v i CIRCUITOS ELÉCTRICOS (apuntes para el curso de Electrónica)

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1 IUITOS EÉTIOS (apuntes para el curso de Electrónca) os crcutos eléctrcos están compuestos por: fuentes de energía: generadores de tensón y generadores de corrente y elementos pasos: resstores, nductores y capactores. os elementos pasos están caracterzados por la relacón entre la dferenca de potencal (tensón) aplcada entre sus extremos y la corrente que crcula, o por la dferenca de potencal que aparece cuando se hace crcular por el msmo una corrente. Z Z = donde Z es ndependente de y de de manera que s conectamos entre sus termnales un generador de tensón crculará una corrente tal que = Z, y s conectamos un generador de corrente aparecerá entre los termnales de Z una tensón = Z. ómo se defne un generador de tensón? a defncón doméstca sería: es una fuente de energía que mpone entre sus termnales una certa dferenca de potencal (oltaje o mejor: tensón). a defncón rgurosa debería agregar (al menos) que el alor de esa tensón es ndependente de los elementos pasos que el generador tenga conectados entre sus extremos, representados en general por Z. Z representa la denomnada carga (load) a la cual el generador entrega su energía. Z Qué es entonces un generador de corrente? Permutando adecuadamente las palabras tensón y corrente resulta: Un generador de corrente es aquel que hace crcular una corrente que es ndependente de la carga que tenga conectada entre sus termnales, representada tambén por Z. Z

2 Para comprender el sentdo de estas defncones es necesaro estudar el comportamento del crcuto correspondente al generador de tensón mostrado arrba. Para ello utlzaremos algúna fuente de energía dsponble, por ejemplo una batería de 9 olts y una resstenca arable de alor adecuado. Ejercco : Dscutr qué sgnfca alor adecuado. arando obtendremos un conjunto de pares, que representamos p P Se obsera que los alores meddos se apartan de la defncón antes hecha para un generador de tensón, salo para = 0. (lo msmo ocurrrá con cualquer otro tpo de fuente de energía que utlcemos para nuestro expermento). Para salar la stuacón dremos que las defncones anterores corresponden a elementos IDEAES, es decr a un GENEADO DE TENSIÓN IDEA y (como eremos luego) a un GENEADO DE OIENTE IDEA. Porqué son útles estas defncones? S al crcuto esquemátco de nuestro expermento le agregamos una resstenca, la expresón de resulta: = p MODEO p p. a expresón analítca reproduce ahora los resultados del expermento. Entonces hemos encontrado un MODEO que descrbe el comportamento de nuestra batería, en térmnos de un GENEADO DE TENSIÓN IDEA (que cumple con la defncón) y de un elemento paso,, que se ncorpora como un elemento más al crcuto. Ejercco : epetr (paso por paso) el razonamento que llea a conclur que el MODEO de un generador de corrente, consste en un GENEADO DE OIENTE IDEA y su conectados como ndca la fgura: I

3 Ejercco 3 (asegúrese de entenderlo): Sendo un generador deal de tensón, Qué tpo de generador está representado por el modelo ndcado en la fgura? modelo = = + () = + () S en () hacemos << = = expresón que cumple con la defncón de generador de tensón. S en () hacemos >> = expresón que cumple con la defncón de generador de corrente. Podemos conclur que: un generador será un generador de tensón cuando su resstenca nterna sea mucho menor que la resstenca de carga l. El generador deal es aquel para el cual esa condcón se cumple para cualquer alor de o sea = 0. Ejercco 4: y para un generador de corrente? EEMENTOS PASIOS esstores r: resstdad eléctrca, es una propedad ntrínseca del materal. l y A son parámetros geométrcos. = ρ l A = A l Inductores a nductanca da cuenta de la nteraccón entre la corrente en un conductor y el campo magnétco que ella msma genera y es debda a las fuerzas producdas por el campo magnétco sobre las cargas en momento (la fuerza es propoconal al producto ectoral entre la elocdad de las cargas y el campo), por lo que el alor de tene componentes geométrcas, depende además de las propedades magnétcas del medo (µ). ). 3

