AYUDAS GRAFICAS CARTA DE SMITH Y APLICACIONES

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1 7 CAPITULO 4 AYUDAS GRAFICAS CARTA DE SMITH Y APLICACIONES Existe vaios métodos de ayudas gáficas paa el diseño, acople y solució de poblemas e líeas de tasmisió, que ha ido evolucioado co el tiempo. Keell e 94, publicó ua cata que coteía los valoes de fucioes hipebólicas y tigoométicas e el ago de la vaiable compleja o del Nepe- Radia, la cual es aú usada paa bajas fecuecias. Si embago, paa pequeñas logitudes de oda y bajas pédidas so complicadas de usa, po lo cual se ecuió a otas ayudas gáficas como la cata de Smith diseñada e 940 po Philips Smith. La cata de Smith se dibuja sobe el plao de coodeadas polaes lieales del coeficiete de eflexió tesió e jθ o sobe las coodeadas ectagulaes de la pate eal e imagiaia de. E las catas comeciales se puede ecota difeetes escalas paa detemia los paámetos ivolucados e el aálisis de líeas de tasmisió, ve figua 4.. E la misma se puede ecota: - Ua escala cicula e gados que idica la fase del coeficiete de eflexió θ. - Ua escala cicula e logitudes de oda (λ), idicado los valoes de la misma, e setido hacia el geeado o hacia la caga. - Dos escalas lieales, situadas e la pate ifeio deecha, que idica la magitud del coeficiete de eflexió de voltaje o de potecia ( v ο p ).y pédidas e db po etoo y eflexió.

2 73 - Dos escalas situadas e el la pate ifeio deecha, que idica pédidas po ateuació de la líea (α) lieal y e db, e setido hacia la caga o hacia e geeado y ROE lieal y e db. Figua 4.. Cata de Smith.

3 Ecuacioes paa costui la cata de Smith. La cata está costuida sobe el ciculo del coeficiete de eflexió, paa el aálisis se cosideaá u impedacia cualquiea, epesetada como Z R j X (4.) E la cata de Smith la impedacia está omalizada a la impedacia caacteística Zo. Z Zo jx (4.) Peo además se tiee Z V I γz γz V e V e γz ( V e V e Zo γz ) V e Zo V e V e ( V e γz γz γz γz ) (4.3) Sustituyedo po la expesió del coeficiete de eflexió dada e el capítulo 3 po 3.59, se tiee Z Zo (4.4) Y de 4., se tiee además jx (4.5) Peo debido a que el coeficiete de eflexió es u úmeo complejo, dado po j (4.6) La expesió 4.5 se puede escibi como

4 75 Maipulado la expesió del lado deecho de la igualdad, se puede sepaa sus pates eal e imagiaia y compaalas co y x, y así foma la familia de cicufeecias que compoe la cata de Smith. Multiplicado po la cojugada Opeado, se tiee Desaollado la ecuació 4.8, la cual coespode a la familia de cículos de Agupado témios de 4.0 Completado cuadados y opeado: j j jx * j j j j j j x y ( ) ( ) 0 (4.7) (4.8) (4.9) (4.0) (4.) (4.) (4.3)

5 76 La ecuació 4.3 coespode a la familia de cicufeecias que foma los cículos eales de la cata de Smith. co ceto C :,0 y adio R La tabla 4. muesta los valoes de cada paámeto de la ecuació 4.3 paa costui la familia de cicufeecias de. E al figua 4. apaece las cicufeecias de. j Radio Ceto (0,0) /3 0 ½ /3 (/3,0) ½ 0 ½ (/,0) - / /3 0 /3 (/3,0) 0 0 (,0) Tabla 4. Valoes paa costui los cículos Figua 4. Cículos Aálogamete se pocede paa x, obteiédose la siguiete ecuació ( ) x x (4.4) La ecuació 4.4 coespode a la familia de cicufeecias que foma los cículos imagiaios x de la cata de Smith. co ceto C :, x y adio R x

6 77 La tabla 4. muesta los valoes de cada paámeto de la ecuació 4.4 paa costui la familia de cicufeecias de x. E al figua 4.3 apaece las cicufeecias de x. j X x Radio Ceto 0 0 (,0) ±/ ± ±/ (,/) ± ± ± (,) ± ±/ ± (,) X - / X- 0 (, ) X- Tabla 4. Valoes paa costui los cículos x Figua 4.3 Cículos x La cata de Smith se foma co la itesecció de todas estas familias de cicufeecias eceadas e el cículo de. La cata completa fue mostada e la figua 4.. Oto paámeto que puede se detemiado a tavés de la cata de Smith, es la elació de oda estacioaia ROE, la cual está defiida como ROE Vmax Vmi Debido a esta elació podemos taza e al cata cículos cocéticos co ceto (,0), los cuales seá tagetes a los cículos de, y justamete estos

