Funciones vectoriales 831

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1 12Funciones vectoriales Se construye una rueda giratoria usando los principios básicos de una rueda de bicicleta. Cuando se está cerca de la parte de la rueda giratoria en movimiento, las fuerzas de rotación y el peso se combinan para producir mayor aceleración. Por qué piensa que la aceleración en la parte superior de una rueda giratoria en movimiento no sea tan grande como en la parte inferior? Explicar. Una función vectorial asigna a números reales vectores. Se puede usar una función vectorial para representar el movimiento de una partícula a lo largo de una curva. En la sección 12.3, se usa la primera y segunda derivada de un vector de posición para hallar velocidad y aceleración de una partícula. Paul Hardy/Corbis 831

2 832 CAPÍTULO 12 Funciones vectoriales Sección 12.1 Funciones vectoriales Analizar y dibujar una curva en el espacio dada por una función vectorial. Extender los conceptos de límite y continuidad a funciones vectoriales. Curvas en el espacio y funciones vectoriales En la sección 10.2, se definió una curva plana como el conjunto de pares ordenados ft, gt junto con sus ecuaciones paramétricas x f t y y gt donde f y g son funciones continuas de t en un intervalo I. Esta definición puede extenderse de manera natural al espacio tridimensional, como sigue. Una curva en el espacio C es el conjunto de todas las ternas ordenadas f t, gt, ht junto con sus ecuaciones paramétricas x f t, y gt, y z ht donde ƒ, g y h son funciones continuas de t en un intervalo I. Antes de ver ejemplos de curvas en el espacio, se introduce un nuevo tipo de función, llamada función vectorial. Este tipo de función asocia a números reales vectores. Definición de función vectorial Una función de la forma rt f ti gtj Plano. o rt f ti gtj htk Espacio. es una función vectorial donde las funciones componentes ƒ, g y h son funciones del parámetro t. Algunas veces las funciones vectoriales se denotan como rt f t, gt o rt f t, gt, ht. La curva C es trazada por el punto final del vector posición r(t) Figura 12.1 Técnicamente, una curva en el plano o en el espacio consiste en una colección de puntos y ecuaciones paramétricas que la definen. Dos curvas diferentes pueden tener la misma gráfica. Por ejemplo, cada una de las curvas dadas por r sen sin t i cos t j y r sen sin t 2 i cos t 2 j tiene como gráfica el círculo unidad o unitario, pero estas ecuaciones no representan la misma curva porque el círculo está trazado de diferentes maneras. Asegúrese de ver la diferencia entre la función vectorial r y las funciones reales ƒ, g y h. Todas son funciones de la variable real t, pero r(t) es un vector, mientras que ƒ(t), g(t) y h(t) son números reales (para cada valor específico de t). Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la representación de curvas. Tomando como parámetro t el tiempo, se puede usar una función vectorial para representar el movimiento a lo largo de una curva. O, en el caso más general, se puede usar una función vectorial para trazar la gráfica de una curva. En ambos casos, el punto final del vector posición r(t) coincide con el punto (x, y) o (x, y, z) de la curva dada por las ecuaciones paramétricas, como se muestra en la figura La punta de flecha en la curva indica la orientación de la curva apuntando en la dirección de valores crecientes de t.

3 SECCIÓN 12.1 Funciones vectoriales 833 A menos que se especifique otra cosa, se considera que el dominio de una función vectorial r es la intersección de los dominios de las funciones componentes ƒ, g y h. Por ejemplo, el dominio de rt ln ti 1 t j tk es el intervalo 0, 1. EJEMPLO 1 Trazado de una curva plana Dibujar la curva plana representada por la función vectorial rt 2 cos ti 3 sen sin tj, 0 t 2. Función vectorial. Solución A partir del vector de posición rt, se pueden dar las ecuaciones paramétricas x 2 cos t y y 3 sen sin t. Despejando cos t y sen t y utilizando la identidad cos 2 t sen sin 2 t 1 se obtiene la ecuación rectangular La elipse es trazada en el sentido de las manecillas del reloj a medida que t aumenta de 0 a 2π Figura 12.2 x y Ecuación rectangular. La gráfica de esta ecuación rectangular es la elipse mostrada en la figura La curva está orientada en el sentido de las manecillas del reloj. Es decir, cuando t aumenta de 0 a 2π, el vector de posición r(t) se mueve en el sentido de las manecillas del reloj, y sus puntos finales describen la elipse. EJEMPLO 2 Trazado de una curva en el espacio Dibujar la curva en el espacio representada por la función vectorial rt 4 cos ti 4 sen sin tj tk, 0 t 4. Función vectorial. Solución De las dos primeras ecuaciones paramétricas x 4 cos t y y 4 sen t, se obtiene x 2 y Ecuación rectangular. A medida que t aumenta de 0 a 4, se describen dos espirales sobre la hélice Figura 12.3 Esto significa que la curva se encuentra en un cilindro circular recto de radio 4, centrado en el eje z. Para localizar en este cilindro la curva, se usa la tercera ecuación paramétrica z t. En la figura 12.3, nótese que a medida que t aumenta de 0 a 4, el punto x, y, z sube en espiral por el cilindro describiendo una hélice. Un ejemplo de una hélice de la vida real se muestra en el dibujo inferior de la izquierda. En los ejemplos 1 y 2 se dio una función vectorial y se pidió dibujar la curva correspondiente. Los dos ejemplos siguientes se refieren a la situación inversa: hallar una función vectorial para representar una gráfica dada. Claro está que si la gráfica se da en forma paramétrica, su representación por medio de una función vectorial es inmediata. Por ejemplo, para representar en el espacio la recta dada por x 2 t, y 3t y z 4 t En 1953 Francis Crick y James D. Watson descubrieron la estructura de doble hélice del ADN lo que llevó a la industria de la biotecnología de $30 miles de millones por año. se usa simplemente la función vectorial dada por rt 2 ti 3tj 4 tk. Si no se da un conjunto de ecuaciones paramétricas para la gráfica, el problema de representar la gráfica mediante una función vectoral se reduce a hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas.

4 834 CAPÍTULO 12 Funciones vectoriales EJEMPLO 3 Representación de una gráfica mediante una función vectorial Representar la parábola dada por y x 2 1 mediante una función vectorial. Hay muchas maneras de parametrizar esta gráfica. Una manera es tomar x t Figura 12.4 Solución Aunque hay muchas maneras de elegir el parámetro t, una opción natural es tomar x t. Entonces y t 2 1 y se tiene rt ti t 2 1j. Función vectorial. Nótese en la figura 12.4 la orientación obtenida con esta elección particular de parámetro. Si se hubiera elegido como parámetro x t, la curva hubiera estado orientada en dirección opuesta. EJEMPLO 4 Representación de una gráfica mediante una función vectorial Dibujar la gráfica C representada por la intersección del semielipsoide x 2 12 y 2 24 z2 4 1, z 0 y el cilindro parabólico y x 2. Después, hallar una función vectorial que represente la gráfica. NOTA Las curvas en el espacio pueden especificarse de varias maneras. Por ejemplo, la curva del ejemplo 4 se describe como la intersección de dos superficies en el espacio. x t. Solución En la figura 12.5 se muestra la intersección de las dos superficies. Como en el ejemplo 3, una opción natural para el parámetro es Con esta opción, se usa la ecuación dada y x 2 para obtener y t 2. Entonces z x2 12 y t 2 12 t t 2 t Como la curva se encuentra sobre el plano xy para z, hay que elegir la raíz cuadrada positiva y obtener las ecuaciones paramétricas siguientes. x t, y t 2, y z 24 2t 2 t 4 6 La función vectorial resultante es rt ti t 2 j 24 2t 2 t 4 k, 6 2 t 2. Función vectorial. De los puntos (2, 4, 0) y (2, 4, 0) que se muestran en la figura 12.5, se ve que la curva es trazada a medida que t aumenta de 2 a 2. La curva C es la intersección del semielipsoide y el cilindro parabólico Figura 12.5

