La evolución de la pobreza difusa multidimensional en México, *

Transcripción

1 Banco de Méxco Documentos de Investgacón Banco de Méxco Workng Papers N La evolucón de la pobreza dfusa multdmensonal en Méxco, * Eduardo Morales-Ramos Banco de Méxco Febrero 2009 La sere de Documentos de Investgacón del Banco de Méxco dvulga resultados prelmnares de trabajos de nvestgacón económca realzados en el Banco de Méxco con la fnaldad de propcar el ntercambo y debate de deas. El contendo de los Documentos de Investgacón, así como las conclusones que de ellos se dervan, son responsabldad exclusva de los autores y no reflejan necesaramente las del Banco de Méxco. The Workng Papers seres of Banco de Méxco dssemnates prelmnary results of economc research conducted at Banco de Méxco n order to promote the exchange and debate of deas. The vews and conclusons presented n the Workng Papers are exclusvely the responsblty of the authors and do not necessarly reflect those of Banco de Méxco. * El concepto pobreza dfusa se refere estrctamente a la medcón de la pobreza medante la aplcacón de la teoría de conjuntos dfusos.

2 Documento de Investgacón Workng Paper La evolucón de la pobreza dfusa multdmensonal en Méxco, * Eduardo Morales-Ramos Banco de Méxco Resumen En este artículo se aplca la teoría de conjuntos dfusos para medr la pobreza en Méxco medante tres dmensones: pobreza monetara, pobreza no monetara de benes prvados y pobreza no monetara de benes públcos. Emplear estas tres dmensones permte construr una membresía conjunta, con la cual es posble clasfcar la pobreza en manfesta, latente y no pobreza, lo cual se lleva a cabo para los tres tpos de pobreza ofcal empleados en Méxco, para las zonas urbanas, rurales, y para el total de hogares y de ndvduos en Méxco para el perodo Además, se calculan ntervalos de confanza para cada estmacón, con lo que es posble establecer s se presentaron cambos estadístcamente sgnfcatvos a través del tempo. Los resultados muestran que a pesar de que la pobreza en Méxco ha dsmnudo entre 1994 y 2006, la evolucón del fenómeno ha sdo dferente de acuerdo a la zona y al tpo de pobreza analzado. Palabras Clave: pobreza dfusa mltdmensonal, pobreza monetara, pobreza no monetara, pobreza manfesta, pobreza latente. Abstract Ths artcle apples fuzzy set theory to measure three dmensons of poverty n Mexco: monetary poverty, non-monetary poverty of prvate goods and non-monetary poverty of publc goods. By usng those three dmensons, t s possble to buld a jont membershp to classfy poverty n manfest, latent and non-poverty, whch are computed for the three types of offcal poverty used n Mexco, for urban and rural areas and for the total of households and ndvduals n Mexco from 1994 to Moreover, confdence ntervals are calculated for each estmaton, whch are used to establsh f there are statstcally sgnfcant changes along tme. Results show that, although poverty n Mexco has dmnshed between 1994 and 2006, ts evoluton has been dfferent accordng to the area and the type of poverty analyzed. Keywords: multdmensonal fuzzy poverty, monetary poverty, non monetary poverty, manfest poverty, latent poverty. JEL Classfcaton: I32. * El concepto pobreza dfusa se refere estrctamente a la medcón de la pobreza medante la aplcacón de la teoría de conjuntos dfusos. El autor agradece los valosos comentaros y sugerencas de Rcardo Aparco, Jesús Castañeda, Danel Chquar, Rocío Elzondo y Héctor Salgado, así como la colaboracón de Adrana Baltazar. Dreccón General de Investgacón Económca. Emal: emorales@banxco.org.mx

3 Introduccón Cuantfcar el fenómeno de la pobreza es una tarea que busca crear ndcadores que auxlen a los tomadores de decsones a mplementar polítcas públcas adecuadas para combatrla de la manera más efcente posble. Combatr la pobreza en un sentdo amplo mplca reducrla; sn embargo, resulta necesaro establecer qué tpo de pobreza se desea combatr para saber qué tpo de pobreza se debe medr y así obtener resultados acordes con la polítca que se desea mplementar. En esenca, reducr la pobreza mplca mejorar en al menos una característca las condcones de vda de aquellos que se clasfquen como pobres de acuerdo con la característca que se redujo, o de esa y otras característcas. La lteratura sobre la medcón de la pobreza reconoce que exsten dferentes dmensones de este fenómeno, por lo que actualmente las meddas de pobreza multdmensonales son amplamente aceptadas. Estas ncluyen entre sus dmensones no solamente ngreso-gasto, sno tambén aquellas que mplquen carenca de capacdades: salud, educacón, vvenda, benes públcos, etc. y que a su vez están lgadas a varables como mortaldad, nutrcón y analfabetsmo (Baharoglu y Kessdes, 2000; Duclos, Sahn y Younger, 2001; Deutsch y Slber, 2005; y Sndzngre, 2005). Otra dmensón que se puede consderar en la medcón de la pobreza es la partcpacón de los ndvduos en actvdades socales, lbertad, nclusón socal, empleo, dgndad y derechos humanos (ver Sen, 1987, 1993, 1999a). Es mportante señalar que lo que se está llamando dmensón de la pobreza es un ndcador compuesto por una o más varables, medante las que es posble medr carencas. Las dmensones de la pobreza reflejan la vulnerabldad de los ndvduos a permanecer o caer en la pobreza o su capacdad para salr de ésta, debdo a que cada dmensón está correlaconada con el resto de las dmensones. Entonces, emplear más de una dmensón para medr la pobreza permte capturar más de una cara de este fenómeno y de esta manera obtener resultados más acordes a una defncón ntegral de ella. Sn embargo, en muchos casos la polítca encamnada a combatr la pobreza busca focalzar recursos haca determnados sectores de la poblacón con característcas ben defndas, por lo que la defncón de pobreza se tendría que acotar a las dmensones que reflejen los rasgos de la pobreza que se busca combatr. 1