7 78 putos de tagecia coespodeá a valoes de ROE. Gáficamete e la figua 4.4, se obseva esta elació. Ciculo de ROE Vmax Ciculo de ROE 0 ROE Vmi - Figua 4.4 Relació ete los cículos de ROE y los cículos de. Ejemplo 4.. Ua líea de tasmisió de 50 Ω está temiada e ua impedacia de caga de 30 j 40Ω. Calcula el coeficiete de eflexió e la caga, ROE y la impedacia de etada a 0.5λ de la caga, empleado la cata de Smith. SOLUUCION: El pime paso a ealiza es la ubicació de la impedacia de caga e la cata. Comose sabe los valoes sobe la cata de Smith está omalizados co especto a la impedacia de la líea, po lo tato; cualquie valo de impedacia que se desee ubica e ella debe se dividido po Zo- De esta maea Z Zo j j0.8 E la figua 4.. se muesta la ubicació de la caga, deotada po el puto A.

8 79 A Figua 4.. Ubicació del puto A paa el poblema 4.. Paa detemia el coeficiete de eflexió, se taza u adio vecto desde el ceto de la cata hasta cota co la cicufeecia más itea, cuya escala está e gados, pasado po el puto A; aquí se deota el puto B, el cual coespode a la fase del coeficiete de eflexió.

9 80 Posteiomete paa halla la magitud del mismo, se toma la distacia desde el ceto de la cata hasta el puto A, ubicado la misma e la escala ifeio deecha, la cual coespode a la magitud del coeficiete de eflexió, de izquieda a deecha (puto C). La figua 4.., ilusta la magitud y fase del coeficiete de eflexió co los putos B y C. B A C Figua 4.. Ubicació de los putos B y C paa el poblema 4..

10 8 El valo del coeficiete de eflexió es; Paa detemia el ROE, se toma la distacia desde el ceto de la cicufeecia hasta el puto A y se taza ua cicufeecia, co ceto e el ceto de la cata, luego el puto de tagecia ete esta cicufeecia y los cículos de, coespodeá al valo de ROE (puto D) B A D C C Figua 4..3 Ubicació del puto D paa el poblema 4..

11 8 El valo del ROE es; ROE 3 Paa detemia la impedacia de etada a 0.5λ de la caga, se avaza desde el puto B hacia el geeado, e la escala de las logitudes de oda (escala cicula más extea) la catidad de 0.5λ, y sobe el cículo de ROE costate estaá ubicada la impedacia de etada (puto e la figua 4..4). Esta impedacia coespode a; Z et 30 j45 Ω Z et.6 j0.9 B Ω, el cual deomalizado es; A D C C Figua 4..4 Ubicació del puto D paa el poblema 4..

12 Acopladoes de Impedacia. Paa esolve el poblema de eflexió y elimia la oda estacioaia e las líeas de tasmisió, se emplea elemetos coectados e putos adecuados de la líea llamados acopladoes. Aquí se descibiá los acopladoes e seie y e paalelo Acopladoes e seie: Los acopladoes e seie coespode a ua secció de líea de tasmisió colocada ete la líea y la caga, co ua impedacia caacteística Zo, a ua distacia tal, que elimie la oda eflejada, como se muesta e la figua 45. Zo Vg Z(z) Zl Figua 4.5. Acoplado e seie co λ/4. Paa cooce el valo de la impedacia, se sustituye la logitud de la secció e la ecuació geeal de impedacia Z(z), asumiedo que la líea o tiee pédidas. de 3.89; Zl Z( z) Zo Zo jzotaβd, jzltaβd λ d 4 co lo cual πλ λ β d. π 4 4 π Zl jzota Z( z) Zo π Zo jzlta

