TEMA V TEORÍA DE CUADRIPOLOS LINEALES Introducción Parámetros de Impedancia a circuito abierto.

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1 TEMA V TEORÍA DE CUADRIPOLOS LINEALES 5.1.-Introducción Parámetros de Impedancia a circuito abierto Parámetros de Admitancia a cortocircuito Parámetros Híbridos (h, g) Parámetros de Trasmisión Ejemplos de interés Circuitos de dos puertos con terminación Asociación de cuadripolos

2 V.1.- INTRODUCCIÓN. El interés del estudio de la teoría de cuadripolos (o redes bipuerta) estriba en el hecho de que cualquier red eléctrica bilateral lineal, activa o pasiva, se puede representar por una red de cuatro terminales, y estando esta teoría totalmente desarrollada, pueden aplicarse sus resultados al estudio de los componentes de circuitos electrónicos, especialmente a los transistores. Un "cuadripolo o red bipuerta" es una red que presenta únicamente dos pares de terminales accesibles. Una "puerta (o puerto)" es un par de terminales en los que la corriente que sale de un terminal es igual a la que entra por el otro. El estudio de circuitos de dos puertos es muy importante en el procesamiento de señales y, frecuentemente, un puerto representa la entrada y el otro la salida (entre los cuales no existe más conexión que la realizada a través del cuadripolo). La presentación y los resultados siguientes son generales e independientes de la naturaleza del circuito, siempre que éstos sean "lineales" e "invariantes en el tiempo". Figura 1 Se toman como referencias positivas, para tensiones y corrientes, las indicadas en la figura lateral: las corrientes son positivas cuando se dirigen hacia la red por el polo positivo (sea entrada o salida). Nos proponemos encontrar las relaciones entre tensiones (V 1 y V 2 ) y corrientes (I 1 e I 2 ), lo cual equivale a conocer las características del conjunto interno de la red. Los cuadripolos pueden clasificarse en: - Pasivos: En los que no existe ningún tipo de fuente de energía. - Activos: En los que existen fuentes dependientes (fuentes independientes supondría nuevas variables a tener en consideración). Todos los dispositivos electrónicos, tales como BJT, FET y Diodos semiconductores, son "no lineales". Sin embargo, bajo condiciones de señales de pequeña amplitud, estos dispositivos no lineales pueden ser aproximados adecuadamente a dispositivos lineales

3 El planteamiento de las relaciones entre tensiones y corrientes nos va a conducir a dos ecuaciones en las que, consideradas constantes dos de las variables, podemos obtener las otras dos como incógnitas. Existen pues, seis posibilidades, de las cuales las más interesantes son las tres primeras que vamos a ver (la elección depende de las características del circuito en cuestión). Figura 2 La Transformada de Laplace es útil y conveniente para el análisis de circuitos lineales e invariantes con el tiempo, por lo que utilizaremos este dominio de transformación (siguiendo la nomenclatura utilizada, representaremos estas variables en letra mayúscula). Si suponemos los condensadores como circuitos abiertos y las bobinas como cortocircuitos (para bajas frecuencias), el cuadripolo será "resistivo" y con parámetros reales (no complejos). V.2.- PARÁMETROS DE IMPEDANCIA. Eligiendo como variables independientes i 1 e i 2 (esto es, circuitos excitados por fuentes de corriente independientes), las ecuaciones del cuadripolo podrían expresarse de la forma: v 1 = f 1 (i 1, i 2 ) v 2 = f 2 (i 1, i 2 ) La variación de i 1 e i 2 supondrá una variación de las tensiones v 1 y v 2 : -121-

4 (1) En la región "cuasi lineal" de las curvas tensión/corriente, y en márgenes limitados (recordemos, pequeñas amplitudes), las derivadas parciales pueden considerarse constantes y sus dimensiones son de impedancia. En esa región de trabajo, los valores diferenciales son proporcionales a los "máximos", pudiendo escribirse: (2) Puesto en forma matricial: (3) El significado de las impedancias Z ij se obtiene mediante el Principio de Superposición: / Impedancia de entrada con salida en circuito abierto (i de input). / Impedancia de transferencia inversa con entrada en circuito abierto (r de reverse). / Impedancia de transferencia directa con salida en circuito abierto (f de forward). / Impedancia de salida con entrada en circuito abierto (o de output)

