SUCESIONES TI 83. T 3 España T 3 EUROPE

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1 SUCESIONES TI 83 T 3 España T 3 EUROPE Ferado Jua Alfred Mollá Oofre Mozó José Atoio Mora Pascual Pérez Tomás Queralt Julio Rodrigo Salvador Caballero Floreal Gracia Sucesioes TI83

2 ÍNDICE. Itroducció Estudio de sucesioes e la patalla pricipal Estudio de sucesioes co listas y estadística Las sucesioes e la calculadora gráfica Sucesioes defiidas mediate recurrecia Problemas relacioados co sucesioes Represetació gráfica e forma de tela de araña La fució logística La sucesió media aritmética Represetació covecioal de ua sucesió Ua sucesió defiida mediate u programa... T 3 EUROPE es ua marca registrada de Texas Istrumets Sucesioes TI83

3 . INTRODUCCIÓN. Evitado al pricipio los aspectos teóricos formales, el trabajo co sucesioes forma ua parte sigificativa de los bloques de coteidos relativos a úmeros y álgebra e Educació Secudaria Obligatoria: las secuecias uméricas, la obteció de reglas de formació y la simbolizació adecuada so alguas de las situacioes e que las sucesioes so al mismo tiempo medio y objetivo de apredizaje. El ecesario aumeto de rigor formal e Bachillerato o debe, si embargo, haceros olvidar la ecesidad de coectar los apredizajes co la ituició del alumado. E especial, el cocepto de límite debe costruirse a partir de la exploració de u úmero suficiete de ejemplos previos. La capacidad de cálculo umérico, asociada a la posibilidad de establecer co mucha facilidad procedimietos recurretes o iterativos, hace de la calculadora gráfica u istrumeto muy apto para el trabajo co sucesioes y para su didáctica. Co todo, la percepció de las características uméricas de la sucesió debe complemetarse co las posibilidades que ofrece el leguaje gráfico. Por dos motivos, fudametalmete: E primer lugar, porque esta forma de represetació facilita la percepció global de las características de la sucesió y, co ello, la aproximació ituitiva a los diferetes coceptos implicados (covergecia, mootoía, acotació, oscilació...). El segudo motivo, muy relacioado co el aterior, cosiste e que el trabajo sobre la represetació gráfica coecta muy directamete co procedimietos empleados para el estudio de las relacioes fucioales y, desde este puto de vista, se potecia la cocepció de las sucesioes como u caso particular de las fucioes. Este último es el ambiete de trabajo que os facilita la calculadora gráfica. Ua vez preparada la máquia (mediate el ajuste correspodiete e el meú z), el editor de fucioes (o) se covierte e editor de sucesioes, y los meús relativos a gráficas y tabulacioes sigue operativos para que podamos emplear e el estudio de las sucesioes las mismas herramietas que e el trabajo co fucioes (adaptadas, eso sí, a las peculiaridades de este tipo particular de fucioes). 3 Sucesioes TI83

4 . ESTUDIO DE SUCESIONES EN LA PANTALLA PRINCIPAL. a) Podemos estudiar, si abadoar el marco de la patalla pricipal, la evolució de los térmios de la siguiete sucesió: y a = ( ) a = A + a Asigaremos u valor iicial arbitrario a A, y haremos que el resultado de la expresió sustituya dicho valor iicial. + A Cuado pulsamos Í, la máquia os ofrece como respuesta el valor de a y, al mismo tiempo, itroduce este valor e A: Cuado volvemos a pulsar Í, se evalúa de uevo la expresió, pero co el valor actualizado de A, y se repite el proceso de asigació. Así pues, co cada ueva pulsació de la tecla Í obteemos u uevo térmio de la sucesió: E el caso que estamos aalizado (A = 0), basta co apeas 5 pulsacioes para obteer ua estabilizació de los térmios que os ofrece la máquia: 4 Sucesioes TI83

