UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

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1 UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES TARIFICACIÓN EN SEGUROS DE VIDA CON LA MEDIDA DE RIESGO ESPERANZA DISTORSIONADA MEMORIA PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTOR PRESENTADA POR Monserra Hernández Solís Bajo la dirección de los docores Crisina Lozano Colomer José Luis Vilar Zanón Madrid, 203 Monserra Hernández Solís, 203

2 UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID FACULTAD CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES TESIS DOCTORAL Tarificación en seguros de vida con la medida de riesgo Esperanza Disorsionada Auor: Monserra Hernández Solís (UNED) Direcores: Dra. Crisina Lozano Colomer (ICADE) y Dr. Jose Luis Vilar Zanón (UCM) Somosaguas 202 Madrid

3 AGRADECIMIENTOS Quiero comenzar esas líneas mosrando mi más profundo y sincero agradecimieno a mis dos direcores de esis, Dra. Crisina Lozano Colomer, del deparameno de Méodos Cuaniaivos de Icade y Dr. Jose Luis Vilar Zanón, del deparameno de Economía Financiera y Acuarial de la UCM. Sin ellos ese rabajo de invesigación no habría viso nunca la luz. En especial quiero agradecer a Crisina Lozano odo el esfuerzo que ha hecho esudiando conmigo cada ema que abordábamos, el apoyo que me ha proporcionado en los momenos duros, que los ha habido en demasía, así como en los momenos de flaqueza durane la realización del rabajo. A mis compañeros del deparameno de Economía de la Empresa y Conabilidad de la Faculad de Económicas de la Uned, porque han esado animándome en odo momeno. Al Dr. Damian de la Fuene, compañero del equipo docene del que formo pare y direcor del deparameno, por haberme liberado de rabajo para que me cenrara en la esis. Especialmene quiero dar las gracias a la Dra. Teresa Herrador Alcaide, compañera y amiga, por odo el esfuerzo que ha hecho en la fase final de la esis, rabajando codo con codo conmigo para que dicha esis pudiera ser leída lo anes posible. Finalmene dedico ese rabajo a mis padres, que han esado durane años esperando pacienemene el momeno de verme converida en docora. A odos ellos gracias.

4 INDICE CAPITULO PRIMERO: INTRODUCCION.... Objeivo de la esis Meodología uilizada....3 Resulados obenidos... 2 CAPITULO SEGUNDO: MEDIDAS DE RIESGO Riesgos en una compañía aseguradora del ramo de vida Medida de riesgo. Definición Propiedades de las medida de riesgo Tipos de medidas de riesgo CAPITULO TERCERO: PRINCIPIOS DE CÁLCULO DE PRIMAS USUALES DESDE LA OPTICA DE LA MEDIDA DE RIESGO Inroducción a los principios de cálculo de primas Propiedades de los principios de cálculo de prima Principios de cálculo de primas y análisis de sus propiedades para que sean considerados medidas de riesgo coherene Principio del valor esperado y su caso paricular Principio de prima de la varianza Principio de la desviación ípica Principio de la prima eponencial Principio de la prima Esscher El principio de cálculo de prima basado en la función de disorsión de Wang CAPITULO CUARTO: TARIFICACIÓN, PARA CASO CONTINUO, DE UN SEGURO DE DECESOS (MODALIDAD VIDA ENTERA) Tarificación de la prima única de riesgo a parir del principio de equivalencia acuarial. Planeamieno general Aplicación de la ley de supervivencia primera de Dormoy para el cálculo de la prima única en esa modalidad de seguro I