5 SECCIÓN 12.1 Funciones vectoriales 835 Límites y continuidad Muchas de las técnicas y definiciones utilizadas en el cálculo de funciones reales se pueden aplicar a funciones vectoriales. Por ejemplo, las funciones vectoriales se pueden sumar y restar, multiplicar por un escalar, tomar su límite, derivarlas, y así sucesivamente. La estrategia básica consiste en aprovechar la linealidad de las operaciones vectoriales y extender las definiciones en una base, componente por componente. Por ejemplo, para sumar o restar dos funciones vectoriales (en el plano), se tiene r 1 t r 2 t f 1 ti g 1 tj f 2 ti g 2 tj f 1 t f 2 ti g 1 t g 2 tj r 1 t r 2 t f 1 ti g 1 tj f 2 ti g 2 tj Suma. Resta. De manera similar, para multiplicar y dividir una función vectorial por un escalar, se tiene crt c f 1 ti g 1 tj rt c cf 1 ti cg 1 tj f 1ti g 1 tj, c f 1t c f 1 t f 2 ti g 1 t g 2 tj. i g 1t c j. c 0 Multiplicación escalar. División escalar. Esta extensión, componente por componente, de las operaciones con funciones reales a funciones vectoriales se ilustra más ampliamente en la definición siguiente del límite de una función vectorial. Definición del límite de una función vectorial 1. Si r es una función vectorial tal que rt f ti gtj, entonces lim lím rt Plano. t a lím lim f t t a i lím lim gt t a j siempre que existan los límites de f y g cuando t a. 2. Si r es una función vectorial tal que rt f ti gtj htk, entonces lím lim rt t a lím lim f t t a i lim lím gt t a j lim lím ht t a k siempre que existan los límites de f, g y h cuando t a. Espacio. A medida que t tiende a a, r(t) tiende al límite L. Para que el límite L exista, no es necesario que r(a) esté definida o que r(a) sea igual a L Figura 12.6 Si rt tiende al vector L cuando t a, la longitud del vector rt L tiende a 0. Es decir, rt L 0 como t a. Esto se ilustra de manera gráfica en la figura Con esta definición del límite de una función vectorial, se pueden desarrollar versiones vectoriales de la mayor parte de los teoremas del límite dados en el capítulo 1. Por ejemplo, el límite de la suma de dos funciones vectoriales es la suma de sus límites individuales. También, se puede usar la orientación de la curva r(t) para definir límites unilaterales de funciones vectoriales. La definición siguiente extiende la noción de continuidad a funciones vectoriales.

6 836 CAPÍTULO 12 Funciones vectoriales Definición de continuidad de una función vectorial Una función vectorial r es continua en un punto dado por t a si el límite de rt cuando t a existe y lim lím rt ra. t a Una función vectorial r es continua en un intervalo I si es continua en todos los puntos del intervalo. De acuerdo con esta definición, una función vectorial es continua en t a si y sólo si cada una de sus funciones componentes es continua en t a. EJEMPLO 5 Continuidad de funciones vectoriales Analizar la continuidad de la función vectorial dada por rt ti aj a 2 t 2 k a es una constante. cuando t 0. Solución Cuando t tiende 0, el límite es lím lim rt t 0 lim lím t t 0 i lím lim a t 0 j lim lím a 2 t 2 t 0 k 0i aj a 2 k aj a 2 k. Como r0 0i aj a 2 k aj a 2 k se concluye que r es continua en t 0. Mediante un razonamiento similar, se concluye que la función vectorial r es continua en todo valor real de t. Para cada a, la curva representada por la función vectorial del ejemplo 5, rt ti aj a 2 t 2 k a es una constante. es una parábola. Uno se puede imaginar cada una de estas parábolas como la intersección del plano vertical y a con el paraboloide hiperbólico y 2 x 2 z como se muestra en la figura Para todo a, la curva representada por la función vectorial rt t i a j a 2 t 2 k es una parábola Figura 12.7 TECNOLOGÍA Casi cualquier tipo de dibujo tridimensional es difícil hacerlo a mano, pero trazar curvas en el espacio es especialmente difícil. El problema consiste en crear la impresión de tres dimensiones. Las graficadoras usan diversas técnicas para dar la impresión de tres dimensiones en gráficas de curvas en el espacio: una manera es mostrar la curva en una superficie, como en la figura 12.7.

7 SECCIÓN 12.1 Funciones vectoriales 837 Ejercicios de la sección 12.1 En los ejercicios 1 a 8, hallar el dominio de la función vectorial rt 4 t 2 i t 2 j 6tk 3. rt ln ti e t j tk 4. rt sen sin ti 4 cos tj tk 5. rt Ft Gt where donde Ft cos ti sen sin tj t k, 6. rt Ft Gt where donde Ft ln ti 5tj 3t 2 k, En los ejercicios 9 a 12, evaluar (si es posible) la función vectorial en cada valor dado de t. 9. rt 1 2 t 2 i t 1j a) r1 b) r0 c) rs 1 d) r2 t r2 10. rt cos ti 2 sen sin tj a) r0 b) r4 c) d) r6 t r6 11. rt 5ti 4tj 1 t k rt Ft Gt where donde Ft sen sin ti cos tj, rt Ft Gt donde where Ft t 3 i tj tk, rt ln ti 1 t j 3tk r a) r2 b) r3 c) rt 4 d) r1 t r1 12. rt t i t 32 j e t4 k a) r0 b) r4 c) rc 2 d) r9 t r9 Gt cos ti sen sin tj Gt i 4tj 3t 2 k Gt sen sin tj cos tk Gt t 3 i 1 j t 2k t 1 En los ejercicios 17 a 20, asociar la ecuación con su gráfica. [Las gráficas están marcadas a), b), c) y d).] a) b) c) d) 17. rt ti 2tj t 2 k, 2 t rt costi sen sintj t 2 k, 1 t rt ti t 2 j e 0.75t k, 2 t rt ti ln tj 2t 3 k, 21. Para pensar Las cuatro figuras siguientes son gráficas de la función vectorial rt 4 cos ti 4 sen sin tj t 4 k. 0.1 t 5 Asociar cada una de las gráficas con el punto en el espacio desde el cual se ve la hélice. Los cuatro puntos son 0, 0, 20, 20, 0, 0, (20, 0, 0) y 10, 20, 10. a) b) En los ejercicios 13 y 14, hallar 13. rt sen sin 3ti cos 3tj tk 14. rt t i 3tj 4tk rt. Para pensar En los ejercicios 15 y 16, hallar rt ut. Es el resultado una función vectorial? Explicar. c) d) rt 3t 1i 1 4 t 3 j 4k ut t 2 i 8j t 3 k rt 3 cos t, 2 sen sin t, t 2 ut 4 sen sin t, 6 cos t, t 2