5 Ua vez supuesta la covergecia de la sucesió, podemos comparar el valor así obteido co el que resulta de resolver la ecuació: + x = x 5. Después, visto que este último resultado es idepediete del valor asigado a A, podríamos probar co alguos otros valores, para aumetar la evidecia de la cojetura. b) U ejemplo típico es la sucesió de Fiboacci: c) Podemos trabajar tambié co sucesioes defiidas e fució del térmio geeral: Por ejemplo, ésta es ua forma de 3 itroducir la sucesió : + 5 Sucesioes TI83

6 3. ESTUDIO DE SUCESIONES CON LA AYUDA DE LOS MENÚS DE LISTAS Y DE LA REPRESENTACIÓN ES- TADÍSTICA. Las posibilidades iterativas se puede aprovechar mejor co el empleo de las listas del meú STAT: b 00 = + 4 Aalicemos, por ejemplo, la sucesió, defiida por su térmio geeral, + 3 Represetaremos los 00 primeros térmios. Para ello defiimos las dos listas siguietes: seq(n,n,,00,)ül seq(00/(nü+4)+3,n,,00,)ül (seq se obtiee co y ~ ) Ejecutamos ambas istruccioes y ahora (pulsado y À) podemos ver los térmios de la sucesió e L. Si fijamos el teclado alfabético (co yƒ ), y } desplaza el cursor seis lugares co cada pulsació. Ahora sólo falta defiir la represetació estadística. Si teemos fucioes u otras represetacioes estadísticas activas, las desactivaremos previamete. 6 Sucesioes TI83

7 Después: yoàí q PARA PRACTICAR Estudia las siguietes sucesioes: a b c 3 c = 9 = a a ( ) = + = b = + b ( ) = c c c = ( 3) + ( ) d = ( ) ( + ) e = + f = ( + ) + g = ( ) + + h = i + = 7 Sucesioes TI83

8 4. LAS SUCESIONES EN LA CALCULADORA GRÁFICA Auque los métodos que hemos visto so importates y cotiee importates procedimietos de carácter matemático, si ya estamos familiarizados co el tratamieto de las fucioes e la calculadora, ésta os ofrece u ambiete específico para el estudio y la represetació gráfica de sucesioes. Estudiaremos la sucesió: u ( ). = Para que el editor de fucioes (o) cambie a editor de sucesioes, teemos que activar la opció Seq e el meú z (es la opció de la derecha, e la cuarta líea). Será coveiete tambié seleccioar Dot para que la máquia o ua co segmetos los putos de las gráficas. Para o teer problemas posteriores, descoectamos los Plots de estadística: yo Si teemos algú valor asigado a u(mi), lo elimiaremos situado el cursor sobre él y pulsado. Así obligamos a que el cálculo se realice para todos los valores de, desde el que correspoda a Mi ( e uestro caso). Abrimos ahora el editor de sucesioes co o e itroducimos la expresió e u(): u()=(-)^ / (.^-) 8 Sucesioes TI83

9 Para represetarla, tedremos que ajustar primero los parámetros de la vetaa gráfica. Pulsa p: observarás que icluye uevos elemetos: Mi (que tambié es accesible desde o) y Max actúa sobre el cálculo gráfico, pero o sobre las dimesioes de la vetaa de visualizació: cuado accedemos a la vetaa de gráficas, se calcula todos los valores de u() (y de v y w si éstas está defiidas), desde Mi a Max, pero sólo veremos aquellos que se ecuetre etre los límites defiidos,como siempre, por Xmi, Xmax, Ymi e Ymax. Mi tambié codicioa el cálculo fuera de la vetaa de gráficas, impidiedo que podamos obteer valores de térmios de la sucesió ateriores a u(mi). PlotStart permite comezar la represetació e cualquier térmio posterior a u(mi), y PlotStep sirve para represetar subsucesioes formadas por térmios cuyos órdees forme ua progresió aritmética (los térmios de orde par, los de orde impar...). E el caso que estamos viedo, podemos establecer: Pulsa ahora r y observa cómo, después de cocluida la represetació, el cursor se sitúa sobre el primer térmio. Co ~ puedes desplazar el cursor por los putos de la represetació gráfica y observar los valores e la líea iferior. 9 Sucesioes TI83