5 4.2 Tarificación de la prima única de riesgo recargada a parir de la función de disorsión de Wang en su forma de poencia. Planeamieno general Prima recargada y nuevo ano insananeo Aplicación de las principales leyes de supervivencia para el cálculo de la prima única de riesgo recargada en esa modalidad de seguro vida enera Cálculo de la prima única de riesgo recargada mediane la primera ley de Dormoy Cálculo de la prima única de riesgo recargada mediane la segunda ley de Dormoy Cálculo de la prima única de riesgo recargada mediane la ley de Gomperz Cálculo de la prima única de riesgo recargada mediane la ley de Makeham Comparaiva enre la prima única de riesgo sin recargar y la prima única de riesgo recargada para un seguro vida enera CAPITULO QUINTO: TARIFICACIÓN, PARA CASO CONTINUO, DE UN SEGURO DE SUPERVIVENCIA (MODALIDAD RENTAS VITALICIO) Tarificación de la prima única de riesgo a parir del principio de equivalencia acuarial. Planeamieno general Aplicación de la ley de supervivencia primera de Dormoy para el cálculo de la prima única en esa modalidad de seguro de renas Tarificación de la prima única de riesgo recargada a parir de la función de disorsión de Wang en su forma de poencia. Planeamieno general Prima recargada y nuevo ano insananeo Aplicación de las principales leyes de supervivencia para el cálculo de la prima única de riesgo recargada en esa modalidad de seguro de renas Cálculo de la prima única de riesgo recargada mediane la primera ley de Dormoy Cálculo de la prima única de riesgo recargada mediane la segunda ley de Dormoy Cálculo de la prima única de riesgo recargada mediane la ley de Gomperz Cálculo de la prima única de riesgo recargada mediane la ley de Makeham II

6 5.3 Comparaiva enre la prima única de riesgo sin recargar y la prima única de riesgo recargada para un seguro de renas CAPITULO SEXTO: CONCLUSIONES APENDICE : EL SEGURO DE VIDA. ESTABLECIMIENTO DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA ACTUARIAL APENDICE 2: LA PRIMA PURA EN LOS SEGURO DE VIDA. ESTABLECIMIENTO PARA UN SEGURO VIDA ENTERA Y UN SEGURO DE RENTAS APENDICE 3: LAS LEYES DE SUPERVIVENCIA APENDICE 4: CALCULO DE LA PRIMA UNICA DE RIESGO MEDIANTE EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA ACTUARIAL PARA LAS DOS MODALIDADES DE SEGURO Y LEYES DE SUPERVIVENCIA BIBLIOGRAFÍA:... 6 III

7 INDICE DE TABLAS TABLA : Propiedades de los principios de cálculo de primas (epígrafe 3.5) TABLA 2: Resumen de las primas únicas de riesgo para un seguro vida enera (epígrafe 4..2) TABLA 3: Comparaiva de la prima única de riesgo recargada y sin recargar en base a la primera ley de Dormoy, y con aplicación a un seguro vida enera (epígrafe ) TABLA 4: Comparaiva de la prima única de riesgo recargada y sin recargar en base a la segunda ley de Dormoy, y con aplicación a un seguro vida enera (epígrafe ) TABLA 5: Comparaiva de la prima única de riesgo recargada y sin recargar en base a la ley de Gomperz, y con aplicación a un seguro vida enera (epígrafe ) TABLA 6: Comparaiva de la prima única de riesgo recargada y sin recargar en base a la ley de Makeham, y con aplicación a un seguro vida enera (epígrafe ) TABLA 7: Resumen de las primas únicas de riesgo recargadas para odas las leyes de supervivencia y para una modalidad de seguro vida enera (epígrafe 4.2.3) TABLA 8: Comparaiva de la prima única de riesgo recargada y sin recargar para odas las leyes de supervivencia y para una modalidad de seguro vida enera (epígrafe 4.3) TABLA 9: Resumen de las primas únicas de riesgo para un seguro de renas (epígrafe 5..2) TABLA 0: Comparaiva de la prima única de riesgo recargada y sin recargar en base a la primera ley de Dormoy, y con aplicación a un seguro de renas (epígrafe )... 3 IV

