Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales Estadística y Probabilidad 1º de bachillerato

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1 Departamento de Matemátcas Matemátcas aplcadas a las cencas socales Estadístca y Probabldad º de bachllerato Matemátcas aplcadas a las cencas socales I, pág. de 48

2 Departamento de Matemátcas TEMA : ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA ) LA ESTADÍSTICA: ASPECTOS GENERALES.- La Estadístca Descrptva tene por objeto la recogda, recoplacón y reduccón de datos, su organzacón en tablas y gráfcos y el cálculo de unos valores que representen al conjunto de datos. La estadístca estuda las propedades o cualdades que observamos en los elementos de un colectvo, que llamamos poblacón. S la poblacón fuese muy grande tomaríamos una parte representatva de la poblacón, que se conoce con el nombre de muestra. - Poblacón: Todos los elementos susceptbles de ser estudados. - Muestra: Una parte de la poblacón. - Carácter Estadístco: Propedad que permte clasfcar a los ndvduos de una poblacón, por ejemplo: el color de los ojos, la altura, la edad, la profesón. Se dstnguen dos tpos de caracteres estadístcos: Cualtatvos y Cuanttatvos. Los caracteres estadístcos cualtatvos son aquellos que no se pueden medr, por ejemplo: el color de los ojos, el estado cvl, la profesón. Los caracteres estadístcos cuanttatvos son aquellos que s se pueden medr, por ejemplo: el peso de una persona, la duracón en horas de una lámpara, el número de días que llovó en Vecndaro en el mes de Dcembre. El conjunto de valores que puede tomar un carácter estadístco cuanttatvo es lo que entenderemos por Varables Estadístca. Las varables estadístcas se dvden en dos tpos: Dscretas y Contnuas. Varable Estadístca Dscreta: Cuando puede tomar un número fnto de valores o un número nfnto pero numerable. Ejemplo: el número de hjos de cada famla canara, número de empleados de una fábrca, número de goles marcados por el Vecndaro esta temporada. Varable Estadístca Contnua: Cuando puede tomar, cualquer valor de un certo ntervalo de la recta real. Ejemplo: el consumo de un coche cada 00 KM, el peso de los alumnos de una clase, presón sanguínea de una persona Ejercco : Indca cuales de las sguentes varables estadístca son cualtatvas y cuales cuanttatvas. En caso de ser cuanttatvas, ndca s son dscretas o contnuas. a. Forma geométrca de las señales de tráfco b. La altura de los alumnos del nsttuto. c. Número de alumnos en cada aula del nsttuto. d. Tpos de árboles plantados en los jardnes de Vecndaro. e. Número de plantas en cada parque de Vecndaro. f. Ltros de lluva caídos por metro cuadrado en un determnado lugar durante un año. g. Número de lbros edtados en una mprenta durante un mes. h. Películas que han vsto en el cne los alumnos en el últmo mes.. Klómetros recorrdos por un coche con 5 ltros de gasolna. ) TABLAS DE FRECUENCIAS.- Consderemos una poblacón de N ndvduos, de los que estudaremos una carácter estadístco A que puede tomar K posbles valores A A, A,..., A, 3 Desgnamos por n al número de ndvduos que presenta cada modaldad A, se conoce como Frecuenca Absoluta de la modaldad A. Dvdendo la frecuencas absolutas, n, por el número total de observacones, obtenemos la Frecuenca Relatva de la modaldad A, f Propedad: Cuando los valores que puede tomar un carácter estadístco son ncompatbles, se cumple que la suma de las frecuencas absolutas es gual al total de la poblacón estudada, y la suma de las frecuencas relatvas es gual a, es decr: n N Matemátcas aplcadas a las cencas socales I, pág. de 48 K

3 Departamento de Matemátcas K K n n n... nk N y f f f... f K La Frecuenca Absoluta Acumulada del valor A, es la suma de todas las frecuencas absolutas anterores a A más la frecuenca absoluta de A. N p n n... n p Frecuenca Absoluta Acumulada.( p k) La Frecuenca Relatva Acumulada del valor relatvas anterores a A más la frecuenca relatva de A. A, es la suma de todas las frecuencas F p f f... f p Frecuenca Relatva Acumulada. ( p k) Ejemplo: Supongamos que tramos un dado veces y obtenemos los sguentes resultados:,,, 6,, 5, 3, 6, 4, 4,,. Está claro que estamos trabajando con una varable estadístca cuanttatva dscreta, cuyos posbles valores son,, 3, 4, 5, 6; es decr 6 posbles modaldades o posbles resultados, por tanto en este ejercco N = y K = 6 Posbles Frec. Absolutas Frec. relatvas Frec. Abs. Frec. Relatvas Resultados n n Acumuladas. Acumuladas. f N N F A n 3 f 3/ N 3 F 3/ A n 3 f 3/ N 6 F 6/ A 3 3 n 3 f 3 / N 3 7 F 7 / 3 A 4 4 n 4 f 4 / N 4 9 F 4 9/ A 5 5 n 5 f 5 / N 5 0 F 5 0/ A 6 6 n 6 6 N 6 F 6 / Ejercco : Las notas obtendas por 5 alumnos en un eamen de matemátcas fueron las sguentes : 3, 9, 0, 6, 6, 5, 4, 3,, 8, 7,, 7, 0, 5, 4, 5, 8, 3, 5, 6,, 9, 6, 7. Construye la tabla de frecuencas. NOTA. S la varable estadístca es contnua, o s a pesar de ser dscreta los valores de dcha varable son muchos, entonces se suelen agrupar esos valores en ntervalos. La Marca de Clase es el valor que ocupa el centro del ntervalo y se consdera el representante del ntervalo. Ejemplo: Construr la tabla de frecuencas de las edades de las personas que acuden a un logopeda a lo largo de un mes, sabendo que estas edades son: 3,,, 3, 4, 3,, 4, 5, 6, 7, 3, 4, 5, 3,, 5, 6, 7, 4, 5,,, 4, 3, 6, 9, 3, 6, 7, 6, 3, 6, 5,, 6. Clases (Edades) = marca de clase Fr. Abs. n Fr. Relat. f Fr.Abs. Ac. N Matemátcas aplcadas a las cencas socales I, pág.3 de 48 Fr..Rel. Ac. F [0, 5),5 3 3/36 3 3/36 [5, 0) 7,5 /36 4 4/36

4 Departamento de Matemátcas [0, 5),5 6 6/ /36 [5, 0) 7,5 /36 3 3/36 [0, 5),5 / /36 [5, 30) 7,5 3 3/ ) REPRESENTACIONES GRÁFICAS.- Los gráfcos estadístcos nos permten dar una dea vsual y global de la dstrbucón de los datos. Los más usados son los sguentes: a) Dagrama de Barras: Tenen una base constante y una altura proporconal a la frecuenca absoluta correspondente, las barras deben estar separadas. Son apropados para varables cualtatvas y cuanttatvas dscretas. Ejemplo: Número de jugadores de un equpo de baloncesto según el color de sus ojos (V. cualtatva) S usamos el ejemplo anteror de la trada del dado (V. dscreta), sería b) Dagrama de Sectores: Cada suceso vene representado por un sector crcular de ampltud proporconal a su frecuenca. Son apropados para varables cualtatvas y cuanttatvas dscretas. Para el ejemplo anteror sería: 47% 3% 7% 33% Azules Verdes Marrones Negros c) Hstogramas.- Está formado por rectángulos en los que las bases son las dferentes clases y las alturas son tales que las áreas resultantes equvalen a las respectvas frecuencas relatvas. Matemátcas aplcadas a las cencas socales I, pág.4 de 48

