Versión 3.1 (marzo 2010)

Transcripción

1 UNERSDD TENOLÓG NONL FULTD REGONL ROSRO UDRPOLOS ersión 3. (marzo ) Fernando ianchi Electrotecnia

2 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS UDRPOLOS marzo.doc Página de 4

3 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS ONTENDO ersiones DEFNONES uadripolo Tipos de cuadripolos uadripolos típicos EUONES DE L RED DE UN UDRPOLO TPOS DE PRÁMETROS OTENÓN de los parámetros UDRPOLOS PSOS REÍPROOS UDRPOLOS SMÉTROS ONEXONES DE UDRPOLOS onexión cascada onexión paralelo onexión serie onexiones mixtas (serie/paralelo) onexiones mixtas (paralelo/serie) Polaridad de la conexión MPEDNS DE ENTRD Y SLD mpedancia de entrada mpedancia de entrada en vacío en cortocircuito mpedancia de salida mpedancia de salida en vacío en cortocircuito uadripolos simétricos DPTÓN DE MPEDNS Máxima transferencia de energía mpedancia característica de cuadripolos simétricos daptación asimétrica TRNSFERENS Definición álculo de las transferencias... 3 UDRPOLOS marzo.doc Página 3 de 4

4 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS.3 Transferencia de impedancia imagen Factor de atenuación en decibeles NEXO TL DE ONERSON DE PRMETROS... 4 ERSONES Nº Fecha Modificaciones bril ersión inicial Marzo 6 mplía versión anterior. 7. onexiones de cuadripolos. ncorporación de ondiciones de O. rune 3 Junio 7 orrige error de versión anterior.3 Transferencia de mpedancia magen. orrección error en Factor de tenuación en decibeles. 3. Marzo No invalida versión anterior orrecciones aportadas por Nicolás Di Ruscio. UDRPOLOS marzo.doc Página 4 de 4

5 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS UDRPOLOS. DEFNONES. uadripolo Se llama cuadripolo a una red con dos pares de terminales accesibles desde el exterior, tales que en cada par, la corriente que entra por un terminal es igual a la que sale por el otro. Un par de terminales con esa característica se denomina puerto. Por ello, algunos libros denominan a los cuadripolos redes de dos puertos. uadripolo Fig. [] omo convención general, cuando se representa un cuadripolo, en cada puerto el terminal de arriba es el positivo por él entran las corrientes, tal como muestra la figura anterior. malla malla Esta red es un cuadripolo, a que cumple con las condiciones establecidas. Obsérvese que en cada puerto las corrientes que entran por un terminal salen por el otro son iguales, pues ambas coinciden con las corrientes de malla indicadas.. Tipos de cuadripolos Restringiendo el estudio a circuitos lineales, los cuadripolos se pueden clasificar de la siguiente manera: uadripolos lineales ctivos Pasivos on fuentes independientes on fuentes dependientes Recíprocos Simétricos La teoría de cuadripolos, según veremos, se aplica a circuitos pasivos, o circuitos activos con fuentes dependientes, vale decir que se excluen de esta teoría los circuitos que contienen fuentes independientes. UDRPOLOS marzo.doc Página 5 de 4

6 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS.3 uadripolos típicos Las siguientes son las configuraciones de red más comunes entre los cuadripolos. T (te) c T puenteada o puente unque el dibujo es distinto, ambas redes son iguales w z x c w z x c π (pi) c L (ele) Escalera c c elosía o puente Si bien el dibujo es diferente, ambas redes son iguales w w c z c x z x UDRPOLOS marzo.doc Página 6 de 4

7 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS. EUONES DE L RED DE UN UDRPOLO Plantearemos las ecuaciones de malla de un cuadripolo genérico, suponiendo que se compone de n mallas, de las cuales dos, accesibles desde el exterior, contienen los puertos. Nuestro objetivo es ver si se pueden establecer relaciones entre las 4 variables observables desde el exterior (,,, ) Malla 3 Malla n En este dibujo, las líneas dentro del cuadripolo representan ramas, que pueden contener resistores, inductores, capacitores fuentes. las mallas que contienen los puertos se asignan los números ; las mallas 3 a n están dentro del cuadripolo. En las ecuaciones, se emplea la siguiente simbología: ii Suma de las impedancias de la malla i ij Suma de las impedancias de la malla i comunes con la malla j. E i Suma de las f.e.m de la malla i Entonces, E j. j n. n E j. j n.n E j. j n. n E i i. i. i3. 3 ij. j in. n E n n. n. n3. 3 nj. j nn. n El comportamiento del cuadripolo queda descrito por n ecuaciones con n incógnitas. Si aplicamos la restricción de que en su interior no ha fuentes independientes, E 3 E 4 E n Mientras que en las mallas, que asoman al exterior: E E Entonces, las ecuaciones anteriores, quedan: UDRPOLOS marzo.doc Página 7 de 4

8 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS j. j n. n j. j n. n j. j n. n i. i. i3. 3 ij. j in. n n. n. n3. 3 nj. j nn. n De estas ecuaciones podemos despejar e en función de. plicamos el método de determinantes. n n3 nj nn 3 j n 3 i n 3 i 3 i n i i3 n3 j j 3j ij j 3j ij nj n n 3n in n 3n in nn Desarrollando por la º columna: es el determinante del denominador, el cofactor del elemento de la º fila, º columna, el cofactor del elemento de la º fila, º columna, signo incluido. Los demás elementos de la º columna son nulos. nálogamente, El determinante tiene dimensión de impedancia a la n, mientras que la dimensión de los cofactores es de impedancia a la n. En consecuencia, los cocientes entre cada cofactor el determinate tienen dimensión de impedancia a la, o bien, de admitancia. En las expresiones anteriores podemos llamar: on lo cual, quedan escritas en forma más compacta: [] UDRPOLOS marzo.doc Página 8 de 4