5 Figura 3 Nótese que en el circuito abierto, el puerto no recibe excitación (de intensidad). Estos parámetros se denominan impedancias a circuito abierto. Se determinan por cálculo, conociendo la configuración de la red, aplicando Transformada de Laplace (son, en general, funciones de la variable compleja s). También pueden obtenerse realizando medidas reales sobre el circuito, con señales alternas suficientemente pequeñas. El procedimiento es montar el circuito, excitándolo con las fuentes independientes y midiendo las variables dependientes, de la forma que se indica en las siguientes figuras (circuitos de definición y medición de los parámetros Z ij ): Figura 4 Figura 5 De la figura (a) se obtiene Z 11 (poniendo I 1 y midiendo V 1 ), de (b) se obtiene Z 12 (poniendo I 2 y midiendo V 1 ), de (c) Z 21 (poniendo I 1 y midiendo V 2 ) y de (d) Z 22 (poniendo I 2 y midiendo V 2 ). La ecuación matricial obtenida puede representarse mediante el circuito equivalente de Thevenin, según se aprecia en la figura siguiente

6 Figura 6 Al sumar y restar Z 12 I 1 en la expresión de V 2 podemos ver que: V 2 = Z 12 I 1 + Z 22 I 2 + (Z 21 - Z 12 )I 1 lo que nos da opción a un segundo circuito equivalente (denominado "circuito en T") con una sola fuente dependiente: Figura 7 V.3.- PARÁMETROS DE ADMITANCIA. Eligiendo las diferencias de tensión en la entrada de cada puerta como variables independientes (o sea, el circuito es excitado por fuentes de voltaje independientes), podremos poner que: i 1 = f 1 (v 1, v 2 ) i 2 = f 2 (v 1, v 2 ) (8) En la zona lineal de la curva tensión/corriente, las variaciones son proporcionales a las amplitudes máximas, con lo que puede escribirse: -124-

7 (9) Puesto en forma matricial: (10) Los parámetros Y ij, que tienen dimensiones de admitancia, pueden hallarse bien por cálculo, si se conoce la configuración del circuito, o bien por medidas directas del mismo, y tienen el siguiente significado: / Admitancia de entrada con salida en cortocircuito (i de input). / Admitancia de transferencia inversa con entrada en cortocircuito (r de reverse). / Admitancia de transferencia directa con salida en cortocircuito (f de forward). / Admitancia de salida con entrada en cortocircuito (o de output). Figura 8 Nótese que el cortocircuito se aplica al puerto que no recibe excitación de tensión. Igual que antes, la forma práctica de obtener los parámetros se indica en las siguientes figuras: -125-

8 Figura 9 Figura 10 De la figura (a) se obtiene Y 11 (poniendo V 1 y midiendo I 1 ), de (b) se obtiene Y 12 (poniendo V 2 y midiendo I 1 ), de (c) Y 21 (poniendo V 1 y midiendo I 2 ) y de (d) Y 22 (poniendo V 2 y midiendo I 2 ). La ecuación matricial obtenida puede representarse mediante el circuito equivalente de Norton, con dos fuentes de intensidad Figura 11 o bien, con una sola fuente dependiente, mediante el "circuito B equivalente", obtenido al sumar y restar Y 12 V 1 en la ecuación de I 2 (I 2 = Y 12 V 1 + Y 22 V 2 + (Y 21 -Y 12 )V 1 ) Figura 12 Como es lógico, los parámetros Admitancia y los parámetros Impedancia, estarán relacionados mediante una serie de ecuaciones. De hecho, si miramos la ecuación matricial, podemos ver que la matriz de impedancias (abreviadamente [Z]) y la matriz de admitancias (abreviadamente [Y]), son inversas (con lo cual, solamente -126-

9 se pueden encontrar todos ellos si cualquiera de estas matrices es regular, esto es, su determinante no es nulo). Si llamamos )Y al determinante de la matriz de admitancias, puede demostrarse (si no es nulo) que: (15) De manera similar podríamos obtener los parámetros Y en función de los Z. V.4.- PARÁMETROS HÍBRIDOS O MIXTOS. En este caso, vamos a tener dos posibilidades, llamados h ij y g ij. a) Parámetros h ij. Eligiendo como variables dependientes la tensión de entrada V 1 y la corriente de salida I 2 (el puerto 1 es excitado por una fuente de corriente independiente y el puerto 2 por una fuente de tensión independiente). Las ecuaciones del cuadripolo quedarían: Diferenciando: v 1 = f 1 (i 1, v 2 ) v 2 = f 2 (i 1, v 2 ) (16) Con las mismas consideraciones expuestas anteriormente: (17) Puesto en forma matricial: -127-

