UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE VALENCIA

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1 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE VALENCIA ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR DE ALCOY MODELOS MULTICRITERIO PARA LA SELECCIÓN DE PORTAFOLIOS EN LA BOLSA DE MADRID TESIS DOCTORAL Doctorando: D. Davd Plà Santamaría Drector: D. Enrque Ballestero Pareja Alcoy, 000

2 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE VALENCIA ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR DE ALCOY MODELOS MULTICRITERIO PARA LA SELECCIÓN DE PORTAFOLIOS EN LA BOLSA DE MADRID Tess Doctoral Presentada por: D. Davd Plà Santamaría para optar al grado de Doctor por la Unversdad Poltécnca de Valenca Drgda por: D. Enrque Ballestero Pareja Alcoy,

3 dedcado a Vrgna, Lus, Lorena y Rosana

4 AGRADECIMIENTOS M agradecmento a todas aquellas personas que por sus aportacones o medacón en el desarrollo de la nvestgacón, han hecho posble la fnalzacón de este trabajo. Al drector de esta tess Catedrátco Enrque Ballestero por su dedcacón en la dreccón y orentacón de este trabajo. Al profesor de la EPSA Pablo Bernabeu, sn el empuje y confanza del cual, no hubera poddo ncar m carrera docente. A m compañero y amgo Moses Navarro por su nfnta pacenca e nestmable colaboracón. A toda m famla por su apoyo y alento constantes durante los dez años que ha durado m condcón de estudante. A los departamentos de la UPV Departamento de Economía y Cencas Socales y Departamento de Ingenería Textl y Papelera, por su orentacón en la fase de tercer cclo de estudos unverstaros. A la EPSA por su aportacón de medos, en especal al equpo de PAS de la EPSA, tambén por su pacenca en las horas extras realzadas durante la fase de cálculos del trabajo. A todos los profesores de los dstntos departamentos con representacón en la EPSA, con la esperanza de que la lectura de esta trabajo les mpulse haca la fnalzacón de sus propas tess doctorales y todos juntos, podamos dotar a nuestra escuela de un nutrdo cuerpo de profesores-doctores especalstas en nuestras áreas respectvas. 3

5 CONTENIDOS PRINCIPALES Capítulo 1: Introduccón 10 Propósto de la nvestgacón 11 Fuentes de datos 11 Metodología 11 Estructura y contendos prncpales 13 Aplcabldad 14 PARTE II METODOLOGÍA FINANCIERA Y ANÁLISIS MULTICRITERIO 16 Capítulo 6: Una Perspectva Hstórca 17 Introduccón 18 Retornos del Portafolo 0 Portafolo con dos actvos 31 La frontera efcente y la utldad del nversor 44 Capítulo 7: La Moderna Teoría del Portafolo (MPT) 47 La Complejdad de los Mercados Fnanceros 49 El Modelo de un solo índce (Sngle-Index Model) 61 Modelos Mult-Indce 69 Modelos de Seleccón de Portafolos 73 La Potenca Replcadora de la Optmzacón de Markowtz 8 Análss de Utldad 88 PARTE III METODOLOGÍA MULTICRITERIO 97 Capítulo 8: Programacón Compromso en Seleccón de Portafolos 98 PARTE A: Aproxmacón para Inversores Estándar 100 PARTE B: Aproxmacón del Portafolo Optmo para un Inversor con Preferencas Partculares 116 PARTE IV CASO ESTUDIO Y CONCLUSIONES 1 Capítulo 9: Caso Estudo: Aplcacón a la Bolsa de Madrd 13 Introduccón 14 4

6 Cálculo de Rendmentos Mensuales 19 Cálculo de Fronteras Efcentes 134 Estmacón de Óptmos para Clentes Estándar 147 Estmacón de Óptmos para Clentes Agresvos 15 Estmacón de Óptmos para Clentes Conservadores 153 RESUMEN Y CONCLUSIONES 156 INDICE DE TABLAS 309 INDICE DE FIGURAS 311 INDICE BIBLIOGRÁFICO 313 5

