3 El Teorema del Valor Medio

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1 3 El Teorema del Valor Medio Este capítulo eplora una serie de conceptos teoremas desarrollados en los albores del siglo XIX, cuando algunos matemáticos comenzaron a insistir acerca de la necesidad de proveer demostraciones más rigurosas de ciertos principios del Análisis que hasta entonces se aceptaban como evidentes. Los teoremas fundamentales, requieren para su demostración una descripción de las propiedades de los números reales que escapa a los objetivos de este curso, pero sus enunciados son fácilmente comprensibles e intuitivamente aceptables. Sin embargo no todo termina ahí. La segunda línea de dificultades todavía es ardua. Está compuesta de razonamientos de mediana complejidad que se siguen sólo con trabajo atención. A veces, la Matemática resulta fastidiosa para el estudiante de otras disciplinas. Tal vez ese sería el caso con las demostraciones básicas que dejaremos de lado. Pero el resto del material inclue un ir venir entre el problema práctico, la intuición la formalización que es imprescindible en cualquier disciplina con base en las Ciencias Eactas. Invitamos al lector a sumergirse en estas páginas con entusiasmo. 3. Asíntotas Límites en el infinito. Asíntotas oblicuas horizontales La palabra "infinito" señala en nuestro idioma un más allá de lo que epresan los números. Como los números se usan para contar para medir, una mirada más fina distingue dos tipos de infinito. Aquí estaremos involucrados con el infinito de medir. Las variables reales continuas que estamos estudiando son variables de medir. Para contar se usan los enteros. La Matemática trata de evitar las discusiones filosóficas acerca del infinito encuentra maneras algebraicamente operativas de describir los fenómenos relacionados con medidas infinitamente grandes e infinitamente pequeñas. Si pensamos en la dualidad entre las variables =, en el sentido de que una es tan grande cuanto pequeña es la otra, tendremos una manera de describir el acercamiento de hacia el infinito con el acercamiento de hacia el cero. Mirando ahora el procedimiento de cambiar variables para el cálculo de límites insinuado en el ejercicio 5 del capítulo., podemos adoptar la siguiente definición: Definición : lim f () :=lim f µ, ()

2 Capítulo 3. El teorema del valor medio con las consiguientes versiones laterales: µ lim f () := lim f + + Ejemplos:. lim =lim n n =. lim n =lim n = 3. lim + =lim ( + ) =, lim f () := lim f µ. () 4. 3 lim +4 =lim 3 =lim +4 (3 ) ( + 4) =3. Habiéndose reducido la definición de límites en el infinito a límites en cero con el uso de otra variable, serán de aplicación en este nuevo punto límite (el cero) las propiedades estudiadas en el capítulo, con ecepción, por ahora, de la segunda parte de la propiedad, aclarando que en la propiedad 8, los entornos de son los complementos de los intervalos cerrados. Ejemplos: 5. Para calcular el límite en el infinito de una función racional, caben tres posibilidades: P () lim Q (), (a) n = gr (P ) <m= gr (Q): se saca factor común m en numerador denominador. +3 lim = lim = lim lim = 3 =. 3 4 (b) n = gr (P ) >m= gr (Q): se saca factor común n lim +3 = lim = lim en numerador denominador El numerador tiene límite no nulo el denominador tiene límite cero. El cociente no tiene límite. (c) n = gr (P )=gr (Q) :se saca factor común n en numerador denominador. 3 lim +4 = lim = lim 3 lim + 4 = 3 =3. Nótese que recalculamos el límite del ejemplo µ sin lim = lim sin =. Hemos usado la propiedad 8. de límites: seno está acotada lim = (ejemplo ). 7

3 3.. Asíntotas Ejercicio : Hallar lim f () para. 3 cos π f () = sen Cuando eiste límite en el infinito de una función, digamos lim f () =b, esecomportamiento se refleja en el gráfico con un acercamiento de Gr (f) alarecta = b, aque lim [f () b] =. Este acercamiento se da hacia los "etremos" lejanos del gráfico en sentido horizontal bien podría producirse en sólo uno de los etremos si el límite es de tipo lateral. En esos casos se dice que la recta = b es una asíntota de f. Uno podría imaginar el fenómeno como una tangencia en el infinito. Este tipo de acercamiento también se da con rectas oblicuas Definición. La recta de ecuación = l () =m + b es una asíntota de la función f (o del gráfico de f )si lim [f () l ()] =. Si sólo uno de los límites laterales en el infinito se anula, se dirá que l es una asíntota en + oen, lo que corresponda. Ejemplos: 7. En los ejemplos, el eje cooredenado horizontal es una asíntota. en el ejemplo 3., la recta = es asíntota de la curva =+, en el ejemplo 4., la recta =3 es asíntota de la curva = Veamos los gráficos generados por el ordenador de estos dos últimos casos: figura 3..a. =+ figura 3..b. =

4 Capítulo 3. El teorema del valor medio 8. La función racional f () = 3 Q() con gr (Q) =gr (P )+. Si efectuamos la división entera de P por Q, obtendremos un cociente C de grado un resto r de grado, una constante: P = QC + r. Dividiendo entre Q, f () = P () Q () = C ()+ r Q (). C, polinomio de grado, es una recta. Y f C = r Q, es una función racional con gr (Q) >gr(r) =. Según se vió en el ejemplo 5.a. el límite en el infinito es. Luego C () es una asíntota oblicua. 4 = P () Entonces, C () = + es asíntota. f () = ++ 4, figura 3.. Resumiendo, para funciones racionales, f () = P () Q(),haasíntotasenelinfinito cuando gr (P ) < gr(q) (el eje = es asíntota), cuando gr (P ) =gr (Q) (asíntota horizontal) cuando gr (P ) =gr (Q) + (asíntota oblicua). Si gr (P ) > gr(q) +, aparecen polinomios asintóticos que se obtienen con el método de dividión entera propuesto en el ejemplo 8. En el ejemplo 6., sin embargo, presentamos una función no racional con límite nulo en el infinito, o sea con asíntota horizontal (el eje). Cuál es el método general para encontrar asíntotas oblicuas (incluendo entre estas las horizontales como caso particular? Supongamos que la recta = l () =m + b es asíntota de la función f. Nos interesa encontrar los números m b. f () m b lim (f () m) =b (ejerc. 5, cap.). 7

