INSTITUTO TECNOLÓGICO DE COSTA RICA ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA CURSO: MODELOS DE SISTEMAS CÁLCULO DE RESIDUOS Y SUS APLICACIONES

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1 INSTITUTO TENOLÓGIO DE OSTA RIA ESUELA DE INGENIERÍA ELETRÓNIA URSO: MODELOS DE SISTEMAS ÁLULO DE RESIDUOS Y SUS APLIAIONES ING. FAUSTINO MONTES DE OA FEBRERO DE

2 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions INDIE álculo d Rsiduos 4 Tipos d singularidads 4 Polos Rmovibls 4 Polos no rmovibls 6 Polo sncial 7 Torma dl Rsiduo 7 Rglas para álculo d Rsiduos Polo simpl Polo d ordn uno rmovibl ó simpl 4 Aplicacions dl cálculo d rsiduos 7 Evaluación d intgrals lípticas: 7 Evaluación d intgrals impropias: 9 Singularidads sobr l contorno d intgración álculo d intgrals d funcions pars Ejrcicios Bibliografía: 7 álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

3 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions FIGURAS FIGURA. URVA DE INTEGRAIÓN DE (... 8 FIGURA. INTEGRAIÓN ON VARIOS RESIDUOS... 9 FIGURA. URVA DE INTEGRAIÓN GENÉRIA FIGURA 4. URVA DE INTEGRAIÓN... FIGURA 5. ONTORNO DE INTEGRAIÓN ON SINGULARIDAD SOBRE LA URVA.... FIGURA 6. URVA DE INTEGRAIÓN EJEMPLO 5... FIGURA 7. URVA DE INTEGRAIÓN ON SINGULARIDAD EN EL ORIGEN... 4 FIGURA 8. ONTORNO DE INTEGRAIÓN EJEMPLO FIGURA 9. RETÁNGULO DE ANHO INFINITO Y DE ALTURA πj... 9 FIGURA. SIMETRÍA DE UNA FUNIÓN PAR.... álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

4 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 4 álculo d Rsiduos Tipos d singularidads Eistn varios tipos los cuals s difrncian por ordn y cantidad d términos irrgulars n l dsarrollo d Sris d Laurnt. S utilia l término polo a singularidad, irrgularidad, punto no analítico (dond la función no s continua indistintamnt. S clasifica sgún lo siguint: Polo Rmovibl Polo simpl Polo Múltipl Polo no Rmovibl Polo no rmovibl d ordn uno Polo Múltipl Polo Esncial Polos Rmovibls Estos son fácilmnt idntificabls ya qu las singularidads son d tipo polinomial. Polo simpl g( Si s punto singular d f( dond h( (- k( dond k( h( y g(, f( tin un polo simpl n Ejmplo f( ( ( La función tin un polo simpl rmovibl n álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

5 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 5 Ejmplo ( f( Si f(, sin mbargo no constituy un sn polo rmovibl porqu sn no s polinomial. Ejmplo ( f( cos Si tin polo rmovibl n Ejmplo 4 f( ( cos ( j( j cos Tin dos polos simpls n ± j. Polo múltipl rmovibl Siguindo un raonaminto similar al antrior. g( Dado f(, dond k( n y g(. ( k( S dic qu f(tin un polo rmovibl d ordn n n. Ejmplo 5 ( ( f( ; ( ( ( polo simpl! f( ( ( ( ( ( ( ( Polo rmovibl d ( ordn n - El caso polo simpl s un caso particular dl polo múltipl rmovibl d ordn uno. álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

6 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 6 Polos no rmovibls Son aqullos qu no s pudn sparar polinomialmnt. Ordn uno Su idntificación no s tan vidnt como l polo rmovibl dbido a qu no s polinomial, a mnos qu s prs n Sris d Laurnt Ejmplo 6 f( sn ( La función tin un polo simpl n. Admás tin polos no rmovibls n, ±π, ±π,... g( S idntifica un polo d ordn uno no rmovibl cuando dado f( h( dond h( y g( y qu admás cumpl qu h'(. Adicionalmnt, no s factibl prsar h( (- k( dond k(. Ejmplo 7 Ejmplo 8 cos f( tin polos n, ±π, ±π,... sn si g( cos y h( sn, ntoncs: Pruba d ordn: (drivar h( y valuar n hasta qu la drivada sa difrnt d cro h'( cos Esto indica qu sn s d ordn. Vrificar l ordn dl polo n f( si: f( cos (sn g( h'( sn cos ( álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