13 84 Peo ZoZo, y coespode a la impedacia caacteística del tamo acoplado λ/4. Luego: Zo Zo Ta π Z( z) Zo Z( z) Zo Zl Zl Zo Z( z). Z l (4.6) Dode: Z L : es la impedacia de caga Z O : es la impedacia caacteística del tamo λ/4. Z(z): impedacia de etada al acoplado OBS: la ecuació ateio es válida paa cualquie temiació, peo se aplica geealmete paa Z L eales po la dificultad de costui líeas de tasmisió co impedacias caacteísticas complejas. Ejemplo 4.. Se tiee ua líea de tasmisió co ua impedacia caacteística de 50Ω temiada e ua caga esistiva pua de 00Ω. Diseñe u acoplado de λ/4 paa elimia la oda estacioaia. SOLUCIÓN: Zo V 50Ω 00Ω Luego: Zo Z( z). Zl , Ω

14 85 Ejemplo 4.3. Se tiee ua atea cuya impedacia es Z 50 - j75 Ω. Alimetada po ua líea de tasmisió de 50 Ω. Si el valo de ROE supea los límites pácticos coocidos po usted, detemia las caacteísticas de u acoplado e seie paa elimia el poblema de eflexió. Idique tambié la distacia, desde la caga, más apopiada paa colocalo. Paa el cálculo aalítico emplea los esultados obteidos e el poblema popuesto 3.5 del capítulo 3, e los cuales se obtiee que ROE ZO R mí y ROE R máx Z O SOLUCION: Este poblema puede se esuelto aalíticamete o po medio de la cata de Smith. Paa efectos didácticos se haá de las dos maeas. Aalíticamete: Pimeo se calculaá el ROE, paa sabe si supea el valo míimo coocido e la páctica, el cual coespode a.. De 3.64, se puede obtee ua expesió del coeficiete de eflexió, paa posteiomete co su magitud, calcula el valo de ROE, a tavés de 3.75, así; L Z Z L L Z Z O O j75 50 j j75 00 j75 L Luego; ( ) ROE ( ) Debido a que ROE supea a., se debe calcula el tamo acoplado que elimiaá la eflexió.

15 86 Ua de las caacteísticas del tamo acoplado λ/4, es que iviete totalmete el valo de la eegía de la etada o la salida, es deci; si e la etada hay u máximo, e la saluda existiá u míimo y vicevesa. Apovechado esta caacteística se coectaá el tamo ete u máximo y u míimo de tesió, haciedo que la salida coicida co el míimo de tesió más póximo a la caga, como se puede ve e la figua d V Ζο50Ω 00Ω Z L Vmáx Vmí Figua Ejemplo 4.3. paa acoplado λ/4. Luego, se debe calcula la distacia (d) a la cual se colocaá el acoplado, y la impedacia caacteística del tamo λ/4. De acuedo a 4.6, la impedacia del tamo acoplado seá Zo l Zet( z). Z ' La impedacia de etada coespode a Zo50 Ω y la impedacia de caga Z L, se debe calcula asumiedo que e la salida del tamo existe u míimo de tesió. Luego; ZO Z 50 ROE O R mí 3.9 Ω R mí ROE 3.76 Po lo tato; Zo Ω Zo' 6 Ω Paa cooce la posició del tamo, se debe ubica el míimo de tesió, esto es; busca el puto el vecto de la tesió icidete y el vecto eflejado fome 80. Luego ,

16 87 lo cual coespode a la logitud que debe ecoe los dos vectoes, de esta maea cada vecto ecoeá 80.9 lo que es equivalete e logitudes de oda a d λ β π λ 4 d 0. 4 λ Solució empleado la cata de Smith: Pimeo se omaliza la impedacia de caga. Z Z Zo j j.5 Ω Ubicado esta impedacia e la cata de Smith,(puto A), e la figua 4.3. y tazado la cicufeecia co ceto (0,) y co adio OA, se lee ROE e el puto B. ROE 3.8 Luego avazado desde el puto A hacia los Vmí, e diecció hacia el geeado y sobe la escala de las logitudes de oda, se puede obtee la distacia, e logitudes de oda, dode seá colocado el acoplado. Esta distacia, ubicada e la figua 4.3.3, es d 0. 7 λ Paa obtee el valo de la impedacia Z L, se lee, sobe el cículo de ROE costate el valo coespodiete de Rmí, el cual coespode al puto de tagecia ete este cículo y los cículos de (puto C). Este valo es: R mí 0.6 Ω Desomalizado este valo; R mí 3 Ω Lo cual da u valo de Zo ; Zo' 5.49 Ω 6 Ω

17 88 C B Figua 4.3. Ubicació del puto A y B paa el poblema 4..

