INSTITUTO TECNOLÓGICO DE COSTA RICA ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA CURSO: MODELOS DE SISTEMAS CÁLCULO DE RESIDUOS Y SUS APLICACIONES

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "INSTITUTO TECNOLÓGICO DE COSTA RICA ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA CURSO: MODELOS DE SISTEMAS CÁLCULO DE RESIDUOS Y SUS APLICACIONES"

Transcripción

1 INSTITUTO TENOLÓGIO DE OSTA RIA ESUELA DE INGENIERÍA ELETRÓNIA URSO: MODELOS DE SISTEMAS ÁLULO DE RESIDUOS Y SUS APLIAIONES ING. FAUSTINO MONTES DE OA FEBRERO DE

2 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions INDIE álculo d Rsiduos 4 Tipos d singularidads 4 Polos Rmovibls 4 Polos no rmovibls 6 Polo sncial 7 Torma dl Rsiduo 7 Rglas para álculo d Rsiduos Polo simpl Polo d ordn uno rmovibl ó simpl 4 Aplicacions dl cálculo d rsiduos 7 Evaluación d intgrals lípticas: 7 Evaluación d intgrals impropias: 9 Singularidads sobr l contorno d intgración álculo d intgrals d funcions pars Ejrcicios Bibliografía: 7 álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

3 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions FIGURAS FIGURA. URVA DE INTEGRAIÓN DE (... 8 FIGURA. INTEGRAIÓN ON VARIOS RESIDUOS... 9 FIGURA. URVA DE INTEGRAIÓN GENÉRIA FIGURA 4. URVA DE INTEGRAIÓN... FIGURA 5. ONTORNO DE INTEGRAIÓN ON SINGULARIDAD SOBRE LA URVA.... FIGURA 6. URVA DE INTEGRAIÓN EJEMPLO 5... FIGURA 7. URVA DE INTEGRAIÓN ON SINGULARIDAD EN EL ORIGEN... 4 FIGURA 8. ONTORNO DE INTEGRAIÓN EJEMPLO FIGURA 9. RETÁNGULO DE ANHO INFINITO Y DE ALTURA πj... 9 FIGURA. SIMETRÍA DE UNA FUNIÓN PAR.... álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

4 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 4 álculo d Rsiduos Tipos d singularidads Eistn varios tipos los cuals s difrncian por ordn y cantidad d términos irrgulars n l dsarrollo d Sris d Laurnt. S utilia l término polo a singularidad, irrgularidad, punto no analítico (dond la función no s continua indistintamnt. S clasifica sgún lo siguint: Polo Rmovibl Polo simpl Polo Múltipl Polo no Rmovibl Polo no rmovibl d ordn uno Polo Múltipl Polo Esncial Polos Rmovibls Estos son fácilmnt idntificabls ya qu las singularidads son d tipo polinomial. Polo simpl g( Si s punto singular d f( dond h( (- k( dond k( h( y g(, f( tin un polo simpl n Ejmplo f( ( ( La función tin un polo simpl rmovibl n álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

5 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 5 Ejmplo ( f( Si f(, sin mbargo no constituy un sn polo rmovibl porqu sn no s polinomial. Ejmplo ( f( cos Si tin polo rmovibl n Ejmplo 4 f( ( cos ( j( j cos Tin dos polos simpls n ± j. Polo múltipl rmovibl Siguindo un raonaminto similar al antrior. g( Dado f(, dond k( n y g(. ( k( S dic qu f(tin un polo rmovibl d ordn n n. Ejmplo 5 ( ( f( ; ( ( ( polo simpl! f( ( ( ( ( ( ( ( Polo rmovibl d ( ordn n - El caso polo simpl s un caso particular dl polo múltipl rmovibl d ordn uno. álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

6 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 6 Polos no rmovibls Son aqullos qu no s pudn sparar polinomialmnt. Ordn uno Su idntificación no s tan vidnt como l polo rmovibl dbido a qu no s polinomial, a mnos qu s prs n Sris d Laurnt Ejmplo 6 f( sn ( La función tin un polo simpl n. Admás tin polos no rmovibls n, ±π, ±π,... g( S idntifica un polo d ordn uno no rmovibl cuando dado f( h( dond h( y g( y qu admás cumpl qu h'(. Adicionalmnt, no s factibl prsar h( (- k( dond k(. Ejmplo 7 Ejmplo 8 cos f( tin polos n, ±π, ±π,... sn si g( cos y h( sn, ntoncs: Pruba d ordn: (drivar h( y valuar n hasta qu la drivada sa difrnt d cro h'( cos Esto indica qu sn s d ordn. Vrificar l ordn dl polo n f( si: f( cos (sn g( h'( sn cos ( álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

7 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 7 Ejmplo 9 Implica qu no s d ordn uno. h''( cos cos -( sn onsiguintmnt, no tin polo d ordn uno n, porqu s un polo d ordn d f(. n l dnominador (sn, s ncuntra qu s la part rmovibl y sn s la part no rmovibl. on bas n l jmplo antrior, qué tipo d polo tin f( n π? h'(π -π ordn uno. Polo no rmovibl d ordn n g( Gnraliando lo antrior, f( tin polo rmovibl d ordn n h( cuando h n ( y h i ( i,..., n -. Polo sncial S dic d aqulla singularidad d f( dond su DSL contin un númro infinito d términos n los cuals s indfin f( n. Ejmplo Ejmplo f( / si f( Por DSL /...! 4! 5! s singularidad sncial d f(. f( sn ! 5! 7! s singularidad sncial d f(. Torma dl Rsiduo Suponga qu f( tin una singularidad n. Sgún DSL. álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

8 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 8 f( n n a n ( bn n ( f ( d b n πj n ( n ( ( ncirra a. Aplicando n b πj D dond: f ( d I f ( d π j b ( b s dnomina rsiduo d I. En términos prácticos sto significa qu para dtrminar l valor d I sólo s ncsario ncontrar l término b dl dsarrollo d Sri d Laurnt d f( alrddor d. Z Figura. urva d intgración d ( b s también prsado: b Rs(f(, ( 4 Ejmplo Evaluar I d dond c: álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

9 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 9 La función prsnta un polo sncial n. Aplicando DSL f(... 4!! 4! Dl dsarrollo s obsrva qu b. 4! Usando ( I f ( d π j b π j πj 4! Es la figura s mustra la curva ' la cual contin n polos d f(. Emplando TI s pud llgar a la prsión (5. n ' Figura. Intgración con varios rsiduos ' f ( d f ( d f ( d... n f ( d f ( d f ( d f ( d... f ( d ' n ( 5 Por Torma dl Rsiduo: álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

10 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions I f ( d ( Rs(f(,... Rs(f(, πj I f ( d πj R s ( f (, i ( 6 i S llama a (6 como Torma Gnral d Rsiduos. Ejmplo Rsolvr I Por DSL / Ejmplo 4 d, con c:! Rs( /, I π j ( Rs( /, I π j( 4 π j! 4 I d, con c: ( Not qu DSL s lo mismo qu aplicar fraccions parcials. 4 A B I d ( d ( A( B ( (4 ( A(- B 4- álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

11 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions En A -4 4 A En B - B 4 I d ( Ejmplo 5 Rs(f(, -4 Rs(f(, I π j (Rs(f(, Rs(f(, I π j(-4-6 π j I d, con c: I d I d d alculando l primr término...!! Rs(f(, alculando l sgundo término álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

12 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions Rs(g(, I π j (Rs(f(, - Rs(g(, I π j (- Rglas para álculo d Rsiduos A continuación s vrán varias fórmula qu prmitn l cálculo d rsiduos n forma rlativamnt simpl. Polo simpl uando una función tin una singularidad n d ordn uno, ntoncs l DSL tin la forma: b f(... a (- a (- a ( ( 7 Multiplicando (7 a ambos lados por (- : (- f(... a (- a (- b Si ntoncs Lim ( f ( b Rs(f(, ( 8 Ejmplo 6 Obtnr rsiduo d f( n con f( ( Rs(f(, Lim ( ( Ejmplo 7 d alcular la intgral, con : ( ( álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