4 La teoría de conjuntos dfusos ha sdo empleada en dversas áreas de las cencas socales, debdo a que muchos de los conceptos que en éstas se manejan permten solamente medcones que podrían consderarse vagas. El concepto de pobreza es un ejemplo claro en el que se encuentra certo grado de vaguedad en su medcón y para el que en general solo es posble observar las asocacones y consecuencas de algunos de los componentes que la caracterzan (dmensones de la pobreza). Por ejemplo, la vaguedad se presenta cuando se trata de determnar hasta dónde una persona es pobre o deja de serlo, lo que en térmnos monetaros y de conjuntos cláscos es hasta una línea de pobreza defnda por una cantdad monetara sufcente para satsfacer certos crteros. Parecería entonces que exsten certas defcencas en la teoría clásca de conjuntos para formular una defncón de pobreza que permta establecer una frontera flexble entre pobres y no pobres y que resuelva casos de clasfcacón en los que exsten dferencas margnales alrededor de la frontera. En este sentdo, la teoría de conjuntos dfusos ofrece una opcón para formalzar de manera rgurosa la vaguedad nherente en el concepto de pobreza y en su medcón. La técnca de conjuntos dfusos emplea una funcón de membresía para determnar el grado de pertenenca de los ndvduos al conjunto dfuso de nterés, en este caso pobreza, la cual cumple con certas característcas que crean una frontera de pertenenca dfusa. Los fundamentos de conjuntos dfusos fueron propuestos por Zadeh (1965), mentras que la técnca para medr pobreza medante esta técnca fue propuesta ncalmente por Cerol y Zan (1990). El trabajo de Cerol y Zan (1990) ha sdo empleado y desarrollado por dversos autores, entre los más relevantes Chel y Lemm (1995), Chell (1995), Bett y Verma (1999, 2002, y 2004), Chappero-Martnett (2000), Lell (2001), Dagum y Costa (2004) y Bett et al., (2006). Para el caso de Méxco la técnca ha sdo empleada por Morales-Ramos y Morales-Ramos (2008), quenes mden la pobreza medante conjuntos dfusos a nvel estatal, muncpal y localdad empleando la técnca orgnal de Cerol y Zan (1990) para datos agrupados. En este documento se mde la pobreza conjugando las bondades de emplear una medda monetara, como lo hace el método de línea de pobreza, de nclur dversas varables de carenca, como en los métodos multvarados y de aplcar la técnca de conjuntos dfusos para establecer una frontera gradual (dfusa) entre pobres y no pobres. El 2

5 estudo se fundamenta en los trabajos de Bett et al., (2006) y de Morales-Ramos y Morales-Ramos (2008) y estma la pobreza en Méxco empleando tres dmensones de la msma durante el perodo Con esta metodología es posble crear una membresía conjunta de la pobreza conformada por dferentes subconjuntos dfusos, lo cual permte analzar el fenómeno de la pobreza desde dferentes perspectvas y obtener resultados relevantes del fenómeno. El resto de este documento se dvde en cuatro seccones. En la prmera seccón se descrbe brevemente la teoría de conjuntos dfusos. En la segunda, se defnen y formalzan dferentes conjuntos de pobreza, mentras que en la seccón III se estman los dversos tpos de pobreza para el caso de Méxco para el perodo de 1994 a 2006, se presentan los resultados y se hace un análss de éstos. La últma seccón ofrece algunas conclusones. I. Conjuntos Dfusos como: Dado un conjunto unverso X, tal que x X, se defne un conjunto dfuso A X {[x, μ A (x)]} x X En donde μ A es un mapeo de X en el ntervalo [0, 1] tal que μ A (x) es el grado de membresía de x en A.1F1 Entonces: (a) s x no pertenece a A, μ A (x) = 0, (b) s x pertenece a A, μ A (x) = 1, (c) s x pertenece a A de manera parcal, 0 < μ A (x) < 1 (su membresía al conjunto dfuso aumenta cuando μ A (x) tende a 1). Note que una funcón de membresía determna el grado en que un objeto pertenece a un conjunto dfuso, lo que proporcona al nvestgador certa flexbldad para modelar dversos fenómenos socales. Bajo esta defncón de conjuntos dfusos es posble defnr 1 La notacón que son letras tálcas mayúsculas para representar conjuntos dfusos A, B, C, M, S, Z y letras mayúsculas en tálcas y negrllas para conjuntos tradconales, X, Y, Z. 3

6 tambén las operacones necesaras de éstos para medr la pobreza dfusa multdmensonal.2f 2 3 Operacones con conjuntos dfusos3f Las operacones elementales con conjuntos dfusos son las msmas que en los conjuntos tradconales: unón, nterseccón y complemento con respecto a un conjunto unverso. Pero a dferenca de los conjuntos tradconales, en los conjuntos dfusos exste más de una defncón para cada una de estas operacones. La defncón estándar de estas operacones fue propuesta por Zadeh (1965) de la sguente manera: Unón. A U B: μ AUB (x) = max {μ A (x), μ B (x)}, x X. Interseccón. A B: μ A B (x) = mn {μ A (x), μ B (x)}, x X. Complemento. A C : μ A C (x) = 1 - μ A (x), x X. Las leyes que se aplcan para la unón y la nterseccón de los conjuntos tradconales tambén se aplcan para las operacones estándar con conjuntos dfusos, por lo que medante las operacones arrba defndas se pueden dervar las sguentes leyes para los conjuntos dfusos A, B, C: Conmutatva: A U B = B U A; A B = B A. Asocatva: A U (B U C) = (A U B) U C; A (B C) = (A B) C. Idempotenca: A U A = A; A A = A; A= A CC. Monotonía: A B A U C B U C; A B A C B C. Límte 1: A U Ø= A; A Ø= Ø. Límte 2: A U X = X; A X = A. Dstrbutva 1: A U (B C) = (A U B) (A U C). Dstrbutva 2: A (B U C) = (A B) U (A C). Morgan: (A B) C = A C U B C ; (A U B) C = A C B C. Sn embargo, no todas las leyes que se cumplen para los conjuntos tradconales se cumplen para los dfusos. Por ejemplo, A U A C X y A A C Ø. 2 El concepto de pobreza dfusa se refere estrctamente a la medcón de la pobreza medante la aplcacón de la teoría de conjuntos dfusos (ver seccón II). 3 Esta seccón se basa en Bandemer y Gottwald (1996). 4

7 Varantes de nterseccones y unones A pesar de que la defncón estándar de las operacones báscas de conjuntos dfusos representa una extensón natural de los conjuntos tradconales, exsten algunas varantes que son de utldad para aplcacones partculares de la teoría de conjuntos dfusos. Las sguentes son varantes de la nterseccón de conjuntos dfusos: Producto algebraco. A B: μ A B (x) = μ A (x) μ B (x), x X. Producto lmtado. A B: μ A B (x) = max {0, (μ A (x) + μ B (x) 1)}, x X. μ A*B (x) = mn {μ A (x), μ B (x)}, s μ A (x) = 1, o μ B (x) = 1 Producto drástco. A * B: μ A*B (x) = 0 en cualquer otro caso. Los casos equvalentes para la unón se defnen de la sguente manera: Suma algebraca. A + B: μ A+B (x) = μ A (x)+μ B (x) - μ A (x) μ B (x), x X. Suma lmtada. A B: μ A B (x) = mn {1, (μ A (x) + μ B (x))}, x X. μ A B (x) = max {μ A (x), μ B (x)}, s μ A (x) = 1, o μ B (x) = 1 Suma drástca. A B: μ A B (x) = 0 en cualquer otro caso. La dferenca esencal entre estas tres operacones y la estándar es que en general para las tres operacones no estándar n μ A (x) n μ B (x) son el grado de membresía de x en el conjunto dfuso resultante. En este sentdo, a las operacones adconales se les conoce como nteractvas, mentras que las operacones estándar son no nteractvas. Las operacones nteractvas no cumplen con la propedad de dempotenca. Una característca relevante para este estudo es que las operacones estándar proveen la nterseccón más débl, por otorgar la mayor nterseccón entre las permtdas, mentras que la unón estándar es la más fuerte, ya que otorga la menor unón. Lo anteror hace poco apropado el uso de las operacones estándar de manera unforme en la aplcacón para medr pobreza, como se explcará en detalle en la seccón II.2. II. Conjuntos de Pobreza Un conjunto de pobreza se puede defnr como aquel conjunto al que pertenecen los ndvduos u hogares que no satsfacen certas condcones de benestar meddas de acuerdo con una o más dmensones de la pobreza. Las condcones de benestar más empleadas 5