7 CONTENIDOS DETALLADOS Modelos Multcrtero para la Seleccón de Portafolos en la Bolsa de Madrd Capítulo 1: Introduccón 10 Propósto de la nvestgacón 11 Fuentes de datos 11 Metodología 11 Estructura y contendos prncpales 13 Aplcabldad 14 PARTE II METODOLOGÍA FINANCIERA Y ANÁLISIS MULTICRITERIO 16 Capítulo 6: Una Perspectva Hstórca 17 Introduccón 18 Retornos del Portafolo 0 Varanza (desvacón típca) de los retornos 1 Covaranza de retornos (Explcacón y Ejemplo) Covaranza y correlacón 7 Desvacón típca de un portafolo 9 Portafolo con dos actvos 31 Igual resgo y retorno 31 Combnacón de valores con retornos y resgos dstntos 35 Cambo de pesos 37 La frontera efcente y la utldad del nversor 44 Capítulo 7: La Moderna Teoría del Portafolo (MPT) 47 La Complejdad de los Mercados Fnanceros 49 La Evolucón de la Práctca Inversora 49 Perodo anteror a la década de los Las hpótess de los mercados efcentes (EMH) 50 Estudos de fnales de los 70 y prncpo de los El modelo Captal Asset Prcng Model (CAPM ) 54 La vsón actual 56 El Modelo de un solo índce (Sngle-Index Model) 61 Introduccón 61 Inputs necesaros para el análss de portafolos 63 Vsón general del Modelo de un solo índce 65 Modelos Mult-Indce 69 Vsón general de los Modelos Mult-Indce 70 Funconaldad de los modelos Mult-Indce 7 Modelos de Seleccón de Portafolos 73 Introduccón 73 Maxmzacón de la Meda Geométrca de los Retornos 76 Segurdad Prmero (Safety Frst) 77 El crtero desarrollado por Roy 77 6

8 Crtero desarrollado por Kataoka 77 Crtero desarrollado por Telser 78 Domnacón Estocástca (Stochastc Domnance) 78 Defncón 78 Relacón de la Metodología DE con la Metodología E-V 80 Conexón DE Prmer Orden con E-V 80 Conexón DE Segundo Orden con E-V 81 Conclusones 8 La Potenca Replcadora de la Optmzacón de Markowtz 8 Condcones Requerdas para la Efcenca de Portafolos Construdos Medante Ponderacones de sus Captalzacones Bursátles (Captalzed Weghted Portfolos, C-W) 83 Cuando los Portafolos C-W son Inefcentes 84 Los Inversores no Concden en sus Expectatvas con Relacón a los Valores 84 Ausenca de venta a corto 85 Impuestos 86 Los Benefcos de la Optmzacón de Portafolos 87 Análss de Utldad 88 Una Dervacón Axomátca del Teorema de la Utldad Esperada 88 Seleccón Optmzada de Portafolos 94 PARTE III METODOLOGÍA MULTICRITERIO 97 Capítulo 8: Programacón Compromso en Seleccón de Portafolos 98 PARTE A: Aproxmacón para Inversores Estándar 100 Introduccón 100 Programacón Compromso Aplcada al Problema del Portafolo: Conceptos Prevos_ 10 Conjunto Compromso Para Portafolos: Determnacón Gráfca 105 La Cuestón de los Pesos 106 Maxmzacón de la Utldad del Inversor Estándar: Solucón Subrogada CP 108 Una Comparacón Tentatva de Procedmentos 113 Conclusones 115 PARTE B: Aproxmacón del Portafolo Optmo para un Inversor con Preferencas Partculares 116 Introduccón 116 Asuncones y Defncones 116 Defncones y Asuncones más Comunes (normalmente aceptadas en Economía) _ 117 El Teorema de Acotacón 119 Conclusones 11 PARTE IV CASO ESTUDIO Y CONCLUSIONES 1 Capítulo 9: Caso Estudo: Aplcacón a la Bolsa de Madrd 13 Introduccón 14 Cálculo de Rendmentos Mensuales 19 Cálculo de Fronteras Efcentes 134 Introduccón 134 Cálculo Detallado de las Fronteras Efcentes 135 Estmacón de Óptmos para Clentes Estándar 147 7

9 Estmacón de Óptmos para Clentes Agresvos 15 Estmacón de Óptmos para Clentes Conservadores 153 RESUMEN Y CONCLUSIONES 156 Conclusones relatvas a la Bolsa de Madrd, en aspectos generales, durante la década Conclusones relatvas a la MPT y sus contrastes empírcos 157 Conclusones relatvas a la seleccón de carteras medante análss compromso 160 Conclusones relatvas al caso estudo: portafolos obtendos en la Bolsa de Madrd para INDICE DE TABLAS 309 INDICE DE FIGURAS 311 INDICE BIBLIOGRÁFICO 313 Bblografía Ctada 313 Bblografía Complementara 30 8

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11 CAPÍÍTULO 1: IINTRODUCCIIÓN 1.1. Propósto de la Investgacón 1.. Fuentes de Datos 1.3. Metodología 1.4. Estructura y Contendos Prncpales 1.5. Aplcabldad 10