8 838 CAPÍTULO 12 Funciones vectoriales 22. Dibujar tres gráficas de la función vectorial vista desde el punto. a) 0, 0, 20 b) 10, 0, 0 c) 5, 5, 5 En los ejercicios 23 a 38, dibujar la curva representada por la función vectorial y dar la orientación de la curva. 23. rt 3ti t 1j 24. rt 1 ti tj 25. rt t 3 i t 2 j 26. rt t 2 ti t 2 tj 27. r cos i 3 sen sin j 28. rt 2 cos ti 2 sen sin tj 29. r 3 sec i 2 tan j 30. rt 2 cos 3 ti 2 sen sin 3 tj rt t 1i 4t 2j 2t 3k rt ti 2t 5j 3tk rt 2 cos ti 2 sen sin tj tk 34. rt 3 cos ti 4 sen sin tj t 2 k 35. rt 2 sin senti 2 cos tj e t k 36. rt t 2 i 2tj 3 2 tk 37. rt t, t 2, 2 3 t rt cos t t sen sin t, sen sin t t cos t, t En los ejercicios 39 a 42, usar un sistema computacional para álgebra a fin de representar gráficamente la función vectorial e identificar la curva común rt ti tj 2k rt 1 2 t 2 i tj 3 2 t 2 k rt ti 3 2 t 2 j 1 2 t 2 k 41. rt sin ti 3 2 cos t 1 2 t j 1 3 sen cos t 2 2 k 42. rt 2 sen sin ti 2 cos tj 2 sen sin tk Para pensar En los ejercicios 43 y 44, usar un sistema computacional para álgebra a fin de representar gráficamente la función vectorial rt. Para cada ut, conjeturar sobre la transformación (si la hay) de la gráfica de rt. Usar un sistema computacional para álgebra con objeto de verificar la conjetura. 43. rt 2 cos ti 2 sen sin tj 1 2 tk a) ut 2cos t 1i 2 sen sin tj 1 2 tk b) ut 2 cos ti 2 sin sentj 2tk c) ut 2 costi 2 sen sintj 1 2tk d) ut 1 2ti 2 sen sin tj 2 cos tk e) ut 6 cos ti 6 sen sin tj 1 2 tk 44. rt ti t 2 j 1 2 t3 k a) ut ti t 2 2j 1 2 t 3 k b) ut t 2 i tj 1 2 t3 k c) ut ti t 2 j 1 2 t 3 4k d) ut ti t 2 j 1 8 t3 k e) ut ti t 2 j 1 2t 3 k En los ejercicios 45 a 52, representar la curva plana por medio de una función vectorial. (Hay varias respuestas correctas.) 45. y 4 x 46. 2x 3y y x y 4 x x 2 y x 2 2 y 2 4 x y Una partícula sigue una trayectoria recta que pasa por los puntos (2, 3, 0) y (0, 8, 8). Hallar una función vectorial para la trayectoria. Usar un sistema computacional para álgebra a fin de representar gráficamente la función. (Hay varias respuestas correctas.) 54. El borde exterior de un tobogán tiene forma de hélice de radio 1.5 metros. El tobogán tiene una altura de 2 metros y da una vuelta completa de arriba abajo. Hallar una función vectorial para la hélice. Usar un sistema computacional para álgebra a fin de representar gráficamente la función. (Hay varias respuestas correctas.) En los ejercicios 55 a 58, hallar funciones vectoriales que forman los límites de la región en la figura. Dar el intervalo correspondiente al parámetro de cada función x 2 16 y En los ejercicios 59 a 66, dibujar la curva en el espacio representada por la intersección de las superficies. Después representar la curva por medio de una función vectorial usando el parámetro dado. Superficies Parámetro 59. z x 2 y 2, x y 0 x t 60. z x 2 y 2, z 4 x 2 cos t 61. x 2 y 2 4, z x 2 x 2 sin sent 62. 4x 2 4y 2 z 2 16, x z 2 z t 63. x 2 y 2 z 2 4, x z 2 x 1 sin sent 64. x 2 y 2 z 2 10, x y 4 x 2 sen sin t 65. x 2 z 2 4, y 2 z 2 4 x t first (primer octant octante) 66. x 2 y 2 z 2 16, xy 4 x t first (primer octant octante)

9 SECCIÓN 12.1 Funciones vectoriales Mostrar que la función vectorial rt ti 2t cos tj 2t sen sin tk se encuentra en el cono 4x 2 y 2 z 2. Dibujar la curva. 68. Mostrar que la función vectorial rt e t cos ti e t sen sin tj e t k se encuentra en el cono z 2 x 2 y 2. Dibujar la curva. En los ejercicios 69 a 74, evaluar el límite. 69. lim t 2 ti t 2 4 lím t 2 2t j 1 t k sen 70. lím lim t 0 et i sin t j e t t k 71. lím lim t 0 t 2 i 3tj 1 cos t k t 72. lím lim t 1 t i ln t t 2 1 j 2t 2 k 73. lím lim t 0 1 t i cos tj sen sin tk 74. lim lím t et i 1 t j t t 2 1 k En los ejercicios 75 a 80, determinar el (los) intervalo(s) en que la función vectorial es continua. 75. rt ti rt t i t 1 j t j 77. rt ti arcsin sentj t 1k 78. rt 2e t i e t j lnt 1k 79. rt e t, t 2, tan t 80. rt 8, t, t 3 Desarrollo de conceptos 81. Dar la definición de una función vectorial en el plano y en el espacio. 82. Si rt es una función vectorial, es la gráfica de la función vectorial ut rt 2 una traslación horizontal de la gráfica de rt? Explicar el razonamiento. 83. Considerar la función vectorial rt t 2 i t 3j tk. Dar una función vectorial st que sea la transformación especificada de r. a) Una traslación vertical tres unidades hacia arriba b) Una traslación horizontal dos unidades en dirección del eje x negativo c) Una traslación horizontal cinco unidades en dirección del eje y positivo 84. Dar la definición de continuidad para una función vectorial. Dar un ejemplo de una función vectorial que esté definida pero no sea continua en t Sean rt y ut funciones vectoriales cuyos límites existen cuando t c. Demostrar que lim lím rt ut lím lim rt lím lim ut. t c t c t c 86. Sean rt y ut funciones vectoriales cuyos límites existen cuando t c. Demostrar que lim lím rt t c ut lim lím rt t c lím lim ut. t c 87. Verificar que el converso de lo que se afirma en el ejercicio 87 no es verdad encontrando una función vectorial r tal que r sea continua en c pero r no sea continua en c. 88. Demostrar que si r es una función vectorial continua en c, entonces r es continua en c. Verdadero o falso? En los ejercicios 89 a 92, determinar si la declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que pruebe que es falsa. 89. Si ƒ, g y h son funciones polinómicas de primer grado, entonces la curva dada por x f t, y g(t) y z ht es una recta. 90. Si la curva dada por x f t, y g(t) y z ht es una recta, entonces ƒ, g y h son funciones polinómicas de primer grado de t. 91. Dos partículas que viajan a lo largo de las curvas rt ti t 2 j y ut 2 ti 8tj chocarán. 92. La función vectorial rt t 2 i t sin t sen j t cos t k se encuentra en el paraboloide x y 2 z 2. Proyecto de trabajo: Hechicera o bruja de Agnesi En la sección 3.5 se estudió una curva famosa llamada hechicera de Agnesi. En este proyecto se profundiza sobre esta función. Considérese un círculo de radio a centrado en el punto (0, a) del eje y. Sea A un punto en la recta horizontal y 2a, O el origen y B el punto donde el segmento OA interseca el círculo. Un punto P está en la hechicera de Agnesi si P se encuentra en la recta horizontal a través de B y en la recta vertical a través de A. a) Mostrar que el punto A está descrito por la función vectorial r A 2a cot i 2aj, 0 < donde θ es el ángulo formado por OA con el eje x positivo. b) Mostrar que el punto B está descrito por la función vectorial r B a sin sen2i a1 cos 2j, 0 < <. c) Combinar los resultados de los apartados a) y b) para hallar la función vectorial r(θ) para la hechicera de Agnesi. Usar una graficadora para representar esta curva para a 1. d) Describir los límites lim lím r y lím lim r. 0 e) Eliminar el parámetro θ y determinar la ecuación rectangular de la hechicera de Agnesi. Usar una graficadora para representar esta función para a 1 y comparar la gráfica con la obtenida en el apartado c). <