8 para defnr el conjunto de pobreza son ngreso (gasto) y algunas necesdades socales y culturales que determnan la caldad de vda de los ndvduos dentro de una socedad. En este artículo, la pobreza se clasfca de acuerdo con la teoría de conjuntos y con el número de dmensones del fenómeno que se emplean para medrla. Así, la pobreza clásca se defne como aquella que se calcula empleando la teoría clásca de conjuntos y puede ser undmensonal o multdmensonal. La pobreza clásca undmensonal se mde empleando una línea de pobreza defnda por una cantdad monetara, en donde la premsa básca en la construccón de esta línea es que los hogares que recben un ngreso por debajo de ésta no satsfacen condcones mínmas de benestar, por lo que se defnen como pobres 4 (ver Foster, et. al., 1984).4F Cuando la pobreza clásca se defne por medo de un grupo de varables más que por una sola, se le conoce como pobreza clásca multvarada. En este caso el conjunto esta conformado por ndvduos que no satsfacen certas necesdades báscas relatvas a una socedad. Un ejemplo de este tpo de pobreza es el empleado para medr margnacón en Méxco, que medante un conjunto de varables para medr carencas construye una medda basada en la técnca estadístca de componentes prncpales para dentfcar el conjunto de pobres. 5F5 Bourgugnon y Chakravarty (2003) presentan una ampla dscusón sobre meddas de pobreza multvarada y sobre la construccón del conjunto de pobreza bajo este método. La pobreza dfusa undmensonal tambén se mde empleando una línea de pobreza, en este caso una línea dfusa, que a dferenca de la línea de pobreza clásca establece una frontera flexble entre pobres y no pobres, la cual se defnrá formalmente en la sguente seccón. Bajo esta defncón, la técnca puede aplcarse tanto a la pobreza undmensonal medante una línea de pobreza, o a la pobreza multdmensonal medante un grupo de varables adecuadas. Además, la pobreza dfusa multdmensonal permte dferencar algunos subconjuntos de pobres de acuerdo al tpo de dmensón de la pobreza que se emplea. En este artículo se utlzan tres dmensones de la pobreza: la dmensón monetara, la no monetara públca y la no monetara prvada. 4 En Méxco la pobreza ofcal se mde empleando tres líneas de pobreza que defnen tres tpos de pobreza. Pobreza tpo I: con el ngreso del hogar es mposble obtener una canasta almentara. Pobreza tpo II: con el ngreso del hogar es mposble obtener una canasta almentara más los gastos necesaros para salud, vestdo, vvenda, transporte y educacón. Pobreza tpo III: con el ngreso del hogar es mposble obtener una canasta almentara más los gastos no almentcos consderados como necesaros en general (Fuente: Comté Técnco para la Medcón de la Pobreza, 2002). 5 Poblacón analfabeta de 15 años o más; poblacón sn prmara completa de 15 años o más; ocupantes en vvendas sn drenaje n servco santaro exclusvo; ocupantes en vvendas sn energía eléctrca; ocupantes en vvendas sn agua entubada; vvendas con algún nvel de hacnamento; ocupantes en vvendas con pso de terra; poblacón en localdades con menos de habtantes; poblacón ocupada con ngreso de hasta 2 salaros mínmos (CONAPO, 2001). 6

9 La dmensón monetara de la pobreza (M) se defne en funcón úncamente del ngreso (o carenca del ngreso). Es decr, medante el cálculo de una línea monetara de pobreza dfusa se establece el conjunto de pobreza dfusa monetara. Las dmensones no monetaras del fenómeno se defnen como aquellas conformadas por ndcadores que mden la propedad o el acceso a benes y servcos, ya sean públcos o prvados. En este sentdo, la pobreza no monetara se defne como el resultado de medr este fenómeno empleando dmensones o varables no monetaras. En este artículo la dmensón no monetara de la pobreza se dvdó en dos dmensones: la prvada y la públca. La pobreza no monetara prvada (S) se defne como la carenca de benes que es posble adqurr de manera prvada medante el ngreso o la rqueza del hogar. En ésta se ncluyeron las sguentes varables referentes al hogar: materal de muros, materal de techos, materal de psos, servco santaro, combustble utlzado para cocnar o calentar sus almentos, teléfono en la vvenda, vehículos, aparato de sondo (rado, grabadora, tocadscos, consola o modular, reproductor de dscos compactos), televsón, computadora, refrgerador, lcuadora, plancha, lavadora, aspradora, horno de mcroondas y clma (are acondconado, cooler o calefactor)6f6. Esta dmensón se ncluyó en el análss debdo a que la propedad de benes de este tpo se encuentra estrechamente lgada con la vulnerabldad de los ndvduos a caer en pobreza o profundzarla. Tambén se trata de un ndcador de pobreza de benes necesaros para alcanzar el benestar como se entende en las socedades modernas. La pobreza no monetara públca (Z) se defne como la carenca de benes que no pueden ser adqurdos de manera prvada medante el ngreso o la rqueza del hogar, sno medante el gasto públco. En esta dmensón se ncluyeron dsponbldad de agua entubada, dsponbldad de drenaje, servco públco de recoleccón de basura y servco 7 públco de energía eléctrca.7f Una ventaja de emplear la técnca dfusa multdmensonal para medr la pobreza, es que medante ésta es posble defnr tantos subconjuntos de pobreza dfusa como 6 Tanto estas varables como las no monetaras públcas fueron elegdas por sus característcas para defnr la dmensón de la pobreza correspondente y por su dsponbldad en la Encuesta Naconal de Ingreso Gasto de los Hogares (ENIGH) para los años ncludos en el análss. 7 Aunque estas tres dmensones de la pobreza son representatvas del fenómeno, no se puede asegurar que sean exhaustvas de éste, ya que sería deseable nclur al menos una dmensón socal, como la partcpacón de los ndvduos en actvdades socales, lbertad, nclusón socal, empleo, dgndad y derechos humanos, como lo argumenta Sen. La justfcacón para nclur tres dmensones de la pobreza en el análss es que solamente se cuenta con la nformacón necesara para nclur estas tres dmensones (ver Anexo III). 7

