Ecuaciones de primer y segundo grado

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1 Ecuaciones de primer y segundo grado El fin del mundo En octubre de la cárcel de Wittenberg acogió una curiosa reunión: allí estaba Lutero visitando a su íntimo amigo Michael Stifel. Este, aplicando a la Biblia cálculos numéricos, había profetizado que el fin del mundo tendría lugar el 8 de octubre de ese año. Lutero conteniendo la risa le decía: Michael, cuántas veces te dije que no mezclaras la Fe con la Razón? Jamás me volverá a pasar! Cuando salga de aquí me dedicaré a ordenar mis escritos y publicaré mis trabajos científicos. Pero nunca más mezclaré cosas que son agua y aceite. Como prometió, en publicó su obra Arithmetica integra, en la que generaliza el uso de los signos + y - para la suma y la resta. En ella también admite, por primera vez, los coeficientes negativos en las ecuaciones, aunque no las soluciones negativas. 9

2 SOLUCIONARIO DESCUBRE LA HISTORIA Busca información sobre Stifel y su relación con Lutero. En esta página de la Universidad de Costa Rica puedes leer la versión digital del libro Historia y filosofía de las matemáticas, de Ángel Ruiz Zúñiga, en el que podrás buscar la biografía de Michael Stifel y su relación con Martín Lutero: Investiga cómo Stifel aplicó cálculos numéricos a la Biblia y sus consecuencias. Los cálculos numéricos que Stifel aplicó a la Biblia y sus repercusiones las puedes encontrar en el apartado de matemáticas de la enciclopedia Kalipedia: En la misma página, en las operaciones con números enteros, del apartado de personajes aparece una biografía de Michael Stifel en la que se relatan estos hechos. Eplica la contribución de Stifel al avance de las matemáticas en el estudio de las ecuaciones. En esta página chilena sobre los aspectos históricos de los números enteros hallarás las aportaciones matemáticas más importantes de Stifel: También puedes consultar la siguiente página: EVALUACIÓN INICIAL Halla el grado de los siguientes polinomios. a) y - 7y + y - b) a b c + a b + b c - a) Grado: + b) Grado: Calcula el valor de estos polinomios para -. a) b) a) -? (-) - 7? (-) +? (-) b)? (-) - 7? (-) Epresa en lenguaje algebraico. a) El triple de un número. b) El doble de un número menos su cuadrado. c) La suma de un número y su mitad. a)? b) - c) + 9

3 Ecuaciones de primer y segundo grado EJERCICIOS 00 Determina si son ciertas estas igualdades para los valores que se indican. a) + - si b) si - c) + - si - d) + si - e) + y 7 si y a) 8 + -!. Es falsa. b) Es cierta. c) - +. Es cierta. d) +. Es cierta. e) + 8! 7. Es falsa. 00 Señala cuáles de estas igualdades son identidades o ecuaciones. a) -( - ) + -( - ) + b) ( - ) ( - ) - (- - ) a) " " Identidad b) " " Ecuación Es cierta solo para Escribe dos igualdades algebraicas que sean identidades y otras dos que sean ecuaciones. Respuesta abierta. Por ejemplo: Identidades: (- - ) + Ecuaciones: Determina los elementos de estas ecuaciones. a) b) - ( + 9) a) Primer miembro: + - Segundo miembro: - Incógnita: Grado: b) Primer miembro: - Segundo miembro: ( + 9) Incógnita: Grado: 9

4 SOLUCIONARIO 00 Cuál de los siguientes números es solución de la ecuación - 9 ( - )? a) b) - c) d) ( - ) a)? ( - ) (-) - " No es solución. b) (-) " No es solución. (- - ) (-8) - c)? " No es solución. ( - )? 9 d) (-) " La solución es -. (- - ) (-) - 00 Escribe dos ecuaciones que tengan como solución. Respuesta abierta. Por ejemplo: Escribe dos ecuaciones que tengan: a) Dos soluciones. b) Ninguna solución. Respuesta abierta. Por ejemplo: a) + 0 b) Resuelve estas ecuaciones. a) b) c) d) e) a) " + + " - - " 0 b) " - - " Identidad c) " " - - " d) " " " 0 - " Ecuación incompatible e) - + " -7 "

5 Ecuaciones de primer y segundo grado 009 Indica si el paso es correcto o no. a) + + " b) " - a) Sí es correcto " + - " b) No es correcto " " - 00 Qué pasa cuando en los dos miembros de una ecuación aparece un mismo término? Entonces podemos eliminarlo de los dos miembros, porque transponiendo el término obtenemos la suma de uno de ellos más su opuesto. 0 Resuelve. a) - ( - ) b) 0 - ( - 7) a) - ( - ) " " " 0 + " 0 0 " b) 0 - ( - 7) " " " " 9 " 0 Calcula el valor de. a) b) c) + a) + + " + +?? " ( + ) ( + ) F m.c.m. (, ) " + + " - - " 0 b) ? 0? 0? " - F m.c.m. (, ) 0 " - ( + 7) 0 " " 0 + " c) 7? 7 + " +?? " F m.c.m. (, ) 0 " " 0 " 98

