CASOS PRÁCTICOS DE MODELADO DEL COMPORTAMIENTO DE SISTEMAS INFORMÁTICOS Y DE COMUNICACIONES

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1 CASOS PRÁCTICOS DE MODELADO DEL COMPORTAMIENTO DE SISTEMAS INFORMÁTICOS Y DE COMUNICACIONES por Ramon Puigjaner Agosto de 004

2 TABLA DE CONTENIDOS 1. INTRODUCCIÓN LA NOCIÓN DE CLIENTE LA NOCIÓN DE ESTACIÓN DE SERVICIO RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN.... MODELADO DE SISTEMAS INFORMÁTICOS MODELOS INDIVIDUALES DE SUBSISTEMAS Tambores o discos de cabezas fijas Tambores con archivos de datos y disciplina FIFO Tambores con archivos de paginación y disciplina FIFO Tambores con archivos de paginación y disciplina de latencia mínima (shortest latency time first, SLTF) Tambores con archivos de datos y disciplina de latencia mínima Ejemplo Discos Discos sin posicionamiento angular y disciplina FIFO en la unidad de control Discos con posicionamiento angular y cola FIFO Discos con unidad de acceso dual Variantes de las políticas de posicionamiento de brazo Ejemplo Memorias secundarias de estado sólido Subsistemas secuenciales CPU Modelo batch Modelo del procesador compartido Procesador interrumpible Memoria principal MODELOS DE SISTEMAS INFORMÁTICOS: EL SERVIDOR CENTRAL Y VARIANTES Sistema transaccional Sistema conversacional Terminales con cargas separadas Terminales con cargas compartidas Influencia de la unidad de control del subsistema de discos Con política SLTF Con política FIFO Influencia de la gestión de memoria por un factor de multiprogramación Estudio analítico Estudio por simulación MODELADO Y EVALUACIÓN DE REDES REDES MALLADAS Modelos elementales de sus componentes Línea punto a punto Modelos globales Sin considerar el mecanismo de control de tráfico Estudio analítico Estudio por simulación Considerando el mecanismo de control de tráfico REDES CON COMPARTICIÓN DEL MEDIO Sistema de polling Técnicas de acceso al azar Aloha puro Aloha ranurado REDES DE ÁREA LOCAL Redes locales CSMA/CD Estudio analítico de la productividad Estudio analítico del tiempo de respuesta Estudio por simulación Primer modelo Segundo modelo Redes locales de paso de testigo (token ring) ii

3 Estudio analítico Caso simétrico Caso asimétrico Estudio por simulación Comparación de estrategias en redes locales: paso de testigo y CSMA/CD iii

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5 1. INTRODUCCIÓN Las distintas herramientas estudiadas (colas, redes de colas, redes de Petri, procesos de Markov, simulación, etc.) pueden usarse para estudiar el comportamiento de un sistema informático o teleinformático poniendo de manifiesto y estimando los retrasos y contenciones que se producen cuando diversos clientes pretenden utilizar el mismo recurso. Las distintas herramientas cubren distintos aspectos del estudio de un sistema. Así la teoría de colas nos permite estudiar separadamente cada uno de los componentes de un sistema pero sin poder tener en cuenta del hecho que un cliente habitualmente sólo puede recibir servicio de un servidor y al estudiar cada dispositivo por separado se pierde de vista el hecho mencionado. Si se desea tener en cuenta el mencionado hecho de la imposibilidad de simultaneidad de uso de diversos recursos por un mismo cliente es preciso pasar a modelos globales. Dichos modelos globales se pueden construir mediante cualquiera de las restantes herramientas. Sin embargo, todas ellas excepto la simulación exigen la adaptación de la realidad a las condiciones específicas exigidas por el método de que se trate. La simulación, al menos teóricamente, no tiene ninguna limitación en cuanto a las características del modelo construido. Este aumento de la precisión del modelo construido tiene como coste unos mayores tiempos de puesta a punto del modelo y de ejecución del mismo. Sin embargo, antes de entrar en la construcción de modelos usando las distintas herramientas citadas conviene fijar ideas en que se entiendo por cliente y por servidor LA NOCIÓN DE CLIENTE Típicamente un cliente puede ser una porción de software en un sistema informático, un paquete de información en un entorno de comunicación por conmutación de paquetes, una llamada telefónica en un entorno de comunicación por conmutación de circuitos, etc. En general, un cliente es una entidad que requiere servicio de uno más dispositivos servidores. Dependiendo del problema, se puede decidir agrupar todos los clientes en una sola clase o en distintas clases. Por ejemplo, tiene sentido considerar una sola clase si todos los clientes se comportan aproximadamente de la misma forma, es decir, tienen similares requerimientos de servicio, similar encaminamiento, y no hay prioridades entre ellos. Sin embargo, si algunos clientes tienen prioridad sobre otros o tienen distintos requerimientos de servicio o distinto encaminamiento, entonces, evidentemente, tiene sentido colocarlos en clases separadas. 1.. LA NOCIÓN DE ESTACIÓN DE SERVICIO Una estación de servicio esta constituida por un mecanismo de servicio que puede ser un elemento hardware o un fragmento de software o una combinación de los dos. Por ejemplo, se pueden considerar una CPU, un disco, un módulo de memoria, un bus, un enlace de comunicación, un nodo de conmutación, etc. como estaciones de servicio. Cada mecanismo de servicio tiene un buffer (al que se hace referencia como cola), donde los clientes esperan hasta que reciben servicio. En general, la capacidad del buffer es finita, esto es, solo puede acomodar un número finito de clientes. Sin embargo, si un buffer finito es muy grande, entonces puede suponerse que es infinito, ya que a efectos prácticos no hay límite en el número de clientes que puede acomodar. En general, se supondrá que la capacidad de un buffer es infinita a menos que se advierta lo contrario. Además, después de haber identificado las distintas estaciones de servicio que constituyen un sistema, es preciso identificar como están interconectadas, es decir, como pueden desplazarse los clientes entre las distintas estaciones. 1

6 1.3. RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN Después de haber identificado los clientes y, eventualmente, sus clases, y las estaciones de servicio y su interconexión, es necesario caracterizar la distribución de los tiempos de servicio de cada clase de cliente en cada estación en la que puede recibir servicio, las probabilidades de encaminamiento de los clientes entre las distintas estaciones, y la distribución de los tiempos entre llegadas de los clientes que llegan al sistema procedentes del exterior. En muchos casos, esta información debe recopilarse a partir de datos obtenidos de la monitorización experimental del sistema considerado; en otros casos estos datos están basados en una estimación hecha por personas expertas a partir del comportamiento de sistemas similares. Hay que tener presente que la calidad de los resultados que se obtengan de un modelo depende más de los datos introducidos que de la mayor o menor aproximación del modelo. Dicho en otras palabras, un modelo nunca mejorará la calidad de los datos introducidos, en todo caso la empeorará.

