Tema 3. Apartado 3.3. Análisis de sistemas discretos. Análisis de estabilidad

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1 Tema 3. Apartado 3.3. Análisis de sistemas discretos. Análisis de estabilidad Vemos que la región estable es el interior del circulo unidad, correspondiente a todo el semiplano izquierdo en s. El eje imaginario se corresponde con la circunferencia unitaria y el semiplano derecho con el exterior. Además, vemos que todos los polos continuos cuyas frecuencias naturales difieren en un múltiplo entero de la frecuencia de muestreo, coincidirán en la misma posición del plano Z. Luego, cada polo en el plano Z se corresponde con infinitos polos en s y la banda entre -j s / y j s / (banda primaria) con todo el plano Z. Utilizando valores fijos del factor de amortiguamiento () y de la frecuencia natural ( n ), obtenemos en Z el mapeo de los polos continuos, según su dinámica. Hay que calcular las raíces de la ecuación característica P (z) en discreto, utilizando software matemático cuando el orden es alto. Por ejemplo, comando roots (P). 3

2 Tema 3. Apartado 3.3. Análisis de sistemas discretos. Análisis de la respuesta transitoria y permanente Respuesta transitoria: Lo mas sencillo es hacer el análisis dinámico en continua, donde sabemos que, ante entrada escalón: Sistemas de primer orden: Re bose Tiempo de pico No existen. Tiempo de retardo :t 0,7 Tiempo de subida :t, Tiempo de establecimiento : t 3 Sistemas de segundo orden: d r s G LC G K (s) 1 s K n LC(s) s ns n 1 1 Re bose : R Ke o R 100e % para 0 1 Tiempo de pico : t p para n 1,1 0,150,469 Tiempo de retardo : td para 0 1, 6 10,417,917 Tiempo de subida : t r para 0 1, 6 Tiempo de establecimiento : t s n n n 4,5 para 0 0,69 ts para 0,69 1, n 33

3 Tema 3. Apartado 3.3. Análisis de sistemas discretos. Análisis de la respuesta transitoria y permanente Respuesta transitoria: Las expresiones anteriores son validas para sistemas de orden superior que tengan polos dominantes de primer o segundo orden ver subapartado siguiente-. Sin embargo, debemos tener en cuenta que los polos no dominantes y los ceros del sistema tienen su influencia dinámica aditiva, haciendo los primeros que el sistema sea mas lento y los segundos más rápido; tanto más cuanto más cerca estén del eje imaginario. Ejercicio 5: Calcular el rebose y el tiempo de establecimiento del sistema discreto con T=1 s.: G(z) 0,386z 0, 64 (z z 0,63)(z 0,1) Ejercicio 6: Calcular las posiciones en el plano Z de los polos de un sistema discreto con T=0,1 s. para que cumpla las especificaciones dinámicas: Rebose R=15% y tiempo de pico t p =3 s.: 34

4 Tema 3. Apartado 3.3. Análisis de sistemas discretos. Análisis de la respuesta transitoria y permanente Respuesta en permanente: La respuesta dinámica en el permanente se juzga por el error de seguimiento del sistema al terminar el transitorio ante entradas escalón, rampa y aceleración. 1 E(z) R(z) GH(z)E(z) R(z) G LA (z)e(z) E(z) R(z) 1 G (z) LA Aplicando el teorema del valor final: 1 lim x(kt) lim (1 z )X(z) X(z) estable k z1 1 1 es lim e(kt) lim [(1 z )E(z)] lim [(1 z ) R(z)] k z1 z1 1 G LA (z) Considerando ahora las diferentes entradas tipo, se obtienen los errores estáticos permanentes- de posición, velocidad y aceleración: z Error estático de posición: r(t) 1 R(z) e lim [(1 z ) ] lim [ ] donde K lim G (z) 1 sp 1 p LA z1 1G z 1 z 1 LA (z)1z 1G LA (z) 1K p 35