5 Departamento de Matemátcas d) Polígono de Frecuencas.- Se construye a partr del dagrama de barras o del hstograma, unendo los puntos medos de la parte superor de cada rectángulo. e) Pctogramas: Son dbujos alusvos al carácter estadístco estudado y donde el tamaño de los msmos es proporconal a las frecuencas absolutas correspondentes. El Pctograma muestra las potencas de las centrales eólcas españolas, en megavatos, en los años 996 y 997. f) Cartograma: Mapa de una provnca, regón o terrtoro naconal coloreado en dstntos tonos y colores con unos cuadros al margen que ndcan su sgnfcado. g) Prámde de Poblacón: Se representa gráfcamente la poblacón clasfcada por edad y seo. Matemátcas aplcadas a las cencas socales I, pág.5 de 48

6 Departamento de Matemátcas 4) MEDIDAS CARACTERÍSTICAS.- Para estudar una dstrbucón de frecuencas, convene dar algunas meddas objetva que descrban el comportamento de los datos. Se agrupan en las sguentes categorías. a) MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN.- Aquellos valores que representan a la dstrbucón de frecuencas en su conjunto. a.) MEDIA ARITMÉTICA: La meda de una varable estadístca es la suma de todos sus valores dvddo por el número de ellos. La meda de la varable X se representa por. K f K n N, donde son los valores de la varable. Ejercco 3: Calcular la nota meda de un alumno que ha obtendo en sus eámenes: 7, 6, 3, 3,, 5, 9, 3, 4, 6. Nota: En el caso de varable agrupada por ntervalos, la meda se calcula usando las marcas de clase de cada ntervalo. a.) MEDIANA: La medana es el valor de la varable estadístca que dvde en dos partes guales los ndvduos de la poblacón, una vez ordenados estos de menor a mayor. S el número de ndvduos es mpar se toma el valor central. S el número de ndvduos es par se hace la meda de los dos valores centrales. Ejemplo: En el ejemplo anteror tenemos 0 notas con lo cual habrá dos valores centrales. Ordenemos prmero las notas:, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, En este caso los valores centrales son el 4 y el 5, por tanto la medana será Me 4, 5 Ejemplo: Supongamos que las notas de un alumno son: 5, 3, 7,, 6. En este caso tenemos un número mpar. Ordenamos las notas:, 3, 5, 6, 7; y la que ocupa la poscón central es el 5, por tanto Me = 5. (IMPORTANTE: Los ejemplos que acabamos de ver son para el caso de varables dscretas.) Para datos agrupados en ntervalos, la medana se calcula de la sguente forma:. Se busca el ntervalo en el que se encuentra la medana, es decr es valor que dvde a la dstrbucón en dos partes guales. Ese ntervalo se denota por L, ) N N. Me L a n Ejemplo. En el caso del logopeda sería:. el ntervalo donde esta la medana es [5, 0) 8 3. Me 5 5 7, 7 años. [ L, donde a = ampltud del ntervalo donde está la medana. Matemátcas aplcadas a las cencas socales I, pág.6 de 48

7 Departamento de Matemátcas a.3) MODA: La moda de una varable estadístca es el valor que más se repte, es decr el más frecuente, y por tanto el que corresponde al mámo en el dagrama de barras o en el hstograma. A veces puede haber más de una moda. Ejemplo: En el caso de las 0 notas de un alumnos, Mo = 3. Para datos agrupados en ntervalos (varable contnua) la Moda se calcula de la sguente forma:. Se busca el ntervalo modal, es decr aquel donde la frecuenca absoluta es mayor. Llamaremos L, ) a dcho ntervalo. [ L. Mo L a donde: a = ampltud del ntervalo. n n n n Ejemplo: El peso de 50 recén nacdos en una semana en un hosptal vene dado por la sguente tabla: Peso en Kg. [.5, 3) [3, 3.5) [3.5, 4) [4, 4.5) Nº de nños Está claro que el ntervalo modal es este caso es el ntervalo [3, 3.5) y su ampltud a = 0.5 En este caso y 3 Por tanto: 7 Mo ,3 7 Ejercco 4: La dstrbucón de las edades de los jugadores que ntervenen en una determnada competcón deportva es: Edad Total Nº Calcula la meda, medana y moda. Ejercco 5: La altura de los 30 alumnos de un aula vene dada por la sguente tabla: Altura (cm) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) Nº alumnos Calcula la altura meda de dcha aula, así como la moda y la medana. b) MEDIADAS DE POSICIÓN.- Estas meddas dan los valores de algunas poscones de nterés en el conjunto de los datos. b.) CUARTILES: S en lugar de partr la totaldad de los ndvduos en dos mtades (medana), lo hacemos en cuatro partes guales, obtenemos los cuarteles: Matemátcas aplcadas a las cencas socales I, pág.7 de 48

8 Departamento de Matemátcas Q = Cuartl Inferor: es el valor de la varable que deja el 5% de la poblacón por debajo de él. Q = Segundo Cuartl ó Medana: es el valor de la varable que deja el 50% de la poblacón por debajo de él. Q 3 = Cuartl Superor: es el valor de la varable que deja el 75% de la poblacón por debajo de él. Ejemplo: Calcula los 3 cuartles de las edades de pacentes que vstan a un dentsta: 9, 0, 7,, 4,, 8, 0, 0, 3,, 8 Ejercco 7: Hacer lo msmo con las sguentes edades:, 3, 3, 4, 6, 8,, 5, 9, 0, 5, 7, 35, 40, 48 (fíjate que ya están ordenadas). Ejercco 8: Hacer lo msmo con las sguentes edades: 5, 8,, 3,, 0, 5, 9, 6 EN EL CASO CONTINUO (o datos agrupados por ntervalos). Se busca el ntervalo es el cual está el cuartl buscado : L, ) [ L 5 75 N N N N. Q L 00 a ; Q Me ; Q L 00 3 a n n Nota: Recuerda que y que Ejercco 9: El peso de 50 recén nacdos en una semana en un hosptal vene dado por la sguente tabla: Peso en Kg. [.5, 3) [3, 3.5) [3.5, 4) [4, 4.5) Nº de nños Calcular los tres cuartles b.) DECILES: Son los valores de la dstrbucón que dvden la totaldad de los ndvduos en 0 partes guales. Serían D ; D; D3;....; D9, donde D K deja por debajo el ( K 0)%, es decr: D deja por debajo el 0% de los ndvduos. D deja por debajo el 0% de los ndvduos... D deja por debajo el 90% de los ndvduos. 9 EN EL CASO CONTINUO venen dados por la epresón: D K L K N N 0 n a Matemátcas aplcadas a las cencas socales I, pág.8 de 48