8 TABLA : Comparaiva de la prima única de riesgo recargada y sin recargar en base a la segunda ley de Dormoy, y con aplicación a un seguro de renas (epígrafe )... 6 TABLA 2: Comparaiva de la prima única de riesgo recargada y sin recargar en base a la ley de Gomperz, y con aplicación a un seguro de renas (epígrafe )... 9 TABLA 3: Comparaiva de la prima única de riesgo recargada y sin recargar en base a la ley de Makeham, y con aplicación a un seguro de renas (epígrafe ) TABLA 4: Resumen de las primas únicas de riesgo recargadas para odas las leyes de supervivencia y para una modalidad de seguro de renas (epígrafe 5.2.3) TABLA 5: Comparaiva de la prima única de riesgo recargada y sin recargar para odas las leyes de supervivencia y para una modalidad de seguro de renas (epígrafe 5.3) TABLA Apéndice 3: Símbolos de conmuación y funciones represenaivas de la primera ley de Dormoy TABLA 2 Apéndice 3: Símbolos de conmuación y funciones represenaivas de la segunda ley de Dormoy TABLA 3 Apéndice 3: Símbolos de conmuación y funciones represenaivas de la ley de Gomperz... 5 TABLA 4 Apéndice 3: Símbolos de conmuación y funciones represenaivas de la ley de Makeham... 5 V

9 INDICE DE GRÁFICOS GRÁFICO : Comparaiva de la prima única de riesgo recargada y sin recargar en base a la primera ley de Dormoy y para un seguro modalidad vida enera (epígrafe ) GRÁFICO 2: Comparaiva de la prima única de riesgo recargada y sin recargar en base a la segunda ley de Dormoy y para un seguro modalidad vida enera (epígrafe ) GRÁFICO 3: Comparaiva de la prima única de riesgo recargada y sin recargar en base a la ley de Gomperz y para un seguro modalidad vida enera (epígrafe ) 92 GRÁFICO 4: Comparaiva de la prima única de riesgo recargada y sin recargar en base a la ley de Makeham y para un seguro modalidad vida enera (epígrafe ) 95 GRÁFICO 5: Comparaiva de la prima única de riesgo recargada y sin recargar en base a la primera ley de Dormoy y para un seguro de renas (epígrafe )... 0 GRÁFICO 6: Comparaiva de la prima única de riesgo recargada y sin recargar en base a la segunda ley de Dormoy y para un seguro de renas (epígrafe )... 7 GRÁFICO 7: Comparaiva de la prima única de riesgo recargada y sin recargar en base a la ley de Gomperz y para un seguro de renas (epígrafe )... 9 GRÁFICO 8: Comparaiva de la prima única de riesgo recargada y sin recargar en base a la ley de Makeham y para un seguro de renas (epígrafe ) INDICE DE MAPAS CONCEPTUALES MAPA CONCEPTUAL : Solvencia II... 4 VI

10 Inroducción El riesgo asociado a evenos aleaorios represena el facor más imporane denro del enorno asegurador, ano en el ramo de vida como en el de no vida. El seguro es una medida de prevención de un aconecimieno inciero, que en el caso de los seguros de vida se sabe que se producirá pero no se sabe cuando acaecerá. Como en la vida no siempre es facible eviar los riesgos, cuando ésos se producen suele conllevar una pérdida de los ingresos o de los ahorros. Es por esa razón por lo que surge la cuanificación del riesgo y su aseguramieno. Ane la siuación que se esá viviendo en los úlimos años, las enidades aseguradoras ienen como una de sus prioridades saber cuanificar los riesgos que les afecan de una manera correca y con las écnicas esadísicas-maemáicas apropiadas, para así conseguir que su nivel de recursos propios sea acorde con el ejercicio de su acividad. Llevan a cabo análisis periódicos de su capacidad financiera (solvencia) para poder hacer frene a los riesgos a los que se enfrenarán. Y es precisamene en esa idea de ajuse en la que se susena una direciva que afeca a los países de la UE: Solvencia II, cuyo objeivo es lograr una mejor defensa de los asegurados europeos a ravés de una adecuada evaluación del riesgo, eso es, sabiendo idenificar las causas que pueden ocasionar pérdidas a las enidades aseguradoras, así como la correca medición del mismo. El origen de Solvencia II se siúa en el año 200 con los informes elaborados por la empresa KPMG y por la conferencia de las acividades supervisoras de los esados miembros de la UE. En dichos informes se han esablecido las bases para el desarrollo de las res cuesiones básicas de Solvencia II: - La fijación de los res pilares básicos en los que se susena la direciva comuniaria, similares a Basilea II para enidades de crédio; - La especificación de los problemas de solvencia a los que se enfrenan las compañías de seguros, así como la anicipación a los mismos; y - El esablecimieno de los requerimienos cuaniaivos de capial para hacer frene a los riesgos de las compañías, para de ese modo poderlos supervisar.

