UN ANÁLISIS COMPARATIVO DE UNA SVM Y UN MODELO LOGIT EN UN PROBLEMA DE CLASIFICACIÓN DE ASEGURADOS

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1 UN ANÁLISIS COMPARATIVO DE UNA SVM Y UN MODELO LOGIT EN UN PROBLEMA DE CLASIFICACIÓN DE ASEGURADOS Antono Heras Martínez 1, Pedad Tolmos Rodríguez-Pñero 2, Julo Hernández-March 2 1 Departamento de Economía Fnancera y Contabldad I. Facultad de CC Económcas y Empresarales. Unversdad Complutense de Madrd. 2 Departamento de Economía Fnancera y Contabldad II. Facultad de Cencas Jurídcas y Socales. Unversdad Rey Juan Carlos. emals: Palabras Clave.- Clasfcacón de Asegurados del Seguro del Automóvl, Factores de Resgo, Máqunas de Vectores Soporte, Algortmos Genétcos, Modelo Logt. Resumen.- Con este artículo se pretende realzar una aproxmacón a la clasfcacón de los asegurados de una cartera de una compañía del seguro del automóvl atendendo a s han presentado o no snestro en un año 1. Para realzar la clasfcacón utlzaremos una técnca de Aprendzaje conocda como Máquna de Vectores Soporte. En aras de preservar la capacdad de generalzacón del clasfcador, realzaremos además una seleccón de los factores de resgo que descrben a los asegurados de la cartera, escogendo los más relevantes de cara a la snestraldad. Para ello emplearemos de nuevo herramentas de Aprendzaje Máquna, esta vez Algortmos Genétcos. Se ejecutarán varos expermentos, comparando la tasa de clasfcacón obtenda utlzando todos los factores de resgo, y sólo los selecconados. Tambén se compararán los mejores resultados consegudos con la clasfcacón lograda por el modelo logt, que nos permtrá analzar hasta qué punto son comparables las técncas del Aprendzaje Máquna y los modelos estadístcos utlzados habtualmente en la resolucón de este tpo de 1 Los datos empleados en los expermentos han sdo ceddos por la aseguradora MAPFRE en el marco de la Beca de Resgos y Seguros 2006 que nos concedó su Fundacón MAPFRE Estudos. Este artículo ha sdo recbdo en versón revsada el 13 de julo de

2 Un análss comparatvo de una SVM Anales 2010 / problemas. Aprovecharemos, además, la salda del logt para comparar los factores de resgo que resultan más relevantes con los que se selecconaron a través del Algortmo Genétco (AG). Los resultados obtendos son alentadores, probando que las técncas de aprendzaje, y las SVM en partcular, pueden resultar muy útles para resolver problemas de clasfcacón en seguros. Key words.- Insurance Automoble Polces Classfcaton, Rsk Factors, Support Vector Machnes, Genetc Algorthms, Logt Model. Abstract.- In ths paper we propose a new approach for classfyng the polces of an nsurance automoble company accordng to the predcton of ther clams for the next year. We use for ths purpose sets of rsk factors obtaned from one database of an mportant Spansh nsurance company 2. Our approach s based on the Learnng Machnes methodology. The algorthm we suggest s based on the applcaton of a standard Support Vector Machne (SVM), hybrdzed wth a Genetc Algorthm. The SVM s used to classfy the polces as faled (reportng clams) or not faled, accordng to ther rsk factors, whereas the GA s used to perform a preselecton n the rsk factors space of the SVM. We wll do several experments, comparng the obtaned classfcaton rate ncludng all the rsk factors, wth that ncludng just the selected rsk factors. We ll also compare ths results wth those obtaned usng the Logt model (both classfcaton rate and selected rsk factors), allowng us to analyze f ths Learnng Machnes are comparable to statstcal technques commonly used to solve ths knd of problems. The obtaned results are very encouragng and show that learnng technques n general and SVM n partcular, can be useful tools for solvng classfcaton problems n nsurance. 1. Introduccón. Cuando el número de pólzas en una compañía aseguradora es lo sufcentemente grande, el desarrollo de un sstema de clasfcacón adecuado es el prmer paso para lograr una prma justa. Se trata de clasfcar a sus clentes del modo más homogéneo posble atendendo al resgo, de 2 Data used n the experments were gven up by MAPFRE Insurance Company, wthn the Rsk and Insurance Grant 2006 of MAPFRE Studes Foundaton. 86