13 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions Las singularidads y stán dntro d la curva d radio r, si una singularidad no stá dntro d la curva, ntoncs s rsiduo no s toma n cunta. I π j (Rs(f(, Rs(f(, Rs(f(, Lim ( Rs(f(, Lim ( I π j (- Ejmplo 8 Dsarroll n fraccions parcials: ( ( ( 4 ( ( ( 4 álculo d A: A B ( ( ( 4 A Lim álculo d B álculo d ( ( ( ( 4 B Lim ( ( ( ( 4 Lim 4 ( 4 ( ( ( ( ( ( 4 / 6 9 / 6 / ( ( ( 4 La fórmula antrior s fácilmnt aplicabl a funcions con polo simpl (rmovibl. on una pquña modificación s factibl tndrlo a polo d ordn uno no rmovibl. álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

14 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 4 Polo d ordn uno rmovibl ó simpl Suponindo qu f( g( h( l cual contin un polo d ordn uno n. Admás g(. Aplicando Rs(f(, Lim ( g( n st ' h ( caso s pud aplicar L Hopital ya qu (- g( y h(, por tanto: ' g( ( g ( Rs(f(, Lim ' h ( g( Rs(f(, ' h ( ( 9 La fórmula 9 sirv para calcular rsiduo d ordn uno rmovibl o no. Ejmplo 9 alcular rsiduo d: a. f( n g( h ( Rs(f(, sn π b. f( n cos g( sn h( cos π Para sabr qu s una singularidad d la función ntoncs s valúa n la función f(. Pruba d ordn: h ( -sn(π/ - álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

15 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 5 sn π sn Rs, cos sn π / S pud drivar una fórmula d ordn dos para polos rmovibls o no g'( Rs(f(, h' '( g( h' ''( ( h' '( ( con g(, h(, h (, h ( Ejmplo alcular rsiduo d: ( f( n cos Evaluando n -cos, por tanto, s una singularidad d f(. g( - ; g ( h( cos Drivando para sabr l ordn dl polo s tin: h ( sn; h ( sn h ( cos; h ( sn ordn dos (-cos s un polo d ordn dos no rmovibl por tanto: ( ( ( Rs(f(, ( Ejmplo ( d I, con c: 7 ( cos El polo (-cos s indfin n, -π, π I πj ( Rs(f(, Rs(f(, π Rs(f(, -π Rs(f(, (calculado antriormnt álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

16 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 6 ( (π ( Rs(f(, π ya qu drivando s ncuntra ( qu: h (π snπ h (π cosπ ordn dos ( (π ( Rs(f(, -π ( ya qu drivando s ncuntra qu: h (π sn-π h (π cos-π ordn dos Iπj Para funcions cuyos polos son d ordn mayor qu dos, s utilia la Fórmula Intgral d auchy: f ( d ( n dond por comparación: πj ( f n ( ( n! ( f ( n f ( Rs, n ( n! ( Esta fórmula s prfribl mplarla n caso d polos rmovibls. Sino, DSL pud sr otra opción. Ejmplo alcular rsiduos d f( ( n y Rs (f(, g( ' h ( 8 álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

17 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 7 Rs (f(, ( f n ( n! f ''(! 8 8 Aplicacions dl cálculo d rsiduos on bas n l cálculo d rsiduos intgrals d lína complja s factibl l rsolvr intgrals dfinidas rals y compljas. En particular, intgrals π dl tipo líptico o polar I f (cosθ,snθ dθ intgrals impropias I f ( d y cirtas variacions d las antriors. Esto va a sr útil n l cálculo d Transformada invrsa d Fourir, Laplac y Zta. Evaluación d intgrals lípticas: Dada la intgral ( π I f (cosθ,snθ dθ ( Es factibl l rsolvr sta intgral mplando una sustitución d variabls tal qu dond: dθ -j - d dθ -j - d Adicionalmnt: cosθ snθ j j álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

18 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 8 I f, ( j d Not qu la sustitución implica qu la curva : s un círculo unitario. Aplicando (6: I πj R ( f (, s todos los puntos ncrrados n l círculo unitario ( 4 Ejmplo Rsolvr π I d θ cosθ sustituyndo cosθ y dθ -j - d: d I - j d I - j 4 d I - j 4 Dtrminando las raícs para sabr cuáls singularidads stán dntro dl círculo s tin: 4 ± (4 4, ± omo l círculo s un círculo unitario la singularidad s ncuntra fura d él, por tanto, su rsiduo no s toma n cunta. álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

19 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 9 I -j (πj Rs, 4 El polo s d ordn uno: Rs, 4 g( h'( ( 4 I -j (πj ( 4 I π Evaluación d intgrals impropias: Una intgral impropia s dl tipo: I f ( d ( 5 Para rsolvr st tipo d intgral s mpla, n la mayoría d los casos una curva, qu constituy un smicírculo sobr l plano suprior compljo ( R : R -R Figura. urva d intgración gnérica. I f ( d f ( d f ( d I I ( 6 Dond s un smicírculo tal qu: R álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

20 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions : R θ π d j R dθ rprsnta l j ral dbido a qu y. : jy -R R d d sustituyndo n (6: I j f (R R dθ f ( d π R I j f (R R dθ f ( d ( 7 R I πj Rs( f (, n l plano suprior compljo ( 8 Not qu (7 no contmpla singularidads d f( sobr la curva. Finalmnt aplicando (8 n (9. R f ( d πj Rs( (, R π f n plano suprior - j f (R R dθ ( 9 El último término n la mayoría d los casos s cro cuando R Ejmplo 4 Evaluar I d Sa f(, ± j (-j s ncuntra fura d la rgión álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

21 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions j -j Figura 4. urva d intgración Dspjando la intgral ral π R d πj R s, j - j (R Evaluando l último término cuando R R Lim R (R omo R, l dl dnominador s dsprciabl R Lim R Lim R (R R Finalmnt: d πj Rs, j πj π j Singularidads sobr l contorno d intgración Si s da l caso qu al rsolvr una intgral sobr un contorno dond algún(os punto(s son una singularidad d f( la altrnativa más usual s hacr un pquño dsvío n forma d smicírculo cuyo radio tind a cro (c: r ; r. D sta forma, l polo quda incluido o cluido. dθ álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

22 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions Z Figura 5. ontorno d intgración con singularidad sobr la curva. Ejmplo 5 Rsolvr I d con c: sgún figura 6. Figura 6. urva d intgración jmplo 5 f( prsnta polos j y j, ambos singularidads sobr la curva círculo unitario. : j r con θ π (incluy singularidad : -j r con π θ (cluy singularidad I d d d πj Rs, j álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

23 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions d πj - j d - d π jr I dθ / cuando r. ( j r Aplicando L Hopital π π j d θ π dθ ( j r π jr I dθ / cuando qu r. ( j r Aplicando L Hopital π π j d θ π dθ - ( j r - π π I - I I πj Rs, j - - π Si s cluyra la singularidad n j π jr I dθ / pusto qu r ( j r π Ejmplo 6 Aplicando L Hopital π j π dθ - ( j r Los límits d intgración varían d π π o d -π pusto qu la curva va por dbajo dl j. álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

24 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 4 Evaluar I sn d 4 Figura 7. urva d intgración con singularidad n l orign. omo j θ cosθ jsnθ, Im j θ snθ sn I d Im j d Est cambio s prfribl raliarlo ya qu l ponncial s usualmnt más fácil d manjar qu l sno o l cosno. Por su part: : R θ π π 4 j(r j R d R pusto qu R π jr cosθ R snθ j d : r π θ R s π θ j θ jr(cosθ j snθ dθ álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

25 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 5 j( r jr π r pusto qu r π j( r I j d : θ dθ j d θ -jπ π -R -r con R y r 4 : r R j d j d r R con R y r 4 R Rsumindo: r j d 4 j d -jπ j d j d jπ Ejmplo 7 I sn d Im j d π El jmplo antrior pud srvir para rsolvr: sn sn I d ½ d Dond álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