6 SOLUCIONARIO 0 Resuelve estas ecuaciones. ( - ) ( - ) a) - ( ) ( ) b) a) ( - ) ( - ) ( - ) ( - ) - "? -?? F m.c.m. (, ) " 8( - ) - ( - ) 0 " " - 0 " " ( ) ( ) b) ( + ) ( + ) "? +? -? (7 - ) 8 F m.c.m. (, 8) " 8 + ( + ) - 9( + ) (7 - ) " " " " 8 " 0 Escribe una ecuación de primer grado con paréntesis y denominadores que tenga como solución -. Respuesta abierta. Por ejemplo: ( + ) 0 Resuelve. a) d) b) e) c) f) a) ( 7)! ( 7)? " ! 9-8 7! 7! ( 9)! ( 9)? 8 b) " ! 8-7 9! 9 9! 99

7 Ecuaciones de primer y segundo grado c) ( 8)! ( 8)?? 8 8! "? ( 9)! ( 9)? d) " ! 8-9! 9! 7 e) f) ( )! ( )? " ! -!!!?? " - -?! 08!! Epresa de la forma a + b + c 0 y resuelve. a) - 0 b) 8-0 c) d) ( )! ( )? 0 a) "! + 80! 8! 9 - b) 8-0 " ! 0?? 8 0! 00 8 " ? 0! 8 0! c) " !?? 8!! 9 " - + -?! 00! / / - d) " ( 0)! ( 0)? 9 0! " 0! 0!

8 SOLUCIONARIO 07 Resuelve estas ecuaciones. a) b) a) " 98" 9"! b) " + 0 " ( + ) 0 " ) 0 " " - Otra forma de resorverlo es: 0! 0?? " ! 00 0! Resuelve. a) f) + 0 b) g) c) - 0 h) d) 7-0 i) + 0 e) - 0 j) - 0 a) 9"! 9! b) 7"! 7 c) " "!! d) 7 " "! 7 7 e) " "!! f) - " No tiene solución. g) - 9 " No tiene solución. h) 0 - " - " No tiene solución. 0 i) - " - " No tiene solución. j) " 8 "! 8! 9 0

9 Ecuaciones de primer y segundo grado 09 Calcula y comprueba que obtienes el mismo resultado aplicando la fórmula de la ecuación completa. a) b) / a) " "! " * / ! 0 +? 900? 9! 00! 80 "? /0 -/0 0 b) 0 "! 0 " * " 0! 0 +? 0! Escribe una ecuación de segundo grado con algún coeficiente igual a cero y dos soluciones. Respuesta abierta. Por ejemplo: - 0 " "! " ) - 0 Resuelve. a) f) - 0 b) 0 g) 0-0 c) h) d) i) e) + 0 j) a)? ( + 7) 0" ) -7 f) 0 " 0 0 b) 0" 0? (0 - ) 0 " * 0 0 c)? (- + ) 0 0 " * h)? ( + 9) 0" ) -9 0 d)? (- + ) 0" ) i)? (-- ) 0" ) 0 e)? ( + ) 0" * - j) 0" 0 0-0

10 SOLUCIONARIO 0 Resuelve. a) ( - ) 7 b) ( - )( + 7) 0 a) 0-7 " 0-0 "? ( 0- ) 0 " * b) ( - )( + 7) 0" 0 0 * - 0 " " - 0 Escribe una ecuación de segundo grado con algún coeficiente igual a cero y una solución. La única ecuación de segundo grado que cumple todas las condiciones es la ecuación de la forma a 0. 0 Determina el número de soluciones. a) b) c) a) D (-7) -?? (-) > 0 " Tiene soluciones. b) D 9 -?? > 0 " Tiene soluciones. c) D (-) -?? - - < 0 " No tiene solución. 0 Halla cuántas soluciones tienen estas ecuaciones y calcula su valor. a) d) b) - 0 e) 7 + c) f) 8 - a) "! -?! -! 0 b) - 0 " ! 0?? 0! 00 " ? 0!

11 Ecuaciones de primer y segundo grado c) " - 0 "? (- ) 0 0 ) " -- ( )! (-) -? 9! - d) "! - " No tiene soluciones reales. ( )! ( )? 7 e) 7 + " " ? 7 + 7! - 8! 8!! 7-7 f) 8 - " - "! - " No tiene soluciones reales Calcula el valor del discriminante y las soluciones en cada caso. a) c) - - b) d) + 0 a) D (-) -?? -! -?! " ) b) " D (-0) -?? " ( - 0+ ) 0 " ( - ) 0 " c) " D (-) -?? - " No tiene solución. d) + 0 " D e- o -?? 0 d + n 0 " * 0 07 Escribe una ecuación de segundo grado con dos soluciones, otra con una solución doble y otra sin solución. Respuesta abierta. Por ejemplo: Con dos soluciones " " -, - Con una solución doble " " - (doble) Sin solución " " No tiene soluciones reales. 0