3 Antono Heras, Pedad Tolmos y Julo Hernández-March Anales 2010 / manera que los asegurados pertenecentes a un msmo grupo paguen déntca prma. En la lteratura, se pueden encontrar solucones a esta tarea empleando métodos estadístcos. Las técncas del análss estadístco multvarante son las que permten organzar procesos de seleccón, tenendo en cuenta smultáneamente el conjunto de factores de resgo. Técncas tales como las Redes Neuronales Artfcales, o las Máqunas de Vectores Soporte han demostrado ser unos clasfcadores excelentes en térmnos de la llamada tasa de clasfcacón y se han aplcado con éxto en multtud de problemas complejos, como el del reconocmento de caracteres escrtos, la lmpeza de mágenes, mnería de datos, dagnóstcos médcos, etc. Vamos por tanto a resolver el problema valéndonos de herramentas tomadas de lo que se conoce como Aprendzaje Máquna. El planteamento concreto que haremos será el sguente: dada una cartera de asegurados de una conocda empresa del seguro del automóvl, descrtos por sus factores de resgo, pretendemos clasfcarlos en dos clases, atendendo a s han presentado o no snestros en el perodo de un año. Como luego veremos, un problema de clasfcacón de este estlo lleva aparejado un segundo problema, el de la Seleccón de Característcas (factores de resgo). Efectvamente, con el objeto de mejorar la capacdad de generalzacón del clasfcador, su establdad, y el tempo de computacón, a menudo es necesaro, s el nº de varables es grande, realzar una seleccón de las varables mportantes, las que retenen la mayor cantdad de nformacón. Esta cuestón tene en nuestro caso un valor añaddo, en cuanto al nterés que la nformacón sobre los factores de resgo realmente relevantes de cara a la snestraldad, pueda tener para la aseguradora. Así, comenzaremos por formular matemátcamente el problema, establecendo a contnuacón qué se entende por Aprendzaje y en qué dferen báscamente éstos métodos de las técncas estadístcas cláscas. Descrbremos brevemente las técncas que hemos empleado para soluconar los problemas y pasaremos entonces a la ejecucón de los expermentos, comentando los resultados alcanzados. Aplcaremos una Máquna de Vectores Soporte 3 para clasfcar y un Algortmo Genétco para selecconar los factores. Compararemos los resultados de la clasfcacón con los obtendos aplcando una técnca estadístca válda para abordar este tpo de 3 En adelante se utlzará la abrevatura correspondente a las sglas en nglés, SVM. 87

4 Un análss comparatvo de una SVM Anales 2010 / cuestones, el modelo logt, extendendo así los resultados alcanzados en la Tess doctoral de Pedad Tolmos en la que se empleó la técnca del Análss Dscrmnante, menos potente que el actual logt. Asmsmo, contrastaremos la Tasa de Clasfcacón alcanzada por la SVM utlzando todos los factores de resgo y sólo los selecconados por el AG. Emplearemos además la salda del logt para comparar los factores de resgo que resultan más relevantes con los que se selecconaron a través del Algortmo Genétco (AG). Fnalzaremos con las conclusones que se extraen de lo presentado en el artículo, y comentando algunas de las aplcacones que estamos realzando en la actualdad. 2. Formalzacón del problema. El tpo de problema que planteamos se puede englobar dentro de lo que se conoce como problemas de clasfcacón con múltples atrbutos cuya tarea básca es asgnar un objeto, descrto por los valores que toman certos atrbutos, a una sere de clases. Matemátcamente, la representacón de un problema de clasfcacón con múltples atrbutos es la sguente [Schölkopf, 1999]: se quere estmar una funcón (de decsón) f : R n { ±1} empleando datos (observacones u objetos) del conjunto de observacones que se utlzarán para entrenar lo que se conoce como máquna de clasfcacón (red neuronal, algortmo n genétco, ). Consderaremos para ello una sere de objetos { x }, x R, { 1,...l} desconocda P(x,y), donde { 1, 1} generados por certa funcón de dstrbucón de probabldad y consttuyen el conjunto de etquetas asocadas (es la salda, la que ndca a qué clase pertenece cada x ). De este modo, el conjunto de datos consderados sería ( x ),...,(, ) R n { 1} 1, 1 ± y x l y l y el objetvo es que la funcón f clasfque correctamente los ejemplos nuevos que se la presenten (x,y), esto es, que f(x)=y para ejemplos (x,y) generados por la msma dstrbucón de probabldad subyacente P(x,y) que los datos utlzados para el entrenamento. 88

