PROBABILIDAD Métodos Estadísticos Aplicados a las Auditorías Sociolaborales

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1 PROBABILIDAD Métodos Estadísticos Aplicados a las Auditorías Sociolaborales Francisco Álvarez González REPASO DE COMBINATORIA VARIACIONES ORDINARIAS Características : No se pueden repetir los elementos El orden de colocación de los elementos tiene influencia. VARIACIONES CON REPETICIÓN Características : Se pueden repetir los elementos El orden de colocación de los elementos tiene influencia. COMBINACIONES ORDINARIAS Características : No se pueden repetir los elementos El orden de colocación de los elementos no influye. NOTA : Factorial de un número n n! n.(n-).(n-) ! ! SUCESOS ALEATORIOS Número : Número : Número : V n, p n, p n! ( n p)! VR n C n, p p n p n! p!.( n p)! EXPERIENCIA ALEATORIA es aquella que no está sometida a una ley concreta. Su ocurrencia sólo depende del azar. ESPACIO MUESTRAL (E) es el conjunto de las posibles ocurrencias (sucesos elementales) de una experiencia aleatoria. SUCESO ALEATORIO es cualquier subconjunto o parte del espacio muestral. OPERACIONES : UNIÓN DE SUCESOS A B A o B INTERSECCIÓN DE SUCESOS A B A y B SUCESO CONTRARIO A no A SUCESOS ESPECIALES : SUCESO SEGURO E siempre se verifica SUCESO IMPOSIBLE φ nunca se verifica SUCESOS COMPATIBLES A B φ tienen algo en común SUCESOS INCOMPATIBLES A B φ no tienen nada en común EJEMPLO : Lanzar un dado es una experiencia aleatoria (nunca podremos asegurar el valor que se obtiene al lanzarlo). El conjunto de las posibles ejecuciones constituye el espacio muestral E {,,, 4, 5, 6 }. A { salga cifra par } {, 4, 6 } B { ser múltiplo de } {, 6 } C { ser múltiplo de 5 } { 5 } PROBABILIDAD A B {,, 4, 6 } A B { 6 } A { salga cifra impar } {,, 5 } A y B son compatibles A B { } φ A y C son incompatibles A C φ DEFINICIÓN : Probabilidad es una ley que asocia a cada suceso un valor numérico, sometida a las siguientes condiciones : ª La probabilidad siempre estará comprendida entre 0 y : 0 Pr(A) ª La probabilidad del suceso seguro es igual a : Pr(E) ª Axioma de probabilidades totales : Si dos sucesos A y B son incompatibles ( A B φ ), se verifica que Pr(A B) Pr(A) + Pr(B) PROPIEDADES ELEMENTALES : I. Pr (A) - Pr(A ) II. La probabilidad del suceso imposible es igual a 0 : Pr(φ) 0 Probabilidad (F. Álvarez) -

2 REGLA DE LAPLACE : La probabilidad de un suceso es el cociente entre el número de situaciones en que puede presentarse dicho suceso y el número total de situaciones posibles. TEOREMA DE PROBABILIDADES TOTALES : Pr(A B) Pr(A) + Pr(B) - Pr(A B) Generalizando : Pr( A A A...) Pr( A ) Pr( A A ) + Pr( A A A )... i i j i j k Así, por ejemplo : Pr(A B C D) Pr(A) + Pr(B) + Pr(C) + Pr(D) - - Pr(A B) - Pr(A C) - Pr(A D) - Pr(B C) - Pr(B D) - Pr(C D) + + Pr (A B C) + Pr (A B D) + Pr(A C D) + Pr(B C D) - - Pr(A B C D) PROBABILIDAD CONDICIONADA. TEOREMA DE PROBABILIDADES COMPUESTAS : B/A suceso B condicionado al A ( ocurrir B habiendo ocurrido A ). Pr( A B) Pr( B/ A) Pr( A B) Pr( A).Pr( B/ A) Pr( A) Generalizando : Pr( A A A...) Pr( A ).Pr( A / A ).Pr( A / A A ).... TEOREMA DE BAYES : Sean n causas independientes A i con probabilidades Pr(A i ) conocidas y sea B un suceso que puede presentarse en cada una de ellas, siendo conocidas las probabilidades Pr(B/A i ). Se verifica entonces que : Pr( Ak).Pr( B/ Ak) Pr( Ak / B) n Pr( A ).Pr( B/ A ) i i i - Probabilidad (F. Álvarez)