12 SOLUCIONARIO 08 La suma de dos números es 8. Si uno es la mitad del otro, qué números son? Si los dos números son y : + 8 " 8 " " Es decir, los números son y. 09 María tiene tebeos menos que Sara. Si María le da de sus tebeos, Sara tendrá el triple que ella. Cuántos tebeos tiene cada una? Tebeos de María: Tebeos de Sara: ( - ) " " " - - " María tiene tebeos y Sara 0 tebeos. 00 A una fiesta asisten personas. Si se marchasen chicos, habría el triple de chicas que de chicos. Cuántos chicos y chicas hay? N.º de chicos: N.º de chicas: - - ( - ) " " - 9 " " Sustituimos: - 0 Hay chicos y 0 chicas. 0 La suma de dos números consecutivos impares es. De qué números se trata? Sean los dos números y " " 77 Por tanto, los números son 77 y El producto de un número por el doble de ese mismo número es 88. Qué número es? Eiste más de una solución? Número:? 88 " 88 " "! Tiene dos soluciones: y -. 0 Alberto tiene el doble de edad que Ana. Si multiplicamos sus edades obtenemos el número. Qué edad tiene cada uno? Edad de Ana: Edad de Alberto:? " " "! Como la edad es un número positivo, la solución es única. Ana tiene años y Alberto años. 0

13 Ecuaciones de primer y segundo grado 0 La suma de un número y su cuadrado es. De qué número se trata? + " + - 0!?! 9! " " )? -7 Eisten dos soluciones: Para " + + Para -7 " (-7) + (-7) El producto de las edades de Luisa y su hermano, que tiene años menos que ella, es 7. Cuántos años tienen ambos? Edad de Luisa: Edad de su hermano: - " ( - ) 7 " ( )! ( )? ! 7 " ) - La segunda solución no es válida (una edad no puede ser negativa), así que la edad de Luisa es años y la de su hermano: - años. 0 Encuentra dos números consecutivos tales que al multiplicarlos se obtenga como resultado 80 unidades. Sean los dos números y +. ( + ) 80 " !? 80!! 9 9 " ") -0 Eisten dos soluciones: Para 9 " Los números son 9 y 0. Para -0 " Los números son -0 y Para vallar una finca rectangular de 70 m se utilizan 0 m de cerca. Calcula las dimensiones de la cerca. Los lados miden y -. - El área es: A ( - ) 70 Para hallar la medida de los lados resolvemos la ecuación de segundo grado: ( - ) 70 " - 70 " ! -? 70! 0-000!! " ) 0 Las dimensiones son # 0 m. 0

14 SOLUCIONARIO ACTIVIDADES 08 Determina si las siguientes igualdades algebraicas son identidades o ecuaciones. a) + ( - ) b) c) d) ( + ) - - a) + ( - ) " " + + " Identidad b) " " Ecuación c) " + " Ecuación d) ( + ) - - " " " Identidad 09 Indica los miembros de estas ecuaciones. a) + b) c) d) ( + ) - ( - ) a) +. er miembro.º miembro b) er miembro.º miembro c) er miembro.º miembro d) ( + ) - ( - ). er miembro.º miembro 00 Señala los términos de las ecuaciones. a) + b) c) d) 9( + 7) - ( - ) a) + " Términos:,, b) " Términos:, -, -9,,, - c) " Términos:,, 7,,, - d) 9( + 7) - ( - ) " " Términos: 9,, -,, 07

15 Ecuaciones de primer y segundo grado Indica el grado de las siguientes ecuaciones. a) c) b) + 0 d) - - a) Grado b) Grado c) Grado d) Grado Cuál de estos números es solución de la ecuación ( - ) +? a) b) - c) 0 d) e) - f) - La solución es: c) 0, ya que 0(0 - ) Es el valor solución de alguna de las ecuaciones? a) - 0 c) - 8 e) - 0 b) + 0 d) f) a) Sí, - 0. d) No, - + 8! +. b) No, +! 0. e) No, -! 0. c) No, -! 8. f) No, - + 8! Escribe una ecuación: a) Con dos incógnitas y términos independientes y -. b) Con una incógnita y solución 7. c) Con incógnita z y solución -9. Respuesta abierta. Por ejemplo: a) - y + + y - b) - 9 " " 7 c) - z 0 " -z 0-9 " z -9 Averigua cuáles de las siguientes ecuaciones tienen como solución. a) c) - e) b) 8 d) f) a) Sí,. c) No, -. e) Sí,. b) No,. d) No,. f) No,. Escribe dos ecuaciones en cada caso. a) Que tengan como solución. c) Cuya solución sea. b) Que tengan como solución -. d) Cuya solución sea -. Respuesta abierta. Por ejemplo: a) y + c) - 0 y 0 b) - y 9 - d) + 0 y - 08