4 = µ 0l l µ c = ln + π r 4π r B l uando la nteraccón se produce sobre un crcuto debdo al campo producdo por la corrente en otro crcuto, al elemento se lo llama nductanca mutua y se dce que ambos crcutos están magnétcamente acoplados. apactores Entre dos conductores a los que se aplca una dferenca de potencal se genera un campo eléctrco E= /d. a cantdad de carga almacenada es Q =. El factor de proporconaldad depende tanto de característcas geométrcas como de las propedades deléctrcas del medo (e) que separa los conductores. Q = = d = dt A ε = d A IUITOS EÉTIOS omo djmos los crcutos están compuestos por las fuentes de energía, representadas por medo de generadores de tensón y generadores de corrente y los elementos pasos, y. os conductores que nterconectan los componentes, son un caso partcular de elemento paso con =0 y =0. S consderamos a, y parámetros constantes (ndependentes de e ) los crcutos así formados serán crcutos lneales. Esta es una propedad muy mportante pues permte la aplcacón del prncpo de superposcón al momento de resoler un crcuto. esoler un crcuto sgnfca encontrar las correntes en todas sus ramas y la tensones (potencales en todos sus nodos). Nota: cuando decmos tensones (mejor que oltajes ) en los nodos estamos señalando que exste un nodo de referenca respecto del cual se mden todos las dferencas de potencal. A este nodo se lo suele llamar común o terra. Esto merecerá después alguna amplacón, por ahora el termnal de terra o común de un crcuto es aquél respecto del cual se mden todas las demás dferencas de potencal. El método clásco para resoler un crcuto consste en aplcarle las reglas de Krchoff : Suma de correntes en un nodo gual a 0. Suma de tensones en una malla cerrada gual a 0. Se obtene así un sstema de ecuacones lnealmente ndependentes, donde las ncógntas son las correntes y las tensones. Dado que, en general nuestra aplcacón será encontrar el alor de la corrente y/o tensón en algún punto de nterés del crcuto presentaremos a contnuacón algunos métodos smplfcados. Nota: en últma nstanca la aplcacón de las reglas de Krchoff sempre nos llearan a la solucón. 4

5 Aplcacón del prncpo de superposcón: uando en un crcuto hay más de un generador (de tensón y/o de corrente) el efecto sobre alguna arable del crcuto (tensón o corrente) será la superposcón (suma algebraca) de la accón de cada uno de ellos tomados por separado. El punto mportante es cómo desconectar a los restantes generadores o más precsamente: cómo elmnar el efecto que esos generadores tenen sobre el crcuto. A esta accón la llamaremos pasar el generador. (Esta dscusón es un buen ejemplo de la utldad de las defncones y modelos presentados antes). omo ya djmos cualquer generador puede ser representado como un generador deal y su resstenca (mpedanca) nterna, la que pasa a ser consderada un elemento más del crcuto. Entonces cómo pasar un generador deal? S es un generador de tensón deal conectado entre los nodos y, el únco mecansmo de asegurar que = 0 es ponendo un cortocrcuto (un conductor con resstenca nula) entre esos nodos. Por supuesto que por ese conductor crculará una corrente nfnta, pero eso no es un nconenente para un generador deal. (dscutr casos reales). En el caso de un generador de corrente deal, es necesaro abrr el crcuto para asegurar que la corrente que entra al nodo sea gual a cero. omo resultado de eso la dferenca de potencal entre los extremos del generador será nfnta, pero eso no es un nconenente para un generador deal. (dscutr casos reales). En resumen: un generador deal de tensón se pasa ponendo sus termnales en cortocrcuto y un generador de corrente deal dejando sus termnales en crcuto aberto. as correspondentes resstencas nternas de los generadores reales pasaron a formar parte del resto del crcuto. Teoremas de Theenn y Norton: Permten modelar el comportamento de una red sta desde un par de nodos por un crcuto equalente tal como se muestra: a TH a a b TH b I N N b Equalente Theenn Equalente Norton omo ejemplo de la utldad de estas representacones supongamos que queremos determnar la corrente que crcula por para dstntos alores de ese elemento. 5