3 EJERCICIOS RESUELTOS Al extraer al azar una ficha del juego del dominó, calcular la probabilidad de que sume un número de puntos múltiplo de. En situaciones como la presente nos vemos obligados a desarrollar el espacio muestral, contando, posteriormente, las situaciones que se ajustan al problema (casos favorables). Probabilidad de sumar múltiplo de 9 / 8 0'4 Al lanzar al aire cuatro monedas, calcular la probabilidad de obtener al menos dos caras. En este caso podríamos contar las distintas situaciones, si bien puede efectuarse un desarrollo previo del espacio muestral : CCCC Se obtienen 4 caras CCC+ CC+C C+CC +CCC Se obtienen caras y cruz CC++ C+C+ C++C +CC+ +C+C ++CC Se obtienen caras y cruces C+++ +C++ ++C+ +++C Se obtienen cara y cruces ++++ Se obtienen 4 cruces Del total de 6 situaciones posibles, en de ellas se obtienen al menos dos caras. Así : Pr /6 0'6875 Sin proceder al desarrollo de todas las posibilidades : a) Situaciones posibles : VR,4 4 6 b) Se obtienen cuatro caras en solo caso Se obtienen tres caras en C 4, 4 casos Se obtienen tres caras en C 4, 6 casos 4 Una caja contiene seis bolas blancas, tres rojas y dos negras. Al extraer simultáneamente dos bolas de ella, calcular la probabilidad de que sean : a) las dos blancas b) las dos del mismo color Pr( a ) 9 0'77 Pr( b ) 0' Una caja contiene seis bolas blancas (B), tres rojas (R) y dos negras (N). Al extraer sucesivamente dos bolas de ella, calcular la probabilidad de que sean de distinto color: a) supuesta la extracción con devolución de la bola extraída b) supuesta la extracción sin devolución de la bola extraída Las posibles situaciones que se ajustan al problema son : BR, BN, RB, RN, NB, NR a) Pr ' 595 Probabilidad (F. Álvarez) -

4 b) Pr ' La siguiente tabla nos muestra la distribución del alumnado de un Centro en función del curso y del sexo. Hombre Mujer Seleccionado un alumno al azar, calcular la probabilidad º 5 5 a) de que sea mujer o estudie º º 0 0 b) de que no estudie º y sea hombre º 5 45 c) de que sea mujer sabiendo que no es de º a) b) c) 6 Pr ' 7 Pr ' Pr 0 0' 664 Al extraer simultáneamente tres cartas de la baraja española, calcular la probabilidad de que : a) todas sean de oros b) al menos dos sean figuras c) sean del mismo palo d) sean de distinto palo e) no sean del mismo palo a) Las tres de oros : 0' Probabilidad (F. Álvarez) 0 Pr Pr b) Dos figuras o tres figuras : 0' 09 c) Las tres de oros o de copas o de espadas o de bastos : Pr 0' Antes de efectuar lo solicitado en los apartados d) y e), veamos su diferencia. Ser de distinto palo significa que, por ejemplo, una sea de oros, otra de espadas y otra de bastos. No ser del mismo palo se presenta cuando, por ejemplo, dos son de oros y la otra de copas. El apartado d) se verifica al obtener : oro-copa-espada ; oro-copa-basto ; oro-espada-basto ; copa-espada-basto. El apartado e) es aconsejable resolverlo a partir del suceso contrario (ser del mismo palo) d) Pr 4. 0' e) Pr - Pr(ser del mismo palo) - 0'0486 0'954