7 . MODELADO DE SISTEMAS INFORMÁTICOS.1. MODELOS INDIVIDUALES DE SUBSISTEMAS La modelización de sistemas informáticos puede enfocarse estableciendo modelos individuales de cada uno de los subsistemas o bien estableciendo un modelo global de todo el sistema. En este apartado analizaremos los modelos individuales de cada uno de los subsistemas y en el.. los modelos globales. En el volumen primero de esta obra se han analizado un conjunto de modelos de colas que admiten un tratamiento de cálculo sencillo (posible con la ayuda de una calculadora de bolsillo con las cuatro reglas y la raíz cuadrada). En este apartado se estudiará el funcionamiento de distintos dispositivos que componen un sistema informático o teleinformático y se tratará de hallar a cual de los modelos estudiados se asemeja en mayor grado. En algunos casos la correspondencia será directa; en otros, como se verá, será preciso forzar la realidad para hacerla encajar en alguno de los esquemas tipo estudiados que admiten un cálculo sencillo. Es decir, el proceso que se seguirá será el de analizar el funcionamiento del dispositivo considerado, ver a que modelo de colas se adapta mejor y hacer la simplificaciones que convengan para lograr su adaptación; a continuación será conveniente analizar el efecto de las simplificaciones realizadas sobre los resultados obtenidos TAMBORES O DISCOS DE CABEZAS FIJAS Estos dispositivos (fig..1)solo permiten tratar una sola entrada-salida simultánea, debido a que la unidad de control y/o el canal solo permiten el paso de una de ellas. Por lo tanto, independientemente del número de ejes de que se disponga, a efectos de su modelización, es equivalente a que se dispusiera de uno solo. El modelo está constituido por una cola que da acceso a la unidad que controla los distintos dispositivos. Cabezas de lectura-escritura Disco de cabezas fijas Tambor Figura.1. El número de accesos por unidad de tiempo λ depende de las aplicaciones que se ejecutan en el momento estudiado y, aun cuando, estrictamente, las peticiones se generan a partir de una población finita (trabajos en ejecución), normalmente se puede admitir que las peticiones provienen de una población infinita y, además, que siguen una distribución poissoniana. Otros elementos que intervendrán en la definición del tipo de modelo a utilizar serán: - el contenido de los tambores (archivos de datos o archivo de paginación) 3

8 - la política de ordenación de las peticiones de servicio (FIFO o por latencia mínima) Tambores con archivos de datos y disciplina FIFO El tiempo de servicio estará compuesto del tiempo de latencia (tiempo que transcurre desde la adquisición de la unidad de control hasta que el registro a transferir pasa por debajo de la cabeza de lectura-escritura correspondiente) más el tiempo de transferencia (tiempo que tardan en transferirse todos los bits del registro). El tiempo medio de servicio s y la variancia de los tiempos de servicio σ s se determinarán teniendo en cuenta las distribuciones del tiempo de latencia y del de transferencia de los registros. Esta situación puede, pues, modelarse sin dificultad mediante una cola M/G/1 y aplicar las fórmulas de Pollaczeck-Khintchin ya que la frecuencia de llegada sigue una distribución de Poisson y el servicio es la suma de dos variables aleatorias, por lo tanto una ley general. Si se denomina RG la longitud media de los registros transferidos, σ RG su desviación tipo, medidos ambos en vueltas, λ la frecuencia media de la llegada de peticiones de acceso a los tambores y τ el tiempo de una revolución, sustituyendo en las fórmulas de Pollaczeck- Kintchin se tiene donde el factor de utilización vale y el coeficiente cuadrático de variación C R = + RG 1 + ρ 1 ρ 1 ρ = λ + RG τ τ C 1 + σ RG = RG teniendo en cuenta que los tiempos de latencia estarán uniformemente distribuidos entre cero y τ el correspondiente a una vuelta y, por lo tanto, su valor medio será τ/ y su variancia τ / Tambores con archivos de paginación y disciplina FIFO En este caso al tratarse de un archivo de paginación, todos los registros serán de la misma longitud, si al acabar la transferencia de un registro no hay ninguno en espera, no es necesario que el servidor explore continuamente la llegada de una nueva petición ya que, en el mejor de los casos, sólo podrá empezar a servirla cuando se llegue a un entorno de página (fig..). Por lo tanto parece razonable utilizar un modelo de Skinner donde la variable B vale cero y la C, el tiempo correspondiente a de dejar circular el sector correspondiente a una página, es decir, τ/k, donde k es el número de sectores de una pista. 4

