Búsqueda tabú y evolución genética para el árbol de expansión capacitado de costo mínimo

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Julio Redondo Velázquez
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1 Búsqueda tabú y evolución genética para el árbol de expansión capacitado de costo mínimo Efraín Ruiz Dept. d Estadística i Investigació Operativa Universitat Politècnica de Catalunya Jordi Girona, 1-3. C , Barcelona, España efrain.ruiz@upc.edu 1. Introducción El problema del árbol de expansión capacitado de costo mínimo (CMST por sus siglas en inglés) ha sido típicamente utilizado como un subproblema en el diseño de redes de telecomuniación. Se requiere encontrar la mejor forma de conectar n terminales, ubicadas en localizaciones predeterminadas, a un nodo central (comunmente un centro de cómputo o un servidor). Cada terminal utiliza una línea de transmisión durante una cierta fracción del tiempo, para enviar o recibir mensajes. Para utilizar eficientemente la capacidad de las líneas de transmisión se consideran diseños en los que se conectan varias terminales a cada línea de transmisión, de forma tal que cada línea pueda ser compartida por varias terminales. A dichas líneas de transmisión se les denomina líneas mutipunto. De esta manera, cada línea multipunto puede ser representada mediante un árbol de expansión que a su vez está conectado con el nodo central. En el diseño topológico de redes, este problema equivale a encontrar un árbol en un grafo G = (V,E), donde cada uno de los vértices del conjunto V, exceptuando al nodo central, corresponde a una terminal y las aristas del conjunto E representan cableados factibles. Entonces, cada subárbol conectado con el nodo central representa una línea multipunto. Sin embargo, cada uno de los puertos de entrada del nodo central puede manejar una cierta cantidad fija de información y por lo tanto la cantidad de información que puede fluir en cada una de las líneas de transmisión es limitada (no debe exceder una cierta cantidad fija de flujo q). El problema CMST es NP-completo para 2 < q < n/2 (ver, [8]). Esto implica que el problema es difícil de resolver de manera exacta. Es por ello que en la mayoría de las investigaciones previas se le ha dado un tratamiento heurístico. El estudio del problema del árbol de expansión capacitado de costo mínimo también tiene interés en el contexto de los problemas de rutas de vehículos. Dicho interés se deriva de la influencia que tienen los árboles de expansión en los procedimientos

Introducción El problema del árbol de expansión capacitado de costo mínimo (CMST por sus siglas en inglés) ha sido típicamente utilizado como un subproblema en el diseño de redes de telecomuniación.

2 constructivos de soluciones posibles para problemas de rutas de vehículos. Además, en los problemas de rutas de vehículos es muy usual la consideración de restricciones de capacidad. El estudio de los árboles de expansión capacitados permite el diseño de procedimientos eficientes para la obtención de soluciones factibles en problemas de rutas de vehíulos. En este trabajo se propone un método heurístico para obtener cotas superiores para el CMST basado en una combinación de las metodologías de búsqueda tabú y la evolución genética. Se realizaron pruebas computacionales para evaluar el comportamiento del método propuesto. A partir de los resultados obtenidos se observa que el algoritmo propuesto produce soluciones factibles de buena calidad con un esfuerzo computacional razonable. 2. El problema del árbol de expansión capacitado de costo mínimo El problema del árbol de expansión capacitado de costo mínimo (CMST ) considera la siguiente situación. Sea G = (V, E) un grafo no dirigido, donde V = {0, 1,..., n} es un conjunto de vértices y E = {e : e = {i, j},i, j V } es un conjunto de aristas. Al vértice 0 se le denomina nodo raiz. A cada elemento del conjunto de aristas, e E, se le asocia un costo c e 0 y a cada uno de los elementos i V \ {0} del conjunto de vértices, se le asocia un peso d i 0, que representa la demanda del vértice i. Adicionalmente, se especifica un parámetro de capacidad q. Se require encontrar un árbol de expansion de costo mínimo de manera que la suma de las demandas de cada subárbol conectado con el nodo raíz sea menor o igual a q. A continuación se proporciona un modelo de programación matemática para el problema del CMST que se formula a partir de un grafo dirigido asociado al grafo original G. Cada arista {i, j} E se reemplaza por dos arcos (i, j) y ( j,i) con costos c i j = c ji = c e, y el conjunto de aristas E se reemplaza por el conjunto de arcos A = {a : a = (i, j),i, j V }. Sea S V \ {0} cualquier subconjunto de vértices, δ (S) = {a A : a = (i, j),i S, j S} el conjunto de arcos incidentes con los vértices del conjunto S y d(s) = d k la demanda total de los vértices del conjunto S. Se k S definen las siguientes variables de decisión { 1, si se selecciona el arco a, x a = 0, en otro caso. 2

En este trabajo se propone un método heurístico para obtener cotas superiores para el CMST basado en una combinación de las metodologías de búsqueda tabú y la evolución genética.