6 Todos los elementos constantes del crcuto se agrupan y se reemplazan por su equalente, con TH y TH. Queda entonces una únca malla (una únca ecuacón) que contene al elemento arable. El teorema de Theenn dce que la tensón equalente TH entre los termnales a y b se calcula dejando esos termnales a crcuto aberto (no entra n sale corrente), en nuestro caso qutando. a resstenca (mpedanca) equalente de Theenn TH es la que se medría mrando haca el crcuto preamente pasado. El teorema de Norton establece que la corrente equalente I N es la corrente que crcularía por un cortocrcuto entre a y b. a resstenca (mpedanca) equalente de Norton N se calcula de la msma manera que TH. Impedanca (resstenca) equalente a mpedanca entre dos nodos cualesquera de un crcuto que no contene generadores ndependentes (esto deberá ser aclarado) es la relacón entre la tensón aplcada y la corrente que crcula debdo a esa tensón. En general: Z = Z Nótese que esta generalzacón ncluye a la caracterzacón que antes usamos para defnr los elementos pasos omo ejemplo, los casos más conocdos: Elementos en sere Z Z = Z + Z = Z = Z + Z Elementos en paralelo Z Z = + = + = = + Z Z Z Z Z o Z.Z Z = = Ejercco 5: Z + Z Defnr con precsón el sgnfcado de en sere y en paralelo 6

7 GENEADOES: os generadores pueden ser contnuos [] (plas, baterías) o arables en el tempo [(t)]. Sabemos que cualquer magntud (en nuestro caso tensón o corrente) que aríe en el tempo en forma peródca puede ser desarrollada en sus componentes armóncos (senos y cosenos) por lo que el comportamento de un crcuto lneal ante una exctacón arbtrara podrá ser analzado como la superposcón de las componentes armóncas de esa exctacón. on esta condcón es sufcente conocer el comportamento del crcuto a generadores de la forma (t)=p.cos(ω.t) Nota: as máqunas generadoras de energía para la red eléctrca públca, producen naturalmente tensón con una aracón snusodal). Analcemos el comportamento de los elementos crcutales ya defndos., y para un generador arable como (t)=p.cos(ω.t) Para una resstenca de la relacón =., resulta t = p cos ω t = p.cos ω t a corrente tene tambén una aracón snusodal con un alor máxmo Ip = p Para un nductor, a partr de = resulta: a corrente tene la msma aracón snusodall (cos) que la tensón, con un alor máxmo Ip = p ω y un atraso en la fase respecto de la tensón de π. Fnalmente para un capactor, de ( ) ( ) ( ) p t p.cos t.dt.sen t ω ( ) = ( ω ) = ( ω ) p π ( t ) =.cos ωt ω = dt resulta: ( p cosω t) ( t) =. = ω.p. sen t p π ( t ) =.cos ωt + ω ( ω ) Igual que antes la corrente tene una aracón snusodal pero con un cambo de fase de π, en este caso en adelanto. Entonces para descrbr la corrente en un crcuto que contene, además de resstores nductores y/o capactores es necesaro conocer además del alor máxmo, el corrmento de fase respecto de la tensón aplcada. El método ya presentado en cursos anterores consste en utlzar una representacón fasoral. os fasores son segmentos de recta, cuya longtud es proporconal a la magntud (alor máxmo) y su orentacón (dreccón y sentdo) respecto de alguna referenca arbtrara, la fase relata a ella. 7