10 dmensones se empleen. Entonces, medante las tres dmensones empleadas en este artículo es posble construr tres tpos de conjuntos dfusos de pobreza, el monetaro, el no monetaro públco y el no monetaro prvado. Además, por medo de estos conjuntos dfusos es posble defnr una membresía conjunta (funcón de dstrbucón conjunta) entre estos tpos de pobreza, que permte aplcar algunas las operacones de los conjuntos dfusos presentadas en la seccón I y obtener resultados relevantes. Bett et al, (2006) construyen esta dstrbucón para dos dmensones de la pobreza, la cual se desarrolla para tres dmensones en este artículo. Medante esta dstrbucón es posble dentfcar las nterseccones de los conjuntos dfusos y defnr dos dferentes tpos de pobreza: la pobreza manfesta y la pobreza latente. La pobreza manfesta se defne como la propensón de que se presenten las tres dmensones de pobreza, es decr se trata de la pobreza más ntensa que un ndvduo puede sufrr. Por otro lado, en el caso de dos dmensones Bett et al, (2006) defnen la pobreza latente como la propensón a sufrr solamente uno de ambos tpos de pobreza, la cual se puede extender a tres dmensones creando dos categorías de este tpo de pobreza. La pobreza latente grado 1 se defne como la pobreza que nvolucra dos dmensones de pobreza (latente monetara y no monetara prvada (MS), latente monetara y no monetara públca (MZ) o latente no monetara prvada y no monetara públca (SZ)), y la pobreza latente grado 2 que se defne como la pobreza en la que se presenta solamente una dmensón de ésta (latente monetara (M), latente no monetara prvada (S) o latente no monetara públca (Z)). En el Dagrama 1 se representan las dmensones de la pobreza empleadas para medr la pobreza en este artículo, así como los subconjuntos dfusos que en éste se estman. Cada una de las áreas señaladas en el dagrama representa un subconjunto dfuso o la unón o nterseccón de éstos. 8

11 Dagrama 1. Dmensones de la pobreza y subconjuntos dfusos de pobreza Monetara G C F No Monetara Prvada D A B No Monetara Públca E X: No pobres Fuente: Propa. Las áreas se leen como sgue: A: Pobreza manfesta. Es la nterseccón de las tres dmensones de la pobreza, por lo que los ndvduos que se encuentran en esta stuacón son los más pobres de la socedad. B: Pobreza latente grado 1 (SZ). Se trata de la nterseccón de las dmensones no monetaras, menos A. Los hogares en esta stuacón son pobres de acuerdo con las dos dmensones no monetaras. C: Pobreza latente grado 1 (MS). Es la nterseccón de la dmensón monetara y la no monetara prvada, menos A. Los hogares en esta stuacón son pobres monetaros y no monetaros prvados. D: Pobreza latente grado 1 (MZ). Es la nterseccón de la dmensón monetara y la no monetara públca, menos A. Los hogares en esta stuacón son pobres monetaros y no monetaros públcos. E: Pobreza latente grado 2 (Z). Es el conjunto dfuso representado por la dmensón no monetara públca de la pobreza, menos A+B+D. Los hogares en este subconjunto son úncamente pobres no monetaros públcos. 9

12 F: Pobreza latente grado 2 (S). Es el conjunto dfuso representado por la dmensón no monetara prvada de la pobreza, menos A+B+C. Los hogares en este subconjunto son úncamente pobres no monetaros prvados. G: Pobreza latente grado 2 (M). Es el conjunto dfuso representado por la dmensón monetara de la pobreza, menos A+C+D. Los hogares en este subconjunto son úncamente pobres monetaros. A+C+D+G: Dmensón monetara de la pobreza (M). Es el conjunto de pobres monetaros, sn mportar que tambén pertenezcan a otro subconjunto de pobreza. A+B+C+F: Dmensón No monetara prvada de la pobreza (S). Es el conjunto de pobres no monetaros prvados, sn mportar que tambén pertenezcan a otro subconjunto de pobreza. A+B+D+E: Dmensón No monetara públca de la pobreza (Z). Es el conjunto de pobres no monetaros públcos, sn mportar que tambén pertenezcan a otro subconjunto de pobreza. X: No pobres. Es el complemento del conjunto de pobres A+B+C+D+E+F+G. Se trata de hogares que no sufren de nngún tpo de pobreza. En la sguente seccón se formalzan los conjuntos dfusos hasta aquí descrtos. II.1 Pobreza Dfusa De acuerdo con la defncón de un conjunto dfuso, dada una funcón de membresía al conjunto de pobres μ A (x), tenemos que s μ A (x) = 0, x no pertenece al conjunto de pobres; s μ A (x) = 1, x pertenece completamente a este conjunto, mentras que s 0 < μ A (x) < 1, x pertenece al conjunto de manera parcal. Línea de Pobreza Dfusa Dado un ngreso conocdo y, podemos defnr y como el ngreso más alto con el cual un ndvduo es pobre, y y como el ngreso arrba del cual un ndvduo es no pobre. Entonces (a) μ A = 1 s 0 y y 10

13 (b) μ A = 0 s y > y (c) 0 < μ A < 1 s y < y y Suponendo una funcón contnua decrecente μ A = f(y), para la cual f(y ) = 0 y el lm y y f(y) = 1 es posble construr un conjunto dfuso medante una funcón lneal como la que se presenta a contnuacón: μ A = 1 s 0 y y μ A = 0 s y > y y' ' y μ A = s y < y y y' ' y' Note que una línea de pobreza clásca se puede defnr como una funcón de y y y cuando y = y = π; en otras palabras, una línea de pobreza es un caso partcular de una funcón de membresía. II.2 Pobreza Dfusa Multdmensonal Una prmera opcón para abordar la pobreza multdmensonal es hacer una generalzacón de la pobreza undmensonal empleando múltples varables. Para mplementar esta metodología, orgnalmente propuesta por Cerol y Zan (1990), se debe consderar que la mayoría de las varables exstentes para medr pobreza son categórcas, por lo que es necesaro adaptarlas para aplcar la técnca dfusa. Sean k varables categórcas u 1, u 2,, u k que pueden ser meddas para cada ndvduo de la poblacón en estudo, entonces, ũ j es la medda observada para el -ésmo ndvduo ( = 1, n) en la j-ésma varable (j = 1, k). Para el caso partcular de varables dcotómcas, la funcón de membresía se puede defnr como: k 1 μ ( ) = ( = 1, 2,, n) (1) A z j k j= 1 en donde z j = 1 s ũ j ndca carenca para esa varable y z j = 0 en otro caso. Note que μ A (x) = 1 s y solo s cada una de las k varables denotan carenca para el ndvduo, es decr, este ndvduo pertenece completamente al conjunto dfuso de pobreza. Por otro lado, μ A (x) = 0 11