26 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 6 Ejmplo 8 sn j cos R d Evaluar I π/ -R R Figura 8. ontorno d intgración jmplo 8. Encontrando singularidads: jπ jkπ - ( n j,, π con n,, π j Es la única singularidad dntro d la curva. d jπ - (fura d la curva 5π j (fura d la curva : R θ π/ π πj, j Rs álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

27 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 7 d jr π j R dθ (R pusto qu R l dl dnominador s dsprciabl π j R (R π j : R R π dθ j j (R θ dθ ya qu R π j d dr π j π j R dr - π dr π R j j (R ( R ( pusto qu R s una variabl muda π j R - R : R dr π j - d R d álculo dl rsiduo d ordn uno: πj Rsumindo: Rs, j d π πj jπ ( / πj ( j π / álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

28 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 8 πj Rs π, j π j - d d πj ( j π / π j (- d πj ( jπ / d ( πj jπ / jπ / d πj jπ / ( jπ / jπ / jπ / d d πj πj jπ jπ / jπ / ( jπ / jπ / ( como jπ - ntoncs d jπ ( π / / jπ / j π / snπ / Ejmplo 9 Rsolvr I a ( d ; < a < Ubicando las singularidads: álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

29 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 9 - jπ jkπ con n, ±, ±,... Aplicando logaritmos a ambos lados: πj (n Esto significa qu hay un númro infinito d singularidads n l plano suprior. Si s planta usando una curva smicírculo sobr l plano suprior compljo, ntoncs la curva ncirra un númro infinito d polos Altrnativamnt s pud scogr un contorno qu circunscriba un númro finito d singularidads tal como lo mustra la figura 9. 4 πj -R R Figura 9. Rctángulo d ancho infinito y d altura πj a ( d álculo dl rsiduo d ordn uno: πj : d d a R s -R < < R pusto qu R 4 πj a, jπ πj -πj jaπ jπ a R s, jπ R : R jy R d jdy a ( d < y < π I a ( d álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

30 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions pusto qu R π a( R ( R ( Aplicando L Hopital π a j ar R jy jy ajy pusto qu R jy jdy dy π ar R ( π a j ar R jy ajy jy ajy jdy dy / π a j ( a R jy ajy : πj R < < -R d d R R ( a( jπ dy ( jπ d - ( a aj π d jπ aj π - ( a d 4 : -R jy π < y < d jdy 4 a( R jy ( R π ( jy jdy ar ajy R π ( jy jdy pusto qu R I Rsumindo: a ( d 4 πj a R s, jπ álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

31 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions a ( aj π d - ( a d -πj jaπ ( aj π a ( d -πj jaπ a ( a ( d d πj ( ja jaπ π jaπ πj jaπ jaπ jaπ ( a ( d π jaπ jaπ ( j π snaπ álculo d intgrals d funcions pars Las funcions s par cuando f( f(-. Por jmplo, f(, cos,. Estas tinn un ára bajo la curva simétrica rspcto al j f(. Vr figura f( A A S concluy qu: Figura. Simtría d una función par. álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

32 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions f ( d f ( d ( Ejmplo 4 d 4 d cosa cos b d ½ cos a cos b d cos m d sn d ½ cos m d sn ½ d álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

33 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions Ejrcicios. Rsolvr las siguints intgrals compljas sobr las curvas indicadas: d c dond c s un círculo d radio ½, cntrado n l orign. d 4 c dond c consist dl j ntr - y y l smicírculo n l plano suprior, cntrado n, qu cirra l contorno. d cos c dond c s l círculo d radio 7 n torno a. sn( π d ( 5 c dond c s un círculo 7. d c dond s un círculo 7: Sugrncia hacr l dsarrollo d taylor d ½. d c 4 dond c s un cuadrilátro dfinido por los puntos (j, (-j, (--j, (-j. d j c dond c s un círculo. c sn d c s un círculo. álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

34 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 4 cos( d c c s un círculo. ln( d 4 c c s un círculo 5. d ( c c s un círculo. π c. cos(9θ dθ 5 4 cos(θ Sugrncia: hacr cambio d variabl. R/ π/6 ln( d a Sugrncia : valú ln(-? ( ( d 7π R/ 5 R./ πln(a / a d. cos( m d π m m >. jt d j Sugrncia : Hacr un smicírcuo n l plano ngativo cos( d álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

35 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 5 π dθ a b cos( θ a > b > dt ( t cos( a cos( b d Sugrncia : Obtnga la part ral d la función. (sn( d a d < a < d d 6 álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

36 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 6. Encontrar cos(/ a. los rsiduos n sus polos, d las siguints funcions : b. sn( ln( c.rs(, d. ( / (. f. cos( g. h. sn( i.tg( j. ( k. ( l. álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

37 álculo d Rsiduos y sus Aplicacions 7 Bibliografía:. Arfkn, G. Métodos Matmáticos para Físicos. ª. d. Diana. Méico Spigl, M. Variabl omplja. ª. d. McGraw Hill, Méico hurchill, R. Variabl omplja y Aplicacions. 4ª. d. McGraw Hill, Méico álculo d Rsiduos y sus aplicacions Ing. Faustino Monts d Oca

III. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

III. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS III. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.. FUNCIÓN EXPONENCIAL n Hmos stado manjando n st trabajo prsions dl tipo n dond s una variabl llamada bas n una constant llamada ponnt, si intrcambiamos d lugar

Más detalles

Funciones de Variable Compleja

Funciones de Variable Compleja Funcions d Variabl Complja Modlos d Sistmas II Smstr 2008 Ing. Gabrila Ortiz L 1 Función Concpto Matmático Considrando los conjuntos X Y una función comprnd una rlación o rgla qu asocia a cada lmnto x

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. Calcular los dominios d dfinición d las siguints funcions: a) f( ) 6 b) f( ) c) f( ) ln d) f( ) arctg 3 4 ) f( ) f) f( ) 5 g) f( ) sn 9 h) 4 4

Más detalles

UNA INVITACIÓN AL ESTUDIO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. Maritza de Franco

UNA INVITACIÓN AL ESTUDIO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. Maritza de Franco UNA INVITACIÓN AL ESTUDIO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. Marita d Franco A Francisco José, Shrl, Marión, Paola, Constanc, Luis Migul Migul. AGRADECIMIENTOS Al Ing. Pdro Rangl por su comprnsión,

Más detalles

Capítulo V CONDICIONES DE FRONTERA Y MODELAMIENTO NUMÉRICO EN ECUACIONES DIFERENCIALES

Capítulo V CONDICIONES DE FRONTERA Y MODELAMIENTO NUMÉRICO EN ECUACIONES DIFERENCIALES Marclo Romo Proaño Escula Politécnica dl Ejército - Ecuador Capítulo V CONDICIONES DE FRONTERA Y MODELAMIENTO NUMÉRICO EN ECUACIONES DIFERENCIALES 5. CONDICIONES DE FRONTERA: Dbido a qu muchos problmas

Más detalles

COMPUTACIÓN. Práctica nº 2

COMPUTACIÓN. Práctica nº 2 Matmáticas Computación COMPUTACIÓN Práctica nº NÚMEROS REALES Eistn algunos númros irracionals prdfinidos n Maima como son l númro π l númro qu s corrspondn con los símbolos %pi % rspctivamnt. Otros númros

Más detalles

REPRESENTACION GRAFICA.