5 7 Una rata se mueve libremente por los compartimentos dibujados en el esquema de la izquierda. Supuesto que parte inicialmente del identificado con el número, calcular : a) probabilidad de que alcance el compartimento 4, después de realizar tres desplazamientos. b) probabilidad de que alcance un compartimento par después de realizar tres desplazamientos, sabiendo que el primer desplazamiento lo hace al compartimento. a) Desplazamientos posibles Probabilidad Total - ; -5 ; ; - ; ; 4-5 ; ; 4- ; -4 Pr 0'48 b) Si observamos las distintas posibilidades, siempre se acaba en un compartimento par. La probabilidad es pues igual a. Si no se advierte tal circunstancia, el problema se traduce en alcanzar un compartimento par, partiendo del, en dos desplazamientos. Desplazamientos - ; - - ; - -5 ; 5- - ; -4 - ; -6-5 ; ; Pr La tabla nos muestra la distribución final del alumnado de Bachillerato. a) Hallar la probabilidad de que un alumno no apruebe todas las asignaturas o sea en la actualidad de º de BUP. b) Si un cierto alumno debe repetir curso, calcule la probabilidad de que actualmente sea de º de BUP. c) Preguntamos a los tres primeros alumnos que salen del Centro. Hallar la probabilidad de que sean del mismo curso. a) Pr ' 667 b) Pr 8 0' Probabilidad (F. Álvarez) - 5

6 Por las características del enunciado, puede pensarse en una aplicación del Teorema de Bayes. Resuelto por este método, el suceso B es repetir curso y los sucesos A, A y A, ser de º, de º y de º respectivamente. La probabilidad se calcularía : Pr( A) Pr( A) Pr( A) Pr( B/ A) Pr( B/ A) Pr( B/ A) 8. Pr( A / B) 0 8 0' c) Probabilidad de ser los tres de º o de º o de º : Pr ' Una experiencia consiste en lanzar una bola por el laberinto inclinado de la figura. Hallar la probabilidad de que : a) la bola no salga por B. b) la bola salga por C, sabiendo que pasó por la bifurcación. c) la bola pase por la bifurcación. Indicamos a-b el paso desde el nudo o bifurcación a a la b. a) Determinemos la probabilidad del suceso contrario (salir por B). Esto se produce si la bola realiza el recorrido ( - ; -4 ; 4-B ) o bien el ( - ; -5 ; 5-B ). La probabilidad pedida es : Pr( B ) Pr( B) '75 b) El camino recorrido será ( -5 ; 5-C ). La probabilidad pedida es : Pr. 05 ' c) Al salir de, la bola puede pasar por o por. La probabilidad pedida es : Pr 05 ' 0 Una fábrica funciona las 4 horas del día con tres turnos de 0 trabajadores cada uno. En el primer turno el 40 % son mujeres; en el segundo hay 8 mujeres y, en el tercero, sólo el 0 % son mujeres. a) Seleccionadas al azar dos fichas de empleados de la fábrica (de forma simultánea), determine la probabilidad de que pertenezcan a trabajadores del mismo turno. b) Tomamos una ficha al azar y corresponde a una mujer. Calcule la probabilidad de que sea la de una de las que trabajan en el turno º. Detallemos previamente el número de mujeres y hombres de cada turno, sabiendo que en total hay 0 : Turno º Turno º Turno º Mujeres 8 Hombres 8 7 a) Probabilidad de ser ambos del turno º o del º o del º : 6 - Probabilidad (F. Álvarez)

