. Hay ds metds de desarrllar la teria. Un es usar una metrica Euclideana l que implica definir el tiemp cm un numer imaginari (ict,x). El tr metd es usar una metrica Riemannian en 4 dimensines s s

5 reales z=(x =ct,x). En este capitul vams a tmar la segunda alternativa, ya que es mas útil en fisica mderna, cm la mecanica cuantica. Ordenems un pc nuestra frmulación.y definams que nuestr espaci tiemp esta definid pr las variables (x 0,x 1,x,x 3 ). Frmulación Matricial En termin de matrices pdems definir g = y el prduct escalar entre ds vectres cm 0 x 1 x x = x,x = xgx = ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) = ( x ) x x 3 x y las derivadas cm T / x 1 T = = g c t Pdems definir una transfrmación afina = Lx Ls vectres que se transfrman cm x, se denminan 4-vectr. Transfrmacines útiles: a) = T = T ( ) b) T = ( L ) ' c) T T T g = ' ( LgL ) ', g x LgL x Frmulación Cvariante-Cntravariante Es util definir ls vectres cntravariantes

6 x = ( x, x) y ls vectres cvariantes x ν = ( x, x) Cn la definicin del tensr de la metrica g ν ν = g tenems que x ν = g ν x = ( x, x) cn l que pdems definir el prduct escalar x,x = xx ν = xg ν x = x x ν ν sea el prduct de un vectr cvariante y cntravariante. Es imprtante ntar que el prduct escalar de ds vectres siempre incluye un vectr cvariante y un vectr cntravariante, un vectr cn índices arriba y un cn índices abaj, est se llama un cntracción. De la misma frma definims vectres cvariante y cntravariante que se transfrman de la misma frma que x ν y x ν. A = (A,A) ν A = g A = (A, A) ν Verems mas adelante que las derivadas cnviene definirlas, aunque parezca pc intuitiv a primera vista, cm =, 0 x 1 = c t =, 0 x

7 Pdems definir frmas tensriales cvariante y cntravariante en una transfrmación afina = Lx = L x ν ν Ntems que esta transfrmación esta definida pr una cntracción (prduct de indices alts y bajs). La transfrmación para la frma cvariante es entnces ( ) ( ) = g = g L x δ = g L g δα x = L α x ν ν ν δ ν δ α ν α Nuevamente tenems la transfrmación cm una cntracción. Vems que si aplicams g a la transfrmación subims bajams ls indices. Est funcina para tensres de cualquier rden. La transfrmación transpuesta se define cm T ( ) ν ν ν ν = L x L = L Transfrmacines útiles: a) = ν = ν = = ( α ν β), g xx x L g L x ν ν α β α ν β ν ν ν d) = = = L = L ' ν ν x x e) = g ν = ' L α g ν L β ' ν ν α ν β Lrentz transfrmatin (r Pincare) Grup Definams la transfrmación afina mas general cm = L x + a ν ν ν Usand el principi que el frente de la nda de luz es invariante, ( ) ( ) s s s s x x c ( t t ) = c (' t t') = 0 en ls ds sistemas de crdenadas, implica que

8 T, = xx, LgL= g ν ν ν = xx L g L = g ν ν α ν β αβ Esta transfrmación de Lrentz frma el grup de transfrmacines de Pincare y autmaticamente satisface la invariancia de la ecuación de nda. Es relativamente facil prbar que las transfrmacines de Pincare frman un grup G. a) I G T ya que ( I gi) = g b) L 1 gl T 1 T = g G ya que LL = gl gl= gg = I c) L T T T G ya que Lg( LgL) = Lg( g) LgL = g T T T T d) LL 1 G ya que ( LL 1 ) g( LL 1 ) = L ( L 1gL1) L = L gl = g Además, el determinante DetL=± 1. Las transfrmacines se clasifican dependiend del sign del determinante Det L=+1 (Prper) Det L=-1 y del valr de L (rthchrnus maping hacia adelante en el tiemp) L Ns interesan las prper rthchrnus Lrentz transfrmatins (POLT) ya que transfrman el tiemp hacia adelante (Det L=+1, L 0 0 1). Estas sn las transfrmacines que ns interesan prque preservan la causalidad. El antes y el después sn preservads. Antes de prseguir veams pr que las derivadas cvariantes y cntravariantes se definen al cntrari de una primera intuición. Sabems que la transpuesta de L pertenece también al grup G, pr l tant L g L = g g = L g L ν α β α ν β αβ αβ ν ν de esta frma tenems que las derivadas transfrman cm L ' = ν α ν α δ ν δ ( L g ) L ' ( L g ) y pr l tant las = α α ν α α δ g ' = L g δν ν α α δ δ ' = L derivadas se transfrma en frma cntravariante cm debería ser. Claramente, rtacines de la parte espacial R SO(3) (cn Det R =1) pertenecen a este grup.