REPRESENTACION GRAFICA. REPRESENTACION GRAFICA. Calcular puntos notabls así como intrvalos d monotonía y curvatura d: ² - = 0 ; ² = ; = son los valors d qu anulan l dnominador D = R- y () = 0 ; - 4 = 0 ; = 0 posibl ma, min Monotonia:

Más detalles

INTEGRAL INDEFINIDA MÉTODOS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN

INTEGRAL INDEFINIDA MÉTODOS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN INTEGRAL INDEFINIDA MÉTODOS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN El almán Gottfrid Libniz (66-76), quin, junto con su antagonista l inglés Isaac Nwton (6-77), fu l crador dl cálculo infinitsimal. MATEMÁTICAS II

Más detalles

f (x)dx = f (x) dx. Si la respuesta es afirmativa justifíquese, si es negativa,

f (x)dx = f (x) dx. Si la respuesta es afirmativa justifíquese, si es negativa, CALCULO INTEGRAL.(97).- Sa f() una función tal qu, para cualquira qu sa > s cumpl qu = Pruébs qu, ntoncs, s vrifica qu f( ) = f(), para todo >. f f..(97).- Sa la función f() = -. S pid: a) Hacr un dibujo

Más detalles

TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS

TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS 8. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 8.. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límit d una función n un punto f () = l S l: El it cuando tind a c d f() s l c Significa:

Más detalles

I, al tener una ecuación. diferencial de segundo orden de la forma (1)

I, al tener una ecuación. diferencial de segundo orden de la forma (1) .6. Rducción d ordn d una cuación difrncial linal d ordn dos a una d primr ordn, construcción d una sgunda solución a partir d otra a conocida 9.6. Rducción d ordn d una cuación difrncial linal d ordn

Más detalles

GRUPOS Y SEMIGRUPOS. Unidad 5

GRUPOS Y SEMIGRUPOS. Unidad 5 GRUPOS Y SEMIGRUPOS En sta unidad studiarmos algunas d las structuras algbraicas qu s utilizan n Toría d Codificación y también n l studio d máquinas d stado finito, como por jmplo los autómatas qu vrmos

Más detalles

LIMITES DE FUNCIONES EN 1D

LIMITES DE FUNCIONES EN 1D LIMITES DE FUNCIONES EN D Límits d funcions n D Autor: Patrici Molinàs Mata (pmolinas@uoc.du), José Francisco Martínz Boscá (jmartinzbos@uoc.du) ESQUEMA DE CONTENIDOS Dfinición Límits latrals LÍMITE DE

Más detalles

TEOREMAS DEL VALOR MEDIO., entonces existe algún punto c (a, b) tal que f ( c)

TEOREMAS DEL VALOR MEDIO., entonces existe algún punto c (a, b) tal que f ( c) TEOREMAS DEL VALOR MEDIO Torma d Roll Si f () s continua n [a, b] y drivabl n (a, b), y si f (, ntoncs ist algún punto c (a, b) tal qu Intrprtación gométrica: ist un punto al mnos d s intrvalo, n l qu

Más detalles

ANÁLISIS DEL AMPLIFICADOR EN EMISOR COMÚN

ANÁLISIS DEL AMPLIFICADOR EN EMISOR COMÚN ANÁLISIS DL AMPLIFIADO N MISO OMÚN Jsús Pizarro Pláz. INTODUIÓN... 2. ANÁLISIS N ONTINUA... 2 3. TA D AGA N ALTNA... 3 4. IUITO QUIALNT D ALTNA... 4 5. FUNIONAMINTO... 7 NOTAS... 8. INTODUIÓN l amplificador

Más detalles

Problemas Resueltos. el radio de la órbita circular, y la energía tiene el valor GMm 2 = a GM. 0. Es decir, 2 T 4π. GMm

Problemas Resueltos. el radio de la órbita circular, y la energía tiene el valor GMm 2 = a GM. 0. Es decir, 2 T 4π. GMm Problmas sultos.0 Un satélit dscrib una órbita circular n torno a la Tirra. Si s cambia d rpnt la dircción d su vlocidad, pro no su módulo, studiar l cambio n su órbita y n su príodo. Al cambiar sólo la

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES.

LÍMITES DE FUNCIONES. LÍMITES DE FUNCIONES. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Sa y una unción ral d variabl ral. D una manra intuitiva y oco rcisa, dirmos qu l it d s L, cuando s aroima a, si ocurr qu cuanto más róimo sté

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 3 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejrcicio, Opción A Junio, Ejrcicio, Opción B Rsrva, Ejrcicio, Opción A Rsrva, Ejrcicio, Opción B Rsrva, Ejrcicio, Opción

Más detalles

Para que exista límite de una f(x) en un punto han de coincidir los límites laterales en dicho punto.

Para que exista límite de una f(x) en un punto han de coincidir los límites laterales en dicho punto. REPASO LÍMITES º BACH. RECORDAR: Para qu ista límit d una f() n un punto han d coincidir los límits latrals n dicho punto. A fctos dl f() no tnmos n cunta lo qu ocurr actamnt n a, sino n las a proimidads.

Más detalles

Matemáticas II TEMA 8 Derivadas. Teorema. Regla de L Hôpital Problemas Propuestos

Matemáticas II TEMA 8 Derivadas. Teorema. Regla de L Hôpital Problemas Propuestos Matmáticas II TEMA 8 Drivadas Torma Rgla d L Hôpital Problmas Propustos Drivada d una función n un punto Utilizando la dfinición, calcula la drivada d f ( ) n l punto = Utilizando la dfinición, halla la

Más detalles

IES CASTELAR BADAJOZ Examen Junio de 2011(General) Solución Antonio Mengiano Corbacho UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA MATEMÁTICAS II

IES CASTELAR BADAJOZ Examen Junio de 2011(General) Solución Antonio Mengiano Corbacho UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA MATEMÁTICAS II IES CASTELAR BADAJOZ Emn Junio d (Gnrl) Antonio ngino Corbcho UNIVERSIDAD DE ETREADURA ATEÁTICAS II ATEÁTICAS II Timpo máimo: hor minutos Instruccions: El lumno lgirá un d ls dos opcions propusts Cd un

Más detalles

ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS Cálculo y representación

ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS Cálculo y representación LÍMITES Cálculo y rprsntación...... 7. 8. - + + - - + + - + - ( + ) - + + - - + + 9. + - +. + - + - 9. + -. + + + - +. + + +. + + + -. +. + - ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS Cálculo y rprsntación. y = - +.

Más detalles

CAPITULO 5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN N 2. 5.1. Introducción. 5.2. Reducción de orden

CAPITULO 5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN N 2. 5.1. Introducción. 5.2. Reducción de orden APITULO 5. EUAIONES DIFERENIALES DE ORDEN N 5.. Introducción Una cuación difrncial d sgundo ordn s una prsión matmática n la qu s rlaciona una función con sus drivadas primra sgunda. Es dcir, una prsión

Más detalles

Aplicaciones de la distribución weibull en ingeniería

Aplicaciones de la distribución weibull en ingeniería COLMEME UAN Aplicacions d la distribución wibull n ingniría Raqul Salazar Morno 1 Abraham Rojano Aguilar 2 Esthr Figuroa Hrnándz Francisco Pérz Soto 1. INTRODUCCIÓN la salud n la vida d una prsona. La

Más detalles

VARIACIÓN DE IMPEDANCIAS CON LA FRECUENCIA EN CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA

VARIACIÓN DE IMPEDANCIAS CON LA FRECUENCIA EN CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA AIAIÓN DE IMPEDANIAS ON A FEUENIA EN IUITOS DE OIENTE ATENA Fundamnto as impdancias d condnsadors bobinas varían con la frcuncia n los circuitos d corrint altrna. onsidrarmos por sparado circuitos simpls.

Más detalles

Integrales indefinidas. 2Bach.

Integrales indefinidas. 2Bach. Intgrals indfinidas. Bach..- FUNCIÓN PRIMITIVA. INTEGRAL INDEFINIDA. La intgración s la opración invrsa d la drivación. Dada una función f(), dirmos qu F() s una primitiva suya si F ()f(). Nota: La primitiva

Más detalles

RADIO CRÍTICO DE AISLACIÓN

RADIO CRÍTICO DE AISLACIÓN DIO CÍTICO DE ISCIÓN En sta clas s studiará la transfrncia d calor n una tubría d radio xtrno (0,0 ft), rcubirta con un aislant d spsor (0,039 ft), qu transporta un vapor saturado a (80 F). El sistma cañría

Más detalles

5. Convergencia de integrales impropias. Las funciones Γ y Β de Euler.

5. Convergencia de integrales impropias. Las funciones Γ y Β de Euler. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lcción. Intgals y aplicacions. 5. Convgncia d intgals impopias. Las funcions Γ y Β d Eul. La foma haitual d calcula una intgal impopia, po jmplo dl intgando, aplica

Más detalles

OPCIÓN A. MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO B Lo contrario de vivir es no arriesgarse. Fito y los Fitipaldis

OPCIÓN A. MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO B Lo contrario de vivir es no arriesgarse. Fito y los Fitipaldis MATEMÁTICAS º BACHILLERATO B --5 Lo contrario d vivir s no arrisgars Análisis Fito y los Fitipaldis OPCIÓN A.- a) S dsa construir un parallpípdo rctangular d 9 dm d volumn y tal qu un lado d la bas sa

Más detalles

FUNCIONES EXPONENCIAL, LOGARÍTMICA Y SUS DERIVADAS.