11 Los informes écnicos desarrollados hasa la fecha, que son el desarrollo de Solvencia II, se denomina QIS. Ése cuena con diferenes capíulos (QIS, QIS2, QIS3, QIS4 y QIS5), siendo el seo el que acualmene esá en proceso de elaboración. A nivel de normas, Solvencia II se esrucura en cuaro niveles: Primer nivel: Comprende las direcivas básicas y reglamenos del parlameno europeo y del consejo. La anerior direciva se encuenra incluida en ese nivel. Segundo nivel: Se incluyen las direcivas y el reglameno de la comisión. Tercer nivel: Se incluye el comié cienífico, que esablece las guías y recomendaciones de carácer no obligaorias. Cuaro nivel: Se encuenra la comisión europea, que es la que realiza el seguimieno y vigilancia de la aplicación de la normaiva comuniaria por los esados miembros. Solvencia II esá rabajando en la Direciva D.2009/38/CE, una direciva marco que esudia medidas a desarrollar, encuadradas en el segundo nivel. El objeivo que preende es conseguir, con un nivel de significación del 5% y un horizone emporal de un año, que las enidades de seguros dispongan de los recursos propios suficienes para poder hacer frene a los riesgos asumidos. Uno de los aspecos clave a desarrollar por Solvencia II son los res pilares en los que se susena: En el primer pilar se lleva a cabo el esablecimieno y puesa a disposición de las enidades aseguradoras de mecanismos que les sirvan de ayuda para conrolar y calcular el nivel de fondos propios que deben de ener para poder afronar los niveles de riesgo asumidos. El pilar segundo se cenra en la enidad supervisora. En ese caso será dicha enidad la que ha de conar con mecanismos precisos que le permian conrolar la siuación financiera de las enidades 2

12 aseguradoras, así como conseguir el nivel de ajuse ópimo enre los niveles de fondos propios eigibles y los niveles de riesgo asumidos. El úlimo pilar preende mosrar una imagen de ransparencia al mercado por pare de las enidades aseguradoras de oda la información de la que dispongan para la oma de decisiones. Dicho de oro modo, en ese úlimo pilar se esablecen los requisios para que se pueda llevar a cabo la comparación de capiales enre enidades de seguros. Con el esablecimieno de los res pilares en los que se susena Solvencia II se persigue un riple objeivo. Por un lado conseguir fomenar, así como mejorar la inegración del mercado único europeo de seguros; inenar además que el secor sea compeiivo, así como lograr la convergencia y la supervisión enre los supervisores. 3

13 Mapa concepual : Solvencia II Informe KPMG + Informe Supervisora UE SOLVENCIA II CUESTIONES: Pilares básicos D.C. Deerminación problemas solvencia Requerimienos cuaniaivos de capial Niveles Solvencia II Pilares I. Direcivas básicas y reglamenos Parlameno Europeo. II. Direcivas y reglameno de la Comisión. III. Comié Cienífico (Guías + normas no obligaorias). IV. Seguimieno y vigilancia de la Comisión Europea. Primero: Mecanismos de conrol y cálculo de nivel de fondos. Segundo: Enidad supervisora. Tercero: Imagen de ransparencia por las aseguradoras. Triple Objeivo:. Inegración mercado único europeo de seguros. 2. Fomenar un secor seguro. 3. Convergencia y supervisión de supervisores. 4