9 Departamento de Matemátcas b.3) PERCENTILES: Son los valores de la dstrbucón que dvden la totaldad de los ndvduos en 00 partes guales. EN EL CASO CONTINUO venen dados por la epresón: P K L K N N 00 n a Nota: Seguramente te habrás dado cuenta de que: P5 Q ; P D5 Q Me 50 ; P75 Q3 Ejercco 0: Las edades de lo 40 pacentes que pasaron por el servco de urgencas del hosptal nsular en un día, venen dadas por la sguente tabla: Edad [0,0) [0,0) [0,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,00) Nº Calcula: a. La edad meda de los pacentes. b. La moda y la medana. c. Q y D 5 d. P 45, Q 3, D 6 y P 60 c) MEDIDAS DE DISPERSIÓN.- Estas meddas, nos ndcan s los datos están muy agrupados en torno a un valor central o s por el contraro están muy dspersos respecto a este valor. Generalmente s estas meddas están prómas a 0, es por que los datos están agrupados, y s por lo contraro están lejos del 0, están dspersos, (aunque estar cerca y lejos de 0 sempre es muy relatvo). c.) RANGO o RECORRIDO: Es la dferenca entre el mayor y el menor valor de una varable estadístca. Ejemplo: Supongamos que las notas de 8 alumnos son las sguentes 3, 3, 5, 6, 7, 7, 8, 9. Rango = 9 3 = 6 c.) VARIANZA: Se defne como: V s N N f f N n Es decr: Varanza = Meda de los Cuadrados Cuadrado de la Meda. c.3) DESVIACIÓN TÍPICA: Es la raíz cuadrada postva de la varanza. Se denota por s. Es el parámetro de dspersón más utlzado, y además vene dado en las msmas undades que los datos, cosa que no ocurría con la varanza. Matemátcas aplcadas a las cencas socales I, pág.9 de 48

10 Departamento de Matemátcas c.4) COEFICIENTE DE VARIACIÓN DE PEARSON: Se defne por C P s Medda útl para comparar dstrbucones dstntas, este coefcente no depende de las undades en que se mdan los valores de la varable y suele epresarse en porcentaje. Este coefcente no es muy útl s está prómo a cero. Ejemplo: Las notas de un eamen realzado por 30 alumnos, son las sguentes: 5, 3, 4,,, 8, 9, 8, 7, 6, 6, 7, 9, 8, 7, 7,, 0,, 5, 9, 9, 8, 0, 8, 8, 8, 9, 5, 7. Calcula el Rango, Varanza, Desvacón típca y Coefcente de Pearson. Solucón: Notas ( ) n n n N = n n 77 n 75 Rango = 9 0 = 9 Meda 5, 83 N n V s 5,83 4,57 33,99 8,58 s N 30 8,58, 93 C P s,93 5,83 0,5 Nota: S los datos están agrupados en ntervalos utlzo las marcas de clase para calcular las meddas de dspersón. Ejercco : Durante el mes de Julo, en una determnada cudad canara, se regstraron las sguentes temperaturas mámas: 3, 3, 8, 9, 9, 33, 3, 3, 30, 3, 3, 7, 8, 9, 9, 30, 3, 3, 3, 30, 30, 9, 9, 30, 30, 3, 30, 3, 34, 33, 33. a. Forma la tabla de frecuencas b. Representa gráfcamente la dstrbucón c. Calcula la meda, medana y moda d. Calcula el cuartl nferor y el superor e. Calcula el recorrdo, la varanza y la desvacón típca Ejercco : El peso de 50 recén nacdos en una semana en un hosptal vene dado por la sguente tabla: Peso en Kg. [.5, 3) [3, 3.5) [3.5, 4) [4, 4.5) Nº de nños Matemátcas aplcadas a las cencas socales I, pág.0 de 48

11 Departamento de Matemátcas a. Representa gráfcamente la dstrbucón medante un hstograma y un polígono de frecuencas. b. Calcula la meda, la moda y la medana c. Calcula la varanza y la desvacón típca d. Calcula P 40 ; D 7 y P 70 Ejercco 3: Se aplcó un test sobre satsfaccón en el trabajo a 88 empleados de una fábrca obtenéndose los sguentes resultados: Puntuacón [38,44) [44,50) [50,56) [56,6) [6,68) [68,74) [74,80) Nº trabajadores a. Calcula la meda, moda, medana, rango, varanza, desvacón típca y coefcente de Pearson. b. Calcula el tercer cuartl, P 6 y D 3 Ejercco 4: Los saldos deudores de clentes de una empresa en mles de euros son: 0, 5, 3, 3, 7, 7, 4, 30, 30,, 8, 5 a. Representa gráfcamente estos datos. b. Calcula su meda y desvacón típca y eplca porque es tan grande la desvacón típca. Ejercco 5: En una poblacón de 5 famlas se observo la varable estadístca X = número de coches que tene cada famla obtenéndose los sguentes datos: 0,,, 3,, 0,,,, 4, 3,,,,,,,,,,,, 3,,. a. Construye la tabla de frecuencas de esa dstrbucón b. Construye el dagrama de barras correspondente. c. Calcula la moda, medana y desvacón típca. d. Calcula Q, Q 3 y D Ejercco 6: Al estudar la dstrbucón de las edades de una poblacón, se obtuveron los sguentes datos: Edad [0,0) [0,40) [40,60) [60,80) Nº personas 5? 5 6 Como puedes ver se ha etravado el dato correspondente al ntervalo [0,40) a. Cuál sería ese dato s la edad meda fuese de 35 años? b. Cuál sería la desvacón típca s ese dato fuese 6? Interpreta el resultado. Matemátcas aplcadas a las cencas socales I, pág. de 48

12 Departamento de Matemátcas TEMA : DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES ) INTRODUCCIÓN.- Al hacer el estudo estadístco de un colectvo, puede ser que en cada observacón se consdere un solo carácter, obtenéndose una varable estadístca undmensonal; o ben se estuden dos o más caracteres de un msmo ndvduo, obtenéndose así varables estadístcas bdmensonales o multdmensonales, respectvamente. Es el caso del estudo de la talla y el peso de un recén nacdo, la edad y la presón arteral de una persona, los ngresos y gastos de una famla, las calfcacones en varas asgnaturas de un curso, etc. En este tema sólo consderaremos el caso del estudo de dos caracteres, obtenendo para cada ndvduo dos valores que nos permtrán establecer una sere estadístca doble, que recbrá el nombre de dstrbucón bdmensonal. Tablas de Frecuencas. Sean A y B los dos caracteres que estamos estudando. El carácter A defne una varable estadístca X de valores ; ;...; n (n modaldades) y el carácter B defne otra varable estadístca Y de valores y ; y;...; ym (m modaldades). A cada ndvduo de la poblacón se le asgna un par ; y j. Todos estos pares consttuyen una sere estadístca doble, que nos permte construr una tabla de frecuencas absolutas de doble entrada que recbe el nombre de tabla de frecuencas o tabla de correlacón. S n j es el número de veces que se presenta el par ; y j, a n j se le denomna frecuenca absoluta conjunta de ; y j. Ejemplo: El Celta y el Deportvo han jugado entre ellos 38 partdos en prmera dvsón, cuyos resultados están reflejados en la sguente tabla: (Y) R.C. CELTA (X) DEPORTIVO y 0 y y 3 y 4 3 y 5 4 Frec. absolutas margnales de X A 3 A A A 4 B B 8 B 0 B 6 B 5 N = 38 Frec. Ausol. margnales de Y 9 Las frecuencas absolutas margnales de X ndcan el número de veces que el Deportvo consguó 0,, ó 3 goles, y las frecuencas absolutas margnales de Y ndcan el número de veces que el Celta consguó frente al Deportvo 0,,, 3 ó 4 goles respectvamente, verfcándose que: A Frecuenca absoluta margnal de la varable X. n j j B j n j Frecuenca absoluta margnal de la varable Y. N n A B Número total de ndvduos de la poblacón. j j j j Matemátcas aplcadas a las cencas socales I, pág. de 48