FUNCIONES EXPONENCIAL, LOGARÍTMICA Y SUS DERIVADAS. Prof., Enriqu Matus Nivs Doctorano n Eucación Matmática. FUNCIONES EXPONENCIAL, LOGARÍTMICA Y SUS DERIVADAS. Una función ponncial s aqulla n la qu la variabl stá n l ponnt. Algunos - - -5 jmplos funcions

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2013 (Modelo 1 Específico 2 ) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2013 (Modelo 1 Específico 2 ) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A IES Fco Ayala d Granada Junio d 03 (Modlo Espcífico ) Grmán-Jsús Rubio Luna Opción A Ejrcicio opción A, modlo Junio 03, spcífico [ 5 puntos] Halla las dimnsions dl rctángulo d ára máima inscrito n un triangulo

Más detalles

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN PARCIAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN PARCIAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS Eamn Parcial. Análisis. Matmáticas II. Curso 010-011 I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN PARCIAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS Curso 010-011 19-XI-010 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES

Más detalles

INTEGRACIÓN POR PARTES

INTEGRACIÓN POR PARTES UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE INGENIERA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADISTICA INTEGRACION INTEGRACIÓN Algunas intgrals qu s nos prsntan nos rsultan un poco compljas, ya por lo

Más detalles

1.- Qué funciones son primitivas de la función cosx: Tachar lo que no proceda

1.- Qué funciones son primitivas de la función cosx: Tachar lo que no proceda .- Qué funcions son primitivas d la función cos: Tachar lo qu no procda.- Hallar + sn() si < cos si si > continua d: f() g() f()+g() f() g() -cos si

Más detalles

Ejercicios resueltos Distribuciones discretas y continuas

Ejercicios resueltos Distribuciones discretas y continuas ROBABILIDAD ESADÍSICA (Espcialidads: Civil-Eléctrica-Mcánica-Química) Ejrcicios rsultos Distribucions discrtas y continuas ) La rsistncia a la comprsión d una mustra d cmnto s una variabl alatoria qu s

Más detalles

( ) 2. 1. Calcula las siguientes integrales. Soluciones. 1 x. arctan. x 4x + 13. sen x dx. x 2. 11arctan. x dx + 2. e x. e arctan e. e dx.

( ) 2. 1. Calcula las siguientes integrales. Soluciones. 1 x. arctan. x 4x + 13. sen x dx. x 2. 11arctan. x dx + 2. e x. e arctan e. e dx. Albrto Entro Cond Mait Gonzálz Juarrro Intgral indfinida Cálculo d primitivas Calcula las siguints intgrals Solucions A d A d + + + ln( + + ) A d arctan + A sn sn d A d ln ( ) 6A d cos tan + arctan + ln(

Más detalles

9 TRASLACIONES, GIROS Y SIMETRÍAS EN EL PLANO

9 TRASLACIONES, GIROS Y SIMETRÍAS EN EL PLANO 9 TRSLINES, GIRS SIMETRÍS EN EL PLN EJERIIS PRPUESTS 9. ibuja un parallogramo y razona qué pars d vctors dtrminados por los vértics son quipolnts. Son quipolnts los qu son parallos y dl mismo sntido, y

Más detalles

El Verdadero Cálculo de la Devaluación

El Verdadero Cálculo de la Devaluación El vrdadro alulo d la Dvaluaión El Vrdadro Cálulo d la Dvaluaión Riardo Botro G. rbgstoks@hotmail.om Casi a diario nontramos n la prnsa onómia inormaión omo sta El día d ayr la tasa rprsntativa dl mrado

Más detalles

Integral indefinida. 1. Primitiva de una función. 1.1 Propiedades de la integral indefinida

Integral indefinida. 1. Primitiva de una función. 1.1 Propiedades de la integral indefinida ntgral indfinida achillrato ntgral indfinida. Primitiva d una función Dfinición: Sa f() una función dfinida n l intrvalo (a,b), llamarmos primitiva d la función f() a toda función ral d variabl ral, F(),

Más detalles

Convocatoria de Febrero 26 de Enero de 2007. Nombre y Apellidos:

Convocatoria de Febrero 26 de Enero de 2007. Nombre y Apellidos: Univrsidad d Vigo Dpartamnto d Matmática Aplicada II E.T.S.I. Minas Cálculo I Convocatoria d Fbrro 6 d Enro d 007 Nombr y Apllidos: DNI: (4.5 p.) ) S considra la función f(x) = x ln(x). (0.5 p.) (a) Calcular

Más detalles

FUNCIONES DE DOS VARIABLES DOMINIOS, DERIVADAS PARCIALES Y DIRECCIONALES. Preguntas de dominios y curvas de nivel

FUNCIONES DE DOS VARIABLES DOMINIOS, DERIVADAS PARCIALES Y DIRECCIONALES. Preguntas de dominios y curvas de nivel FUNCIONES DE DOS VARIABLES DOMINIOS, DERIVADAS PARCIALES Y DIRECCIONALES Prguntas d dominios curvas d nivl Dtrmina l dominio d las uncions: a) (, ) b) (, sin + + En cada caso indica dos puntos qu no san

Más detalles

Solución: Para que sea continua deben coincidir los límites laterales con su valor de definición en dicho punto x = 2. b 1 + b

Solución: Para que sea continua deben coincidir los límites laterales con su valor de definición en dicho punto x = 2. b 1 + b Matmáticas Emprsarials I PREGUNTAS DE TIPO TEST DERIVADAS Y APLICACIONES Drivabilidad ( ) b si S09. La función f ( ) s continua y drivabl n = : a( ) si a) Si a = y b = b) Si a = y b = 5 c) Nunca pud sr

Más detalles

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN A LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA NORMAL

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN A LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA NORMAL APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN A LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA NORMAL 74 Cuando un problma gométrico stá nunciado n términos d la rcta

Más detalles

Límites finitos cuando x: ˆ

Límites finitos cuando x: ˆ . Límits latrals its al infinito 7 FIGURA.3 3 3 La gráfica d = >. (b) La cuación () no s aplica a la fracción original. Ncsitamos un n l dnominador, no un 5. Para obtnrlo multiplicamos por >5 l numrador

Más detalles

Fernando Cervantes Leyva

Fernando Cervantes Leyva INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO DE TECNOLOGÍA DIGITAL Mastría n Cincias con Espcialidad n Sistmas Digitals Adaptación d malla n l análisis d disprsión n guías d onda

Más detalles

CARACTERÍSTICAS EXTERNAS y REGULACIÓN de TRANSFORMADORES

CARACTERÍSTICAS EXTERNAS y REGULACIÓN de TRANSFORMADORES CARACTERÍSTCAS EXTERNAS y REGLACÓN d TRANSFORMADORES Norbrto A. Lmozy 1 CARACTERÍSTCAS EXTERNAS S dnomina variabl ntr a una magnitud qu stá dtrminada ntr dos puntos, tal como una difrncia d potncial o

Más detalles

LÍMITE DE FUNCIONES. lim. lim. lim. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN CUANDO x + LÍMITE FINITO. DEFINICIÓN

LÍMITE DE FUNCIONES. lim. lim. lim. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN CUANDO x + LÍMITE FINITO. DEFINICIÓN LÍMITE DE FUNCIONES LÍMITE DE UNA FUNCIÓN CUANDO LÍMITE FINITO. DEFINICIÓN Cuando la función pud comportars d divrsas manras: f l Al aumntar los valors d, los valors d f s aproiman a un cirto númro l.