14 Por odos los razonamienos aneriores, se puede afirmar que una enidad aseguradora no presenaría problemas de solvencia para el pago de las presaciones cubieras en las pólizas, ni ampoco presenaría pérdidas, si no se produjeran desviaciones desfavorables de la siniesralidad real con respeco a la esperada. Como en la realidad dichas desviaciones se producen, Solvencia II, en el informe écnico QIS5, esablece y fija deerminados niveles de capial eigibles a las aseguradoras para el ramo de vida, así como el incremeno o decremeno que ha de eperimenar el ano insanáneo de moralidad en el ramo de vida, rabajo al que se oriena esa esis, para eviar dichas desviaciones (definidos en el epígrafe.), en concreo para el seguro con coberura de fallecimieno y para el seguro con coberura de supervivencia. De ese modo, la direciva comuniaria propone unos niveles de capial para jusificar la prácica habiual que realizan las enidades de seguro de modificar dichos anos insanáneos de moralidad para así poder hacer frene a esas desviaciones de las que se ha hablado al inicio del párrafo anerior, obeniendo de ese modo unas primas de riesgo recargadas que son superiores a las primas sin recargar. En la acualidad, y según los daos faciliados por Eurosa, 20, la esperanza de vida iene un comporamieno creciene, siendo superior en las mujeres (85 años en mujeres frene a los 79 años de los hombres en el año 2009, úlimo año disponible en cifras). El efeco que ese fenómeno iene en la solvencia de la compañía de seguros es que ésa ha de esimar de manera correca las provisiones écnicas para no quedarse cora en el poserior abono de las presaciones cubieras en la póliza. Pero para cuanificar el riesgo en el ramo de vida es preciso ener en cuena oras variables, como puede ser el reaseguro cedido (el riesgo a analizar es el riesgo de conraparida, en el caso de que el reasegurador no pague) y el ipo de inerés écnico al que se descuenan los flujos para calcular los valores acualizados acuariales aneriormene nombrados. La cuanificación del riesgo viene deerminada por la prima a cobrar al omador, y por lo ano, cuano mayor sea el riesgo mayor será la prima que cobre la compañía aseguradora. Es por ese moivo por el que, en oda póliza, el riesgo asumido por la enidad aseguradora ha de definirse de manera clara. Para el ramo de vida el riesgo consise en el fallecimieno del asegurado (seguros de decesos) o en la supervivencia del mismo (seguros de supervivencia), pero en cualquiera de los dos casos el eveno que represena el pago de la presación por pare de la compañía de seguros ha de ser 5

15 accidenal, foruio o ajeno a la volunad del asegurado, eniéndose además en cuena que el volumen de la pérdida ha de ser significaivo desde la perspeciva del asegurado. Dicha presación represena el capial o capiales garanizados por la compañía en el momeno del acaecimieno del eveno cubiero en la póliza, pagadero al asegurado o al beneficiario en su caso, mienras que la conrapresación represena la prima única o periódica que la aseguradora cobra al omador de la póliza por admiir que ése le ransfiera su riesgo. 6

