Teorema Maestro. Introducción. Arturo Díaz Pérez. Recurrencia general para estrategias divide y vencerás. Análisis y Complejidad de Algoritmos 1

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1 Arturo Díz Pérez Aálisis y Diseño e Aloritmos Teorem Mestro Arturo Díz Pérez Aálisis y Diseño e Aloritmos Mestro- Itroucció Recurreci eerl pr estrteis ivie y vecerás T + T T Aálisis y Diseño e Aloritmos Mestro-2 Aálisis y Complei e Aloritmos

2 Arturo Díz Pérez Teorem Mestro Se y costtes, se u fució y se T efiio e los eteros o etivos por l recurreci + T T T puee ser coto sitóticmete como siue: Si O - pr lu costte >, etoces, T Θ. 2 Si Θ, etoces, T Θ l. 3 Si Ω + pr lu costte > y si / c pr lu costte c < y tos ls suficietemete res, etoces, T Θ. Aálisis y Diseño e Aloritmos Mestro-3 Oservcioes o solo tiee que ser meor que, ee ser poliomilmete meor. Esto es, ee ser sitóticmete meor que por u fctor e pr lu costte >. o solo tiee que ser myor que, ee ser poliomilmete myor y emás stistcer l coició e reulri: / c pr lu costte c < y tos ls. Si ls os fucioes so el mismo ore, se multiplic por u fctor rítmico y l solució es TΘ. Aálisis y Diseño e Aloritmos Mestro-4 Aálisis y Complei e Aloritmos 2

3 Arturo Díz Pérez Oservcioes 2 Los csos teriores o cure toos los csos pr. Hy u hueco etre los csos y 2 cuo es meor pero o poliomilmete meor que. Hy u hueco etre los csos 2 y 3 cuo es myor pero o poliomilmete myor que. Aálisis y Diseño e Aloritmos Mestro-5 Eemplos Se T 9T/3 +. 9, 3, 3 9 Θ 2 Y que O 3 9-, pr, se puee plicr el Cso Por lo tto, T Θ 2. Se T T2/3 +., 3, 3/2 Y que Θ 3/2, se puee plicr el Cso 2 Por lo tto, T Θl. Aálisis y Diseño e Aloritmos Mestro-6 Aálisis y Complei e Aloritmos 3

4 Arturo Díz Pérez Eemplos 2 Se T 3T/4 + l. 3, 4, l 4 3 Ο.793 Y que Ω 4 3+, pr.2, se puee plicr el Cso 3 si se muestr que l coició e reulri se preset pr. Pr u suficietemete re / 3/4l/4 3/4l c, pr c 3/4. Por lo tto, T Θl. Aálisis y Diseño e Aloritmos Mestro-7 Eemplos 3 Se T 2T/2 + l. 2, 2, l 2 2 Y que l es sitóticmete más re que, se puee supoer que el Cso 3 se plic. Si emro, l o es sitóticmete poliomilmete más re que. El cociete l/ l es sitóticmete meor que, pr culquier costte positiv. Así, est recurreci ce e el hueco etre los Csos 2 y 3. Aálisis y Diseño e Aloritmos Mestro-8 Aálisis y Complei e Aloritmos 4

5 Arturo Díz Pérez Lem Se etoces, T Θ T + si k si k : T Θ + Demostrció. Y se hizo e ls ots teriores. Lámis Aálisis Aálisis y Diseño e Aloritmos Mestro-9 Lem 2 Se y costtes y se u fució o etiv efii sore ls potecis excts e. L fució puee ser coto sitóticmete como siue: Si O - pr lu costte >, etoces, Ο. 2 Si Θ, etoces, Θ l. 3 Si / c pr lu costte c < y pr, etoces, Θ. Aálisis y Diseño e Aloritmos Mestro- Aálisis y Complei e Aloritmos 5

6 Arturo Díz Pérez Aálisis y Complei e Aloritmos 6 Aálisis y Diseño e Aloritmos Mestro- Demostrció Cso Si O -, etoces, / i O/ i - O Aálisis y Diseño e Aloritmos Mestro-2 Demostrció Cso cot. Y que y so costtes O O

7 Arturo Díz Pérez Aálisis y Complei e Aloritmos 7 Aálisis y Diseño e Aloritmos Mestro-3 Demostrció Cso 2 Si Θ, etoces, / i Θ/ i Θ l Θ Θ, por lo tto Aálisis y Diseño e Aloritmos Mestro-4 Demostrció Cso 3 Do que / c pr lu costte c < y pr, e, se tiee que, / c. c c c O, por lo tto, e quí, y que c es costte Θ

8 Arturo Díz Pérez Lem 3 Se y costtes, se u fució y se T efiio e los eteros o etivos potecis e por l recurreci + T T T puee ser coto sitóticmete como siue: Si O - pr lu costte >, etoces, T Θ. 2 Si Θ, etoces, T Θ l. 3 Si Ω + pr lu costte > y si / c pr lu costte c < y tos ls suficietemete res, etoces, T Θ. Aálisis y Diseño e Aloritmos Mestro-5 Demostrció Lem 3 Por el Lem T Θ Por el Lem 2 Cso T Θ Cso 2 T Θ + + O + Θ Θ l Θ l Cso 3 Aálisis y Diseño e Aloritmos T Θ + Θ pero Ω +, por lo tto T Θ Mestro-6 Aálisis y Complei e Aloritmos 8

9 Arturo Díz Pérez Oservció l Lem 3 El Lem 3 es válio úicmete cuo es u poteci exct e. Tre. Demostrr que el Teorem Mestro es válio pr cuo o es ecesrimete u poteci e. Corme et l. pás Aálisis y Diseño e Aloritmos Mestro-7 Aálisis y Complei e Aloritmos 9

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