9 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS También suele escribirse, en forma matricial, del siguiente modo: O bien: Donde: Y Y se llama matriz admitancia del cuadripolo De esta manera, queda demostrado que existen 4 parámetros (,,, ), que llamamos parámetros admitancia o parámetros, con los que se pueden obtener las corrientes de los puertos de un cuadripolo en función de las tensiones de los mismos. Nótese que para ello no es necesario conocer la composición interna del cuadripolo. 3. TPOS DE PRÁMETROS Las variables que describen el comportamiento de un cuadripolo visto desde el exterior son 4:,,, Hemos visto que los parámetros admitancia permiten expresar e en función de como lo muestran las ecuaciones []. partir de esas ecuaciones podemos establecer otras relaciones. modo de ejemplo supongamos que queremos obtener las tensiones en función de las corrientes. Entonces, despejemos de [], por el método de los determinantes: Ordenando, Si llamamos: Podemos escribir: z z z z z z z z [] UDRPOLOS marzo.doc Página 9 de 4

10 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS Los parámetros z, z, z, z tienen dimensión de impedancia; por ende se llaman parámetros. Permiten obtener las tensiones de los puertos en función de sus corrientes. De manera análoga a la del ejemplo anterior, se pueden definir 6 juegos de parámetros de los cuadripolos. ncluendo los a vistos; son los siguientes: Nombre Notación matricial Matriz Ecuaciones dmitancia Y Y.... mpedancia z z z z z. z. z. z. Transmisión Γ Γ D... D. Transmisión inversa Γ Γ ' ' ' D'... D. Híbridos h H H h h h h h. h. h. h. Híbridos g G G g g g g g. g. g. g. El sentido de referencia para las tensiones las corrientes para los parámetros [Y], [], [h] [g] es el indicado en la figura [], vale decir que el terminal de arriba, de cada puerto, es el positivo la corriente entra por él. Para los parámetros [Γ] [Γ ] cambia el sentido de la corriente del puerto de salida: sale por el terminal de arriba. ualquier juego de parámetros se puede hallar en función de los otros 5. Esto implica que ha 3 relaciones posibles entre juegos de parámetros. Para evitar el trabajo de conversión entre parámetros cada vez que se necesita, se puede utilizar la tabla de conversión incluida en el nexo. UDRPOLOS marzo.doc Página de 4

11 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS 4. OTENÓN DE LOS PRÁMETROS Los distintos parámetros de un cuadripolo se pueden obtener de dos formas: Por cálculo, conociendo los componentes del cuadripolo Por ensao, midiendo las tensiones corrientes de los puertos En ambos casos se parte de las ecuaciones correspondientes a los parámetros que se desea obtener. Por cálculo Por ejemplo, para obtener los parámetros [Y], se debe partir de las ecuaciones: Haciendo cada tensión, en cada ecuación, resulta: Y Y Y3 Ejemplo En el siguiente ejemplo, conocidos los componentes internos de un cuadripolo, se calculan los parámetros [Y] Las condiciones, se pueden representar haciendo sendos cortocircuitos a la entrada a la salida. En tales casos el circuito se simplifica, con lo que se facilita el cálculo de los parámetros. on, Y3 puede eliminarse, a que estando cortocircuitada por ella no circula corriente. Resulta evidente que Y e Y forman un paralelo por el que circula. Entonces: Y Y Y3 Y l no circular corriente por Y3, la corriente por Y es. O bien.y. Y Y Y Y Y3 De allí: Y En el caso en que, Y puede eliminarse pues por ella no circula corriente. Y e Y3 quedan en paralelo, con lo que resulta: Y Y3 Y UDRPOLOS marzo.doc Página de 4

12 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS En resumen: Y Y Y Y3 Y Los componentes Y, Y e Y3 del circuito π se pueden expresar en función de los parámetros [Y]. Es inmediato que Y Luego, si en las dos primeras ecuaciones reemplazamos Y por o, obtenemos: Y Y Ejemplo Hallar los parámetros [] del siguiente cuadripolo T de la figura. Partiendo de las ecuaciones correspondientes a los parámetros []: z. z. 3 Tenemos: z. z. z 3 z 3 3 z 3 El cálculo de estos parámetros se facilita teniendo en cuenta las siguientes consideraciones. Para aquellos en que no ha caída de tensión en, por lo que queda aplicada directamente sobre 3 la corriente a través de 3 es. Para aquellos en que no ha caída de tensión en, por lo que queda aplicada directamente sobre 3 la corriente a través de 3 es. Podemos expresar los componentes del circuito T en función de los parámetros []. emos en las ecuaciones anteriores que 3 z z Y reemplazando esto en las otras ecuaciones, se obtiene z z z z zz zz zz Por ensao La obtención de los parámetros de un cuadripolo por medio de ensaos es teóricamente sencilla. Hemos visto que cada parámetro relaciona dos de las cuatro magnitudes que definen el estado de los puertos, bajo una determinada condición. Por lo tanto, para calcular cada parámetro se debe crear la condición que corresponde medir las dos magnitudes que intervienen en su cálculo. UDRPOLOS marzo.doc Página de 4

13 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS Una de estas dos magnitudes deberá ser proporcionada por una fuente, a fin de que se establezca un régimen no nulo. Por ejemplo, para hallar el parámetro, se debe cortocircuitar el puerto de salida medir la corriente la tensión en el puerto de entrada. Para generar el régimen no nulo, puede ser proporcionada por una fuente de tensión. El principal inconveniente práctico para hallar lo parámetros de un cuadripolo en régimen armónico, es que las magnitudes son fasores. En particular, para hallar, dada la condición, debemos hacer el cociente de los fasores, definidos cada uno por un módulo un ángulo de fase. De tal modo, resulta un número complejo cuo módulo es el cociente de los módulos de su fase la diferencia de fase entre. Para realizar el ensao, necesitaremos: ϕ i ϕ v una fuente de tensión alterna que proporcione la magnitud instrumental que permita medir módulos desfasajes. Se puede utilizar un osciloscopio de dos canales para determinar las relaciones de amplitud la diferencia de fase entre. Para calcular los demás parámetros [Y], o parámetros de cualquier otro tipo, se procede de manera similar. ( ϕi ϕv) 5. UDRPOLOS PSOS REÍPROOS El Teorema de reciprocidad establece que si en una red pasiva lineal se intercala una tensión en una rama (), obteniendo una corriente en una rama (), al intercalar la tensión en la rama () se obtendrá la misma corriente en la rama (). Sean () () las ramas obtenidas al cortocircuitar los puertos de un cuadripolo pasivo lineal. () () l intercalar en la rama () se mide en la rama (). El parámetro resulta: () () En adelante omitiremos indicar que las redes son lineales, a que la Teoría de uadripolos se aplica sólo a redes de ese tipo. UDRPOLOS marzo.doc Página 3 de 4

