NOCIÓN DE CONSERVACIÓN DE NÚMERO Y HABILIDADES DE PRE CÁLCULO EN NIÑOS DE 5 AÑOS DE UNA INSTITUCIÓN EDUCATIVA: BELLAVISTA CALLAO

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1 1 ESCUELA DE POST GRADO UNIVERSIDAD SAN IGNACIO DE LOYOLA FACULTAD DE EDUCACIÓN Programa Académico de Maestría en Educación Para Docentes de la Región Callao NOCIÓN DE CONSERVACIÓN DE NÚMERO Y HABILIDADES DE PRE CÁLCULO EN NIÑOS DE 5 AÑOS DE UNA INSTITUCIÓN EDUCATIVA: BELLAVISTA CALLAO Tesis presentada para obtener el grado académico de maestro en Educación en la Mención de Problemas de Aprendizaje BACHILLER ROSMERY REGGIARDO ROMERO Lima Perú 2010

2 2 RESUMEN ABSTRACT DEDICATORIA A Dios, a mis padres y a mi hijo Leandro André, quienes alentaron la culminación del presente trabajo de investigación y en memoria de mis abuelos Sofia y Carlos, quienes incentivaron en mí el deseo de ser cada día mejor.

3 3 RESUMEN ABSTRACT INTRODUCCION Marco teórico El desarrollo del pensamiento 2 Las relaciones lógico matemáticas 2 Estadios del desarrollo del pensamiento 3 1º El pensamiento pre-lógico en transición 3 2º La llegada del pensamiento concreto 5 Noción de conservación 5 Evolución de la conservación 9 Pre cálculo 10 Problemas de pre-cálculo 10 La enseñanza de estrategias de resolución de problemas 10 Conceptos Básicos 10 Percepción Visual 14 Correspondencia Término a Término 14 Números Ordinales 15 Reproducción de Figuras y Secuencias 16 Reconocimiento de Figuras Geométricas 17 Reconocimiento y Reproducción de Números 17 Cardinalidades 17 Solución de Problemas Aritméticos 18 Conservación 19 Antecedentes 20 Investigaciones internacionales. 20 Investigaciones nacionales. 23 Problema de investigación 25 Problema general 26 Problemas específicos 26 Hipótesis y objetivos 28 Hipótesis 28 General 28 Específicas 28 Objetivos 30 General 30 Específicos 30 MÉTODO Tipo y diseño de investigación 32 Variables 33 Definiciones, dimensiones e indicadores 33 Cuadro Nº 1 Matriz del Instrumento de la Variable de Noción de Conservación de Número 33 Cuadro Nº 2 Matriz del Instrumento de la Variable Habilidades de Pre Cálculo 35 Participantes 36 Instrumentos de investigación 36 Procedimientos 38

4 4 RESULTADOS Prueba de normalidad de datos 40 Prueba de Kolmogorov Smirnov para una muestra 40 Tabla Nº 1 Noción de Conservación de Número en los Alumnos de 5 años de la I.E. Nº 5011 Dario Arrus 41 Tabla Nº 2 Conceptos Básicos en los Alumnos de 5 años de la I.E. Nº 5011 Dario Arrus 41 Tabla Nº 3 Percepción Visual en los Alumnos de 5 años de la I.E. Nº 5011 Dario Arrus 42 Tabla Nº 4 Correspondencia Término a Término en los Alumnos de 5 años de la I.E. Nº 5011 Dario Arrus 42 Tabla Nº 5 Números Ordinales en los Alumnos de 5 años de la I.E. Nº 5011 Dario Arrus 43 Tabla Nº 6 Reproducción de Figuras y Secuencias en los Alumnos de 5 años de la I.E. Nº 5011 Dario Arrus 43 Tabla Nº 7 Reconocimiento de Figuras Geométricas en los Alumnos de 5 años de la I.E. Nº 5011 Dario Arrus 44 Tabla Nº 8 Reconocimiento y Reproducción de Números en los Alumnos de 5 años de la I.E. Nº 5011 Dario Arrus 44 Tabla Nº 9 Cardinalidad en los Alumnos de 5 años de la I.E. Nº 5011 Dario Arrus 45 Tabla Nº 10 Solución de Problemas Aritméticos en los Alumnos de 5 años de la I.E. Nº 5011 Dario Arrus 45 Tabla Nº 11 Conservación en los Alumnos de 5 años de la I.E. Nº 5011 Dario Arrus 46 Tabla Nº 12 Habilidades de Pre Cálculo en los Alumnos de 5 años de la I.E. Nº 5011 Dario Arrus 46 Tablas de Contingencia 47 Tabla 13 Noción de Conservación de Número según conceptos básicos 47 Tabla 14 Noción de Conservación de Número según percepción visual 47 Tabla 15 Noción de Conservación de Número según correspondencia término a término 48 Tabla 16 Noción de Conservación de Número según números orginales 48 Tabla 17 Noción de Conservación de Número según reproducción de figuras y secuencias 49 Tabla 18 Noción de Conservación de Número según reconocimiento de figuras geométricas 49 Tabla 19 Noción de Conservación de Número según solución reconocimiento y reproducción de números 50 Tabla 20 Noción de Conservación de Número según cardinalidad 51 Tabla 21 Noción de Conservación de Número según solución de problemas Aritméticos 51 Tabla 22 Noción de Conservación de Número según conservación 52 Figuras - Distribución de Frecuencia Figura Nº 1 Noción de Conservación de Número 53 Figura Nº 2 Conceptos Básicos 53 Figura Nº 3 Percepción Visual 54 Figura Nº 4 Correspondencia Término a Término 54

5 5 Figura Nº 5 Números Ordinales 55 Figura Nº 6 Reproducción de Figuras y Secuencias 55 Figura Nº 7 Reconocimiento de figuras geométricas 56 Figura Nº 8 Reconocimiento y Reproducción de Número 56 Figura Nº 9 Cardinalidad 57 Figura Nº 10 Solución de Problemas Aritméticos 57 Figura Nº 11 Conservación 58 DISCUSIÓN, CONCLUSIONES U SUGERENCIAS Discusión 59 Conclusiones 62 Sugerencias 64 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