Más detalles

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Funciones reales extendidas al Plano Complejo, problemas resueltos

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Funciones reales extendidas al Plano Complejo, problemas resueltos . Considr los siguints númros compljos: ) z = 3 i 2) z 2 = 2 3 i 3) z 3 = + 3 i ) z = i π Matmáticas Avanzadas para Ingniría Funcions rals xtndidas al Plano Compljo, problmas rsultos Dtrmin la part ral

Más detalles

98 EJERCICIOS de DERIVABILIDAD 2º BACH.

98 EJERCICIOS de DERIVABILIDAD 2º BACH. 98 EJERCICIOS d DERIVABILIDAD º BACH. Drivabilidad y continuidad: 1. Dada si 0 f() si < 0 (Soluc: / f'(0)), s pid: a) Estudiar su drivabilidad n 0 b) Rprsntarla.. Ídm con 4 5 si f() 4 si < n (Soluc: f'()).

Más detalles

CALCULO INTEGRAL. Ejercicios. 1 a Parte: Diferenciales. Rumbo al examen de recuperación. Faus2016. x 1

CALCULO INTEGRAL. Ejercicios. 1 a Parte: Diferenciales. Rumbo al examen de recuperación. Faus2016. x 1 En los problmas complt la tabla siguint para cada función. d d DIVISION DE INGENIERIA ELECTRONICA.. Rumbo al amn d rcupración a Part: CALCULO INTEGRAL Ejrcicios Difrncials Dfinición. Faus6 Supóngas qu

Más detalles

CAPÍTULO 14: LAS EXPECTATIVAS: LOS INSTRUMENTOS BÁSICOS

CAPÍTULO 14: LAS EXPECTATIVAS: LOS INSTRUMENTOS BÁSICOS CAPÍTULO 14: LAS EXPECTATIVAS: LOS INSTRUMENTOS BÁSICOS 14-1 Los tipos d intrés nominals y rals Slid 14.2 Los tipos d intrés xprsados n unidads d la monda nacional s dnominan tipos d intrés nominals. Los

Más detalles

1. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN E INTEGRAL INDEFINIDA. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. Dadas dos funciones f ( x)

1. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN E INTEGRAL INDEFINIDA. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. Dadas dos funciones f ( x) IES Padr Povda (Guadi) UNIDAD : INTEGRAL INDEFINIDA.. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN E INTEGRAL INDEFINIDA. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. Dadas dos funcions f y F dfinidas n un dominio D, dcimos qu:

Más detalles

1. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN E INTEGRAL INDEFINIDA. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. Dadas dos funciones f ( x)

1. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN E INTEGRAL INDEFINIDA. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. Dadas dos funciones f ( x) IES Padr Povda (Guadi) UNIDAD INTEGRAL INDEFINIDA.. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN E INTEGRAL INDEFINIDA. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. Dadas dos funcions f y F dfinidas n un dominio D, dcimos qu: Ejmplos:

Más detalles

91 EJERCICIOS de DERIVABILIDAD 2º BACH.

91 EJERCICIOS de DERIVABILIDAD 2º BACH. 9 EJERCICIOS d DERIVABILIDAD º BACH. Drivabilidad y continuidad:. Dada si 0 f() si < 0 (Soluc: / f'(0)), s pid: a) Estudiar su drivabilidad n 0 b) Rprsntarla.. Ídm con 4 5 si f() 4 si < n (Soluc: f'()).

Más detalles

Tabla de contenido. Página

Tabla de contenido. Página Tabla d contnido Página Ecuacions d ordn suprior Ecuacions homogénas d sgundo ordn con coficints constants Caso. Raícs rals distintas 6 Caso. Raícs compljas conjugadas 6 Caso. Raícs rals iguals 7 Rsumn

Más detalles

APUNTES DE CLASE MACROECONOMÍA CAPÍTULO Nº 8 LA RENTABILIDAD EN MONEDA NACIONAL DE UNA INVERSIÓN EN MONEDA EXTRANJERA AGOSTO 2008 LIMA PERÚ

APUNTES DE CLASE MACROECONOMÍA CAPÍTULO Nº 8 LA RENTABILIDAD EN MONEDA NACIONAL DE UNA INVERSIÓN EN MONEDA EXTRANJERA AGOSTO 2008 LIMA PERÚ Capítulo Nº 8: La rntabilidad n monda nacional d una invrsión n monda xtranjra Marco Antonio Plaza Vidaurr APUNTES DE CLASE MACROECONOMÍA CAPÍTULO Nº 8 LA RENTABILIDAD EN MONEDA NACIONAL DE UNA INVERSIÓN

Más detalles

CINEMÁTICA (TRAYECTORIA CONOCIDA)

CINEMÁTICA (TRAYECTORIA CONOCIDA) 1º Bachillrato: Cinmática (trayctoria conocida CINEMÁTICA (TRAYECTORIA CONOCIDA (Todos los datos y cuacions, n unidads dl S.I. 1. Un objto tin un moviminto uniform d rapidz 4 m/s. En l instant t=0 s ncuntra

Más detalles

2. En el punto x = 0, f ( x) a) Un mínimo local. b) Un máximo local. c) Ninguna de las anteriores. Solución:

2. En el punto x = 0, f ( x) a) Un mínimo local. b) Un máximo local. c) Ninguna de las anteriores. Solución: Análisis Matmático (Matmáticas Emprsarials II) PROBLEMAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE. Pguntas d tipo tst. (J). La función f ( ) ln: a) Tin puntos stacionarios (o críticos, s dcir, puntos cuya primra drivada

Más detalles

Soluciones a los ejercicios propuestos Unidad 1. El conjunto de los números reales Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I

Soluciones a los ejercicios propuestos Unidad 1. El conjunto de los números reales Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I Solucions a los jrcicios propustos Unidad. El conjunto d los númros rals Matmáticas aplicadas a las Cincias Socials I NÚMEROS RACIONALES Y NÚMEROS IRRACIONALES. Dtrmina si los siguints númros son o no

Más detalles

NÚMEROS COMPLEJOS. Autor: Patrici Molinàs Mata (pmolinas@uoc.edu), José Francisco Martínez Boscá (jmartinezb@uoc.edu) NÚMEROS COMPLEJOS

NÚMEROS COMPLEJOS. Autor: Patrici Molinàs Mata (pmolinas@uoc.edu), José Francisco Martínez Boscá (jmartinezb@uoc.edu) NÚMEROS COMPLEJOS Númros complos NÚMEROS COMPLEJOS Autor: Patrici Molinàs Mata (pmolinas@uoc.du), José Francisco Martín Boscá (martinb@uoc.du) MAPA CONCEPTUAL Dfinición Fórmula d Cardano NÚMEROS COMPLEJOS Rsolución d cuacions

Más detalles

TERMODINAMICA 1 1 Ley de la Termodinámica aplicada a Volumenes de Control

TERMODINAMICA 1 1 Ley de la Termodinámica aplicada a Volumenes de Control TERMODINAMICA 1 1 Ly d la Trmodinámica aplicada a Volumns d Control Prof. Carlos G. Villamar Linars Ingniro Mcánico MSc. Matmáticas Aplicada a la Ingniría CONTENIDO PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA PARA

Más detalles

Algoritmo para Aproximar el Área Bajo la Curva de la Función Normal Estándar

Algoritmo para Aproximar el Área Bajo la Curva de la Función Normal Estándar Algoritmo para Aproimar l Ára Bajo la Curva d la Función Normal Estándar Algoritmo para Aproimar l Ára Bajo la Curva d la Función Normal Estándar M. n C. Víctor Manul Silva García, M. n C. Eduardo Vga

Más detalles

REGLA DE L HÔPITAL PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES

REGLA DE L HÔPITAL PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES Matmáticas II Rgla d L Hôpital REGLA DE L HÔPITAL PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES Obsrvación: La mayoría d los problmas rsultos a continuación s han propusto n los ámns d Slctividad.. Dada la función: 8 f (