5 Antono Heras, Pedad Tolmos y Julo Hernández-March Anales 2010 / El error de entrenamento se puede defnr como: R 1 l [ α ] = f (, α ) 1 y ent l = 1 2 x (1) El error de test (resgo) esperado para una máquna de entrenamento se defne como 1 R [ α ] = f ( x, α ) y dp( x, y) (2) La cantdad ( ) f x,α y recbe el nombre de pérdda. 2.1 El problema de la clasfcacón de los asegurados Para predecr la snestraldad de un asegurado vamos a separar a todos los clentes en dos clases: la de los que tendrán snestros, y la de los que no. Por ello, lo trataremos como un problema de clasfcacón con múltples atrbutos de tpo smple, esto es, con sólo dos clases. Los conjuntos x, 1,... l x R representan a los asegurados, descrtos por un { } { } n conjunto de n factores de resgo (cada componente de y las etquetas { 1,1 } x, x j, es un factor), y ndcarían la clase, -1 s no presentan snestros, y 1 en caso contraro. De este modo, durante el perodo de entrenamento estaríamos manejando pares del tpo ( x, y ), con y conocda; el objetvo será, recordemos, que se clasfquen correctamente los ejemplos nuevos que se presenten ( x, y) generados por la msma dstrbucón de probabldad subyacente P ( x, y) que los datos utlzados para el entrenamento del clasfcador. En el caso de la seleccón de factores, la entrada para el clasfcador será la n msma, el conjunto { x }, { 1,... l} x R, pero la salda será < m { x } { 1,... l} x R m n,, con un error de clasfcacón menor. 89

6 Un análss comparatvo de una SVM Anales 2010 / Los datos utlzados Para la ejecucón hemos empleado una muestra de asegurados, obtenda al enlazar la cartera de Clentes con la de Snestros del año 2003 que nos proporconó MAPFRE. Los factores de resgo que descrbían a cada asegurado eran orgnalmente 11: Antgüedad del carnet, Edad, Tpo de carnet, Sexo, Estado Cvl, Profesón, Antgüedad del vehículo, Uso, Zona de Crculacón, Potenca, Valor. Sn embargo, hubo que segregarlos para obtener varables categórcas, como exgía el sstema, manejando fnalmente 105 varables de entrada. La salda, recuérdese, sólo tomaba dos valores, 1 (snestro) o -1 (no snestro). 3. Las técncas empleadas 3.1 El Aprendzaje Máquna El enfoque estadístco clásco para abordar un problema de clasfcacón como el que nos planteamos, en el que se cuenta con una gran cantdad de datos, consste en asumr que tales datos están generados por una dstrbucón de probabldad subyacente que nos es desconocda y a partr de la cual dseñaremos el clasfcador. Sn embargo, exsten otras aproxmacones al problema, como la que nos proponen Vapnk y otros autores de la Teoría del Aprendzaje. La dea básca es dseñar el clasfcador drectamente desde los datos medante determnados algortmos, que en su caso se basan en esta Teoría del Aprendzaje. Este modo de plantear el problema nos conducrá a la necesdad de analzar la nformacón que comprenden los grandes conjuntos de datos. La habldad de extraer el conocmento que se encuentra esconddo entre esos datos, y utlzarlo convenentemente, está tenendo una mportanca crecente en el mundo contemporáneo. Las aproxmacones más recentes para desarrollar modelos a partr de los datos se han nsprado en las capacdades de aprendzaje de los sstemas bológcos y, en partcular, en las de los humanos. De hecho, los sstemas bológcos aprenden a hacer frente a la desconocda naturaleza estadístca del entorno conducdos por los datos. Los humanos, como los anmales, tenen la capacdad superor de reconocer patrones, como las de dentfcar caras, voces u olores. El campo del reconocmento de patrones tene como objetvo el construr sstemas 90

7 Antono Heras, Pedad Tolmos y Julo Hernández-March Anales 2010 / artfcales que mten las habldades de reconocmento de los humanos, y avanza haca él basándose en prncpos de ngenería y estadístca. En un sentdo amplo, cualquer método que ncorpore nformacón de las muestras de entrenamento en el dseño de un clasfcador emplea aprendzaje. La creacón de clasfcadores mplca el planteamento de una forma general de modelo, o de clasfcador, y el uso de los datos de entrenamento para aprender o estmar los parámetros desconocdos del modelo. Cuando hablemos aquí de aprendzaje lo haremos como una forma de algortmo para reducr el error sobre el conjunto de entrenamento. Concretamente, un algortmo de aprendzaje es aquel que toma los datos de entrenamento como entrada (nput) y seleccona la hpótess (la funcón canddata de entre todas a ser la que relacona las saldas con las entradas, esto es, la funcón de decsón) de entre todas las posbles. 3.2 Las Máqunas de Vectores Soporte La SVM es una técnca de clasfcacón que ha demostrado sobradamente su capacdad de resolucón frente a problemas de elevado grado de complejdad. Dseñada en prncpo para tratar problemas de clasfcacón bnaros (en dos grupos), se trata de una máquna de aprendzaje que mplementa la sguente dea: cuando no sea posble separar los datos en el espaco de entrada con un hperplano lneal, trasladar, medante una aplcacón no lneal, los vectores de entrada a un nuevo espaco de dmensón más alta. En este nuevo espaco se construrá una superfce de decsón lneal. Las especales propedades que poseerá esta superfce garantzarán que la capacdad de generalzacón de la máquna de aprendzaje sea alta. Aunque esta dea se empleó en los prmeros expermentos para datos que podían separarse sn errores, se puede extender para el caso no separable con notable éxto. La parte conceptual del problema la resolvó Vapnk para el caso de hperplanos óptmos para clases separables. En este contexto, Vapnk defnó un hperplano óptmo como una funcón de decsón lneal con el margen de separacón máxmo entre los vectores de las dos clases. Se observó entonces que para construr tal hperplano, uno sólo debía tener en cuenta una cantdad pequeña de los datos de entrenamento, los llamados vectores soporte, quenes determnaban ese margen. Sea un conjunto de asegurados representado por sus factores de resgo expresados medante los vectores { x }, { 1,... l}, y un conjunto de etquetas 91