10 Para acceder directamete a u valor puedes abrir co yr el meú CALC. Verás que es la úica opció que cotiee. Utilízalo para hallar u(60). Prueba después co u(50). Qué observas? Otra posibilidad de obteer valores de térmios de la sucesió es el meú TABLE (se accede co ys). Ajustaremos previamete e TBLSET (yp) el parámetro Idpt e Ask. Halla e la tabla los valores correspodietes a = y = 00. Desde la patalla pricipal tambié puedes calcular los valores de la sucesió. yz para volver a la patalla pricipal y limpiar. y para itroducir el ombre de la sucesió. PARA PRACTICAR 4. Estudia la sucesió a = ( ) y represeta los 50 primeros térmios. 4. Defie la sucesió u() = 7 La gráfica sugiere que la sucesió es moótoa decreciete. Compruébalo. Halla co el meú TABLE a partir de qué térmio la diferecia co 3.5 es meor que ua milésima. Haz lo mismo para ua diezmilésima. Comprueba el resultado obteido. 0 Sucesioes TI83

11 4.3 Represeta los 00 primeros térmios de la sucesió u() =. 0 + La gráfica sugiere que la sucesió es moótoa creciete. Compruébalo. Halla el primer térmio mayor que 5. Cuál es el primer valor de para el que u() > 0? 4.4 Explora las siguietes sucesioes, para los posibles valores del parámetro A: a A = + ( A ) + A b A = + c = + A ( A 0) = cos A d ( A )( > 0) e = A 4.5 Estudia la siguiete sucesió : u() = [ 0 ( 0 π [ 0 π] )] (utiliza NUM del meú para itroducir la fució parte etera, que hemos deotado co [ ]) Coverge realmete a cero? Cuál es el valor de que cotiee la máquia? Prueba tambié co el úmero e y co 7. Sucesioes TI83

12 5. SUCESIONES DEFINIDAS MEDIANTE RECURRENCIA. La calculadora permite trabajar co sucesioes defiidas de forma recurrete. Veamos u primer ejemplo: Estudiar la sucesió,,, Para que la sucesió defiida correspoda exactamete a la propuesta, tedremos que itroducir el valor iicial,, e u(mi) y fijar Mi=. La máquia o calculará u() (le hemos asigado el valor ). Cualquier otro térmio lo calculará e fució del que le precede. Después: Y, si queremos explorar la tabla de valores: Sucesioes TI83

13 6. PROBLEMAS RELACIONADOS CON SUCESIONES. 6. Estudiar qué valores toma el águlo iterior de u polígoo regular cuado varía el úmero de lados. 6.. Calcular el área de u círculo. 6.3 Calcular la logitud de ua circuferecia. Desarrollaremos el siguiete: 6.4 Ua compañía de trasportes tiee ua flota de 00 camioes, muchos de los cuales está e relativo mal estado. El uevo gerete ha decidido aplicar ua política de reovació aual que cosiste e retirar del servicio u 0% de los vehículos y adquirir 7 uevos camioes e ese período. Aumetará o dismiuirá el úmero de camioes de la empresa? E cualquier caso, se estabilizará? Si es así, e qué catidad? Para poder respoder a la última preguta hay que decidir primero el setido que se le atribuye a la expresió u 0% de los vehículos, ya que o es posible retirar, por ejemplo, 9.7 vehículos. E el desarrollo que sigue se ha optado por la siguiete iterpretació: supoemos que el gerete redodeará al etero más próximo y que, cuado la parte decimal sea 0.5, redodeará por defecto. 3 Sucesioes TI83