12 PROPÓSITO DE LA INVESTIGACIÓN En este trabajo se pone en práctca uno de los más novedosos avances en técncas de seleccón de carteras, aplcándolo a la Bolsa de Madrd durante el perodo Con esta avanzada técnca ntentamos obtener una cartera óptma en conjuncón con las preferencas del nversor sea cual sea su perfl de utldad, respecto a las varables rentabldad y resgo. FUENTES DE DATOS La nformacón requerda ha sdo facltada por el Servco de Estudos de BolsaMadrd e InfoBolsa 1 en soporte magnétco y a través de la red Internet. Esta nformacón ncluye los sguentes datos: Cotzacones daras correspondentes a 14 valores bursátles del mercado contnuo español. Amplacones de captal correspondentes a los 14 valores consderados. Cotzacones de los derechos de suscrpcón para cada uno de dchos valores. Dvdendos pagados por las socedades consderadas en el perodo de estudo. La sere hstórca comprende observacones daras extenddas a 7 meses desde prmero de enero de 199. METODOLOGÍA Recurrremos a las técncas más recentes de seleccón de carteras tal como se han nvestgado en la MPT y en los trabajos sobre funcones de utldad compromso publcados en la lteratura de análss multcrtero

13 Las herramentas multcrtero permten acotar un portafolo óptmo (o en certos casos un número reducdo de portafolos), ya sobre una frontera tradconal, ya sobre tpos especales de fronteras rentabldad-resgo. En otras palabras esta metodología se puede mplementar en un framework donde se confronten una medda de rentabldad con otra medda de resgo, ya que ambas varables son decsvas en seleccón de carteras. Dentro de la metodología que se apoya en el análss multcrtero, y especalmente, en las funcones de utldad-compromso, el problema selectvo del portafolo se aborda, sguendo dos modelos de comportamento nversor. El prmero de estos modelos se refere a un nversor estándar, defnendo la fgura del nversor estándar como la de un agente económco cuyas preferencas respecto a la rentabldad y al resgo responden a una fsonomía de ndvduo estadístco moda o ben, de ndvduo estadístco promedo. Sn duda, el agente económco será seguramente un nversor nsttuconal, en la línea de los fondos de nversón moblara. El segundo modelo concerne a un agente económco, cuyas preferencas aparecen sesgadas haca la rentabldad o, por el contraro, haca el resgo. En el prmer caso, hablaremos de nversor agresvo, mentras que en el segundo caso nos referremos a este agente llamándole nversor cauteloso o nversor conservador. Análogamente a la fgura del nversor estándar, habrá que entender al nversor sesgado como un agente nsttuconal en la mayoría de los casos. Se tratará, ya de un fondo de nversón cuyo objetvo consste en ofrecer portafolos atrayentes para una clentela de nversores conservadores, (temerosos por los posbles resgos de su aventura), ya de un fondo de nversón que ofrece carteras arresgadas pensando en una clentela que prefere aventurarse hasta certos límtes con el objetvo de consegur altas rentabldades. 1

14 ESTRUCTURA Y CONTENIDOS PRINCIPALES La presentacón del trabajo ha sdo elaborada en cuatro partes ben dferencadas. En la prmera parte, se hace una ntroduccón completa al entorno aplcatvo en donde se tratará la partcpacón de los agentes actvos y pasvos del mercado secundaro. Este tema se tratará en los capítulos segundo y tercero. Tambén se ntroducrá el funconamento nterno de la Bolsa de Madrd en el cuarto capítulo. Para acabar, en el qunto y últmo capítulo de esta prmera parte del trabajo se ntroducrán los índces más usuales del mercado bursátl madrleño. La segunda parte de la tess se ntroduce de lleno en la lteratura centífca de la matera, analzando los trabajos prevos así como estudando los modelos que pueden verse completados por la metodología multcrtero que aquí se emplea. Así pues, en el sexto capítulo trata una ntroduccón hstórca a los modernos métodos de seleccón de portafolos. En el sguente capítulo, el séptmo, se analza con detalla el conocmento y las tendencas de pensamento actuales, hacendo un profundo repaso a las teorías que más defensores y detractores tenen dentro de la moderna teoría del portafolo. En este tema se ntroducen crteros que posterormente se pondrán en práctca en el capítulo del caso estudo. La tercera parte concde con el capítulo octavo. Es en este capítulo en donde se detalla la metodología multcrtero en la que se basa este trabajo. Este capítulo es el más específco de la nueva metodología que se quere ntroducr con este trabajo. Para fnalzar, la cuarta y últma parte, agrupa el capítulo 9 y las conclusones fnales. El capítulo noveno desarrolla el caso estudo en toda su extensón. Este capítulo se ve complementado por el CD Rom de apéndces que ponen a dsposcón del lector todos los datos utlzados en el estudo. El resumen y las conclusones para el conjunto de la tess 13