8 Un análss comparatvo de una SVM Anales 2010 / asocadas { 1,1 } y 4 que determnan a qué clase pertenece cada asegurado. Supongamos que es posble separar este conjunto de entrenamento medante un hperplano lneal. Los puntos x que pertenecen al hperplano satsfacen la ecuacón w x + b = 0, donde w es un vector normal al hperplano, y b / w es la dstanca perpendcular del hperplano al orgen (tomamos como la norma euclídea). De entre todos los hperplanos capaces de separar los datos, exste un únco hperplano óptmo, en el sentdo de que es capaz de separar los puntos con el mayor margen de separacón entre cada elemento del conjunto de entrenamento y el hperplano. En este sentdo, el algortmo de aprendzaje dseñado por Vapnk y Chervonenks, la SVM, resuelve el sguente problema: Encontrar n w R y b R que mnmcen 1 2 τ ( w ) = w 2 t w x + b = 1,..., l (3) sujeto a y ( ) 1 Cuando se hallen w y b, la regla de clasfcacón para los asegurados será, t sgn w x + b 5, y el error de clasfcacón cometdo vendrá smplemente, ( ) dado por R ent ( w,b), tal y como se descrbó anterormente. Por otro lado, aquellos puntos que verfcan la gualdad en la necuacón t y ( w x + b) 1, y cuya elmnacón cambaría la solucón que encontremos, son los que llamaremos vectores soporte. Estos vectores, pertenecerán a uno de los dos posbles hperplanos óptmos de separacón de t los que hablábamos antes, representados por las ecuacones w x + b = 1 t para un hperplano, y w x + b = 1 para el otro. S tratamos de aplcar el algortmo anteror a datos no separables, no encontraremos nnguna solucón factble, pues la funcón objetvo crece desmesuradamente. Para evtarlo, se relaja la restrccón 2 cuando sea necesaro, lo que se logra medante la ntroduccón de unas varables nuevas de pequeño tamaño. La formulacón del problema queda ahora: 4 Descrbmos el caso más sencllo de dos úncas clases, pues para el general de K clases basta con tomar, como ya se ha vsto y k en vez d y. 5 Obsérvese que se corresponde con las funcones de decsón t f ( x) = sgn w x + b que descrbmos en el punto 2. ( ) 92

9 Antono Heras, Pedad Tolmos y Julo Hernández-March Anales 2010 / Encontrar Mnmcen n w R y b R y ξ = 1,,l que l 1 2 τ ( w ) = w + C ξ (4) 2 = 1 y t w x + b 1 ξ y Sujeto a ( ) ξ >0 = 1,..., l (5) donde C es un parámetro que el clasfcador deberá estmar. Por últmo, en el caso de la SVM no lneal, se proyectan las varables de entrada en un espaco de dmensón mayor (normalmente de dmensón nfnta) que aquel al que pertenecían dchas varables, y se aplca la SVM descrta anterormente en este nuevo espaco, conocdo como espaco de característcas. De este modo, la SVM no lneal es capaz de separar los asegurados con una probabldad de error dada por R ent ( w,b). Esa proyeccón se realza utlzando las funcones núcleo (kernel). 3.3 La seleccón de factores El llamado problema de seleccón de característcas, esto es, la seleccón de los factores o rasgos que permtan desechar aquellos elementos que se revelen como rrelevantes para el estudo que se desea realzar, ha resultado ser de especal mportanca en la mayoría de los problemas de aprendzaje supervsado. En los problemas de clasfcacón como el que nos ocupa, el objetvo es selecconar un subconjunto de varables de entrada (factores de resgo) que sean los que preserven o mejoren la capacdad del clasfcador [Weston et al. (2000)]. Entre los dstntos modos de tratar este problema, el más frecuente es el n x 1 y,..., x,, con x R y sguente: dado un conjunto de datos (, 1 ) ( l y l ) y { 1,1 }, extraer un subconjunto de m varables (m < n) que posean el error de clasfcacón menor [bídem]. En nuestro caso, seguremos a Weston et al. para selecconar los mejores factores de resgo (componentes de los vectores { x }, { 1,... l} ), esto es, aquellos que realmente descrban el estado del asegurado, y elmnaremos 93