3 El CMST se puede formular de la siguiente manera min c a x a (1) a A s.t. x a = 1 i V \ {0} (2) a δ (i) a δ (S) x a d(s)/q S V \ {0}, S 2 (3) x a {0,1} a A (4) Las restricciones (2) aseguran que existe un solo arco incidente con cada vértice. Las restricciones (3) garantizan la conectividad de la solución y también aseguran que la demanda agregada de cada subárbol es menor o igual que la capacidad. 3. Experiencia computacional Para poder evaluar el desempeño del algoritmo propuesto se consideraron diferentes conjuntos de instancias de prueba que se encuentran disponibles en la OR-Library (htt p : //people.brunel.ac.uk/ mast j jb/ jeb/ jeb.html). Los problemas están divididos en tres clases: tc, te y cm. Para la clase tc y te se consideran dos grupos de problemas diferentes, de acuerdo con el número de vértices (40 y 80 vértices). Asimismo, para la clase cm, se consideran tres grupos de problemas de acuerdo con el número de vértices (50, 100 y 200 vértices). Para cada conjunto de datos se consideran distintos valores para el parámetro de capacidad q. Para los problemas de las clases tc y te con 40 vértices se consideran dos valores distintos para q (5 y 10). Para los problemas de la clases tc y te con 80 vértices se consideran tres valores distintos para q (5, 10 y 20). Finalmente, para los problemas de la clase cm se consideran también tres valores distintos para el parámetro de capacidad q (200, 400 y 800). El algoritmo propuesto se ejecutó 5 veces para cada uno de los problemas considerados. En el Cuadro 1 se muestran los resultados obtenidos con algoritmo que combina las metodologías de búsqueda tabú y búsqueda dispersa. La información presentada es la siguiente. Las columnas con el encabezado Grupo muestran el grupo de problemas. Las columnas con el encabezado DesvM, muestran la desviación porcentual promedio de la mejor solución obtenida (en las 5 ejecuciones) con respecto al valor de la mejor solución conocida. Las columnas con el encabezado DesvP, muestran la desviación porcentual promedio del valor medio de las soluciones obtenidas con respecto al valor de la mejor solución conocida. En términos de esfuerzo computacional, los tiempos medios de cpu requeridos para la ejecución del algoritmo combinado (en segundos) son 3.09, 5.08, 17.21, 21.24, 8.51, y para los grupos de problemas tc40, te40, tc80, te80, cm50, cm100 y cm200, respectivamente. 3

Las restricciones (3) garantizan la conectividad de la solución y también aseguran que la demanda agregada de cada subárbol es menor o igual que la capacidad. 3.

4 Grupo DesvM DesvP tc % 0.02% te % 0.58% tc % 0.45% te % 1.24% cm % 1.22% cm % 0.87% cm % 2.33% Cuadro 1: Resultados obtenidos con el algoritmo combinado 4. Conclusión En este trabajo se estudia el problema del árbol de expansión capacitado de costo mínimo. En particular, se propone un método basado en una combinación de las metodologías de búsqueda tabú y evolución genética. En el procedimiento de búsqueda tabú se considera una función objetivo que se adapta utilizando información histórica de proceso de búsqueda. Esto permite implementar una estrategia de oscilación estratégica para obtener un mayor grado de flexibilidad durante le proceso de búsqueda. En el procedimiento de evolución genética se utilizan pares de soluciones (padres) y se crean descendientes a partir de un proceso de apareamiento donde se selcciona el mejor gen de cada padre. Si la solución resultante (descendiente) es infactible, se somete a un procedimiento de eliminación de aristas y reconexión hasta obtener una solución factible. De acuerdo con los resultados obtenidos se observa que con la metodología propuesta se obtienen soluciones de buena calidad con un esfuerzo computacional razonablemente pequeño. Referencias [1] Ahuja, R.K., Orlin, J.B. y Sharma, D., A composite very large-scale neighborhood structur for the capacitated minimum spanning tree problem, Operations Research 31, , [2] Amberg, A., Domeschke, W. y VoS, S., Capacitated minimum spanning tree: algorithms using intelligent search, Combinatorial Optimization: Theory and Practice 1, 9-33, [3] Esau, D. y Williams, K.C., On teleprocessing system design. Part II, IBM System Journal 5, [4] Fernández, E., Díaz, J.A. y Ruiz, E., Búsqueda tabú y búsqueda dispersa para el árbol de expansión cpacitado de coste mínimo. Actas MAEB 2005,

En particular, se propone un método basado en una combinación de las metodologías de búsqueda tabú y evolución genética.

5 [5] Gavish, B., Topological design of centralized computer networks: formulations and algorithms, Networks 12, , [6] Gavish, B., Formulation and algorithms for the capacitated minimal directed tree problem, Journal of the ACM 30, , [7] Gouveia, L., Determinacão da arvore de suporte de custo mínimo com restricões de capacidade: formulacões e algoritmos, Tesis Doctoral, Universidad de Lisboa, Portugal, [8] Papadimitriou, C., The complexity of the capacitated tree problem, Networks 8, , [9] Sharaiha, Y.M., Gendreau, M., Laporte, G. y Osman, I.H., A tabu search algorithm for the capacitated shortest spanning tree problem, Networks 29, , [10] Souza, M.C., Duhamel, C. y Ribeiro, C.C., A GRASP heuristic for the capacitated minimum spannig tree problem using memory-based local search strategy, In Metaheuristics: Computer Decision-Making, M.G.C. Resende y J. Souza (eds.) , Kluwer,

, Determinacão da arvore de suporte de custo mínimo com restricões de capacidade: formulacões e algoritmos, Tesis Doctoral, Universidad de Lisboa, Portugal, 1991. [8] Papadimitriou, C.

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