5 3.. Asíntotas Enronces, µ µ f () f () m lim m = lim b = lim =. Luego f () lim = m. (3) La eitencia del límite (3) es condición necesaria para que pueda haber asíntota. Pero no suficiente (ver ejemplo ). m es el candidato a pendiente de la asíntota. Ahora habrá que verificar si eiste b = lim [f () m]. Si esto ocurre, entonces lim [f () (m + b)] = la recta Ejemplos: 9. Vimos (ejemplo 6) que sin para. Si hacemos f () = sin +., tendremos a la recta l () =. como asíntota. = m+b es una asíntota figura 3.3 En nuestra definición de asíntota, nada impide que se encuentre con la curva, incluso muchas veces.. Buscamos asíntotas de = f () =. El primer paso es calcular lim lim = ==m. De haber asíntota, será horizontal. Pero lim no eiste. En consecuencia no ha asíntota.. (a) La función sg () = tiene dos asíntotas diferentes, = en + = en. Pero es discontinua en. (b) f () =, también tiene asíntotas horizontales distintas en ±. En efecto, + lim ± + = lim sg () = ±. ± q+ 73

6 Capítulo 3. El teorema del valor medio (c) f () =, tiene asíntotas oblicuas diferentes en ±. Mostramos gráficos generados por el ordenador de los dos últimos + ejemplos fig. 3.4.a. = + fig. 3.4.b. = + Ejercicio : Encontrar, cuando las haa, asíntotas en el infinito de las siguientes curvas.. = 3 4. = cos 3. = + π 4. = = = + cos 7. = = + 9. = 3 + Límites infinitos. Asíntotas verticales Volvemos a mirar la función =. La simetría de esta curva muestra que lo que se pueda decir acerca del comportamiento de la variable en el infinitodebeserválidoparalavariable en el infinito. Si para decir que,pedimosque, el mismo criterio servirá para la variable dependiente: si sólo si. Definición 3. (El punto a hacia el que tiende la variable independiente puede ser un número ó. También puede tratarse de una tendencia lateral). lim f () = lim a a f () =. 74

7 3.. Asíntotas Como =, lim f () = lim =. (4) a a f () Ytambién lim f () = si sólo si eiste una función u = ϕ () a tal que Talvezseamásútildecirlodeestamanera: lim ϕ () = f () = a ϕ (). (5) para a si sólo si = u para cierta u tal que u para a. Cuando en un entorno reducido de a el signo de f () permanece constante podremos ser más específicos considerar el límite infinito con el correspondiente signo. Es decir, lim f () =+ lim f () = f () > en un entorno reducido de a. a a Análoga definición para f (). Ejemplos:. Los siguientes límites se obtienen inmediatamente a partir de la definición.. lim =. lim = 3. lim =+ 4. lim = 5. lim = ± 6. lim ± 3 = 7. lim + =+ 8. lim tan =+ ( π ) 3. En la sección.3. se mencionó como no derivable a la función 3, con tangente vertical en el origen. Si calculamos el límite del cociente incremental en ese punto, lim h 3 h h =lim h 3 h =+, pues lim h 3 h =. Si admitiésemos derivadas infinitas, éstas coincidirían con los puntos de tangente vertical. Para la función p, encambio, lim h p h h = lim h + 75 p h h =+.

8 Capítulo 3. El teorema del valor medio Habría derivadas laterales infinitas de distinto signo. No ha una recta tangente vertical sino semirectas tangentes verticales fig. 3.5.a. = 3 - fig. 3.5.b. = p El siguiente paso es averiguar cómo aceptan los nuevos límites infinitos las propiedades del límite.en este punto conviene antes aclarar que los entornos reducidos de infinito son conjuntos de la forma { : >M}, provenientes de : <δ ª = : > ª δ, donde ponemos M = δ. Para los límites laterales en el infinito, los semi-entornos considerados cuando + son, respectivamente, semirectas del tipo (M, + ) (, M), ambas con M>. También cabe señalar que hasta definir los límites infinitos, en aquellos casos donde éste eiste decíamos que no eistía límite. Por lo tanto, si quisiéramos conservar la coherencia, deberíamos decir que "eiste límite" "eiste límite infinito" son dos sucesos mutuamente ecluentes,.como si la frase "límite infinito" fuera una palabra nueva que no inclue a la palabra "límite". Sin embargo, resulta bastante más cómodo llamar límite finito al viejo límite aceptar oraciones mucho más gratas al oído como "eiste límite finito o infinito". Así lo haremos cuando no quepa confusión. Repasaremos las propiedades del límite, admitiendo ahora valores infinitos para ambas variables. Productos cocientes. Tratamos con dos funciones, = f () z = g (). Nos interesa el límite de su producto z osucociente z, para a. a puede ser finitooinfinito el límite puede ser completo olateral.. Si,z entonces z. En efecto, = u,z = v con u, v = z = con uv = z. El ícono utilizado para recordar esta regla será el siguiente: uv = (6). Si z está acotada en un entorno reducido de a, entonces z. Estoproviene de la regla 3(b) de los límites finitos, pues z = v con v. Entonces, z = v. El ícono es A = (7) (A por acotado). 76

9 3.. Asíntotas 3. Si el acotado es el denominador el infinito el numerador, el límite será infinito. Bajo los supuestos del caso anterior, z = con z z = z. A = (8) 4. Un producto con un factor infinito el otro que se mantenga alejado de cero, en cambio, tenderá a infinito, a que el factor alejado de cero no encontrará cómo compensar la grandeza del otro. Digamos que z se mantiene alejado de. Esto es, z ε>, ε fijo. Entonces, z M = ε es acotado. Ahora z = z = z según se discutió en el caso 3. Tener inversa acotada es lo mismo que ser la inversa de una acotada. De modo que la síntesis de este caso se representaría con A =,que coincide con (8). Nótese que este caso implica el caso, a que una función con límite infinito sin duda se mantiene alejada de cero. 5. Si un factor tiende hacia cero el otro hacia infinito, nada se puede afirmar del producto. Es un límite indeterminado, comoloeselaconocidoícono. Esto significa que cada caso paricular se resuelve atendiendo a sus peculiaridades pero que no ha reglas generales. Si tenemos,z, z = v con v. Al realizar el producto z = v caemos en el caso. = indeterminado. (9) Ejemplos: lim = lim = ( = ). lim =lim = ( =). lim = ( =). 6. Si,z Nada se puede afirmar acerca de z. En efecto, = u,z = v con u, v = z = u v, indeterminación del tipo. = indeterminado () Ejemplos: lim =. Sumas restas. = =, lim = =, lim =. Un sumando infinito ³ otro acotado produce una suma infiinita. Si z está acotada, + z = + z z. por (7). Luego + z se mantiene lejos de, ³ por caso 4 de producto, + z. A + = (). Si,z nada se puede afirmar acerca de + z.. En efecto, = u,z = v con u, v = + z = u + v = u+v uv, indeterminación del tipo. Sin embargo, si z tienen el mismo signo, + z = u + v = u + v u = + v u, uv uv v 77