10 Un análss comparatvo de una SVM Anales 2010 / aquellos factores redundantes o rrelevantes. De este modo mejoraremos el funconamento de la SVM, que trabajará en el proceso de clasfcacón sólo con los factores de resgo que hayamos reservado. Exsten varas técncas para resolver el problema de la seleccón de característcas. En este caso hemos escogdo los Algortmos Genétcos. 3.4 Algortmos Genétcos Los algortmos genétcos son un logro más de la Intelgenca Artfcal en su ntento de replcar comportamentos bológcos medante la computacón. Se trata de algortmos de búsqueda basados en la mecánca de la seleccón natural y de la genétca. Utlzan la nformacón hstórca para encontrar nuevos puntos de búsqueda de una solucón. Se puede pensar en cada cromosoma de un algortmo genétco como en un punto en el espaco de búsqueda de canddatos a solucones. El algortmo genétco procesa poblacones de cromosomas, reemplazando sucesvamente cada poblacón por otra. El algortmo suele requerr una funcón de capacdad o potencal que asgna una puntuacón (la capacdad) a cada cromosoma de la poblacón actual. La capacdad o el potencal de un cromosoma depende de cómo resuelva ese cromosoma el problema a tratar. La forma más smple de algortmo genétco utlza tres tpos de operadores: seleccón, cruce y mutacón. Seleccón o reproduccón: Este operador escoge cromosomas entre la poblacón para efectuar la reproduccón. Cuanto más capaz sea el cromosoma, más veces será selecconado para reproducrse. Cruce: Se trata de un operador cuya labor es elegr un lugar, y cambar las secuencas antes y después de esa poscón entre dos cromosomas, para crear nueva descendenca (por ejemplo, las cadenas y pueden cruzarse después del tercer lugar para producr la descendenca y ). Imta la recombnacón bológca entre dos organsmos haplodes. Mutacón: Este operador produce varacones de modo aleatoro en un cromosoma (por ejemplo, la cadena puede mutar su segunda poscón para dar lugar a la cadena ). La mutacón puede darse en cada poscón de un bt en una cadena, con una probabldad, normalmente muy pequeña (por ejemplo 0.001). 94

11 Antono Heras, Pedad Tolmos y Julo Hernández-March Anales 2010 / Cada teracón del algortmo recbe el nombre de generacón. Lo usual es terar el proceso de 50 a 500 o más veces. El conjunto completo de generacones se llama sere. Al conclur una sere, a menudo se encuentran entre la poblacón uno o más cromosomas con elevada capacdad. En nuestro problema de seleccón de los factores relevantes para la tarfcacón a pror, la poblacón del AG está ntegrada por un número ξ de cadenas bnaras σ { 0,1} n a las que se aplca el procedmento teratvo de los operadores genétcos. Una componente σ = 1 equvale a afrmar que el factor de resgo correspondente debe ser tendo en cuenta para la SVM, mentras que s σ = 0, se elmnará ese factor del conjunto de factores. Debe observarse que cada ndvduo de la poblacón del AG (un vectorσ ) permanece para un conjunto de factores dferente de la SVM. La funcón de capacdad asocada a cada ndvduo es el error de clasfcacón obtendo al clasfcar los puntos de entrenamento ( x σ, y), que será estmado por R ent ( w,b,σ ). Una últma aprecacón: como el AG maxmza la funcón de capacdad, y el objetvo en un problema de seleccón de característcas es mnmzar la probabldad de error, se ntroducrá una funcón de capacdad modfcada, F = 100(1- R ent ( w,b,σ )) (6) 3.5 El modelo logt Consdérese, por otro lado, que se quera explcar la ocurrenca aleatora del snestro como consecuenca de un conjunto de característcas x para { 1 k} j =,..., relatvas al conductor y de un elemento debdo al azar: j k Y = β x + u (7) j j j= 1 La naturaleza dcotómca de la varable dependente Y (1 s el conductor asegurado ha sufrdo un snestro y -1 en caso contraro) oblga al empleo de un modelo no lneal que la relacone con las varables explcatvas x (las msmas que se han empleado en el modelo SVM). Asumendo que la j 95