14 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS Por el teorema de reciprocidad, al intercalar en la rama () se medirá en la rama (). Entonces, el parámetro resulta: En consecuencia: ale decir que en un cuadripolo pasivo, sólo será necesario determinar 3 parámetros. En realidad, esta particularidad se da para todos los tipos de parámetros. Por ejemplo, en el punto 3 vimos como se podían obtener los parámetros z en función de los, resultando z z Luego, como, se deduce que z z. () () En la tabla del nexo se indica la relación que caracteriza los cuadripolos pasivos para cada tipo de parámetros. 6. UDRPOLOS SMÉTROS Los cuadripolos simétricos son aquellos en los que el funcionamiento no cambia si se permutan los puertos de entrada salida, El cuadripolo de la figura es un ejemplo de ello. Trabajando con los parámetros, z. z. z. z. Se observa que : z z demás de la igualdad entre z z derivada del carácter pasivo del cuadripolo, el carácter de simétrico, otorga otra simplificación: z z. Esto significa que un cuadripolo pasivosimétrico, queda definido con dos parámetros. Esto es válido para todos los juegos de parámetros, aunque con diferentes relaciones entre parámetros, según se muestra en la tabla del nexo. UDRPOLOS marzo.doc Página 4 de 4

15 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS La definición dada al comienzo, significa desde un punto de vista puramente matemático, que los subíndices con los que identificamos la entrada la salida pueden permutarse sin que el funcionamiento cambie. Los cuadripolos con fuentes dependientes, pueden ser aparentemente simétricos (en términos topológicos), pero no en su comportamiento. k. El circuito de la figura es un cuadripolo de apariencia simétrica, en cua rama central ha una fuente de tensión dependiente de la corriente. Su comportamiento cambia si permutamos entrada salida, pues la corriente de la cual depende la fuente no puede permutarse. Esto es lo que rompe la simetría. alculando z z se verifica que no son iguales, que la diferencia la determina precisamente la fuente dependiente. k. z z z z z k. omo z z z k 7. ONEXONES DE UDRPOLOS Dos o más cuadripolos pueden conectarse entre sí formando un nuevo cuadripolo. eremos las distintas formas en que pueden hacerlo, cómo se pueden calcular los parámetros del cuadripolo resultante en función de los parámetros de los cuadripolos que lo componen. Esto se aplicará a la resolución de dos tipos de problemas: a) Dados dos o más cuadripolos conocidos, que se asocian para obtener un sistema más complejo, se quiere estudiar el comportamiento de ese sistema. b) Dado un cuadripolo que presenta cierto grado de complejidad, se lo divide en cuadripolos más simples interconectados. Se calculan los parámetros de los cuadripolos más simples en función de ellos se obtienen los parámetros del cuadripolo original. Por simplicidad estudiaremos la conexión entre dos cuadripolos, a que según veremos, es evidente que se pueden extender los resultados obtenidos a la conexión de un maor número de cuadripolos. Ha varias formas de conectar cuadripolos entre sí que podemos clasificar en dos grupos. El primer grupo conecta la entrada de un cuadripolo con la salida de otro. Ha una sola forma de conexión de este tipo. El segundo grupo conecta entradas entre sí salidas entre sí. Ha 4 formas de conexión de este tipo. UDRPOLOS marzo.doc Página 5 de 4

16 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS 7. onexión cascada Se llama conexión en cascada la que corresponde al primer grupo. El puerto de salida de un cuadripolo se conecta al puerto de entrada de otro. Puede conectarse cualquier cantidad de cuadripolos de este modo, resultando un cuadripolo cua entrada es la del primer cuadripolo de la cadena (o la cascada), su salida la del último. La figura representa una cascada de cuadripolos,. omo sentido de las corrientes en los puertos de salida se ha tomado el que corresponde a los parámetros trasmisión. Ello se debe a que en este tipo de conexión resulta sencillo relacionar esos parámetros. Para cada cuadripolo podemos escribir: Γ Dado que la salida del cuadripolo coincide con la entrada de, es decir: Podemos reemplazar en la ecuación de la de : Luego, como las variables del puerto de entrada de las del puerto de salida de coinciden con las de los respectivos puertos del cuadripolo resultante, Entonces, la matriz transmisión del cuadripolo resultante es el producto de las matrices de. Y si hubiera N cuadripolos en cascada: [ ] [ Γ ] [ Γ ] [ Γ ] [ Γ ] [ Γ ] [ Γ ] [ Γ ] [ Γ ] N [ Γ] [ Γ ] [ Γ ] [ Γ ] Ejemplo 3. Supongamos que se conectan en cascada dos cuadripolos cuas matrices transmisión son: [ Γ ] [ Γ ] 6 5 UDRPOLOS marzo.doc Página 6 de 4