10 Capítulo 3. El teorema del valor medio pues v u > + v u se mantiene lejos de cero, es de aplicación el caso 4 de productos. El signo del límite, está dado por el signo de los sumandos, a que es aquél de v. la tradición recuerda estos dos resultados con una simbología que supone que una variable que tiende a infinito lo hace siempre con un signo determinado suprime el + delante de Ejemplos: + =, () = indeterminado. lim =lim = ( = ), lim = ( =), lim +8 =8 ( = 8) Ejercicio 3: Calcular los siguientes límites..- lim lim π 3.- lim π lim lim π 4 ( π ) tan 3 4 Cuando en un punto a R ha un límite infinito,elgráfico de la función se acerca hacia la recta vertical = a. Decimos entonces que la recta es una asíntota vertical del gráfico de la función o, directamente, de la función. Ejemplos: 4. El eje vertical es asíntota de =. Nótese que los dos límites laterales son de distinto signo. No es este el caso en =, que también tiene la misma asíntota. fig. 3.6.a. = fig. 3.6.b. = 78

11 3.. Asíntotas 5. En el ejemplo 7, el eje es asíntota de =+ la recta = 4 lo es de = En el ejemplo 8 también ha una asíntota vertical de = 3 4 : la recta = figura =tan = cos sin tiene infinitas asíntotas verticales: los puntos de la forma π k entero, en los cuales se anula el denominador. + kπ con figura 3.8. =tan 79

12 Capítulo 3. El teorema del valor medio Ejercicio 4: Encontrar, cuando las haa, asíntotas verticales de las siguientes curvas..- = = = 4.- = sin 5.- = sin 3. Estudio de funciones Máimos mínimos Quizás no haa en la naturaleza una función a la que le prestemos más atención que a la temperatura ambiente. Pensemos en la descripción de este parámetro en el transcurso de un día. Supongamos que medimos el tiempo en horas. Estará representado por una variable t que recorre el intervalo [, 4]. Los valores correspondientes de la temperatura estarán representados por otra variable, digamos, que la mide en cierta unidad: o C, por ejemplo. = f (t), t 4. Uno puede imaginar cómo, mientras el tiempo recorre de izquierda a derecha el intervalo [, 4] sin saltearse ningún punto, la temperatura se mueve, también ella sin saltearse puntos, pero oscilando, subiendo bajando, sin salirse de un intervalo. Se puede pensar a la variable como las posiciones que va ocupando el punto superior de la columna mercurial de un termómetro. En sus oscilaciones no puede pasar de un punto a otro sin pasar por los intermedios. Además, en algún instante pasará por una posición que no es superada en altura por ninguna otra (aunque si puede ser igualada): M, la temperatura máima. Y en algún otro (o algunos otros) instante, pasará por la posición más baja, la temperatura mínima m. En definitiva, los valores f (t) correspondientes a los valores t [, 4], llenan un intervalo cerrado [m, M]. Qué aspectos nos interesa conocer de esta función? Sin duda los etremos m M del intervalo que soporta los valores de a qué horas fueron alcanzados, a que ellos representan las temperaturas máima mínima de la jornada. Y también los subintervalos de oscilación de f. Cuándo la temperatura está en aumento cuándo disminue. El estudio de estas cuestiones, esto es la descripción del comportamiento de una función, constitue el objeto de esta sección. Definición 4. Diremos que una función f alcanza su máimo valor relativo al conjunto S Dom (f) en el punto a, si f (a) f () para todo S. El número f (a) es el máimo de f en S [f (a) =maf S ]. Si S =Dom(f), el máimo se llama absoluto.ladefinición de mínimo es idéntica, cambiando por. Para decir que f alcanza un máimo o un mínimo en un punto, sin querer especificar si se trata de uno o de otro, se se dirá que alcanza un etremo. Los ejemplos que siguen a continuación servirán también como introducción del lenguaje que usaremos. Debemos advertir que este es un tema en el que se ha generado cierta diversidad de lenguaje: no todos llaman a las cosas con el mismo nombre, peor aún, se llama con el mismo nombre a cosas diferentes. Nosotros haremos nuestro aporte al caos. Como siempre se dispone de cierta libertad para considerar arbitrariamente cuál es el dominio de una función, esta definición debe tomarse con el valor "relativo" que posee. 8

13 3.. Estudio de funciones Ejemplos: Ejemplo - Ejemplo Ejemplo 3-4 Ejemplo b - - Ejemplo 5 a Ejemplo 6. La función = + alcanza su mínimo absoluto (que vale ) en =.. La función seno, alcanza su máimo absoluto en π. Ytambiénentodoslospuntosdela forma +kπ con k entero. π 3. = tiene su máimo relativo al intervalo (, ] en =. No tiene mínimo relativo a ese intervalo, pues el valor no lo toma; Para cualquier a (, ],f(a) no es un mínimo, porque, por ejemplo, f a = a <a= f (a). (Piense esto con cuidado) 4. La función aquí graficada, que tiene dominio en el intervalo 3, 3, no alcanza máimo ni mínimo. Tiene una discontinuidad en la que toma el valor, a sus lados tiende hacia valores que no alcanza. 5. f () = no tiene máimo ni mínimo absolutos. Tiene un mínimo relativo al intervalo (, ] en, un máimo relativo a [, + ) en. 8

14 Capítulo 3. El teorema del valor medio 6. El gráfico que se muestra en el ejemplo 6 corresponde a una función que está definida en (, + ) sigue, hacia los "etremos" del intervalo, la tendencia que muestra la figura. No tiene, en consecuencia, etremos absolutos. Sin embargo..."algo pasa" en los puntos a b. También se observa un fenómeno similar en el gráfico del ejemplo 4. La próima definición recoge esa peculiaridad. Definición 5. Una función f tiene en un punto a Dom (f) un máimo local si eiste un intervalo abierto I, a I Dom (f) (esto es un entorno I de a), respecto del cual f tiene un máimo relativo en a. Análoga definición para mínimo local. La eistencia del concepto de etremo local provoca el contrapunto de llamar globales a los etremos definidos anteriormente. Los etremos locales no requieren la mención de un conjunto, son una propiedad del punto. Un etremo global, en cambio, lo es relativo a un conjunto. O absoluto si lo es con respecto a todo el dominio de la función. Cuál es la relación entre etremos locales etremos globales? El ejemplo 6 muestra una función que tiene un máimo local en a un mínimo local en b, que no son absolutos. El máimo relativo mencionado en el ejemplo 3, no es máimo local. Ni aún considerando a la función como restringido su dominio a (, ] : la definición de etremo local requiere que el punto sea interior al dominio. Lo que sí se puede decir es esto: Teorema : Si una función alcanza un etremo global relativo a un conjunto S en un punto interior a S, entonces la función tiene en ese punto un etremo local. Digamos de paso que el conjunto S aqueserefiere la definición será siempre un intervalo. Cualquier problema de búsqueda de etremos de una función se puede llevar a una búsqueda en un intervalo. La definición no proporciona ninguna pista para encontrar etremos globales de una función. Si se logra adivinar un punto a en el cual se realiza un etremo de f, ladefinición dice cómo probar que en ese punto ha efectivamente un etremo. Los etremos locales de la definición, en cambio, mirados a través de los gráficos en los ejemplos, 4 6, sugieren un posible método de búsqueda. En un etremo local, cuando ha recta tangente, ésta es horizontal (el ejemplo muestra que puede no haber tangente el 3 que en etremos no locales la tangente puede no ser horizontal). Teorema : Si f alcanza un etremo local en un punto a es derivable en ese punto, entonces f (a) =. Demostración. Si f tiene un máimo local en a, f (a + h) f (a) para h chico. Luego, f (a + h) f (a) h para h> f (a + h) f (a) para h<. h Tomando límites laterales, se deduce que D f (a) D + f (a). Como f es derivable, debe ser f (a) = Si f tuviera un mínimo en a, f tendría un máimo entonces f = Nótese que la recíproca no vale la derivada de una función puede anularse en un punto sin que en él haa un etremo local. ( = 3 en =). El teorema da candidatos aetremos locales. Audados por los dos teoremas, si lo que se busca son los etremos globales de una función relativos a un intervalo, se puede pensar de la siguiente manera: El máimo el mínimo de la 8