10 (18) Los parámetros h ij se denominan parámetros "híbridos" o mixtos, ya que su determinación se hace manteniendo los terminales abiertos o en cortocircuito, según convenga (aparte, por supuesto, de que no son del mismo tipo). Nótese que h 11 tiene dimensiones de impedancia, h 22 de admitancia, y h 12 y h 21 son adimensionales, al ser cociente de intensidades y de voltajes, respectivamente. El significado de estos parámetros es el siguiente: / Impedancia de entrada con salida en cortocircuito (i de input). / Ganancia inversa de tensión, con entrada en circuito abierto (r de reverse). / Ganancia directa de corriente, con salida en cortocircuito (f de forward). / Admitancia de salida con entrada en circuito abierto (o de output). Figura 13 De nuevo, podemos obtener el valor de estos parámetros, de forma experimental, de la manera mostrada en las siguientes figuras: -128-

11 Figura 14 Figura 15 De la figura (a) se obtiene h 11 (poniendo I 1 y midiendo V 1 ), de (b) se obtiene h 12 (poniendo V 2 y midiendo V 1 ), de (c) h 21 (poniendo I 1 y midiendo I 2 ) y de (d) h 22 (poniendo V 2 y midiendo I 2 ). Aplicando el teorema de Thevenin al puerto de entrada y el de Norton al de salida, se obtiene el modelo híbrido cuyo circuito equivalente es: Figura 16 Los parámetros híbridos están relacionados con la pendiente de las curvas características del circuito. Especialmente estos parámetros son muy fáciles de medir. Sin embargo, en el análisis de circuitos no es muy conveniente la utilización de los parámetros h (salvo circuitos con BJT o FET), empleándose los Z o Y. La relación entre los parámetros h y los Z, se obtiene identificando coeficientes entre las ecuaciones de los parámetros Z: (23) -129-

12 y las de los parámetros h: (24) de los parámetros Z podemos despejar, hasta llegar a los g: comparando los coeficientes, vemos que (27) o bien las inversas: (28) b) Parámetros g ij. De manera similar a la anterior, si V 1 e I 2 se toman como variables independientes (el puerto 1 es excitado por fuente de tensión independiente y el puerto 2 por una fuente de corriente independiente), obtendríamos: -130-

13 (29) siendo / Admitancia de entrada con salida en circuito abierto (i de input). / Ganancia inversa de corriente, con entrada en cortocircuito (r de reverse). / Ganancia directa de tensión, con salida en circuito abierto (f de forward). / Impedancia de salida con entrada en cortocircuito (o de output). Obsérvese que g 11 y g 22 tienen dimensiones de admitancia e impedancia, respectivamente, mientras que g 12 y g 21 son adimensionales. Obteniendo el circuito equivalente de Norton para la entrada y el de Thevenin para la salida, podemos dibujar el circuito equivalente: Figura 17 V.5.- PARÁMETROS DE TRANSMISIÓN. Al igual que en el caso anterior, también tenemos dos posibilidades (parámetros ABCD y parámetros A B C D)

14 a) Parámetros ABCD. Los parámetros de transmisión, conocidos también como "parámetros de cadena", relacionan las magnitudes de entrada con las de salida. Tomando como variables independientes V 2 y -I 2, entonces los parámetros dependientes serán V 1 e I 1. El signo negativo en I 2 es solamente una conveniencia (para que el sentido de la corriente de salida sea hacia afuera del circuito). La relación entre las variables dependientes e independientes de esta descripción está dada por los parámetros ABCD: (34) donde: / Ganancia de tensión inversa con salida en circuito abierto (i de input). / -Impedancia de transferencia con salida en cortocircuito (r de reverse). / Admitancia de transferencia con salida en circuito abierto (f de forward). / Ganancia inversa de corriente, con salida en cortocircuito (o de output). b) Parámetros de transmisión A B C D. De manera similar, si las variables independientes son V 1 y I 1, entonces los parámetros dependientes son V 2 y -I 2, y la relación entre ellos viene dada por: -132-