10 840 CAPÍTULO 12 Funciones vectoriales Sección 12.2 Derivación e integración de funciones vectoriales Derivar una función vectorial. Integrar una función vectorial. Derivación de funciones vectoriales En las secciones 12.3 a 12.5 se estudian varias aplicaciones importantes que emplean cálculo de funciones vectoriales. Como preparación para ese estudio, esta sección está dedicada a las mecánicas de derivación e integración de funciones vectoriales. La definición de la derivada de una función vectorial es paralela a la dada para funciones reales. Definición de la derivada de una función vectorial La derivada de una función vectorial r se define como rt t rt rt lím lim t 0 t para todo t para el cual existe el límite. Si rc existe para todo c en un intervalo abierto I, entonces r es derivable en el intervalo I. La derivabilidad de funciones vectoriales puede extenderse a intervalos cerrados considerando límites unilaterales. NOTA Además de la notación rt, otras notaciones para la derivada de una función vectorial son Figura 12.8 D t rt, y La derivación de funciones vectoriales puede hacerse componente por componente. Para ver esto, considérese la función dada por rt f ti gtj. Aplicando la definición de derivada se obtiene lo siguiente. rt t rt rt lím lim t 0 t f t ti gt tj f ti gtj lim lím t 0 lim lím d dt rt, t 0 lím lim t 0 fti gtj dr dt. t f t t f t t f t t f t t i i lim gt t gt t j lím t 0 gt t gt t Este importante resultado se enuncia en el teorema de la página siguiente. Nótese que la derivada de la función vectorial r es también una función vectorial. En la figura 12.8 se ve que rt es un vector tangente a la curva dada por rt y que apunta en la dirección de los valores crecientes de t. j

11 SECCIÓN 12.2 Derivación e integración de funciones vectoriales 841 TEOREMA 12.1 Derivación de funciones vectoriales 1. Si rt f ti gtj, donde ƒ y g son funciones derivables de t, entonces rt fti gtj. Plano. 2. Si rt f ti gtj htk, donde ƒ, g y h son funciones derivables de t, entonces rt fti gtj htk. Espacio. EJEMPLO 1 Derivación de funciones vectoriales Hallar la derivada de cada una de las funciones vectoriales. a) rt t 2 i 4j b) rt 1 t i ln tj e2t k Solución Derivando componente por componente se obtiene lo siguiente. a) rt 2ti 0j 2ti Derivada. b) rt 1 Derivada. t i 1 2 t j 2e2t k Derivadas de orden superior de funciones vectoriales se obtienen por derivación sucesiva de cada una de las funciones componentes. EJEMPLO 2 Derivadas de orden superior Una función vectorial está dada por rt cos ti sen sin tj 2tk, Hallar lo siguiente. a) rt b) rt c) rt rt d) rt rt Solución a) rt sin senti cos tj 2k Primera derivada. b) rt cos ti sen sin tj 0k cos ti sen sin tj Segunda derivada. c) rt rt sen sin t cos t sen sin t cos t 0 Producto escalar. 0 i j k d) rt rt sin sent cos t 2 Producto vectorial. cos t sin sen t cos t 2 sin t 0 i sin t 2 cos t 0 j sin t cos t t sen sen sen cos t sin sen k 2 sen sin ti 2 cos tj k Nótese en el apartado c) que el producto escalar es una función real, no una función vectorial.

12 842 CAPÍTULO 12 Funciones vectoriales La parametrización de la curva representada por la función vectorial rt f ti gtj htk es suave en un intervalo abierto I si f, g, y son continuas en I y rt 0 para todo valor de t en el intervalo I. h EJEMPLO 3 Intervalos en los que una curva es suave Hallar los intervalos en los que el epicicloide C dado por rt 5 cos t cos 5ti 5 sen sin t sen sin 5tj, 0 t 2 es suave. La epicicloide no es suave en los puntos en los que interseca los ejes Figura 12.9 Solución La derivada de r es rt 5 sen sin t 5 sen sin 5ti 5 cos t 5 cos 5tj. En el intervalo 0, 2, los únicos valores de t para los cuales rt 0i 0j son t 0, 2,, 32, y 2. Por consiguiente, se concluye que C es suave en los intervalos 0,, 3 y 2, 3 2, 2 2,, 2, como se muestra en la figura NOTA En la figura 12.9, nótese que la curva no es suave en los puntos en los que la curva tiene cambios abruptos de dirección. Tales puntos se llaman cúspides o nodos. La mayoría de las reglas de derivación del capítulo 2 tiene su contraparte para funciones vectoriales, y varias de ellas se dan en el teorema siguiente. Nótese que el teorema contiene tres versiones de reglas del producto. La propiedad 3 da la derivada del producto de una función real ƒ y por función vectorial r, la propiedad 4 da la derivada del producto escalar de dos funciones vectoriales y la propiedad 5 da la derivada del producto vectorial de dos funciones vectoriales (en el espacio). Nótese que la propiedad 5 sólo aplica a funciones vectoriales tridimensionales, porque el producto vectorial no está definido para vectores bidimensionales. TEOREMA 12.2 Propiedades de la derivada Sean r y u funciones vectoriales derivables de t, ƒ una función real derivable de t y sea c un escalar. 1. D t crt crt 2. D t rt ± ut rt ± ut 3. D t f trt f trt f trt 4. D t rt ut rt ut rt ut 5. D t rt ut rt) ut rt ut 6. D t r f t r f tft 7. Si rt rt c, entonces rt rt 0.