7 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 7 Ejmplo 9 Implica qu no s d ordn uno. h''( cos cos -( sn onsiguintmnt, no tin polo d ordn uno n, porqu s un polo d ordn d f(. n l dnominador (sn, s ncuntra qu s la part rmovibl y sn s la part no rmovibl. on bas n l jmplo antrior, qué tipo d polo tin f( n π? h'(π -π ordn uno. Polo no rmovibl d ordn n g( Gnraliando lo antrior, f( tin polo rmovibl d ordn n h( cuando h n ( y h i ( i,..., n -. Polo sncial S dic d aqulla singularidad d f( dond su DSL contin un númro infinito d términos n los cuals s indfin f( n. Ejmplo Ejmplo f( / si f( Por DSL /...! 4! 5! s singularidad sncial d f(. f( sn ! 5! 7! s singularidad sncial d f(. Torma dl Rsiduo Suponga qu f( tin una singularidad n. Sgún DSL. álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

8 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 8 f( n n a n ( bn n ( f ( d b n πj n ( n ( ( ncirra a. Aplicando n b πj D dond: f ( d I f ( d π j b ( b s dnomina rsiduo d I. En términos prácticos sto significa qu para dtrminar l valor d I sólo s ncsario ncontrar l término b dl dsarrollo d Sri d Laurnt d f( alrddor d. Z Figura. urva d intgración d ( b s también prsado: b Rs(f(, ( 4 Ejmplo Evaluar I d dond c: álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

9 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 9 La función prsnta un polo sncial n. Aplicando DSL f(... 4!! 4! Dl dsarrollo s obsrva qu b. 4! Usando ( I f ( d π j b π j πj 4! Es la figura s mustra la curva ' la cual contin n polos d f(. Emplando TI s pud llgar a la prsión (5. n ' Figura. Intgración con varios rsiduos ' f ( d f ( d f ( d... n f ( d f ( d f ( d f ( d... f ( d ' n ( 5 Por Torma dl Rsiduo: álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

10 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions I f ( d ( Rs(f(,... Rs(f(, πj I f ( d πj R s ( f (, i ( 6 i S llama a (6 como Torma Gnral d Rsiduos. Ejmplo Rsolvr I Por DSL / Ejmplo 4 d, con c:! Rs( /, I π j ( Rs( /, I π j( 4 π j! 4 I d, con c: ( Not qu DSL s lo mismo qu aplicar fraccions parcials. 4 A B I d ( d ( A( B ( (4 ( A(- B 4- álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

11 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions En A -4 4 A En B - B 4 I d ( Ejmplo 5 Rs(f(, -4 Rs(f(, I π j (Rs(f(, Rs(f(, I π j(-4-6 π j I d, con c: I d I d d alculando l primr término...!! Rs(f(, alculando l sgundo término álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

12 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions Rs(g(, I π j (Rs(f(, - Rs(g(, I π j (- Rglas para álculo d Rsiduos A continuación s vrán varias fórmula qu prmitn l cálculo d rsiduos n forma rlativamnt simpl. Polo simpl uando una función tin una singularidad n d ordn uno, ntoncs l DSL tin la forma: b f(... a (- a (- a ( ( 7 Multiplicando (7 a ambos lados por (- : (- f(... a (- a (- b Si ntoncs Lim ( f ( b Rs(f(, ( 8 Ejmplo 6 Obtnr rsiduo d f( n con f( ( Rs(f(, Lim ( ( Ejmplo 7 d alcular la intgral, con : ( ( álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

13 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions Las singularidads y stán dntro d la curva d radio r, si una singularidad no stá dntro d la curva, ntoncs s rsiduo no s toma n cunta. I π j (Rs(f(, Rs(f(, Rs(f(, Lim ( Rs(f(, Lim ( I π j (- Ejmplo 8 Dsarroll n fraccions parcials: ( ( ( 4 ( ( ( 4 álculo d A: A B ( ( ( 4 A Lim álculo d B álculo d ( ( ( ( 4 B Lim ( ( ( ( 4 Lim 4 ( 4 ( ( ( ( ( ( 4 / 6 9 / 6 / ( ( ( 4 La fórmula antrior s fácilmnt aplicabl a funcions con polo simpl (rmovibl. on una pquña modificación s factibl tndrlo a polo d ordn uno no rmovibl. álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