16 SOLUCIONARIO 07 Resuelve. a) 0 - e) + b) 9 + f) + 7 c) - - g) d) + - h) -9 - a) 0 - " 0 - " 7 b) 9 + " " -7 c) - - " " - " - d) + - " -8 " 8 - e) + " - " " f) + 7 " - 7 " 7 " g) " " h) -9 - " " Halla la solución de estas ecuaciones. a) f) b) g) c) h) d) i) e) a) " + - " 7 7 " b) " " 9 c) " " 8 " d) " " 0 " 0 e) " " - f) " " 0 " g) " " 8 " h) " " i) " "

17 Ecuaciones de primer y segundo grado 09 Corrige los errores en la resolución de la ecuación o Transponemos términos o Reducimos términos. 0. o Despejamos la. 0 En el tercer paso, al despejar la, el debe pasar dividiendo con el mismo 0 signo con el que multiplica a, en este caso positivo,. 00 Resuelve. a) ( + ) 0 + ( + ) d) 0 - ( - 7) b) ( - 7) - ( - ) e) ( + ) 7( - ) c) - ( - ) f) ( + 7) - ( + 8) a) ( + ) 0 + ( + ) " " + + " - - " 0 " No tiene solución. b) ( - 7) - ( - ) " " " " - - " c) - ( - ) " " - - " d) 0 - ( - 7) " " " 9 e) ( + ) 7( - ) " " " - - " 7 f) ( + 7) - ( + 8) " " + + " - - " 0 Resuelve estas ecuaciones. - 9 a) c) e) - 0 b) d) 8 f) - 0

18 SOLUCIONARIO a)? " " " b) - " -? " - " - - c) - " - " d) 8 " 7 8? " 7 9 e) - " 9 - " f) - - " " 0 0 Resuelve. a) - c) b) - 7 d) a) " " b) c) " + - " - 7 " " " "? 0 + d) - - " + + " "? " 0 Calcula el valor de a) d) b) - e) + + c) f) a)? -? " - 9-7"e o 0 m.c.m. (, ) 0 8? 0 " " 0 8 F

19 Ecuaciones de primer y segundo grado b) + - " " " - -0 " 0 c) " 0 - ( + ) 0 + m.c.m. (, ) 0 " " " " 8 " d) -? -?? " m.c.m. (, ) " ( + 8) - ( - ) " " + 8 " - 8 " e) " 0? + 0? + 0? 0? m.c.m. (, ) 0 " ( - ) + (8 - ) + ( - 0) 0 " " " 7 0 " f) - - F F "? -? -?? m.c.m. (,, ) " ( - 0) - ( - 0) - ( - 0) 0 " " " " 0 F F 0 Obtén la solución de estas ecuaciones. - 0 ( - ) a) b) - ( + ) - + c) ( -) d) ( + ) e) + - 0

20 SOLUCIONARIO -0 ( - ) -0 ( - ) a) - - "? -? - " ( - 0) - 9( - ) - " " " " b) - ( + ) "? - 0( + ) " " " 7 - " c) " 0? + 0? 0( 0 - ) " ( - ) + ( + ) 0(0 - ) " " " " - + ( -) - + ( -) d) - "? -? ( + ) e) F m.c.m. (, ) m.c.m. (, ) 0 " ( - ) - + ( - ) " " - + " " -8 - " - ( + ) " 0? + 0? 0? - 0? 0 F F m.c.m. (0, ) 0 " ( - ) ( + ) " " + + " " 9 8

21 Ecuaciones de primer y segundo grado 0 Resuelve. a) b) ( + ) ( + )( -) ( - ) ( - ) - - a) ( + ) ( + )( - ) " " ! +! " * 97 - b) - - ( - ) ( - ) " "-8 - " 0 Está bien resuelta esta ecuación? Corrige los errores que se han cometido o Se calcula el m.c.m. m.c.m. (7, ) 8. o Se multiplica por 8. ( - ) - 7( - ). o Se eliminan paréntesis o Se transponen términos o Se reducen términos. -. o Se despeja. - -.º No se ha multiplicado por 8: ( - ) - 7( - ).º Está mal aplicada la propiedad distributiva: º º No está bien sumado: -.º Se ha despejado mal la : - -

22 SOLUCIONARIO 07 HAZLO ASÍ CÓMO SE DETERMINA UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO A PARTIR DE CIERTAS CONDICIONES? Escribe una ecuación que tenga un paréntesis, un denominador y solución. PRIMERO. Se escribe en forma de igualdad la solución de la ecuación. En este caso,. SEGUNDO. Se añade a los dos miembros cada una de las condiciones que debe cumplir. Tiene un paréntesis. ( - 7) ( - 7) " ( - 7) ( - 7) " ( - 7) - Tiene un denominador. ( - 7) ( - 7) - " - TERCERO. Se resuelve la ecuación obtenida para comprobar el resultado. ( - 7) - " ( - 7) - " - - " 08 Escribe una ecuación: a) Que tenga un paréntesis y solución -. b) Que tenga un denominador y solución. c) Que tenga dos paréntesis y solución. Respuesta abierta. Por ejemplo: a) ( - ) - b) - - c) ( - ) - ( - ) 09 Resuelve las ecuaciones de segundo grado aplicando la fórmula general. a) e) b) f) c) g) d) ! -! a) " * - b)! - 0! - 88 " No tiene solución. 8! 8! 0 c) (doble)