14 Co este supuesto, la sucesió que idica el úmero de vehículos de la flota cuado ha trascurrido años desde la situació iicial se puede describir así: u()=roud(0.9u(-),0)+7 Los parámetros de p puede ser, por ejemplo: Mi = 0 Max = 40 PlotStart= PlotStep= Xmi = 0 Xmax = 40 Xscl = 5 Ymi = 50 Ymax = 0 Yscl = 0 Co r activamos la vetaa de gráficas y, al mismo tiempo, el cursor se sitúa sobre u(). Co ~ podemos ver rápidamete la evolució del úmero de vehículos e los años sucesivos. Observamos que, trascurridos 6 años, la flota se estabilizará e 75 vehículos Cosideremos la siguiete ampliació del problema aterior: Trascurridos 5 años la empresa decide que el tamaño óptimo de la flota es de 80 vehículos. Cómo podría adaptar el gerete su política de reovació aual para coseguir este objetivo? Hay diversas solucioes para este problema. Se puede aalizar qué ocurre si cambiamos el úmero de vehículos adquiridos aualmete, o el porcetaje de vehículos retirados, o ambos parámetros a la vez. Por ejemplo, si el porcetaje es el 8.%, ua reposició aual de 6 vehículos matiee la flota estable e 80 a partir del año úmero 3. E realidad, a partir de ese año, la reovació sería el 7.5% de la flota (cambia los valores de Mi y u(mi), para poder represetar la ueva sucesió). 4 Sucesioes TI83

15 El mismo efecto se cosigue si se aplica el 0.5% para calcular el úmero de vehículos que se ha de retirar, y se repoe 8. Ahora la reovació se estabilizaría e el 0%, lo que supodría ua mayor iversió aual e reovació, pero permitiría tambié cotar co ua flota ligeramete más actualizada. Calcula e ambos casos cuátos años formaría parte de la flota u vehículo cocreto, si el úico criterio de retirada del servicio es su atigüedad. 5 Sucesioes TI83

16 7. REPRESENTACIÓN GRÁFICA EN FORMA DE TELA DE ARAÑA La máquia ofrece u método alterativo para represetar sucesioes que, como e el ejemplo aterior, esté defiidas e fució exclusivamete del térmio aterior: Abre FORMAT (co yq). Activa la opció Web (alterativa de la opció Time que hemos usado hasta ahora). Vamos a trabajar ahora sobre la siguiete situació: Ua bióloga aplica u modelo matemático relativamete secillo para el estudio de la evolució de poblacioes e codicioes cotroladas e laboratorio. Para ello reduce el tamaño de la població a ua escala etre 0 (població iexistete) y (máxima població posible e las codicioes dadas), y aplica la siguiete fórmula para el cálculo de la població de cada período futuro e fució del período aterior: P = A P - ( P - ) dode A es ua costate mayor que, que se debe determiar para cada població específica e fució de sus características y de las codicioes específicas de cotrol e el laboratorio. Cosideremos, por ejemplo, ua població iicial del 0%, y u valor de.8 para el parámetro A: Asigemos.8 a A co la ejecució de.8üa e la patalla pricipal, y defiamos P e u: u()=a*u(-)*(-u(-)), co u(mi)={.} 6 Sucesioes TI83

17 Ajustamos ahora p: Mi = 0 Max = 50 PlotStart= PlotStep= Xmi = 0 Xmax = Xscl = 0 Ymi = 0 Ymax =.8 Yscl = 0 Pulsa ahora s: La máquia represeta las fucioes y = Ax( x) e y = x, es decir, u() e fució de u(-), y la fució idetidad. Pulsa r. El cursor se sitúa e el puto ( 0.,0), que correspode al valor de u(0) sobre el eje de abscisas. Cuado pulsamos ~, el cursor cambia a la gráfica de u(). El valor de y correspode a u(). Para determiar gráficamete el siguiete valor (u()), basta co trasladar y = x (co ua pulsació de ~) para situar- horizotalmete este puto hasta os e (u(), u()), y trasladar verticalmete éste hasta la gráfica de u() (co ua ueva pulsació de ~). Así pues, co cada dos movimietos del cursor, pasamos de (u(t-), u(t)) a (u(t), u(t+)). Si la sucesió coverge (como e uestro ejemplo), el puto de itersecció de las dos fucioes represetadas ejerce de atractor. Estudia el comportamieto de este tipo de sucesioes para distitos valores de la població iicial. Después, aaliza el efecto de asigar otros valores al parámetro A. Si la sucesió coverge, es fácil determiar su límite. Halla el valor exacto para el ejemplo que hemos desarrollado. 7 Sucesioes TI83