9 Figura. La variable A, correspondiente al tiempo de servicio comprenderá los tiempos de latencia y transferencia. La distribución de los tiempos de latencia será uniforme discreta entre cero y el tiempo correspondiente al giro de una vuelta menos un sector, es decir, k - 1 sectores. Por lo tanto, los momentos del tiempo de servicio A (suma de latencia y transferencia) serán ( k + 1) m 1 k 1 τ = 0 + τ + = τ A k k k M A = ( k + 1) 1 k + τ 3k Puesto que todos los registros tienen la misma longitud, el tambor de paginación está en una posición apta para empezar a atender un nuevo acceso inmediatamente después de terminar el anterior y si hay algún acceso pendiente en la cola lo atiende. En el modelo de Skinner esto significa B = 0, de donde F A (t) = F Z (t). Si la cola está vacía inmediatamente después que el tambor acabe de atender una entrada/salida, debe permanecer en latencia durante el tiempo necesario para recorrer un registro antes de que sea necesario volver a examinar la cola. Por lo tanto, en este caso, no es una variable aleatoria, sino que es una constante igual a τ/k, de donde m C = τ/k y M C = τ /k. En consecuencia, sustituyendo y simplificando, el tiempo medio de respuesta será R 1 + k λ ( ) k 1 + k 1 λ( 1+ k ) 1 = 1 τ τ τ Tambores con archivos de paginación y disciplina de latencia mínima (shortest latency time first, SLTF) En este caso, si la distribución de accesos es uniforme entre los k sectores de todas las pistas, se puede descomponer el proceso de Poisson de llegada en k procesos, dirigidos, cada uno, a uno de los conjuntos de sectores que ocupan la misma posición en todas las pistas, asignándoles un servidor ficticio, que, por turno, se transforma en el servidor real de tal forma que nunca entran en conflicto dos servidores ficticios al tratar de adquirir el servidor real, y gestiona la cola de cada sector en forma FIFO. Entonces cada servidor actúa como un servidor de Skinner que después de cada servicio espera el paso de k - 1 sectores antes de 5

10 volver a explorar la cola y si la encuentra vacía deja pasar una vuelta completa. Esta política permita una mejora del tiempo de respuesta ya que en muchos casos el que se "cuele" el acceso correspondiente a un sector que se encuentra en la latencia de otro, no perjudica el tiempo de respuesta de este último y mejora apreciablemente el del primero. Aplicando el modelo de Skinner a cada uno de los servidores ficticios que hemos considerado, resulta que todas las variables aleatorias que intervienen se transforman en constantes. A vale τ/k, el tiempo de transferir un registro; B vale (k - 1)τ/k, el tiempo de recorrer los k - 1 sectores de la misma vuelta que es el tiempo que debemos esperar hasta explorar nuevamente la cola; y C vale τ, el tiempo de una vuelta, que debemos esperar para volver a explorar la cola de un sector cuando, al hacerlo, la hallemos vacía. Por lo tanto, m A = τ/k, m Z = m C = τ, M A = τ /k y M Z = M C = τ, y, en consecuencia sustituyendo y simplificando en el resultado del modelo de Skinner, se tiene 1+ ρ R = 1 ( ρ) + k 1 τ donde λ ρ = τ k Tambores con archivos de datos y disciplina de latencia mínima El estudio de este caso no permite la aplicación simple de alguno de los modelos estudiados. Para ello debe recurrirse a la simulación o a modelos más sofisticados, como el que resulta de aplicar las hipótesis que la distribución de los tiempos de servicio (latencia más transferencia) es 1 - e -t/(τrg), para 0 < t < τ 1 - e -t/(τrg) e -(t - τ)/(τrg), para t > τ y que todos los registros son equiprobables, que permite llegar a una expresión aproximada del tiempo de respuesta que es Ejemplo 1 R = + RG + 1 ρ ρ En un canal de entrada-salida hay un tambor conectado y gira a 3600 r.p.m. La longitud media de los registros es de 1/5 de vuelta. Los accesos se producen a razón de 60 por segundo. Determinar el tiempo medio de respuesta en las siguientes situaciones: 1. Archivos de datos con una desviación tipo de la longitud de los registros que se puede estimar en 1/10 de revolución y política FIFO de gestión de la cola.. Archivos de paginación y política FIFO de gestión de la cola. 3. Archivos de paginación y política SLTF de gestión de la cola. Solución ρ ρ 3 τ 6

11 De la velocidad de rotación se encuentra que el tiempo necesario para dar una vuelta es τ = 1/3600 min = 60/3600 = 1/60 s = 1000/60 = ms y las características estadísticas de la latencia rotacional son: m L = 16.67/ = 8.33 ms σ L = /1 = 3.4 ms 1. Las características estadísticas de la llegada son λ = 30 acc/s y las del servicio, suma de las de la latencia más la transferencia, son: s = /5 = ms σ s = (16.67/10) = 6.0 ms y como el comportamiento se asemeja al de una cola M/G/1, se deben aplicar las fórmulas de Khintchin-Pollaczeck con ρ = /1000 = 0.7 de donde se obtiene el tiempo de respuesta R = = 7.89 ms ( 1 0.7) En este caso se debe aplicar el modelo de Skinner con m A = m Z = = 10 ms 5 M ( 5 + 1) A = M Z = = 1. ms m C = 16.67/5 = 3.33 ms M C = (16.67/5) = ms y sustituyendo en la fórmula del modelo de Skinner, se obtiene el tiempo de respuesta buscado R = = 0.83 ms En este caso se debe aplicar el modelo de Skinner con 7

12 m A = 16.67/5 = 3.33 ms m Z = m C = ms M Z = M C = = ms λ = 60/5 = 1 acc/s y sustituyendo en la fórmula del modelo de Skinner, se obtiene el tiempo de respuesta buscado.1.. DISCOS R = = ms Se va a considerar en primer lugar un comportamiento básico de una operación de entradasalida en disco para, después, estudiar variantes sobre él. Esta configuración básica supone que una unidad de control controla un subsistema de discos y está conectada a la memoria central a través de un canal no compartido con otros subsistemas (fig..3). Discos Memoria UC Figura.3. Así pues, se puede considerar que el proceso de E/S en un disco se descompone básicamente en las siguientes fases representadas en la figura.4: 8