15 3.. Estudio de funciones función relativos al intervalo se pueden alcanzar en los etremos o en el interior del intervalo. Si un etremo (máimo o mínimo) es alcanzado en el interior del intervalo, entonces es local (teor. ). Luego, o la función no es derivable o la derivada se anula.(teor. ) Si llamamos puntos críticos a aquellos donde no eiste derivada o la derivada es nula, un máimo o un mínimo sólo puede ser alcanzado en los etremos del intervalo o en un punto crítico. Uno está tentado a seguir este procedimiento para "pescar" etremos: se buscan todos los puntos críticos. Si son un número finito se calcula el valor de la función en ellos en los etremos del intervalo (si es cerrado). El valor más grande es el máimo el más chico es el mínimo. Eso está bien si eisten máimo mínimo relativos a ese intervalo!. En los ejemplos a6vimosmuchoscasosenqueno. Ejemplo 4. (revisitado). La función graficada en el ejemplo 4 responde a esta definición analítica: ½ f () = sg() si 3,, 3 si = (Recordamos de la sección.. que sg () = ). f es una función definida en el intervalo cerrado 3, 3, derivable en el abierto salvo en el origen, donde ni siquiera es continua. f () = sg () =4 sg (), se anula en en. Según la definición, el conjunto de los puntos críticos es,, ª (el es P.C. porque f no es derivable). Si calculamos el valor de f en los P.C. en los etremos del intervalo: ³ f ³ 3 =,f ³ ³ =,f() =,f =,f 3 =. Pero en sólo ha máimo mínimo locales. Porque, claramente, lim f () = 3 lim f () =3, + valores que no son alcanzados; pero, cuando está cerca del, f () sobrepasa por arriba el valor alcanzado en por abajo el valor alcanzado en. En este intervalo la función no tiene etremos absolutos, por lo tanto el método no pudo pescar peces que no estaban en el estanque. Resulta entonces clara la importancia de saber a-priori si en un intervalo una función alcanza su máimo su mínimo. Y aquí conviene recordar el ejemplo de la columna mercurial. La condición para que la variable dependiente recorra su imagen sin saltear puntos es la continuidad de la función. El resultado que describe esta situación es un teorema debido a Bolzano Weierstrass 3.Su demostración se basa en propiedades de la recta real que nosotros no vamos a estudiar.en este libro, pero mirando los ejemplos, el resultado es convincente: Teorema 3. (de Bolzano Weierstrass) Si f es una función continua e I Dom (f) es un intervalo, entonces f (I) es un intervalo. Si además I es cerrado, entonces f (I) es un intervalo cerrado. Bernard Bolzano (78-848), matemático, lógico, filósofo teólogo checo. 3 Karl Weierstrass (85-897), matemático alemán. 83

16 Capítulo 3. El teorema del valor medio Del teorema de B-W surge claramente que una función continua en un intervalo cerrado alcanza su máimo su mínimo. Vamos a eplicitarlo: Corolario. Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f alcanza su máimo su mínimo en [a, b]. Demostración. Por el teorema, f ([a, b]) = [c, d] para ciertos c d. Como todos los valores f () con [a, b] están en [c, d], resulta, para todo, c f () d. Pero además [c, d] =f ([a, b]) implica la eistencia de dos puntos, [a, b] tales que f ( )=c f ( )=d. Entonces c = f ( )=min ³f [a,b] d = f ( )=ma ³f [a,b] La función continua del ejemplo 3 no alcanza su mínimo porque el intervalo se abre en. La del ejemplo 4 no alcanza ningún etremo a causa de su discontinuidad. La del ejemplo 5, en (, + ) suma los dos males. Estamos hablando de los fracasos del teorema, pero disfrutaremos de sus éitos. Saber que una función alcanza sus valores máimo mínimo es importante. Para funciones continuas en intervalos cerrados funciona el método para pescar etremos. Ejemplos: 7. Le quitamos la discontinuidad al ejemplo 4, simplemente borrando la función sg. Ahora f () = , e investigamos por sus etremos en el intervalo cerrado 3, 3. Como ahora f es continua, sabemos, por el teorema de Bolzano - Weiertrass, que alcanza sumáimosumínimoeneseintervalo. Sólo puede alcanzarlos en los etremos o en puntos críticos. f () =4, de modo que el conjunto de los puntos críticos es PC =,, ª. La evaluación de f en los candidatos da: ³ f ³ 3 =,f ³ ³ =,f() = 3,f =,f 3 = figura 3. No habiendo otros puntos críticos, se conclue que la función alcanza su máimo valor, 3, solamente en el punto = sumínimo,, en los puntos = =, en ningún otro. 84