14 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 4 Polo d ordn uno rmovibl ó simpl Suponindo qu f( g( h( l cual contin un polo d ordn uno n. Admás g(. Aplicando Rs(f(, Lim ( g( n st ' h ( caso s pud aplicar L Hopital ya qu (- g( y h(, por tanto: ' g( ( g ( Rs(f(, Lim ' h ( g( Rs(f(, ' h ( ( 9 La fórmula 9 sirv para calcular rsiduo d ordn uno rmovibl o no. Ejmplo 9 alcular rsiduo d: a. f( n g( h ( Rs(f(, sn π b. f( n cos g( sn h( cos π Para sabr qu s una singularidad d la función ntoncs s valúa n la función f(. Pruba d ordn: h ( -sn(π/ - álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

15 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 5 sn π sn Rs, cos sn π / S pud drivar una fórmula d ordn dos para polos rmovibls o no g'( Rs(f(, h' '( g( h' ''( ( h' '( ( con g(, h(, h (, h ( Ejmplo alcular rsiduo d: ( f( n cos Evaluando n -cos, por tanto, s una singularidad d f(. g( - ; g ( h( cos Drivando para sabr l ordn dl polo s tin: h ( sn; h ( sn h ( cos; h ( sn ordn dos (-cos s un polo d ordn dos no rmovibl por tanto: ( ( ( Rs(f(, ( Ejmplo ( d I, con c: 7 ( cos El polo (-cos s indfin n, -π, π I πj ( Rs(f(, Rs(f(, π Rs(f(, -π Rs(f(, (calculado antriormnt álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

16 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 6 ( (π ( Rs(f(, π ya qu drivando s ncuntra ( qu: h (π snπ h (π cosπ ordn dos ( (π ( Rs(f(, -π ( ya qu drivando s ncuntra qu: h (π sn-π h (π cos-π ordn dos Iπj Para funcions cuyos polos son d ordn mayor qu dos, s utilia la Fórmula Intgral d auchy: f ( d ( n dond por comparación: πj ( f n ( ( n! ( f ( n f ( Rs, n ( n! ( Esta fórmula s prfribl mplarla n caso d polos rmovibls. Sino, DSL pud sr otra opción. Ejmplo alcular rsiduos d f( ( n y Rs (f(, g( ' h ( 8 álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

17 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 7 Rs (f(, ( f n ( n! f ''(! 8 8 Aplicacions dl cálculo d rsiduos on bas n l cálculo d rsiduos intgrals d lína complja s factibl l rsolvr intgrals dfinidas rals y compljas. En particular, intgrals π dl tipo líptico o polar I f (cosθ,snθ dθ intgrals impropias I f ( d y cirtas variacions d las antriors. Esto va a sr útil n l cálculo d Transformada invrsa d Fourir, Laplac y Zta. Evaluación d intgrals lípticas: Dada la intgral ( π I f (cosθ,snθ dθ ( Es factibl l rsolvr sta intgral mplando una sustitución d variabls tal qu dond: dθ -j - d dθ -j - d Adicionalmnt: cosθ snθ j j álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

18 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 8 I f, ( j d Not qu la sustitución implica qu la curva : s un círculo unitario. Aplicando (6: I πj R ( f (, s todos los puntos ncrrados n l círculo unitario ( 4 Ejmplo Rsolvr π I d θ cosθ sustituyndo cosθ y dθ -j - d: d I - j d I - j 4 d I - j 4 Dtrminando las raícs para sabr cuáls singularidads stán dntro dl círculo s tin: 4 ± (4 4, ± omo l círculo s un círculo unitario la singularidad s ncuntra fura d él, por tanto, su rsiduo no s toma n cunta. álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