6 1 INTRODUCCION La presente investigación tiene como propósito indagar la conservación de números y las habilidades de pre-cálculo en niños de 5 años de una institución educativa del Callao. La investigación parte de la problemática educativa en cuanto a la deficiencia del desarrollo de habilidades de pre-cálculo en muchos niños pre escolares que, por asistir a una institución de educación inicial de 5 años, deben desarrollar estas habilidades para continuar el siguiente nivel educativo de manera adecuada y óptima. Se ha querido demostrar en qué medida esta variable tiene relación con la conservación de números. La realidad educativa nos ha demostrado que muchos de nuestros niños tienen dificultades en el pre-cálculo, razón que motivó el desarrollo de la presente investigación, sobre todo en las siguientes dimensiones: conceptos básicos, percepción visual, correspondencia término a término, números ordinales, reproducción de figuras y secuencias, reconocimiento de figuras geométricas, reconocimiento y reproducción de números, cardinalidades, solución de problemas aritméticos y conservación, propiamente dicha. La importancia y relevancia de la investigación radica en que se demuestra científicamente la relación entre la conservación de números y las habilidades de pre cálculo en niños y, a partir de ella, los docentes podrán orientar sus actividades pedagógicas en el desarrollo de las habilidades de pre-cálculo al comprenderse que, en este caso, no existe relación directa. Con esto se corrobora el supuesto que los niños de 5 años no han desarrollado de manera sólida la conservación de números y, es a partir de este conocimiento que los docentes de Educación Inicial podrán diseñar su currículo para elevar los índices de desarrollo de las habilidades para el pre-cálculo, con estrategias diversas.

7 2 Marco teórico Una de las teorías conocidas, desarrolladas y aplicadas a la educación Inicial es la de Jean Piaget sobre la noción de número en el niño pre escolar. Si bien hay otras teorías que, en la actualidad no son muy difundidas, por ejemplo: Freud: Importancia de la infancia en el desarrollo de la personalidad posterior. Fase oral (hasta 1 a), anal (1 a 3 a), falica-edipica (3-5 a), latencia (6-12 a), genital (11-12 en adelante). Neurosis como resultado de inabilidad de resolver conflictos y sentimientos agresivos y libidonosos hacia los padres. Mahler: Teoría de separación-individuación. Eriksson: Fases a lo largo de todo el ciclo vital. Para efectos de la presente investigación se toma la teoría del cognitivismo, es decir la teoría de Piaget, la misma que sustenta el trabajo. Piaget: El desarrollo del pensamiento La construcción del pensamiento no es únicamente un problema lógico. Hay que tener presente que el sujeto se acerca al conocimiento como persona que tiene una historia, afectos y sentimientos. Por lo tanto, enfrentarse a una situación problemática no solo se resuelve con procesos lógicos, sino que también involucra y despierta deseos, sentimientos, relaciones con experiencias previas, etc. En el proceso del conocimiento influyen circunstancias personales, entre ellas, el ambiente familiar y social que rodea al niño. Las niñas y los niños responden a las situaciones de acuerdo a sus historias personales. Este factor influye en la movilización o inhibición del pensamiento y de la voluntad.

8 3 Las relaciones lógico matemáticas El conocimiento lógico-matemático se convierte en un elemento de fundamental importancia para el desarrollo del pensamiento en los niños. El objetivo que debe perseguir el docente es que sean intelectualmente curiosos, que estén interesados en el mundo que los rodea, que tengan iniciativas sin temor a equivocarse; en definitiva, que sepan pensar por sí mismos y que en este proceso hagan su pensamiento más lógico y adecuado a la realidad. Según Albuja (1999), a través de la manipulación de objetos, la niña y el niño forman conceptos nuevos y más precisos, que les permiten además de conocer cada objeto individualmente y distinguirlo de otros establecer las primeras relaciones entre ellos. El objetivo se logrará por la natural curiosidad que tienen los estudiantes frente a las cosas nuevas, así como por el juego de repetición, lo cual les posibilita consolidar los conocimientos adquiridos. Por ello, el docente siempre debe recurrir a actividades basadas en la manipulación y la repetición, pues la experiencia propia es la que ayudará a niños y niñas en su manera de aproximarse al mundo exterior y a establecer relaciones entre sus diversos elementos. Estadios del desarrollo del pensamiento 1º El pensamiento pre-lógico en transición Basando el enfoque en la epistemología genética, el concepto de número propiamente dicho, se instaura recién después de que el sujeto pasa del simple hecho de las series numéricas, al significado de cada uno de sus componentes. Es decir, que el momento en que el niño, habiendo llegado a hacer móviles las evaluaciones intuitivas del comienzo, alcanza el nivel de la operación reversible, se vuelve simultáneamente capaz de incluir, seriar y enumerar (Piaget, 1987). Los niños de 5 años se encuentran aún en un proceso de organización de sus estructuras mentales pre-lógicas. Lo que significa que todavía no son capaces de resolver algunas operaciones que requieren de esquemas mentales más complejos,

9 4 como los que se requieren para las operaciones de multiplicación, por ejemplo. Cuando el niño ha establecido la correspondencia entre varios grupos, tarde o temprano se dará cuenta de esta multiplicación y la usará como una operación explícita (Piaget, 1987). Recién en este momento comprenderá que la multiplicación es la repetición de n veces un determinado número y, su resultado, también podría ser el resultado de una suma en n veces el mismo número, aunque la mecánica de la operación haya sido enseñada en el colegio. Si bien en los niños de 5 años no se cumple con el completo desarrollo del pensamiento concreto, sin embargo, se puede ya decir que tienen un pensamiento lógico abstracto en transición, o lo que Piaget denominaría abstracción reflejada (o reflexiva). Con esto se refiere al proceso de integración de las actividades cognitivas existentes hacia nuevas formas. El proceso constructivo general de las matemáticas ha servido para construir el álgebra desde la aritmética, como un conjunto de operaciones en operaciones. Entre las principales características del pensamiento preoperatorio según Piaget, citado por Schiavello (s.f.) se tienen: Irreversible: Selecciona y atiendo preferentemente a un sólo aspecto de la realidad, no siendo el niño capaz de coordinar diferentes perspectivas y/o compensar varias dimensiones de un objeto determinado. Egocéntrico: Tendencia espontánea de los niños de percibir por visiones globales y por esquemas subjetivos, de encontrar analogías entre objetivos y sucesos sin que haya habido un análisis previo. Razonamiento no deductivo que pasa intuitivamente de una premisa a la conclusión. Sincrético: Es el fenómeno según el cual el niño es incapaz de hacer de un relato o de una explicación un todo coherente y tiene, por el contrario, la tendencia a pulverizar el todo en una serie de afirmaciones fragmentarias e incoherentes.

