INTERPOLACIÓN DE LA SUPERFICIE DE VOLATILIDADES

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1 ITERPOLACIÓ DE LA SUPERFICIE DE VOLATILIDADES Hemos menono en nuesros oumenos que l voll mplí es un me ulz pr omprr opones on erenes srkes y venmenos. De heho en vros meros ls opones se ozn en voll mplí y luego se euen sus preos usno l órmul e Blk Sholes (BS). Se puee sumr que l voll mplí es un unón el plzo l venmeno y el srke e un opón. A es relón se le onoe omo supere e volles. Reoremos que el moelo e BS supone que el vo suyene sgue un movmeno rownno geoméro el po S( ) S( ) S( ) W( ) Aá poemos oservr que l voll es un onsne. Es er, que nepenenemene el srke o el plzo l venmeno, un opón eerí ener l msm voll. Es suón er omún nes el rsh e 987. S uno oserv ls superes e volles e erenes vos se uen que ern relvmene plns. Sn emrgo, espués e l í e e ls olss e proxmmene el 0% el í lunes 9 e Oure e 987, l supere e volles omenzó mosrr un ompormeno erene. Ls PUTs on srkes jos y e venmenos oros omenzron ener volles mplís muho más ls que ls e ls emás opones. Ess suones se lusrn en l Fgur. Fgur Fuene: Dermn, E. Lugher n he rk: The prolem o he volly smle. 003 L supere e volles es un orm e orregr lgunos prolems relonos on el moelo e BS. Pr esrrlo en érmnos smples: Es l orm e ngresr unos vlores en un órmul que es norre, pr oener preos e opones orreos. S semos que el mero puee er un í el 0%, neesrmene ls PUTs on srkes jos een vler más e lo que el moelo e BS sugere.

2 Ahor en, uno een vler? Un orm e esmrlo es suponer que el vo suyene sgue un proeso esoáso más preo l rel que el smple movmeno rownno geoméro. S por ejemplo se ene un moelo on slos o voll esoás se porí oener un proxmón eór e ho preo. Un orm e oener el preo provenene e un moelo más soso, onservno el moelo e BS, es mno l voll mplí. Eso es lo que en l prá he el mero y por eso surge l supere e volles. Pr onoer on myor elle los esánres el mero e opones y ls superes e volles le reomenmos omr nuesro urso OPCIOES ITERMEDIO. En ese oumeno nos onenrremos en explr ómo se puee nerpolr l supere e volles. En los meros e opones se negon nsrumenos on erenes srkes y venmenos. Ess opones enen volles mplís oservles. Sn emrgo ess volles sólo represenn un onjuno sreo e punos. Como oener enones el vlor e un opón que no esá en ese onjuno e punos? Ese es un prolem omún en los meros e opones. Por ejemplo s lguen esá mnsrno un lro e opones OTC v ener muhs on erenes srkes y venmenos. Ess opones no se ozn onsnemene en el mero y por onsguene no poemos oservr sus preos explímene. Vemos un ejemplo e es suón en l Fgur. Allí vemos ls ozones en voll mplí e erenes opones sore el EURUSD. En ls olumns ATM vemos el BID y el ASK e los Srles ATM pr erenes plzos. Allí vemos que hy plzos ese í hs 5 ños. Como hrímos pr vlorr un opón que ene un plzo l venmeno e.5 meses? Como poemos oservr, exsen ozones pr el plzo e mes y el plzo e meses. Sn emrgo no exse nngun pr el plzo e.5 meses. Un lernv que enemos es usr lgun én e nerpolón y oener ese vlor prr e ls volles mplís e opones ATM e y meses. Fgur Fuene: Bloomerg

3 o sempre enonrmos explímene ls volles mplís. Por ejemplo en los meros e opones sore ones el esánr es operr en prms y luego prr e ess prms se oenen ls volles mplís. En l Fgur 3 se muesrn prms pr erenes srkes e opones sore Apple (APPL). Pr onoer omo lulr l voll mplí puee onsulr nuesros oumenos en l seón e HERRAMIETAS. Fgur 3 Fuene: MonserTrng Allí por ejemplo enemos que ls Clls e venmeno 8 e Mrzo e 03 y srke 460 ozn US$ 0.05/0.0. Como y hemos menono, es posle oener l voll mplí prr e un e ls erenes prms y luego generr un proemeno e nerpolón e ess volles mplís. Aá sn emrgo hy que ener uo uno se r e opones merns y que el proemeno pr oener l voll mplí es un poo erene.