13 Llegada Cola del disco Cola de SK la UC LT TF disco y UC libres disco ocupado UC ocupada Figura.4. - La petición de acceso generada por algún programa (de aplicación o de sistema) se pone en una cola para acceder al disco correspondiente. La gestión de esta cola por parte del sistema operativo se supondrá que es FIFO. - El acceso sale de la cola para lanzar el movimiento del brazo (seek) cuando la unidad de control y el disco correspondiente están libres simultáneamente, ocupando durante un tiempo despreciable la unidad de control, ya que se trata de un tiempo de microsegundos de proceso del acceso por la electrónica de la unidad de control frente a los milisegundos de los movimientos mecánicos del disco. - Una vez acabado el desplazamiento del brazo, el acceso trata de iniciar la transferencia a través de la unidad de control, colocándose en la cola de este dispositivo que se supondrá inicialmente FIFO,. - Cuando adquiere su servicio, la retiene durante los tiempos de latencia y transferencia. - Una vez acabada la transferencia se liberan, a la vez, el disco y la unidad de control, que quedan en disposición de atender nuevos accesos. A continuación se va a exponer un modelo simplificado de fácil tratamiento manual para este funcionamiento. Más adelante se estudiarán otros modelos correspondientes a otras alternativas de funcionamiento de los discos Discos sin posicionamiento angular y disciplina FIFO en la unidad de control El funcionamiento de un subsistema de discos como el que acabamos de describir en el apartado anterior, está representado exactamente en el diagrama de bloques de colas de la figura.5, en la que se aprecian las distintas etapas de la operación de E/S en disco (la cola, el movimiento del brazo, la cola de la unidad de control y el servicio de la unidad de control durante la latencia y la transferencia). La dificultad para construir un modelo exacto del funcionamiento de un subsistema de discos reside en el doble paso de la petición por la unidad de control: primero para dar la orden al disco de mover el brazo y luego para realizar la transferencia una vez el registro pasa por la cabeza de lectura-esritura. La figura.6, cuya diferencia reside en considerar que para salir de la cola de acceso al disco (inicio del movimiento del brazo) no es necesario que esté libre la unidad de control o el canal (ambos suponemos que constituyen un todo) y solo es necesario que esté libre el disco representa un modelo simplificado del mismo subsistema. En este caso al pasar las peticiones una sola vez por la unidad de control permite un modelo fácil de construir y tratar. La hipótesis realizada, que la espera suplementaria, debida a que la unidad de control esté ocupada y el disco libre, es pequeña en las circunstancias normales de funcionamiento del subsistema, se verificará más adelante. 9

14 Disco 1 SK 1... Disco Disco n UC SK... SK n Figura.5. SK 1 Disco 1 Disco... SK UC SK n Disco n Figura.6. El cálculo del tiempo de respuesta con estas hipótesis simplificadoras, se desglosa en las siguientes fases: a) Cálculo para cada archivo i del tiempo medio de ocupación de la unidad de control, que es igual al tiempo de latencia, L i más el tiempo de transferencia, TF i. Si admitimos unas hipótesis similares a las del funcionamiento de los tambores con archivos de datos y acceso FIFO, es decir, que los registros pueden empezar en cualquier lugar de la pista y todos tienen un acceso igualmente probable, los tiempos de latencia se podrá considerar que están distribuidos según una ley uniforme entre cero y el tiempo de 10

15 una vuelta. Por lo tanto, el tiempo medio de latencia corresponde al de media vuelta ( L i = τ / ) y la variancia al cuadrado del tiempo de una vuelta dividido por doce ( L = τ / 1 ). σ i El tiempo de transferencia se puede considerar igual al tiempo de una vuelta dividido por el número de registros físicos que hay en promedio en una pista o bien puede calcularse a partir la longitud del registro y de la velocidad de transferencia del disco. b) Determinación del número medio λ i de accesos, tanto entradas como salidas, a cada archivo, i, por unidad de tiempo, que depende de las aplicaciones que se ejecuten en ese instante. c) Cálculo de la ocupación de la unidad de control provocada por cada archivo y que es λ i (L i + TF i ). d) Cálculo del factor de utilización de la unidad de control, que es igual a la suma de todos los valores calculados en el apartado anterior. e) Cálculo del tiempo medio de servicio de la unidad de control, que es el promedio de los valores calculados en el apartado a ponderados por las frecuencias de acceso, calculadas en el apartado b. f) Cálculo del tiempo medio de espera en la unidad de control, W uc que es igual al tiempo medio de estancia en el sistema (unidad de control) menos el de servicio. Los cálculos efectuados en los cinco apartados anteriores tienen por objeto proporcionar los datos necesarios para el tratamiento del modelo que se expone en este punto. Hay que tener en cuenta que en este caso, ya que el manantial no es infinito, puesto que esta cola puede tener, como máximo, tantos accesos en conflicto para usar la unidad de control como discos haya en el subsistema, el modelo aplicable sería el M/G/1//ND, donde ND es el número de discos del subsistema, que carece de tratamiento analítico. Como aproximación se puede aplicar un modelo M/G/1 o M/M/1//ND. Para el cálculo de este último modelo podemos emplear las fórmulas adecuadas (apartado del primer volumen de esta obra) o los gráficos que nos dan ese valor directamente en función de ρ uc, de s uc y del número de mecanismos de acceso o ejes (clientes en la figura 3.13 del mismo volumen). Las dos aproximaciones propuestas son ambas pesimistas, la primera por considerar una población infinita en vez de finita, y la segunda por considerar una distribución exponencial de los tiempos de servicio con una variancia igual a la media, cuando, normalmente, es inferior a la media, ya que la latencia tiene un desviación tipo inferior a la media y en general todos los registros son de la misma longitud con desviación tipo nula. Por lo tanto, se debe elegir siempre la menos pesimista de ambas, que normalmente es la M/M/1//ND. g) Cálculo para cada disco j (un archivo puede estar entre varios discos, o, por el contrario, en un disco puede haber varios archivos) de las características del tiempo de servicio, que es igual al tiempo de desplazamiento de brazo, SK j, más el tiempo de espera en la unidad de control, W uc, más el tiempo de latencia, L j, más el tiempo de transferencia TF j, que depende de los archivos que haya en el disco s j = SK j + W uc + L j + TF j El desplazamiento del brazo depende del tipo de accionamiento y de la ocupación y de la situación de los archivos en el disco. 11

