Análisis de la influencia de la frecuencia cardiaca sobre el flujo en arteria coronaria con estenosis

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1 1 Análisis de la influencia de la frecuencia cardiaca sobre el flujo en arteria coronaria con estenosis Cristóbal Fresno Rodríguez; Aníbal F. Bregains; Sebastián Ubal; Diego Campana Grupo Biomecánica Computacional de la FI-UNER, int. 126, C.P Resumen Una de las principales patologías que presenta el sistema circulatorio y principal causa de decesos en los países desarrollados lo constituye la ateroesclerosis. Consisten en masas que protruyen hacia la luz vascular originando estenosis de diferente grado. Numerosas observaciones clínicas indican que la fluidodinámica juega un papel importante en el desarrollo y evolución de esta patología. El entrenamiento o ejercicio físico induce una serie de adaptaciones fisiológicas, morfológicas y funcionales. Una de estas adaptaciones es el aumento de la frecuencia cardiaca, que puede tomar valores desde los 70 hasta los 180 latidos por minuto o más, dependiendo de la situación en particular. El objetivo de este trabajo es analizar la influencia de la frecuencia cardiaca sobre el flujo en un tramo de arteria coronaria que presenta estenosis. Se utiliza un modelo computacional que resuelve las ecuaciones axisimétricas de Navier-Stokes y continuidad, mediante una técnica numérica basada en el método de elementos finitos. Los resultados obtenidos permiten analizar en detalle el campo de velocidad, el flujo y la distribución de esfuerzos cortantes sobre la pared del conducto. Los resultados, muestran que los esfuerzos de corte máximos están directamente relacionados con el caudal circulante. Cuando este incrementa con la frecuencia, se elevan los esfuerzos de corte máximos y a su vez, la posición en la cual se producen prácticamente no se modifica. De esta forma, existe un alto riesgo de lesión para la región endotelial afectada por dichos esfuerzos, no sólo por el valor de la tensión que soporta, sino también por la fatiga a la que está expuesta (al aumentar la frecuencia de la agresión). Como trabajos futuros se pretende mejorar la representación geométrica de la estenosis, para evaluar si esto afecta en forma significativa la posición en la cual se obtienen los esfuerzos máximos y la magnitud de los mismos. Palabras clave Obstrucción, frecuencia cardiaca, esfuerzo de corte. N I. INTRODUCCIÓN umerosas observaciones clínicas indican que la fluidodinámica juega un papel importante en el desarrollo y evolución de esta patología [1]. Flujos lentos y/o con bajas tasas de deformación podrían fomentar la adhesión de monocitos a la pared vascular e influir en la transferencia de sustancias a la misma. Por otro lado, experiencias in-vitro indican que la función y estructura celular del endotelio es afectada por las fuerzas cortantes que el flujo sanguíneo le ejerce, llegando incluso a dañarlo en el caso que los esfuerzos sean lo suficientemente intensos [2]. El entrenamiento o ejercicio físico induce una serie de adaptaciones fisiológicas, morfológicas y funcionales sobre el sistema cardiovascular. Una de estas adaptaciones es el aumento de la frecuencia cardiaca, que puede tomar valores desde los 70 hasta 180 lat/min o más, dependiendo de la situación en particular [3]-[5]. La dinámica cardiovascular estudia el flujo de sangre a través de los conductos vasculares y sus implicaciones desde el punto de vista mecánico. Actualmente existen numerosas herramientas que contribuyen a mejorar el diagnóstico o el tratamiento de las enfermedades cardiovasculares estudiando el flujo sanguíneo y los esfuerzos en las paredes vasculares en condiciones fisiológicas y patológicas, mediante modelos matemáticos y computacionales [6]-[8]. El objetivo de este trabajo es analizar, a través de un modelo simplificado, la influencia de la frecuencia cardiaca sobre el flujo en un tramo de arteria coronaria que presenta estenosis. Para ello se utiliza un modelo computacional que resuelve las ecuaciones axisimétricas de Navier-Stokes y continuidad, con condiciones iniciales y de borde apropiadas, el cual se resuelve numéricamente mediante una técnica basada en el método de elementos finitos. Este modelo ha sido desarrollado previamente por el Grupo Biomecánica Computacional de la Facultad de Ingeniería [7], [8] y fue correctamente validado mediante la comparación con otros modelos similares [6]. Los resultados obtenidos permiten analizar en detalle el campo de velocidad y el flujo, como así también la distribución de esfuerzos cortantes sobre la pared del conducto. De esta manera, se han identificado las regiones donde se observan preferentemente altos o bajos esfuerzos de corte. II. MATERIALES Y MÉTODOS La principal función del corazón es impulsar la sangre manteniendo la presión arterial en un nivel apropiado y asegurando la correcta irrigación de los distintos tejidos en todo el cuerpo. El flujo coronario, que es el encargado de irrigar los tejidos cardíacos, es de vital importancia para mantener el normal funcionamiento del corazón. En condiciones fisiológicas, el caudal total bombeado por este órgano, conocido como Volumen Minuto Cardíaco (VMC), es distribuido en el cuerpo acorde con las necesidades metabólicas. En condiciones basales, se pueden determinar las proporciones del VMC que llegan a cada órgano o sistema en cuestión [5]. Una persona en reposo posee un flujo coronario de 0.4 a 0.8 [ml/min/gr]. A su vez, la arteria coronaria izquierda, que es el vaso sanguíneo que deseamos modelizar, utiliza la tercer parte del flujo coronario total [4].