15 se nserta como parte ndependente de los capítulos, al fnal del trabajo, ocupando unas 16 págnas. APLICABILIDAD Como ya hemos dcho, la tess pretende a los fondos de nversón y otras entdades que exsten actualmente en España para que puedan mplementar sus portafolos de un modo raconal, selecconando los valores que se ofrecen en cada momento según un modelo multcrtero que permte la toma de decsones en tempo real. Así pues los clentes o destnataros de la nvestgacón que aquí se desarrolla son todas aquellas entdades que admnstren algún tpo de fondo de nversón, sn restrccón con relacón a qué actvos entran a formar parte de las nversones. Es decr, la metodología es aplcable a cualquer tpo de fondo de renta fja, varable, fondos nmoblaros o moblaros, ncluso de actvos de otros tpos dversos. No exste límte sempre que se pueda calcular una medda de resgo y una medda de rentabldad. Las entdades que pueden benefcarse de esta nueva metodología son: bancos, fondos de nversón, entdades gestoras, socedades de valores, socedades de seguros, cajas de ahorro, cajas postales, socedades de crédto, mutualdades, grandes empresas, etc. Como se verá en el desarrollo del trabajo, uno de los métodos más populares de los últmos años, es la estratega del trackng portfolo, la cual consste en ndexar el fondo de nversón de manera que replque a un índce preselecconado. En general, se demostrará que este sstema de nversón no es efcente. El método aquí presentado resuelve este problema al no utlzar la captalzacón como crtero para selecconar los pesos del portafolo. La metodología presentada en este trabajo, posee todas las ventajas de la seleccón por mnmzacón del resgo, meddo en este caso por la varanza (aunque es vable cualquer otra medda del resgo); y además, 14

16 solucona la segunda parte del problema de seleccón sobre la frontera efcente utlzando la metodología compromso que asegura una reduccón drástca en la probabldad de selecconar un portafolo no óptmo. 15

17 La versón orgnal de la tess contaba con una prmera parte que versaba sobre el entorno aplcatvo del modelo utlzado, es decr, sobre la Bolsa de Madrd. Para esta edcón del trabajo se ha decddo suprmr esta prmera parte debdo a que tanto el trbunal de tess, como el drector, como el doctorando han consderado que no ayuda en la comprensón del modelo presentado como trabajo básco de esta tess. PARTE II METODOLOGÍA FINANCIERA Y ANÁLISIS MULTICRITERIO Capítulo 6: Una perspectva hstórca Capítulo 7: La Moderna Teoría del Portafolo (MPT) Capítulo 8: Programacón Compromso en Seleccón de Portafolos Capítulo 9: Caso Estudo: Aplcacón a la Bolsa de Madrd 16

18 CAPÍÍTULO 6: UNA PERSPECTIIVA HIISTÓRIICA 6.1. Introduccón 6.. Retornos del portafolo Varanza (desvacón típca) de los retornos Covaranza de retornos (Explcacón y Ejemplo) Covaranza y correlacón Desvacón típca de un portafolo Portafolo con dos actvos Igual resgo y retorno Combnacón de valores con retornos y resgos dstntos Cambo de pesos 6.4. La frontera efcente y la utldad del nversor 17

19 INTRODUCCIÓN En la década de los 50 y de los 60 un amplo segmento de la comundad de nversores e nvestgadores estaban nteresados en el concepto de resgo, pero había un problema, no exstía una medda especfcada para el térmno. El modelo básco de seleccón de portafolos, desarrollado por Harry Markowtz, 3, en 195, dervaba el retorno esperado para un portafolo de actvos y una medda del resgo esperado asocada a ese retorno 4, 5. Markowtz mostraba que la varanza del retorno esperado era una medda del resgo que tenía sgnfcado bajo una sere de asuncones raconales y no demasado restrctvas y dervó las fórmulas para el cálculo de la varanza del portafolo. Esta formulacón de la varanza del portafolo ndcaba la mportanca de la dversfcacón a la hora de reducr el resgo y mostraba cómo dversfcar adecuadamente. El modelo de Markowtz se basaba en varas asuncones que están relaconadas con el comportamento del nversor: 1. Los nversores consderan cada nversón alternatva como representada por una dstrbucón de probabldad de los retornos esperados sobre un perodo de nversón.. Los nversores maxmzan la utldad esperada de un perodo y poseen curvas de utldad que demuestran la dsmnucón de la utldad margnal de la rqueza. 3. Los ndvduos estman el resgo sobre la base de la varabldad de los retornos esperados. Gtman L.J. and Joehnk M.K. (1996) Fundamentals of Investng, Harper Collns, New York, Copeland T. E. and Weston J.F. (1988) Fnancal Theory and Corporate Polcy, Readng, Massachusetts, Markowtz H. (195) Portfolo Selecton, Journal of Fnance, 7, 1. 5 Markowtz H. (1959) Portfolo Selecton Effcent Dversfcaton of Investments New Haven, Conn. Yale Unversty Press. 18