16 Para calcular las características estadísticas del desplazamiento es preciso conocer, además de la situación y de la ocupación de los archivos en el disco, la frecuencia de acceso a cada uno de ellos. Si se admite que sólo hay un archivo que ocupa N cilindros podremos decir que la probabilidad de que se produzca un desplazamiento de n cilindros, si todos son igualmente probables, vale (fig..7): N n N - n n Posibilidad de desplazamiento en ambos sentidos Posibilidad de desplazamiento sólo en un sentido Figura.7. P n = n N 1 N N n 1 + N N ( N n) = N El primer sumando representa la probabilidad de que la posición inicial esté entre los n primeros o últimos cilindros y se efectúa un desplazamiento de esa longitud (solo puede ser en un sentido). El segundo representa la probabilidad de un desplazamiento que tenga su posición inicial entre los cilindros n y N - n, en cuyo caso el desplazamiento puede hacerse en los dos sentidos. En consecuencia el desplazamiento medio valdrá y la variancia n = N np = N n ( N n) N = n n= 1 n= 1 N 3 1 N σ n = N n= 1 n P n n = N n= 1 n ( N n) N N 1 3N = N 4 + N 18N 18 Cuando el número de cilindros ocupados por el archivo, N, es grande, estos valores pueden aproximarse por N n = 3 σ N n = 18 Aun cuando realmente este cálculo debería hacerse con los tiempos necesarios para efectuar estos desplazamientos, normalmente proporciona una aproximación suficiente la transformación en tiempo de los números de cilindros correspondientes al desplazamiento medio y a la desviación tipo, de acuerdo con las curvas que nos relacionan desplazamientos con tiempos (fig..8). 1

17 T i e m p o Desplazamiento del brazo Figura.8. El tiempo de espera en la unidad de control tiene un valor medio que ya hemos calculado (párrafo f) y una variancia que se podría calcular a partir de la distribución de probabilidad del número de clientes en ella, pero que, en primera aproximación (la que se efectúa normalmente) se puede considerar igual al cuadrado de la media. Esta aproximación no tiene demasiada influencia ya que, normalmente, este sumando representa un porcentaje pequeño del tiempo de servicio del disco y, además, es una hipótesis normalmente pesimista, ya que la desviación tipo real es inferior a la media que sirve en parte para compensar la hipótesis simplificadora de suponer que si el disco está libre pude lanzarse la operación de E/S independientemente del estado de la unidad de control. Las características estadísticas del tiempo de latencia ya se han comentado (párrafo ) y las del tiempo de transferencia se pueden determinar fácilmente conociendo las de los registros de los archivos que hay en el disco y las frecuencias de acceso de cada uno de ellos. Por lo tanto se puede escribir s j = SK j + W uc + L j + i D j λ TF i i D j λ i i σ j = σ SK j + W uc + ( L ) j 1 + i D j λ TF i i D j λ i i i D j λ TF i i D j λ i i h) Cálculo, a partir de los datos obtenidos, del factor de utilización de cada disco ρ j = s j i D j i) Cálculo del tiempo de respuesta de cada disco por aplicación de las fórmulas de Khintchin-Pollaczeck. Se hace, sin embargo, la incorrección de suponer que las llegadas provienen de una población infinita, lo cual no es cierto, puesto que, como máximo, es igual al número de trabajos en ejecución en la unidad central. No obstante, si el nivel de multiprogramación es algo elevado o si se trata de sistemas transaccionales, los resultados acostumbran a ser suficientemente aproximados. λ i 13

18 j) Al actuar de esta forma no hemos tenido en cuenta, como hemos supuesto, que para salir de la cola que da acceso al disco correspondiente es preciso, no sólo que el disco este libre, sino que también lo ha de estar la unidad de control. Puede añadirse un tiempo que corrija el de respuesta por la espera suplementaria provocada por el tiempo residual de una transferencia, que idéntico al tiempo residual calculado al estudiar las colas M/G/1, y que, por lo tanto multiplicado por la probabilidad que el disco esté libre (1 - ρ j ), puede hacerse igual a 1 σ' uc ( 1 ρ ) ρ' s' + j uc y para ser mas exactos se consideran para cada disco los valores referentes a la unidad de control provocados por los restantes discos, pero no él mismo (por ello se han indicado las variables correspondientes con tilde). No obstante, en la mayoría de los casos, esta corrección tiene poca importancia, a no ser que se alcancen elevados factores de utilización de los discos y la unidad de control. La interpretación de esta expresión nos dice que la probabilidad de encontrar la unidad de control ocupada y el disco libre es (1 - ρ j )ρ uc ' y el tiempo medio de ocupación será la mitad del tiempo de transferencia en la unidad de control. El término complementario es para tener en cuenta la distribución de los tiempos de transferencia. Ejemplo: Se considera un subsistema de tres discos donde se hallan los archivos que consulta y actualiza un sistema transaccional de tiempo real. Las transacciones llegan a razón de 30 por segundo. Los discos giran a r.p.m. Al archivo A acceden el 60% de las transacciones de las cuales el 5% son de actualización. Hay 10 registros por pista. El disco está lleno en un 50%, lo cual hace que la media y la desviación tipo de los tiempos de desplazamiento de brazo sean 0 ms y 16 ms, respectivamente. Al archivo B acceden el 40% de las transacciones sin actualización. Hay 5 registros por pista. El disco está totalmente lleno por lo que la media y la desviación tipo de los tiempos de desplazamiento de brazo son 30 ms y 4 ms, respectivamente. Al archivo C acceden el 0% de las transacciones que hacen en promedio tres accesos por transacción. Hay 0 registros por pista. El disco está lleno de un 30%, por lo que la media y la desviación tipo de los tiempos de desplazamiento de brazo son 15 ms y 1 ms, respectivamente. Se pretende encontrar los tiempos de respuesta de cada uno de los archivos. Para ello se seguirá la marcha de cálculo que se acaba de proponer. Determinación de las frecuencias de acceso a cada disco: uc s' λ A = =.5 accesos/s λ B = = 1 accesos/s λ C = = 18 accesos/s Determinación de los tiempos de servicio en la unidad de control de los accesos a cada disco: uc 14