16 . Objeivo de la esis El objeivo de esa esis es obener un principio de cálculo de primas, para el ramo de vida, basado en una medida de riesgo coherene, que jusifique la recomendación de Solvencia II de incremenar o disminuir, según la modalidad de seguro elegida, los anos insanáneos de moralidad y conseguir de ese modo una prima recargada para hacer frene a las desviaciones de siniesralidad. Para ello se comienza definiendo el concepo de arificación. La arificación es la acividad que iene por finalidad deerminar la prima que se aplica para valorar los diferenes riesgos que cubre una compañía de seguros, habiéndose realizado previamene odos los cálculos necesarios, ano acuariales como esadísicos. En ese rabajo se han seleccionado deerminadas modalidades de seguro del ramo de vida, en concreo el seguro vida enera y el seguro de renas vialicio. Se demuesra que el méodo de arificación basado en la esperanza disorsionada, en forma de poencia, es consisene con la prácica de añadir un margen de seguridad a las probabilidades de fallecimieno o de supervivencia, dependiendo de la modalidad de seguro que se rae. De esa forma se jusifica, a parir de un principio de cálculo de prima, basado en una medida de riesgo coherene, una prácica habiual en la arificación en el ramo de vida. La prima basada en la esperanza maemáica presena riesgo de insolvencia, aunque se base en buenas esimaciones, derivado de las flucuaciones de la siniesralidad. Para proegerse de ese riesgo las compañías pueden recargar las primas de dos maneras, o bien eplíciamene (añadiendo una cuanía direcamene a la prima) o bien de manera implícia (las primas lleven el recargo incorporado denro de su sisema de cálculo), obeniéndose así las primas recargadas. Y lo que hacen es fijar un recargo écnico o de seguridad que proporcione esabilidad a la empresa aseguradora, pudiendo ser, o bien eplício o bien venir recogido de forma implícia en las bases de cálculo, mediane correcciones o modificaciones en las ablas de moralidad. La diferencia enre la prima recargada y la prima sin recargar es lo que se conoce con el nombre de recargo. 7

17 En los seguros de vida con coberura de fallecimieno una eperiencia de siniesralidad adversa significa que los asegurados fallecen anes de lo esperado. Así, cuando se calculan las primas, es una prácica común añadir un margen de seguridad implício, en forma de porcenaje, a las probabilidades de fallecimieno q, o bien emplear una abla de moralidad cuyas probabilidades de fallecimieno sean superiores a las del grupo humano considerado. Eso se puede inerprear como un incremeno del ano insanáneo con un múliplo. En el caso de los seguros de supervivencia la siuación es la inversa. Una eperiencia de siniesralidad adversa supone que los asegurados viven más iempo de lo esperado. En ese caso las compañías de seguro oman ablas de moralidad desfasadas, con probabilidades de fallecimieno inferiores y por ano con una disminución del ano insanáneo de moralidad. Se demuesra en esa esis que la modificación del ano se refleja en el hecho que dicho ano insanáneo de moralidad es muliplicado por el cociene, eniendo el parámero la inerpreación de aversión al riesgo del parícipe (Yiu-Kuen Tse (2009)). Como se indica en el QIS5 Technical Specificaions (Working Documen of he Commission services, European Commission, (200)), en los seguros de vida, el recargo de seguridad no suele formularse de forma eplícia, pero eise de forma implícia de la siguiene manera: -En los seguros para caso de muere, cuando las probabilidades de fallecimieno esimadas con la abla de moralidad empleada son mayores que las reales del grupo humano considerado. De ese modo se produce un incremeno en el ano insanáneo de moralidad. SOLVENCIA II recomienda un capial a la compañía aseguradora, para hacer frene a las desviaciones desfavorables que puedan surgir, que se obenga de incremenar dicho ano en un 5%, de un modo permanene y para odas las edades y pólizas que comprenden la carera. De ese modo la liquidez y solvencia de la enidad se enconrarán garanizadas. -En los seguros de supervivencia, cuando las probabilidades de supervivencia esimadas con las ablas de moralidad son superiores a las reales. De ese modo se produce un decremeno en el ano insanáneo de moralidad, lo que se raduce en que los asegurados sobreviven durane un iempo superior al esimado por la compañía. Eso ocurre cuando en la prácica se oma ablas de 8