20 4. Los nversores basan sus decsones úncamente en los retornos esperados y el resgo; es decr, solamente en sus funcones de utldad y varanza (o desvacón típca) de los retornos. 5. Para un nvel de resgo dado, los nversores preferen retornos mayores a menores. De la msma forma, para un nvel de retornos esperados dado, los nversores preferen menos resgo a más resgo. Bajo estas asuncones, un solo actvo o portafolo de actvos es consderado efcente s no exste otro actvo o portafolo de actvos que ofrezca un retorno esperado mayor con el msmo (o menor) resgo, o más bajo resgo con el msmo (o mayor) retorno esperado. La medda de resgo que Markowtz utlzaba era la varanza o la desvacón típca de los retornos esperados. Es una medda estadístca de la dspersón de los retornos alrededor del valor esperado; es decr, un valor mayor ndca más dspersón, sendo todos los demás factores guales. La dea es que cuanto más dspersos los retornos, más grande es la ncertdumbre de los msmos en cualquer perodo futuro. Otra medda de resgo es el rango de los retornos basada en la asuncón de que un más grande rango de retornos, desde el más bajo hasta el más alto, sgnfca más ncertdumbre en relacón a los retornos esperados futuros. En contraste a la utlzacón de meddas que analzan las desvacones de las expectatvas, algunos autores opnan que el nversor debería úncamente preocuparse por los retornos por debajo de sus expectatvas, desvacones por debajo del valor medo. Una medda que consdera úncamente esas desvacones adversas es la semvaranza 6. Una extensón de esta medda serían desvacones menores que cero o retornos negatvos. Ambas meddas mplíctamente asumen que los nversores queren mnmzar las posbldades de obtener retornos por debajo de la meda. Smlarmente, Znbarg propuso el uso de la 6 Copeland T. E. and Weston J.F. (1988) Fnancal Theory and Corporate Polcy, Readng, Massachusetts,

21 oportundad de retornos negatvos como medda de resgo. Estas oportundades de retornos negatvos son retornos por debajo de la tasa lbre de resgo 7. Aunque hay numerosas meddas potentes de resgo, se empeza por descrbr aquí la varanza o desvacón típca de los retornos, ya que esta medda es bastante ntutva, es una medda de resgo correcta para la mayoría de nversores y por ello ha sdo la elegda para la realzacón de este trabajo. RETORNOS DEL PORTAFOLIO 8 El retorno esperado de un portafolo de actvos es smplemente la meda ponderada de los retornos esperados para los actvos ndvduales del portafolo. Se pueden defnr los retornos ndvduales de un actvo de la sguente forma: R t VF VI VI CF sendo VF el valor fnal, VI el valor ncal y CF el cash flow del perodo 9, 10. Los pesos son la proporcón del valor total para el actvo. El retorno esperado para un actvo ndvdual hpotétco se calcula en la Tabla 1. En este ejemplo, se asume que se han estmado las msmas probabldades para todos los retornos posbles. 7 Znbarg E (1973) Modern Approach to Investment Rsk, Fnancal Executve, 41,, Copeland T. E. and Weston J.F. (1988) Fnancal Theory and Corporate Polcy, Readng, Massachusetts, Haugen R.A. (1997) Modern Investment Theory, Upper Saddle Rver, New Jersey, Gtman L.J. and Joehnk M.K. (1996) Fundamentals of Investng, Harper Collns, New York,

22 El retorno esperado para un actvo ndvdual con el conjunto de retornos y probabldades utlzadas en el ejemplo sería del 11 por cento. El valor esperado para un hpotétco portafolo de cuatro actvos se muestra en la Tabla. El valor esperado para el total del portafolo sería 11.5 por cento. El efecto de nclur o exclur algún valor del portafolo sería fáclmente cuantfcable, dados los nuevos pesos basados en los retornos esperados para cada uno de los actvos. Este cálculo de los retornos esperados para el portafolo puede ser generalzado de la sguente manera: E ( R port ) n 1 W R Varanza (desvacón típca) de los retornos Ya se ha ndcado que en este trabajo se utlza la varanza como medda de resgo. Así pues, en este punto se muestra el cálculo de la desvacón típca de los retornos para un actvo ndvdual. Se consdera el cómputo de la desvacón típca o varanza para un portafolo de actvos 11. La varanza o desvacón típca es una medda de la dspersón de los posbles retornos (R) con relacón a los retornos esperados [E(R)]: Varanza ( ) n 1 R E ( R ) P donde P es la probabldad de los posbles retornos (R). Desvacón Típca ( ) n 1 R E ( R ) P El cálculo de la varanza y la desvacón típca para los actvos ndvduales con resgo de la Tabla 1 está reflejado en la Tabla Haugen R.A. (1997) Modern Investment Theory, Upper Saddle Rver, New Jersey,