5 Tema 3. Apartado 3.3. Análisis de sistemas discretos. Análisis de la respuesta transitoria y permanente Respuesta en permanente: Error estático de velocidad: sv r(t) t R(z) 1 Tz T 1 (1 z )G (z) e lim [(1 z ) ] lim [ ] donde K lim [ ] Tz 1 z LA 1 1 v z1 1 G z 1 z 1 LA (z) (1z ) (1z )G LA (z) K v T Error estático de aceleración: r(t) t R(z) T (1 z )z z T (1z )z T 1 (1z ) G LA (z) esa lim [(1 z ) ] lim [ ] donde K 3 1 a lim [ ] z1 1 z 1 z 1 1G LA (z) 1 z (1 z ) G LA (z) K a T Esta claro que, para conseguir errores nulos en el permanente, necesitamos un integrador adicional (polo en z=1) por cada incremento de orden de la entrada. Ejercicio 7: Calcular los errores estáticos para un sistema G(s) Ts 10(1 e ) s(s1) muestreado con T=1 s., según el esquema visto al comienzo del apartado, donde H(s)=1. 36

6 Tema 3. Apartado 3.3. Análisis de sistemas discretos. Raíces dominantes de la ecuación característica Raíces dominantes de la ecuación característica. Reducción de orden: Seleccionar las raíces dominantes de un sistema de orden alto nos permitirá reducir el orden de las funciones de transferencia para aprovechar los métodos de análisis y síntesis basados en sistemas tipo de primer y segundo orden. De igual manera que, en continua, los dominantes eran los cercanos al eje imaginario, en discreto son los cercanos a la circunferencia unidad y serán menos influyentes cuanto más cerca del origen. Para reducir el orden de una FT sin alterar mucho la dinámica: - Sustituiremos los polos y ceros próximos al origen por polos y ceros en z=0. - Cancelaremos los polos-ceros próximos entre si, si no son dominantes. - Ajustaremos la ganancia de la FT reducida para igualar el permanente: lim G (z) orig z1 lim G orig (z) K lim G redu (z) K z1 z1 lim G redu (z) z1 - Tendremos en cuenta que los polos/ceros eliminados hacen que el sistema resultante sea más rápido/lento y con mayor/menor rebose que el original. Tanto más cuanto más dominante. Ejercicio 8: Reducir el sistema siguiente hasta una FT de tercer orden: (z 0,8)(z 0,15)(z 0, z 0, 0101)(z 0, 43)(z 0, 6z 0,1) G(z) 0,5744 (z 0,6)(z 1,8z 0,8)(z 0, 44)(z 0,1)(z 0,56z 0,098)z 37

7 Tema 3. Apartado 3.3. Análisis de sistemas discretos. Selección del periodo de muestreo Selección del periodo de muestreo: Limite superior para T. Se da por supuesto que cuanto menor sea T, más nos acercamos al continuo y mejor es el rendimiento. Sin embargo, eso encarece el plataformado y nos obliga a utilizar un periodo de muestreo suficientemente pequeño para cada aplicación. Podemos considerar en la elección varios aspectos: 1. El ancho de banda del sistema a controlar: Dado que la mayoría de los sistemas a controlar son pasa-baja, atenúan las señales suficientemente por encima de su banda de paso AB. Entonces, s (10 0) T. Los polos deseados para el lazo cerrado: Teniendo en cuenta lo anterior, si queremos fijar al sistema controlado unos polos s 1, =j, tendremos que: AB s (10 0) T 3. El tiempo de subida (t s ) del sistema controlado: Alternativamente, podemos usar: T t s (10 0) 4. Ruido y perturbaciones en el sistema: Cuanto mayor sea T, mayor es la sensibilidad del sistema a ruido y perturbaciones. 5. Errores en los parámetros del modelo del sistema: Cuanto mayor sea T, mayor es la sensibilidad del lazo a errores en los parámetros del modelo de la planta. 38

8 Índice Tema Controladores de Automatización Programables (PAC) en el contexto industrial: programación, prototipado rápido de controladores, entornos de simulación numérica y generación automática de código, targeting, control remoto de PACs. 3.. Sistemas de control en tiempo discreto: sistemas de control digital, ecuaciones en diferencias, la transformada Z, la transformada Z inversa (Z -1 ), resolución de ecuaciones en diferencias Análisis de sistemas discretos: análisis de estabilidad, análisis de la respuesta transitoria y en el permanente, raíces dominantes de la ecuación característica, selección del periodo de muestreo Diseño de sistemas de control digital: Diseño en continua y discretización de controladores (opción 1) Diseño de compensadores discretos, mediante métodos convencionales. A) Controlador PID digital: diseño en continua (opción 1) y diseño en discreto (opción ). B) Diseño de controladores digitales basado en el lugar de las raíces (opción ). C) Diseño de controladores digitales en el dominio de la frecuencia (opción ) Diseño directo en discreto: método analítico (opción ). 39