12 Un análss comparatvo de una SVM Anales 2010 / perturbacón aleatora u sgue una dstrbucón logístca con meda nula y varanza constante, el modelo quedaría (Aldrch & Nelson, 1986): Z e EY ( ) = PY ( = 1) = (8) Z 1 + e donde: k P Z = β x = ln( ) logt (9) 1 P j j j= 1 Expresón en la que el cocente de probabldades se conoce como odds. El cocente entre dos odds se conoce como rato de odds y permte medr el efecto multplcatvo que tene un aumento untaro de cualquera de las varables explcatvas x j sobre la odds de tener un snestro (Lao, 1994). En nuestro caso, dcho rato srve para medr el resgo de snestraldad al cambar el valor de una varable, cuando el resto de las varables permanecen fjas: P d 1 P ' ' x j xj = xj + 1 = e P 1 P xj β j (10) El efecto de una varable sobre la probabldad de ocurrenca de un snestro tambén vendrá nformado por el estadístco de Wald W j, que permte crtcar la valdez de la estmacón puntual del parámetro β j que pondera a la varable, en funcón de su dspersón (Hernández-March, 2003): W j β j = S β j 2 (11) Cuanto mayor sea W j más precsa será la estmacón de β j, de ahí que ante dos varables con coefcentes beta sgnfcatvos (p-valor menor que.1), se preferrá aquel que tenga mayor estadístco de Wald. 96

13 Antono Heras, Pedad Tolmos y Julo Hernández-March Anales 2010 / Resolucón del problema 4.1Clasfcacón de los asegurados utlzando todos los factores de resgo En este expermento utlzamos un software gratuto para la SVM llamado 2 Lbsvm, con un kernel de base radal, k( x, x ) exp( x x / c) =. Escogmos como método para determnar el error en el conjunto de Test el de la Valdacón Cruzada 6 en 5 plegues. Los resultados se presentan en forma de la Tasa de Clasfcacón [(Nº de acertos) / (Nº de casos)] y de la Matrz de Confusón, en cuya dagonal prncpal aparecen los casos acertados, y en la secundara los errores cometdos en cada clase. Comparacón del modelo logt con la SVM En lo que se refere a la capacdad predctva del modelo, la tabla 1 recoge las tasas de clasfcacón que se han obtendo al aplcar los dos modelos objeto de comparacón: una SVM y el logt 7. Tabla 1: Tasas de clasfcacón obtendas en los dos modelos empleados SVM LOGIT Tasa de clasfcacón 77.72%. 70.8% Matrz de Confusón (en porcentajes) % 23.59% % 79.13% % 28.3% % 69.9% 6 Dvdr el conjunto de datos de entrada en n subconjuntos, entrenar el modelo con n-1 de los n conjuntos, y valdar los resultados con el conjunto restantes. Repetr el proceso para cada uno de las n posbles eleccones del conjunto omtdo. 7 Para pronostcar los snestros en el modelo logt se tomó como valor de corte 0,514 (que es la proporcón muestral de asegurados que declaró snestro). 97

14 Un análss comparatvo de una SVM Anales 2010 / En este sentdo, se puede observar que el modelo SVM pronostca correctamente el 77.72% de los casos observados, cas 7 puntos por encma de lo que lo hace el modelo logt (dferenca que se reduce a algo menos de 5 puntos en el caso de los asegurados que no han tendo snestro, pero que se ncrementa por encma de los 9 puntos en el apartado de los que sí han sufrdo accdente). Por otra parte, los porcentajes que se logran con el modelo logt mejoran los alcanzados con el Análss Dscrmnante (Bousoño, Heras y Tolmos 2008) en más de 2 puntos en el caso (-1,-1), s ben empeoran en el (1,1) 71.8% del AD frente al 69.9% del logt. 4.2 Seleccón de factores de resgo Resultados obtendos por el modelo logt La tabla 2 recoge los resultados de la estmacón por máxma verosmltud de los parámetros del modelo, empleando el programa SPSS. En lo que se refere a la bondad del ajuste puede observarse que el estadístco Chcuadrado es muy sgnfcatvo, lo que permte rechazar la hpótess nula de que todos los parámetros del modelo, excepto el térmno ndependente, sean nulos. El estadístco R cuadrado de Nagelkerke hay que nterpretarlo en el msmo sentdo. En lo que respecta a la estmacón de los parámetros, se observa que la regón en la que el asegurado conduce habtualmente es la varable que mejor dscrmna a la hora de explcar la snestraldad. Dentro de este apartado, los conductores que corren más resgo son los de Madrd y Barcelona. En concreto, el resgo de declarar un accdente en Madrd es veces mayor al de hacerlo en Andalucía sn nclur Sevlla, que es la categoría de referenca, mentras que en Barcelona ese resgo es 7.45 veces mayor. Otras zonas de conduccón en las que resulta más probable declarar un snestro que en Andalucía sn Sevlla son: Castlla y León, Galca, Valenca, Aragón, Castlla La Mancha, Asturas, Cataluña sn Barcelona, Sevlla, La Roja, Navarra, Comundad Valencana sn Valenca, País Vasco, Extremadura, Cantabra y Canaras. Sn embargo, sólo en Baleares y Murca la probabldad de declarar un snestro es menor que en Andalucía sn Sevlla. A contnuacón, la profesón del asegurado tambén permte jerarquzar las dstntas categorías, en lo que al resgo de snestraldad se refere. En este 98