23 Tabla 1 Tabla Tabla 3 Antes de emprender la dervacón del resgo del portafolo, es necesaro entender dos conceptos báscos en estadístca: covaranza y correlacón. Covaranza de retornos (Explcacón y Ejemplo) La covaranza es una medda del grado al cual dos varables se mueven a la vez a lo largo del tempo. En el análss de portafolos, lo normal es que el valor relevante sea la covaranza de retornos en vez de otras como los precos u otra cualquera 1. S la covaranza entre los retornos para dos actvos es postva, esto ndca que los retornos tenden a moverse en la msma dreccón, al msmo tempo, s la covaranza es negatva, ndca que los retornos tenden a moverse en dreccones opuestas 13. La magntud de la covaranza depende de las 1 Los retornos, por supuesto, pueden ser meddos de varas formas, dependendo del tpo de actvo consderado. 13 Gtman L.J. and Joehnk M.K. (1996) Fundamentals of Investng, Harper Collns, New York,

24 varanzas de las seres ndvduales de retornos, así como de la relacón entre las seres 14. Tabla 4 La Tabla 4 contene los precos de cerre mensuales y dvdendos para cotzacones hpotétcas de Telefónca y BBV. Dados estos datos es posble calcular los retornos mensuales para estos dos valores durante el año 198. La Fgura 1 y la Fgura contenen los gráfcos de seres temporales de los retornos mensuales de los dos valores. Aunque parece que las dos seres de retornos se moveron en la msma dreccón en algunos meses, en otros meses parece que los retornos se mueven en dreccones opuestas. El propósto de la medda de la covaranza es proveer una medda absoluta de su movmento en el tempo 15. Para dos actvos, y j, la covaranza de los retornos mensuales se defne como: Cov j E R E ( R ) R j E ( R j ) R E ( R ) R j E ( R j ) 14 Sharpe W. F. (1985) Investments, Prentce-Hall, New Jersey, Copeland T. E. and Weston J.F. (1988) Fnancal Theory and Corporate Polcy, Readng, Massachusetts,

25 Retornos Mensuales R eto rn o s M en su ales Modelos Multcrtero para la Seleccón de Portafolos en la Bolsa de Madrd Como puede verse, s los retornos para un valor están por encma de su meda durante un perodo dado, y los retornos del otro valor están tambén sobre su meda durante el msmo perodo, entonces el producto de estas desvacones a partr de la meda serán postvas (es decr, la covaranza será un valor postvo). En contraste, s, durante un mes dado, el retorno de Telefónca estuvera por encma de su meda y el retorno del BBV estuvera por debajo de su meda, entonces el producto de estas desvacones sería negatvo. S este movmento contraro ocurrera consstentemente, la covaranza entre los retornos sería un valor negatvo. Por ejemplo, la Tabla 5 contene los retornos antes expuestos para Telefónca y BBV. Antes de ojear la tabla, uno podría esperar que los retornos para ambos valores tuveran una covaranza relatvamente pequeña debdo a las dferencas en los productos de estas dos empresas. Los retornos esperados E(R) son la meda artmétca de los retornos mensuales. E ( R ) 1 1 t 1 1 R and E ( R ) t j t 1 R jt Todas las fguras (excepto las de la últma columna) están redondeadas al segundo decmal más próxmo. Fgura 1 SERIE TEM PO RAL D E RETO RN O S PARA TELEFÓ N ICA SERIE TEMPORAL DE RETORNOS PARA TELEFÓNICA ene-8 ene-8 feb-8 feb-8 mar-8 mar-8 abr-8 abr-8 may-8 may-8 jun-8 jun-8 jul-8 jul-8 ago-8 ago-8 sep-8 sep-8 Tem po (M eses durante 198) Tempo (Meses durante 198) oct-8 oct-8 nov-8 nov-8 dc-8 dc-8 4

26 Retornos Mensuales R eto rn o s M en su ales Modelos Multcrtero para la Seleccón de Portafolos en la Bolsa de Madrd Fgura SERIE TEM PO RAL D E RETO RN O S PARA BBV SERIE TEMPORAL DE RETORNOS PARA BBV ene-8 ene-8 feb-8 feb-8 mar-8 mar-8 abr-8 abr-8 may-8 may-8 jun-8 jun-8 jul-8 jul-8 ago-8 ago-8 sep-8 sep-8 Tem po (M eses durante 198) Tempo (Meses durante 198) oct-8 oct-8 nov-8 nov-8 dc-8 dc-8 5