17 3.. Estudio de funciones 8. Supongamos ahora que queremos investigar etremos absolutos de la misma función f () = en su dominio natural R. Como el dominio es un intervalo abierto, todo etremo absoluto debe ser etremo local. Sólo que ahora, como el intervalo es abierto, no funciona B - W asegurando la eistencia de máimos mínimos. Observamos que lim f () =+. Esto asegura que no puede haber máimos absolutos, a que cualquier valor será superado. La única posibilidad que queda de obtener un etremo es el mínimo. Y debería entonces, por ser necesariamente local, ser el mínimo local hallado en los puntos ±. Sabemos que f () f = en 3, 3. Podrá ser f () < fuera de este intervalo? No. Porque f () > allí. Conclusión: f no tiene máimo absoluto alcanza su mínimo absoluto, que vale, en ±. Ejercicios: 5. Determinar máimos mínimos, locales globales relativos a los intervalos señalados, de las siguientes funciones.. +5 en [, ]. 3 en (, ) en 6, en (, ] en [, ] en [, ] en 3, 3 8. cos en, 3π 9. sin +cos en (, ) 6. Probar, usando el teorema 3, el ejercicio 53 del capítulo que, si f es continua en el intervalo I, entonces, f (I) [, ] f (I). (En la sección 3.4. podrá encontrar este ejercicio resuelto, al igual que el ejercicio 8.) 7. Probar que Rg (sin) = Rg (cos) = [, ]. 8. Probar que si f es una función continua en un intervalo ha dos puntos, tales que f ( ) < f ( ) >, entonces eiste por lo menos un punto ξ (, ) tal que f (ξ) =. (este resultado se conoce habitualmente como Teorema de Bolzano). 9. Si f es continua en un intervalo (a, b) no se anula en ese intervalo, entonces sg (f) es constante. Funciones crecientes decrecientes Retomando el ejemplo de la temperatura ambiente a lo largo de una jornada, con el que comenzamos este capítulo, se señaló allí á importancia de identificar los intervalos de tiempo durante los cuales la temperatura aumenta aquellos en que la misma disminue. Es clara la relación entre ese problema la siguiente definición. Definición 6. f es creciente en el intervalo I si a, b I a < b, implican f (a) f (b). si bajo las mismas suposiciones la conclusión es f (a) <f(b), diremos que f es estrictamente creciente. 85

18 Capítulo 3. El teorema del valor medio En un lenguaje más llano: la función f es creciente si cada vez que aumenta la variable independiente la variable dependiente no disminue. Si el aumento de la v.i. significa también unaumentodelav.d. entonces f es estrictamente creciente. Hacemos notar que sólo definimos (porque sólo nos interesa) función creciente en un intervalo. Análogamente, cuando a<b f (a) f (b), la función es decreciente. Aunque obvio, no es tan fácil escribir la demostración de lo siguiente (ver ejercicio 8): Cuando una función es creciente o decreciente en un intervalo abierto continua en el cerrado, conserva las mismas características en el cerrado. Inclusive si la monotonía 4 es estricta. Cuando digamos "recorrer el gráfico de una función" supondremos que lo estamos haciendo en el sentido natural de la variable independiente: de menor a maor, o sea de izquierda a derecha. Cuando se recorre el gráfico de una función creciente, no se desciende. Si la función es estrictamente creciente, se asciende. Con una estrictamente decreciente, por el contrario, se desciende. En una función creciente, los incrementos considerados para el cálculo de la derivada son del mismo signo: > también <. Por consiguiente, el cociente incremental es siempre no negativo así se conservará su límite, si es que eiste. Teorema 4. Si f es una función creciente en un intervalo, en cada punto de ese intervalo en el que sea derivable será f (). Siencambio f es decreciente, será f (). La idea de relacionar el carácter creciente o decreciente de la función con el signo de la derivada es mu interesante. Es generalmente más fácil mirar el signo de la derivada que verificar la definición de creciente. Pero para que el concepto sea realmente útil, lo que se necesita es un teorema recíproco que, cuando veamos que la derivada es positiva en un intervalo, nos permita asegurar que la función es creciente. Tal teorema vale pero la demostración es más difícil. La dejaremos para otra sección Teorema 5. Sea f una función derivable en un intervalo (a, b). Entonces: f () en (a, b) f creciente en (a, b). f () > en (a, b) f eatrictamente creciente en (a, b). f () en (a, b) f decreciente en (a, b). f () < en (a, b) f estrictamente decreciente en (a, b). Corolario. Si f () =en (a, b) entonces f es constante en ese intervalo. Pensando que la derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente al gráfico en ese punto, las relaciones epresadas en los teoremas 4 5 se compadecen perfectamente con la interpretación geométrica de crecimiento decrecimiento. Todas estas herramientas son aplicables a mejorar nuestros análisis de máimos mínimos. Volviendo sobre la condición f ( )=, que es necesaria para la eistencia de un etremo local en un punto de derivabilidad, no tenemos métodos para saber si en ese punto ha efectivamente un etremo, en caso de haberlo, si se trata de un máimo o de un mínimo. Si se tiene un gráfico de la función, estaremos convencidos de que en el punto de tangente horizontal ha un mínimo si observamos que el gráfico desciende hasta llegar a ese punto luego 4 Se dice que una función es monótona en un intervalo cuando se quiere decir que es creciente o decreciente, sin especificar cuál de las dos. 86

19 3.. Estudio de funciones comienza a ascender. Simétricamente, un máimo está precedido por un ascenso seguido de un descenso gráfico ascendente gráfico descendente gráfico ascendente Punto de máimo Punto de mínimo figura 3. Ha cuatro maneras en que la derivada f puede anularse en el punto. a. Pasando de f () < para < a f () > para >. b. Pasando de f () > para < a f () < para >. c. Tocando el en pero permaneciendo positiva a su alrededor. d. Tocando el en pero permaneciendo negativa a su alrededor. Cada una de estas maneras conduce, según se acaba de eplicar, a cuatro comportamientos distintos para la función f en : a. Mínimo local en. b. Máimo local en. c. Gr (f) ascendente en un intervalo con tangente horizontal en. d. Gr (f) descendente en un intervalo con tangente horizontal en. f '( > ) f '( ) < f a. b. c. d. figura 3. 87

20 Capítulo 3. El teorema del valor medio Ejemplos: 9. f () = 3 3. Buscamos etremos locales absolutos e intervalos de crecimiento - decrecimiento. f () =3 3=3( +)( ). El análisis del signo de f es sencillo: f < en (, ) f > en (, ) en (, + ). Por lo tanto, el cero de f en es del tipo b. mientras que el cero en es del tipo a. La función f decrece en el intervalo (, ) crece en los intervalos (, ) (, + ). En consecuencia, ha un máimo local en unmínimolocalen. No eisten etremos absolutos a que lim f () = lim f () =+. + El análisis del signo de f en los intervalos que separa sus ceros (esto es (, ), (, ) (, + ), podría hacerse usando el ejercicio 9. En cada uno de los tres intervalos el signo es constante, por lo tanto, chequeando el valor de f en un punto cualquiera, se sabe su signo en todo el intervalo. Por ejemplo, f () = 3 f < en (, ).. = 3 es el ejemplo clásico de punto crítico del tipo c. La derivada 3 se anula en el origen conservándose positiva a ambos lados. La función es estrictamente creciente en (, + ). Por qué? Por supuesto, = 3 es el ejemplo de tipo d.. Hemos visto que lim sin =. entonces la función ½ sin f () = si 6= si = cos sin es continua en R. Ademásesderivableen R {} con f () =. Si quisiéramos averiguar la derivabilidad en el origen, deberíamos calcular el límite del cociente incremental, sin h f ( + h) f () h lim =lim sin h h =lim h h h h h h. Hasta que aprendamos a calcular este límite, miremos las gráficas de f f generadas por el ordenador. z 6 π π z figura 3.3 Las gráficas parecen indicar que eiste f () =. Pero, 88