17 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS Hallar la matriz Γ del conjunto. uando se realiza el producto de matrices, el elemento de la fila i, columna j de la matriz resultante, es igual a la suma de los productos de los elementos de igual índice de la fila i de la primera matriz por los de igual índice de la columna j de la segunda matriz. 3 La disposición mostrada es meramente práctica, para facilitar esta operación x 4x 5x3 4x 6x 5x 6x3 5x Observaciones: mbas matrices son pasivas, pues cumplen que 5x5 6x4 x 3x, simétricas pues el elemento es igual al elemento D. La matriz resultante obviamente es pasiva, en efecto se verifica que 4x8 3x7. Sin embargo, dos matrices simétricas en cascada no tienen porqué dar por resultado una matriz simétrica. En este caso, la matriz resultante no lo es, pues D ( 4 D 8) El ejemplo de la derecha muestra un caso en que dos cuadripolos simétricos,, al conectarse en cascada dan por resultado un cuadripolo asimétrico. La regla que hemos establecido para resolver la conexión cascada supone que los parámetros transmisión, calculados para un cuadripolo aislado, no se modifican si los calculamos con otro cuadripolo conectado en cascada. Esta suposición es válida pues los parámetros transmisión valen para cualquier carga (como lo es un cuadripolo conectado a la salida) o cualquier excitación (como el caso de un cuadripolo conectado a la entrada) 7. onexión paralelo La entrada la salida de dos cuadripolos, se conectan en paralelo. En tal caso, las tensiones de entrada salida del cuadripolo resultante coinciden con las de cada uno de los cuadripolos, es decir: Por su parte, las corrientes de entrada salida del cuadripolo resultante son la suma de las respectivas corrientes de cada cuadripolo: UDRPOLOS marzo.doc Página 7 de 4

18 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS Si sumamos miembro a miembro las ecuaciones de los parámetros [Y] de cada cuadripolo obtenemos un resultado mu interesante. [ Y ] [ Y ] [ Y ] ([ Y ] [ Y ]) [Y] [Y ] [Y ] En los primeros miembros se suman las corrientes de los cuadripolos, dando por resultado las corrientes del cuadripolo resultante. En el segundo miembro, al ser las tensiones de cada cuadripolo iguales entre sí e iguales a las del cuadripolo resultante, se pueden sacar como factor común. Se ha utilizado la notación matricial por simplicidad, pero la misma demostración puede hacerse escribiendo las ecuaciones de los parámetros [Y]. Nota: la suma de dos matrices se hace sumando los elementos de igual fila columna. En el caso que vimos, [Y] [Y ] [Y ] significa:,,,, Este análisis es válido si los parámetros de cada cuadripolo, determinados cuando está aislado, no se modifican cuando se vincula con otro cuadripolo. Eso es estrictamente correcto en la conexión cascada, en la que un cuadripolo es carga o excitación del otro, a que una propiedad de los parámetros de los cuadripolos es su independencia de la carga de la excitación. En las otras conexiones, uno de los cuadripolos puede modificar los parámetros del otro, por lo que lo deducido no sería aplicable. 3 Para mostrarlo nada mejor que un ejemplo. onsideremos los cuadripolos de la figura determinemos el parámetro del de arriba. uando ese cuadripolo está aislado: 3 Y cuando se le conecta el de abajo: La diferencia estriba en que el cuadripolo de abajo pone en cortocircuito la impedancia 3. UDRPOLOS marzo.doc Página 8 de 4

19 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS Es evidente que esto ocurre siempre que se conecta un cuadripolo que tiene un polo común entre entrada salida (como el de abajo), con uno que no lo tiene. En esos casos no podemos aplicar la regla hallada más arriba. También cuando ambos cuadripolos carecen de bornes comunes entre entrada salida, puede haber diferencias entre los valores de los parámetros de los cuadripolos aislados conectados, debido a que quedan impedancias en paralelo que producen redistribuciones de corrientes tensiones. uando ambos cuadripolos poseen bornes comunes entre entrada salida, como en la siguiente figura, los parámetros de cada cuadripolo no se ven afectados al conectarlos. título de ejemplo, analicemos el parámetro del cuadripolo de arriba. on el cuadripolo aislado: l poner en cortocircuito la salida, queda aplicada sobre ambas admitancias en paralelo. Podemos ver que nada cambia cuando conectamos el cuadripolo de abajo. Estos cuadripolos con un polo común entre entrada salida se llaman desbalanceados. on ellos no tendremos problemas al aplicar la regla hallada para la conexión paralelo. omo contrapartida, los cuadripolos con impedancia no nula entre bornes de entrada salida se llaman balanceados. uando un cuadripolo de este tipo interviene en la conexión, la mencionada regla no se podrá aplicar sin un análisis previo que determine su validez. Utilizaremos las pruebas desarrolladas por O.rune que establecen las condiciones necesarias suficientes para poder aplicar la suma de parámetros [Y]. Para la conexión paralelo se deben cumplir las dos condiciones que muestra la figura 7.3 onexión serie En este caso, los puertos de entrada por un lado, los de salida por otro, se conectan en serie, con lo que las corrientes son comunes e iguales a las del cuadripolo resultante: UDRPOLOS marzo.doc Página 9 de 4

20 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS Mientras que las tensiones se suman: Sumando miembro a miembro las ecuaciones de los parámetros []: [ ] [ ] ([ ] [ ]) [ ] [ ] [ ] Esta regla tiene limitaciones similares a la de la conexión paralelo. La figura muestra las condiciones necesarias suficientes establecidas por O.rune para poder resolver con la suma de parámetros [] la conexión serie entre cuadripolos. 7.4 onexiones mixtas (serie/paralelo) En esta conexión, los puertos de entrada se conectan en serie los puertos de salida en paralelo. De tal manera: Sumando miembro a miembro las expresiones de los parámetros h: UDRPOLOS marzo.doc Página de 4

21 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS [ H ] [ ] H ([ H ] [ H ]) [ H] [ H ] [ H ] Esta figura muestra las condiciones de rune para que la suma de parámetros [H] sea válida. 7.4 onexiones mixtas (paralelo/serie) Sumando las expresiones de las matrices [G]: [ G ] [ G ] Esta es la última de las conexiones posibles: los puertos de entrada conectados en paralelo los de salida en serie. Las condiciones que la caracterizan son: ([ G ] [ G ]) [ G] [ G ] [ G ] UDRPOLOS marzo.doc Página de 4