9 LR ( ) = 0 R 0 Per que tip de transfrmacines permitidas mezclar el tiemp y el espaci? Y que además cnverjan a transfrmacines Galileanas para pequeñas velcidades? Tmems ls ds sistemas de referencia, cn el sistema K mviendse cn velcidad v respect al sistema K en la dirección x 1. Asumams que la transfrmación n afecta ls 3 3 ejes perpendiculares a esta dirección x =, x =. El frente de la nda debe de ser un invariante, pr l cual tenems ( x ) ( x ) = ( x + x )( x x ) = ( + )( ) = ( ) ( ) l que debe de ser invariante en ls ds sistemas de referencia. Pr l tant, cada termin en el parentesis sl puede ser una función de la velcidad = f() v ( x + x ) f f f f x = 1 = ( x x ) 1 1 x f() v f f + f f per, el sistema de referencia K se mueve cn velcidad v en el sistema K, l que implica que el rigen del sistema K esta dad pr x={x 0,x 0 v/c,0,0} y pr x ={x 0,0,0,0} en ls ds sistemas de referencia, cn l cual tenems 1 v/ c f() v = v/ c x β x Lv () 1 = 1 = 1 1 x β x = 1 v / c cn la definición β=v/c. La transfrmación definida en una dirección mas general es k v c L ν () v = Lv () = i i k v i, j vv δ + c 1+ c Es facil prbar que en el limite v/c > 0 esta transfrmación se reduce a una transfrmación Galileana. Ademas el invers esta dad pr L(-v). Esta transfrmación se

10 denmina un Bst para diferenciarl de una rtación espacial que también satisface el requisit de una transfrmación de Lrentz. Una cnclusión imprtante es que el tiemp y las distancias medidas dependen del sistema de referencia que se use. Dilatación del tiemp Supngams que tenems ds sistemas de referencia, el K y el K. En el sistema K el relj marca t (cn x =0 el relj n se mueve). Cuant marca en el sistema K? La transfrmación dictamina (usand L(-v)) c t = c t' + β Ls intervals de tiemp sn finalmente t = t' ya que 1, el interval del tiemp en el sistema K es mas chic que en el sistema K para el mism event. Est se denmina dilatación del tiemp. Cntracción de las distancias Otr prblema interesante en el cual se prducen ds medicines al mism tiemp en un sistema K ( x, t =0) en la misma dirección del mvimient (v={v,0,0}). En este sistema K las ds medicines se prducen en tiemps diferentes, per las ds medicines se relacinan cm c t β 0 = x β pr l tant en el sistema K medims la distancia x x ' = Esta n es la frma mas adecuada de prbar la cntracción de las distancia en ls sistemas en mvimient. Dejams para la tarea una frma mas intuitiva de hacerl. Efect Dppler relativista Queda de tarea. Si la ecuación de nda es invariante, entnces la fase de una nda plana debe de ser invariante k' ω' t' = kx ωt y pr l tant el set (k,ω) se transfrma cm un 4 vectr. Terema: descmpsición de POLT Es psible prbar que tda POLT se puede escribir en frma única cm el prduct de una rtación L(R) y una transfrmación Bst L(v), cn