21 3.. Estudio de funciones i. no sabemos resolver la ecuación de los ceros de f : cos sin =, equivalente a tan =. ii. Sí sabemos encontrar los ceros de f : sin = = kπ con k Z {}, sabemos que entre dos ceros el signo de f se mantiene constante (ejercicio 9) iii. Si llamamos... z, z,z =,z,z,... aloscerosde f, en esos puntos f tiene etremos locales. Entre dos de ellos consecutivos tendremos un intervalo de crecimiento o de decrcimiento de f (nuevamente por el ejercicio 9) iv. Sabemos probar que f es creciente en ( π, ) decreciente en (,π), para concluir que en ha un máimo local? sin v. Sabemos probar que < para 6=,porlotanto f tiene un máimo absoluto en? Muchas veces es mejor tener preguntas que respuestas. Ejercicios:. Para cada una de las siguientes funciones determinar los intervalos donde es creciente aquellos donde es decreciente.. f () = 3 +. f () = f () = f () = f () = f() = f () = f () = Usar el comportamiento de la función en intervalos contiguos para determinar si los puntos críticos corresponden a máimos o mínimos locales o ninguno de los dos.. = π. = =sin 4. = 3 3. Para cada una de las funciones siguientes a) Hallar el máimo el mínimo en el intervalo dado. b) Hallar intervalos de crecimiento decrecimiento.. ( ) /3 + ( +)/3 [, 7]. /5 + [, ] 3. Se va a fabricar una caja sin tapa con una base cuadrada una superficie constante C. Determinar los lados de la caja si el volumen ha de ser máimo. 4. Un recipiente en forma de cilindro sin tapa superior ha de tener un área de superficie fija C. Hallar el radio de su base su altura si ha de tener un volumen máimo. 5. Resolver los dos problemas anteriores cuando la caja el recipiente están cerrados por arriba. (El área de un círculo de radio es π sulongitudesdeπ. El volumen de un cilindro de altura cua base tiene radio es π.) 6. Demostrar que entre todos los triángulos de área dada, el triángulo equilátero es el de menor perímetro. 89

22 Capítulo 3. El teorema del valor medio Comparación de funciones Si f () < g() para todo en un intervalo I, diremosque f < g en I. Análogamente se definen el resto de las desigualdades: >,,. Si f (a) g (a) en el etremo izquierdo de un intervalo f no crece más que g, es de esperar que la desigualdad se mantendrá en todo el intervalo. Teorema 6. Si f, g son funciones continuas en [a, b) derivables en (a, b), si además f (a) g (a) f g en (a, b) entonces f g en [a, b). Si f <g en (a, b) entonces f < g en (a, b).análogamente,si f (b) g (b) en el etremo derecho g f en (a, b), entonces f g en (a, b], con la desiguldad estricta en el caso correspondiente. Demostración. Se considera la función g f. De las hipótesis sigue que (g f)() que (g f) = g f en (a, b), luego (g f) es creciente en ese intervalo. por lo tanto también en [a, b). En consecuencia, para todo, (g f)() (g f)(a). Esto es, f () g () para [a, b). La demostración de la desigualdad estricta queda a cargo del lector. Para la comparación en el etremo derecho, aplicar el resultado a probado a f ( ) g ( ) g g a f b a f b figura 3.4 Ejemplos.. Tomar f () =sin g () = en [, + ). Como sin = sin =cos = g (), se deduce que sin para. Como una consecuencia, resulta sin para >. Para < la desigualdad permanece por tratarse de una función par (luego simétrica). Queda con esto zanjada la pregunta v. del ejemplo.: sin tiene un máimo absoluto en =. d sin cos sin 3. Consideremos la función d =, por cuo signo en el intervalo (,π) nos interrogábamos en el ejemplo (iv). Ya que el denominador es positivo, basta considerar f () = cos sin, compararlacontra g () =.f() = f () = cos sin cos = sin < en (,π). Sigue del teorema 6 que f < en (,π), deallíque es decreciente en ese intervalo. sin 9

23 3.. Estudio de funciones Ejercicios. 7. Probar que tan >si <<π/. 8. Probar que t + t para t> (Ver qué pasa a ambos lados de ). Conveidad - concavidad Un ingrediente más será útil para hacer el gráfico aproimado de una función. Suponga que usted viene transitando a lo largo del gráfico de una función, en el sentido natural: según crece la. Salvo que se encuentre en un tramo recto, usted estará en una curva que gira hacia la izquierda o hacia la derecha. Hacia el lado que gira, la carretera va envolviendo una concavidad hacia el otro va dejando una conveidad (si estas palabras no son de su lenguaje corriente, ha un truco para recordarlas: concavidad = con cavidad). Giro hacia la izquierda. Concavidad hacia arriba Sentido de avance Punto de infleión figura 3.5 Giro hacia la derecha. Concavidad hacia abajo. Cuando la curva gira hacia la izquierda, las rectas tangentes en los sucesivos puntos también van girando hacia la izquierda por lo tanto sus pendientes van creciendo. De igual modo, al 9

24 Capítulo 3. El teorema del valor medio girar hacia la derecha las pendientes de las sucesivas tangentes disminuen. Concavidad hacia arriba. < pendiente de la tangente en menor que la pendiente de la tangente en Concavidad hacia abajo. < pendiente de la tangente en maor que la pendiente de la tangente en figura 3.6 Por lo tanto, si la función f de quien la curva es el gráfico es derivable en todo el intervalo, tendremos la siguiente asociación: Concavidad hacia arriba = f Concavidad hacia abajo = f creciente. decreciente. Cuando eiste derivada segunda, el signo de ésta es un dato para determinar el carácter creciente o decreciente de la derivada primera. En este caso, f en (a, b) f cóncava hacia arriba en (a, b). f en (a, b) f cóncava hacia abajo en (a, b). Si f es cóncava hacia arriba hacia abajo en dos intervalos contiguos la derivada segunda eiste es continua en la unión de ambos, ella pasa de positiva a negativa debe anularse en el punto fronterizo. En este punto se dice que la función tiene un punto de infleión. Cuando eiste derivada segunda, ésta se anula en los puntos de infleión. No es cierto, sin embargo, que siempre que se anula la derivada segunda ha un punto de infleión (ver ejemplo ) Ejemplos: 4. Veamos nuevamente la función del ejemplo 8. f () = ³ 4 q 4 ³ +3. q Ya sabemos que f () = Ahora f () = 8 = Usando el teorema de Bolzano testeando los valores de f en un punto de cada intervalo, f ³ ( ) q = f () = ³q 4 > + f () = 8 < = f ³ cóncava q q hacia arriba en, 3 en 3,, f cóncava hacia abajo en 3, 3. En los dos puntos de anulación de la derivada segunda la función cambia el sentido de su concavidad por lo tanto se trata de puntos de infleión 9