18 8. LA FUNCIÓN LOGÍSTICA Cuado la covergecia de ua sucesió de este tipo está asegurada, hallar el límite se reduce a resolver la ecuació x = Ax( x) Es decir lim u() = A Cuado la sucesió o es covergete, es iteresate observar que aparece varios atractores. Por ejemplo, para A = 3., teemos: Podemos determiar los atractores: teemos, para > : a Aa a ) y a Aa a ) = ( = ( Es decir: )( ( )) a = A a ( a Aa a Se trata ahora de resolver la ecuació x = A x ( x)( A x ( x)), la cual tiee tres solucioes reales para x > 3: x = A x = ( A + A 3) A + A x = ( A + + A 3) A + A La primera solució podíamos haberla aticipado, porque correspode a la situació de covergecia. Las otras dos os idica los atractores. E el caso A = 3., teemos: x y x Sucesioes TI83

19 9. LA SUCESIÓN MEDIA ARITMÉTICA Si elegimos dos úmeros cualesquiera, A y B y hallamos su media aritmética, podemos repetir el cálculo tomado ahora B y el resultado aterior. Co los dos úmeros hallados podemos comezar de uevo el proceso y repetirlo idefiidamete. La sucesió así formada la podemos escribir como: a a a A, a = B ya = + = Estudia este tipo de sucesioes. Hagamos, por ejemplo, A = y B = 7, y estudiemos su evolució co la ayuda de la calculadora. Itroduciremos: u()=(u(-)+u(-)) /, y u(mi)={7,-} u(mi) puede coteer u máximo de dos elemetos. Se itroduce e orde iverso al que ocupa e la sucesió. Ajusta los parámetros de p y vuelve a activar la opció Time e el meú FORMAT. Co s podemos observar la rápida covergecia hacia : Prueba co otros valores de A y B, y trata de ecotrar ua regla para hallar el límite de cualquiera de estas sucesioes cuado se cooce los dos primeros térmios. Haz lo mismo para la media geométrica y para la media armóica. 9 Sucesioes TI83

20 0. REPRESENTACIÓN CONVENCIONAL DE UNA SUCESIÓN. Las opcioes uv, vw y uw del meú FORMAT, os permite represetar sucesioes e R. Si embargo aquí os ocuparemos de otra utilidad: la posibilidad de represetar sucesioes sobre la recta real. Por ejemplo: dode v() se defie como ua costate cualquiera. 0 Sucesioes TI83

21 . UNA SUCESIÓN DEFINIDA MEDIANTE UN PRO- GRAMA Hemos hecho el estudio de sucesioes defiidas de maera que cada térmio se obtiee como la media aritmética de los dos ateriores. La geeralizació de este procedimieto (que cada térmio sea la media aritmética de los tres, cuatro,... térmios ateriores) tropieza co el hecho de que la calculadora sólo os permite referiros a los dos térmios precedetes cuado defiimos ua sucesió. Co el siguiete programa se puede defiir la sucesió media aritmética de los ateriores. Co su ejecució se puede comprobar experimetalmete que este tipo de sucesioes parece teder a la media poderada de los primeros térmios, co pesos iguales al lugar que ocupa e la sucesió. Así, si a =, a = 5ya = 4, la sucesió parece coverger a: 8 3 ( 4) L = =. 6 Lbl A ClrHome Iput «N=?»,N If it(n) N Goto A If N > 50 Goto A 99àdim(L 6 ) For( K,,N, ) Output(,7,»TERMINO» ) Output(,5,K ) Iput T Tà L 6 (K) Ed For( K,N+,99, ) ( sum ( seq ( L 6 ( I ), I, K-N, K-, ) ) ) / NàL 6 (K) Ed FOff : PlotsOff : Seq : Dot L 6 () àu(mi) : àmi : 99àMax àplotstart : àplotstep : Time 0àXmi : 00àXmax : 0àXscl ( mi(l 6 )- ) àymi : ( max(l 6 )+ ) àymax 0àYscl : «L 6 ()» àu Trace Después de ejecutar el programa es ecesario pulsar Í para poder cotiuar trabajado co la máquia. Sucesioes TI83

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