13 Departamento de Matemátcas S llamamos frecuenca relatva del par ; y j a la razón otra tabla en las frecuencas relatvas de cada par: f j n j N, podemos construr (Y) R.C.CELTA (X) DEPORTIVO y 0 y y 3 y y Frec. relatvas margnales de X 0 5/38 3/38 6/38 4/38 3/38 /38 /38 3/38 /38 /38 /38 9/38 3 /38 /38 /38 /38 0 6/ /38 / /38 Frec. Relat. margnales de Y 9/38 8/38 0/38 6/38 5/38 ) DISTRIBUCIONES MARGINALES Y CONDICIONADAS.- La Dstrbucón Margnal de la varable X, en una dstrbucón bdmensonal (X, Y) vene defnda por los valores que toma dcha varable y las frecuencas de los msmos, ndependentemente de los valores de la otra varable Y. Análogamente se defne la dstrbucón margnal de Y. En nuestro ejemplo anteror, las dos dstrbucones margnales vendrán dadas por las sguentes tablas: X Frec. absoluta margnal A Frec. relatva margnal f 0 /38 9 9/38 6 6/38 3 /38 X Frec. absoluta margnal Bj Frec. relatva margnal fj 0 9 9/38 8 8/38 0 0/ / /38 La Dstrbucón Condconada de la varable Y, condconada a que la varable X tome el valor, es una varable con frecuencas: nj f ( Y y j / X ) n k En nuestro ejemplo, la dstrbucón condconada de Y (goles que marca el Celta) condconada a que X=0 (que el Deportvo no marque nngún gol) sería: Y condconada a que X=0 Y=0/X=0 Y=/X=0 Y=/X=0 Y=3/X=0 Y=4/X=0 Frecuenca relatva 5/ 3/ 6/ 4/ 3/ k Matemátcas aplcadas a las cencas socales I, pág.3 de 48

14 Departamento de Matemátcas Ejercco : Construye la tabla de la dstrbucón de X condconada a que Y=, tambén la de Y condconada a que X=. 3) REPRESENTACIONES GRÁFICAS.- A partr de la tabla estadístca correspondente a una dstrbucón bdmensonal se puede obtener su representacón gráfca. Entre los dstntos tpos de representacones nos referremos a dos de ellos: - Dagrama de Dspersón o Nube de Puntos: En un sstema de referenca cartesano se asgna un carácter a cada uno de los ejes; sobre él se ndcarán los puntos correspondentes a los pares ; y j, y en cada uno de ellos realzaremos una representacón que muestre su correspondente frecuenca. - Dagrama de Barras: Consste en fjar un sstema cartesano trdmensonal, representar en el plano horzontal los caracteres X e Y, y levantar en cada punto ; y j una barra paralela al eje vertcal, con longtud proporconal a la frecuenca correspondente a cada par. Ejercco : Se ha estudado el número de helados que vende un quosco, en funcón de la temperatura, a lo largo de 0 días sendo los resultados los sguentes: Temperatura (X) Número de helados(y) Construye las tablas de las dstrbucones margnales f(y=0/x=8) f(x=5/y=0) Representa la nube de puntos. Matemátcas aplcadas a las cencas socales I, pág.4 de 48

15 Departamento de Matemátcas 4) PARÁMETROS ESTADÍSTICOS.- 4.) MEDIAS.- S en una dstrbucón bdmensonal consderamos las dstrbucones margnales de cada varable por separado, obtenemos dos dstrbucones undmensonales de las que podemos calcular la meda de cada una de ellas: - Meda de la varable X.- Para la dstrbucón margnal X: X Frec. absoluta margnal A Frec. relatva margnal f A A f f... n A f n n La meda de la varable X será: n A N n f En nuestro ejemplo anteror, la meda de los goles consegudos por el Deportvo en los 38 partdos dsputados frente al Celta, sería: , Meda de la varable Y.- De la msma forma calculamos la meda de la varable Y. Y Frec. absoluta margnal Bj Frec. relatva margnal fj y y B B f f... y m B f m m La meda de la varable Y será: y m j y j N B j m j y j f j En nuestro ejemplo la meda de goles consegudos por el Celta sería: y , Ejercco 3: Calcula la temperatura meda y la meda del número de helados venddos por el quosco del ejercco de la págna anteror. Matemátcas aplcadas a las cencas socales I, pág.5 de 48

16 Departamento de Matemátcas 4.) VARIANZAS.- Consderando las dstrbucones margnales: La Varanza de la varable X: S n A N La Desvacón Típca es la raíz cuadrada postva de la varanza: n f S S j La Varanza de la varable Y: S m y j N B La Desvacón Típca es la raíz cuadrada postva de la varanza: j y m j y j f j y S y S y 4.3) COVARIANZA.- Es un parámetro específco de una varable bdmensonal. Se llama Covaranza de un varable bdmensonal, con valores ; y j, a la meda artmétca de los productos de las varacones de cada varable respecto de la meda. Se representa por S y y su epresón es: S n m j y y y El cálculo de la varanza usando la fórmula anteror suele ser muy complcado, por eso normalmente usaremos otra fórmula que se deduce del desarrollo de la anteror: N j n j S y = Meda de los productos Producto de las medas Es decr: S y n m j y N j n j y En nuestro ejemplo: X = Nº goles marcados por el Deportvo, Y = Nº goles marcados por el Celta S , S y , S 0,837 0,95 y S,773, 335 y S y , Matemátcas aplcadas a las cencas socales I, pág.6 de 48

17 Departamento de Matemátcas Nota: Observa que la covaranza puede ser negatva, no así las varanzas. La covaranza ndca el sentdo de la varacón conjunta de las dos varables. S la covaranza es postva ndca que las dos varables varían en el msmo sentdo (s aumenta una aumenta tambén la otra y s dsmnuye una dsmnuye la otra), y s la varanza es negatva entonces varían en sentdo contraro. Ejercco 4: Calcula las varanzas, desvacones típcas y covaranza en el ejercco anteror que relacona la temperatura y el número de helados venddos por un quosco. Ejercco 5: Se ha preguntado a 8 alumnos que nos dgan el número de horas de estudo y su nota alcanzado al fnal del curso, sendo los resultados los sguentes: Horas estudo (X) Nota Obtenda (Y) Dbuja la nube de puntos. Obtén la tabla de las dstrbucones margnales. Calcula f(x=3/y=6) ; f(x=/y=7) ; f(x=4/y=9) ; f(y=9/x=3) Calcula las medas y las desvacones típcas Calcula la Covaranza 5) DEPENDENCIA ESTADÍSTICA. REGRESIÓN LINEAL.- La consderacón smultánea de dos caracteres nduce a pensar en la posbldad de que esta una relacón entre ellos. Es evdente que habrá casos en los que se pueda consderar que s este esa relacón, y habrá otros en los que la relacón sea más ben escasa. En el caso de dependenca estadístca ntentaremos ajustar la nube de puntos a una funcón matemátca que se aprome a ellos. En general puede ser cualquer funcón, pero nos lmtaremos a ajustar rectas a esa nube de puntos. Serán las llamadas rectas de regresón. Rectas de Regresón.- Denomnaremos recta de regresón a la que mejor se ajuste a la nube de puntos. La recta de regresón de Y sobre X, nos facltará los valores estmados de Y conocdos los de X S y y y S La recta de regresón de X sobre Y, nos facltará los valores estmados de X conocdos los de Y S y y y S y S y Nota: S S y y S y se denomnan coefcentes de regresón. Matemátcas aplcadas a las cencas socales I, pág.7 de 48