25 3.3. El teorema de unicidad 5. Volvamos al ejemplo 6. de la sección 3.. =tan, d = kπ con k entero. Es fácil ver que d ³kπ, d > en kπ + π d = cos, d d = sin cos 3 d ³ d < en kπ π,kπ. = para De modo que, para cada k Z, se distinguen dos intervalos contiguos kπ π,kπ kπ, kπ + π donde f pasa de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba. En los puntos de frontera kπ ha un ounto de infleión. En cambio, en la separación entre dos de estas duplas de intervalo, que son los puntos de la forma kπ + π la tangente es diacontinua con asíntota vertical no se considera que haa punto de infleión. Ejercicios 9. Para las siguientes funciones, estudiar intervalos de concavidad - conveidad, puntos de infleión máimos mínimos locales. Trazar gráficos aproimados Determinar todos los puntos de infleión de sin de cos.. Para la función f () = (a) Demostrar que f tiene eactamente dos puntos de infleión. (b) Trazar la gráfica de f. Deteminar eplícitamente los puntos críticos. Determinar las regiones de conveidad-concavidad.. Considerando los siguientes aspectos: (i) Puntos críticos. Máimos mínimos locales. (ii) Intervalos de crecimiento - decrecimiento. (iii) Puntos de infleión. (iv) Intervalos de conveidad - concavidad. (v) Asíntotas. (vi) Intersecciones con ejes asíntotas. Trazar gráficas de las curvas que se indican a continuación.. = + 3. = + 3. = = = + 6. = = 4 93

26 Capítulo 3. El teorema del valor medio 3.3 El teorema de unicidad Volvemos sobre el corolario del teorema 5. Es claro que si f = g en un intervalo, no es f la única función con esa propiedad. Basta tomar h () =f ()+c con cualquier constante c para que h () =f () =g (). Pero del corolario del teorema 5 se infiere que esa es la única manera de tener dos funciones con la misma derivada: una otra difieren en una constante. Dada una función g definida en un intervalo, no sabemos si eiste alguna f tal que f = g pero si eiste alguna eisten infinitas, difiriendo dos cualesquiera de ellas en una constante. Esto es: Si = F () = G () son dos soluciones de la ecuación diferencial d = f (), a < < b, d entonces eiste una constante C tal que G () =F ()+C, a < < b. En efecto, (G F ) () =G () F () =f () f () = para todo (a, b). Luego, por el corolario del teorema 5, G F es constante en el intervalo. Por lo tanto eiste una constante C tal que G F = C. Estoes,G = F + C. Ejemplos.. Una función constante queda determinada sabiendo su valor en un punto. Por eso en el PVI de la sección.6., del cual sabemos encontrar la solución, podemos aseverar que ésta es única. ½ s PVI (t) =v + at, <t< s () = s (t) continua en [, + ). Si s s son dos soluciones, s s es constante, digamos s s = c. Pero por la continuidad en, lim t + [s (t) s (t)] = s () s () = =. Por otra parte, lim t + [s (t) s (t)] = lim t + c = c. Luego c = s = s.. Consideramos ahora el PVI de la sección.6 le asociamos el problema homogéneo PH: u + ω u = u + ω u = PVI u () = A PH u () = u () = B u () =.- Si u, v son dos soluciones de PVI su diferencia es solución de PH. (verifíquelo).- Pero PH sólo admite la solución trivial u =. En efecto, si multiplicamos la ED por u, obtenemos h u u u +ω u u = + ω u i =. Luego, (u ) + ω u es constante. Para obtener su valor basta calcularla en t =, usando las CI resulta (u ) + ω u =para todo valor de t. Como ambos términos son no negativos, se deduce que deben ser nulos los dos. En particular, u =, por consiguiente, u =. 3.-SeconcluequePVI tiene solución única. (aquella que se encontró en el ejercicio 39 del práctico 4) 94

27 3.4. Las demostraciones Ejercicios. 3. Mostrar que la condición f = en un conjunto S no basta para afirmar que f es constante si S no es un intervalo. 4. Suponer que f es una función diferenciable de t. (a) Si f (t) = 3 para todo t R, Qué pueden decir acerca de f (t)? (b) Y si f (t) = 3 f () =? 5. Supongamos que eisten dos soluciones, f g de la ecuación diferencial d =, R, d que f () 6= para todo. Demostrar que eiste una constante C tal que g = Cf. Hint. Diferenciar el cociente g/f. 6. Una partícula se mueve sobre el eje hacia la derecha a velocidad constante de 7m/seg. Si al instante t =9la partícula está a una distancia de m a la dereche del origen, hallar su posición en función de t. 3.4 Las demostraciones Teorema de Bolzano La primera parte del teorema 3 implica que una función continua toma todos los valores intermedios. Lo eplicitaremos como corolario, para facilitar su referencia. Comúnmente este resultado se menciona como teorema de Bolzano. Corolario (del teorema 3). Si f es continua en el intervalo [a, b], c (f (a),f(b)),eiste ξ (a, b) tal que f (ξ) =c. Demostración. Por el teorema, f ([a, b]) es un intervalo. Además, f (a), f(b) f ([a, b]). Sigue del ejercicio 53 en el capítulo que [f (a),f(b)] f ([a, b]). Luego c f ([a, b]), por lo tanto, eiste ξ [a, b] tal que f (ξ) =c. Además, a 6= ξ 6= b 95