4 Vemos hor un ejemplo e ómo nerpolr. Trjemos on los os e l Fgur, es er ls volles mplís pr ls opones EURUSD. Allí vemos que pr un plzo espeío exsen 5 ozones e voll pr erenes opones. Se enen ozones pr CALLs y PUTs e 5% y 0% el, es er opones OTM, y ozones pr Srles ATM. El el e opones on ese srke es muy erno l 50%. Por eeos e smpl vmos sumr que es exmene gul l 50%. Por l pr PUT/CALL os opones europes on el msmo srke een ozr on l msm voll y por ello un opón CALL e 5% el es equvlene un opón PUT e 75% e el. De es orm pr plzo enemos enones 5 els erenes on 5 volles sos. Vemos por ejemplo el plzo e 6 meses. Allí enemos ozones BID/ASK pr los erenes els. S ommos ls volles en MID mrke oenemos los resulos e l Fgur 4. Fgur 4 Volles T = 6 meses Del_ Vol_ D. 0 v. 0.7% D. 5 v. 9.54% 3 D.3 50 v % 4 D.4 75 v.4 8.5% 5 D.5 90 v % Fuene: Bloomerg y álulos propos

5 Voll Voll Con esos os poemos usr lgún méoo e nerpolón pr oener l voll e un el que no onozmos. L nerpolón lnel es un méoo senllo que ulz l euón e un re pr hllr un vlor que no onoemos. S enemos os punos (x 0,y 0 ) y (x,y ) poemos oener el vlor el puno (x,y) usno l euón y = y 0 + m(x-x 0 ) one m es l penene e l re m = (y -y 0 )/(x - x 0 ). L nerpolón usno splnes úos nurles he uso e polnomos e gro 3. Es nerpolón se expl on elle en el Anexo. Igulmene se jun un rhvo en Exel on ejemplos e esos méoos e nerpolón pr que usees los puen replr. Aonlmene se muesr un ejemplo on un nerpolón ú enomn Brole. Ese es un méoo reomeno, sore oo uno se vn her nálss e resgos perurno los noos e l urv. L rzón es que es nerpolón onserv prlmene l lol y onserv el rngo, menrs que los splnes úos nurles no lo hen. Eso lo explmos on un myor nvel e elle en nuesro urso TASAS DE ITERÉS ITERMEDIO. En l Fgur 5 poemos oservr l nerpolón e ls volles 6 meses usno nerpolón lnel e nerpolón ú. Vemos que l nerpolón ú gener un urv muho más suvz que l nerpolón lnel. Fgur 5.00%.50%.00% Volly Smle - Inerpolón Lnel 0.50% 0.00% 9.50% 9.00% 8.50% 8.00% 7.50% 7.00% Del.00%.50%.00% Volly Smle - Splnes Cúos urles 0.50% 0.00% 9.50% 9.00% 8.50% 8.00% 7.50% 7.00% Del

6 Esos os méoos son los más ulzos pr l nerpolón en l mensón e los srkes o els. Pr nerpolr en l mensón el empo se reomen ulzr un nerpolón en l vrnz ol. S enemos l voll nsnáne el proeso esoáso η l vrnz umul hs T vene por l negrl: En ese so ς represen l voll mplí. De llí que llmemos V(T) l vrnz ol l ul poemos nerpolr pr luego oener l voll mplí. El proemeno es el sguene: En l Fgur 6 poemos oservr ls volles mplís pr opones ATM oos los plzos. Fgur 6 Fuene: Bloomerg

7 Voll En l Fgur 7 vemos ls volles usno l nerpolón lnel e l vrnz ol. En el rhvo e EXCEL juno se muesrn los álulos. Fgur 7.00%.50% Volly Term Sruure- Lnel en l Vrnz Tol.00% 0.50% 0.00% 9.50% 9.00% 8.50% 8.00% 7.50% 7.00% Dís Por úlmo lusrmos el proemeno pr nerpolr un opón uyo srke y plzo l venmeno no esén enro e lguno e los plres. En ese so enemos que relzr un nerpolón en mensones. Supongmos que queremos usr l voll mplí pr un opón sore el EURUSD on plzo l venmeno 9 meses (T= 0.75) y srke.38. Vemos que los plzos más ernos pr los que exsen ozones sore opones son 6 meses y meses. Lo prmero que eemos her es nerpolr en l mensón el empo. De es orm vmos oener pr el plzo e 9 meses, volles pr los plres e 0, 5, 50, 75 y 90 el. Eso lo poemos oservr en l Fgur 8. Por ejemplo enemos que pr los 6 meses ATM l voll es el 8.58% menrs pr los meses es el 9.08%. Un nerpolón lnel en l vrnz ol nos un voll ATM l plzo e 9 meses e 8.9%. De l msm orm oenemos ls volles pr los oros plres e el. El sguene pso es her un nerpolón en el smle. En el rhvo e EXCEL vemos omo plmos es nerpolón. En ese so usmos los splnes Broley. En ese ejemplo neesmos hllr l voll pr el srke Vemos que ese plzo l voll esrí enre un 50 y un 5 el CALL (o 75 el PUT). Lo que hemos es lulr el el e l opón usno l órmul e BS y l voll so l el el 50%. Luego usno l nerpolón en l mensón el el usmos l voll que esrí so ese el. Es serí nuesr prmer esmón e l voll e ese srke. El proemeno lo repemos hs que l vrón en l voll espués e err se menor un nvel e olern eermno. Eso se puee oservr en l Fgur 9.