13 SECCIÓN 12.2 Derivación e integración de funciones vectoriales 843 EXPLORACIÓN Sea r(t) cos ti sen tj. Dibujar la gráfica de rt. Explicar por qué la gráfica es un círculo de radio 1 centrado al origen. Calcular r4 y r4. Colocar el vector r4 de manera que su punto inicial esté en el punto final de r4. Qué se observa? Mostrar que rt rt es constante y que rt rt 0 para todo t. Qué relación tiene este ejemplo con la propiedad 7 del teorema 12.2? Demostración Para demostrar la propiedad 4, sea rt f 1 ti g 1 tj y ut f 2 ti g 2 tj donde f 1, f 2, g 1, y son funciones derivables de t. Entonces, rt ut f 1 tf 2 t g 1 tg 2 t y se sigue que D t rt ut f 1 tf 2t f 1 Las demostraciones de las otras propiedades se dejan como ejercicios (ver ejercicios 73 a 77 y ejercicio 80). EJEMPLO 4 g 2 f 1 t)f 2t g 1 tg 2t f 1 rt ut rt ut. Aplicación de las propiedades de la derivada Para las funciones vectoriales dadas por tf 2 t g 1 tg 2 t g 1 tg 2 t tf 2 t g 1 tg 2 t rt 1 i j ln tk t y ut t 2 i 2tj k hallar a) D t rt ut y b) D t ut ut. Solución a) Como rt 1 y ut 2ti 2j, se tiene t i 1 2 t k D t rt ut rt ut rt ut 1 t i j ln tk 2ti 2j 1 t 2 i 1 t k t 2 i 2t j k t 3 1 t. b) Como ut 2ti 2j y ut 2i, se tiene D t ut ut ut ut ut 0 ut i j k t 2 2t t i 2j 4tk 2j 4tk. 0 i t2 1 0 j t2 2 2t 0 k NOTA Hacer de nuevo los apartados a) y b) del ejemplo 4 pero formando primero los productos escalar y vectorial y derivando después para comprobar que se obtienen los mismos resultados.

14 844 CAPÍTULO 12 Funciones vectoriales Integración de funciones vectoriales La siguiente definición es una consecuencia lógica de la definición de la derivada de una función vectorial. Definición de la integral de una función vectorial 1. Si rt f ti gtj, donde f y g son continuos en a, b, entonces la integral indefinida (o antiderivada) de r es rt dt f t dt i gt dt j Plano. y su integral definida en el intervalo b a b rt dt f t dt i a a t b es 2. Si rt f ti gtj htk, donde f, g y h son continuos en entonces la integral indefinida (o antiderivada) de r es a b gt dt j. a, b, rt dt f t dt i gt dt j ht dt k Espacio. y su integral definida en el intervalo a t b es b a b b rt dt f t dt i gt dt j a a a b ht dt k. La antiderivada de una función vectorial es una familia de funciones vectoriales que difieren entre sí en un vector constante C. Por ejemplo, si rt es una función vectorial tridimensional, entonces al hallar la integral indefinida rt dt, se obtienen tres constantes de integración ft dt Ft C 1, gt dt Gt C 2, ht dt Ht C 3 donde Ft f t, Gt gt, y Ht ht. Estas tres constantes escalares forman un vector como constante de integración, rt dt Ft C 1 i Gt C 2 j Ht C 3 k Fti Gtj Htk C 1 i C 2 j C 3 k Rt C donde Rt rt. EJEMPLO 5 Integración de una función vectorial Hallar la integral indefinida t i 3j dt. Solución Integrando componente por componente se obtiene t i 3j dt t2 i 3tj C. 2

15 SECCIÓN 12.2 Derivación e integración de funciones vectoriales 845 El ejemplo 6 muestra cómo evaluar la integral definida de una función vectorial. EJEMPLO 6 Integral definida de una función vectorial Evaluar la integral 1 0 Solución rt dt t 3 i 1 0 t 1 j et k dt. 1 rt dt 0 1 t 13 dt i 3 4 i ln 2j 1 1 e k t 1 dt j e t dt k 3 4 t 43 1 i 0 ln t 1 1 j 0 e t 1 k 0 0 Como ocurre con las funciones reales, se puede reducir la familia de primitivas de una función vectorial a una sola primitiva imponiendo una condición inicial a la función vectorial r. Esto se demuestra en el ejemplo siguiente. r EJEMPLO 7 La primitiva de una función vectorial Hallar la primitiva de rt cos 2ti 2 sen sin tj 1 1 t k 2 que satisface la condición inicial r0 3 i 2j k. Solución rt rt dt cos 2t dt i 2 sen sin t dt j 1 sen 2 sin 2t C 1 i 2 cos t C 2j arctan t C 3 k Haciendo t 0 usando el hecho que r0 3i 2j k, se tiene r0 0 C 1 i 2 C 2 j 0 C 3 k 3i 2j k. 1 1 t 2 dt k Igualando los componentes correspondientes se obtiene C 1 3, 2 C 2 2, y C 3 1. Por tanto, la primitiva que satisface la condición inicial dada es rt 1 sen 2 sin 2t 3 i 2 cos t 4j arctan t 1k.

16 846 CAPÍTULO 12 Funciones vectoriales Ejercicios de la sección 12.2 En los ejercicios 1 a 6, dibujar la curva plana representada por la función vectorial y dibujar los vectores rt 0 y rt 0 para el valor dado de t 0. Colocar los vectores de manera que el punto inicial de rt 0 esté en el origen y el punto inicial de rt 0 esté en el punto final de rt 0. Qué relación hay entre rt 0 y la curva? 1. rt t 2 i tj, t 2. rt ti t j, Investigación Considerar la función vectorial a) Dibujar la gráfica de rt. Usar una graficadora para verificar la gráfica. b) Dibujar los vectores r14, r12, y r12 r14 en la gráfica del apartado a). c) Comparar el vector r14 con el vector 8. Investigación Considerar la función vectorial a) Dibujar la gráfica de rt. Usar una graficadora para verificar la gráfica. b) Dibujar los vectores r1, r1.25, y r1.25 r1 en la gráfica del apartado a). c) Comparar el vector r(1 con el vector En los ejercicios 9 y 10, a) dibujar la curva en el espacio representada por la función vectorial, y b) dibujar los vectores rt 0 y rt 0 para el valor dado de t rt t 2 i 1 t j, rt 1 ti t 3 j, rt cos ti sen sin tj, rt e t i e 2t j, rt ti t 2 j. r12 r rt ti 4 t 2 j. rt 2 cos ti 2 sen sin tj tk, rt ti t 2 j 3 2 k, t 0 2 t 0 0 t 0 1 t 0 2 t 0 2 t r1.25 r En los ejercicios 11 a 18, hallar rt rt 1 t2 j t 3 k i 16tj t 2 k 13. rt a cos 3 ti a sen sin 3 tj k rt 4t i t 2 t j ln t 2 k rt e t i 4j rt sin sent t cos t, cos t t sen sin t, t rt t sen sin t, t cos t, t 18. rt arcsin sent, arccos t, 0 t 0 1 En los ejercicios 19 a 26, hallar a) rt y b) rt rt. 19. rt t 3 i 1 2 t2 j 20. rt t 2 ti t 2 tj 21. rt 4 cos ti 4 sen sin tj 22. rt 8 cos ti 3 sen sin tj 23. rt 1 2 t2 i tj 1 6 t3 k rt ti 2t 3j 3t 5k rt cos t t sen sin t, sen sin t t cos t, t rt e t, t 2, tan t En los ejercicios 27 y 28 se dan una función vectorial y su gráfica. La gráfica también muestra los vectores unitarios rt y rt 0 / rt 0. 0 / rt 0 Hallar estos dos vectores unitarios e identificarlos en la gráfica. 27. rt cos ti sen sin tj t 2 k, 28. rt ti t 2 j e 0.75t k, t Figura para 27 Figura para 28 En los ejercicios 29 a 38, hallar el (los) intervalo(s) abierto(s) en que la curva dada por la función vectorial es suave. 29. rt t2 i t 3 j r 2 cos 3 i 3 sen sin 3 j 32. r sin seni 1 cos j 33. r 2 sin seni 1 2 cos j 34. rt 2t 8 t 3 i 2t2 8 t 3 j 35. rt t 1i rt e t i e t j 3tk t j t2 k 37. rt ti 3tj tan tk 38. rt t i t 2 1j 1 4 tk En los ejercicios 39 y 40, usar las propiedades de la derivada para encontrar lo siguiente. a) rt b) rt c) D t [r(t ut] d) D t [3rt ut] e) D t [rt ut] f) t > rt ti 3tj t 2 k, ut 4ti t 2 j t 3 k 40. rt ti 2 sen sin tj 2 cos tk, ut 1 i 2 sen sin tj 2 cos tk t t rt 1 t 1 i 3tj D t [ rt) ],