11 i vi L0 = 0 L= LvLR () ( ) c L 0 1 R = L LL 1+ L i, j i i 0 k 0 j 0 0 Pruebe est. Est implica prbar que V<c usand las prpiedades de una transfrmación de Lrentz La relación de v/c permite la frmación de L(v) en termin de alguns cmpnentes de L. L(R)=L(-v)L es una rtación cn la definición del punt anterir permite establecer ls cmpnentes de R. Prbar que la descmpsición es única. Crlaris El rden de la descmpsición n es demasiad relevante ya que L=L(R)L(w) también petenece a POLT cn la misma relación anterir, per v=rw. Este grup POLT un grup de Lie que cntiene a SO(3) que depende de 6 parametrs, 3 anguls y tres velcidades y pr l tant requiere de 6 generadres. Ls 3 generadres crrespndiente a ls 3 ánguls de las rtacines fuern definids en el capitul anterir y ls denminarems cm J1 = J = J3 = Para definir ls generadres de ls Bsts definims la función rapidity f() v = ( v) e λ cn esta definición tenems que v cshλ sinhλ 0 0 tanhλ = c sinhλ cshλ 0 0 Lv () = 1+ β = 1 β e λ y pr l tant el generadr de la transfrmación la pdems escribir cm

12 K1 = K = K3 = y la transfrmación la pdems describir finalmente cm L= exp( φφˆ J)exp( λvk ˆ ) Una frma de prbar esta expresión es cmpniend un numer n de transfrmacines infinitesimales. Cuales sn las relacines de cnmutación? J, J = ε J i j i, jk, k J, K = K, J = ε K i j i j i, jk, k K, K = ε K i j i, jk, k Adición de velcidades Supngams que tenems un cuerp que se mueve cn velcidad u en el sistema de crdenadas K. Cual es la velcidad u en el sistema de referencia K? Hay ds frmas de ver este resultad. Un es tmar variacines en el tiemp en ls respectivs sistemas de referencia. ' ' '/ x = x + β x u x u c+ β = 0 = c x 1 + βu'/ c x = + β la tra es cmpner ds bsts z' = Luz ( ) = Lue ( ' ˆ ) Lve ( ˆ ) z = exp( λ K )exp( λ K ) z = exp( ( λ + λ ) K ) z u β + u'/ c = c 1 + βu'/ c Transfrmacines en direccines generales requiere mas algebra, per es trabajable. Claramente si las ds velcidades sn pequeñas cmparadas cn la velcidad de la luz ns da la transfrmación Galileana ' ( ' / ) u = u + v+ Ouv c

13 Precesión de Thmas Supngams que hacems ds bsts en direccines perpendiculares. Esta cmpsición también pertenece al grup de POLT y pr l tant tambien se puede escribir cm una rtación mas un bsts : L LuR ( ) ( ) Lve ( ˆ ) Lve ( ˆ ) 1 1 β1 β3 0 β = θ = 1 1 = 1 β 1 ββ El valr de u se puede encntrar del terema descrit arriba. u i β =, β,0 c 0 csθ sinθ 0 R( θ) = L( u) L = ββ 0 sin cs 0 1 ( 1 1) θ θ tanθ = β β también se puede btener de las relacines del terema para POLT. Para pequeñas velcidades tenems tanθ=-β 1 β /. Es interesante darse cuenta que ds bsts en direccines diferentes dar rigen a una rtacin. Est se denmina precesión de Thmas y se genera de la n-cnmutación de ls generadres de ls bsts. Supngams que a tiemp t tenems un sistema cn velcidad v. Lueg a tiemp t+dt bservarems v + dv. Asumams que a tiemp t hay un sistema inercial mviendse cn velcidad v instantaneamente pegad al cuerp. Lueg a tiemp t+dt, hay tr sistema inercial mviéndse cn velcidad v+dv instantáneamente pegad al cuerp. Si el cuerp tiene una dirección definida, cm el spin, entnces esta dirección se vera precesar cn una frecuencia angular (para pequeñas velcidades) cm β β Sin θ ~ θ = zˆ θ = v a c Transfrmación de vectres Definims un 4-Vectr, cm un vectr que se transfrma cm = L ν x ν La psición de una particula se transfrma cm un 4-vectr y pr l tant es un 4- vectr. Es muy útil parametrizar las trayectrias en este espaci 4-D cn un parametr τ que es invariante