2 2 Cuando aumenta la frecuencia cardiaca, existen diversos factores fisiológicos que regulan el flujo coronario para adaptarlo a las nuevas exigencias. Por simplicidad, en este trabajo vamos a considerar que la proporción del caudal total que llega a la coronaria izquierda, se mantiene constante y es independiente de la frecuencia. A partir de los datos antes mencionados y las hipótesis formuladas, se establece con un sencillo cálculo que el porcentaje del VMC que circula por la arteria coronaria izquierda es aproximadamente del 3%. Una vez establecida la relación existente entre el VMC y el flujo coronario izquierdo, se puede obtener el caudal circulante por ella para cada frecuencia, a partir de la información mostrada en la Fig. 1. Esta gráfica muestra como varía el VMC y el volumen eyectado en cada latido, para distintas frecuencias. completa alrededor del eje de la arteria; es decir que el dominio se considera axisimétrico (Fig. 3). Se ha demostrado a través de varios trabajos, que la elasticidad de las paredes arteriales tiene poco influencia en el flujo, a nivel de las arterias coronarias. Por ello, en este trabajo se considera a las paredes rígidas. El porcentaje de estenosis utilizado en el estudio es del 70%, las longitudes axiales de los tramos son de 10.5mm, 6mm, 3mm, 1.5mm y 45mm para las regiones I, II, III, IV y V respectivamente. El radio arterial del tramo no obstruido es de 1.5mm y el radio del tramo obstruido resulta de 0.82mm. Cabe mencionar que en todo este estudio, se mantuvo la geometría de la estenosis, es decir, se conservaron las longitudes de los tramos y el radio en la sección de entrada. Fig. 3: Esquema del dominio adoptado. Fig. 1: Volumen minuto cardíaco contra la frecuencia cardiaca [4]. La onda o pulso de caudal utilizada en este estudio coincide con la usada por Banerjee y col. [6], quienes la obtuvieron mediante un registro con eco-dopler en condiciones basales. La misma se encuentra suavizada, normalizada (cada valor se dividió por el máximo) y discretizada en 200 valores (Fig. 2). La línea horizontal indica la media temporal del pulso, cuyo valor es del caudal máximo. Como hipótesis adicional, se considera que la forma o morfología de la onda de pulso no cambia con la frecuencia. Fig. 2: Onda de pulso rectificada obtenida a través de eco-doppler [9], [10]. Mediante registros angiográficos se obtuvo la geometría y las dimensiones de una arteria coronaria estenosada. El dominio utilizado se toma a partir de la rectificación de un borde de dicha imagen, generando una revolución Para modelar el flujo de sangre en la arteria, se considera a la misma como un fluido incompresible y Newtoniano con viscosidad constante [9], [10]. Por lo tanto, el flujo estará gobernado por las ecuaciones de Navier-Stokes y continuidad, cuyas expresiones se indican en (1). v 2 ρ + v v = ρ g p + µ v t (1) v = 0 En (1) encontramos la formulación de Navier Stokes en forma diferencial (arriba) y ecuación de continuidad en forma diferencial para constante (abajo); donde es la densidad de la sangre (1.05x10 3 kg/m3), t el tiempo, v la velocidad, p la presión y la viscosidad de la sangre (3.45x10-3 Pa s) [11]. Teniendo en cuenta la hipótesis de axisimetría (componente de velocidad en la dirección azimutal nula y flujo independiente de esta coordenada), despreciando los efectos gravitatorios por ser mucho menor que los inerciales y viscosos y expresando las ecuaciones en términos de las variables adimensionales se obtienen las ecuaciones adimensionales del modelo [8]. De esta manera las condiciones de flujo quedan caracterizadas por los números de Reynolds (N Re ) y de Womersley (N Wo ). El primero representa la relación adimensional entre las fuerzas inerciales, debidas a la aceleración convectiva, con las viscosas. El segundo representa la relación entre las fuerzas de inercia que surgen de la aceleración local (variación temporal) y las viscosas. Cabe destacar que de acuerdo con la metodología propuesta para determinar el caudal circulante por la arteria a partir del VMC (Fig. 1), al variar la frecuencia cardiaca se modificarán tanto el N Re como el N Wo dado que se modifica la velocidad máxima y la frecuencia respectivamente. El modelo físico-matemático presentado, convenientemente simplificado a través de las hipótesis formuladas, carece de solución analítica debido a la fuerte