7 Pr 0' b) Nos encontramos en este caso en una aplicación del Teorema de Bayes. El suceso B que conocemos se ha presentado es B ser mujer. Tal suceso se puede dar o puede proceder del primer turno (A ), del º (A ) o del º (A ). 0 Pr( A) Pr( A) Pr( A) 90 8 Pr( B/ A) Pr( B/ A) Pr( B/ A) La probabilidad pedida es : Pr( A / B) 0 0' a) b) Disponemos de tres urnas con la distribución de bolas blancas y rojas indicada en el gráfico de la izquierda. Extraída una bola de una de las urnas, hallar la probabilidad de que sea blanca. Extraída una bola de una de las urnas resultó ser blanca, hallar la probabilidad de que proceda de la ª urna. a) La pregunta es preciso detallarla con mayor precisión. Se trata de elegir la ª urna y extraer bola blanca o seleccionar la ª y extraer bola blanca o seleccionar la ª y extraer bola blanca. Con esto, la probabilidad pedida será : 4 9 Pr ' b) Aplicación del Teorema de Bayes. El suceso B que conocemos se ha presentado es B ser blanca. Tal suceso se puede dar o puede proceder de la primera urna (A ), de la ª (A ) o de la ª (A ). Pr( A) Pr( A) Pr( A) 4 Pr( B/ A) Pr( B/ A) Pr( B/ A) La probabilidad pedida es : Pr( A / B) 5 4 0' Sería correcto, en este caso, resolver el problema en base al conocimiento simple de que la bola extraída es blanca. La probabilidad de que proceda de la ª urna (teniendo en cuenta que hay bolas blancas en la ª, 4 en la ª y en la ª) sería igualmente: 4 4 Pr( A / B) 0' Un arquero acierta en el centro de una diana en 7 de cada 0 lanzamientos. Calcule la probabilidad de dar en el centro de la diana si dispara 6 flechas. Al realizar los 6 disparos puede que dé en el centro de la diana,,..., 6 veces. Se trata de calcular la probabilidad de dar en el centro de la diana alguna vez. Es decir, lo contrario de no dar en ninguna ocasión. La probabilidad de dar en el centro de la diana, en cada disparo, es 7/0 0'7. La de no dar : /00'. Pr( dar algunavez) Pr( nodar) ' '9997 Probabilidad (F. Álvarez) - 7

8 En las pruebas de acceso a la Universidad, el 45% son alumnos de la opción A, el 0% de la B, el 0% de la C y el resto de la opción D. Se sabe que aprueban el 80% de los alumnos de la opción A, la mitad de los que cursaron las opciones C y D y el 60% de los de la opción B. Si un cierto alumno aprobó la prueba, calcule la probabilidad de haber cursado la opción C. Ejemplo clásico de aplicación del Teorema de Bayes. El suceso B que conocemos se ha presentado es B aprobar la prueba. Tal suceso se puede dar o puede proceder de la opción A (A ), de la B (A ), de la C (A ) o de la D (A 4 ). Pr( A) 0' 45 Pr( A) 0' 0 Pr( A) 0' 0 Pr( A4) 0' 5 Pr( B/ A ) 080 ' Pr( B/ A ) 060 ' Pr( B/ A ) 050 ' Pr( B/ A ) 050 ' 4 4 La probabilidad pedida es : '. ' 05 ' Pr( A / B) 0' 56 0' 45. 0' ' 0. 0' ' 0. 0' ' 5. 0' 50 0' 645 En un examen de Psicología Matemática I se les proponen a los alumnos tres problemas (A, B y C), de los que han de elegir uno. La mitad de los alumnos eligen el problema A, y de éstos aprueban el 60%. El 0% eligen el B, suspendiendo el 5%. Por último, entre los que eligen el C aprueban el 0%. a) Considerando a todos los alumnos, cuál es la probabilidad de aprobar el examen?. b) Sabiendo que un alumno ha aprobado, cuál es la probabilidad de que haya elegido el problema A?. c) Sabiendo que un alumno suspendió, cuál es la probabilidad de que haya elegido el problema C?. El problema puede resolverse siguiendo dos procedimientos: º.- Utilizando propiedades del cálculo de probabilidades (especialmente el Teorema de Bayes). º.- Aplicando el puro y simple sentido común. Para ello es aconsejable exponer de forma clara los datos del problema: A B C Aprueban 60% de % de 0 5 0% de 0 6 Suspenden 40% de % de % de 0 4 TOTAL 50% 50 0% 0 0% 0 Método º : a) Pr(aprobar) Pr(elegir A y aprobar o elegir B y aprobar o elegir C y aprobar) b) Teorema de Bayes : Pr( A).Pr( aprobado / A) Pr( A / aprobado) Pr( A).Pr( aprobado / A) + Pr( B).Pr( aprobado / B) + Pr( C).Pr( aprobado / C) '. ' 00 ' 0' 58 0' 50. 0' ' 0. 0' ' 0. 0' ' c) Teorema de Bayes : Pr( C).Pr( suspenso / C) Pr( C / suspenso) Pr( A).Pr( suspenso / A) + Pr( B).Pr( suspenso / B) + Pr( C).Pr( suspenso / C) 000 '. ' 04 ' 07 ' '. ' '. ' '. ' 0' 45 Método º : a) Pr(aprobar) (0+ 5+6) / / b) Observando sólo los aprobados (en total 58 5) : Pr(A/aprobó) 0 / c) Observando sólo los suspensos (en total 4 5) : Pr(C/suspendió) 4 / La E.M.T. de Madrid dispone de 8 líneas de autobuses para ir de la ciudad al campus universitario. Calcular de cuántas formas puede un estudiante hacer el viaje de ida y vuelta, si : a) Los autobuses de ida y vuelta pueden ser de la misma o diferente línea. b) Los autobuses de ida y vuelta han de ser de diferente línea. c) Los autobuses de ida y vuelta han de ser de la misma línea. a) 8x8 64 (por cada línea de ida puede tomar las ocho de vuelta) b) 8x7 56 (por cada línea de ida puede tomar lsólo siete de vuelta) 8 - Probabilidad (F. Álvarez)