9 Diseño en continua+discretización Opción 1: Diseño en continua + discretización controlador Modelo Discreto: G(z) H(s) + Referencia e[k] u[k] - y[k] G(s) DAQ ADC DAQ DAC u(t) Instalación y(t) r(t k ) e[k] G(s) Controlador u[k] DAQ u(t) Proceso: actuadores+instalación +sensores H(s) y(t) DAQ y[k] 40

10 Diseño en continua+discretización Opción 1: Diseño en continua + discretización controlador. Entorno MathWorks: Cinco pasos: 1. Modelizado planta en continua (Simulink). (Se proporciona). Estimación parámetros planta (Simulink Design Optimization). (Se proporciona) 3. Diseño estructural del controlador (Control System Toolbox+Simulink Design Optimization). (Se proporciona). 4. Ajuste de los parámetros del controlador PID (Control System Toolbox: PID Tune). (PL 3a) 5. Discretización del controlador e implementación. (M+PL 3a+3b). 41

11 Diseño en continua+discretización Opción 1: Diseño en continua + discretización controlador 5. Discretización del controlador e implementación (M). Método 1: Euler (Backward approximation) Función discreta integrada q(k): qk ( ) qk ( 1) Tf( k) qz z qz Tf z qz z Tf z 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )(1 ) ( ) Integrador discreto D(z): qz ( ) T zt f( z) D( z) q( z) D( z) f z z z 1 ( ) (1 ) ( 1) Aproximación de Euler-Backward al integrador continuo: 1 Tz z 1 s s z1 Tz Ejercicio 9: Calcula el equivalente discreto de la red de adelanto G cs (s) empleando Euler con T=0.1 s. s Gcs () s 10 s 10 4

12 Diseño en continua+discretización Opción 1: Diseño en continua + discretización controlador 5. Discretización del controlador e implementación (M). Método : Tustin (Bilineal o Trapezoidal) Función discreta integrada q(k): T T qk ( ) qk ( 1) Tf( k1) f( k) f( k1) qk ( 1) f( k) f( k1) 1 T 1 1 T 1 qz ( ) z qz ( ) f( z) z f( z) qz ( )(1 z ) f( z)(1 z ) Integrador discreto D(z): 1 qz ( ) T1 z T z1 f( zdz ) ( ) qz ( ) Dz ( ) 1 f( z) 1 z z1 Aproximación de Tustin al integrador continuo: 1 T z1 z1 s s z1 T z1 Ejercicio 10: Calcula el equivalente discreto de la red de adelanto G cs (s) empleando Tustin con T=0.1 s. s Gcs () s 10 s 10 43

13 Diseño en continua+discretización Opción 1: Diseño en continua + discretización controlador 5. Discretización del controlador e implementación (M). Método 3: Método de igualación polo-cero. Función discreta representada en el dominio continuo: x( t) x( kt) ( tkt) x(0) ( t) x( T) ( tt) x( T) ( t T)... k 0 Aplicamos Laplace a x*(t): kts X *( s) L[ x*( t)] x( kt) L[ ( tkt)] x( kt) e k0 k0 Comparando esta con la definición de la transformada Z, ambas son idénticas si: Ts e z Vamos a utilizar esa relación para obtener los polos y ceros del controlador digital, corrigiendo la ganancia con: lim G ( s) lim G ( z) cs s0 z1 cz Ejercicio 11: Calcula el equivalente discreto de la red de adelanto G cs (s) empleando el método de igualación polo-cero con T=0.1 s. s Gcs () s 10 s 10 44