14 mplca que cada una de las varables se encuentran arrba del punto que ndca carenca, por lo que el ndvduo no pertenece al conjunto de pobreza dfusa en nngún grado. Note que en este caso cada una de las k varables contrbuye con un peso gual para determnar s un ndvduo es pobre, lo cual representa un problema con la funcón de membresía defnda ya que en la realdad algunas varables son más mportantes que otras para medr la pobreza. Lo anteror sugere que las varables deberían ponderarse conforme con la 8 mportanca que representan para la pobreza de acuerdo con algún crtero.8f Una manera natural de medr la pobreza para un grupo de ndvduos medante una funcón de membresía, es sumar los grados de membresía de cada uno de los membros de la poblacón. Esto equvale a calcular la cardnaldad del conjunto dfuso A = n = 1 μ ( ), bajo la condcón de que el conjunto sobre el cual se defne A sea fnto. Alternatvamente se puede emplear la cardnaldad relatva al conjunto unverso, la cual se defne como: A P = A n 1 = n n = 1 μ ( ) (2) A en donde el unverso contene n elementos. Este índce mde la pobreza de tal manera que P = 0 cuando μ A () = 0 ; es decr, cuando la pobreza está ausente para todos los ndvduos. Además, P = 1 cuando μ A () = 1, es decr, cuando todos los ndvduos se encuentran en el más alto grado de pobreza. Dmensón monetara de la pobreza Tanto la construccón de la funcón de membresía como la propuesta de ponderadores son fundamentales para calcular el índce de pobreza. Chel y Lemm (1995) proponen la técnca conocda como Totally Fuzzy and Relatve (TFR), que sugere una funcón de membresía para medr pobreza medante ngresos 1 - F(y ), en done F( ) es la funcón de dstrbucón del ngreso. Esta funcón ndca que el grado de pertenenca al conjunto dfuso de pobreza es la proporcón de la socedad que se encuentra en una mejor stuacón que el ndvduo analzado. Bett y Verma (1999) proponen emplear una funcón 8 Este crtero por supuesto depende del nvestgador, pero se puede fundamentar en las preferencas de la socedad, o en alguna teoría de la pobreza. 12

15 de membresía alternatva a la TFR para medr pobreza, la cual ncluye la curva de Lorenz para ngresos 1 - L(y ).9F 9 Con el fn de ntegrar las bondades de las funcones de membresía arrba defndas, Bett et al., (2006) proponen combnarlas dando lugar a la funcón de membresía conocda como Integrated Fuzzy and Relatve (IFR): α 1 w j w j y j α 1 j= + 1 j= + 1 μ = (1 F ) (1 L ) = (3) w w y = 1 = 1 en donde en donde w es la poscón que ocupa el ndvduo en la dstrbucón del ngreso y α es un parámetro arbtraro que pondera la relevanca (preferenca o aversón) de la pobreza para la socedad. Un valor grande de este exponente ofrece un mayor peso al extremo de la dstrbucón en que se ubcan los pobres. Con el fn de contar con una medda comparable con las meddas de pobreza tradconales, Chel y Bett (1999) y Bett y Verma (1999) proponen un valor de α para el cual la medda de pobreza ofcal calculada medante el head count10f10 11 equvale a la meda de la funcón de membresía.11f La ecuacón (3) es una funcón de membresía que explca el grado de pertenenca de un ndvduo al conjunto dfuso de pobreza como la proporcón de la socedad que se encuentra en una mejor stuacón que este, corregdo por el ndcador de desgualdad (1 L )/(1 F ). Lo anteror mplca que la funcón de membresía defnda en (3) es mayor o gual que la defnda por Chel y Lemm (1995), en donde la gualdad se presenta s y solo s exste gualdad perfecta en la socedad y es mayor cuando exste algún grado de desgualdad.12f 12 9 Tanto la funcón de membresía propuesta por Chel y Lemm (1995) como la propuesta por Bett y Verma (1999) se analzan en el Anexo I. Note además, que estas funcones de membresía se defnen para la varable ngreso y se generalzan para varables no monetaras en la sguente seccón. 10 Se refere a la proporcón de la poblacón que recbe un ngreso por debajo de la línea de pobreza. 11 Note que esta propuesta busca obtener resultados medante la teoría de conjuntos dfusos comparables con los resultados y tendencas ofcales. Sn embargo, un estudo que pretenda estmar la pobreza dfusa drectamente debería proponer un alfa de acuerdo a la aversón a la pobreza de la socedad. Dada la mportanca del valor de alfa en los resultados de estmar la pobreza, en el Anexo I se explca su sgnfcado y los efectos de varar este parámetro sobre la funcón de membresía presentada en la ecuacón (3). 12 Esta nterpretacón no es sugerda por Bett et al., (2006), por lo que se demuestra en el Anexo I. 13

16 En el resto de este documento se defne al ngreso (carenca de ngreso) como la dmensón monetara de la pobreza y a la estmacón provenente de este cálculo como pobreza monetara. Dmensones no monetaras de la pobreza Con el fn de medr la pobreza no monetara medante conjuntos dfusos, es necesaro construr ndcadores no monetaros con característcas smlares a las del ngreso, ya que generalmente las varables no monetaras se mden en una escala categórca. Cerol y Zan (1990) proponen una transformacón de las categorías no monetaras medante la sguente ecuacón: d C c =, 1 c C 1 C (4) en donde las categorías ordenadas van de c = 1 (mayor carenca) a C (menor carenca), y c 13 es la categoría a la que pertenece el ndvduo analzado.13f Chel y Lemm (1995) proponen reemplazar el orden de las categorías por la funcón de dstrbucón de la poblacón, como en la sguente ecuacón: d 1 P( c ) = (5) 1 P(1) Esta últma expresón proporcona un ndcador no monetaro (d ) equvalente al monetaro (y ), por lo que se pueden emplear las funcones de membresía ya descrtas agregando las varables medante la sguente suma ponderada: v k k v kdk, μ = v (6) k k k 1 = ln (7) d 13 Esta transformacón supone que las categorías de la varable están gualmente espacadas. 14

17 en donde d k es el promedo de los valores ndvduales (d ) para la varable k.14f14 se construye el ndcador de carenca no monetara medante la expresón: Fnalmente, S = k vk ( 1 dk, ) k v k (8) La construccón de S ncluye la expresón 1 d que mplca no carenca, por lo que S es una medda de no carenca equvalente al ngreso. Un elemento relevante para obtener resultados más refnados a partr de varables no monetaras, es el empleo de un ponderador adecuado a las característcas de las varables no monetaras. Bett y Verma (1999) proponen segur dos prncpos en la construccón de los ponderadores: (1) el peso del ponderador debe varar de tal manera que consdere el estlo de vda de la socedad que prevalece (por ejemplo, pobreza relatva a la socedad) y (2) se debe evtar la nfluenca de varables redundantes lmtando el peso de varables altamente correlaconadas. Un ponderador que responde a estas exgencas es el sguente v = v v (9) k a b k k en donde v a k se determna medante la capacdad de las varables para dferencar a los ndvduos entre sí, lo cual se puede consegur empleando una medda de dspersón.15f15 En la práctca se propone emplear el coefcente de varacón de cada ndcador de carenca d k, para cada varable, es decr v cv. Esta parte del ponderador asgna un peso menor a las a k k varables que ndcan la exstenca de carencas para un amplo sector de la poblacón, mentras que asgnan un peso más alto a las varables que muestran que solamente una baja proporcón de la poblacón carece del ben analzado. El segundo componente del ponderador se defne de la sguente manera: 14 Note que d no puede asumr los valores cero o nfnto porque la dstrbucón de la poblacón va de cero a uno, lo que mplca que al k menos una categoría será dferente de cero y que todas las categorías serán fntas. 15 Los superíndces a y b se emplean solamente para dferencar los dos componentes del ponderador. 15