19 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 9 I -j (πj Rs, 4 El polo s d ordn uno: Rs, 4 g( h'( ( 4 I -j (πj ( 4 I π Evaluación d intgrals impropias: Una intgral impropia s dl tipo: I f ( d ( 5 Para rsolvr st tipo d intgral s mpla, n la mayoría d los casos una curva, qu constituy un smicírculo sobr l plano suprior compljo ( R : R -R Figura. urva d intgración gnérica. I f ( d f ( d f ( d I I ( 6 Dond s un smicírculo tal qu: R álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

20 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions : R θ π d j R dθ rprsnta l j ral dbido a qu y. : jy -R R d d sustituyndo n (6: I j f (R R dθ f ( d π R I j f (R R dθ f ( d ( 7 R I πj Rs( f (, n l plano suprior compljo ( 8 Not qu (7 no contmpla singularidads d f( sobr la curva. Finalmnt aplicando (8 n (9. R f ( d πj Rs( (, R π f n plano suprior - j f (R R dθ ( 9 El último término n la mayoría d los casos s cro cuando R Ejmplo 4 Evaluar I d Sa f(, ± j (-j s ncuntra fura d la rgión álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

21 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions j -j Figura 4. urva d intgración Dspjando la intgral ral π R d πj R s, j - j (R Evaluando l último término cuando R R Lim R (R omo R, l dl dnominador s dsprciabl R Lim R Lim R (R R Finalmnt: d πj Rs, j πj π j Singularidads sobr l contorno d intgración Si s da l caso qu al rsolvr una intgral sobr un contorno dond algún(os punto(s son una singularidad d f( la altrnativa más usual s hacr un pquño dsvío n forma d smicírculo cuyo radio tind a cro (c: r ; r. D sta forma, l polo quda incluido o cluido. dθ álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

22 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions Z Figura 5. ontorno d intgración con singularidad sobr la curva. Ejmplo 5 Rsolvr I d con c: sgún figura 6. Figura 6. urva d intgración jmplo 5 f( prsnta polos j y j, ambos singularidads sobr la curva círculo unitario. : j r con θ π (incluy singularidad : -j r con π θ (cluy singularidad I d d d πj Rs, j álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

23 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions d πj - j d - d π jr I dθ / cuando r. ( j r Aplicando L Hopital π π j d θ π dθ ( j r π jr I dθ / cuando qu r. ( j r Aplicando L Hopital π π j d θ π dθ - ( j r - π π I - I I πj Rs, j - - π Si s cluyra la singularidad n j π jr I dθ / pusto qu r ( j r π Ejmplo 6 Aplicando L Hopital π j π dθ - ( j r Los límits d intgración varían d π π o d -π pusto qu la curva va por dbajo dl j. álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

24 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 4 Evaluar I sn d 4 Figura 7. urva d intgración con singularidad n l orign. omo j θ cosθ jsnθ, Im j θ snθ sn I d Im j d Est cambio s prfribl raliarlo ya qu l ponncial s usualmnt más fácil d manjar qu l sno o l cosno. Por su part: : R θ π π 4 j(r j R d R pusto qu R π jr cosθ R snθ j d : r π θ R s π θ j θ jr(cosθ j snθ dθ álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

25 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 5 j( r jr π r pusto qu r π j( r I j d : θ dθ j d θ -jπ π -R -r con R y r 4 : r R j d j d r R con R y r 4 R Rsumindo: r j d 4 j d -jπ j d j d jπ Ejmplo 7 I sn d Im j d π El jmplo antrior pud srvir para rsolvr: sn sn I d ½ d Dond álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

26 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 6 Ejmplo 8 sn j cos R d Evaluar I π/ -R R Figura 8. ontorno d intgración jmplo 8. Encontrando singularidads: jπ jkπ - ( n j,, π con n,, π j Es la única singularidad dntro d la curva. d jπ - (fura d la curva 5π j (fura d la curva : R θ π/ π πj, j Rs álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

27 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 7 d jr π j R dθ (R pusto qu R l dl dnominador s dsprciabl π j R (R π j : R R π dθ j j (R θ dθ ya qu R π j d dr π j π j R dr - π dr π R j j (R ( R ( pusto qu R s una variabl muda π j R - R : R dr π j - d R d álculo dl rsiduo d ordn uno: πj Rsumindo: Rs, j d π πj jπ ( / πj ( j π / álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