15 (39) Estos dos últimos tipos de parámetros son muy útiles en el análisis de "cascadas" de circuitos bipuerta, por lo cual el signo negativo se asocia con la corriente independientemente en cada descripción, ya que V 2 y -I 2 será la entrada del circuito bipuerta siguiente. V.6.- EJEMPLOS DE INTERÉS. La elección de una caracterización en término de ciertos parámetros depende del problema en cuestión, y en algunos casos, ciertas caracterizaciones no existen (por ejemplo, el transformador ideal no tiene una descripción en términos de parámetros Z o Y, pero sí para los demás parámetros). En algunos casos, una elección particular puede producir una presentación muy simple, como veremos en los siguientes ejemplos. Comenzaremos viendo fuentes controladas ideales (en ellas, pondremos como variables independientes aquellas que desconocemos), el transformador ideal, y terminaremos con algunas redes interesantes. - Fuente de voltaje, controlada por voltaje (VCVS). (Amplificador ideal de tensión). Figura 18 (40) Vemos que usando los parámetros g, la descripción es muy sencilla (g 21 = :; g 11 = g 12 = g 22 = 0)

16 - Fuente de corriente, controlada por voltaje (VCCS). (Amplificador ideal de transconductancia). Figura 19 (41) En este caso, la descripción mediante los parámetros Y es muy sencilla (Y 21 = g m ; Y 11 = Y 12 = Y 22 = 0). - Fuente de corriente, controlada por corriente (CCCS). (Amplificador ideal de corriente). Figura 20 (42) En este caso lo más simple son los parámetros h (h 21 = ß; h 11 = h 12 = h 22 = 0). - Fuente de voltaje, controlada por corriente (CCVS). (Amplificador ideal de transresistencia). Figura 21 (43) -134-

17 Vemos que usando los parámetros Z, la descripción es muy sencilla (Z 21 = r m ; Z 11 = Z 12 = Z 22 = 0). La única alternativa para todos los anteriores circuitos es la de los parámetros ABCD. - Transformador ideal. Las ecuaciones, esquema y circuito equivalente del transformador ideal son: Tomando I 1 y V 2 como variables independientes: (45) caracterización de parámetros h (h 12 = n 1 /n 2 ; h 21 = n 1 /n 2 ; h 11 = h 22 = 0). La aplicación principal de los circuitos siguientes la veremos, adelantándonos a lo que estudiaremos en el siguiente punto de forma genérica, pero que aquí veremos de forma particular: que impedancia se ve desde la entrada de estos circuito, cuando colocamos una impedancia genérica Z L (monopuerta) en su salida?. En todos estos casos usaremos los parámetros de transmisión en cascada: - Inversor Positivo de Impedancias (I.P.I. o Girador o Rotor). Sus ecuaciones son: -135-

18 Al colocar una impedancia Z L genérica en la salida, la impedancia Z g que vemos desde la entrada la calcularemos de la siguiente forma: De ahí vemos el nombre que recibe el circuito: Girador, porque lo que hace es girar la impedancia (esto es muy interesante, porque un condensador lo convertiría en una bobina y viceversa). - Conversor Negativo de Impedancias (C.N.I.). Sus ecuaciones son: En este caso, cambia el signo de una impedancia ( Interesante!!)

19 - Conversor Positivo de Impedancias (C.P.I. o Transformador ideal). Sus ecuaciones son: Vemos que se comporta como un transformador ideal (visto anteriormente). - Inversor Negativo de Impedancias (I.N.I.). Sus ecuaciones son: -137-

20 V.7.- CIRCUITOS DE DOS PUERTAS CON TERMINACIÓN. Como se ha mencionado en el anterior apartado, vamos a estudiar qué ocurre cuando se conecta una red monopuerta a la salida o entrada de un cuadripolo. Solamente nos vamos a ocupar de los parámetros de impedancia, para el resto se procedería de forma análoga. Figura 31 Al acoplar una carga Z L a la salida del cuadripolo, la impedancia de entrada Z inp del circuito queda modificada (respecto a Z 11 ): Recordando las ecuaciones de los parámetros Z, podemos operar de la forma: Podemos ver que cuanto mayor sea Z L (comparada con la impedancia de salida del cuadripolo Z 22 ) más se aproxima Z inp a Z 11. Figura 32 Al acoplar una impedancia (debida a una fuente) Z S a la entrada de un cuadripolo, la impedancia de salida Z out quedará modificada (respecto a Z 22) de la siguiente forma: -138-