18 b v k = 1+ K k ' = K ρk, k ' ρk, k ' < ρh ρk, k ' ρk, k ' = 1 k ' ρh en donde ρ k,k es la correlacón entre las varables k y k, la notacón ndca dado que, y la correlacón ρ H corresponde a un punto de corte dado.16f16 Tenemos entonces que esta segunda parte del ponderador permte dsmnur el peso de varables altamente correlaconadas, 17 lmtando así la nfluenca de varables redundantes.17f Pobreza Manfesta y Pobreza Latente En la Tabla 1 se muestran las dferentes combnacones de pobreza y no pobreza que se pueden presentar para las tres dmensones de pobreza arrba defndas M, S y Z. Cada una de las celdas de la membresía conjunta corresponde a la nterseccón de tres subconjuntos dfusos de pobreza, por ejemplo, la prmera celda corresponde a la nterseccón de Pobreza M = Pobreza S = Pobreza Z = Pobre. Es decr, se cuantfca la membresía que corresponde a un ndvduo en los tres tpos de pobreza. En esta msma Tabla no es claro que se cumplan algunas propedades que se cumplen cuando se emplean conjuntos cláscos, como el que la suma de las margnales sea uno, por lo que es necesaro establecer las operacones con conjuntos dfusos que lleven al cumplmento de esta condcón. Tabla 1. Dstrbucón conjunta de la pobreza para tres dmensones de pobreza Pobreza Z = Pobre Pobreza S Estatus Pobre No Pobre Margnal Pobreza M Pobre μ MSZ C μ MS Z M 1 No Pobre C μ M SZ C C μ M S Z M 2 Margnal S 1 S 2 Z 1 16 Bett et al, (2006) sugeren que este punto se determne dvdendo el conjunto de correlacones ordenadas en el punto en que se presenta la mayor dferenca entre dos correlacones. En la práctca, los autores encuentran que esto sucede generalmente con la correlacón más alta, la cual se elmna por la naturaleza de la ecuacón de este ponderador. En este artículo se aplcó la sugerenca de Bett et al, (2006), permtendo tambén elmnar la correlacón más alta. 17 El ponderador descrto en (9) cumple con algunas de las propedades deseables que se buscan cuando se modela el fenómeno de la pobreza, más que cumplr con propedades optmas. 16

19 Tabla 1. contnuacón Pobreza Z = No Pobre Pobreza S Estatus Pobre No Pobre Margnal Pobreza M Pobre C μ MSZ C C μ MS Z M 3 No Pobre C C μ M SZ C C C μ M S Z M 4 Margnal S 3 S 4 Z 2 El superíndce C denota el complemento del conjunto, que en este caso es un conjunto de no carenca. Fuente: Propa, basada en Bett et al, (2006). Como se mencono en la seccón I, las operacones estándar de conjuntos dfusos no son las más adecuadas para medr pobreza debdo a la propedad expansva de su nterseccón, que mplca que la suma de las membresías resultantes sea mayor que 1, como se lustra en la Tabla 4 (Anexo II). Es claro que para satsfacer la condcón de suma uno, no se debe emplear la nterseccón estándar para calcular todos y cada uno de los subconjuntos dfusos de pobreza. Bett y Verma (2004) sugeren emplear una combnacón de operacones que aprovecha las ventajas de éstas para medr un fenómeno partcular como la pobreza. Basándose en la propedad de que la nterseccón estándar provee el máxmo valor entre las nterseccones permtdas para conjuntos dfusos, los autores proponen emplearla solamente cuando en la medcón se nvolucran estados smlares y emplear una de las nterseccones alternatvas para los casos en que los estados no son 18 smlares.18f Note que, aunque la nterseccón algebraca parece ser la opcón más vable para aplcarse, por ser la únca con la cual las funcones de membresía suman uno, los resultados obtendos de aplcar esta operacón no parecen ser congruentes con lo esperado para una medda de pobreza. Otra razón para no aplcar la nterseccón algebraca es que, cuando la nterseccón de dos o más conjuntos dfusos se analza como s se tratara de una probabldad conjunta, el producto algebraco μ A B (x) = μ A (x) μ B (x) mplca no correlacón entre las formas de carenca, lo que es poco factble en los casos de estados de carenca smlares en donde se espera una alta correlacón.19f19 Entonces, la regla algebraca produce estmacones poco confables de acuerdo con lo que se espera al medr el fenómeno de pobreza. 18 Lo cual es una propedad deseable para medr pobreza cuando se trata de la nterseccón de estados smlares (pobre-pobre, no pobre-no pobre), pero crea un conflcto cuando se trata de estados dferentes. 19 Tratar a la nterseccón de conjuntos dfusos en térmnos probablístcos es una consderacón ben fundamentada por la teoría de conjuntos dfusos que no se dscutrá en este artículo (ver Bandemer y Gottwald, 1996, seccón 5.3). 17

20 Es claro que n la operacón estándar n la algebraca proveen resultados aceptables para estmar la pobreza cuando se nvolucran estados contraros de carenca. Por esta razón, se emplea una combnacón de operacones para construr la dstrbucón conjunta de pobreza como lo proponen Bett y Verma (2004). Esta combnacón consste en aplcar la operacón estándar cuando se nvolucran estados smlares de carenca (o no carenca), con lo que se obtenen resultados menos restrngdos que los provstos por la operacón algebraca. En contraste, se aplca la operacón lmtada cuando se trate de estados dferentes, con lo que se obtenen resultados más restrngdos que los que se obtendrían con la operacón algebraca. La comparacón entre los resultados de aplcar la operacón algebraca y la combnacón de operacones se muestran en la Tabla 2, en donde además se apreca que ambos casos cumplen la condcón de suma uno para todas las combnacones en el orden 20 de cada una de las tres dmensones de pobreza.20f Tabla 2. Combnacón de operacones para tres dmensones de pobreza dfusa Combnacón Operacón dfusa Algebraca Operacones compuestas M S Z M Z S (M C, S C, Z C ) 1-Z-S+SZ-M+ MZ+MS-MSZ Estándar Mn(M C, S C, Z C ) 1-Z 1-S (M, S C, Z C ) M-MZ+MS+MSZ Lmtada/Estándar Max{0, mn(s C,Z C )+M-1)} 0 0 (M C, S, Z C ) S-SZ-SM+MSZ Lmtada/Estándar Max{0, mn(m C,Z C )+S-1)} 0 S-Z (M C, S C, Z) Z-MZ-SZ+MSZ Lmtada/Estándar Max{0, mn(m C,S C )+Z-1)} Z-S 0 (M, S, Z C ) MS-MSZ Lmtada/Estándar Max{0, mn(m,s)+z C -1)} 0 0 (M, S C, Z) MZ-MSZ Lmtada/Estándar Max{0, mn(m,z)+s C -1)} 0 0 (M C, S, Z) SZ-MSZ Lmtada/Estándar Max{0, mn(s,z)+m C -1)} S-M Z-M (M, S, Z) MSZ Estándar Mn(M, S, Z) M M SUMA Tabla 2. contnuacón Combnacón dfusa Operacones compuestas S M Z S Z M Z M S Z S M (M C, S C, Z C ) Estándar Mn(M C, S C, Z C ) 1-Z 1-M 1-S 1-M (M, S C, Z C ) Lmtada/Estándar Max{0, mn(s C,Z C )+M-1)} 0 M-Z 0 M-S (M C, S, Z C ) Lmtada/Estándar Max{0, mn(m C,Z C )+S-1)} 0 0 S-M 0 (M C, S C, Z) Lmtada/Estándar Max{0, mn(m C,S C )+Z-1)} Z-M (M, S, Z C ) Lmtada/Estándar Max{0, mn(m,s)+z C -1)} 0 0 M-Z S-Z (M, S C, Z) Lmtada/Estándar Max{0, mn(m,z)+s C -1)} M-S Z-S 0 0 (M C, S, Z) Lmtada/Estándar Max{0, mn(s,z)+m C -1)} (M, S, Z) Estándar Mn(M, S, Z) S S Z Z SUMA Nota: Se supone que M, S y Z son conjuntos dfusos de pobreza y sus respectvos complementos son los conjuntos dfusos de no pobreza (1 M), (1 S) y (1 Z). Fuente: Propa. 20 Bett y Verma (2004) ofrecen una explcacón gráfca de la consstenca de emplear una combnacón de operacones. 18