18 moralidad desfasadas. SOLVENCIA II recomienda en ese caso y para hacer frene a las posibles desviaciones que puedan surgir, un capial que se obenga de decremenar dicho ano en un 20%, de un modo permanene y para odas las edades y pólizas que comprenden la carera. De ese modo la liquidez y solvencia del a enidad se enconrarán garanizadas. En 995 Wang, en su arículo de la revisa Insurance, Mahemaics & Economics, iulado Insurance pricing and increased limis by proporional hazards ransforms, ya propone un principio de cálculo de prima recargada para seguros del ramo no vida, a parir de la medida de riesgo coherene (Arzner, P (999)), la llamada esperanza disorsionada con la función de disorsión de Wang en su forma de poencia, (ransformada proporcional del ano insanáneo ), eniendo la función de disorsión la forma g(u) u, siendo condición necesaria para que dicha medida de riesgo sea coherene que el parámero. Se sigue la línea de invesigación abiera por Wang, dado que se propone un principio de cálculo de prima, la esperanza disorsionada con la función de disorsión ransformada proporcional del ano insanáneo, pero aplicado al ramo de vida. Se demuesra que el empleo de ese principio de cálculo de primas produce el mismo efeco de aumeno o disminución del ano insanáneo que uilizar una abla de moralidad con probabilidades de fallecimieno superiores o inferiores según el ipo de seguro. Por ano en ese rabajo se proporciona una jusificación, a parir de una medida de riesgo coherene, a una prácica habiual eisene en el ramo de vida. Perseguimos un doble objeivo: una epresión para la prima recargada que esé basada en la esperanza disorsionada en forma de poencia para la modalidad de seguro de fallecimieno (vida enera) y modalidad de seguro de supervivencia (seguro de renas vialicio). Para el seguro con coberura de supervivencia el valor del parámero ha de ser, mienras que para el seguro con coberura de fallecimieno es necesario que el valor del parámero sea. En ese úlimo caso se demuesra, aporándose como novedad en esa esis, que la medida de riesgo definida para Denominada Proporional Hazards Transforms (PH) 9

19 calcular la prima verifica los aiomas de medida de riesgo coherene, por lo que ese esudio supone una eensión del de Wang (en su arículo iulado Insurance pricing and increased limis by proporional hazards ransforms (995)). Tomando en consideración las indicaciones que hace SOLVENCIA II a las compañías de seguro en el QIS5, el valor que deberá omar el parámero para los seguros con coberura de fallecimieno será 0.5, mienras que para los seguros de supervivencia será de.20. En esa esis se ha ampliado el campo de variación numérico de dicho parámero en las dos modalidades de seguro para poder llevar a cabo una comparación, ano numérica como gráfica, enre la prima de riesgo recargada y la prima de riesgo nea o sin recargar, y de ese modo eraer conclusiones. En ambos casos se demuesra que no se modifica el modelo de ley de supervivencia, lo único que cambia es el valor del ano insanáneo. Para lograr el doble objeivo aneriormene definido, se empieza definiendo el principio de cálculo de prima basado en la función de disorsión de Wang, para después omar un caso paricular de función de disorsión en forma de poencia, que proporciona un principio de cálculo de prima basado en una medida de riesgo coherene. Se aplica a las dos modalidades de seguro aneriormene nombradas. 0

20 .2 Meodología uilizada La prácica habiual de cálculo de la prima única es omar el principio de la esperanza maemáica. En esa esis se presena una prima única recargada implíciamene para las dos modalidades de seguro indicadas, basada en la modificación de la función de supervivencia. A esa prima se la llama esperanza disorsionada y a la función de supervivencia ransformada se la llama función de supervivencia ajusada al riesgo, debido a que es la que permie obener primas únicas de riesgo recargadas. Como se ha comenado con anerioridad, esa forma de obener la prima recargada a ravés de una función de disorsión en forma de poencia ha sido ya uilizada en el ramo de no vida (Wang, (996)), para valores del parámero. En ese rabajo se aplica al ramo de vida para valores del parámero 0. Se razonan los valores que ha de omar el parámero aplicado a las dos modalidades de seguros de vida seleccionadas. Se obiene que la prima recargada obenida es una función creciene de, para los valores de, y decreciene con, para los valores de. Por esa razón dicho parámero puede considerarse como un parámero de aversión al riesgo, al como se ha comenado aneriormene.