23 Ecuaciones de primer y segundo grado - +! 9! 9 d) " * ! -! 0 e) (doble) f)! 9-8! - 9 " No tiene solución. g) - +! + 0 -! " * Sin resolverlas, averigua el número de soluciones de estas ecuaciones. a) e) b) f) c) g) d) a) D - > 0 " soluciones b) D + 00 > 0 " soluciones c) D - 0 " solución d) D + > 0 " soluciones e) D - 0 " solución f) D < 0 " Sin solución g) D < 0 " Sin solución 0 Determina el número de soluciones de las siguientes ecuaciones. a) - 0 e) b) + 0 f) 7 - c) g) d) a) - 0 " "! b) + 0 " ( + ) 0 " * " - )! ( )?! c) " -- ( ! 8? 8! d) "

24 SOLUCIONARIO ( )! ( )?! 8 e) " ! " * - - f) 7 - " ( 7)! ( 7)? 7! 9 8 7! " ") g) " !?! " " " ) - 0 Resuelve estas ecuaciones de segundo grado incompletas. a) e) -8-0 b) f) c) g) - 0 d) - 0 h) - 0 a)! 8 b) - " No tiene solución. c) ( + ) " 0, - d)!! e) -8( + ) " 0, - f) -( + ) " 0, - g)!! h) ( - ) " 0, 0 Resuelve las ecuaciones por el método más adecuado. a) 7 e) - i) b) - 0 f) j) - c) - 0 g) + k) 9 - d) h) - 00 l) a) 7 " 9 "! b) - 0 " 0 + "! c) - 0 " "! d) "!00 e) - " "! 7

25 Ecuaciones de primer y segundo grado f) " 70 " "! g) + " - "! h) - 00 " 00 + "! i) " 7 " "! j) - " " 9 "! k) 9 - " 9 - " " 9 "! 7! 9 0 l) " ! " * Resuelve. a) e) ( - ) 0 i) b) + 0 f) - 0 j) - c) - 0 g) - d) h) a) " ( - 7) 0 " * 0 " " 7 b) + 0 " ( + ) 0 " * 0 " " - c) - 0 " ( - ) 0 " * 0 " 0-0 " d) " ( - 0) 0 " * 0 " " 0 e) ( - ) 0 " * 0 " 0-0 " f) - 0 " ( - ) 0 " * 0 $ 0-0 " g) - " " " 0 " ( - ) 0 " * - 0" h) " - 0 " ( - ) " 0 " * - 0" 8

26 SOLUCIONARIO i) " ( - ) 0 " * 0 " 0-0 " j) - " " ( - ) 0 " * 0 $ 0-0 " 0 HAZLO ASÍ CÓMO SE RESUELVEN LAS ECUACIONES EN LAS QUE UN PRODUCTO ES IGUAL A CERO? Resuelve la ecuación ( - )( + ) 0. Para que un producto de varios factores valga cero, al menos uno de los factores ha de ser cero. PRIMERO. Se iguala a cero cada uno de los factores. - 0 ( - )( + ) 0 " ( + 0 SEGUNDO. Se resuelven las ecuaciones resultantes. - 0 " ( - )( + ) 0 " ( + 0 " - La ecuación tiene dos soluciones: y -. 0 Calcula sin aplicar la fórmula general. a) ( + )( - ) 0 d) ( - ) 0 b) ( - )( + ) 0 e) ( - ) + c) ( + )( - ) e - o 0 f) e - o " - a) ) - 0 " + 0" - b) ) - 0" c) * + 0 " - - 0" " d) - 0 " (doble) e) ( - ) 0 " - 0 " (doble) 0 " 0 f) * d - n 0 " - 0 " (doble) 9

27 Ecuaciones de primer y segundo grado 07 Resuelve las siguientes ecuaciones. a) ( + )( - ) + 0 e) ( + )( - ) b) ( + 9)( - 9) ( - 7) f) - 8 c) ( - ) d) - ( - ) - g) a) ( + )( - ) + 0 " " - 0 " ( - ) 0 " * 0 " 0-0 " b) ( + 9)( - 9) ( - 7) " " - 0 " ( - ) 0 " * 0 " 0-0 " c) ( - ) " - - 0! + 780! 8 " " * d) - ( - ) - " ! +? 8 -! + " "? (-) -! - - " ) - e) ( + )( - ) " - 9 " " "! f) - 8 " ( / )! ( / )? 8 /! ( 9/ ) 7 " " * /! ( 9 + )/ /! / / + / / 8 8 / - / 8/ g) ( 7)! ( 7)? / " 7! 9-7! " * 0