14 ν dx dt cdτ = dx gνdx dτ = dt 1 = dt Pr l tant τ representa el tiemp medid en el sistema inercial en el que la particula esta mmentáneamente en reps (ct,0,0,0). Este parametr invariante se denmina prper time. Aqui supnems que existen un numer cntinu de sistemas de referencia inerciales que se mueven mmentaneamente cn la particula en reps. Pr ejempl, la trayectria se parametrizaría entnces cm x ν (τ). Ya que el prper time es invariante pdems definir un 4-vectr de velcidad de esta trayectria ν dx U = = ( c, v) dτ Partams pr la siguiente bservación. Supngams que tenems un cuerp que se mueve cn velcidad v en el sistema K. El siguiente vectr se transfrma cm ν U' = L ν () v U = (,0,0,0) c U = ( c, v) ν UUν = c l que implica que L transfrma alg cn velcidad v a alg cn velcidad 0, en este sistema de referencia K el cuerp n se mueve. Osea que L(v) transfrma al sistema en que el cuerp esta mmentáneamente cn v =0, el sistema de referencia en reps mmentáne cn el cuerp. Nuestra transfrmación se define entre sistemas de referencia inercial, pr l tant supnems que existe un numer cntinu de sistemas de referencia inerciales que se mueven mmentáneamente cn la partícula en reps. Cm vims anterirmente la nrma de este vectr es un invariante U ν U ν =c y tiene el mism valr en ls ds sistemas de referencia, cm debería ser. En frma trivial pdems definir el 4-vectr de mment cm P = ( mc, mv) Ya que la masa m es inviariante. En el limite v >0 tenems v > 0 ( v) = ( v) + β Lim mc, m mc, m O( ) Es fácil darse cuenta que el mment definid de las leyes de Newtn mv, el cual se cnserva en el sistema K, puede que n se cnserve en el sistema K. Necesitams escribir las ecuacines de Newtn en frma invariante siguiend el pstulad del principi de relativadad (las ecuacines de Maxwell, la ecuación de nda, ya es invariante) cn las siguientes reglas La ecuación debe de ser invariante descrita en termin de 4-vectres

15 En el limite v >0, debems recrbrar la ecuación de Newtn en su frma n relativistica. Una ecuacin de mvimient que que tiene frma invariante, que ls ds lads de la ecuación se transfrman de la misma frma, se denminan ecuación c-variante. En el sistema K tenems dp K dτ = u dnde K es un 4-vectr también. Esta definición es raznable ya que la parte espacial del 4-vectr de mment en el limite v >0 cnverge al mment n-relativista. Usams la segunda regla para transfrmar al sistema de referencia dnde la particula esta instantaneamente en reps. En este sistema tenems dp' d d = m c, m(0, ) (0, ) = x = F dτ dt' dt' ya que la particula esta en reps (instantaneamente), cn F cm la fuerza de Newtn en su frma n-relativistica. Siend que la fuerza K se transfrma cm un 4-vectr tenems (usand L(-v)) 1 K = F+ ( vf ) v 1+ c 1 1 = = c c ( ) ( K) 0 K vf v Asi, la fuerza K ν = (K 0,K) es la fuerza de Newtn (0,F) cn un bsts desde el sistema de referencia mmentáneamente en reps cn la partícula. Rapidamente ns dams cuenta de la dificultad de incluir camps electrmagnetics en esta descripción. Si usams F= qe+ qβ B K 1 = E+ β B+ ( v E+ v β B ) v q 1+ c K q 0 1 = c ( v E+ v β B) pr l tant si querems que las ecuacines la fuerza de Lrentz sea invariante vams a tener que transfrmar tambien ls camps.