27 Tabla 5 Como ya se ha poddo ver, el retorno medo mensual en Telefónca fue de por cento y el retorno medo mensual para BBV fue de por cento. De los resultados de la últma columna, podemos dervar la covaranza entre estos dos valores como sgue: Cov j 1 1 (.59 ) 1.80 La nterpretacón de un número como 1.80 es dfícl, es decr, es 1.80 un covaranza alta o baja? Sabemos que la relacón es, en general negatva, pero no es posble ser más específco. La Fgura 3 muestra un dagrama de dspersón con los pares de valores de Rt y Rjt enfrentados. Este dagrama muestra la naturaleza lneal y el posble ajuste de la relacón. 6

28 BBV Modelos Multcrtero para la Seleccón de Portafolos en la Bolsa de Madrd Fgura 3 GRÁFICO DE DISPERSIÓN DE LOS RETORNOS MENSUALES DURANTE 198: TELEFÓNICA VS. BBV Telefónca Covaranza y correlacón La covaranza se ve afectada por la varabldad de las dos seres de retornos. Así pues, la nterpretacón de un número como 1.80 es dfícl porque, s las dos seres ndvdualmente son muy volátles, puede no ndcar una relacón lneal demasado ajustada. Por otro lado, s las dos seres fueran muy estables, un valor de 1.80 podría ser relatvamente alto. Obvamente, lo que se necesta es estandarzar esta covaranza para la varabldad ndvdual de las dos seres de retornos 16. Esto se hace de la sguente manera: r j Cov j j donde: rj = coefcente de correlacón de los retornos desvacón estándar de Rt j desvacón estándar de Rjt 16 Sharpe W. F. (1985) Investments, Prentce-Hall, New Jersey,

29 E R t E ( R ) t N 1 R t E ( R ) 1 N j E R jt E ( R ) j t N 1 R jt E ( R ) j 1 N Como ya se ha mostrado, cuando se estandarza la covaranza medante las desvacones estándar ndvduales, dervamos el coefcente de correlacón (rj), el cual solamente vara en el rango 1 a +1. Un valor de +1 ndcaría una relacón lneal perfecta y postva entre R y Rj; es decr, los retornos de los dos valores se moverían juntos de forma perfectamente lneal. Tabla 6 Para dervar esta medda estandarzada de la relacón, es necesaro calcular las desvacones típcas para las seres ndvduales. Anterormente, ya se han realzado estos cálculos en la Tabla 5. Ahora obtenemos el cuadrado de cada uno de estos valores y los sumamos como se ha mostrado en la Tabla 6, así obtenemos: 1 ( ) y 1 j 1 1 (83.3 ) 3.61 Así pues: 8

30 % j % Por tanto, el coefcente de correlacón entre los retornos para Telefónca y BBV es: r j Cov j j 1.80 (3.38 )(4.86 ) 0.11 Como ya se ha dcho una correlacón de +1 ndcaría una correlacón postva perfecta, un valor de 1 sgnfcaría que los retornos se moverían en dreccones completamente opuestas, mentras que un valor de 0 sgnfcaría que no exste relacón lneal alguna entre los retornos. Esto querría decr que ellos están ncorrelaconados desde un punto de vsta estadístco; lo cual no mplca que sean ndependentes. El valor rj = es sgnfcante aunque no es demasado elevado s lo comparamos con la correlacón que se obtene entre algunos valores pertenecentes al msmo sector ndustral, donde las correlacones superan el Dada esta somera explcacón de los conceptos de covaranza y correlacón, es posble consderar ahora la fórmula para calcular la desvacón típca de los retornos para un portafolo de actvos. Es necesaro ser capaz de calcular las desvacones típcas porque esta es la medda de resgo que se va a utlzar en este trabajo, aunque debe quedar claro que para cualquer otra medda de resgo dstnta de la varanza, la metodología multcrtero que analzo en este trabajo es aplcable. Como se ha ndcado, la dervacón de la formula para el cálculo de la desvacón típca de un portafolo de actvos fue obtenda por Markowtz. Desvacón típca de un portafolo Anterormente en este trabajo se presentó la fórmula para el retorno esperado de un portafolo de actvos y se mostró que el retorno esperado de un portafolo era smplemente la meda ponderada de los 9