21 En la Tabla 3 se resumen los resultados de las Tablas 1 y 2 con el fn de presentar un caso partcular de una membresía conjunta e lustrar las margnales. Las margnales de la dmensón M son para pobres M + 0 = M y para no pobres Z - M Z = 1 M; para la dmensón S pobres S + 0 = S y para no pobres Z - S Z = 1 S; y para la dmensón Z drectamente Z para pobres y 1 Z para no pobres. Además, la suma de las margnales de cada dmensón suma uno. Tabla 3. Dstrbucón conjunta de la pobreza para tres tpos de pobreza Pobreza Z = Pobre Pobreza S Estatus Pobre No Pobre Margnal Pobreza M Pobre Mn(M, S, Z)= S Max{0, mn(m,z)+s C -1)} = M-S M No Pobre Max{0, mn(s,z)+m C -1)} = 0 Max{0, mn(m C,S C )+Z-1)} = Z-M Z - M Margnal S Z-S Z Tabla 3. contnuacón Pobreza Z = No Pobre Pobreza S Estatus Pobre No Pobre Margnal Pobreza M Pobre Max{0, mn(m,s)+z C -1)}= 0 Max{0, mn(s C,Z C )+M-1)} = 0 0 No Pobre Max{0, mn(m C,Z C )+S-1)} = 0 Mn(M C, S C, Z C ) = 1 Z 1 Z Margnal 0 1 Z 1 Z Nota: Se supone S M Z, pero dado que en la Tabla 2 se presentan todas las posbles combnacones de este ordenamento, es posble construr esta msma tabla para todos los casos conservando la condcón de suma uno. Fuente: propa, basada en Bett et al, (2006). La ventaja de realzar un ejercco como este, en el que se ncluye en la medcón de la pobreza más de una de sus dmensones, en este caso tres, radca prncpalmente en que: (1) es posble llevar a cabo una clasfcacón de la pobreza más refnada; (2) es factble dentfcar posbles errores en la medcón de la pobreza por dejar fuera alguna de las dmensones de ésta; y (3) se puede focalzar la polítca socal atendendo a objetvos específcos de acuerdo a la preferenca (aversón) de la socedad por alguna de las dmensones de la pobreza, sn dejar fuera al resto de éstas. La relevanca del prmer punto es que la clasfcacón de la Tabla 3 se puede ordenar de acuerdo con algún crtero específco y obtener una taxonomía detallada de la pobreza, con la que es posble establecer un ordenamento de acuerdo a su ntensdad. Hasta el momento solamente resulta obvo que la pobreza manfesta es más ntensa que la pobreza latente grado 1 y que ésta, a su vez, es más ntensa que la pobreza latente grado 2. A esto se debe agregar que en Méxco se realzan cálculos ofcales para tres tpos de pobreza, 19

22 tambén de acuerdo a su ntensdad, con lo que la taxonomía de la Tabla 3 se refna aún más, ya que es posble calcular la pobreza manfesta, latente grado 1, latente grado 2 y no pobreza, para los tpos de pobreza ofcales I, II, III y no pobreza. Con respecto al segundo punto, es necesaro notar que cuando se mde la pobreza (o cualquer otro fenómeno) se da por hecho que la nformacón empleada para esta tarea es adecuada para obtener una estmacón del fenómeno realsta, en todo caso aceptando un error cercano a cero. En otras palabras, cuando delberadamente se deja fuera de la medcón de la pobreza alguna de sus dmensones, aún cuando la nformacón necesara esté dsponble, equvale a aceptar que estas dmensones no son relevantes para el estudo, ya que dejarlas fuera no aumentaría consderablemente el error en la estmacón del fenómeno. En térmnos de las defncones de pobreza presentadas, sería recomendable dejar fuera alguna de las dmensones de la pobreza sn afectar la estmacón, cuando la pobreza latente referente a dcha dmensón fuera cercana a cero. Sn embargo, en caso de que este tpo de pobreza fuera consderablemente dferente de cero, es claro que se estaría presentado un error de medcón. Con esto se puede deducr que s los recursos destnados a combatr la pobreza se asgnan consderando un uso lmtado de la nformacón (dmensones de la pobreza), entonces el posble error de medcón se traduce en un error en la polítca socal. Este error se puede cometer en tanto se deje de dentfcar como pobre a un ndvduo que efectvamente lo es, de acuerdo con la dmensón o dmensones que se dejaron fuera.21f21 Un ejemplo de esto se presenta s se supone que para medr la pobreza se emplean solamente las dmensones no monetaras. En este caso, de acuerdo con los planteamentos arrba presentados, el error en la medcón estaría defndo por la nterseccón de los subconjuntos dfusos pobreza monetara = pobre y pobreza no monetara = no pobre. En los resultados que se presentan adelante, se podrá observar que el tamaño de los errores por dejar fuera a cualquera de las tres dmensones ncludas en este estudo no son desprecables. El tercer punto descrbe una ventaja alternatva a la descrta en el punto dos, ya que s ben para medr la pobreza de manera ntegral es necesaro modelar el fenómeno de 21 Esto equvale a un error estadístco tpo I, es decr, se rechaza la hpótess nula de que un ndvduo es pobre cuando en realdad lo es. En este caso no se consdera el error estadístco tpo II (no se rechaza la hpótess nula de que el ndvduo es pobre cuando no lo es), porque las dmensones ncludas para medr el fenómeno dentfcan a este ndvduo como pobre, aunque las dmensones no ncludas no lo dentfquen. 20