9 c) 8 (las ocho líneas) 6 Sabemos que de cada 0000 mujeres 5 sufren de daltonismo y 5 de cada 00 hombres también tienen la misma anomalía. Suponiendo que existe igual número de hombres que de mujeres, y que elegimos aleatoriamente de ésta una persona, cuál es la probabilidad de que sea varón, supuesto que sufre daltonismo?. Hombre Mujer Trabajamos sobre 0000 individuos Daltónico No daltónico Prob 500 / En un experimento de condicionamiento se sitúa a una rata en el centro de un laberinto como el de la figura. En cada uno de los ensayos la rata elige siempre uno de los tres caminos (A, B, C) con igual probabilidad (P(A)P(B)P(C)/). El suelo de cada uno de estos tres caminos es una rejilla eléctrica que dispensa una descarga (D) de 5V a la rata, una vez que lo ha pisado, con distinta probabilidad : ¾ para A, ¼ para B y 0 para C. En un determinado ensayo la rata no recibió la descarga eléctrica. Cuál es la probabilidad de que haya elegido el camino A?. Y el B?. Y el C? Teorema de Bayes. (B NO recibir descarga) P(A ) P(A) / P(B/A ) /4 P(A ) P(B) / P(B/A ) /4 P(A ) P(C) / P(B/A ).. PA ( / B) 4 05 ' PA ( / B) ' PA ( / B) 05 ' Puede resolverse sin necesidad de aplicar el Teorema de Bayes. Sobre un total de 00 salidas o movimientos de la rata, el problema plantea que sale 00 veces por cada camino (probabilidad /) recibe descarga : 75 veces en A (/4 de 00) ; 5 veces en B (/4 de 00) ; 0 veces en C Descarga SI Descarga NO Camino A Camino B Camino C Luego : Pr(Camino A / NO descarga) 5 / 00 0'5 Pr(Camino B / NO descarga) 75 / 00 0'75 Pr(Camino C / NO descarga) 00 / 00 0'5 8 Disponemos de dos métodos A y B para enseñar una cierta habilidad técnica. El 0% de los enseñados con el método A y el 0% de los enseñados con el método B no aprenden la mencionada habilidad. No obstante, el método B es más caro y se aplica sólo al 0% de las personas, mientras que el A se aplica al %. Una persona ha aprendido la habilidad, cuál es la probabilidad de que haya seguido el método A?. A B Trabajamos sobre 00 individuos Aprende 56 7 No aprende 4 Prob 56 / (56+7) Probabilidad (F. Álvarez) - 9