16 La paradja de ls gemels Supngams que tenems gemels. Mandams a un a la estrella mas cercana en un chete que acelera la mitad del camin cn a=g, y desacelera la da mitad del camin cn a=-g. L mism sucede de vuelta de la estrella. Que edad tienen ls gemels al encntrarse? En el sistema K, las ecuacines de mvimient sn = g x( τ) = x ( τ) U = v dτ c c = = g x ( τ) = x( τ) dτ c c 0 du U ( τ) 0 g 0 0 U c du U( τ) 0 g Cuales sn las cndicines iniciales? Estas ecuacines se pueden integrar dada una distancia a la estrella. Es interesante reslver este prblema y ver que el gemel que va a la estrella mas cercana, tiene una edad menr que la del gemel que se queda en la tierra.. Reslver este prblema Energia y Mment Para pequeñas velcidades tenems d x F dt dε c = xf dt cn ε cm la energía de una partícula. Hems usad nuevamente el cntinu de sistemas inerciales para expresar v=dx/dt. En frma relativistica pdems asignar ahra el cuart cmpnente del 4-vectr de mment cm ε ε = mc P = (, p) c P P = mc ε = p c + ( mc ) ya que la nrma de un 4-vectr es invariante. Si expandems esta frma de la energía para pequeñas velcidades tenems 1 4 ε = mc mc + mv + O( v )

17 Pr l tant definims mc cm la energía de un cuerp en reps. Hay ds temas fundamentales en est: Otr tema tambien interesante es que en el limite m >0 las particulas también transprtan mment y energía P ν = (pc,p), Se mueven cn velcidad v=c, per n tienen un sistema de referencia inercial mmentaneamente en reps cn ellas. Es muy interesante que la energía y la masa sn intercambiables. En una clisin cmpletamente inelastica ds particulas cn energía inicial ε quedan en resps despues de chcar, l que implica que la energía cinetica fue cnvertida en un aument de la masa inercial. La energía que debems gastar en devlverles la energía cinetica inicial a las particulas es M = m+ M E = ( T mc ) = Mc ε = Mc Esta es la famsa relación de Einstein. Clisines En una clisión dnde hay creación de tras partículas tenems que mantener la ttalidad de la energía, cinetica e inercial, en cuenta. En una clisión sabems que el mment y la energía se cnservan, pr l tant el 4-vectr también se cnserva. El centr de mment (COM ya que masa n es alg que se cnserva en relatividad) se define cm el sistema de referencia dnde la suma de tds ls mments (parte espacial de P) es cer. El labratri (K) y el COM (K ) se cnectan cn una transfrmación de Lrentz. Para reslver prblemas de clisines, tenems ds alternativas, 1. usar escalares, cm P P, que tienen el mism valr en tds ls sistemas de referencia inerciales. Reslver el prblema en el COM y transfrmar ls 4 vectres al labratri K usand un Bst. Usarems el primer métd. Supngams que tenems una particula de masa m 1 que chca cn una particular de masa m en reps. Relacinems ls ánguls de escatering (θ 1,θ ) en el labratri cn el ángul de escatering en el COM (φ). m 1 m 1 θ 1 m

18 Para calcular el angul de scatering tenems que cnservar el mment y la energía, est implica cnservar el 4-vectrde mment en tds ls sistemas de referencia. Es cnveniente multiplicar el vectr de 4-mment pr c y calcular tdas las variables en termin de la energiá. Cnvertir tdas las masas a energía, mc y las velcidades de ls mments a β, asi la velcidad de la luz desaparece de nuestr prblema. P representa un 4-mment en el labratri y Q en el COM. Pr l tant tenems ls siguientes invariantes ( 1 ) ( 1, f, f ) ( Q1 Q) ( Q1, f Q, f ) ( 1 1, f ) (, f ) ( Q1 Q1, f ) ( Q Q, f ) r = P + P = P + P = + = + s = P P = P P = = Ests invariantes relacinan P y Q en ls ds sistemas de referencia y tambien la cnservación del 4-mment. En el Labratri P = ( m + p, p ) P = ( m + p, p ) , f P = ( m,0,0,0) P = ( m + p, p ), f m + m + p = m + p + m + p En el COM Q = ( m + p, p ) Q = ( m + p, p ) 1 1 c c 1, f 1 c, f c, f Q = ( m + p, p,0,0) Q = ( m + p, p ) 1 c c, f c, f c, f ( ) ( ) Q + Q = Q + Q p = p 1, f, f 1 c c, f En el sistema del COM tenems ( 1 ) 1 c ( 1 c)( c) r = Q + Q = m + m + p + m + p m + p ( 1 1, f ) c ( 1 cs ) s = Q Q = p θ En el sistema del Labratri tenems