28 SOLUCIONARIO 08 Escribe una ecuación de segundo grado, con todos sus coeficientes distintos de cero, que tenga una solución doble. Respuesta abierta. Por ejemplo:! " HAZLO ASÍ CÓMO SE RESUELVEN ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON PARÉNTESIS Y DENOMINADORES? Resuelve ( ) PRIMERO. Se eliminan los denominadores: se calcula el m.c.m. de los denominadores y se multiplican los dos miembros de la ecuación por él. m.c.m. (, ) ( ) e - o e o ( - ) - ( - ) ( + ) SEGUNDO. Se eliminan los paréntesis. ( - + ) TERCERO. Se agrupan todos los términos en el primer miembro y se opera CUARTO. Se simplifica la ecuación, si se puede, y se resuelve Se divide entre F - - 0! +! ) - QUINTO. Se comprueban las soluciones. F ( - ) -?? " + " - ( ) -- - ( - ) + ( - ) 7 F - " - "

29 Ecuaciones de primer y segundo grado Resuelve las siguientes ecuaciones. a) ( ) b) ( - )( + ) c) ( + ) - d) ( - ) + ( - )( - ) ( - ) - e) ( - )( + ) + ( + )( - ) f) + 0 a) ( - ) + - " " " ! 9! " " * b) ( - )( + ) - ( + ) ( + ) " + " " " ! +??? 07 " " * - 0 c) " + + 0! 8! " " Sin solución d) " ! +! " " - - * -- e) " -8 " - f) 0 e + o 0 " * + 0 " - Encuentra dos números consecutivos que sumen. Si los dos números son y + " + + " 0 " Por tanto, los números son y. Calcula un número tal que su doble y su triple sumen 0. El número es " + 0 " 0 "

30 SOLUCIONARIO 07 Encuentra un número tal que, al sumarle, resulte el doble del número menos una unidad. El número es " + ( - ) " - - " 07 Halla dos números consecutivos, sabiendo que la diferencia de sus cuadrados es 7. Si los dos números son y + : ( + ) - 7 " " " 8 Los números son 8 y El precio de un anillo y su estuche es de 0 00 y el anillo vale más que el estuche. Cuál es el precio de cada artículo? Estuche:. Anillo: " " 00 " 00. El estuche cuesta 00 y el anillo Una bodega eportó en enero la mitad de sus barriles, y a los dos meses, un tercio de los que le quedaban. Cuántos barriles tenía al comienzo si ahora hay barriles? Barriles:. Eporta en enero: y en los dos meses siguientes: e - o. - - e - o " " " barriles 077 HAZLO ASÍ CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS DE EDADES MEDIANTE ECUACIONES? El perro de Ále tiene años menos que él. Dentro de años, Ále tendrá el triple de la edad de su perro. Cuáles son sus edades? PRIMERO. Se plantea el problema. Actualmente Dentro de años Edad de Ále Edad del perro Dentro de años, la edad de Ále será el triple que la del perro: + ( - 8) SEGUNDO. Se resuelve la ecuación. + ( - 8) " + - " 8 " TERCERO. Se comprueba la solución. Ále tiene años, y su perro, - años. En años, Ále tendrá 8 años, y su perro, años, 8?.

31 Ecuaciones de primer y segundo grado 078 Miguel tiene años más que su primo Ignacio y, dentro de años, entre los dos sumarán 0 años. Cuántos años tiene cada uno? Ignacio:. Miguel: + " ( + ) + ( + + ) 0 " 0 " Ignacio: años y Miguel: 9 años. 079 Qué edad tengo ahora si dentro de años tendré el triple de la edad que tenía hace años? Edad actual: " + ( - ) " - -0 " años 080 Lucía tiene tres hijos. El pequeño tiene la mitad de años que el mediano, y este tiene años menos que el mayor. Calcula las edades de los tres, sabiendo que la suma de sus edades actuales es igual a la edad de su prima Ana, que es años mayor que el hermano pequeño. Mayor: Mediano: - Pequeño: - - Ana: " 8 " 9 Mayor: 9 años. Mediano: años. Pequeño: año y medio. 08 HAZLO ASÍ CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS DE MEZCLAS MEDIANTE ECUACIONES? Disponemos de dos tipos de té: uno de Tailandia, a,0 /kg, y otro de la India, a,0 /kg, y queremos obtener 00 kg de té a /kg. Cuántos kilos hemos de mezclar de cada tipo? PRIMERO. Se plantea el problema. Té tailandés Té indio Mezcla Kilos Precio,,(00 - ), +,(00 - ), +, ( 00- ) Precio del kilo de mezcla 00 SEGUNDO. Se resuelve la ecuación., +, ( 00- ) 00 ", + 0 -, 00 " 0 TERCERO. Se comprueba la solución. Necesitamos 0 kg de té de Tailandia y kg de té de la India.,? 0 +,? 80 El kilo de mezcla vale: 00