10 9 0 Cierto profesor tiene por costumbre guardar todos los calcetines (limpios)en un cajón y cada mañana elige consecutivamente al azar tres de ellos. Sólo tiene tres colores de calcetines: grises (G), azules (A) y blancos (B). Si en las tres primeras extracciones los tres calcetines son de diferente color, decide no ponérselos y se calza unas sandalias. Una mañana cualquiera tiene en el cajón 8 calcetines grises, 4 azules y 6 blancos. a) Cuál es el espacio muestral de que dispone ese profesor esa mañana?. b) Cuál es la probabilidad de que esa mañana salga a la calle con sandalias?. c) Es igual la probabilidad de que saque dos calcetines grises y uno azul que la de que saque dos grises y uno blanco?. Calcule ambas probabilidades. a) E { (GGG), (GGA), (GGB), (GAA), (GAB), (GBB), (AAA), (AAB), (ABB), (BBB) } b) Pr(GAB o GBA o AGB o ABG o BAG o BGA) ' c) Pr(G y A) Pr(GGA o GAG o AGG) ' Pr(G y B) Pr(GGB o GBG o BGG) ' Un profesor indeciso dispone de 5 problemas, de los que utilizará sólo dos, para elaborar un examen. Los tres primeros corresponden a la primera parte y los dos siguientes a la segunda. Tampoco tiene muy claro si dejar utilizar o no material didáctico a sus alumnos. Para resolver sus dudas utiliza una urna que contiene tres bolas rojas, numeradas del al, y dos blancas, numeradas con 4 y 5. Extrae al azar, y sin reposición, dos bolas. a) Cuál es la probabilidad de que los ejercicios sean de distinta parte?. b) Si los alumnos sólo pueden utilizar material cuando las bolas sean del mismo color, cuál es la probabilidad de que puedan utilizarlo?. a) Pr(RB o BR) /5 x /4 + /5 x /4 0 6 b) Pr(RR o BB) /5 x /4 + /5 x /4 0 4 (o bien, utilizando el apartado anterior : ) De los 50 alumnos matriculados en un determinado Centro Asociado en la asignatura de Psicología Matemática, 0 son varones. Para participar en un experimento de percepción visual, seleccionamos sin reposición a dos de ellos. Calcular, justificando adecuadamente su respuesta, la probabilidad de que : a) Los dos sean varones. b) Los dos sean del mismo sexo. c) Al menos uno sea mujer. NOTA : Representamos el término "y" por el símbolo intersección ( ) y el término "o" por el de la unión ( ). a) La extracción sin reposición modifica el grupo en las extracciones sucesivas. 0 9 Pr( Vº Vº ) Pr( Vº y Vº ) Pr( Vº ).Pr( Vº / Vº ). 0' b) Pueden ser los dos varones o las dos mujeres : Pr (( Vº Vº ) ( Mº Mº )) Pr( Vº Vº ) + Pr ( Mº Mº ) ' c) Pueden ser un varón y una mujer o las dos mujeres : Pr ( V M ) ( M V ) ( M M ) Pr V M + Pr M V + Pr M M ( ) ( ) ( ) ( ) º º º º º º º º º º º º ' Probabilidad (F. Álvarez)