10 5 2º La llegada del pensamiento concreto Esta estructura mental puede producirse en diversos niveles de abstracción. En el período de desarrollo que concierne a niños, las estructuras previas, presuponen el poder realizar clases de objetos, a través de las agrupaciones, y sus relaciones entre unas clases y otras (clasificación por diversos criterios: tamaño, forma, etc.). Como la teoría de Piaget lo manifiesta, el aprendizaje es un proceso que se produce internamente, pero con ayuda de las relaciones que el sujeto establece con su entorno. En este periodo en transición, los estudiantes han de requerir el apoyo de material concreto que le permita comprender la relación existente entre el número y la cantidad expresada en él: concepto de número. Así tanto las condiciones sociales (el intercambio regulado de informaciones entre pares y con adultos) como las condiciones de experiencia física (manipulación de objetos), etc., las serán las que determinen el perfeccionamiento de lo que la maduración hace solamente posible (Piaget, 1988), mediados por el lenguaje, como una forma de intercambio de experiencias y de facilitar los procesos metacognitivos. Noción de conservación Según el enfoque de la epistemología genética se identifica al estadio de operaciones concretas cuando la sucesión de números se constituye gracias a operaciones consistentes simultáneamente en sumar de manera inclusiva (clase) y ordenar (seriación) con la operación inversa, que procura la conservación del todo (Piaget, 1988). Piaget (1987) también describe cómo el pensamiento infantil cambia a través del tiempo, describiendo su génesis a partir de las estructuras que continúan desarrollándose a lo largo de la vida escolar, acrecentando de esta manera la comprensión sobre las relaciones entre objetos y promoviendo el desarrollo de

11 6 nuevas estructuras mentales, dado por el proceso de equilibración cognitiva, que comprende las funciones invariantes de organización y adaptación. Esta última, opera a través de los procesos que Piaget denomina como asimilación y acomodación. Este concepto tiene un origen biologicista, donde se entiende a la asimilación como la forma en que un organismo se enfrenta a algo nuevo, en términos de su actual organización. Toda necesidad tiende a incorporar las cosas y las personas a la actividad propia del sujeto, y por consiguiente, a asimilar el mundo exterior a las estructuras ya construidas (para) acomodarlas a los objetos externos (Piaget, 1988). Acomodación se refiere a la modificación de esa anterior organización en respuesta a las nuevas demandas, generándose una reestructuración cognitiva y el consiguiente aprendizaje. El proceso regulador entre asimilación y acomodación, es llamado por Piaget equilibración (Piaget, 1988). Este proceso es considerado, desde el punto de vista pedagógico, como un proceso mismo de aprendizaje, puesto que la búsqueda del equilibrio es lo que lleva a conocer nuevas cosas y a utilizarlas, por ejemplo, las estrategias cognitivas en la resolución de problemas. Las estructuras lógicas no se constituyen sino poco a poco en el transcurso del desarrollo del niño, en conexión con el lenguaje y, sobre todo, con los intercambios sociales (Piaget, 1988). De acuerdo a la teoría la noción de conservación no solamente representa un atributo crucial en sí mismo, sino que es justamente el concepto que señala una importante fase en el desarrollo cognitivo del niño: el paso desde el pensamiento prelógico al lógico. La capacidad de conservar revela la habilidad para reconocer que ciertas propiedades como número, longitud, sustancia, permanecen invariables aun cuando sobre ellas se realicen cambios en su forma, color o posición. Según Escalante y Molina (1998), en la conservación de número, por ejemplo, dos filas paralelas de monedas se colocan frente al niño. Después que el niño afirma que cada fila contiene el mismo número de monedas, éstas son separadas en una fila y aproximadas en la otra. Luego se pregunta al sujeto si ambas filas contienen el mismo número. En tareas de volumen, la misma cantidad de agua existe cuando es

12 7 vertida desde un recipiente alto y cilíndrico hacia uno plano. Los niños capaces de comprender el principio saben que, a pesar de las transformaciones, el número de monedas o la cantidad de líquido sigue siendo el mismo. En ese sentido, las tesis piagetianas han tratado de ser demostradas en numerosos trabajos originales y replicaciones. Algunos estudios se orientan a la validación de una secuencia inalterable en la adquisición de las diferentes conservaciones (sustancia-peso-volumen) tal como el propio Piaget lo señalara. La mayoría de tales investigaciones sostienen la hipótesis de una aparición secuencial de las conservaciones (la noción de sustancia es adquirida antes que la de peso y esta, a su vez, debe ser previa a la de volumen) pero no ha sido fácil confirmar los períodos etarios particulares que Piaget especifica. En cuanto a los estadios postulados en la adquisición de cada tipo de conservación (estadio de noconservación, estadio transicional y conservación completa) aunque han podido ser identificados en las diferentes subclases de conservación, no siempre han resultado claramente definidos (Lovell y Ogilvie, 1961). Esta secuencia invariable, conocida como décalage horizontal (Piaget e Inhelder, 1962) se la entiende como las repeticiones que ocurren en un determinado período del desarrollo cognitivo que pueden ser descritas así: Una estructura cognitiva, característica de un nivel cognitivo dado puede ser exitosamente aplicada a una tarea X pero no a una tarea Y. Un año más tarde, la tarea Y es resuelta. Las operaciones cognitivas previamente empleadas en la conservación de sustancia, está adquiriendo al mismo tiempo una serie de operaciones cognitivas que posteriormente empleará en la solución de tareas relacionadas con la conservación de peso. Al respecto, la idea de décalage tiene en Piaget dos dimensiones: si el niño domina la noción de conservación en un nivel (sustancia, por ejemplo) y no puede transferir o generalizar inmediatamente a otro nivel cognitivamente consecutivo (peso, por ejemplo) entonces se habla de décalage horizontal. Lo de "horizontal" se refiere a la incapacidad de transferencia inmediata entre operaciones que pueden estar presentes en edades muy próximas. Por otro lado, si el niño puede solucionar problemas en el plano de la acción, las soluciones debe luego re-aprenderlas para ser actualizadas en el plano verbal. Para un niño entre la etapa intuitiva y la de