22 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS ondiciones para que sea válida la suma de parámetros [G]: 7.5 Polaridad de la conexión En todos los casos planteados, las conexiones han respetado el sentido convencional de las corrientes tensiones en los puertos de cada cuadripolo. Esta forma de hacer la conexión la llamaremos normal, puede describirse del siguiente modo: uando se conectan dos puertos en paralelo, se unen entre si los terminales de la misma polaridad. uando se conectan dos puertos en serie, se conecta el terminal ( ) de uno de ellos al terminal () del otro. La conexión entre dos puertos es invertida cuando no sigue esas reglas. En el siguiente cuadro se representan las conexiones serie paralelo realizadas en forma normal en forma invertida. NORML NERTD PRLELO orriente tensión al revés SERE orriente tensión al revés UDRPOLOS marzo.doc Página de 4

23 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS En todos los casos, se asigna la polaridad normal al cuadripolo dibujado arriba (para nosotros el ). La polaridad de cada puerto del cuadripolo de abajo (el ), resultará normal o invertida según la forma en que esté hecha la conexión. eamos cómo se modifican las reglas halladas si ha conexiones invertidas. onsideremos dos cuadripolos conectados en paralelo; las entradas en forma normal la salida en forma invertida; esto significa que para el cuadripolo, son negativas (con respecto a la convención). En las ecuaciones de esto se refleja de la siguiente manera:.... Y si en la segunda de ellas, multiplicamos por () ambos miembros:.... El efecto de que sean negativas, equivale a que e se consideren negativas. Si la inversión se produce en el puerto de entrada, son negativas. Haciendo un análisis similar al anterior, se observa que el efecto también equivale a que e se consideren negativas..... por ().... Finalmente, si ambas conexiones, la de la entrada la de la salida estuvieran invertidas, habría que cambiar el signo de e por cada una de las inversiones, con lo que en definitiva su signo no cambiaría. Entonces este caso es igual que el de ambas conexiones normales. abe preguntase qué pasa con otras conexiones otros juegos de parámetros. En la siguiente tabla se presenta un método mu simple para poder hacer este análisis. UDRPOLOS marzo.doc Página 3 de 4

24 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS nversión onexión Parámetros en la entrada en la salida Paralelo [Y] Serie [] z z z z z z z z Serie/Paralelo [H] h h h h h h h h Paralelo/Serie [Г] g g g g g g g g ascada [Г] D ascada [G ] ' ' ' D' Las ecuaciones matriciales aquí representadas corresponden al cuadripolo, afectado por la inversión. Se analizan por separado la inversión de la entrada ( negativos) la de la salida ( negativos), para cada tipo de parámetros. El cambio de signo de cada una de estas variables, cambia los signos de los parámetros que están en la fila o en la columna afectada por la variable. En este cuadro, se han trazado líneas que cruzan las filas o columnas cuos parámetros cambian de signo. Los parámetros cruzados por una línea cambian de signo los cruzados por dos líneas lo cambian dos veces, es decir que no lo cambian. Para las conexiones serie paralelo, tanto puras como mixtas, las conclusiones son las siguientes: Si la conexión de uno de los puertos está invertida, ello equivale a cambiar el signo de los parámetros de la diagonal secundaria (los de subíndices ) del cuadripolo afectado (el ). UDRPOLOS marzo.doc Página 4 de 4

25 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS Si la conexión de ambos puertos estuviera invertida (para analizarlo habría que superponer las dos columnas de la tabla anterior) el resultado es el mismo que con ambas conexiones normales. En las conexiones en cascada no es común tener que analizar una conexión invertida. De todas maneras, de ser necesario, el análisis es un tanto distinto. En esta conexión, sólo se conectan entre sí un par de puertos. (La salida de con la entrada de ) Si mantenemos la regla de que el cuadripolo es la referencia el el afectado, debemos considerar que se invierte la entrada de, por ende, en la tabla anterior, se muestra sólo lo que ocurre en tal caso: cambia el signo de todos los parámetros, tanto para la matriz [Γ]como para [Γ ]. 8. MPEDNS DE ENTRD Y SLD 8. mpedancia de entrada La impedancia de entrada de un cuadripolo es el cociente entre la tensión la corriente que ingresa en el puerto de entrada. Es la impedancia que presenta el cuadripolo a la fuente que lo alimenta. Naturalmente depende de la impedancia con que está cargado el cuadripolo. De las ecuaciones correspondientes a los parámetros transmisión:... D. El cociente entre estas dos ecuaciones es la impedancia de entrada en función de los parámetros del cuadripolo la impedancia de carga, /:... D. D c c D 8. mpedancia de entrada en vacío en cortocircuito Para los dos casos extremos de carga, es decir vacío ( ) cortocircuito ( ), se definen las denominadas impedancias de entrada en vacío (v) e impedancia de entrada en cortocircuito (c). En las ecuaciones de los parámetros impedancia admitancia, trascriptas a continuación, se observa que z es la impedancia de entrada en vacío, mientras que es la admitancia de entrada en cortocircuito. z. z. z. z..... UDRPOLOS marzo.doc Página 5 de 4

26 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS También se pueden obtener en función de los parámetros transmisión, haciendo respectivamente, en la anterior ecuación de. Se obtiene lo siguiente: mpedancia de entrada con salida en vacío: v z mpedancia de entrada con salida en cortocircuito: c D 8.3 mpedancia de salida La impedancia de salida de un cuadripolo es el cociente entre la tensión la corriente que ingresa en el puerto de salida. Es equivalente a la impedancia interna de una fuente. uanto menor sea, maor será la capacidad del cuadripolo de erogar potencia. Para obtenerla, resulta apropiado emplear la matriz transmisión inversa, cuas ecuaciones son las siguientes:... D. omo es saliente, obtenemos haciendo el cociente entre. ' ' ' ' '. ' ' D' '. D' ' D' Para un cuadripolo pasivo, D, D,. Entonces: D D 8.4 mpedancia de salida en vacío en cortocircuito Son las impedancias de salida correspondientes a las condiciones de puerto de entrada abierto puerto de entrada en cortocircuito. En las ecuaciones de los parámetros impedancia admitancia se observa que z es la impedancia de salida en vacío mientras que es la admitancia de salida en corto. Para obtenerlas en función de los parámetros transmisión basta con hacer luego en la ecuación precedente de. Se obtiene: mpedancia de salida con entrada en vacío: D v z UDRPOLOS marzo.doc Página 6 de 4