32 SOLUCIONARIO Cuántos litros de leche de 0,7 / hay que mezclar con leche de 0,8 / para conseguir 00 litros a 0,77 /? Leche de 0,7 : Leche de 0,8 : 00-0,7 + 0,8(00 - ) 00? 0,77 " 8-0, 77 " 80 Hay que mezclar 80 litros a 0,7 / y 0 litros a 0,8 /. En una fábrica de ladrillos se mezcla arcilla de la tonelada con arcilla de la tonelada. Cuántas toneladas de cada clase hay que emplear para conseguir 00 toneladas de arcilla a 9 la tonelada? Arcilla a /t:. Arcilla a /t: 00 - " + (00 - ) 00? 9 " " 0 " 0 t a /t y 80 t a /t En una papelería se han vendido cajas de papel del tipo A y cajas del tipo B por Cuál es el precio de la caja de cada tipo si el precio de la caja del tipo B es de la del tipo A? Tipo A: Tipo B: +? " " 0 00 " 0. Caja del tipo A: 0. Caja del tipo B: HAZLO ASÍ CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS DE MOVIMIENTO MEDIANTE ECUACIONES? Un camión sale de una ciudad a una velocidad de 80 km/h y, dos horas más tarde, sale un coche de la misma ciudad a 0 km/h. A qué distancia de la ciudad alcanzará el coche al camión? PRIMERO. Se plantea el problema. " Tiempo transcurrido desde que sale el coche hasta el encuentro Distancia que recorre el camión Distancia que recorre el coche La distancia recorrida por los dos vehículos al encontrarse es la misma "? Ventaja Momento del encuentro? 80? SEGUNDO. Se resuelve la ecuación.? " " TERCERO. Se comprueba la solución. Se encuentran horas después de la salida del coche, es decir, a las horas de la partida del camión. El camión, en horas, recorre:? km El coche, en horas, recorre:? 0 80 km

33 Ecuaciones de primer y segundo grado 08 Esther viaja de Barcelona a Sevilla en su coche. Sale a las 8 de la mañana y lleva una velocidad constante de 90 km/h. A 0 km de Barcelona, Juan coge, a esa misma hora, un autobús que viaja a 70 km/h, con la misma dirección que Esther. A qué hora se encuentra Esther con el autobús? Qué distancia ha recorrido cada uno? El tiempo que tardan en encontrarse es " 0 0 ", horas Luego se encuentran a las h 0 min. La distancia recorrida por Esther es:,? 90 9 km y la de Juan es: km. 087 A las 7 de la mañana, Tomás sale de Zamora con dirección a Cádiz, distantes entre sí 0 km, a una velocidad de 7 km/h. A la misma hora, Natalia sale de Cádiz y se dirige hacia Zamora en la misma carretera que Tomás a una velocidad de 0 km/h. A qué hora se cruzarán? Y a qué distancia estarán de Cádiz? Siendo el tiempo que tardan en encontrarse, y considerando que están a una distancia de 0 km: " 0 ",888 horas h min 0 s. Se cruzarán a las h min 0 s y estarán a,888? 0 9, km de Cádiz. 088 Un terreno rectangular tiene una superficie de 79 m y mide 0 m más de largo que de ancho. Calcula sus dimensiones. Ancho:. Largo: + 0 " ( + 0) 79 " ! ! " * Las dimensiones son 7 m de ancho y 7 m de largo. La otra solución no es válida por ser negativa. 089 Si un campo de fútbol mide 0 m más de largo que de ancho y su área es de m, halla sus dimensiones. Ancho:. Largo: + 0 " ( + 0) " ! ! " * Las dimensiones son 70 m de ancho y 00 m de largo. La otra solución no es válida por ser negativa.

34 SOLUCIONARIO 090 Encuentra dos números que se diferencien en 7 unidades, sabiendo que su producto es 0. Menor:. Mayor: + 7 " ( + 7) 0 " ! 9 0 7! " * Las soluciones son y o - y En un triángulo rectángulo de m de perímetro, la longitud de un cateto es igual a los tres cuartos de la longitud del otro. Halla sus dimensiones. Cateto : Cateto : 9 Hipotenusa: " " 8 Cateto 8 m. Cateto m. Hipotenusa 0 m. 09 Para embaldosar un salón de 8 m de largo por m de ancho se han utilizado 00 baldosas cuadradas. Cuánto mide el lado de las baldosas? Lado de la baldosa: 00 8? " 0, " 0, La baldosa mide 0 cm de lado. 09 La diagonal de un rectángulo mide 0 cm. Halla sus dimensiones si un cateto mide cm menos que el otro. Mayor: Menor: - Diagonal: + ( -) + ( - ) 0 " " ! + 9! 9 " * - - Las dimensiones son 8 cm y cm. La otra solución no es válida por ser negativa. 7