13 8 operaciones concretas, el nivel de la acción suele estar más avanzado que el del pensamiento verbal. Esto es décalage vertical. Y lo de "vertical" se refiere a una escala etaria ascendente: lo que el niño sabe o aprende a los 7 años en el plano de la acción, debe reestructurarlo a los 11 en el plano del pensamiento (Escalante, 1991). Por lo demás, en la adquisición de las nociones de conservación hay pasos definidos que pueden ser observados en el esquema de respuesta de los niños. El estadio de no-conservación se caracteriza por centramientos en las dimensiones perceptuales más simples del estímulo (la longitud o la anchura). En el estadio intermedio deben aparecer las llamadas regulaciones intuitivas: el niño empieza a considerar dos dimensiones perceptuales, pero no puede razonar simultáneamente sobre ambas ni reconoce que los cambios producidos en una dimensión cancelan los cambios en la otra. A estas alturas lo normal es observar en él ciertas contradicciones, que en lugar de suponer deficiencias, en realidad son indicadores de que la adquisición de la noción está próxima. Finalmente, el estadio final -o de conservación completa- se caracteriza por la aparición de las operaciones lógicas de identidad, compensación e inversión. Consecuentemente, Escalante y Molina (1998) agregan que el nivel de habilidad presente para un determinado tipo de sustancia no necesariamente garantiza su generalización a otros materiales. De otro modo: el niño que resuelve problemas de conservación con la clásica tarea de la bola de plastilina no resuelve problemas planteados con sustancias diferentes. De modo que el décalage horizontal parece ocurrir con un cierto tipo de material, pero no es evidente cuando se varía el contenido de las tareas. Siendo así, resulta sensato esperar cierta interdependencia entre edad, tipo de conservación y clase de material empleado.

14 9 Evolución de la conservación Respecto a la evolución de la conservación (Piaget e Inhelder, 1962) precisan lo siguiente: 1) Primera etapa: no conservadores. Cuando se realiza alguna transformación perceptiva sobre uno de los objetos y el niño piensa que la relación cuantitativa que existía entre ellos ha cambiado. 2) Segunda etapa: intermedia. Unas veces conservan y otras no, dependiendo de lo llamativa que sea la transformación desde el punto de vista perceptivo. Si la transformación perceptiva es pequeña dan respuestas de conservación, si es grande y llamativa dan respuesta no conservadoras. Retorno empírico. 3) Tercera etapa: conservadores. Comprenden que la relación cuantitativa entre los objetos no varía independientemente de todas las transformaciones perceptivas que se realice sobre ellos. Dan tres tipos de argumentos o justificaciones de la conservación: a) Reversibilidad inversa: es la misma cantidad porque si volviéramos a la situación inicial se comprobaría que hay lo mismo. b) Compensación de dimensiones o Reversibilidad recíproca: un objeto puede ser más largo pero también es más delgado, por tanto hay la misma cantidad. c) Identidad de la sustancia: sólo ha cambiado la forma, pero no se ha quitado ni añadido nada, por lo tanto la cantidad es la misma.

15 10 Pre cálculo Problemas de pre-cálculo En el periodo de desarrollo del pensamiento concreto, en un modelo ideal, el niño debiera pasar de la manipulación de objetos (incluyendo los propios dedos, aunque no son objetos externos a él) hacia la ausencia de apoyo de objetos manipulativos. Sin embargo, varios estudios (Moody, Abell & Bausell, 1971) sobre la importancia del uso de elementos manipulativos, tienen resultados encontrados, puesto que al menos cuatro de quince estudios realizados en nivel pre-escolar (inicial) han reportado diferencias significativas favorables en el grupo que sí utilizó manipulativos y los que no lo hicieron; por otro lado, Fennema (1972) encontró que de cuatro estudios realizados, uno de ellos no reportó ninguna diferencia a favor de los manipulativos y, de siete nuevos estudios, tres reportaron datos mixtos. La resolución de problemas tanto de precálculo como de cálculo (operaciones aritméticas básicas), requiere aún de algún objeto manipulativo, puesto que lo que se busca es observar las estrategias intuitivas, bajo el supuesto de que todavía se requieren apoyos concretos en la resolución de problemas de cálculo. La enseñanza de estrategias de resolución de problemas Un gran número de estudios ha mostrado que los buenos resolutores de problemas se caracterizan por disponer de un conjunto de estrategias generales o heurísticas que guían su acción y que les ayudan a superar las dificultades que van encontrando durante el proceso de resolución. Estas formas de actuación son más o menos constantes en la resolución de problemas difíciles y en los cuales no se domina el contenido específico del problema (Puig, 1993). Este hecho ha propiciado un conjunto de investigaciones que, a partir de la observación y el estudio detallado de las diferentes acciones que realizan los