8 Fgur 8 Volles T = 6 meses SPOT.3300 Ts In 0.5% Del srke_ p_ v_ 0. K..8 p v. 0.7% 0.5 K..76 p v. 9.54% 3 ATM K p v % K p v.4 8.5% 5 0. K v % Volles T = ño SPOT.3300 Ts In 0.40% Del srke_ p_ v_ 0. K..578 p v..60% 0.5 K..56 p v. 0.4% 3 ATM K p v % K p v % 5 0. K v.5 8.8% EXAMPLE T=0.75, K =.3800 SPOT.3300 Ts In 0.30% Volles T = 9 meses Del CALL Del OTM srke_ p_ v_ 0 0. K..85 p.0 5 v.0.3% K..66 p.5 5 v % 50 ATM K p.50 5 v % K p.75 5 v % K v % Fgur 9 Inerpolón Pso T= 0.75 K=.3800 Del % Inerpolón Pso T= 0.75 K=.3800 Del % D Vol 0.009%

9 Es mporne nor que ese proemeno e nerpolón no segur que l supere e volles esé lre e rrje. En el ejemplo on el que rjmos, l ener sólo 5 noos en l mensón el el y l esr esos ozos remene omo volles mplís, es poo prole que exsn hs posles e rrje. Sn emrgo uno se rjn on opones sore ones, en los ules pr un plzo espeío exsen muhs ozones pr erenes srkes, es muho más prole que ourr es suón. Pr evr que l supere eng posles e rrje se een mponer ers resrones. Exsen versos oumenos que rn ese em. Un uen resumen e l lerur sore nerpolón e l supere e volles se enuenr en el oumeno e Chrsn Homesu llmo Imple Volly Sure: Consruon, Mehoologes n Chrerss. En generl ee segurrse que no se volen ls sguenes relones áss e rrje enre opones:. Un CALL on srke K no puee vler más que un CALL on srke K s K>K. Eso mpl que C/CK<0, o lo que es lo msmo, que ls opones enre más OTM esén een vler menos en prm.. El preo e un CALL ee ser un unón onvex el empo. Eso mpone l onón que el preo e un Buerly ee ser posvo. Memámene mpl que C/K > 0 3. Pr os opones e erenes plzos y on el msmo gro e moneyness (meo rvés el orwr el) el preo e l e myor plzo ee ser myor. Eso mpl que C/T>0 (pr el msmo onorno e el). 4. Conones e roner: S K ene ero el preo e l CALL ene l vlor el spo. S K ene nno el preo e l CALL ene ero. Her l nerpolón on ess resrones es un poo más omplejo. Sn emrgo lo lusro en ese oumeno expl ls ses pr generr méoos e nerpolón. Espermos que se e yu.

10 AEXO Meoologí e Inerpolón Splnes úos nurles Supongmos que enemos un sere e punos... y que emás onoemos los vlores e un unón en hos punos..., Lo que queremos her es proxmr l unón mene un polnomo e gro 3. Eso lo hemos por rmos en nervlo [, + ] 3 one є [, + ] En es euón poemos nor que pr nervlo enemos uro nógns que son, y. Como en ol enemos - nervlos enemos un ol e 4(-) nógns. Vemos uns euones enemos pr resolver el ssem. ) Tenemos el vlor e l unón en uno e los punos. Eso nos un ol e euones. Eso lo poemos eur heno = on lo que oenemos 3 Aá enemos - euones,, Y l or euón es 3 ) S mponemos un onón e onnu en los noos poemos oener - euones. Eso lo poemos eur heno el vlor e l unón por l ereh gul que el vlor e l unón por l zquer. Vemos: 3 Por ejemplo pr el nervlo [, ] enemos por l zquer ) ( 3 Y por l ereh s = ) (. Reemplzmos en l euón neror on lo que oenemos 3

11 En ol llí oenemos - euones, y que l úlm euón que oenrímos en ese proemeno esrí repe on l úlm euón el lerl. ) S exgmos que l prmer erv e l unón se onnu oenemos ors - euones. Eso lo poemos eur heno el vlor e l prmer erv e l unón por l ereh gul que el vlor por l zquer. Vemos: 3 Por ejemplo pr el nervlo [, ] enemos por l zquer ' 3 ( ) ' 3 ( ) Y por l ereh s = Con lo que oenemos 3 En ol oenemos - euones on es onón. ) S exgmos que l segun erv e l unón se onnu oenemos ors - euones. Eso lo hemos e mner smlr l lerl. 6 Con ls onones e los lerles ), ) ) y ) oenemos un ol e +3(-) = 4 6 euones. Semos que enemos un ol e 4(-) = 4 4 nógns, por lo que neesmos oener ors os euones. Hy erenes orms e herlo. Un muy populr es mponer onones sore los vlores e l segun erv e l unón en los exremos, es er en y. Los splnes úos nurles hen que l segun erv vlg ero en esos punos pr oener ls ors os euones. Eso es: Con ess euones el ssem esá ompleo y lo poemos soluonr.

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