8 Así una señal de la forma: p.cos ( ωt) puede representarse como la proyeccón, en coordenadas cartesanas de un segmento de magntud p rotando con elocdad angular ω alrededor del orgen (radoector). S la poscón del radoector ndcada en la fgura corresponde a t=0, las expresones resultan: y p.senω t φ ω x x y ( ) = ( ω + φ ) ( ) = ( ω + φ ) t p.cos t t p.sen t p. c o s ω t Entonces s: ( ) t = p.cos( ωt + 0) las relacones entre e para los resstores, nductores y capactores lucrán de la sguente manera: para : p = cos t + 0 ( ω ) p p p Ip = para p π = cos ωt ω p ω p p = ω Ip para π = ωp cos ωt + ωp p = Ip ω p a relacón p Ip es la magntud de la mpedanca de los respectos elementos. Para el caso de generadores contnuos (ndependentes del tempo), bastará con hacer ω=0 en las expresones anterores. Ejemplo: omo aplcacón de lo sto calculemos la relacón en el crcuto de la fgura Ip ω p θ.ip Ip ω Ip 8

9 Dado que hay una sola malla tomamos la corrente como como referenca y trazamos el dagrama fasoral (a ecuacón de la malla es: ) = + + dt Del dagrama se determnan: p = Ip. ω + ω p Z= = ω + Ip ω ω tgθ = ω De esta forma se obtenen las expresones para la magntud y la fase de la mpedanca. erfque que estas expresones concden con las obtendas en forma nddual para cada uno de los componentes. Presentaremos ahora un método más elegante para el análss de crcutos con con generadores con aracón armónca. Preamente recordemos que un número complejo N= a + jb puede escrbrse como: I b r ( θ θ ) N = r cos + jsen con a θ r = a + b θ = b arctg a r cosθ y r senθ son respectamente la parte real (e N) y la parte magnara (Im N) de N. El módulo de N es: ( e ) ( Im ) r = N + N y la fase relata: Im N θ = arctg e N Aplcando el teorema de Euler podemos escrbr: ( cosθ θ ) N = r + jsen = r e jθ y s θ = ωt + φ 9

10 el número complejo r e j ( ωt + φ ) representa un ector grando con elocdad angular ω alrededor del orgen del plano complejo, donde Ф ndca la poscón ncal (t=0) Escrbendo: resulta edente la relacón con la representacón fasoral antes sta, donde la expresón entre paréntess corresponde a la magntud del fasor rotante. Ahora tenemos una representacón más precsa: un número complejo,totalmente determnado a partr de sus componentes real e magnara (o su módulo y fase). on esto podemos escrbr la exctacón senodal como: que aplcada a un crcuto dará lugar a una corrente de la msma forma: Pero dado que estamos tratando con crcutos lneales podemos usar drectamente: ya que a solucón del crcuto será la superposcón de las solucones para cada una de las componentes. (la parte real de la solucón corresponderá a los térmnos dependentes de la parte real de la exctacón. a forma exponencal de escrbr la exctacón (generadores) de los crcutos tene mportantes entajas operatas, en partcular la ecuacón dferencal del crcuto del ejemplo anteror, se transforma en una ecuacón algebraca de fácl solucón. Ejercco 6: Obtenerla y resolerla. ( + ) ( ) r e = re e = e j ωt φ jφ jωt jωt j t = pcos( ωt) = e( p e ω ) j t = p. e ω ( ) ( ) p. e = e p. e + Im p. e jφ jωt ( ) = Ip cos( ωt + φ) = e I pe e jωt jωt jωt IMPEDANIA OMPEJA: (el formalsmo). S a un elemento paso le aplcamos una tensón corrente de la forma = I e e = I e p jφ jωt jωt e e e j0 jωt jωt = p =, crculará una a relacón es la llamada mpedanca compleja. I Para comprender las entajas operatas de esta defncón, resolamos nueamente las relacones para los dstntos componentes pasos: para : I e jωt = = e jωt Im Z = = I / e 0

11 para jωt jωt = dt I e = e dt Im e Z = = I jω /ω para jωt = I e = ( j ω e t ) Im ω j I jω ω Z = = = e a mpedanca es ahora un número complejo que contene nformacón de módulo y fase relata. Operatamente entonces el crcuto del ejemplo se resolería de la sguente manera:. = + Z Z j + = + ω + j ω lo que falta es conocdo Ejercco 7: Encontrar la expresón del módulo de la mpedanca y de la fase relata entre la tensón y la corrente.

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