3 3 no-linealidad que introduce el término de aceleración convectiva (1). Por lo tanto, requiere de solución numérica y para ello se utilizó el Método de Elementos Finitos (MEF) [12] para transformar el sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales en un sistema algebraico no-lineal, que se resuelve mediante iteraciones de Newton. Para resolver la ecuación diferencial en derivadas parciales que describe el movimiento del fluido, se utilizan apropiadas condiciones iniciales y de contorno (Fig. 4) [8]. El dominio considerado (Fig. 3) presenta un esquema de la discretización espacial utilizada, para lo cual se han aplicado elementos finitos rectangulares. Se puede apreciar que, la división del dominio se realizó de manera tal de lograr mayor definición de las variables (refinamiento) en la zona en la que el flujo presenta un comportamiento más complejo y de mayor interés para este análisis. Cada uno de los elementos de la malla de elementos finitos (Fig. 4) posee 4 nodos para la presión y 9 nodos para la velocidad. Para asegurar la independencia de los resultados de la discretización utilizada, se probaron diferentes mallas cada vez más refinadas, hasta que los resultados no mostraron cambios con sucesivos refinamientos. Una vez establecidas las condiciones necesarias para el funcionamiento del modelo, se adopta como sujeto en reposo aquel que posee una estenosis porcentual de 70% y una frecuencia cardiaca de 80 lat./min. Con los datos anteriores se obtiene información relacionada con la fluidodinámica sanguínea. Posteriormente, se procede a simular como el mismo individuo un estado de ejercicio físico, es decir, se produce un aumento de la frecuencia cardiaca como consecuencia directa del mismo; para ello se incrementa en pasos de 10 lat./min. hasta alcanzar una frecuencia de 180 lat./min. III. RESULTADOS Y DISCUSION Para una correcta comprensión de los resultados obtenidos se analiza previamente el campo de flujo, con la ayuda de las líneas de corriente y el esfuerzo de corte en la pared arterial para el individuo en condiciones de reposo. Luego se procede al análisis para las distintas frecuencias. A. Sujeto en Reposo: Las líneas de corrientes (LC) son trazos dibujados en el campo de flujo de manera que en un instante determinado, sean tangentes a la dirección del flujo en cualquier punto en el campo del mismo. Puesto que las líneas de corriente son tangenciales al vector de velocidad en cada punto en el campo de flujo, no puede haber flujo a través de una línea de corriente [11]. Las mismas se pueden apreciar para instantes característicos en la Fig. 5. u = 0, v = 0 u = u ( r) v = 0 = 0 = 0 p = 0 v u = 0, v = 0 Fig. 4: Representación de la discretización espacial del dominio (utilizando elementos rectangulares), junto con las condiciones iniciales y de contorno. Una vez establecidas las condiciones necesarias para el funcionamiento del modelo, se adopta como sujeto en reposo aquel que posee una estenosis porcentual de 70% y una frecuencia cardiaca de 80 lat./min. Con los datos anteriores se obtiene información relacionada con la fluidodinámica sanguínea. Posteriormente, se procede a simular como el mismo individuo un estado de ejercicio físico, es decir, se produce un aumento de la frecuencia cardiaca como consecuencia directa del mismo; para ello se incrementa en pasos de 10 lat./min. hasta alcanzar una frecuencia de 180 lat./min. Fig. 5: Líneas de corriente para las muestras temporales 49, 188 y 197. En el comienzo de la simulación las LC corren suavemente a través de la estenosis. Luego comienza la formación de una recirculación aguas abajo de la estenosis producto del desprendimiento de la capa límite. La extensión de la misma, a lo largo del eje principal del dominio, se encuentra acotada por los puntos en los cuales no existe variación de la velocidad y consecuentemente el esfuerzo de corte es nulo. Durante la fase de eyección cardiaca las LC cambian de forma gradual con el correr del tiempo, encontrándose la velocidad en su período de aceleración positiva. Una vez que la onda de pulso alcanza su máximo valor, la velocidad pasa a su fase de aceleración negativa con lo que el flujo comienza a desacelerarse. Acompañado a este proceso, los gradientes de presión