19 ( 1 ) 1 ( 1 0) r = P + P = m + m + m m + p ( 1, f, f ) 1 ( 1 1 )( 1 ) 1 1cs( θ1 θ) r = P + P = m + m + m + p m + p pp + ( f ) ( )( ) (, f ) ( 1 ) s = P P = m m + p m + p + pp csθ 1 1, s = P P = m m m + p cn estas expresines es psible expresar la relación de ls anguls entre csθ 1 y csθ. L cual es un asunt de algebra. Σ= m1 + m m r sinθ tan θ1 = = m r 1 m r Σ + csθ + r Pdems simplificar much el prblema si cnsiderams m 1 =m. Electrmagnetism La parte espacial de la fuerza de Lrentz es ( ) d v v m = ee+ B dt c ( ) d c e m = E v dt c la segunda relación se puede btener multiplicand la primera pr v. La parte izquieda de esta relación se puede escribir cn 4-vectr y pr l tant es inviariate en tds ls sistemas de referencias. La parte derecha es mas dificil cm vims arriba. Est implica que ls camps tambien deben transfrmarse en una transfrmación de crdenadas. Si definims el tensr electrmagnetic, pdems escribir la fuerza de Lrenz en frma cvariante cm E E E 1 3 E 0 B B ν du e ν F = F m = F U 3 1 E B 0 B dτ c 3 1 E B B 0 es imprtante ntar que es necesari definir las camps electrmagnetics cm un tensr, n cm un vectr, ya que ests tambien se transfrman en una transfrmación de ν

20 Lrentz. Est implica que ls camps electrics y magnetics se transfrman entre si (ver Jacksn 1974). Definams el 4-vectr α α J = ( cρ, J) δ α J = 0 y usand el Gauge de Lrenz, tenems A α α α A = 0 = ( Φ, A) α β A = 0 El 4-tensr de segund rang se puede rescribir cm αβ α β β α F = A A cn l que las ecuacines de Maxwell s quedan expresadas cm αβ F = J α α β β α αβ F + F + F = 0 β Para el cas de materiales el tensr F( EB, ) GDH (, ) α L únic que tenems que hacer pr l tant es una transfrmación de Lrentz al tensr = L x F' = L L F ν αβ β α δ ν δ en frma matricial = Lx F' = LFL T Cn esta transfrmación pdems reslver prblemas cmplejs, transfrmand a un sistema de referencia dnde la frmaulacin resulte facil, pr ejempl, al sistema de referencia dnde la particula este en reps. Una transfrmación general a un sistema de referencia K mviendse cn velcidad v cn respect al sistema K, transfrma ls camps cm E' = ( E+ β B) β β E + 1 ( ) B' = ( B β E) β β B + 1 ( )

21 Esta transfrmación transfrma sl ls camps, además es necesari transfrmar las dependencia explícita de las variables entre ls ds espaci-tiemps. Osea 1 ' = ( ) = ' x Lv x x L x E'( ) = E x + β B x β β E x + 1 ( [ ] [ ]) ( [ ]) ( ) ( ) 1 ' 1 E x L x β ' 1 B x L x β β E x L = = + = = + 1 B'( ) = ( B x β E x ) β β B x + 1 [ ] [ ] ( [ ]) ( ) = ( B x = L β E x = L ) β β B x = L La transfrmación inversa se btiene de v > -v, y para pequeñas velcidades tenems E' ( E+ β B) B' ( B β E) Ejempl: Calcular ls camps prducids pr una partícula en mvimient cn velcidad unifrme v en la dirección x. En el sistema en reps de la particula cn espaci-tiemp (ct,x,y,z ) tenems q E' = {, y', z'} B' = 0 3 r' Mientras que en el sistema del labratri cn espaci-tiemp (ct,x,y,z) la partícula se mueve cn velcidad v= vxˆ, pr l tant pr l tant ct' ct β 0 0 ct ct β x ' x x β 0 0 x ctβ + x = L( vxˆ ) = = y' y y y z' z z z r' = + y' + z' = ( x vt) + y + z cn ls camps transfrmads cm