16 11 expertos cuando resuelven problemas desconocidos o de una cierta dificultad, extraen las acciones y los procesos uniformes, constantes y generales que sirven para construir un modelo ideal o una actuación competente en resolver problemas. En estos modelos se definen un conjunto de procedimientos, habilidades y competencias necesarios para resolver un problema que, posteriormente, se estructuran en etapas o fases que facilitan su enseñanza aprendizaje. Si bien la mejora del proceso de resolución de problemas de los alumnos a partir de la enseñanza de las estrategias generales o heurísticas es ampliamente reconocida por la investigación especializada en este campo, también se ha cuestionado la manera en que esta enseñanza se ha puesto en práctica. Entre las principales críticas, y a su vez aspectos a tener en cuenta en el diseño de procesos de enseñanza-aprendizaje de estrategias de resolución de problemas, se destacan las cinco siguientes: En primer lugar, se trata de modelos formales construidos a partir de un a priori: el proceso ideal, conceptual o lógico de resolver problemas. De este modo, el proceso de resolución de problemas es tratado más como un proceso lógicomatemático que como un proceso de construcción personal, en el cual los factores de tipo cultural, social y cognitivo son también importantes (Alonso, González y Sáenz, 1998). Así pues, en el diseño de propuestas de enseñanza de estrategias generales de resolución de problemas será necesario incorporar aspectos contextuales como: características y conocimientos previos de los alumnos, adaptación del modelo de resolución a las características de los problemas a resolver, características de los profesores que van a impartir su enseñanza. En segundo lugar, el hecho de segmentar el proceso de resolución en fases o momentos para organizar y facilitar su enseñanza puede propiciar un aprendizaje de este proceso en el cual se ejecutan secuencias ordenadas y prefijadas de procedimientos aplicados algorítmicamente. De este modo, será necesario diseñar situaciones de enseñanza-aprendizaje que incorporen la toma de decisiones del alumno sobre los procedimientos más

17 12 adecuados y su secuenciación para dar respuesta a las características de una tarea concreta y evitar el aprendizaje lineal y algorítmico. En tercer lugar, a partir de un exhaustivo estudio de las características de los programas de instrucción de estrategias heurísticas de resolución de problemas, que en estos programas no se tiene en cuenta la enseñanza de estrategias más específicas y vinculadas al contenido del problema. Una estrategia heurística es una etiqueta que engloba todo un conjunto de estrategias más específicas; por lo tanto, su enseñanza debe comportar la instrucción de los diferentes procedimientos más específicos y relacionados con el contenido o la materia específica de que trata el problema. El conocimiento sobre cómo ajustar la estrategia general a las características del campo conceptual específico sobre el que versa el problema es un factor decisivo de la resolución de los expertos. En este sentido, nuestro estudio contextualiza la enseñanza de estrategias de resolución de problemas a un campo conceptual específico, la proporcionalidad, y combina la enseñanza de estrategias generales y específicas. En cuarto lugar, los programas de instrucción de estrategias heurísticas que incorporan la enseñanza de estrategias metacognitivas de gestión, planificación, regulación y evaluación de los procesos implicados en la resolución del problema obtienen mejores resultados. En quinto lugar, se destaca el importante papel que desempeña el profesor en el aprendizaje de estrategias generales de resolución de problemas. De este modo será necesario planificar la actuación del profesor en el proceso de enseñanzaaprendizaje. Básicamente, el profesor ha de desempeñar tres funciones en la enseñanza de estrategias de resolución de problemas: a) ha de facilitar el aprendizaje de estrategias, bien con su instrucción directa o bien con el diseño de los materiales didácticos adecuados; b) ha de ser un modelo de pensamiento para sus alumnos; y c) ha de ser un monitor externo del proceso de aprendizaje de los alumnos, aportando, en un primer momento, las ayudas necesarias que faciliten la ejecución por parte del alumno de determinadas actuaciones cognitivas que sin esta ayuda externa no podría realizar y que, en un segundo momento, irá retirando gradualmente a medida que el alumno sea capaz de utilizarlas de manera autónoma.

18 13 Para conseguir que el profesor realice estas tres funciones y facilite el aprendizaje de estrategias generales de resolución de problemas, tanto de tipo cognitivo como metacognitivo, y de estrategias específicas, es necesario estudiar e incorporar en un proceso de enseñanza-aprendizaje qué métodos de enseñanza pueden ser más apropiados para conseguir este objetivo, aspecto sobre el cual nos ocupamos a continuación. Conceptos básicos El lenguaje permite a los niños nominar objetos, describirlos, asignarles propiedades y comprender la información que recibe del mundo exterior. A través del lenguaje el niño descubre el mundo de los símbolos y, paulatinamente, éste va adquiriendo un papel más importante, llegando a representar y a sustituir a las acciones. Las matemáticas suponen una clase especial de símbolos que el niño debe comprender y manejar antes de solucionar problemas y, por lo tanto, es una forma particular de lenguaje en que los conceptos son comunicados a través de símbolos. A través del símbolo, el niño logra generalizar y unificar los conceptos, lo que lo conducirá posteriormente a la abstracción. En ese sentido, los conceptos que están específicamente ligados al lenguaje aritmético se relacionan con: - Cantidad - Dimensión - Orden - Relaciones - Tamaño - Especio - Forma - Distancia - Tiempo

19 14 Percepción visual A través de los procesos perceptivos los niños se relacionan con el ambiente y se ha dicho que la percepción es el puente entre el individuo y el medio que lo rodea. La percepción es un proceso activo por el cual se organizan los datos que entregan los sentidos en base a las experiencias previas con los objetos, formas, esquemas perceptivos de ellos, lo que permite su posterior reconocimiento en tareas bidimensionales. Por ejemplo, a un niño que ha jugado con triángulos tridimensionales le será más fácil reconocerlos cuando los ve dibujados. El máximo desarrollo de la percepción visual se alcanza entre los 31/2 y 7 años. A partir de este periodo, la percepción se va haciendo más precisa y específica, pudiendo el niño discriminar semejanzas y diferencias entre los estímulos físicos. El aumento del número de conceptos que el niño maneja como producto del rápido desarrollo del lenguaje que se produce entre el segundo y tercer año de vida, incide también en esta mayor precisión de la percepción, en la medida que se dispone de gran número de palabras para identificar los objetos y especificarlos. Correspondencia de término a término La correspondencia es una operación que se logra cuando el niño es capaz de aparear cada uno de los objetos de un grupo con cada uno de los objetos de otro grupo, teniendo los objetos de ambas colecciones una relación entre sí; por ejemplo, tazas y platos, flores y floreros. Esta operación, que inicialmente es puramente intuitiva, permite al niño hacer comparaciones entre dos grupos y reconocer cuándo hay igual número de objetos en ambos, logrando así el concepto de equivalencia de los grupos. En la etapa en que la correspondencia es intuitiva, el niño realiza las comparaciones en forma global, fundado en los aspectos perceptivos de las colecciones. Por esta razón, cuando varía la configuración perceptiva de las