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUDAD

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUDAD LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUDAD Signiicado dl it Ejrcicio nº.- Rprsnta gráicamnt y plica l gniicado d la prón: Ejrcicio nº.- Eplica l gniicado d la guint prón y rprséntalo gráicamnt: 9 Ejrcicio nº.- Escrib

Más detalles

1. (RMJ15) a) (1,5 puntos) Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a:

1. (RMJ15) a) (1,5 puntos) Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a: EXAMEN DE MATEMÁTICAS II (Eamn Final, Rcupración d Análisis Intgrals) BACHILLERATO EXAMEN FINAL (RMJ5) a) (,5 puntos) Discut l siguint sistma d cuacions n función dl parámtro a: + y + az + ay + z a a +

Más detalles

Ecuación para cirquitones en líneas de transmisión con carga eléctrica discreta. K. J. Candía

Ecuación para cirquitones en líneas de transmisión con carga eléctrica discreta. K. J. Candía Ecuación para cirquitons n ínas d transmisión con carga éctrica discrta. K. J. Candía Dpartamnto d Ectrónica, Univrsidad d Tarapacá, Arica, Chi Emai: kchandia@uta.c Rsumn En sta Chara s mustra un mcanismo

Más detalles

Tema 3 La economía de la información

Tema 3 La economía de la información jrcicios rsultos d Microconomía. quilibrio gnral y conomía d la información rnando Prra Tallo Olga María odríguz odríguz Tma La conomía d la información http://bit.ly/8l8u jrcicio : na mprsa d frtilizants

Más detalles

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grado en Ingeniería Informática) Práctica 7. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grado en Ingeniería Informática) Práctica 7. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grdo n Ingnirí Informátic) Práctic 7. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS.- L intgrl dfinid d Rimnn. L intgrl dfinid d Rimnn surg prtir dl prolm dl cálculo d árs d suprficis dlimitds

Más detalles

LÍMITES, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS 11.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Límite de una función en un punto

LÍMITES, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS 11.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Límite de una función en un punto LÍMITES, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límit d una función n un punto f ) = l S l: El it cuando tind a c d f) s l c Significa: l s l valor al qu s aproima

Más detalles

LECCIÓN 5: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN DE VARIABLES SEPARABLES

LECCIÓN 5: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN DE VARIABLES SEPARABLES 96 LECCIÓN 5: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN DE VARIABLES SEPARABLES JUSTIFICACIÓN: En sta Lcción s cntrará la atnción n l studio d aqullas cuacions difrncials ordinarias d primr ordn

Más detalles

Definición de derivada

Definición de derivada Dfinición d drivada. Halla, utilizando la dfinición, la drivada d la función f ( ) n l punto =. Compruba aplicando las rglas d drivación qu tu rsultado s corrcto. f ( ) f () La drivada pdida val: f ()

Más detalles

DEPARTAMENTO DE QUÍMICA ANALÍTICA Y TECNOLOGÍA DE ALIMENTOS FUNDAMENTOS DE ANÁLISIS INSTRUMENTAL. 3ª RELACIÓN DE PROBLEMAS.

DEPARTAMENTO DE QUÍMICA ANALÍTICA Y TECNOLOGÍA DE ALIMENTOS FUNDAMENTOS DE ANÁLISIS INSTRUMENTAL. 3ª RELACIÓN DE PROBLEMAS. FUNDAMENTOS DE ANÁLISIS INSTRUMENTAL. 3ª RELACIÓN DE PROBLEMAS. 1.- En ausncia d autoabsorción, la intnsidad d fluorscncia d una mustra s proporcional a la concntración, solo a concntracions bajas. Calcular

Más detalles

XVI.- COMBUSTIÓN pfernandezdiez.es

XVI.- COMBUSTIÓN pfernandezdiez.es XVI.- COMBUSTIÓN XVI.1.- INTRODUCCIÓN S ntind por combustión a toda racción química qu va acompañada d gran dsprndiminto d calor; pud sr sumamnt lnta, d tal manra qu l fnómno no vaya acompañado d una lvación

Más detalles

Matemáticas II TEMA 11 La integral definida Problemas Propuestos y Resueltos

Matemáticas II TEMA 11 La integral definida Problemas Propuestos y Resueltos Análisis Intgral dfinida Matmáticas II TEMA La intgral dfinida Problmas Propustos y Rsultos Intgrals dfinidas Halla l valor d: 7 a) ( + ) d b) 5 + d c) + d d) Para hallar una primitiva d cada función hay

Más detalles

Contenido: Integral definida: (3º) Aplicación: Longitud del arco de una curva. Matemática II Sección F Semestre 2 Lcdo Eliezer Montoya

Contenido: Integral definida: (3º) Aplicación: Longitud del arco de una curva. Matemática II Sección F Semestre 2 Lcdo Eliezer Montoya REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NÚCLEO BARINAS Contnido: Intgral dfinida: (º) Aplicación:

Más detalles

TEMA 11. La integral definida Problemas Resueltos

TEMA 11. La integral definida Problemas Resueltos Matmáticas II (Bachillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 9 Intgrals dfinidas TEMA La intgral dfinida Problmas Rsultos Halla l valor d: 7 a) ( + ) d b) 5 + d c) + d d) Para hallar una

Más detalles

RESUMEN DE FUNCIONES. LIMITE Y CONTINUIDAD

RESUMEN DE FUNCIONES. LIMITE Y CONTINUIDAD RESUMEN DE FUNCIONES. LIMITE Y CONTINUIDAD DEFINICIÓN DE FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una unción ral d variabl ral s una aplicación d un subconjunto D d los númros rals n un subconjunto I d los númros

Más detalles

2º Bachillerato: ejercicios modelo para el examen de las lecciones 11, 12 y 13

2º Bachillerato: ejercicios modelo para el examen de las lecciones 11, 12 y 13 º Bachillrato: jrcicios modlo para l amn d las lccions, y 3 Sa la unción F ( ) t dt a) Calcular F (), studiar l crciminto d F() y hallar sus máimos y mínimos. b) Calcular F () y studiar la concavidad y

Más detalles

GESTIÓN ACADÉMICA GUÍA DIDÁCTICA 7

GESTIÓN ACADÉMICA GUÍA DIDÁCTICA 7 VERSIÓN:.0 FECHA: 19-06-01 I.E. COLEGIO ANDRÉS BELLO PÁGINA: 1 d 9 Nombrs y Apllidos dl Estudiant: Docnt: ALEXANDRA URIBE Ára: Matmáticas Grado: UNDÉCIMO Priodo: TERCERO GUIA 7 Duración: 0 horas Asignatura:

Más detalles

Tema 3 (cont.). Birrefringencia.

Tema 3 (cont.). Birrefringencia. Tma 3 (cont.). Birrfringncia. 3.8 Anisotropía. Dobl rfracción. 3.9 Modlo d Lorntz para la birrfringncia 3.10 Polarizadors dicroicos. Ly d Malus 3.11 Propagación a través d una lámina rtardadora 3.1 Aplicacions

Más detalles

Valledupar como vamos: Demografía, Pobreza y Pobreza Extrema y empleo.

Valledupar como vamos: Demografía, Pobreza y Pobreza Extrema y empleo. Valldupar como vamos: Dmografía, Pobrza y Pobrza Extrma y mplo. Tradicionalmnt l programa Valldupar Cómo Vamos, lugo d prsntar la Encusta d Prcpción Ciudadana (EPC), raliza la ntrga d Indici d Calidad

Más detalles

PROBLEMAS DE LÍMITES DE FUNCIONES (Por métodos algebraicos) Observación: Algunos de estos problemas provienen de las pruebas de Selectividad.

PROBLEMAS DE LÍMITES DE FUNCIONES (Por métodos algebraicos) Observación: Algunos de estos problemas provienen de las pruebas de Selectividad. Funcions Límits y continuidad PROBLEMAS DE LÍMITES DE FUNCIONES Por métodos algbraicos Obsrvación: Algunos d stos problmas provinn d las prubas d Slctividad Si ist l it d una función f cuando a, y si f

Más detalles

Espacios vectoriales euclídeos.