14 Diseño en continua+discretización Opción 1: Diseño en continua + discretización controlador 5. Discretización del controlador e implementación (M). Método 4: Método de la invarianza impulsional. La respuesta impulso del continuo y el discreto se igualan los los instantes de muestreo: G ( z) 1 Z[ G ( s) 1] G ( z) Z[ G ( s)] cz cs cz cs Esto es, la transformada Z de la respuesta impulso del sistema continuo se iguala a la respuesta impulsional del sistema digital. Equivale a aplicar la transformada Z a G cs (s) Método 5: Método de la invarianza escalón. La respuesta escalón del continuo y el discreto se igualan los los instantes de muestreo: z 1 z1 Gcs () s Gcz ( z) Z[ Gcs ( s) ] Gcz ( z) Z[ ] z1 s z s Esto es, la transformada Z de la respuesta escalon del sistema continuo se iguala a la respuesta escalón del sistema digital. Equivale a aplicar la transformada Z a la función de transferencia continua con un ZOH. Ejercicio 1: Calcula el equivalente discreto de la red de adelanto G cs (s) empleando los métodos de las invarianzas impulsional y escalón con T=0.1 s. s Gcs () s 10 s 10 45

15 Índice Tema Controladores de Automatización Programables (PAC) en el contexto industrial: programación, prototipado rápido de controladores, entornos de simulación numérica y generación automática de código, targeting, control remoto de PACs. 3.. Sistemas de control en tiempo discreto: sistemas de control digital, ecuaciones en diferencias, la transformada Z, la transformada Z inversa (Z -1 ), resolución de ecuaciones en diferencias Análisis de sistemas discretos: análisis de estabilidad, análisis de la respuesta transitoria y en el permanente, raíces dominantes de la ecuación característica, selección del periodo de muestreo Diseño de sistemas de control digital: Diseño en continua y discretización de controladores (opción 1) Diseño de compensadores discretos, mediante métodos convencionales. A) Controlador PID digital: diseño en continua (opción 1) y diseño en discreto (opción ). B) Diseño de controladores digitales basado en el lugar de las raíces (opción ). C) Diseño de controladores digitales en el dominio de la frecuencia (opción ) Diseño directo en discreto: método analítico (opción ). 46

16 3.4.. Métodos convencionales Opción : Diseño en discreto: Planta discreta + controlador discreto: Referencia + - e[k] G(z) u[k] y[k] DAQ DAC u(t) Instalación H(z) y(t) DAQ ADC r(t k ) e[k] G(z) Controlador u[k] DAQ (ZOH) u(t) Proceso: actuadores+instalación +sensores H(z) y(t) DAQ y[k] Implementación de G(z) en PAC 47

17 3.4.. Métodos convencionales Opción : Diseño en discreto: Planta discreta + controlador discreto: Entorno MathWorks (7 pasos): 1. Modelizado planta en continua (Simulink). (Se proporciona). Estimación parámetros planta (Simulink Design Optimization). (Se proporciona) 3. Discretización planta: Obtener H(z) mediante conversión ZOH. (M) 4. Diseño estructural del controlador discreto. (Se proporciona) 5. Ajuste de los parámetros del controlador discreto.(m+pa+pl 3a+3b) 6. Estudio del lazo cerrado con diversos periodos de muestreo. Elección de T. (M -Apartado 3.4..A. Ejercicio PL 3a+3b). 7. Implementación sobre la plataforma RT (PL 3b). 48

18 3.4.. Métodos convencionales Opción : Diseño en discreto: Planta discreta + controlador discreto: 3. Discretizacion planta: Obtener H(z) mediante conversión ZOH. La conversión tiene en cuenta que el DAQ es un Zero Order Hold (ZOH): ykt ( t) ukt ( ) 0tT La FT del ZOH se obtiene aplicando Laplace a su respuesta impulsional (escalón de duración T): st 1 e 1 e yimp () t 1() t 1( tt) LYimp () s Gh0 () s GZOH () s s s s Cuando obtenemos el equivalente discreto de una planta continua H(s) precedida de un ZOH: st 1 e 1 H( s) H() z ZGZOH () s H() s Z H() s (1 z ) Z s s En Matlab se puede hacer con: cd(h, T). Ejercicio 13: Calcula el equivalente discreto de un proceso modelado por una ecuación diferencial de primer orden, esto es, de un sistema con una función de transferencia como: Y() s K Gs () U() s s a st Debemos tener en cuenta que tenemos un DAC (ZOH) a su entrada y que muestreamos la salida. Ambos procesos usan un T=0, s. Calcula el resultado numérico para a=k=1. 49