27 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS mpedancia de salida con entrada en cortocircuito: c 8.5 uadripolos simétricos Dado que en los cuadripolos simétricos, z z resulta: v v c c 9. DPTÓN DE MPEDNS 9. Máxima transferencia de energía Se dice que existe adaptación de impedancias entre una fuente de energía una carga, cuando se produce la máxima transferencia de energía. En un régimen sinusoidal permanente ello ocurre cuando la impedancia de la carga (c), es el conjugado de la impedancia interna de la fuente (g). Es decir: ~ c g g Eg c Podemos suponer que la carga está conectada a una red activa genérica, en cuo caso g g son respectivamente la tensión la impedancia de Thèvenin de dicha red. En el caso particular del régimen continuo permanente, donde las reactancias son nulas, la condición de máxima transferencia se produce cuando la resistencia de la carga del generador son iguales. En general cuando se habla de máxima transferencia de potencia se hace referencia a la potencia activa, que es la que produce trabajo. φ S P Q Recordemos que en el régimen permanente sinusoidal, el producto de los valores eficaces de la tensión la corriente es la llamada potencia compleja, cua parte real es la potencia activa la parte imaginaria es la potencia reactiva. S P S R j jq X Para obtener la condición de máxima transferencia de potencia activa analicemos la ecuación: Pc Rc UDRPOLOS marzo.doc Página 7 de 4

28 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS Donde la corriente en la carga es: emos que la condición corriente la potencia. Establecida esa condición, c g Rc Rg j( Xc Xg) jxc jxg hace mínimo el denominador; por ende máxima la Para hallar la resistencia de carga que maximiza la potencia debemos hallar el valor que hace la derivada. dp dr ( ) ( Rg R ) ( Rg R ) 4 ( R R ) on ello queda probado que la condición de máxima transferencia de potencia activa es: R ~ jx R jx, o sea: c g P g.r R g g Rg R ( Rg R ) R Rg R g g R La potencia máxima resulta: P máx g 4 R uando la tensión del generador se compone de distintas frecuencias, la adaptación de impedancias se logra a una frecuencia determinada. frecuencias maores o menores, la potencia transferida a la carga disminue. fortunadamente para diversas aplicaciones, la potencia en la carga no es demasiado sensible a los cambios de la impedancia de carga. Para una impedancia de carga c k.g, la potencia en la carga con respecto a la máxima posible se puede obtener haciendo el cociente entre las expresiones de Pc Pcmáx. Resulta: P P máx 4 k ( k ) Esta relación produce los mismos valores para k que para /k. En la gráfica de la derecha se representa la ecuación anterior. Para un valor de k5, o sea para c 5.g, se ve que aún se transfiere más de la mitad de la potencia máxima. Lo mismo ocurre para k/5, sin embargo en esta gráfica resulta difícil de apreciar.,8,6,4, alores de k UDRPOLOS marzo.doc Página 8 de 4

29 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS En general, los gráficos logarítmicos suelen ser más apropiados para esta clase de fenómenos. Si en este caso representamos en el eje de absisas los logarítmos de k, se obtiene una gráfica simétrica donde resulta evidente que la potencia mengua de igual manera para k /k.,9,8,7,6,5,4,3,,,, alores de k GRÁFO LOGRÍTMO 9. mpedancia característica de cuadripolos simétricos uando el generador se vincula con la carga por medio de una línea cua influencia no es despreciable, esta se puede representar mediante un g cuadripolo, en general simétrico. c Si la impedancia de entrada de ese cuadripolo fuera igual a la impedancia de carga, el generador seguiría viendo el mismo valor de impedancia sobre sus bornes; entonces estaríamos en la condición de máxima transferencia. Naturalmente, es la condición de máxima transferencia con el cuadripolo insertado entre el generador la carga; si no hubiera cuadripolo, la transferencia sería maor. Hemos visto que c c D Proponiendo que la impedancia de entrada sea igual a la de carga, es decir c, llamando a ese valor, impedancia característica o impedancia imagen del cuadripolo, la ecuación anterior queda: Despejando: D ( D ) ± ( D ) Y como en un cuadripolo simétrico D: 4 UDRPOLOS marzo.doc Página 9 de 4

30 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS demás, como v c v D c D emos que tanto el producto de ambas impedancias de entrada como el de ambas impedancias de salida, es igual a ese radicando: v c D D v c pues D Por lo tanto podemos escribir: v c v c título de ejercicio, calculemos las impedancias características de los dos cuadripolos simétricos más comunes: el Τ el π. s p s p s p Podemos recurrir a cualquiera de las dos fórmulas de. La basada en los parámetros, cuas expresiones generales se muestran a la derecha, o la basada en las impedancias de vacío cortocircuito. Emplearemos esta última. Para el circuito Τ: v s p s p c s s p s p s.p [ ) ( ) s p s s p s s p s ( ) s s p Para el circuito π s p c s p ( s p) p v s p p ( s p) s p p s s p ( s p) ( s p) s p s p g 9.3 daptación asimétrica g c uando la impedancia de la fuente que excita un cuadripolo es diferente de la impedancia de carga, estas impedancias no pueden elegirse o modificarse para lograr su igualdad, la mejor transferencia se logra cuando el cuadripolo presenta simultáneamente una impedancia de entrada igual a la de la fuente una impedancia de salida igual a la de carga. UDRPOLOS marzo.doc Página 3 de 4