21 Finalmente, la impedancia de transferencia se define como la relación entre la tensión V 1 aplicada a la entrada y la corriente I que produce a la salida (sobre la carga): Los parámetros aquí definidos también se llaman "parámetros imagen", así, la impedancia Z L conectada en los terminales de salida, se ve desde los terminales de entrada como Z inp (igualmente puede decirse de Z out ). Frecuentemente es útil emplear el parámetro k ij, el cual relaciona las variables dependiente e independiente mediante la ecuación matricial siguiente: (65) donde k ij representa Y ij, Z ij, h ij o g ij, dependiendo de la elección de las variables dependientes e independientes. Por ejemplo, si M i1 es I 1, M i2 es V 2, M d1 es V 1 y M d2 es I 2, entonces k ij denota a h ij. La fuente será representada por una impedancia R S y la carga por una admitancia G L. Para evitar confusión, ' S y ' L deben utilizarse para las terminaciones de fuente y de carga, al emplear los parámetros k

22 V.8.- ASOCIACIÓN DE CUADRIPOLOS. Cuando circuitos bipuerta se conectan entre si, los parámetros del circuito combinado se obtienen al sumar directamente los parámetros de dos puertos de los circuitos originales (Z ij, Y ij, h ij, g ij ), siempre que la variable independiente sea común a los dos puertos y que la interconexión no cambie los conjuntos de parámetros. En otras palabras, la adición directa de los parámetros correspondientes se permite si la corriente que entra a un terminal por un puerto tiene el mismo valor que la corriente que sale de la terminal del mismo puerto. Vamos a realizar este proceso más detenidamente, en las cuatro posibilidades que tenemos (aunque de forma explícita, solamente lo realizaremos para los parámetros Z, ya que para los demás, el procedimiento es totalmente idéntico), además de la conexión en cascada. a) Conexión Serie/Serie: Figura 33 Vemos que: V a = V 1 + V' 1 ; V b = V 2 + V' 2 (I) I a = I 1 = I' 1 ; I b = I 2 = I' 2 (II) Usando parámetros Z y teniendo en cuenta (I): Teniendo en cuenta (II) y sacando factor común: Por otra parte, sabemos que para el cuadripolo total, como para cualquier otro cuadripolo: -140-

23 Comparando estas dos últimas expresiones matriciales, llegamos a la conclusión de que: [Z] tot = [Z] 1 + [Z] 2 b) Conexión Paralelo/Paralelo: Vemos que: Figura 34 V a = V 1 = V' 1 ; V b = V 2 = V' 2 I a = I 1 + I' 1 ; I b = I 2 + I' 2 Siguiendo un procedimiento totalmente análogo al anterior, puede llegarse a la conclusión de que: [Y] tot = [Y] 1 + [Y] 2 c) Conexión Serie/Paralelo: Figura 35 Vemos que: I a = I 1 = I' 1 ; V b = V 2 = V' 2 V a = V 1 + V' 1 ; I b = I 2 + I'

24 Siguiendo un procedimiento totalmente análogo al anterior, puede llegarse a la conclusión de que: [h] tot = [h] 1 + [h] 2 d) Conexión Paralelo/Serie: Figura 36 Vemos que: V a = V 1 = V' 1 ; I b = I 2 = I' 2 I b = I 1 + I' 1 ; V b = V 2 + V' 2 Siguiendo un procedimiento totalmente análogo al anterior, puede llegarse a la conclusión de que: [g] tot = [g] 1 + [g] 2 e) Conexión en cascada: Figura 37 Vemos que: V a = V 1 ; V b = V' 2 ; V' 1 = V 2 I a = I 1 ; I b = I' 2 ; I' 1 = -I

25 Como para el circuito global también podemos poner: Comparando las dos últimas ecuaciones matriciales, llegamos a la conclusión siguiente: [A] tot = [A] 1 * [A]