18 Departamento de Matemátcas Nota: Tanto la recta de regresón de Y sobre X, como la recta de regresón de X sobre Y, pasan por el punto ; y En nuestro ejemplo: 0,55 0,837 Recta de regresón de Y sobre X : y,74 0,7 Es decr: y,74 0,85 0,7 y 0,85, 87 Como puedes observar la pendente es negatva pues la covaranza es negatva, con lo cual al aumentar una varable dsmnuye la otra. Medante esta recta s sabemos los goles que marca el Deportvo, podemos estmar los goles que marcará el Celta. Ejercco 6: S el Deportvo. marca 5 goles, cuántos goles marcará el Celta? Ejercco 7: Calcula la recta de regresón de X sobre Y. S el Celta marca 5 goles, cuántos marcará el Deportvo? Dbuja los dos rectas de regresón. Ejercco 8: Se ha preguntado a 8 alumnos que nos dgan el número de horas de estudo y su nota alcanzado al fnal del curso, sendo los resultados los sguentes: Horas estudo (X) Nota Obtenda (Y) Calcula la recta de regresón de Y sobre X. Qué nota se estma que puede sacar un alumno que estuda 5 horas? 6) CORRELACIÓN LINEAL.- Se entende por correlacón la dependenca que este entre las varables de una dstrbucón. Una medda comúnmente aceptada para determnar esta dependenca es el llamado coefcente de correlacón lneal. S y El Coefcente de Correlacón Lneal es: r S S El sgno de r concde con el sgno de la covaranza y S y son postvas sempre. y S y, puesto que las desvacones típcas S S r > 0 la correlacón es drecta, es decr al aumentar una varable tambén aumenta la otra. S r < 0 la correlacón es nversa, es decr al aumentar una varable la otra dsmnuye. Por como está defndo, el coefcente de correlacón sempre toma valores en el ntervalo comprenddo entre [-,]. S r = 0 las dos rectas de regresón serían paralelas a los ejes y por lo tanto las varables serían ndependentes o no correlaconadas. Matemátcas aplcadas a las cencas socales I, pág.8 de 48

19 Departamento de Matemátcas S r = o r = - ambas rectas concden y la dependenca sería perfecta, es decr este dependenca funconal. Para los demás valores que pueda tomar r la dependenca estadístca es tanto mas fuerte cuanto más cerca esté r de los valores o -. S la dependenca es fuerte se dce que la correlacón es sgnfcatva o fuerte. S los valores de r están alejados de o - la correlacón es débl. En nuestro ejemplo de los goles entre la U.D. Las Palmas y el Tenerfe, el coefcente de correlacón es: 0' 55 r 0' 7 0'95 '335 Como podemos ver la correlacón está próma a 0, es decr la correlacón es muy débl, o cas nestente por lo que las estmacones que hagamos no serán muy de far. Al ser el coefcente de correlacón negatvo ndca que al aumentar una varable dsmnuye la otra, es decr cuantos más goles marque un equpo menos marcará el otro. Ejercco 9: Calcula e nterpreta el coefcente de correlacón para el ejercco que se encuentra al nco de esta págna. Ejercco 0: La dstrbucón de las edades y la presón arteral de 0 personas es: Edad ( X ) Tensón ( Y ) Representa la nube de puntos. Se puede proceder a un ajuste lneal? Calcula el coefcente de correlacón e nterpreta el resultado. Qué tensón se espera que tenga una persona de 60 años? Cuál sería la edad estmada para una persona que tenga 4 de tensón? Dbuja las rectas de regresón. Ejercco : Se mdó el contendo en ogeno en mg/l del agua de un lago a dstntas profunddades, obtenéndose los sguentes datos: Profunddad (en metros) Mg/l de ogeno Calcula la recta de regresón del contendo de ogeno ( Y ) respecto de la profunddad (X). Dbuja la nube de puntos y la recta de regresón. Estuda e nterpreta el coefcente de correlacón entre ambas varables. Qué contendo en ogeno se puede predecr para una profunddad de 70 metros? Ejercco : Una fábrca de una certa marca de refrescos estudó al azar 0 semanas del año, observando la temperatura meda correspondente a cada semana y la cantdad de refrescos peddos durante las msmas. La nformacón obtenda fue la sguente: Temperatura meda Cantdad de refrescos Puede la fábrca planfcar su produccón en funcón de la temperatura?, de qué forma? Matemátcas aplcadas a las cencas socales I, pág.9 de 48

20 Departamento de Matemátcas Ejercco 3: La sguente tabla da el número de calzado y los pesos de 55 estudantes. Con estos datos estuda la dependenca lneal o correlacón entre las dos varables. Peso Nº calzado Ejercco 4: El índce de mortaldad ( Y ) de sete grupos de fumadores que consumían daramente cgarrllos, aparece en la tabla sguente: Nº de cgarrllos X Índce de mortaldad Y Estuda la correlacón entre X e Y. Qué mortaldad se puede predecr para un consumdor de 60 cgarrllos daros? Ejercco 5: Las notas obtendas por 5 alumnos en Matemátcas y Músca son: Matemátcas Músca Determna las rectas de regresón y calcula la nota esperada en Músca para un alumno que tene un 7 5 en Matemátcas. Ejercco 6: Una empresa dspone de los datos de la sguente tabla: Mllones en publcdad Ventas Estma las ventas esperadas al nvertr 0 mllones en publcdad. Eplca la fabldad de la estmacón realzada. (Los datos de las ventas son tambén en mllones) Ejercco 7: Una dstrbucón bdmensonal de la edad y del peso de unos nños está dada por la sguente tabla: EDAD PESO Calcula el coefcente de correlacón entre las dos varables. Interpreta el resultado. Calcula la recta de regresón del peso sobre la edad Cuál sería el peso estmado de un nño de 0 años? Matemátcas aplcadas a las cencas socales I, pág.0 de 48