Espacios vectoriales euclídeos. Univrsidad d Jaén Dpartamnto d Matmáticas (Ara d Álgbra) Curso 4/5 PRÁCTICA Nº 6 Espacios vctorials uclídos. En sta práctica vamos a vr cómo introducir un producto scalar y trabajar con él n Mathmatica

Más detalles

Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Septiembre 2011

Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Septiembre 2011 IES Fco Ayala d Granada Sptimbr d 0 (Modlo ) Grmán-Jsús Rubio Luna UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 0-0 MATEMÁTICAS II Opción A Ejrcicio opción A, modlo Sptimbr 0 k si

Más detalles

Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias). Soluciones de los problemas propuestos. Tema 8

Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias). Soluciones de los problemas propuestos. Tema 8 Matmáticas II (Bacillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 8 7 TEMA 8 Drivadas Tormas Rgla d L Hôpital Problmas Rsultos Drivada d una función n un punto Utilizando la dfinición, calcula

Más detalles

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SAN LUIS POTOSI FACULTAD DE ECONOMÍA. Caracterización del valor de Solidaridad para juegos con externalidades

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SAN LUIS POTOSI FACULTAD DE ECONOMÍA. Caracterización del valor de Solidaridad para juegos con externalidades UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SAN LUIS POTOSI FACULTAD DE ECONOMÍA Caractrización dl valor d Solidaridad para jugos con xtrnalidads Junio 202 Caractrización dl valor d Solidaridad para jugos con xtrnalidads

Más detalles

26 EJERCICIOS de LOGARITMOS

26 EJERCICIOS de LOGARITMOS 6 EJERCICIOS d LOGARITMOS Función ponncil y rítmic:. Pr cd un d ls funcions qu figurn continución, s pid: i) Tbl d vlors y rprsntción gráfic. ii) Signo d f(). iii) Corts con los js. iv) Intrvlos d crciminto.

Más detalles

Anexo V "Acuerdos de Sistemas para la Facturación' del Convenio poro la Comercialización o Reventa de Servicios

Anexo V Acuerdos de Sistemas para la Facturación' del Convenio poro la Comercialización o Reventa de Servicios Anxo V "Acurdos d Sistmas para la Facturación' dl Convnio poro la Comrcialización o ANEXO V ACUERDOS DE SISTEMAS PARA LA FACTURACIÓN QUE SE ADJUNTA AL CONVENIO PARA LA COMERCIALIZACIÓN O REVENTA DE SERVICIOS

Más detalles

xdx 10. e dx 2 x x.ln dx x dx 7. x.cosh 15. x.(ln x) dx 9 x *Ver soluciones de los números impares en el libro de Leithold

xdx 10. e dx 2 x x.ln dx x dx 7. x.cosh 15. x.(ln x) dx 9 x *Ver soluciones de los números impares en el libro de Leithold REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NÚCLEO BARINAS Contnido: Intgrals impropias Primra spci-unidad

Más detalles

UAM CSIC Grupo 911 Febrero 2013. Ejercicios Resueltos del Tema 2.2.5. Asignatura de Matemáticas Grado en Química

UAM CSIC Grupo 911 Febrero 2013. Ejercicios Resueltos del Tema 2.2.5. Asignatura de Matemáticas Grado en Química UAM CSIC Grupo 9 Febrero Ejercicios Resueltos del Tema..5 Asignatura de Matemáticas Grado en Química Lista de ejercicios en estas páginas: y. Consejo: En todos los ejercicios es esencial dibujar el dominio

Más detalles

ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN CON AYUDA DE LA DERIVADA. 1. a) Halla los valores de los coeficientes b, c y d para que la gráfica de la función

ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN CON AYUDA DE LA DERIVADA. 1. a) Halla los valores de los coeficientes b, c y d para que la gráfica de la función ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN CON AYUDA DE LA DERIVADA CMS05. a) Halla los valors d los coficints b, c y d para qu la gráfica d la función y b c d cort al j OY n l punto (0, ), pas por l punto (, ) y, n s punto,

Más detalles

Tema 3 La elasticidad y sus aplicaciones

Tema 3 La elasticidad y sus aplicaciones Ejrcicios rsultos d Introducción a la Toría Económica Carmn olors Álvarz Alblo Migul Bcrra omínguz Rosa María Cácrs Alvarado María dl Pilar Osorno dl Rosal Olga María Rodríguz Rodríguz Tma 3 La lasticidad

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS DE RECTAS TANGENTES Y NORMALES

PROBLEMAS RESUELTOS DE RECTAS TANGENTES Y NORMALES PROBLEMAS RESUELTOS DE RECTAS TANGENTES Y NORMALES ) (Part d un problma d Slctividad d Cincias y Tcnología 007) Sa f: R R la función dfinida por f() =. Dtrmina la cuación d la rcta tangnt a la gráfica

Más detalles

ANÁLISIS DE LOS REGISTROS DE OBSERVACIÓN. 1. MOAL. I. ESCUELA GRANDE.

ANÁLISIS DE LOS REGISTROS DE OBSERVACIÓN. 1. MOAL. I. ESCUELA GRANDE. ANÁLISIS DE LOS REGISTROS DE OBSERVACIÓN. 1. MOAL. I. ESCUELA GRANDE. El mastro impart la matria d Física y al iniciar un tma rscata los sabrs prvios d los alumnos sobr l tma, como s mustra a continuación:

Más detalles

Introducción al método de los

Introducción al método de los Introducción al método d los Elmntos Finitos n D Lcción Discrtizacion Intrpolación n D Adaptado por Jaim Puig-Py (UC) d:. Zabaras, N. Curso FE Analysis for Mch&Arospac Dsign. U. Cornll. 0.. Fish, J., Blytschko,

Más detalles

ESTUDIO ECONOMÉTRICO DE LA PRODUCCIÓN DE ACERO

ESTUDIO ECONOMÉTRICO DE LA PRODUCCIÓN DE ACERO ESTUDIO ECONOMÉTRICO DE LA RODUCCIÓN DE ACERO Ana María Islas Corts Instituto olitécnico Nacional, ESIT amislas@ipn.mx Gabril Guillén Bundía Instituto olitécnico Nacional, ESIME-Azcapotzalco gguilln@ipn.mx

Más detalles

Ejercicios 17/18 Lección 6. Funciones Calcula el dominio de definición y el recorrido de las funciones siguientes a) p(x) = x(x + 1)(x + 2)

Ejercicios 17/18 Lección 6. Funciones Calcula el dominio de definición y el recorrido de las funciones siguientes a) p(x) = x(x + 1)(x + 2) Ejrcicios 7/8 Lcción 6 Funcions Dtrmina los intrvalos d gno constant d la función f() + 6 + Calcula l dominio d dfinición y l rcorrido d las funcions guints p() ( + )( + ) 7 f ( ) 0 + 0 7 d) ) h( ) 9 9+

Más detalles

FÍSICA CUÁNTICA 14.1. LOS ORÍGENES DE LA FÍSICA CUÁNTICA

FÍSICA CUÁNTICA 14.1. LOS ORÍGENES DE LA FÍSICA CUÁNTICA 4 FÍSICA CUÁNTICA 4.. LOS ORÍGENES DE LA FÍSICA CUÁNTICA. Calcula la longitud d onda qu corrsond a los icos dl sctro d misión d un curo ngro a las siguints tmraturas: a) 300 K (tmratura ambint). b) 500

Más detalles

a a lim i) L< 1 absoluta convergencia absoluta convergencia convergencia condicional divergencia > r.

a a lim i) L< 1 absoluta convergencia absoluta convergencia convergencia condicional divergencia > r. (Aputs rvisió para oritar l aprdizaj) DESARROLLO DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICA Y EXPONENCIAL EN SERIES DE POTENCIAS Ua Sri d Potcias s dfi como: a a a a a = = + + + la qu s vidt qu covrg si =. Para dtrmiar

Más detalles

El Riesgo de Interés

El Riesgo de Interés Juan Mascarñas Univrsidad Complutns d Madrid Vrsión inicial: mayo 4 - Última vrsión: nro 8 - El risgo d intrés, - La duración modificada como mdida dl risgo d intrés, 4 - El risgo d rinvrsión, . EL RIESGO

Más detalles