4 4 cambian de sentido, lo que produce la inversión del flujo aguas abajo de la estenosis. Esto ocurre inicialmente sobre la pared debido a la menor inercia del fluido en sus proximidades. En los últimos instantes el flujo reverso sobre toda la pared obliga a descender a la recirculación, siendo forzada a desplazarse al eje de simetría del dominio. A su vez, se genera una recirculación aguas arriba de la estenosis, donde la extensión de cada una de ellas comprende hasta el comienzo o el final del dominio según corresponda. Como se mencionó anteriormente es interesante observar la posición y el valor del esfuerzo de corte de mayor magnitud, debido al daño que éste puede producir sobre la pared arterial [2]. Además se detecta la posición en donde el esfuerzo de corte cambia de signo, ya que las regiones en donde el esfuerzo se hace positivo/negativo (cambio de dirección en la velocidad) corresponden con aquellas regiones donde existe el flujo reverso sobre la pared. A medida que la sangre ingresa en la región con la estenosis, el radio de la sección transversal disminuye y el flujo se acelera para preservar el caudal. Este incremento en la velocidad eleva los gradientes de velocidad y por ello el esfuerzo de corte crece en magnitud en la región de estrechamiento. En la Fig. 6 se observa la magnitud del esfuerzo de corte en función de la coordenada axial para un instante de tiempo determinado. Aquí se ha representado el esfuerzo que ejerce la pared sobre el fluido, por lo tanto, el esfuerzo que el fluido realiza sobre la pared es el mismo, pero con el signo invertido. En adelante, se refiere como valor máximo del esfuerzo sobre la pared al valor absoluto máximo obtenido de las simulaciones. La variación del esfuerzo es del tipo espacio-temporal, por lo tanto, es de interés determinar las posiciones de los valores máximos y nulos en el tiempo con el objeto de concluir acerca de las repercusiones que estas tienen sobre la pared arterial. Fig. 7: Posiciones de los esfuerzos de corte máximo y nulo a lo largo del tiempo. En la Fig. 7 se aprecia como se mantiene el esfuerzo de corte máximo la mayor parte del tiempo a la entrada de la estenosis. Esto indica que el grupo de células agredidas por el valor elevado que toma el esfuerzo de corte es siempre el mismo. Por otro lado, existen dos puntos en los cuales el esfuerzo cambia de signo, donde uno se mantiene en el mismo sector del tramo considerado mientras que el otro fluctúa a lo largo del tiempo. Esto indica que la longitud axial de la recirculación a la salida de la estenosis, varía con el tiempo. Cabe destacar que para aquellos instantes donde sólo existe un único valor de esfuerzo nulo, la recirculación se vio forzada a descender debido a un flujo totalmente opuesto sobre la pared originando una recirculación aguas arriba. Posteriormente se observan nuevamente dos lugares donde el esfuerzo de corte se anula. Estos corresponden con una recirculación aguas arriba de la estenosis que se extiende desde la entrada hasta el lugar donde se encuentra el primer valor nulo y con otra recirculación aguas abajo, que se extiende desde la posición del segundo valor nulo hasta el final del dominio. B. Sujeto bajo Ejercicio Como se mencionó anteriormente, al aumentar la frecuencia se incrementará el caudal (Fig. 1), elevando los gradientes de velocidad y por lo tanto el esfuerzo de corte. Fig. 6: En azul se muestra el esfuerzo de corte (adimensional) para el instante de tiempo correspondiente a la muestra 105 (máximo caudal), en rojo se muestra el dominio considerado. Puesto que el radio de luz arterial es constante (antes de ingresar a la estenosis) el esfuerzo de corte también lo es. A medida que el área de pasaje disminuye el esfuerzo comienza a aumentar su valor hasta alcanzar un máximo cuando se estabiliza el radio del dominio (Fig. 6). Existen dos puntos ubicados a la salida de la estenosis, en los cuales el esfuerzo de corte cambia de signo, el primero cuando comienza a aumentar la luz de la arteria y el otro ubicado más lejos de la estenosis. Fig. 8: esfuerzo de corte promedio para las distintas frecuencias.