11 EJERCICIOS PROPUESTOS Sabiendo que Pr(B).Pr(A), Pr(A B)0'8 y Pr(A B)0', calcule : Pr(A), Pr(B), Pr(A'), Pr(B-A) y Pr(A-B) Al extraer dos cartas simultáneamente de una baraja española, calcule la probabilidad de que : a) las dos sean del mismo palo b) ambas sean figuras c) alguna sea de oros. Disponemos de cuatro cajas con la siguiente composición de bolas blancas y negras : la ª contiene bolas de cada color la ª y la 4ª contienen 5 bolas blancas y negras la ª está constituida por bola blanca y negras. a) Seleccionada una urna al azar, hallar la probabilidad de extraer una bola blanca de ella. b) Se extrajo una bola de una de las urnas que resultó ser blanca. Calcule la probabilidad de haberla extraído de la 4ª urna. La siguiente tabla muestra la distribución de los trabajadores de una empresa según su estado civil y el ser o no fumadores. Fuman No fuman Solteros 4 6 Casados 8 5 Viudos 6 a) Seleccionados trabajadores al azar, determine la probabilidad de que todos fumen. b) Calcule la probabilidad de que un trabajador de la empresa esté casado o fume. c) Calcule la probabilidad de que un trabajador de la empresa no esté casado o fume. d) Si un cierto trabajador fuma, qué probabilidad tiene de ser soltero?. e) Si un trabajador es viudo, calcule la probabilidad de que no sea fumador. Una urna contiene tres bolas con las letras A, A y N. Otra contiene las letras A, A, A, N y N. Seleccionamos tres bolas sucesivamente y con devolución. Qué urna ofrece mayor probabilidad de obtener la palabra ANA?. Un alumno sólo estudió uno de los cuatro temas de un examen. Si el examen consta de diez preguntas, calcule la probabilidad de que pueda contestar a alguna de ellas. º º º 4º 5º Hombres 4 40 Mujeres La tabla anterior nos muestra la distribución por sexo de los alumnos de los 5 cursos de una Carrera. Seleccionados al azar dos alumnos, calcule la probabilidad de que : a) sean del mismo curso. b) alguno sea de º c) los dos sean hombres o estudien º. De un grupo de alumnos, la mitad son de primero, la quinta parte de º y el resto de º. De los de º, la cuarta parte son repetidores y, de los otros cursos, la mitad repiten. Si un cierto alumno es repetidor, calcule la probabilidad de que sea de º curso. Probabilidad (F. Álvarez) -

12 9 0 Una urna contiene 5 bolas blancas, rojas y negras. a) Seleccionado un grupo de tres bolas, determine la probabilidad de que ninguna sea negra. b) Seleccionadas sucesivamente y sin reposición tres bolas, determine la probabilidad de que sean del mismo color. c) Seleccionadas sucesivamente y con reposición tres bolas, determine la probabilidad de que alguna sea negra. De los 80 alumnos de tres grupos de COU de un centro, la mitad pertenecen al grupo A y el 5% al C. Sabiendo que aprueban el curso el 40% de los alumnos del grupo A, 8 alumnos del grupo B y la tercera parte de los del C, determine la probabilidad de que : a) un alumno de COU suspenda. b) un cierto alumno pertenezca al grupo B, sabiendo que aprobó. Una caja contiene 6 bolas blancas, negras y 4 rojas. a) Si tomamos dos bolas simultáneamente de la caja, calcule la probabilidad de que sean del mismo color. b) Al tomar sucesivamente y sin reposición tres bolas de la caja, hallar la probabilidad de que todas sean blancas, sabiendo que ninguna es negra. En relación con la opción cursada por los alumnos de COU, el 5% se matriculó en la A, el 5% en la B, coincidiendo los matriculados en las opciones C y D. Finalizado el curso, aprobaron : la mitad de los alumnos de la opción A y C, el 60% de la B y sólo un 0% de los de la opción D. a) Si un alumno seleccionado aprobó, calcule la probabilidad de ser de la opción C. b) Calcule la probabilidad de que un alumno suspenda, sabiendo que no pertenece a la opción A. - Probabilidad (F. Álvarez)

13 SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS Pr(A) 0' Pr(B) 0'6 Pr(A') 0'7 Pr(B-A) 0'5 Pr(A-B) 0' a) 0'08 b) 0'0846 c) 0'44 a) 0'5655 b) 0'58 a) 0'099 b) 0'7875 c) 0'565 d) 0'5 e) 0'49 La primera (0'48) más que la segunda (0'44) 0'947 a) 0'95 b) 0'5048 c) 0'685 0'4 a) 0'4667 b) 0'097 c) 0'488 a) 0'65 b) 0'857 a) 0' b) 0'666 a) 0'05 b) 0 5 Probabilidad (F. Álvarez) -

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