21 .3 Resulados obenidos Se obiene un principio de cálculo de prima para seguros de vida, basado en la función de disorsión de Wang en su forma de poencia y se aplica a la modalidad de seguro de decesos (vida enera) y a la modalidad de seguro de supervivencia (seguro de renas). Esa prima obenida es una prima recargada implíciamene que refleja una siniesralidad superior a la esperada. Dicha prima esá basada en una medida de riesgo coherene. Mediane la uilización de la función de disorsión en forma de poencia no se va a modificar el modelo de ley de supervivencia. Únicamene se va a modificar el valor del ano insanáneo, siendo ése úlimo proporcional al ano insanáneo de la ley de supervivencia sin disorsionar, y siendo el facor de proporcionalidad el cociene. Con ese parámero se jusifica, a ravés de una medida de riesgo coherene, la prácica habiual en el ramo de vida de recargar el ano insanáneo. Se aplica ese principio de cálculo de prima en un primer momeno a nivel general, para poseriormene ejemplificarlo a las leyes de supervivencia de Dormoy (primera y segunda), Gomperz y Makeham. A lo largo de los capíulos cuaro y quino se va demosrar que la prima recargada para odas y cada una de las leyes de supervivencia empleadas y para las dos modalidades de seguro seleccionadas para el esudio es la misma que se obiene a parir de ora variable aleaoria, que sigue la misma ley de supervivencia, modificándose única y eclusivamene los parámeros de las leyes. Al rabajar con la modalidad de seguro con coberura de fallecimieno, el eponene de la función de disorsión, que es el facor de proporcionalidad ya definido, ha de ser mayor que uno, para que de ese modo la medida de riesgo esperanza disorsionada sea una medida de riesgo coherene por verificarse así los aiomas de coherencia. Se demuesra en el capíulo cuaro la propiedad de subadiividad para los valores concreos que oma el parámero para esa modalidad de seguro, realizándose dicha demosración del mismo modo que hizo Wang (995) para valores del facor de proporcionalidad menor que uno (siendo esos valores los que se aplican a un seguro con coberura de 2

22 supervivencia). De ese modo se conseguirá obener una prima de riesgo recargada mayor que la prima nea, eniendo la prima única de riesgo recargada y el facor de proporcionalidad una relación creciene. Al rabajar con la modalidad de seguro con coberura de supervivencia, el facor de proporcionalidad ha de ser menor que uno, para que de ese modo la esperanza disorsionada sea una medida de riesgo coherene por verificarse así los aiomas de coherencia (ya demosrado por Wang para valores de ). De ese modo el riesgo de longevidad será mayor al considerar la función de disorsión en forma de poencia, obeniéndose así una prima única de riesgo recargada mayor que la prima nea. La relación que endrá la prima única de riesgo recargada y el facor de proporcionalidad será en ese caso decreciene. Es imporane señalar que odos los cálculos numéricos realizados y mosrados en el apéndice cuaro para la obención de la prima única de riesgo, ano para un seguro vida enera como para un seguro de renas, mediane la aplicación de las diferenes leyes de supervivencia es ora de las aporaciones de esa esis, dado que dichos cálculos pensamos que no han sido realizados por nadie hasa la fecha, pueso que la medida de riesgo denominada esperanza disorsionada nunca hasa ese rabajo se ha aplicado al ramo de vida. Organización del rabajo de invesigación Comienza el capíulo segundo definiéndose lo que es una medida de riesgo, los ipos de medidas de riesgo y propiedades deseables, así como la relación enre una medida de riesgo y el cálculo de primas. Poseriormene se eplica el crierio que se ha seguido para seleccionar la más adecuada para ese esudio, que es una medida de riesgo basada en los principios de cálculo de primas. A nivel general, las medidas de riesgo han de cumplir una serie de propiedades que son consideradas como deseables. Así lo han esablecido deerminados auores como Gerber, Heilmann o Young. Y denro de la caegoría de propiedades deseables Arzner (999), en su arículo iulado Coheren measures of risk, ha esablecido una selección de las que se deben de verificar para que una media de riesgo sea considerada coherene. 3

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