17 SECCIÓN 12.2 Derivación e integración de funciones vectoriales 847 En los ejercicios 41 y 42, hallar a) D t [rt ut] y b) D t [rt ut] por derivación del producto, después aplicar las propiedades del teorema rt ti 2t 2 j t 3 k, ut t 4 k 42. rt cos ti sen sin tj tk, ut j tk En los ejercicios 43 y 44, hallar el ángulo entre rt y rt en función de t. Usar una graficadora para representar t. Usar la gráfica para hallar todos los extremos de la función. Hallar todos los valores de t en que los vectores son ortogonales. 43. rt 3 sen sin ti 4 cos tj 44. rt t 2 i tj En los ejercicios 45 a 48, usar la definición de la derivada para hallar rt. 45. rt 3t 2i rt t i 3 t2 j t j 2tk 47. rt t 2, 0, 2t 48. rt 0, sen sin t, 4t En los ejercicios 49 a 56, hallar la integral indefinida ti j k dt t i j t 32 k dt e t i sen sin tj cos tk dt e t sen sin ti e t cos tj dt En los ejercicios 57 a 62, evaluar la integral definida ti tj k dt sec t tan ti tan tj 2 sen sin t cos tk dt ti e 62. t j te t k dt ti t 2 j dt 0 0 En los ejercicios 63 a 68, hallar rt para las condiciones dadas rt 4e 2t i 3e t j, rt 3t 2 j 6t k, r0 2i r0 i 2j 65. rt 32j, r0 6003i 600j, r rt 4 cos tj 3 sen sin tk, r0 3k, r0 4j 67. rt te t2 i e t j k, r0 1 2 i j k t 1i 4t 3 j 3t k dt sec2 ti 1 1 t j dt a cos ti a sen sin tj k dt rt 1 1 t 2 i 1 t 2 j 1 t k, 4t 3 i 6tj 4t k dt ln ti 1 j k t dt 1 ti t 3 j t 3 k dt 1 r1 2i Desarrollo de conceptos 69. Dar la definición de la derivada de una función vectorial. Describir cómo hallar la derivada de una función vectorial y dar su interpretación geométrica. 70. Cómo se encuentra la integral de una función vectorial? 71. Las tres componentes de la derivada de la función vectorial u son positivas en t t 0. Describir el comportamiento de u t t El componente z de la derivada de la función vectorial u es 0 para t en el dominio de la función. Qué implica esta información acerca de la gráfica de u? En los ejercicios 73 a 80, demostrar la propiedad. En todos los casos, suponer que r, u y v son funciones vectoriales derivables de t, que f es una función real derivable de t, y que c es un escalar. 73. D t crt crt 74. D t rt ± ut rt ± ut 75. D t f trt f trt ftrt 76. D t rt ut rt ut rt ut 77. D t r f t r f t ft 78. D t rt rt rt rt 79. D t rt ut vt rt ut vt rt ut vt rt ut vt 80. Si rt rt es una constante, entonces rt rt Movimiento de una partícula Una partícula se mueve en el plano xy a lo largo de la curva representada por la función vectorial rt t sen sin ti 1 cos tj. a) Usar una graficadora para representar r. Describir la curva. b) Hallar los valores mínimo y máximo de r y. 82. Movimiento de una partícula Una partícula se mueve en el plano yz a lo largo de la curva representada por la función vectorial rt 2 cos tj 3 sen sin tk. a) Describir la curva. b) Hallar los valores mínimo y máximo de r y r.. Verdadero o falso? En los ejercicios 83 a 86, determinar si la declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que muestre que es falsa. 83. Si una partícula se mueve a lo largo de una esfera centrada en el origen, entonces su vector derivada es siempre tangente a la esfera. 84. La integral definida de una función vectorial es un número real. d 85. rt rt dt 86. Si r y u son funciones vectoriales derivables de t, entonces D t rt ut rt ut. 87. Considerar la función vectorial rt e t sen sin ti e t cos tj. Mostrar que rt y rt son siempre perpendiculares una a otra. r

18 848 CAPÍTULO 12 Funciones vectoriales Sección 12.3 EXPLORACIÓN Exploración de velocidad Considérese el círculo dado por rt cos ti sin sentj. Usar una graficadora en modo paramétrico para representar este círculo para varios valores de ω. Cómo afecta ω la velocidad del punto final cuando se traza la curva? Para un valor dado de ω, parece ser constante la velocidad? Parece ser constante la aceleración? Explicar el razonamiento. Velocidad y aceleración Describir la velocidad y la aceleración relacionadas con una función vectorial. Usar una función vectorial para analizar el movimiento de un proyectil. Velocidad y aceleración Ahora se combina el estudio de ecuaciones paramétricas, curvas, vectores y funciones vectoriales a fin de formar un modelo para el movimiento a lo largo de una curva. Se empezará por ver el movimiento de un objeto en el plano. (El movimiento de un objeto en el espacio puede desarrollarse de manera similar.) Conforme un objeto se mueve a lo largo de una curva en el plano, la coordenada x y la coordenada y de su centro de masa es cada una función del tiempo t. En lugar de utilizar ƒ y g para representar estas dos funciones, es conveniente escribir x xt y y yt. Por tanto, el vector de posición rt toma la forma rt xti ytj. Vector de posición. Lo mejor de este modelo vectorial para representar movimiento es que se pueden usar la primera y la segunda derivada de la función vectorial r para hallar la velocidad y la aceleración del objeto. (Hay que recordar del capítulo anterior que la velocidad y la aceleración son cantidades vectoriales que tienen magnitud y dirección.) Para hallar los vectores velocidad y aceleración en un instante dado t, considérese un punto Qxt t, yt t que se aproxima al punto Pxt, yt a lo largo de la curva C dada por rt xti ytj, como se muestra en la figura A medida que t 0, la dirección del vector PQ \ (denotado por r) se aproxima a la dirección del movimiento en el instante t. r lím lim t lim lím t 0 t 0 r rt t rt r rt t rt t t rt t rt t Si este límite existe, se define como el vector velocidad o el vector tangente a la curva en el punto de P. Nótese que éste es el mismo límite usado en la definición de rt. Por tanto, la dirección de rt da la dirección del movimiento en el instante t. La magnitud del vector rt rt xti ytj xt 2 yt 2 da la rapidez del objeto en el instante t. De manera similar, se puede usar rt para hallar la aceleración, como se indica en las definiciones siguientes. Conforme t 0, r se aproxima al vector velocidad t Figura 12.10