21 Departamento de Matemátcas TEMA 3: CÁLCULO DE PROBABILIDADES ) ÁLGEBRA DE SUCESOS..) Epermentos Aleatoros y Determnístcos.- Un fenómeno Determnístco es aquel en el cual conocendo las causas, se pueden prever los efectos, por ejemplo en una reaccón químca, en un problema de físca, etc. Un fenómeno Aleatoro es aquel en el que no se puede establecer la relacón causa-efecto, por ejemplo en la lotería, en la trada de un dado, etc. Un fenómeno aleatoro está caracterzado por dos premsas: a. No se sabe cual será el resultado. b. Sn embargo, conocemos el conjunto de los posbles resultados (este conjunto se denomna espaco muestral y se denota por la letra E ó ) En la práctca no se puede estudar todas las posbles stuacones de un fenómeno (requere mucho tempo y dnero), lo que hace la estadístca es consderar una muestra o sacar unas conclusones que podrán ser aplcables al resto de la poblacón. Por ejemplo, s una fábrca de neumátcos quere estudar la resstenca de los msmos, es evdente que no puede probar la resstenca de todos los neumátcos, entonces se escoge un certo número de ellos y se estudan esos. Se denomna Poblacón a un conjunto de elementos en los que se estuda una determnada característca. Se denomna Muestra a un subconjunto representatvo de la poblacón que se aísla para su análss estadístco. Es muy mportante que la muestra sea representatva para que los resultados obtendos se puedan etender con certas garantías al resto de la poblacón..) Espaco Muestral y Sucesos.- Llamamos Espaco Muestral de un epermento aleatoro al conjunto de todos los posbles resultados del epermento. Se desgna por E o. A cada uno de los elementos del espaco muestral se llamará Suceso Elemental. Por ejemplo, s consderamos el epermento consstente en lanzar dos dados y anotar la suma de los números que aparecen en las caras superores, el espaco muestral sería: E = {,3,4,5,6,7,8,9,0,,} Un suceso elemental sería por ejemplo {7} = que la suma de los dados sea 7 Dstngumos Dstntos Tpos de Sucesos: - Se llama Suceso de un epermento aleatoro a cada uno de los subconjuntos del espaco muestral E. Por ejemplo, s consderamos el epermento aleatoro consstente en trar un dado, el espaco muestral sería E = {,,3,4,5,6}. Algunos de los sucesos de este epermento aleatoro podrían ser : A = salr par = {,4,6} ; B = salr mpar = {,3,5} ; C = salr múltplo de 3 = {3,6} ; D = salr mayor que = {3,4,5,6} ; E = salr menor o gual que 3 = {,} ; etc. - Suceso Imposble o Suceso Nulo es aquel que no se verfca nunca. Se desgna por. En nuestro ejemplo anteror, un suceso nulo sería = {7,0,} - Suceso Seguro es aquel que sempre se verfca, concde con E. Matemátcas aplcadas a las cencas socales I, pág. de 48

22 Departamento de Matemátcas - Suceso Contraro o Suceso Complementaro de un suceso A es el suceso que se verfca * cuando no se verfca A, y vceversa. Se representa por A o por A. En nuestro ejemplo anteror A = {,3,5} ; B = {,4,6} ; C = {,,4,5} ; etc. Se verfca que: A A E y A A.3) Operacones con Sucesos. - Unón de Sucesos. Dados dos sucesos A y B de un msmo epermento aleatoro, llamamos Suceso Unón de A y B al suceso que se realza cuando se realza A o B. Se representa por A B. En nuestro ejemplo anteror: B C = {,3,5,6} = salr mpar o múltplo de 3 - Interseccón de Sucesos. Sucesos Incompatbles. Dados dos sucesos A y B de un epermento aleatoro, llamamos Suceso Interseccón de A y B al suceso que se realza cuando se realzan smultáneamente los sucesos A y B. Se representa por A B. En nuestro ejemplo anteror: B C = {3} = salr mpar y múltplo de 3 = salr 3 Dados dos sucesos A y B de un epermento aleatoro, dremos que A y B son Incompatbles s A B = (es decr no se pueden verfcar a la vez). En caso contraro, es decr A B dremos que A y B son Compatbles. En nuestro ejemplo A y B son Incompatbles y B y C son Compatbles. - Dferenca de Sucesos. Dados dos sucesos A y B de un epermento aleatoro, llamamos Suceso Dferenca, y se escrbe A-B, al suceso formado por los sucesos elementales de A que no son de B. En nuestro ejemplo A-C={,4} ) EXPERIMENTOS COMPUESTOS. ESPACIOS COMPUESTOS. Consderemos el epermento aleatoro que consste en el lanzamento de un dado y una moneda, en realdad se trata de dos epermentos smples. Los epermentos formados por varos epermentos smples se llaman Epermentos Compuestos y su espaco muestral será un Espaco Compuesto. En este caso E = { (,C),(,X),(,C),(,X),(3,C),(3,X),(4,C),(4,X),(5,C),(5,X),(6,C),(6,X) } que se obtene a partr de E {,,3,4,5,6 } y E { C, X} donde E E E Matemátcas aplcadas a las cencas socales I, pág. de 48

23 Departamento de Matemátcas Ejerccos Resueltos:. Con el juego del domnó y consderando la suma de puntos de cada fcha, obtén: a. Espaco muestral. b. A = Salr número prmo c. B = Salr número mpar Solucón: En el domnó, las fchas van de (0,0) a (6,6); por tanto su suma va desde 0 hasta, por tanto: a. E = {0,,,3,4,5,6,7,8,9,0,,} b. A = {,3,5,7,} c. B = {,3,5,7,9,}. Sean A, B y C tres sucesos del espaco muestra E. Utlzando estos sucesos epresa: a. Los tres sucesos suceden smultáneamente. b. Ocurren A o B, pero no C. c. Ocurre alguno de los tres sucesos. d. Nnguno de los tres sucede Solucón: a. A B C A B b. C c. A B C A B C d. A B C 3. Sea una urna con 9 bolas numeradas del al 9. Sacamos una bola, mramos el número y la devolvemos. Sean los sucesos: A = Salr número prmo B = Salr número mpar C = Salr múltplo de 3 Calcula los sucesos: a. A B b. B C c. A BC d. A B e. B C f. A B Solucón: E = {,,3,4,5,6,7,8,9} A = {,3,5,7} B = {,3,5,7,9} C = {3,6,9} a. A B ={3,5,7} b. B C ={3,9} c. A BC = {,,3,5,7,9} {3,6,9} = {3,9} d. A B = {,3,5,7} {,4,6,8} = {} e. B C = {,5,7} f. A B {,,3,5,7,9} {4,6,8 } Matemátcas aplcadas a las cencas socales I, pág.3 de 48