20 15 colecciones, porque los objetos se agrupan o separan, el niño es incapaz de establecer la equivalencia de los grupos. Los niños pequeños hacen una equivalencia primitiva de los grupos de objetos ; juzgan según una impresión general de tamaño y de distribución en el espacio y no ven la necesidad de descomponer el grupo en sus unidades. Este método de comparación es vago, estático e irreversible, configurado por la totalidad perceptual. Sólo gradualmente el niño puede desprender las unidades de los accidentes de posición y verlas como unidades reales, que solamente difieren entre sí por sus posiciones relativas. En una etapa posterior, la correspondencia llega a ser realmente operativa, es decir, permanente y estable; pese a las variaciones perceptivas de las colecciones, el niño establece el concepto de equivalencia de la cantidad de objetos de las colecciones. En esta etapa, la correspondencia es una fuente importante para el aprendizaje del número, ya que, existiendo equivalencia duradera y estable de la cantidad de objetos en las colecciones, el niño puede calcular muy fácilmente la equivalencia de los conjuntos y llegar posteriormente a establecer la relación cantidad-símbolo numérico. Números ordinales Aun cuando los números ordinales no se enseñan sistemáticamente hasta Segundo o Tercer grado de educación primaria, pareció necesario incluirlos como un área del test en la medida que ellos son intuitivamente usados por los niños, muy tempranamente en su desarrollo; frases como Yo primero, Quédate al último, Juan es el segundo, nos muestran una aplicación correcta del número ordinal. En ese sentido, todos los sistemas numerales se caracterizan por tener un nombre y un símbolo para designar el número. Los números ordinales adquieren el nombre y el símbolo de los números romanos; en esta edad el niño no conoce el

21 16 símbolo, sino el nombre de algunos de los números ordinales, por ejemplo: primero, segundo, último. Mientras el número cardinal nos indica la magnitud de un grupo, por ejemplo al decir ocho, evocamos un conjunto que tiene como propiedad poseer ocho elementos, el número ordinal describe la relación de posición del número o de un objeto, en relación a los números precedentes. Así, cuando decimos él era el quinto, estamos aludiendo a que había cuatro sujetos antes que él y cuando decimos Pedro vive en el tercer piso aludimos al hecho de que hay dos pisos bajo el que habita. Para la comprensión de la ordinalidad es necesario tener la noción de seriación; ejercicios como pedir al niño que compare series organizadas y organice series, ya sea de mayor a menor, o bien de menor a mayor o a partir de un término cualquiera son apropiados para adquirir esta noción. Reproducción de figuras y secuencias Tradicionalmente la reproducción de figuras ha sido considerada un elemento importante para la evaluación del desarrollo infantil. Escalas como la de Bender, que consiste en la reproducción de figuras geométricas, han sido usadas para detectar deficiencias en la organización visoperceptiva que pueden generar dificultades en el aprendizaje escolar. Koppitz (1972) plantea que la correlación entre el test de Bender y los test de madurez para el aprendizaje es significativa. Esta misma autora afirma también que hay una correlación entre los puntajes de Bender y los rendimientos en aritmética. Posiblemente, la atención dada a los detalles para realizar el test de Bender tenga funciones similares al rol de la percepción de las letras y de los números para realizar las tareas académicas.

22 17 Reconocimiento de figuras geométricas En la descripción del área de Conceptos Básicos se hacía alusión a la importancia del lenguaje matemático en el desarrollo de la conceptualización y, en la descripción de la fundamentación teórica del área de Percepción Visual, se planteaba que la capacidad de reconocer y discriminar estímulos es esencial para el desarrollo de las tareas académicas. Esta área de reconocimiento de figuras geométricas pretende evaluar también la habilidad perceptivo-visual del niño, pero en el reconocimiento de las formas geométricas básicas. Supone por lo tanto un vocabulario geométrico y la asociación de los conceptos geométricos cuya evaluación contempla la prueba de precálculo. Reconocimiento y reproducción de números Los números son propiedades que asignamos a los conjuntos y que se refieren a la magnitud de ellos. Forman parte de un sistema numeral y tienen un nombre y un signo que los representan. Los signos para expresar los números se llaman numerales y se designan con una palabra del idioma correspondiente. Hay diez cifras simples o dígitos con los cuales se puede formar cualquier número, y ellos son: ; se los ha llamado dígitos porque se pueden poner en correspondencia con los dedos de la mano. Esta área del test consta de 13 ítems y evalúa la habilidad del niño para identificar, dentro de una serie, el número que le es nombrado. Cardinalidades Un número cardinal, por ejemplo, cinco, denota una colección de unidades que se reconocen como semejante, en algún sentido: cinco tazas, cinco lápices o cinco objetos cualesquiera. Es decir, el número es una propiedad del conjunto que indica su magnitud.

23 18 Que el niño cuente o reconozca algunos dígitos, no implica necesariamente que posee la idea del número, ya que ésta supone el pensamiento lógico. Algunos autores plantean que el logro de la idea de número y el pensamiento lógico van a la par, y que a una etapa pre-numérica corresponde una etapa de pensamiento prelógica. Tras el concepto de número se encuentra la posibilidad de establecer correspondencia y equivalencia, de manera que cuando el niño establece la equivalencia entre dos conjuntos, quiere decir que establece que ambos poseen la misma propiedad numérica. El niño debe ser capaz de contar los objetos de un conjunto y percibir que se mantienen idénticos, pese a que las unidades de él se distribuyan de una u otra manera, ya sea que las ubique próximas o separadas, o que las agrupe de diferentes formas. El niño avanza paulatinamente en cuanto a la construcción del concepto de número, llegando a ser éste un concepto de tipo operativo e invariado, que no cambia a pesar de las variaciones que se introduzcan en la relación de los elementos del conjunto. Solución de problemas aritméticos Cuando se ha llegado al concepto de número, comienza a ser posible la realización de operaciones simples con ellos. Una operación es una acción interiorizada, es decir, un proceso a través del cual se realiza una manipulación no ejecutada concretamente. Toda operación supone una acción en tres tiempos, y el niño debe poder representar estos tres estados: los datos, la operación y el resultado. Cuando un niño resuelve un problema, realiza una operación concreta y la traduce en una solución aritmética, operación que supone comprensión del enunciado