18 Acopladoes e paalelo (stub): Los acopladoes e paalelo coespode a ua secció de líea de tasmisió colocada e u puto de la líea de tasmisió picipal e paalelo, co ua impedacia caacteística Zo, ua logitud y ua distacia tal, que elimie la oda eflejada. Estos tamos se coloca co temiacioes e coto cicuito o cicuito abieto. La figua 4.6 ilusta lo ateio: p Z l TERMINACION EN CORTOCIRCUITO O EN CIRCUITO ABIERTO Y P YojB (si stub) Y P YYsYo (co stub) Figua Acoplado e paalelo simple o Stub simple. Como se va a coecta e paalelo es mejo tabaja co admitacias. De acuedo a la ecuació de impedacia e cualquie puto de la líea y paa α0, se tiee: Zl jzotaβd Z( z) Zo Zo jzltaβd Si Z L coespode a u cotocicuito Z L 0, Zcc( z) jzotaβd Paa d<λ/

19 90 Luego: Ycc( z) jyocot βd (4.7) Peo si Z l coespode a u cicuito abieto Z l, Zca( z) j cot βd Zo Paa d<λ/ Yca( z) jyotaβd (4.8) Este valo es puamete imagiaio, lo que idica que la admitacia de etada de las líeas de acople e paalelo o Stubs so suceptacias puas paa logitudes meoes a λ/4. Paa logitudes ete λ/4 y λ/ estas suceptacias se coviete e el ecípoco, es deci; Ycc( z) jyotaβd (4.9) Paa λ/ <d<λ/4 Yca( z) jyocot βd (4.0) De esta maea, si se localiza el puto Y Go ± jb, al cual se le coecta la admitacia Ys -jb o la Ys jb, segú sea el caso, la admitacia total seá: Y T YsYYo (4.) Lo que idica que la líea esta acoplada e ese puto.

20 9 Ejemplo 4.3. Paa el poblema 4., diseña u acoplado e paalelo (stub) simple, que elimie el poblema de eflexió e el sistema. SOLUCION: Empleado la cata de Smith, lo que desea es calcula el puto dode seá colocado el tamo acoplado y la logitud del mismo (ve figua 4.3.). p Z l TERMINACION EN CORTOCIRCUITO O EN CIRCUITO ABIERTO Figua Acoplado e paalelo (Stub) simple del ejemplo 4.3. Pimeo se omaliza la impedacia de caga. Z Z Zo j j.5 Ω Ubicado esta impedacia e la cata de Smith (puto A), e la figua 4.3. y tazado la cicufeecia co ceto (0,) y co adio OA, se lee ROE e el puto B. ROE 3.8 Como el acoplado es paalelo, es más páctico tabaja co admitacias. De esta maea, diametalmete opuesto al puto A (giado 80 ) so be el cículo de ROE costate, se ecueta Y, el cual se ubica e el puto C. Y 0.6 j0.3 mhos Luego se pocede a ubica el puto Y p, el cual debe cumpli co la caacteística

21 9 Y ± jb p Paa ecota este puto, se avaza desde el puto C sobe el cículo de ROE costate, e diecció hacia el geeado, hasta el cículo g, luego la distacia avazada coespodeá a d, es deci; al puto dode seá colocado el tamo acoplado. Obseve que existe dos putos de cote, lo cual idica la pesecia de dos solucioes posibles de colocació del tamo. E la figua 4.3.3, se obseva este puto deomiado D y D. C Vm A B Vm Figua Ubicació de los putos A, B y C, paa el poblema 4.3. Figua Ubicació de los putos A, B y C, paa el poblema 4.3.

22 93 d D Vm C B Vm A d D Figua Ubicació de los putos D y D, paa el poblema 4.3. Estas distacias coespode a: d λ d λ Luego las coodeadas del puto Y p, coespode a : Yp j.5 Y p j. 5 Lo ateio idica que los valoes de Ys, que elimiaá las suceptacias, coespode a:

23 94 Y s j.5 Y s j. 5 Ua vez ecotadas las distacias posibles de colocació del tamo y los valoes de Ys, se pocede a calcula la logitud del stub. Paa ello es ecesaio sabe si la temiació seá e cotocicuito o e cicuito abieto. Paa efectos didácticos, e este ejemplo, se ealizaá paa los dos casos: - Tamo temiado e cotocicuito: e este caso se avaza desde el puto de las Ycc (lado deecho de la cata), y e setido hacia el geeado, tatas logitudes de oda sea ecesaias hasta llega al puto E ó E. Las distacias l y l, se muesta e la figua d D C V A B Vm D d Figua Ubicació de los putos D y D, paa el poblema 4.3.