23 manera que se ajuste lo más posble a la realdad, tambén es certo que la socedad y quenes hacen la polítca socal pueden tener preferencas (aversones) muy claras por certas dmensones de la pobreza y plantear objetvos específcos sobre como combatr el fenómeno. Por ejemplo, s el objetvo es dentfcar a quenes carecen de servcos públcos con el fn de adoptar una polítca socal que provea a las comundades e ndvduos con estos benes, se debe medr la pobreza empleando una dmensón no monetara públca del fenómeno. Sn embargo, una polítca encamnada a combatr la pobreza en cualquera de sus dmensones debe consderar el fenómeno en su totaldad como parte de una polítca ntegral que dentfque a los más necestados en todos los ámbtos. La ventaja de la metodología presentada en este artículo, es que mde la pobreza para todas las combnacones de sus dmensones, ncluyendo el total de éstas y los casos ndvduales. III. Evolucón de la Pobreza Dfusa Multdmensonal en Méxco La metodología hasta aquí presentada se aplcó para estmar la pobreza en Méxco para el perodo empleando la Encuesta Naconal de Ingreso Gasto de los Hogares (ENIGH) 1994, 1996, 1998, 2000, 2002, 2004 y Se empleó esta encuesta debdo a que es un nstrumento especalzado para medr ngresos y reporta nformacón socoeconómca para hogares e ndvduos, elementos necesaros para establecer las dmensones de la pobreza. Además, se emplea ofcalmente para medr pobreza, por lo que hace comparables los resultados de este documento con los resultados ofcales. Sguendo la metodología, en prmera nstanca se calculó la pobreza dfusa monetara medante la funcón de membresía descrta en la ecuacón (3) para cada uno de los años menconados, los tres tpos de pobreza ofcales, las regones urbana, rural y el total de hogares e ndvduos en Méxco.22F22 Una vez dentfcado el tpo de pobreza al que pertenece cada ndvduo en las muestras de la ENIGH, se gualó el promedo de cada membresía con el head count para obtener los respectvos exponentes α.23f El estudo se realza sobre dos undades de análss, hogar e ndvduo. Sn embargo, aunque la mayor parte del análss se lleva a cabo sobre hogares, tambén se reportan resultados para ndvduos. 23 Igualar el promedo de la membresía con el head count ofcal de cada año permte realzar una comparacón de la evolucón de la pobreza entre los años analzados y con las meddas ofcales de pobreza. 21

24 26F En la Tabla 5 (Anexo II) se muestran las líneas de pobreza del año 2000 para las zonas urbana y rural con las que se cálculo el head count para cada año. Estas líneas de pobreza se deflactaron sguendo la metodología del Comté Técnco para la Medcón de la Pobreza (2002) con el fn de hacerlas comprables entre sí. En la Tabla 6 (Anexo II) se muestra el head count correspondente a las zonas urbana, rural y total para cada uno de los años de la ENIGH ncludos en el análss. Note que las líneas de pobreza que defnen el head count dan pe a la dmensón monetara de la pobreza. Una vez que se cuenta con el head count, es posble calcular los exponentes α para cada zona. Los correspondentes valores del exponente α se muestran en la Tabla 7 (Anexo II). Para calcular los ndcadores de carenca de cada una de las dmensones no monetaras de la ecuacón (8), prmero fue necesaro calcular los ponderadores descrtos por la ecuacón (9) para estas dmensones.24f24 En las Tablas 8 y 8.1 (Anexo II) se muestran los ponderadores de las varables no monetaras. La varable con mayor peso para determnar la pertenenca al grupo de pobreza no monetara prvada en las zonas urbanas es combustble, mentras que en las zonas rurales es aparato de sondo para todos los años excepto para 2006 que es televsón. En el caso de la pobreza no monetara públca, la varable con mayor peso en ambos casos es drenaje, excepto en 2004 que es recoleccón de basura para zonas urbanas. Una vez que se calcularon los exponentes, los ndcadores de carenca y los ponderadores, se calculó la membresía de cada ndvduo en la muestra por tpo de pobreza medante la ecuacón (3). Con estas funcones de membresía se estmaron cada uno de los subconjuntos dfusos que conforman la membresía conjunta de pobreza descrta en la Tabla 3 para las regones urbana, rural y total, para los tpos de pobreza I, II y III y para ndvduos y hogares. III.1 Resultados Evolucón general de la pobreza Las funcones de dstrbucón estmadas son en total 126, pero en este artículo solamente se muestra un resumen de estos resultados en las Tablas del Anexo II. 25F La asgnacón de categorías para aplcar la ecuacón (5) se presenta en el Anexo III. 25 Perodos en el tempo (7) x zonas (3) x hogares e ndvduos (2) x tpos de pobreza (3) = (126). 22

25 Una vsón de lo que sucedó con la pobreza durante este perodo la proporconan los resultados de la poblacón No Pobre que se presenta en las Tablas y se lustran en las gráfcas 1 y 2, en donde tambén se muestran, representados por las líneas punteadas, 27 los ntervalos de confanza al 95%.27F En las gráfcas es claro que la pobreza ha dsmnudo a lo largo del perodo de análss tanto en las zonas urbanas como en las rurales, aunque en cada una de estas zonas la evolucón ha sdo dferente. La prmera característca notora de la pobreza es que en 1996 aumentó en ambas zonas, presumblemente como consecuenca de la crss de Aunque de acuerdo con los resultados, el mpacto en las zonas urbanas fue mayor que en las rurales, mentras que en ambas zonas fueron más afectados los pobres tpo I que los pobres tpo II y a su vez éstos resultaron más afectados que los pobres tpo III. En otras palabras, la crss de 1994 afecto más a los más pobres. Posterormente a 1996, se muestra una recuperacón en ambas zonas, sn embargo, para el año 2000 esta recuperacón no fue estadístcamente sufcente para que en las zonas urbanas se superaran los nveles de no pobres que exstían en F28 En realdad, la pobreza urbana presenta mejores ndcadores solamente hasta el año 2006, cuando de acuerdo con los ntervalos de confanza es posble afrmar que exste una dferenca estadístca entre los resultados de 1994 y En otras palabras, en térmnos de pobreza, las zonas urbanas superaron la crss de 1994 solamente en El caso de la pobreza rural parece dferente en cuanto a la superacón de la crss de 1994, ya que la recuperacón entre 1996 y el año 2000 fue sufcente para que los nveles de pobreza en 2000 fueran menores que en Sn embargo, a partr del año 2000 la recuperacón de la pobreza rural se estancó, y salvo la pobreza rural tpo I, que muestra mejoría a partr de 2004, las pobrezas tpo II y III muestran mejoría solamente en Este resultado hace parecer sospechosos los resultados del año 2000 en las zonas rurales, ya que como se observa en la Gráfca 2, en este año se presenta un pco en los tres tpos de 29 pobreza.29f 26 Los resultados completos están dsponbles solctándolos al autor. 27 Estos resultados se obtuveron medante el método de bootstrap con 1000 muestras que se explca en el Anexo IV. Los ntervalos de confanza al 95% se ncluyen en todas las estmacones presentadas en las gráfcas de este documento. 28 Cuando los ntervalos de confanza de dos o más años se traslapan, se dce que no exste dferenca estadístca entre los años en comparacón, mentras que cuando no se traslapan se dce que exste dferenca estadístca. 29 Este msmo comportamento que parece un outler se presenta en las estmacones mostradas en las gráfcas sguentes. Posblemente se debe a algún problema con la ENIGH para ese año. 23