24 19 8agregar, quitar) y un razonamiento que es la búsqueda de la operación (sumar, restar). El número pasa a tener propiedades de reversibilidad y de invarianza, de tal modo que las manipulaciones que se hacen con ellos pueden ser invertidas, permaneciendo siempre la cantidad constante; es decir, el número se conserva a través de ellas. Así, por ejemplo, un conjunto con cinco objetos sigue teniendo la propiedad cinco, aunque agrupemos los elementos en tres y dos o en cuatro y uno. En este sentido se puede decir que los números pasan a ser conceptos operativos en el pensamiento infantil, habiéndose desprendido de los aspectos puramente perceptivos. Conservación Es la noción que permite comprender que la cantidad permanece invariada a pesar de los cambios que se introduzcan en la relación de los elementos de un conjunto. Se dice que la noción de conservación es la base necesaria para toda actividad racional y requiere ser construida por el niño a través de un sistema de regulación interno que permita compensar las variaciones externas que puedan experimentar los objetos de las colecciones, siempre y cuando no se agregue ni quite nada. Por ejemplo, el niño deberá percibir que la cantidad de un líquido sigue siendo la misma aunque la trasvasijemos de un recipiente alto y delgado a uno bajo y ancho. De la conservación de sustancia se evoluciona a la conservación del número, que implica para el niño comprender que la cantidad es la misma aunque la presentación de los elementos se haga de diferente manera.

25 20 Antecedentes Investigaciones internacionales Escalante y Molina (1998) en Venezuela, reportan que, entre el conjunto de variables consideradas en torno al desarrollo de las nociones de conservación y, en general, en relación con la estructuración del desarrollo cognitivo, las más pobremente definidas han sido las ambientales (institución educativa, familia, barrio). El propio Piaget (1970) propuso una serie de consideraciones relevantes sobre la influencia de indicadores (sexo, familia) de este tipo en la adquisición y posterior desarrollo de las operaciones cognitivas. Reconoció la determinación que sobre todo el proceso ejercen los sistemas lingüísticos, muy particularmente en lo relativo a la emergencia del pensamiento lógico. Es necesario, sin embargo, plantear indagaciones dirigidas a establecer las experiencias particulares que pudieran facilitar -o retardar- la adquisición de conceptos particulares (peso de algunos objetos, por ejemplo), aspecto éste que no ha recibido la atención necesaria. Hacer generalizaciones acerca de la verdadera participación del ambiente en la articulación de los diferentes conceptos no es suficiente. Según el mencionado estudio, es obvio que en los trabajos de este tipo resulta muy difícil manipular ambientes y, por ello, no queda otra alternativa que emplear los que ya han sido creados. En el presente trabajo se observaron diferencias radicales entre dos ambientes socioeconómicos distintos. Examinar las diferencias entre ambos grupos de sujetos en términos experienciales conduce a las mismas conclusiones obtenidas en trabajos similares. Los aspectos derivados de los niveles de escolaridad analizados sugieren que los niños del medio rural están positivamente en desventaja comparados con los del medio urbano, tanto en términos de la "calidad" de la instrucción recibida como en relación a la experiencia fáctica y social general obtenida. El único problema es que no es del todo viable establecer la naturaleza real de tales desventajas. Siles (2006) en una investigación efectuada en Bolivia sobre pre cálculo, al observar las similitudes en las respuestas de los sujetos que conformaron la muestra de estudio se comprueba la presencia de las nociones de pre cálculo, como paso previo necesario para la instauración del concepto de número. Tanto lo referido al

26 21 conocimiento de los términos (grande, pequeño, lejos, cerca, antes, después, primero, último, etc.), como de las relaciones que ellos establecen de correspondencias, clasificaciones, seriaciones y conservación de la cantidad. En general, con excepción del significado de la palabra que no comprendieron en ninguno de los dos grupos y fue cambiado por todos los demás términos que indican nociones topológicas y temporales, no representaron interferencia. De la misma forma, en la resolución de problemas de adición y sustracción, se observan respuestas muy similares, lo cual evidencia su conocimiento de los números cardinales menores a 100. Según el estudio, existe una relación de correspondencia entre las nociones de pre cálculo y la capacidad que demuestran, todos los sujetos observados, para resolver los problemas de adición y sustracción. Sin embargo, en ambos grupos, los sujetos dieron respuestas únicamente aproximadas a sus estructuras pre-existentes, en lo referido a las operaciones de multiplicación y división. Consecuentemente, se asume que el concepto de número está en pleno desarrollo. Un hallazgo significativo en esta investigación, es el referido a las estrategias con conteo de unidades (sea con la vista, con los dedos o con las monedas) que utilizaron en cinco ocasiones en el Grupo de control y en siete ocasiones en el Grupo experimental, que se asumen como una interferencia, o lo que se puede denominar como una estrategia intuitiva limitante. Se ha observado que al hacerlo tienden a perder la cuenta y errar en el resultado, sobre todo cuando se trata de operaciones con cantidades mayores a la decena. En su investigación, Zaldívar y Sosa (2000), en Cuba, hallaron que desarrollar el pensamiento de los estudiantes a través de la enseñanza no puede reducirse al trabajo con la consecutividad o logicidad del mismo. El desarrollo del pensamiento lógico no satisface todas las exigencias que en cuanto a desarrollo del pensamiento la sociedad le pone a la educación, también debemos estimular el desarrollar la fluidez, la flexibilidad, la profundidad, etc. Desarrollar el pensamiento como proceso implica atender a la manifestación de todas sus particularidades. Estimular el desarrollo de las particularidades del pensamiento desde el proceso de enseñanza aprendizaje exige tener en cuenta el nivel de enseñanza para el que trabajamos y por ende el tipo de pensamiento que tratamos de formar en nuestros estudiantes. No se