19 L + TF A = /10 = 10 ms L + TF B = /5 = ms L + TF C = /0 = 9.17 ms Determinación de las utilizaciones en la unidad de control de los accesos a cada disco: λ A (L + TF A ) =.5 10/1000 = 0.5 λ B (L + TF B ) = /1000 = λ C (L + TF C ) = /1000 = Determinación de la utilización de la unidad de control ρ uc = = 0.53 Determinación del tiempo medio de servicio en la unidad de control s uc = ( )/( ) = s Determinación del tiempo de espera en la unidad de control usando el gráfico de la figura 3.13 del primer volumen de esta obra con ρ = 0.53 y 3 mecanismos de acceso (clientes): W uc = (1.45-1) = s Determinación de los tiempos medios de servicio de cada uno de los discos: s A = = ms s B = = 46. ms s C = = 8.7 ms Determinación de las utilizaciones de cada uno de los discos ρ A = = ρ B = = ρ C = = Determinación de las variancias de los tiempos de servicio de cada uno de los discos: σ A = /1 + 0 = ms σ B = /1 + 0 = ms 15

20 σ C = /1 + 0 = ms Determinación de los tiempos de respuesta de cada disco por aplicación delas fórmulas de Khintchin-Pollaczeck: R A R B R C = = ms ( ) = = 83.8 ms ( ) = = ms ( ) 8.7 Determinación de la corrección debida a la espera suplementaria en la cola de acceso al disco a causa de estar ocupada la unidad de control se calcula como sigue ρ' A = = s' A = ( )/(1 + 18) = ms σ' A = = ms A = ( ) = 0.48 ms ρ' B = = 0.39 s' B = ( )/( ) = 9.63 ms σ' B = 9.63 = ms B = ( ) = ms ρ' C = = s' C = ( )/(.5 + 1) = ms σ' C = = ms 16

21 C = ( ) = ms Determinación de los tiempos medios de respuesta corregidos de cada uno de los discos: R' A = = ms. R' B = = ms. R' C = = ms Discos con posicionamiento angular y cola FIFO. En los discos con posicionamiento angular, la diferencia de funcionamiento estriba en que cuando el brazo se ha posicionado no solicita inmediatamente servicio de la unidad de control, sino que lo hace únicamente cuando el registro sobre el cual debe efectuarse la transferencia llega debajo de la cabeza de lectura-escritura. Si en ese momento encuentra libre la unidad de control la retiene durante el tiempo de efectuarla más, según la tecnología de disco utilizada, el tiempo correspondiente al posicionamiento angular (ángulo entre la señal de aviso de la llegada del registro y el registro propiamente dicho); si la encuentra ocupada, deja pasar una vuelta completa y lo reintenta, sin que el hecho de haber perdido una vuelta le dé ninguna prioridad. Este funcionamiento queda representado en el diagrama de tiempos de la figura.9. Llegada Pérdida de tiempo por vueltas perdidas Cola del disco SK LT PA TF disco ocupado UC ocupada disco y UC libres Figura.9. La marcha de cálculo es muy similar, teniendo en cuenta, sin embargo, las diferencias de funcionamiento. a) Cálculo para cada archivo i del tiempo medio de ocupación de la unidad de control, que es igual al tiempo medio de posicionamiento angular, PA i, más el de transferencia, TF i. El tiempo de posicionamiento angular depende de la tecnología de disco utilizada. Si la unidad es inteligente y trabaja con discos sectorizados, puede considerarse prácticamente nulo; pero en caso contrario puede depender del número de marcas grabadas físicamente (mecánicas o magnéticas) en el disco para detectar registros y del número de registros por pista. b) Idéntico al párrafo.1..1.b. 17

22 c) Cálculo de la ocupación de la unidad de control provocada por el archivo i, que vale en este caso λ i (PA i + TF i ) d) Cálculo del factor de utilización de la unidad de control, ρ uc, que es la suma de todos los valores calculados en el párrafo anterior. e) No es necesario en este caso. f) En estas circunstancias no se puede hablar propiamente de tiempo de espera, sino de tiempo de retención debido a las vueltas perdidas. Se puede escribir que la probabilidad de no perder vuelta, p 0, vale p 0 = 1 - ρ uc y las de perder 1,,..., n vueltas, son, respectivamente p 1 = (1 - ρ uc ) ρ uc p = (1 - ρ uc ) ρ uc p 3 = (1 - ρ uc ) ρ uc 3... p n = (1 - ρ uc ) ρ uc n Por lo tanto, las características estadísticas de este tiempo perdido valen W vp = τ i uc ipi = τ iρuc ( 1 ρuc ) = τ i= 0 i= 0 1 ρuc ρ σ vp = τ i= 0 i p i ρuc i ρuc ρuc i uc ( 1 uc ) = τ 1 = τ ρ ρ uc i 0 1 ρ = ρuc uc ( 1 ρ ) g) El tiempo de servicio de cada disco, j, es igual al tiempo de desplazamiento del brazo, más el tiempo de espera (latencia) hasta que llega la marca de posicionamiento angular o el registro, más el tiempo debido a vueltas perdidas, más el tiempo de posicionamiento angular, si lo hay, más el tiempo de transferencia. s j = SK j + L j + W vp + PA j + TF j Como se conocen las características estadísticas de todos los sumandos, se puede escribir s = SK j j + L j + W vp + i D j λ i ( PA + TF ) i D j i λ i i 18

23 σ j i + = σ D j SK j λ i + ( L ) j 1 + σ ( PA PA ) i max 1 i D j λ i vp i min λ itfi λ itfi i D j i D j + λ i λ i i D j i D j + PA i λ i PAi i D j λ i i D j h) Idéntico al del párrafo.1..1.h. i) Idéntico al del párrafo.1..1.i. j) Idéntico al del párrafo.1..1.j. Un ejemplo del cálculo de este caso se tratará en el apartado Discos con unidad de acceso dual. + En numerosos casos cuando una sola unidad de control no puede soportar el tráfico que se provoca sobre los archivos del subsistema, en vez de partirlo en dos subsistemas, se puede colocar una segunda unidad de control sobre el mismo subsistema (fig..10). Para distribuir los accesos entre ambas unidades de control se pueden adoptar diversas políticas, de las cuales la más frecuente es la de considerar las dos unidades de control como una estación de servicio con dos canales. UC Memoria Discos UC Figura.10. El cambio que hay que introducir en la marcha de cálculo propuesta en los apartados anteriores consiste sólo en que hace falta considerar que la estación unidad de control tiene dos canales de servicio, si se considera que el acceso a las unidades de control se hace a través de una cola FIFO, por lo que el modelo adecuado sería el M/G///M, que no tiene tratamiento analítico. Por ello, como en el caso de una sola unidad de control se pueden efectuar aproximaciones mediante modelos M/G/1 con frecuencia de llegada mitad, M/M/, si el número de discos es elevado, o, de forma mas exacta, estableciendo un modelo de tipo M/M///M (apartado del primer volumen de esta obra). Si los discos trabajan con posicionamiento angular, si ρ uc es la utilización conjunta de las dos unidades de control (y se supone, además, que el sistema operativo distribuye la utilización equitativamente entre ambas unidades), las probabilidades del número de vueltas perdidas son: 19