28 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 8 πj Rs π, j π j - d d πj ( j π / π j (- d πj ( jπ / d ( πj jπ / jπ / d πj jπ / ( jπ / jπ / jπ / d d πj πj jπ jπ / jπ / ( jπ / jπ / ( como jπ - ntoncs d jπ ( π / / jπ / j π / snπ / Ejmplo 9 Rsolvr I a ( d ; < a < Ubicando las singularidads: álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

29 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 9 - jπ jkπ con n, ±, ±,... Aplicando logaritmos a ambos lados: πj (n Esto significa qu hay un númro infinito d singularidads n l plano suprior. Si s planta usando una curva smicírculo sobr l plano suprior compljo, ntoncs la curva ncirra un númro infinito d polos Altrnativamnt s pud scogr un contorno qu circunscriba un númro finito d singularidads tal como lo mustra la figura 9. 4 πj -R R Figura 9. Rctángulo d ancho infinito y d altura πj a ( d álculo dl rsiduo d ordn uno: πj : d d a R s -R < < R pusto qu R 4 πj a, jπ πj -πj jaπ jπ a R s, jπ R : R jy R d jdy a ( d < y < π I a ( d álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

30 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions pusto qu R π a( R ( R ( Aplicando L Hopital π a j ar R jy jy ajy pusto qu R jy jdy dy π ar R ( π a j ar R jy ajy jy ajy jdy dy / π a j ( a R jy ajy : πj R < < -R d d R R ( a( jπ dy ( jπ d - ( a aj π d jπ aj π - ( a d 4 : -R jy π < y < d jdy 4 a( R jy ( R π ( jy jdy ar ajy R π ( jy jdy pusto qu R I Rsumindo: a ( d 4 πj a R s, jπ álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

31 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions a ( aj π d - ( a d -πj jaπ ( aj π a ( d -πj jaπ a ( a ( d d πj ( ja jaπ π jaπ πj jaπ jaπ jaπ ( a ( d π jaπ jaπ ( j π snaπ álculo d intgrals d funcions pars Las funcions s par cuando f( f(-. Por jmplo, f(, cos,. Estas tinn un ára bajo la curva simétrica rspcto al j f(. Vr figura f( A A S concluy qu: Figura. Simtría d una función par. álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

32 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions f ( d f ( d ( Ejmplo 4 d 4 d cosa cos b d ½ cos a cos b d cos m d sn d ½ cos m d sn ½ d álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

33 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions Ejrcicios. Rsolvr las siguints intgrals compljas sobr las curvas indicadas: d c dond c s un círculo d radio ½, cntrado n l orign. d 4 c dond c consist dl j ntr - y y l smicírculo n l plano suprior, cntrado n, qu cirra l contorno. d cos c dond c s l círculo d radio 7 n torno a. sn( π d ( 5 c dond c s un círculo 7. d c dond s un círculo 7: Sugrncia hacr l dsarrollo d taylor d ½. d c 4 dond c s un cuadrilátro dfinido por los puntos (j, (-j, (--j, (-j. d j c dond c s un círculo. c sn d c s un círculo. álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

34 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 4 cos( d c c s un círculo. ln( d 4 c c s un círculo 5. d ( c c s un círculo. π c. cos(9θ dθ 5 4 cos(θ Sugrncia: hacr cambio d variabl. R/ π/6 ln( d a Sugrncia : valú ln(-? ( ( d 7π R/ 5 R./ πln(a / a d. cos( m d π m m >. jt d j Sugrncia : Hacr un smicírcuo n l plano ngativo cos( d álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

35 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 5 π dθ a b cos( θ a > b > dt ( t cos( a cos( b d Sugrncia : Obtnga la part ral d la función. (sn( d a d < a < d d 6 álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

36 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 6. Encontrar cos(/ a. los rsiduos n sus polos, d las siguints funcions : b. sn( ln( c.rs(, d. ( / (. f. cos( g. h. sn( i.tg( j. ( k. ( l. álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

37 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 7 Bibliografía:. Arfkn, G. Métodos Matmáticos para Físicos. ª. d. Diana. Méico Spigl, M. Variabl omplja. ª. d. McGraw Hill, Méico hurchill, R. Variabl omplja y Aplicacions. 4ª. d. McGraw Hill, Méico álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

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