28 Capítulo 3. El teorema del valor medio porque f (ξ) =c f (a) 6= c 6= f (b). Entonces ξ (a, b) f ( a) f c ( b) a ξ ξ ξ 3 b figura 3.7 Ejemplos.. Unalecturaposibledeestecorolarioeslasiguiente:si a, b Dom (f) con f continua, entonces [f (a),f(b)] Rg (f).. Si f es continua en [a, c) lim c f () =+ entonces [f (a), + ) Rg (f). Para probar esta afirmación, bastará ver que, para todo M>f(a), [f (a),m] Rg (f). Pero si f () + es posible encontrar b (a, c) tal que f (b) >M (ver ejercicio 7). Ahora, usando el ejemplo, [f (a),m] [f (a),f(b)] Rg (f). 3. Eistencia de raíces n ésimas. f () = n es continua en [, + ) además,f () =, lim + f () =+. Sigue del ejemplo. que [, + ) Rg (f). Esto es, que para cada número no negativo, eiste tal que n =. Si n es impar es fácil ver que también eisten raíces n-ésimas de números negativos. 4. Si f es continua en [a, b], digamos, f (a) < mientras que f (b) >, el teorema de Bolzano puede ser usado para aproimar una raíz de la ecuación f () =. Se evalúa f a+b : f a+b < = f tiene un cero en a+b f a+b,b > = f tiene un cero en a, a+b En ambos casos hemos encerrado una raíz en un intervalo de longitud mitad que el inicial. Iterando n veces el procedimiento encerraremos una raíz en un intervalo de longitud b a n. El teorema del valor medio Si se considera una curva descripta paramétricamente (ver vector tangente en sección.5): ½ = f (t) = g (t),a t b, 96

29 3.4. Las demostraciones los etremos de la misma tienen coordenadas (f (a),g(a)), (f (b),g(b)). Luego, la pendiente de la cuerda que los une es g (b) g (a) m = f (b) f (a). Por su parte, el vectoe tangente en un punto interior de la curva, (f (t),g(t)), es (f (t),g (t)). En consecuencia, la pendiente de la recta tangente en ese punto será m = g (t) f (t). g ( b) g( a) g '( τ ) f '( τ ) f ( b) f ( a) figura 3.8 Decir ahora que la cuerda es paralela a la tangente en un punto intermedio de la curva es postular la eistencia de un número τ (a, b) para el cual se verifica la igualdad g (b) g (a) f (b) f (a) = g (τ) f (τ). (3) La prueba de este resultado es el objeto de esta sección. Ya que de paralelas entre cuerdas tangentes se trata, comenzaremos con el resultado básico en esa dirección. En realidad, toda la dificultad técnica está en demostrar que ha una tangente paralela a la cuerda en alguna situación simple. Luego los trucos son sencillos. Teorema 7 (Rolle 5 ) Sea f una función continua en [a, b] derivable en (a,b). Supongamos además que la cuerda entre los etremos del gráfico de f es horizontal, esto es, que f (a) =f (b). Entonces eiste un punto interior ξ (a, b) tal que f (ξ) =(O sea que la tangente 5 Michel Rolle (65-76), matemático francés 97

30 Capítulo 3. El teorema del valor medio al gráfico es horizontal) ( a) f ( b) f = tangente Gr(f) cuerda a ξ figura 3.9 b Demostración. Según el corolario del teorema 3 (Bolzano - Weierstrass),.la función f alcanza su máimo su mínimo en el intervalo cerrado [a, b]. Si alguno de los dos es alcanzado en un punto interior entonces la derivada en ese punto debe anularse (teoremas ). Caso contrario, el máimo el mínimo son alcanzados en los etremos del intervalo, pero como f toma el mismo valor en ambos etremos, se deduce que el máimo el mínimo son iguales. Esto sólo es posible si f es constante. Pero en tal caso f () = para todo (a, b) La fórmula 3 es el centro del teorema del valor medio. Pero, para tener sentido, requiere que f (a) 6= f (b). Conunpasajedetérminosseevitaelproblema. Teorema 8. (del valor medio de Cauch 6 ) Sean f g funciones continuas en [a, b] derivables en (a, b). Entonces eiste un punto ξ (a, b) tal que [g (b) g (a)] f (ξ) =[f (b) f (a)] g (ξ) (4) Demostración. Bastará considerar la función Φ () =[g (b) g (a)] f () [f (b) f (a)] g (). verificar que cumple con las hipótesis del teorema de Rolle: Φ (a) = g (b) f (a) g (a) f (a) f (b) g (a)+f (a) g (a) =f (a) g (b) f (b) g (a). Φ (b) = g (b) f (b) g (a) f (b) f (b) g (b)+f (a) g (b) =f (a) g (b) f (b) g (a). Luego, Φ (a) =Φ (b). Obviamente Φ es continua en [a, b] derivable en (a, b). Por lo tanto, para algún punto ξ (a, b), debe ser Φ (ξ) =. Pero Φ (ξ) = [g (b) g (a)] f (ξ) [f (b) f (a)] g (ξ) = (4) Para obtener (3) a partir de (4) es necesario que no se anulen los denominadores. Para ello se debe agregar una hipótesis: Corolario. Con las hipótesis del teorema, si además f no se anula en (a, b), entonces eiste un punto τ (a, b) para el cual se verifica (3). Demostración. Sólo se debe verificar que tampoco se anula f (b) f (a). Pero si esto ocurriera, por el teorema de Rolle habría un punto donde se anula la derivada, cosa que estamos suponiendo que no ocurre. 6 Augustin Louis Cauch ( ), matemático francés. 98

31 3.4. Las demostraciones Tomando f () =, la curva se convierte en (, g ()), que es el gráfico de la función g. En ese caso, el teorema toma una forma más sencilla también la interpretación geométrca. f ( b) f ( a) a ξ figura 3. b Corolario. (Lagrange 7 )Si g es continua en [a, b] derivable en (a, b), entonces eiste un punto ξ (a, b) tal que g (b) g (a) b a = g (ξ). El teorema del valor medio de Lagrange es la herramienta que necesitamos para completar la demostración del teorema 4. Demostración del teorema 4. Bajo la hipótesis de que f en (a, b) debemos demostrar que f es creciente en ese intervalo. Sean a< < <b. Debemos probar que f ( ) f ( ). Como f es derivable en (a, b), verifica las hipótesis del teorema de Lagrange en [, ]. Luego, f ( ) f ( ) = f (ξ) para algún ξ (, ). Como >, debeser f ( ) f ( ). Si f fuera estrictamente positiva en el intervalo, sería f (ξ) >. Entonces la conclusión sería f ( ) f ( ) >, de donde sigue que f es estrictamente creciente. La prueba de los casos f,f < es totalmente análoga Funciones conveas Retomamos el tema concavidad - conveidad de la sección 3.. Por razones que no viene al caso profundizar, en el lenguaje matemático se llama conveas a las funciones cóncavas hacia arriba. Este concepto no requiere derivabilidad, por ejemplo la función es convea. Pero a nosotros sólo nos interesa estudiar la conveidad en relación con las propiedades de la derivada. Por eso adoptaremos una definición en este conteto. Recordamos de la sección.3. (fórmula (3)) que la recta tangente al gráfico de la función f en el punto es el gráfico del polinomio de grado Naturalmente, ( )=f ( ). 7 Joseph-Louis Lagrange (736-83), matemático francés. () =f ( )+f ( )( ). (5) 99