24 Departamento de Matemátcas 3) PROBABILIDAD.- Ley de los Grandes Números.- En la sguente tabla se muestra los resultados de lanzar un dado un número determnado de veces: Nº de Lanzamentos Nº de Caras Frec. Absoluta (n) Frec. Relatva (f) S reptésemos el epermento un número de veces muy grande, veríamos que las frecuencas relatvas del suceso cara tenden a establzarse en torno al valor 0.5, es decr que la frecuenca relatva del suceso cara tomará valores apromados por eceso o defecto a 0.5, de tal forma que las osclacones alrededor de ese valor serán cada vez más pequeñas. Llegamos así a la llamada ley de los Grandes Números, que enuncada de forma senclla dce que La frecuenca relatva de un suceso tende a establzarse en torno a un número, a medda que el número de pruebas crece ndefndamente A este número, al que la frecuenca relatva de un suceso se acerca cuanto mayor es el número de pruebas realzadas, lo llamaremos Probabldad del suceso. Esta defncón presenta un nconvenente de tpo práctco, por eso veremos otra defncón de probabldad, aunque esta srve para dar una dea ntutva del concepto de probabldad. Defncón Aomátca de la Probabldad.- Llamaremos Probabldad a una ley que asoca a cada suceso A, de un epermento aleatoro, un número real que llamaremos probabldad de A y representaremos por p(a), que cumple los sguentes aomas:. p ( A) 0, es decr la probabldad de un suceso sempre es postva o nula.. La probabldad del suceso seguro es gual a la undad: p ( E). Por tanto la probabldad de un suceso no puede ser mayor que uno. 3. La probabldad de la unón de dos sucesos ncompatbles es gual a la suma de las probabldades de cada uno de ellos, es decr s A y B son Incompatbles p( A B) p( A) p( B). Propedades de la probabldad (se deducen de los aomas) a) Probabldad del suceso contraro: p( A) p( A) (por tanto p ( A) ) b) Probabldad del suceso mposble: P ( ) 0 Ejemplo: Calcula la probabldad de que al trar 3 monedas se obtenga por lo menos una cara. Solucón: E = {(c,c,c);(c,c,),(c,,c),(,c,c),(c,,),(,c,),(,,c)} donde los sucesos elementales son equprobables, y la probabldad de cada suceso será /8. Por norma, cuando aparezca por lo menos es convenente recurrr al suceso contraro. S A = {Obtener por lo menos una cara} A = {Obtener 3 cruces} y como p ( A) / 8 entonces p ( A) p( A) p( A) 7 / 8. 4

25 Departamento de Matemátcas c) Probabldad de la unón de sucesos ncompatbles.- El tercer aoma de la probabldad dce que: p( A B) A) B) s A y B son ncompatbles ( A B ) Esta propedad se puede etender al caso de más de dos sucesos ncompatbles y por tanto: p( A B C) p( A) p( B) p( C con A, B y C ncompatbles dos a dos. Y en general: p ) A... An ) p( A ) p( A )... p( A ) ( A n con A ; j ;, j n A j Probabldad de la unón de sucesos compatbles. Para dos sucesos A y B de un msmo epermento aleatoro se verfca: p( A B) p( A) p( B) p( A B En caso de tres sucesos A, B y C tendríamos: ) BC) p( A) p( B) p( C) p( A B) p( AC) p( BC) p( A B p( A C) Ejemplo: De una baraja española se etrae una carta. Consderemos los sucesos A= salr oro, B= salr rey y C= salr el as de espadas. Calcula la probabldad de: ) A U B ) A U C Solucón:. A y B son compatbles, pues A B = salr rey de oros por tanto: p ( A B) p( A) p( B) p( A B) A y C son ncompatbles pues A B por tanto: 0 p( A B) p( A) p( B) Ejemplos:. Se consderan dos sucesos A y B, asocados a un epermento aleatoro con A) = 0 7, B) = 0 6. Pueden ser A y B ncompatbles? Solucón: A y B son ncompatbles s A B = Ø. P (A U B) = A) + B) A B) = A B) y como la probabldad de cualquer suceso no puede ser mayor que A B) > 0 A B Ø por tanto no son ncompatbles.. Un estudante hace dos pruebas en un msmo día. La probabldad de que pase la prmera es 0 6, la de que pase la segunda es 0 8 y la probabldad de que pase ambas es 0 5. a. Son A y B compatbles o ncompatbles? b. Calcula la probabldad de que pase al menos una prueba? c. Calcula la probabldad de que no pase nnguna prueba. Solucón: Sean: A = pasar la prmera prueba y B = pasar la segunda prueba a. Evdentemente son compatbles pues A B) 0 A B Ø b. A U B) = A) + B) A B ) = = 0 9 c. A B) A B) 0 9 = 0 5

26 Departamento de Matemátcas 4) REGLA DE LAPLACE. Consderemos un epermento aleatoro en el que todos los posbles sucesos elementales son gualmente probables, es decr equprobables, entonces para un suceso A de este epermento se cumple: Nº de casos favorables p( A) Nº de casos posbles Ejemplo: En una urna tengo 0 bolas, 3 son de color rojo, 4 verdes y 3 azules. Calcula: a. S saco una bola:. Probabldad de que sea roja.. Probabldad de que sea verde. b. S saco dos bolas a la vez (es decr sn reemplazamento). Probabldad de que las dos sean azules. Solucón: a.. R ) = 3/0. V ) = 4/0 b. 3. AA) = ) PROBABILIDAD CONDICIONADA. Tenendo en cuenta la relacón entre frecuenca relatva y probabldad podemos defnr el concepto de probabldad condconada. Llamamos Probabldad Condconada del suceso B respecto del suceso A, que denotamos por B/A), al sguente cocente: A B) B / A) s A) 0 A) Representa la probabldad del suceso B supuesto que ya se do A. Análogamente, tendríamos la probabldad de A condconada a B: A B) A/ B) s P (B) 0 B) De las dos relacones anterores se obtene: A B) A) B / A) A B) B) A/ B) 6

27 Departamento de Matemátcas Ejemplo: En el epermento consstente en sacar una carta de una baraja de 40 cartas consderemos los sucesos: S = sacar una sota y E = sacar una espada. Calcula S/E) y E/S) Solucón: S E) S/E) = 40 E/S) = E) S E) S) Ejemplo: De una urna que contene 9 bolas rojas y 5 negras, se etraen sucesvamente dos bolas. Calcula la probabldad de los sguentes sucesos: a. A = las dos bolas sean negras b. B = las dos bolas sean rojas c. C = la prmera sea roja y la segunda negra d. D = una sea roja y otra negra Solucón: a. Sea N = sacar bola negra en la prmera etraccón Sea N = sacar bola negra en la segunda etraccón A) = N N) = N) N/N) = ó tambén P ( A) b. Sea V = sacar bola roja en la prmera etraccón Sea V = sacar bola roja en la segunda etraccón B) = V V) = V) V/V) = ó tambén P ( B) c. C ) = V N) = V) N/V) = d. D) = (V N) U (N V) ) = V N) + N V) = Ó tambén 9 5 P ( D)

28 Departamento de Matemátcas 6) SUCESOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES. Dados dos sucesos A y B con probabldades no nulas, dremos que B es INDEPENDIENTE de A s B/A) = B) ( es decr A no afecta a la probabldad de B ) Se cumple: B es ndependente de A B/A) = B) A B) = A) B) A B) B) A) A B) A) A/B) = A) A es ndependente de A B) Dremos pues que dos sucesos A y B son ndependentes s B/A) = B) 0 s A/B) = A), es decr entre A y B no observamos nnguna relacón de causa-efecto. En caso contraro dremos que son dependentes. Ejemplo: Dada una urna con 5 bolas negras y 3 bolas blancas, se consderan los sucesos N= sacar bola negra y B= sacar bola blanca. Son N y B compatbles en los sguentes casos: a. Se etraen las bolas sn reemplazamento. b. Se etraen las bolas con reemplazamento. Solucón: a. N/B) = 5/7 pero N) = 5/8 es decr dependentes. b. N/B) = 5/8 y N) = 5/8 es decr son ndependentes. 7) PROBABILIDAD DE LA INTERSECCIÓN DE SUCESOS. Dstnguremos dos casos: a. Cuando los sucesos son dependentes. b. Cuando los sucesos son ndependentes. Probabldad de la Interseccón de Sucesos Dependentes: A partr de la defncón de probabldad condconada obtenemos: A B) = A) B/A) s A y B son dependentes Análogamente, para el caso de tres sucesos obtenemos: A B C) = A) B/A) C/(A B) ) s A, B y C son dependentes Probabldad de la Interseccón de Sucesos Independentes. S A y B son ndependentes, entonces: A B) = A) B) s A y B son ndependentes.(pues en este caso B)=B/A) En general para el caso de n sucesos ndependentes: A A. An) = A) A) An) Ejemplo: Calcula la probabldad de obtener cuatro caras en cuatro lanzamentos de una moneda. Solucón: Los sucesos son ndependentes, puesto que lo que sale en un lanzamento no nfluye el los demás. C C C C) = C) C) C) C) = ½ ½ ½ ½ = /6 8