19 SECCIÓN 12.3 Velocidad y aceleración 849 Definiciones de velocidad y aceleración Si x y y son funciones de t que tienen primera y segunda derivada y r es una función vectorial dada por rt xti ytj, entonces el vector velocidad, el vector aceleración y la rapidez en el instante t se definen como sigue. Velocidad Velocity vt rt xti ytj Acceleration Aceleración at rt xti ytj Rapidez Speed vt rt xt 2 yt 2 Para el movimiento a lo largo de una curva en el espacio, las definiciones son similares. Es decir, si rt xti ytj ztk, entonces Velocidad Velocity vt rt xti ytj ztk Acceleration Aceleración at rt xti ytj ztk Rapidez Speed vt rt xt 2 yt 2 zt 2. NOTA En el ejemplo 1, nótese que los vectores velocidad y aceleración son ortogonales en todo punto y en cualquier instante. Esto es característico del movimiento con rapidez constante. (Ver ejercicio 53.) EJEMPLO 1 Hallar la velocidad y la aceleración a lo largo de una curva plana Hallar el vector velocidad, la rapidez y el vector aceleración de una partícula que se mueve a lo largo de la curva plana C descrita por rt 2 sen sin t 2 i 2 cos t 2 j. Solución El vector velocidad es Vector posición. vt rt cos t 2 i sen sin t 2 j. Vector velocidad. La rapidez (en cualquier instante) es rt cos t 2 2 sen t sin Rapidez. El vector aceleración es at rt 1 sen 2 sin t 2 i 1 2 cos t 2 j. Vector aceleración. Las ecuaciones paramétricas de la curva del ejemplo 1 son x 2 sen sin t 2 y y 2 cos t 2. Eliminando el parámetro t, se obtiene la ecuación rectangular x 2 y 2 4. Ecuación rectangular. Por tanto, la curva es un círculo de radio 2 centrado en el origen, como se muestra en la figura Como el vector velocidad La partícula se mueve alrededor del círculo con rapidez constante Figura vt cos t 2 i sen sin t 2 j tiene una magnitud constante pero cambia de dirección a medida que t aumenta, la partícula se mueve alrededor del círculo con una rapidez constante.

20 850 CAPÍTULO 12 Funciones vectoriales EJEMPLO 2 Dibujo de los vectores velocidad y aceleración en el plano Dibujar la trayectoria de un objeto que se mueve a lo largo de la curva plana dada por rt t 2 4i t j Vector posición. y hallar los vectores velocidad y aceleración cuando t 0 y t 2. En todo punto en la curva, el vector aceleración apunta a la derecha Figura En todo punto de la órbita del cometa, el vector aceleración apunta hacia el Sol Figura Solución Utilizando las ecuaciones paramétricas x t 2 4 y y t, se puede determinar que la curva es una parábola dada por x y 2 4, como se muestra en la figura El vector velocidad (en cualquier instante) es vt rt 2t i j y el vector aceleración (en cualquier instante) es at rt 2i. Vector velocidad. Vector aceleración. Cuando t 0, los vectores velocidad y aceleración están dados por v0 20i j j y a0 2i. Cuando t 2, los vectores velocidad y aceleración están dados por v2 22i j 4i j y a2 2i. Si el objeto se mueve por la trayectoria mostrada en la figura 12.12, nótese que el vector aceleración es constante (tiene una magnitud de 2 y apunta hacia la derecha). Esto implica que la rapidez del objeto va decreciendo conforme el objeto se mueve hacia el vértice de la parábola, y la rapidez va creciendo conforme el objeto se aleja del vértice de la parábola. Este tipo de movimiento no es el característico de cometas que describen trayectorias parabólicas en nuestro sistema solar. En estos cometas, el vector aceleración apunta siempre hacia el origen (el Sol), lo que implica que la rapidez del cometa aumenta a medida que se aproxima al vértice de su trayectoria y disminuye cuando se aleja del vértice. (Ver figura ) EJEMPLO 3 Dibujo de los vectores velocidad y aceleración en el espacio Dibujar la trayectoria de un objeto que se mueve a lo largo de la curva en el espacio C dada por rt t i t 3 j 3tk, t 0 Vector posición. y hallar los vectores velocidad y aceleración cuando t 1. Figura Solución Utilizando las ecuaciones paramétricas x t y y t 3, se puede determinar que la trayectoria del objeto se encuentra en el cilindro cúbico dado por y x 3. Como z 3t, el objeto parte de 0, 0, 0 y se mueve hacia arriba a medida que t aumenta, como se muestra en la figura Como rt t i t 3 j 3tk, se tiene vt rt i 3t 2 j 3k Vector velocidad. y at rt 6tj. Vector aceleración. Cuando t 1, los vectores velocidad y aceleración están dados por v1 r1 i 3j 3k y a1 r1 6j.

21 SECCIÓN 12.3 Velocidad y aceleración 851 Hasta aquí se ha tratado de hallar la velocidad y la aceleración derivando la función posición. En muchas aplicaciones prácticas se tiene el problema inverso, hallar la función posición dadas una velocidad o una aceleración. Esto se demuestra en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 4 Hallar una función posición por integración Un objeto parte del reposo del punto P(1, 2, 0) y se mueve con una aceleración at j 2k Vector aceleración. donde at se mide en pies por segundo al cuadrado. Hallar la posición del objeto después de t 2 segundos. Solución A partir de la descripción del movimiento del objeto, se pueden deducir las condiciones iniciales siguientes. Como el objeto parte del reposo, se tiene v0 0. Como el objeto parte del punto x, y, z 1, 2, 0, se tiene r0 x0i y0j z0k 1i 2j 0k i 2j. Para hallar la función de posición, hay que integrar dos veces, usando cada vez una de las condiciones iniciales para hallar la constante de integración. El vector velocidad es vt at dt j 2k dt donde C C 1 i C 2 j C 3 k. Haciendo t 0 y aplicando la condición inicial v0 0, se obtiene v0 C 1 i C 2 j C 3 k 0 Por tanto, la velocidad en cualquier instante t es vt tj 2tk. tj 2tk C Integrando una vez más se obtiene rt vt dt tj 2tk dt C 1 C 2 C 3 0. Vector velocidad. El objeto tarda 2 segundos en moverse del punto (1, 2, 0) al punto (1, 4, 4) a lo largo de C. Figura donde C C 4 i C 5 j C 6 k. Haciendo t 0 y aplicando la condición inicial r0 i 2j, se tiene r0 C 4 i C 5 j C 6 k i 2j Por tanto, el vector posición es rt i t 2 t 2 2 j t 2 k C 2 2 j t 2 k. Vector posición. C 4 1, C 5 2, C 6 0. La posición del objeto después de t 2 segundos está dada por r2 i 4j 4k, como se muestra en la figura