19 3.4..A. PID digital. Ejemplo de aplicación: PID digital. Vamos a poner en practica los métodos vistos para un controlador PID a implementar digitalmente: Ejercicio 14: Tenemos un sistema con la TF continua H() s 1 s 1 Nos piden diseñar un controlador PID para su implementación digital de modo que el sistema controlado cumpla las especificaciones dinámicas: 1. Rebose 0 % máximo.. Error en permanente ante entrada escalón: e sp =0 3. Frecuencia de oscilación del sistema compensado: n =3 rad/s. Nos piden hacerlo: 14.1.: Empleando el método de diseño en continuo (opción 1), eligiendo el periodo de muestreo más adecuado Empleando el método de diseño directo (opción ), utilizando un retenedor ZOH para actuar sobre la planta y considerando los siguientes periodos de muestreo: T=0. s T=0.1 s T=0.01 s. 50

20 3.4..A. PID digital. Ejemplo de aplicación: PID digital. Ejercicio 14.1: Diseño en continua. Proponemos inicialmente un PI, dado que debemos reducir a cero en error en permanente: K ks i p K GC( z) Kp s s Con esta estructura de control, obtenemos la FT del lazo cerrado en continua: G () s H() s ks k G s s k sk C p i LC () ( 1) 0 p i 1 GC( s) H( s) s ( kp 1) ski Obtenemos ahora la ecuación característica deseada para el sistema controlado: ln(0,17) 0,3181 R 1 1, exp 17 0,564 0,3181(1 ) 0,5 donde hemos supuesto que el modelo de referencia es de segundo orden. Por otro lado, como el controlador introducirá un cero adicional en el LC, tendremos como resultado un sistema más rápido y, por tanto, con mayor rebose que el sistema de segundo orden tipo considerado. Para compensar esto, elegimos un rebose algo menor que el exigido (R=17 %). La ecuación característica deseada queda: n n s s s 3s9 Igualando las ecuaciones características del LC y la deseada igualaremos dimensiones, si procede-: k 1 3 p kp s 3s9 s ( kp 1) ski ki 9 Vemos que no hacen falta nuevos grados de libertad; con un control PI es suficiente. i 51

21 3.4..A. PID digital. Ejemplo de aplicación: PID digital. Ejercicio 14.1: Diseño en continua. Nos queda elegir un periodo de muestreo. Consideramos el frecuencia natural del modelo de referencia: n 3 rad / s. s 10n 30 rad / s. T 0,09 0, s. 30 Discretizamos el controlador utilizando alguno de los métodos, por ejemplo, el de Euler (Backward): () 1 1 () 0, 3,8 () U s : Tz () () U z Tz PI p i PI C p i 9 z z G s k k Euler G z G z k k Es () s s z1 Ez () z1 z1 z1 Finalmente, de cara a la implementación en nuestro PAC, obtenemos el algoritmo discreto de control: U( z) 3,8z 3,8 z G z G z U z z E z z Z u k e k e k u k Ez ( ) z1 1z s PI ( ) C ( ) ( )(1 ) ( ) 3,8 1 ( ) 3,8 ( ) ( 1) ( 1) Veamos en simulación numérica la respuesta a entrada escalón del sistema controlado (s vs. z): 5

22 3.4..A. PID digital. Ejemplo de aplicación: PID digital. Ejercicio 14.: Diseño directo. En primer lugar, vamos a considerar el sistema en LC hibrido: H(s) que se convierte en un sistema digital al obtener la equivalencia discreta de la planta: z1 z z 1e H( z) ZG ( s) H( s) (1 z ) Z (1 z ) Z s( s 1) s ( s 1) z z 1 z e ze ZOH T T T H(z) Solo falta obtener la FT discreta del LC, para lo que necesitamos la FT del controlador PI: U () s 1 1 Tz U () z Tz ( k Tk ) z k GPI () s kp ki Euler: GPI () z GC () z kp ki Es () s s z1 Ez () z1 z1 Y la ecuación característica se saca de: G LC GC ( z) H( z) ( z) 1 G ( z ) H ( z ) pero primero tenemos que fijar el periodo de muestreo. C p i p 53