24 p 0 ρuc ρuc ρuc ρuc = = 1 p 1 ρ uc ρuc ρuc ρuc ρuc ρuc = = 1... p n = n n ρuc ρuc ρuc ρuc ρ uc ρuc = 1 que es idéntica a la del caso de una sola unidad de control pero sustituyendo la utilización por el cuadrado de la mitad de la utilización conjunta de ambas unidades de control. Con esta información se pueden rehacer los cálculos establecidos en los dos apartados anteriores teniendo en cuenta las modificaciones que se acaban de establecer Variantes de las políticas de posicionamiento de brazo. La ordenación de los accesos antes de iniciar el movimiento de brazo se puede hacer según distintas políticas. Las más frecuentes son las siguientes: - FIFO, que es la que hemos considerado hasta el momento. - Mínimo desplazamiento de brazo (SSTF). Esta política es similar a la de latencia mínima expuesta en el apartado referente a los tambores: El siguiente acceso es siempre el más próximo a la posición actual del brazo. Esta política presenta la desventaja potencial de retrasar mucho algunos accesos, si la carga del disco se hace grande. En otras palabras, si el brazo está en un extremo y la cola de accesos es larga, se corre el riesgo de tardar mucho tiempo en acceder a las posiciones que se hallen en el otro extremo del disco. Es, no obstante, una situación que se observa en raras ocasiones. Desde el punto de vista de las características estadísticas, la virtud de esta política es la de disminuir el tiempo medio y la desventaja de, eventualmente, aumentar la variancia. Desde el punto de vista del consumo de recursos, esta política aumenta el overhead del sistema operativo al tener que insertar cada nuevo acceso en la lista encadenada de accesos, calculando su lugar de inserción en función del cilindro al que va a acceder y de los de los accesos en curso y pendientes. - SCAN. En esta política el brazo recorre la superficie del disco en un sentido, hacia adelante o hacia atrás, mientras quedan accesos pendientes en el mismo sentido. Cuando no hay más, se invierte el sentido. Con respecto a la política anterior evita los retrasos grandes en los accesos extremos (mejorando la variancia) y disminuye el overhead del sistema operativo a costa de un pequeño empeoramiento del valor medio. - SCAN de M pasos. En esta política los accesos se agrupan en paquetes de, como máximo, M y sobre cada paquete se aplica la política SCAN. En la actualidad, las unidades de control de discos realizan esta política sin recurrir a ninguna gestión del sistema operativo, que sigue ordenando los accesos en una cola FIFO y transfiriendo paquetes de M accesos a la unidad de control, que es la que realiza la ordenación definitiva de los accesos. En este caso el desplazamiento medio de brazo de cada acceso, si se admite que los accesos se distribuyen uniformemente entre los N cilindros del disco es N/M, que puede traducirse a tiempo mediante la curva correspondiente. 0

25 Se han hecho diversos intentos de aproximaciones analíticas para el estudio del comportamientos de estas políticas y aparte, como se ha visto, de la FIFO y de la SCAN de M pasos y teniendo en cuenta la no linealidad del tiempo en función del desplazamiento del brazo del disco, el método más cómodo para este estudio resulta todavía la simulación Ejemplo Considérese un subsistema de seis discos al que llegan 60 accesos por segundo uniformemente repartidos. Los discos giran a 3600 r.p.m., tienen un tiempo medio de desplazamiento de brazo de 3 ms. y una desviación de tipo de 16 ms. Hay 5 registros por pista trabajando de forma sectorizada, es decir, que cuando hacen uso del dispositivo de posicionamiento angular puede considerarse que no hay ninguna espera entre el aviso y la llegada del registro. Determinar el tiempo medio de respuesta del subsistema en las siguientes hipótesis de trabajo: 1. Una unidad de control con gestión FIFO.. Una unidad de control con gestión SLTF. 3. Dos unidades de control con gestión FIFO. 4. Dos unidades de control con gestión SLTF. Siguiendo las marchas de cálculo expuestas en.1..1.,.1... y se puede hacer: Tiempo medio de una revolución de los discos: Tiempo de transferencia de los registros: Utilización de la o las unidades de control: ρ uc = = ρ uc = = ρ uc = = τ = L = = ms TF = = ms ρ uc = = Tiempo de espera en la unidad de control (casos 1 y 3) o tiempo por vueltas perdidas en la unidad de control (casos y 4): 1

26 1. Utilizando el gráfico de la figura 3.13 del primer volumen de esta obra para tratar un modelo M/M/1//6, se tiene W uc = (.05-1) = 1.5 ms. El tiempo medio de vueltas perdidas por acceso será de W vp 0. = = 4.17 ms 1 0. y su variancia σ vp = 0. ( 1 0.) = ms 3. En este caso hay que proceder a calcular el tiempo de respuesta del conjunto de las dos unidades de control a través de un modelo M/M///6 (apartado del primer volumen de esta obra). λ p 1 = p 0 6 µ p λ = p015 µ p 3 λ 3 = p0 30 µ p 4 λ 4 = p0 45 µ p 5 λ 5 = p0 45 µ p λ = p µ de donde, haciendo λ/µ = x, y teniendo en cuenta que la suma de las probabilidades ha de ser igual a la unidad, se tiene p 0 = 1+ 6x + 15x + 30x x x 5 +.5x 6 La frecuencia media de llegada será 60 = 6λp λp 0 + 5λp1 + 4λp + 3λp3 + λp4 + 1λp Sustituyendo las expresiones de las probabilidades p i, para i = 1,, 6 en la expresión anterior y dividiéndola por la capacidad de servicio µ, se llega a 6 60 = ρ µ uc 6x + 30x = 0.7 = 1+ 6x + 15x + 60x + 30x x + 45x x + 45x x +.5x 6 de donde 9.5x x x x x + 1.8x = 0 que tiene como solución x = Con ello se puede proceder al cálculo de p 0 y las demás probabilidades de estado de esta cola, que son:

27 p 0 = p 1 = p = p 3 = p 4 = p 5 = p 6 = A partir de ellas se puede calcular el número medio de clientes en las dos unidades de control, que será N = = y, por aplicación de la ley de Little, el tiempo medio de respuesta será y el de espera en las unidades de control R uc = /60 = s = 1.49 ms. W uc = = 0.8 ms. 4. El cálculo del tiempo por vueltas perdidas es idéntico al del punto cambiando la utilización de 0. por la (0./) = 0.01, es decir, que el tiempo medio de vueltas perdidas por acceso será de W vp 0.01 = = 0.17 ms y su variancia σ vp = 0.01 ( ) =.84 ms Las características estadísticas (media y variancia) del tiempo de servicio de cada uno de los discos serán: 1. s = = 46.9 ms σ s = /1 + 0 = 49.1 ms. s = = ms σ s = / = ms 3. s = = ms σ s = /1 + 0 = 79.8 ms 4. s = = ms. σ s = / = ms Las utilizaciones respectivas serán ρ D = =

28 ρ D = = ρ D = = ρ D = = y, por aplicación de las fórmulas de Khintchin-Pollaczeck, se obtiene R D R D R D R D = = ms ( ) = = ms ( ) = = ms ( ) = = ms ( ) MEMORIAS SECUNDARIAS DE ESTADO SÓLIDO La sustitución de los discos y tambores con sus componentes electromecánicos, lentos y poco fiables, se viene buscando desde hace largo tiempo. Dos tecnologías, que en un instante determinado parecieron que podían sustituir a los discos y tambores o, por lo menos, llenar el hueco que, en cuanto a capacidad y tiempo de acceso, existe entre aquéllos y la memoria principal, son las burbujas magnéticas y los dispositivos acoplados por carga (Charge Coupled Devices, o CCD). Entre sus principales características se pueden citar Burbujas magnéticas CCD Tamaño del chip (bits) 16 K 16 K Densidad (bits/pulg ) Velocidad de transmisión (MHz) 0.1 Tiempo de acceso máximo (ms) Sin entrar en el detalle de su funcionamiento que se puede encontrar en la literatura especializada, tanto unas como otros se pueden considerar como memorias rotativas con los períodos de rotación (tiempo de acceso máximo) que aparecen en la tabla anterior. No obstante, al no existir partes mecánicas rotativas a velocidad constante debido a su inercia en discos y tambores, se pueden variar dinámicamente las velocidades de rotación a fin de optimizar el rendimiento. Si se organizan como archivos de datos no se podrá obtener demasiada ventaja de aquella posibilidad. Sin embargo, si se utilizan como archivos de paginación, se puede optimizar su rendimiento de forma inalcanzable en dispositivos mecánicos. 4

29 Si se considera un dispositivo de burbujas magnéticas organizado como un archivo de paginación con latencia mínima se puede mejorar el rendimiento deteniendo el dispositivo (sin inercia) en un entorno de página. Si se hace esto, el tiempo de respuesta pasa a ser R = k 1 + con un ahorro correspondiente al tiempo de media revolución y donde las variables corresponden a la definición dada en el apartado El caso de los CCD es algo más complicado, pues estos dispositivos requieren refrescar continuamente los bits de información contenidos en ellos. Para optimizar su rendimiento se puede efectuar el siguiente análisis. Estos dispositivos están organizados como registros de desplazamiento recirculantes, que tienen frecuencias de reloj máxima y mínima. Ésta viene fijada para evitar la pérdida de información y aquélla por las características de los circuitos de los CCD. Entre estas dos frecuencias se dispone de un margen de maniobra en el que, al no haber ninguna inercia, se puede variar la frecuencia de una forma dinámica. En la exposición que sigue, se supone que se tienen bloques de N posiciones y que en cada registro hay un solo bloque. Las llegadas de nuevas requisiciones al CCD pueden producirse en cualquier instante del período de rotación. Entonces, si el CCD está circulando la información a frecuencia constante mientras está ocioso (con período de revolución T) es evidente que la latencia esperada será de media revolución. Sean t min y t max los períodos mínimo y máximo de transmisión de una posición, r = t max /t min y f(t) la distancia (en posiciones) a que la posición inicial de la memoria está en el instante t. Entonces L, la latencia media será 1 1 ρ ρ τ tmin L = T u + T u f ( x) dx Gráficamente L corresponde al área del período ocioso de la figura.11 dividida por la longitud T del período. n f(t) T Tiempo Figura.11. 5

30 Evidentemente, si el CCD recircula a frecuencia constante mientras está ocioso, la latencia esperada será N t min / si se efectúa a su máxima velocidad. Sin embargo, la figura.1 muestra que se puede mejorar siempre que se adopte una estrategia que dé una curva con la concavidad hacia arriba. n f(t) T Tiempo Figura.1. Para determinar la temporización óptima de las memorias CCD se procederá en dos pasos. Primero se considerarán las estrategias de período dado T. Este problema se reduce a minimizar el área debajo de la curva en la figura.1. Evidentemente se consigue de la forma que muestra la figura.13, cuya ecuación es: t f < t () t = N para 0 < t t' min T t f < t () t = para t' < t T max donde t' es el punto de intersección de ambas rectas cuyas pendientes corresponden a los períodos mínimo y máximo, respectivamente. n f( t ) m t' Tiempo Figura.13. T 6