31 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS En tal caso, a no es posible hablar de una impedancia característica, sino de dos: la relacionada con el puerto de entrada (), que adapta la impedancia de la fuente g la relacionada con el puerto de salida (), que adapta la impedancia de la carga c. Las condiciones de adaptación pueden expresarse mediante las dos reglas siguientes: uando el cuadripolo se carga con una impedancia c, la impedancia de entrada debe ser igual a. uando en la entrada se conecta una impedancia g, la impedancia de salida del cuadripolo debe ser igual a. Recordemos las expresiones de las impedancias de entrada salida determinadas en el punto 8. c c D plicando las reglas anteriores: D D () D () D En esta ecuación se ha tenido en cuenta que debido al signo de la corriente, De las dos ecuaciones anteriores se pueden despejar. Primero eliminamos denominadores. La primer ecuación queda:.. D.. la segunda:... D. Restándolas: D... D. D D Y sumándolas:.. D... D.. Multiplicando dividiendo estos resultados obtenemos ambas impedancias características: D D onsiderando las impedancias de entrada salida, de vacío cortocircuito, expresadas en función de los parámetros transmisión, según se determinaron en el punto 8, resultan: v c v c UDRPOLOS marzo.doc Página 3 de 4

32 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS Se observa que para un cuadripolo simétrico, en el cual D, se verifica el resultado obtenido en 9.: v c v c. TRNSFERENS. Definición En un cuadripolo, recibe el nombre general de transferencia, el cociente entre una variable del puerto de entrada una variable del puerto de salida. omo en cada puerto tenemos dos variables (corriente tensión), podemos definir 4 transferencias con los nombres simbología mostradas en el siguiente cuadro. (Las variables de las columnas se dividen por las de las filas). Las inversas de estas relaciones, es decir los cocientes entre cada variable del puerto de salida (en las filas) cada una de las del puerto de entrada (en las columnas), también tienen el carácter de transferencias. Tendríamos entonces 4 transferencias del tipo entrada/salida 4 del tipo salida/entrada. los fines de cualquier teoría es redundante tratar ambos tipos, a que uno deriva en forma inmediata del otro. En particular, la teoría de cuadripolos emplea las transferencias del tipo entrada/salida. T v Transferencia de tensiones Transadmitancia(*) Transimpedancia(*) Y T i Transferencia de corrientes (*) En algunos libros se llaman transferencias de punto impulsor (driven point en inglés). álculo de las transferencias nteresa calcular las transferencias de un cuadripolo en función de sus parámetros. Naturalmente también dependerán de la carga del cuadripolo. Para este cálculo, los más adecuados resultan los parámetros transferencia. Partiendo de las ecuaciones correspondientes:... D. UDRPOLOS marzo.doc Página 3 de 4

33 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS De la primer ecuación: dividiendo por dividiendo por De la segunda ecuación: dividiendo por dividiendo por Tv c c Ti D c D D Y D c Estas ecuaciones permiten calcular las transferencias para cualquier tipo de cuadripolo, con excepción de los que contienen fuentes independientes, para los cuales no se pueden definir los parámetros..3 Transferencia de impedancia imagen Se llaman transferencias de impedancia imagen, las transferencias de tensión o corriente de un cuadripolo pasivo simétrico, cuando su impedancia de carga es igual a su impedancia imagen (c ). Reemplazando c por en las ecuaciones generales de Tv Ti, teniendo en cuenta que en los cuadripolos pasivos simétricos: ; D por simetría, por pasivo Resultan: Tv Ti Se observa que las ecuaciones para hallar Tv Ti son iguales dependen sólo del parámetro. es la transferencia de tensión con la salida en vacío ( ) D (igual a en cuadripolos pasivos simétricos) es la transferencia de corriente con la salida en cortocircuito ( ). D D si son simétricos Esto surge de las ecuaciones que definen los parámetros D: o bien de las ecuaciones generales de Tv Ti, considerando c para la condición de vacío c para la de cortocircuito. UDRPOLOS marzo.doc Página 33 de 4

34 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS Examinemos más en detalle los valores que pueden asumir estas transferencias cuando el cuadripolo es excitado con tensiones sinusoidales. Dada la simetría entre una otra transferencia, podemos trabajar con Tv extender los resultados a Ti. En primer lugar, debemos notar que son magnitudes complejas. También se puede escribir: β Tv β β β Tv β ( cosβ jsenβ) Tv Tv e jβ Tv con: Tv β β β Estas ecuaciones son generales para cualquier circuito de dos pares de terminales. El módulo de la transferencia suele llamarse razón de atenuación. Nos dice cuantas veces más chica es la tensión de salida que la de entrada, o dicho de otro modo, cuántas veces el cuadripolo atenúa la tensión aplicada a la entrada.. Por ejemplo, si Tv 5, ello significa que la tensión de salida es la quinta parte de la de entrada. alores menores que indican que la tensión de salida es maor que la de entrada; entonces se dice que el circuito, en lugar de atenuación, produce ganancia. Por su parte, β, el argumento de Tv, se llama factor de fase. Nos indica el desfasaje entre las tensiones de entrada salida, o bien, qué atraso le produce el cuadripolo a la tensión aplicada. Por ejemplo, si β 3º, ello significa que la tensión de salida atrasa 3º a la de entrada. alores negativos de β indican que el cuadripolo produce adelanto de fase. Factor de atenuación Nepper Por diversos motivos es conveniente establecer una unidad logarítmica para medir la atenuación. Entonces, así como la razón de atenuación es el módulo de Tv, su logaritmo natural se define como factor de atenuación, se mide en Neppers (se abrevia Np): α[np] ln Tv ln Para obtener la razón de atenuación en función del factor de atenuación α: Tv α e UDRPOLOS marzo.doc Página 34 de 4

35 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS La transferencia se puede expresar en función de los factores de atenuación (α) fase (β): jβ α jβ α jβ Tv Tv e e e e Donde γ α jβ se llama Transferencia compleja ontinuando con el factor de atenuación, se observa que si Tv, caso en que el cuadripolo no atenúa ni tiene ganancia, α. Si Tv >, implica atenuación α >. Si Tv <, implica ganancia α <. Esto trae como ventaja para las representaciones gráficas que el plano se divide por partes iguales entre las condiciones de atenuación ganancia. α El gráfico de la figura es un ejemplo de variación del factor de atenuación de un cuadripolo en función de la frecuencia. Se observa que en un rango de frecuencias comprendido entre ω ω, el cuadripolo tiene ganancia, mientras que para el resto de las frecuencias produce atenuación. γ e TENUÓN ω GNN ω ω Factor de atenuación en decibeles sí como el Nepper (Np) da una medida de la atenuación en una escala logarítmica natural, el ell () hace lo propio en una escala logarítmica decimal. Sin embargo, el ell no se definió a partir de la relación de tensiones sino de la relación de potencias: α [ Np] ln ln Tv P α[ d] log P P α[ ] log P Más usado es el decibel (d), que es una subunidad del el: d. Entonces: Las siguientes son las potencias cuando la carga es la impedancia imagen.. Nótese que se divide por las resistencias (no las impedancias) pues se trata de potencia activa P R R P R R α[ d] log log log T v UDRPOLOS marzo.doc Página 35 de 4