23 3.4..A. PID digital. Ejemplo de aplicación: PID digital. Ejercicio : Diseño directo. PI con T=0, s. En primer lugar, vamos a calcular H(z) para este T: T 1e 0, 1e 0,181 T 0, H( z) ze ze z0,819 La ecuación característica del LC discreto es: ( k 0, k ) z k 0,181 z1 z0,819 p i p 1 GC ( z) H( z) z 0,181kp 0, 036ki 1,819 z 0,819 0,181kp 0 Y, por otro lado, la ecuación característica deseada se obtiene discretizando los polos en continua que describen la dinámica que queremos para el sistema controlado. La mejor forma es usar el método de igualación de polos ahora no hace falta ajustar la ganancia-: z=e st s T 0,3 j0,5 1, 1, s s s j z e e e rad j rad j 1, ,5,6 0,74(cos(0,5 ) sin(0,5 )) 0,643 0,368 De donde obtenemos la ecuación característica deseada discreta: ( z 0, 643 j0,368)( z 0, 643 j0,368) z 1, 86z0, Dado que H(z) no tiene polos ni ceros inestables y la dimensión de los polinomios coincide, no hace falta alterar la ecuación característica del modelo de referencia (condiciones 1, y 3). Igualando los coeficientes del operador del mismo orden: 8,819 0,5489 0,819 0,181kp 0,5489 kp 1, 49 0,181 1, 86 1,819 0,181k p 0,181kp 0, 036ki 1,819 1, 86 ki 7, 64 0,036 54

24 3.4..A. PID digital. Ejemplo de aplicación: PID digital. Ejercicio : Diseño directo. PI con T=0, s. El controlador PI discreto nos había quedado: ( kp 0, ki) z kp (1, 49 0,7, 64) z1, 49,945z1, 49 GC ( z) z1 z1 z1 Y el algoritmo a implementar en el PAC: U( z),945 1, 49z G z G z U z z E z z Z u k e k e k u k Ez ( ) 1 z PI ( ) C ( ) ( )(1 ) ( ) 1,945 1, 49 ( ),945 ( ) 1, 49 ( 1) ( 1) Veamos en simulación numérica la respuesta a entrada escalón del sistema controlado (s vs. z): Comparando con el caso de diseño en continuo para T=0, s., vemos que el rendimiento obtenido ahora con el diseño directo es mejor, alejándose en menor medida de la respuesta continua. Por otro lado, veremos a continuación como al hacer el periodo de muestreo menor, nos acercamos más al continuo. 55

25 3.4..A. PID digital. Ejemplo de aplicación: PID digital. Ejercicio 14...: Diseño directo. PI con T=0,1 s. En primer lugar, vamos a calcular H(z) para este T: T 1e 0,1 1e 0,0951 T 0,1 H( z) ze ze z0,9048 La ecuación característica del LC discreto es: ( k 0,1 k ) zk 0,0951 z1 z0,9048 p i p 1 GC ( z) H( z) z 0, 0951kp 0, 00951ki 1,9048 z 0,9048 0, 0951kp 0 Y, por otro lado, la ecuación característica deseada se obtiene discretizando los polos en continua que describen la dinámica que queremos para el sistema controlado. La mejor forma es usar el método de igualación de polos ahora no hace falta ajustar la ganancia-: z=e st s T 0,15 j0,6 1, 1, s s s j z e e e rad j rad j 1, ,5, 6 0,861(cos(0, 6 ) sin(0, 6 )) 0,83 0, 1 De donde obtenemos la ecuación característica deseada discreta: ( z 0,83 j0, 1)( z 0,83 j0, 1) z 1, 664z0, Dado que H(z) no tiene polos ni ceros inestables y la dimensión de los polinomios coincide, no hace falta alterar la ecuación característica del modelo de referencia (condiciones 1, y 3). Igualando los coeficientes del operador del mismo orden: 0,9048 0, 741 0,9048 0, 0951kp 0, 741kp 1, 7 0,0951 1, 664 0, 0951kp 1,9048kp 0, 0951kp 0, 00951ki 1,9048 1, 664 ki 8, 097 0,