27 22 diseñan las mismas actividades para estimular el desarrollo del pensamiento empírico que el teórico. Las manifestaciones del desarrollo de las particularidades del pensamiento varían dependiendo del tipo de pensamiento que se está formando en los alumnos. Pérez (2006) en un estudio efectuado en México respecto al aprendizaje de las matemáticas en niños, concluye que el conocimiento en el área es entendido por el docente como un desarrollo de capacidades y destrezas. En este sentido, con la información estadística obtenida se puede concluir que esta forma particular de actuar en el aula, guiada por la información de los mapas conceptuales que el profesor elabora, contribuye a desarrollar la cognición en el estudiante. La puesta en marcha de procesos inductivos y deductivos implícitos en las matemáticas desarrolla la ejecución intelectual: el pensamiento. Las aportaciones de los estudiantes, en los diferentes instrumentos, en torno a lo que han aprendido, proporcionan una evidencia de ese desarrollo. Según el estudio, el docente, al iniciar los temas del curso con información particular y apoyándose en representaciones gráficos e imágenes para llegar a los conceptos genera en el aula una atmósfera que propicia las actividades mentales en los estudiantes. Los estudiantes no se concretan en ser observadores pasivos, desde un principio perciben, representan y conceptualizan. Esto a su vez genera motivación entre ellos. Los comentarios de los alumnos muestran una evidencia de la motivación como motor para el desarrollo de capacidades y destrezas. El alumno tiene un aprendizaje significativo al construir la estructura cognitiva, es decir, al desarrollar el pensamiento. Este desarrollo se obtiene al vincular la nueva información a los conceptos que ya se tienen: cuando el aprendiz encuentra sentido a lo que aprende. Gracias a la guía que los mapas conceptuales proporcionan al docente, los procesos implicados en su construcción proceso inductivo entendido como un Aprendizaje Subordinado y el proceso deductivo entendido como un Aprendizaje Supraordenado contribuyen al desarrollo cognitivo. Chavarría (2002) en su investigación sobre el conocimiento matemático de los niños preescolares antes y después de ser expuestos al uso de la tecnología como apoyo didáctico, da cuenta que los niños tuvieron un tiempo limitado en el uso de la

28 23 computadora que los expuso a las actividades matemáticas. Además no existe diferencia significativa en el conocimiento matemático de los niños de 4 años antes y después de ser expuestos a un programa de computación sobre conceptos matemáticos. Por tanto existe suficiente evidencia de que un ambiente de aprendizaje que utiliza componentes tecnológicos, como el caso de un programa computacional acerca de conceptos matemáticos puede aumentar el conocimiento matemático de niños de 4 años de edad. Se encontró, además, una diferencia en el conocimiento matemático de los niños de 4 años antes y después de ser expuestos a un programa sobre conceptos matemáticos. Además, hay diferencia entre el grupo control y el experimental en los dos países, con relación a los puntajes del pre-test y el post-test. El puntaje del pretest entre el grupo control y el experimental no varió, pero el puntaje del pos-test si fue diferente. Investigaciones nacionales Huerta Camones (2001) en su investigación sobre adquisición de conceptos y destrezas de pre cálculo en niños concluye que el rendimiento alcanzado por los sujetos muestreados se ubica por encima del término medio, tanto en la prueba de pre cálculo como en al de Lógico-Matemática, siendo éste irregular y diferencial. Los sujetos varones evidencian un mayor rendimiento que las mujeres en las pruebas aplicadas, existiendo diferencias significativas. Existe correlación significativa entre las áreas: números ordinales, reconocimiento de figuras, solución de problemas y conservación de la prueba de pre cálculo con el nivel de logro de competencias en el área Lógico-Matemática. Según el estudio, no existe correlación significativa entre las áreas: conceptos básicos, percepción visual, correspondencia término a término, reproducción de figuras, reconocimiento de números y cardinalidad de la prueba de pre cálculo con el nivel de logro de competencias en el área de Lógico-Matemática. Asimismo, la muestra estudiada presenta un mayor desempeño a nivel de competencias conceptuales que procedimentales.

29 24 Por su parte Apaza (2004) en una investigación sobre el uso de cuadernos de trabajo para mejorar las capacidades matemáticas, concluye que, mediante el uso de los cuadernos de trabajo se obtiene un mejor logro de capacidades en el área de Lógico Matemática en los niños del primer grado. La estructura de los cuadernos de trabajo es asimilado con facilidad por los niños de la muestra lo que coadyuva en el logro de capacidades. Los niños y niñas utilizan los cuadernos de trabajo logrando óptimos resultados en el logro de capacidades en el área de lógico matemática. Maldonado (2008) en su investigación sobre la motivación lúdica y su influencia en el aprendizaje del área Lógico-matemático de niños de 5 años halló que a mayor motivación lúdica, mayor el aprendizaje en esta competencia educativa. Así, con la T de Student, comparación de medias, se tiene una media aritmética en el post test (G.E.) lo que indica que casi el 100% de los niños han logrado desarrollar sus capacidades en el área de Lógico matemática gracias a la intervención del Módulo de Motivación Lúdica. En cambio, en el Grupo Control se observa una media aritmética de 73,529, lo que indica que solamente el 74% de los niños han logrado desarrollar sus capacidades en dicha área. Martínez (2003) en un estudio efectuado sobre la planificación de estrategias para la enseñanza de la matemática en niños reporta que la influencia de la planificación de estrategias para la enseñanza de la matemática planteada inicialmente, evidencia la necesidad de planificar estrategias adecuadas para una enseñanza de calidad, porque ha quedado separada de la realidad del sistema educativo, adaptándose en una problemática de gran magnitud, por cuanto las herramientas o medios para motivar al educando en su desarrollo del pensamiento lógico (procesos mentales para el razonamiento) no conlleva a obtener una información clara y precisa en la forma de decisiones así mismo incorporar valores y desarrollar actitudes en el alumno. En este sentido, a partir de la situación planteada y en función de esta investigación se concluyó dándole respuestas específicas a los objetivos, a fin de demostrar las respuestas a las interrogantes de investigación, en este orden el primero de los objetivos específicos implica explicar la importancia de la planificación