29 Departamento de Matemátcas 8) TEOREMA DE PROBABILIDAD TOTAL Y BAYES. S A, A,,An forman una partcón del espaco muestral E, es decr: A U A U U An = E A Aj = Ø s j (,j =,,.,n ) Y sea B un suceso cualquera del espaco muestral E, se verfca que : B A) A) P ( B) B / A) Fórmula de Bayes. S A, A,,An forman una partcón del espaco muestral E, es decr: A U A U U An = E A Aj = Ø s j (,j =,,.,n ) Y sea B un suceso cualquera del espaco muestral E, se verfca que: A B) A / B) B) B / A) A) B / A) A) Ejemplo: En una empresa el 30% de los trabajadores son mujeres. El 0% de las mujeres fuman y el 35% de los hombres tambén fuman.. cuál es la probabldad de que un trabajador fume?. S un trabajador fuma, cuál es la probabldad de que sea mujer? Solucón: Sean los sucesos: H = ser hombre H) = 0 7 M = ser mujer M) = 0 3 F = ser fumador F/M) = 0 ; F/H) = 0 35 Los sucesos H y M son una partcón del espaco muestral. a. F)= M) F/M) + H) F/H) = = M ) F / M ) 0'3 0' 0'06 b. M / F) 0' 967 M ) F / M ) H) F / H) 0'3 0' 0'7 0'35 0'305 Ejemplo: Dsponemos de una urna A con 4 bolas rojas y 3 bolas negras, y otra B con 5 rojas y 8 negras. Se elge una urna al azar y se etrae una bola que resulta ser negra. Cuál es la probabldad de que sea de la urna B? Solucón: 8 8 B) N / B) P ( B / N) 0'5895 B) N / B) A) N / A)

30 Departamento de Matemátcas Ejemplo: En un edfco se usan dos ascensores, el prmero lo usan el 45% de los nqulnos y el resto usan el segundo. El porcentaje de fallos del prmero es del 5% mentras que del segundo es del 8%. S un certo día un nqulno queda atrapado en el ascensor, calcula la probabldad de que fuese en el prmer ascensor: Solucón: Sean los sucesos: A = coger el prmer ascensor A) = 0 45 B = coger el segundo ascensor B) = 0 65 F = fallar el ascensor F/A)= 0 05 y F/B)= 0 08 Entonces: A) F / A) 0'45 0'05 0' A/ F) 0'3383 A) F / A) B) F / B) 0'45 0'05 0'55 0'08 0' Nota: Hacer estos tres últmos ejemplos usando dagramas en árbol. EJERCICIOS PROPUESTOS:. Consdera el epermento aleatoro del lanzamento de un dado y una moneda. Obtén: a. Espaco muestral b. Suceso par y cara c. Suceso mpar y cruz. Una urna contene 3 bolas blancas y negras. Obtén los posbles resultados y sus probabldades al etraer dos bolas. a. Sn reemplazamento. b. Con reemplazamento. 3. De una baraja de 40 cartas etraemos una carta. Sean los sucesos: A = sacar copas B = sacar as C = sacar as de oros Determna los sucesos sguentes: a. A B d. A B b. AUC c. B C e. A B f. B C C 4. Consdera el espaco muestral E = {a,b,c,d} en el que los 4 sucesos elementales tenen la msma probabldad. Sean S = {a,b} y S = {a,c} a. Son S y S sucesos ncompatbles? b. Calcula la probabldad del suceso S U S y la probabldad del suceso contraro de S. 5. Dados los sucesos A y B con probabldades: A) = /3 ; B) = ¼ y A B)=/. Obtén: a. P ( A B) b. P ( A B) 6. En un banco hay dos sstemas de segurdad, A y B. El sstema A funcona 90 de cada 00 veces, y el B, 80 de cada 00 veces, y los dos a la vez, 75 de cada 00 veces. Cuál es la probabldad de que no funcone nnguno de los dos sstemas? 30

31 Departamento de Matemátcas 7. La probabldad de que un estudante apruebe una oposcón es 0 5, la de otro es 0 4 y la de que aprueben ambos es 0. Calcula: a. La probabldad de que al menos uno apruebe. b. La probabldad de que nnguno apruebe. c. La probabldad de que sólo apruebe uno. 8. S la nterseccón de dos sucesos ndependentes es 0, y la de su unón es 0 7, cuál es la probabldad de cada uno de los sucesos? 9. De una baraja se etraen smultáneamente tres cartas al azar. Encuentra la probabldad de que: a. Las tres sean bastos. b. Alguna de las cartas sea un oro. 0. Se ha segudo la psta a coches durante un año. Éstos son de tres marcas dstntas A, B y C. Unos han tendo accdentes (Ac) y otros no (No Ac). Se reparten según la sguente tabla: A B C Ac No Ac Calcula: a. Cuál de las tres marcas es más segura? b. Cuáles de los sucesos A, B y C son ndependentes de Ac y de No Ac?. Por una nvestgacón realzada entre los alumnos de una clase, se sabe que el 50% aprueban matemátcas; el 60% aprueban lengua; el 70% economía; el 30% matemátcas y lengua; el 40% matemátcas y economía, y el 50% lengua y economía. Son ndependentes los sucesos aprobar cada asgnatura?. Sean A y B dos sucesos, tales que A) = 0 40, B/A) = 0 5 y B) = b. Halla: a. A B) c. El menor valor posble de b. b. A U B) s b = 0 5 d. El mayor valor posble de b. 3. La ruleta de un casno consta de 40 caslla, numeradas del al 40. Los números acabados en,, 3, 4 05 son rojos y el resto negros. Puesta en marcha la ruleta, se consderan los sucesos sguentes: A = salr un número de la prmera decena ; B = salr número par y C= salr un número rojo. Avergua: a. C A ) b. Probabldad de que el número sea de la prmera decena sabendo que es rojo. c. Son ndependentes A y B? y A y C? 4. La probabldad de que un globo sonda sea recuperado es /9. S tres globos son lanzados al espaco, cuál es la probabldad de recuperarlos en cada caso? a. Sólo uno b. Los tres c. Al menos uno 5. De una baraja española de 40 cartas se etrae una al azar, cuál es la probabldad de que sea bastos o menor que 5? 6. Una urna A contene 6 bolas blancas y 4 negras, una segunda urna B contene 5 bolas blancas y negras. Se seleccona una urna al azar y de ella se etraen bolas sn reemplazamento. Calcula la probabldad de que sean: a) Blancas. b) Del msmo color. c) de dstnto color. 3

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