22 E = E' xβ E' = { E', E', E'} ˆ + 1 x x y z B= β xˆ E' = β {0, E', E'} z x pr l tant ls camps en termin de las variables del labratri estan dads pr q E = { E', E', E'} = x tv, yz, ( ( x vt ) + y + z ) ( ( x vt ) + y + z ) { } x y z 3/ q β B= β {0, E', E'} = 0, zy, z y 3/ { } Dinámica Ahra vams a describir la dinamica de un cuerp relativistic. Primer bservams que cn el siguiente Lagrangian tenems u L= mc 1 U δ t t1 c d d L L Ldt ( mu) = = = U dt dt u x De esta frmulación es trivial encntrar la frmulación cannica y el Hamiltnian. Hay tres csas imprtantes de cnsiderar. Primer, la energía cinetica n aparece en el Lagrangian. Segund, la frmulación es estrictamente n cvariante ya que el tiemp aparece cn uncaracter especial. La idea es frmular este sistema desde un punt de vista cvariante en el que el tiemp y el espaci adquieren la misma relevancia. Tercer, este lagrangian n tiene ninguna prpiedad de transfrmación especifica cn respect a las transfrmacines de Lrentz. El principi de Hamiltn debe de ser, en frma fundamental, cvariante l que implcia que la integral de acción debe de ser un escalar invariante. Est además implica que las derivadas deben de ser cn respect a un parametr invariante, en nuestr cas usarems τ prper time. δ τ τ 1 Lx (, x ) dτ d L L = dt x x Clar esta, que esta ecuación debe de dar la ecuación de mvimient

23 dp K dτ = u Una frma relativamente trivial de escribir el lagrangian en frma cvariante es usand frmas cvariantes, prducts escalares de 4-vectres. 1 q I= mx x + x A d q q A c mx + A = x dτ c c x A = ( φ, A) ν ν ν El resultad de este análisis es la ecuación de mvimient en un camp electrmagnétic. De este frmulación parte la mecanica cuantica relativistica asumiend Gauge invariance. De estas ecuacines pdems derivar el mment canónic y su relación a la energía cinética L q q 4 = = + = + p P A T p A mc x c c Este es el cas del Lagrangian para una partícula. Cuand pnems varias particulas que se afectan entre si, se vuelve un prblema cmplicad ya que es entnces dificil definir un prper time τ para tdas las particulas. Este prblema de definir una frmulación Lagrangiana, principi de Hamiltn, para varias particulas resulta muy cmplicad. Hay frma de manejar est desde el punt de vista de ls camps en una descripción cuantica de la dinámica. En termin del Hamiltnian tenems que para una particula libre 1 I= mx x p p ℵ= m p = mx y para la fuerza electrmagnética ns da cn 1 q q q I= mx x + Ax p A p A c c c ℵ= q m p = mx + A c

24 dx ℵ = dτ p dp ℵ = dτ x Hay un gran prblema as describir mas de una particular en este frmalism ya que n queda clar cual tiemp prpi usar. Al usar varias particulas el tiemp prpi n es un parametr aprpiad para la descripción Lagrangiana. Esta prblema se resuelve en la mecanica cuantica la pasar a una teria de camp dnde el parametr de ls camps es el dx 4, el cual si es un invariante de la dinamica. τ δ Lx (, x ) dτ δ L( Ψ Ψ,,...) dx τ 1 Un puede ir mas lejs aun, pdems definir el Lagrangian de ls camps cm dnde btenems LA A dx L L ν 4 (,...) β α α A A L F F αβ J A α β = c 4π F = c J αβ α βα α 4 Estas sn las ecuacines inhmgéneas de Maxwell. La ecuación hmgénea se satisface autmáticamente.