15 Antono Heras, Pedad Tolmos y Julo Hernández-March Anales 2010 / sentdo, se ha comprobado que los conductores con profesón 41 8 presentan una odds que es veces mayor que los de la profesón 20 9, que se ha tomado como categoría de referenca (por ser la más frecuente). Aquellos conductores con códgo de profesón 22 10, ó tambén presentan un resgo de snestraldad mayor que los de la categoría de referenca, aunque las dferencas no sean tan sgnfcatvas. Sn embargo, los conductores con profesón 53, 31, 57, 10, 21, 54, 55, 0, 12 ó corren menos resgo de tener un snestro que los de la categoría de referenca (habéndose ordenado la sere de menor a mayor sgnfcatvdad), aún cuando las dferencas hayan resultado mportantes en todos los casos. En partcular, el resgo de los asegurados con profesón 56 es.205 veces el resgo de los asegurados de la categoría de referenca. El resto de las profesones consderadas no han resultado sgnfcatvas a la hora de explcar la ocurrenca de un snestro. Tabla 2: Resultados del modelo logt sobre la snestraldad de una cartera de asegurados en el ramo de automóvles Varable Coefcente Wald Rato de Meda Odds Muestral Hombres -.205*** Estado Cvl Soltero Referenca.202 Casado Vudo Dvorcado FUNCIONARIOS Y ADMINITRATIVOS (desplazamento profesonal habtual urbano). 9 INDUSTRIALES, COMERCIANTES, PROFESIONES LIBERALES (sn desplazamento profesonal habtual). 10 INDUSTRIALES, COMERCIANTES, PROFESIONES LIBERALES (desplazamento profesonal habtual nterurbano). 11 FUNCIONARIOS Y ADMINISTRATIVOS (desplazamento profesónal habtual nterurbano). 12 CONDUCTOR DE CAMIÓN/VEH. INDUSTRIAL DE TERCEROS. 13 Por orden: ESTUDIANTES, VIAJANTES Y REPRESENTANTES URBANOS, EMPLEADOS QUE CONDUCEN CON EXCLUSIVIDAD VEHÍCULOS DE LA SOCIEDAD, AGRICULTORES Y SUS EMPLEADOS, INDUSTRIALES, JUBILADOS, OBREROS, códgos 0 y 12 SIN CLASIFICAR, SIN PROFESIÓN. 99

16 Un análss comparatvo de una SVM Anales 2010 / Antgüedad del carnet Tpo de permso Coche Referenca.997 C C ** Motoccletas Cclomotor D-D1-B Edad del conductor -.008*** Antgüedad del vehículo -.049*** Valor en euros hasta 1050 Referenca *** *** más de *** Potenca (en watos; 1CV 736 watos) hasta Referenca.257 Varable Coefcente Wald Rato de Meda Odds Muestral *** más de *** Regón Andalucía sn Sevlla Referenca.208 Sevlla.511*** Aragón 1.281*** Asturas.948*** Baleares -.191*** Canaras 1.017** Cantabra.179**

17 Antono Heras, Pedad Tolmos y Julo Hernández-March Anales 2010 / Castlla La Mancha.796*** Castlla y León 1.693*** Cataluña sn Barna.863*** Barcelona 2.008*** Extremadura.312*** Galca 1.693*** Madrd 2.054*** Murca -.115** Navarra.885*** País Vasco.507*** La Roja 1.682*** Com.Valencana sn Val.620*** Valenca 1.005*** Profesón 20 Referenca *** Varable Coefcente Wald Rato de Meda Odds Muestral *** *** *** *** *** *** * *** *** ***

18 Un análss comparatvo de una SVM Anales 2010 / *** *** * Uso 110 Referenca *** *** ** *** *** ** *** *** Varable Coefcente Wald Rato de Meda Odds Muestral *** *** ** ** ** **