26 3.4..A. PID digital. Ejemplo de aplicación: PID digital. Ejercicio 14...: Diseño directo. PI con T=0,1 s. El controlador PI discreto nos había quedado: ( kp 0,1 ki) z kp (1, 7 0,18, 097) z1, 7,53z1, 7 GC ( z) z1 z1 z1 Y el algoritmo a implementar en el PAC: U( z),53 1, 7z G z G z U z z E z z Z u k e k e k u k Ez ( ) 1 z PI ( ) C ( ) ( )(1 ) ( ) 1,53 1,7 ( ),53 ( ) 1,7 ( 1) ( 1) Veamos en simulación numérica la respuesta a entrada escalón del sistema controlado (s vs. z): Se observa que los parámetros del controlador PI se van acercando a los valores obtenidos para el continuo. Asimismo, también el comportamiento del sistema controlado se acerca al del sistema en continuo. 57

27 3.4..A. PID digital. Ejemplo de aplicación: PID digital. Ejercicio : Diseño directo. PI con T=0,01 s. En primer lugar, vamos a calcular H(z) para este T: T 1e 0,01 1e 0,00995 T 0,01 H( z) ze ze z0, La ecuación característica del LC discreto es: ( k 0, 01 k ) zk 0, z1 z0, p i p 1 GC ( z) H( z) z 0, 00995kp 0, ki 1,99005 z 0, , 00995kp 0 Y, por otro lado, la ecuación característica deseada se obtiene discretizando los polos en continua que describen la dinámica que queremos para el sistema controlado. La mejor forma es usar el método de igualación de polos ahora no hace falta ajustar la ganancia-: z=e st s T 0,015 j0,06 1, 1, s s s j z e e e rad j rad j 1, ,5, 6 0,98478(cos(0, 06 ) sin(0, 06 )) 0, , 0561 De donde obtenemos la ecuación característica deseada discreta: ( z 0,98478 j0, 0561)( z 0,98478 j0, 0561) z 1,96955z0, Dado que H(z) no tiene polos ni ceros inestables y la dimensión de los polinomios coincide, no hace falta alterar la ecuación característica del modelo de referencia (condiciones 1, y 3). Igualando los coeficientes del operador del mismo orden: 0, , , , 00995kp 0,97044 kp 1,971 0, , , , 00995k p 0, 00995kp 0, ki 1, ,96955 ki 8,940 0,

28 3.4..A. PID digital. Ejemplo de aplicación: PID digital. Ejercicio : Diseño directo. PI con T=0,01 s. El controlador PI discreto nos había quedado: ( kp 0, 01 ki) z kp (1,9710, 018,940) z1,971, 060z1,971 GC ( z) z1 z1 z1 Y el algoritmo a implementar en el PAC: U( z), 060 1,971z G z G z U z z E z z Z u k e k e k u k Ez ( ) 1 z PI ( ) C ( ) ( )(1 ) ( ) 1,060 1,971 ( ),060 ( ) 1,971 ( 1) ( 1) Veamos en simulación numérica la respuesta a entrada escalón del sistema controlado (s vs. z): Se observa que los parámetros del controlador PI casi coinciden con los del PI continuo, así como el comportamiento del sistema controlado. Sin embargo, deberíamos confirmar el comportamiento del sistema hibrido para descartar ripple entre instantes de muestro. 59

29 3.4..A. PID digital. Ejemplo de aplicación: PID digital. Ejercicio : Diseño directo. PI con T=0,01 s. El esquema hibrido de control será en Simulink: Vemos que el comportamiento del sistema real no se aleja entre los instantes de muestreo de la dinámica descrita por el equivalente discreto. 60

30 Índice Tema Controladores de Automatización Programables (PAC) en el contexto industrial: programación, prototipado rápido de controladores, entornos de simulación numérica y generación automática de código, targeting, control remoto de PACs. 3.. Sistemas de control en tiempo discreto: sistemas de control digital, ecuaciones en diferencias, la transformada Z, la transformada Z inversa (Z -1 ), resolución de ecuaciones en diferencias Análisis de sistemas discretos: análisis de estabilidad, análisis de la respuesta transitoria y en el permanente, raíces dominantes de la ecuación característica, selección del periodo de muestreo Diseño de sistemas de control digital: Diseño en continua y discretización de controladores (opción 1) Diseño de compensadores discretos, mediante métodos convencionales. A) Controlador PID digital: diseño en continua (opción 1) y diseño en discreto (opción ). B) Diseño de controladores digitales basado en el lugar de las raíces (opción ). C) Diseño de controladores digitales en el dominio de la frecuencia (opción ) Diseño directo en discreto: método analítico (opción ). 61

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