5 5 En la Fig. 8 se observa el valor promedio del esfuerzo de corte máximo para las distintas frecuencia, demostrando que el mismo crece a medida que aumenta el caudal eyectado efectivo, es decir aumenta hasta los 130 lat/min y luego comienza a decrecer de acuerdo con el caudal entrante en la arteria. Fig. 9: Posición del esfuerzo de corte máximo para las distintas frecuencias. Por otro lado, en la Fig. 9 se demuestra que la posición del esfuerzo de corte máximo para las distintas frecuencias permanece en la misma posición espacial dentro del tramo considerado. Esto indica que el grupo de células agredidas a medida que varía la frecuencia cardiaca es el mismo, aumentando el potencial riesgo de daño al endotelio durante el ejercicio a medida que la frecuencia cardiaca se aproxima al valor de máximo caudal eyectado. Finalmente, se analiza la variación de la posición del esfuerzo de corte nulo con la frecuencia (Fig. 10). Para todas las frecuencias analizadas, la posición del esfuerzo de corte nulo proximal permanece en el mismo sector, mientras que la posición correspondiente al esfuerzo de corte nulo distal se modifica. Los resultados indican que los efectos de la frecuencia sobre la longitud de la recirculación son poco significativos debido a que se mantienen, con pequeñas variaciones, dentro del mismo rango de amplitud. Fig. 10: Posición del esfuerzo de corte nulo a lo largo del tiempo para frecuencias de 100, 140 y 180 lat./min. IV. CONCLUSIONES En este trabajo se estudia la fluidodinámica sanguínea dentro de un tramo recto de arteria coronaria izquierda que presenta estenosis, para distintos valores de frecuencia cardiaca. A partir de los resultados obtenidos se puede analizar el campo de velocidad, el flujo y la distribución de esfuerzos cortantes sobre la pared del conducto. Existe una estrecha relación entre los esfuerzos de corte máximos y el caudal circulante. Asimismo, al incrementar la frecuencia, los esfuerzos de corte máximos se elevan sin modificar su posición espacial dentro del tramo considerado. Esto indica el aumento del riesgo de lesión para la región endotelial afectada por dichos esfuerzos, no sólo por el valor de la tensión que soporta, sino también por la fatiga a la que se encuentra expuesto. La modificación de la frecuencia no tiene gran influencia sobre las líneas de corriente y consecuentemente sobre el tamaño de la recirculación, observándose pequeñas variaciones con aumentos significativos de la misma. En futuras investigaciones se pretende mejorar la representación geométrica de la estenosis, para evaluar si la misma afecta en forma significativa la fluidodinámica sanguínea. Por otro lado la modificación de la frecuencia dentro del modelo afecta dos variables dentro del modelo (N Re y N Wo ), por esto un estudio posterior debería aislar ambas variaciones, con el objeto de identificar los efectos producidos por las mismas en forma separada. AGRADECIMIENTOS Agradecemos al Dr. José Di Paolo por su continuo apoyo al Grupo de Biomecánica Computacional. REFERENCIAS [1] Sato, M., Kataoka, N, Ohshima, N. Response of Vascular Endothelial Cells to Flow Shear Stress: Phenomenological Aspect. En Hayashi, K. Kamiya, A., Ono, K. (eds). Biomechanics. Functional Adaptation and Remodeling. Tokio: Springer-Verlag, [2] Fry, D. L. Acute vascular Endothelial Changes Associated with Increased Blood Velocity Gradients. Circulation Research, [3] Despopoulos Agamenon, Silbernagl Stefan, Texto y Atlas de Fisiología. Cuarta edición. Mosby / Doyma Libros. España, [4] Patton Fuchs, "Textbook of Physiology". [5] Selkurt Ewald E., Fisiología, Quinta Edición. 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