19 Antono Heras, Pedad Tolmos y Julo Hernández-March Anales 2010 / *** Resto 3.706*** Constante.355*** Ch cuadrado: *** R 2 de Nagelkerke:.313 Nota. La categoría Resto de la varable Uso es el resultado de solapar las sguentes categorías de dcha varable: 117, 133, 137, 190, 199, 218, 234, 235, 258 y 242. *.05 < p.1 **.01 < p.05 *** p.01 La antgüedad del vehículo es la sguente varable con más peso en el modelo. El resgo de que un vehículo, con una antgüedad determnada, sufra un accdente es.952 veces el que tene ese msmo vehículo un año antes. El uso que el conductor hace del vehículo es la sguente varable en mportanca 14. En este caso, la mayor parte de las categorías presentan mayor probabldad de sufrr un accdente que la categoría que se tomó de referenca (por resultar tambén la más frecuente). Las categorías con las dferencas más sgnfcatvas (en orden descendente) son la , la , la categoría resto, la y la Otros usos con mayor probabldad de sufrr accdente que la categoría 110, pero con menor peso que los anterores, son (ordenados de mayor a menor sgnfcatvdad): 231, 150, 232, 219 y Por el contraro, los usos con códgo 220, 238, 118, 210, 14 Algunas categorías de esta varable con frecuencas reducdas presentaban coefcentes estmados muy elevados, acompañados de desvacones típcas tambén muy elevadas con nveles de sgnfcacón bajos. Este comportamento ndcaba la presenca de multcolnealdad en el modelo (Greene, 1998; Hosmer & Lemeshow, 1989). Por lo tanto, se procedó a reunr las categorías afectadas (117, 133, 137, 190, 199, 218, 234, 235, 258 y 242) en otra codfcada como resto. Después, desaparecó este problema. 15 TURISMO DE USO PARTICULAR. 16 TURISMOS MATRICULADOS A NOMBRE DE EMPRESA. 17 VEHICULO TODO TERRENO. 18 TAXI SIN TAXIMETRO. 19 VEHICULOS DE ALQUILER SIN CONDUCTOR. 20 Por orden: FURGONETAS DE TRANSPORTE DE MERCANCIAS NO PELIGROSAS, TURISMOS DE AUTO-ESCUELA, AMBULANCIAS, 103

20 Un análss comparatvo de una SVM Anales 2010 / y presentan menor resgo de accdente que la categoría de referenca (estando ordenados de menor a mayor sgnfcatvdad). En partcular, el resgo de declarar un snestro por parte de un asegurado con uso 168 es.428 veces el que corre un asegurado de la categoría 110. La probabldad de sufrr un snestro por parte de aquellos asegurados que dan otros usos al vehículo no dfere sgnfcatvamente de la de los asegurados con códgo de uso 110. A contnuacón fgura la varable valor del vehículo que, ncalmente, se trató con un carácter cuanttatvo. Al correr la regresón, el parámetro que la pondera resultó sgnfcatvo pero con una estmacón de cero en sus tres prmeras poscones decmales. Una vez descartados problemas de multcolnealdad se decdó hacerla cualtatva. Para ello se procedó a establecer cuatro clases, en funcón de los cuartles, y a volver a estmar el modelo con la varable cualtatva, tomando de referenca la categoría nferor (vehículos con un valor de hasta 1050 ). El resultado muestra que cuanto mayor es el valor del vehículo, mayor es la probabldad de declarar un snestro. En partcular, los asegurados cuyos vehículos valen más de 1950, tenen un resgo de accdente que es veces mayor que el de aquellos que conducen vehículos de hasta Por su parte, la condcón de hombre reduce la probabldad de accdente, sendo su resgo veces el que corre una mujer. Este resultado ya se produce cuando se cruzan las varables sexo y snestro, por cuanto el porcentaje de hombres que declaran snestro es 7 puntos nferor al de las mujeres (49.6% frente a 56.5%). Asmsmo, el resgo de una persona con una edad concreta es.992 veces el de otra con un año menos. El sguente factor explcatvo de la snestraldad es la potenca del vehículo. Esta varable tuvo un comportamento smlar al de la varable valor, en el sentdo de nclur una estmacón de cero en el parámetro, a pesar de resultar sgnfcatva. En vrtud de ello, se procedó de la msma forma, dvdendo la FURGONETAS DE REPARTO URBANO Y AUTOVENTA, VEHICULOS DE SERVICIO DE URGENCIAS (POLICIA Y BOMBEROS) 21 Por orden: FURGONETAS DE USO RURAL HASTA 500 KGS DE CARGA USO PROPIO - Uso 220, FURGONETAS USO PARTICULAR +5 HASTA 9 PLAZAS - Uso 238, TURISMOS USO PARTICULAR +5 HASTA 9 PLAZAS - Uso 118, FURGONETAS HASTA 3500 KGS - Uso 210, FURGONETAS HASTA 500 KGS DE CARGA USO PROPIO - Uso 217, TODO TERRENO +5 HASTA 9 PLAZAS - Uso

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