36 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS Podemos establecer una relación entre el decibel (o el el) el Nepper si despejamos Tv en sendas ecuaciones del factor de atenuación. Tv [ Np] plicando logaritmo decimal podemos hallar [ d ] viceversa si aplicamos logaritmo natural. α e α d α en función de ] α[np α [ d] log e α[ Np] α[ Np] 3 8,686 ln α {,5 [ d ] Ejemplo 4 Encontrar un cuadripolo pasivo adaptado a la carga que produzca una atenuación de d cuando se lo carga con una impedancia de valor j. La adaptación a la carga se produce cuando c j. Proponiendo un cuadripolo simétrico tipo T, tenemos incógnitas: s p. Debemos tratar de relacionarlas con las condiciones del problema: el valor de atenuación la impedancia característica. omenzando con esta última: v.c s p s Donde: v s p s p c s s p s s p j 4, 45º s s p 9º a) plicando la otra condición, es decir α d (o sea el), lo que equivale a Tv, para un cuadripolo cargado con su impedancia imagen, Tv De allí: ( ) es la atenuación del cuadripolo en vacío, o sea: s p p b) Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas. De b) p s 8 Reemplazando en a) 4 s s 9º s s 8,3 p 8 4 9º 45º 45º UDRPOLOS marzo.doc Página 36 de 4

37 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS Ejemplo 5 on una carga c j, la atenuación de un cuadripolo simétrico tipo T es de,8 Np la constante de fase, β 47,3º. Suponiendo que la impedancia de la pata de la T, pω (resistiva), hallar las impedancias serie. El módulo de la transferencia es e α ; entonces: Luego: T c 3,6 si 47,3º α,8 Np 3,6 Si ponemos en función de las impedancias de la Te, s p, podremos despejar s. s p p s s pω s s pω p p s.p s p s(s p) s p s s s p Luego, p ps s sp p T c s p s sp s c p c s sp 3,6 3 j L 47,3º p p c p c Reemplazando valores (cj p), s( j) ( j) s ( j) s s (3 j) s j 3 j j s (3 j) s j6 Resolviendo esa ecuación de segundo grado descartando la solución con parte real negativa, que implicaría una resistencia negativa: 3 j ± s (3 j) 4 ( j6) 3 j ± j8 3 j ± (3 j3) s j uando en un problema de este tipo, ambas soluciones tienen parte real negativa, significa que no ha una solución eléctrica. En cambio, la parte imaginaria, que representa la parte reactiva, puede ser positiva (inductiva) o negativa (capacitiva). UDRPOLOS marzo.doc Página 37 de 4

38 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS Ejemplo 6 Un generador tiene una impedancia interna inductiva pura de Ω, se acopla a una carga resitiva de Ω. Hallar los valores de las impedancias s p del cuadripolo de la figura, de manera que se logre la mejor adaptación del generador la carga. j Ω Se trata de una adaptación asimétrica. Ha que lograr que sea igual a la impedancia del generador a la de la carga. En el punto 9.3 vimos cómo se obtienen estas impedancias. D v c v c D En este problema parece mejor emplear las fórmulas con las impedancias de vacío cortocircuito. p s Ω Entonces: s p v p c v s p c s p s s (s p) p s g s p Trabajamos estas ecuaciones para hallar p s. c p s (s p) g () s (s p) c () En general, para simplificar la resolución de este tipo de ecuaciones de segundo grado, ha que tratar de aprovechar el hecho de que tienen términos comunes. En este caso, podemos despejar sp de la segunda ecuación reemplazarlo en la primera: c s p s p s g s p g c c s Reemplazando en la ecuación (), nos queda como única incógnita s. s g.c c s c.(c g) s c.(c g) En (): c g g (s p) s g c p s s s Para los valores de este problema: g c c (c g) p g.c c(c g) s j 4 j,, 3,3º 3,3º 8º, 66,7º g.c j p s, 3,3º 9,5 9,5 3,3º 3,3º 8º 9,5 76,7º UDRPOLOS marzo.doc Página 38 de 4

39 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS Debe notarse que las raices cuadradas generan dos soluciones desfasadas 8º. Las ubicadas en el segundo tercer cuadrante del plano complejo deben descartarse pues la parte real, correspondiente a la parte resistiva, es negativa. En este caso: s, 3,3º,53 j4,85 p 9,5 76,7º,8 j9,4 UDRPOLOS marzo.doc Página 39 de 4

40 ELETROTEN TEOR DE UDRPOLOS NEXO TL DE ONERSON DE PRMETROS Notas: Las matrices de cada fila son equivalentes. El factor que precede cada matriz multiplica cada uno de sus elementos. simboliza el determinante de una matriz ( x x.x x.x ) [] [Y] [Г] [Г] [H] [G] z z Γ D h h g [] / / / /h /g z z D Γ h g g z z D Γ h g g [Y] / z / / /h /g z z Γ D h h g z z D h h g [Г] /z / / G /h /g z D h g g z z D h g g [Г] /z / / Γ /h /g z D h h g z z Γ h h g g [H] /z / /D / / g z Γ h h g g z Γ h h g g [G] /z / / /D / h z z Γ h h g g Simplificaciones de parámetros para redes recíprocas redes simétricas Red pasiva z z Γ Γ h h g g Red simétrica z z D D h UDRPOLOS marzo.doc Página 4 de 4