22 852 CAPÍTULO 12 Funciones vectoriales Figura Movimiento de proyectiles Ahora ya se dispone de lo necesario para deducir las ecuaciones paramétricas de la trayectoria de un proyectil. Supóngase que la gravedad es la única fuerza que actúa sobre un proyectil después de su lanzamiento. Por tanto, el movimiento ocurre en un plano vertical que puede representarse por el sistema de coordenadas xy con el origen correspondiente a un punto sobre la superficie de la Tierra como se muestra en la figura Para un proyectil de masa m, la fuerza gravitatoria es F mgj Fuerza gravitatoria. donde la constante gravitatoria es g 32 pies por segundo al cuadrado, o 9.81 metros x por segundo al cuadrado. Por la Segunda Ley del Movimiento de Newton, esta misma fuerza produce una aceleración a at, y satisface la ecuación F ma. Por consiguiente, la aceleración del proyectil está dada por ma mgj, lo que implica que a gj. Aceleración del proyectil. EJEMPLO 5 Obtención de la función de posición de un proyectil con una velocidad ini- Un proyectil de masa m se lanza desde una posición inicial cial v 0. Hallar su vector posición en función del tiempo. Solución Se parte del vector aceleración at gj y se integra dos veces. vt at dt g j dt gt j C 1 rt vt dt gtj C 1 dt 1 2 gt 2 j C 1 t C 2 Se puede usar el hecho de que v0 v 0 y r0 r 0 para hallar los vectores constantes C 1 y C 2. Haciendo esto se obtiene C 1 v 0 y C 2 r 0. Por consiguiente, el vector posición es r 0 rt 1 2 gt 2 j t v 0 r 0. Vector posición. En muchos problemas sobre proyectiles, los vectores constantes r 0 y v 0 no se dan explícitamente. A menudo se dan la altura inicial h, la rapidez inicial v 0 y el ángulo con que el proyectil es lanzado, como se muestra en la figura De la altura dada, se puede deducir que r 0 hj. Como la rapidez da la magnitud de la velocidad inicial, se sigue que v 0 v 0 y se puede escribir v 0 x i y j v 0 cos i v 0 sen sin j v 0 cos i v 0 sin senj. Por tanto, el vector posición puede expresarse en la forma Figura rt 1 2 gt 2 j t v 0 r 0 Vector posición. 1 2 gt 2 j tv 0 cos i tv 0 sen sin j hj v 0 cos ti h v 0 sin t 1 2 gt 2 j. sen

23 SECCIÓN 12.3 Velocidad y aceleración 853 TEOREMA 12.3 Función posición de un proyectil Despreciando la resistencia del aire, la trayectoria de un proyectil lanzado de una altura inicial h con rapidez inicial v 0 y ángulo de elevación se describe por medio de la función vectorial rt v 0 cos ti h v 0 sin t 1 2 gt 2 j sen donde g es la constante de la gravedad. EJEMPLO 6 La trayectoria de una pelota de béisbol Una pelota de béisbol es golpeada 3 pies sobre el suelo a 100 pies por segundo y con un ángulo de 45 respecto al suelo, como se muestra en la figura Hallar la altura máxima que alcanza la pelota de béisbol. Pasará por encima de una valla de 10 pies de altura localizado a 300 pies del plato de lanzamiento? Figura Solución Se tienen dados h 3, v 0 100, y Así, tomando g 32 pies por segundo al cuadrado se obtiene rt 100 cos 502 ti t 16t 2 j vt rt 502 i tj. La altura máxima se alcanza cuando yt t 0 lo cual implica que t segundos. Por tanto, la altura máxima que alcanza la pelota es y feet. pies. Altura máxima cuando t 2.21 segundos. La pelota está a 300 pies de donde fue golpeada cuando 300 xt 502 t. Despejando t de esta ecuación se obtiene t segundos. En este instante, la altura de la pelota es y pies. feet. 4 t i sen sin Por consiguiente, la pelota pasará sobre la valla de 10 pies t 16t 2 j Altura cuando t 4.24 segundos.

24 854 CAPÍTULO 12 Funciones vectoriales Ejercicios de la sección 12.3 En los ejercicios 1 a 8, el vector posición r describe la trayectoria de un objeto que se mueve en el plano xy. Dibujar una gráfica de la trayectoria y dibujar los vectores velocidad y aceleración en el punto dado. Función posición 1. rt 3ti t 1j 2. rt 6 ti tj 3. rt t 2 i tj 4. rt t 2 i t 3 j 5. rt 2 cos ti 2 sen sin tj 6. rt 3 cos ti 2 sen sin tj 7. rt t sen sin t, 1 cos t 8. rt e t, e t Punto En los ejercicios 9 a 16, el vector posición r describe la trayectoria de un objeto que se mueve en el espacio. Hallar velocidad, rapidez y aceleración del objeto. 9. rt ti 2t 5j 3tk 10. rt 4ti 4t j 2tk 11. rt ti t 2 j t 2 2 k 12. rt 3ti tj 1 4 t 2 k 13. rt ti tj 9 t 2 k 14. rt t 2 i tj 2t 32 k 15. rt 4t, 3 cos t, 3 sen sin t 16. rt e t cos t, e t sen sin t, e t Aproximación lineal En los ejercicios 17 y 18, se dan la gráfica de la función vectorial rt y un vector tangente a la gráfica en t t 0. a) Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la gráfica en t t 0. b) Utilizar las ecuaciones de la recta para aproximar rt rt t, t 2, 1 4 t3, t rt t, 25 t 2, 25 t 2, 3, 0 3, 3 4, 2 1, 1 2, 2 3, 0, 2 1, 1 t 0 3 Figura para 17 Figura para 18 En los ejercicios 19 a 22, usar la función aceleración dada para determinar los vectores velocidad y posición. Después hallar la posición en el instante t at i j k v0 0, at 2i 3k v0 4j, at tj tk v1 5j, at cos ti sen sin tj v0 j k, r0 0 r0 0 r1 0 Movimiento de proyectiles En los ejercicios 25 a 40, usar el modelo para el movimiento de un proyectil, suponiendo que no hay resistencia del aire. 25. Hallar la función vectorial de la trayectoria de un proyectil lanzado desde una altura de 10 pies sobre el suelo con una velocidad inicial de 88 pies por segundo y con un ángulo de 30 sobre la horizontal. Usar una graficadora para representar la trayectoria del proyectil. 26. Determinar la altura máxima y el alcance de un proyectil disparado desde una altura de 3 pies sobre el nivel del suelo con velocidad inicial de 900 pies por segundo y con un ángulo de 45 sobre la horizontal. 27. Una pelota de béisbol golpeada 3 pies sobre el nivel del suelo, se aleja del bate con un ángulo de 45 y es cachada por un jardinero a 3 pies sobre el nivel del suelo y a 300 pies del plato de lanzamiento. Cuál es la rapidez inicial de la pelota y qué altura alcanza? 28. Un jugador de béisbol en segunda base lanza una pelota al jugador de primera base a 90 pies. La pelota es lanzada desde 5 pies sobre el nivel del suelo con una velocidad inicial de 50 millas por hora y con un ángulo de 15 con la horizontal. A qué altura cacha la pelota el jugador de primera base? 29. Eliminar el parámetro t de la función posición para el movimiento de un proyectil y mostrar que la ecuación rectangular es y 16 sec2 x v 2 tan x h La trayectoria de una pelota la da la ecuación rectangular y x 0.005x 2. r0 i Desarrollo de conceptos 23. Explicar con sus propias palabras, la diferencia entre la velocidad de un objeto y su rapidez. 24. Qué se sabe acerca de la velocidad de un objeto si el ángulo entre los vectores velocidad y aceleración es a) agudo y b) obtuso? Usar el resultado del ejercicio 29 para hallar la función posición. Después hallar la velocidad y la dirección de la pelota en el punto en que ha recorrido 60 pies horizontalmente.

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