35 Ecuaciones de primer y segundo grado 09 Un cine tiene igual número de filas que de butacas por fila. El propietario decide remodelarlo quitando una butaca por fila y tres filas. Después de la remodelación, el número de butacas es. a) Cuántas filas tenía el cine antes de la remodelación? b) Cuántas butacas hay ahora en cada fila? a) Llamamos n.º de filas n.º de butacas/fila. Se eliminan filas: - Se elimina butaca por fila: - ( - )( - ) " " "! +? 0! + 80! 0 " ) - No tiene sentido el valor negativo, por lo que el cine tenía 0 butacas por fila y 0 filas. b) Ahora tiene: 0-9 butacas por fila. 09 Vamos a investigar qué ocurre con las ecuaciones de segundo grado cuyo coeficiente de vale, es decir, ecuaciones de la forma: + b + c 0 Para ello: a) Resuelve las cuatro ecuaciones: b) Qué relaciones observas entre las soluciones obtenidas y los coeficientes b y c? c) Encuentra las soluciones de + b + c 0 y luego calcula su suma y su producto. d) Aplicando las relaciones halladas, busca dos números cuya suma sea y su producto. 8

36 SOLUCIONARIO a) ! 9-8 7! " " * ! 9+ 0! 9 " " * !! " " * ! + 9 -! 00 " " b) b -( + ), c? c) b b c b- b -c " * b b c b b c b * b b c b b c b b c? - + -? ` - j c d) ! -! " " * Desarrolla y simplifica la epresión: A ( - ) + + ( + ) Encuentra tres números enteros consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea A ( - ) + + ( + ) " A " A " " "!00 Tiene dos soluciones: 99, 00 y 0 y -99, -00 y -0. 9

37 Ecuaciones de primer y segundo grado 097 Resuelve la ecuación: - + ( + )( + ) 0 sin utilizar la fórmula general. Para ello factoriza la epresión del primer miembro. - + ( + )( + ) 0 " ( + )( - ) + ( + )( + ) 0 - " ( + )[( - ) + ( + )] 0 " ( + )( + ) 0 " * - PON A PRUEBA TUS CAPACIDADES 098 A Mariam le quedan pocos días para dar a luz. En su trabajo tienen la costumbre de hacer un regalo a los recién nacidos. Sus compañeros Roberto y Pilar se han encargado de recoger el dinero. Como Mariam es muy popular en su empresa, la mayoría de sus compañeros han participado en el regalo. Ayer, Roberto y Pilar estuvieron en unos grandes almacenes y han propuesto comprar un coche de bebé que está de oferta y por el que tendrían que poner 8 cada uno. Como todos estaban de acuerdo, fueron a comprarlo, pero resultó que la oferta había terminado y les faltaban. ERES CAPAZ DE COMPRENDER a) Epresa en lenguaje algebraico. El número de personas que participaron en el regalo. El precio original del regalo. El precio al ir a comprarlo. Lo que podemos hacer es poner cada uno 9 y con los 8 que sobran compramos una camiseta para el niño. ERES CAPAZ DE RESOLVER b) Cuántas personas han participado? Cuánto ha costado el regalo? ERES CAPAZ DE DECIDIR c) Roberto y Pilar me han dicho que de los compañeros hay una persona que no ha puesto dinero para el regalo. Crees que es cierto lo que dicen? a) Personas que participan en el regalo: Precio original: 8 Precio nuevo: 8 + y 9-8 b) " Han participado personas. El regalo ha costado:? c) Lo que han dicho Roberto y Pilar no es cierto, ya que han puesto dinero personas y no. 0

38 SOLUCIONARIO 099 Marcelino es herrero y se ha encontrado con bastantes problemas a lo largo de su trayectoria profesional. Muchas veces la dificultad no está en el trabajo que hay que realizar, sino en interpretar lo que el cliente desea. En la terraza tengo un trozo de pared que mide,0 m. Quiero colocar, sobre los etremos de la pared, una barra de hierro que forme un ángulo recto para instalar un toldo. Por eso, cuando alguien le plantea un problema como este, Marcelino tiene que traducirlo a las tareas que él debe realizar en su herrería. ERES CAPAZ DE COMPRENDER a) Dibuja un croquis de la pieza que tiene que construir y señala las medidas que conozcas. Tengo barras de hierro que miden,70 m. Cada barra hay que doblarla hasta que forme un ángulo recto, de tal manera que la distancia entre sus etremos sea,0 m. ERES CAPAZ DE RESOLVER b) En qué punto tendrá que doblar Marcelino la barra de hierro? ERES CAPAZ DE DECIDIR c) Si la pared mide, m, podrá utilizar medidas eactas para doblar la barra? Cómo lo podría hacer? a) 70-0 b) + (70 - ) 0 " ! " ) 0 Las dos partes de la barra tienen que medir 0 cm y 0 cm. c) + (70 - ) " ! ! 7 " 8 + La raíz no es eacta, luego no podrá utilizar medidas eactas. Sin embargo, lo podrá hacer de manera gráfica: F 8 +

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