24 95 Estos valoes coespode a: l λ l λ - Tamo temiado e cicuito abieto: e este caso se avaza desde el puto de las Yca (lado izquiedo de la cata), y e setido hacia el geeado, tatas logitudes de oda sea ecesaias hasta llega al puto D ó D. Las distacias l y l, se muesta e la figua Estos valoes coespode a: l ' λ l ' λ d Desde Ycc l E D C Vm Yca A B Vm Ycc D d E Desde Ycc l Figua Ubicació de los putos D y D y las distacias l y l, paa el poblema 4.3.

25 96 - Tamo temiado e cicuito abieto: e este caso se avaza desde el puto de las Yca (lado izquiedo de la cata), y e setido hacia el geeado, tatas logitudes de oda sea ecesaias hasta llega al puto E ó E. Estos valoes coespode a: l ' λ l ' 0.57 λ

26 97 PROBLEMAS PROPUESTOS 4..- La azó de oda estacioaia de ua líea de tasmisió si pédidas de 300 Ω, temiada e ua impedacia de caga descoocida es, y el míimo de voltaje más cecao está a ua distacia de 0.3λ de la caga. Detemie: a.- El coeficiete de eflexió de la caga. b.- La impedacia de caga descoocida. c.- La impedacia de etada a 0.45λ de la caga Utiliza la cata de Smith paa coveti las siguietes impedacias e admitacias: a.- Z l 0 j 50 Ω b.- Z l 00 - j75 Ω c.- Z l 30 j 0 Ω La impedacia caacteística de ua líea de tasmisió si pédidas es 75 Ω. Halla la impedacia de etada de esta líea a 00 MHz, si tiee: a.- m de logitud y está temiada e cicuito abieto. b m de logitud y está temiada e cotocicuito. c.- Detemie las admitacias de etada de a y b Paa ua sistema de tasmisió cuya impedacia caacteística es 50 Ω e impedacia de caga igual a 80 j 0 Ω, Detemia: a.- Coeficiete de eflexió e la caga y el ROE. b.- El pime máximo y el pime míimo de voltaje. c.- La impedacia de etada a 0.5λ de la caga. d.- Si la caga se sustituye po u valo descoocido, detemia el mismo si se cooce el valo de u voltaje míimo a 0.35λ de la caga Se tiee ua caga esistiva pua de 75 Ω, que debe alimetase po medio de ua líea de tasmisió de 50 Ω. Paa elimia la oda estacioaia poducida po el desacople de impedacias, diseñe u acoplado e seie de logitud λ/4..

27 Se desea acopla ua líea cuya Zo50Ω, co ua Z l 50j50 Ω po medio de ua tamo de u cuato de logitud de oda. Idica las caacteísticas del tamo a coloca paa elimia la eflexió poducida, si la fecuecia de opeació es 00KHz Ua líea de tasmisió si pédidas tiee ua impedacia de caga descoocida y ua impedacia Zo75Ω. Si embago se sabe que la misma poduce u coeficiete de eflexió 0.5 j0.. Detemie los paámetos de la secció acopladoa e seie, de u cuato de logitud de oda, que se debe coloca paa elimia la eflexió Se tiee ua líea de tasmisió co ua impedacia caacteística Zo50Ω, la cual debe alimeta a u aeglo de dos ateas, cuyas impedacias se muesta e la figua: Zo Zo 75Ω Z l 30j40 Ω Z l 50j00 Ω Zo 75Ω Figua Figua poblema 8. Idica las especificacioes de u acoplado λ/4 que elimie la eflexió E las medicioes efectuadas e ua líea de tasmisió si pédidas de 50Ω, idica que los míimos cosecutivos de voltaje está sepaados 6 cm.. Se desea adapta la impedacia de caga Z L 75 j00 Ω de la líea co u bazo e cotocicuito. Detemia:

28 99 a.- La posició del bazo más póxima a la caga. b.- La meo logitud equeida del bazo c.- La azó de oda estacioaia e la líea, ete el bazo y la caga. d.- La azó de oda estacioaia e la líea, ete el bazo y la fuete Tambié se puede adapta ua impedacia de caga a ua líea de tasmisió usado u bazo colocado e seie co la caga e la posició adecuada, cuya logitud o sea ecesaiamete u cuato de logitud de oda. Supoga que Z L 5 j5 Ω, Zo 50 Ω, Zo 35 Ω. Calcule d y l, paa la adaptació, segú a figua adjuta. l Zo d Zo Z L Figua Figua poblema 0.