31 retornos esperados de los actvos ndvduales del portafolo; los pesos son los porcentajes del valor del portafolo. (Ver, por ejemplo la Tabla ). En tales condcones, es relatvamente fácl ver el mpacto sobre el retorno esperado del portafolo al añadr o sustraer un actvo determnado. Basándose en esto, uno puede asumr que es posble determnar la desvacón típca del portafolo de la msma forma, es decr, calculando la meda ponderada de las desvacones típcas para los actvos ndvduales. Pero lo certo es que hacendo el cálculo de esta manera, el resultado no es correcto. Cuando Markowtz dervó la fórmula general para la desvacón típca de un portafolo, obtuvo lo sguente 17 : port N N N W 1 1 j 1 j W W j Cov j donde: port la desvacón típca de los portafolos W los pesos de los actvos ndvduales en el portafolo, donde los pesos están determnados por la proporcón de valor en el portafolo. la varanza del actvo Cov j la covaranza entre los retornos para los actvos y j. En otras palabras, esta fórmula ndca que la desvacón típca del portafolo es una funcón de la meda ponderada de las varanzas ndvduales (en donde los pesos están elevados al cuadrado), más dos veces las covaranzas ponderadas entre todos los actvos del portafolo. La clave resde en que la desvacón típca del portafolo no abarca úncamente las varanzas, sno tambén las covaranzas entre los pares de valores ndvduales. Además, puede ser demostrado que en un portafolo con un gran número de valores, esta fórmula puede expresarse como la suma de las covaranzas. Esto ndca que el factor 17 Sharpe W. F. (1985) Investments, Prentce-Hall, New Jersey,

32 relevante a consderar al sumar los actvos a un portafolo con un número de otros actvos no es la varanza del actvo ndvdual, sno su covaranza ponderada con todos los demás actvos en el portafolo. En los sguentes ejemplos se consderará el caso más smple de un portafolo con dos actvos. Es mportante ver el mpacto de covaranzas dstntas sobre el resgo total (desvacón típca) del portafolo. PORTAFOLIO CON DOS ACTIVOS Examnando el caso más smple, en el cual úncamente dos actvos son combnados para crear un portafolo, srve para lustrar los cálculos necesaros y ayuda a explcar la forma característca de una frontera efcente. Debdo a que el modelo de Markowtz asume que cualquer actvo o portafolo de actvos pude ser descrto por solo dos parámetros, el retorno esperado y la desvacón típca esperada de los retornos, lo sguente puede ser aplcado a dos actvos ndvduales con los parámetros y coefcentes de correlacón ndcados, o a dos portafolos de actvos con los msmos parámetros y coefcentes de correlacón 18. Igual resgo y retorno Consdérese prmero el caso en que ambos actvos tenen el msmo retorno esperado y la msma desvacón típca de los retornos. Como ejemplo, se supondrá: E(R1) = 0. E( 1) = 0.1 E(R) = 0. E( ) = 0.1 Para ver el efecto de covaranzas dstntas (es decr, se suponen nveles dferentes de correlacón entre dos actvos), se consdera el sguente ejemplo donde los dos actvos tenen pesos guales en el portafolo (W1 = 0.50; W = 0.50) Así pues, el únco valor que varará en los sguentes 18 Copeland T. E. and Weston J.F. (1988) Fnancal Theory and Corporate Polcy, Readng, Massachusetts,

33 ejemplos es la correlacón entre los retornos para los dos actvos. Recuérdese que: Cov j r j j Así, consdérense los sguentes coefcentes de correlacón y covaranzas alternatvas. La covaranza será gual a: (r1,)(0.1)(0.1) ya que ambas desvacones típcas son r1. = 1.00 Cov1. = (1.00)(0.10)(0.10) = r1. = 0.50 Cov1. = r1. = 0.00 Cov1. = r1. = Cov1. = r1. = Cov1. = Ahora, s se calcula la desvacón típca del portafolo en cada uno de estos casos: Recordar que: port N N N W 1 1 j 1 j W W j Cov j Por tanto, para el caso 1.: port ( A ) (0.5) (0.10 ) (0.5) (0.1) (0.5)(0.5)(0.01) (0.5 )(0.01) (0.5 )(0.01) (0.5 )(0.01) (0.005 ) (0.005 ) (0.50 )(0.01) ( ) ( ) Como se ha mostrado, en este caso los retornos para los dos actvos están perfectamente correlaconados, por tanto la desvacón típca para el portafolo es la meda ponderada de las desvacones típcas ndvduales, y no se produce nngún benefco real al combnar los dos 3

34 actvos; son como un solo actvo ya que sus retornos se mueven déntcamente. Pasamos al caso. en donde r1. es gual a port ( B ) (0.5) (0.10 ) (0.5) (0.1) (0.5)(0.5)(0.05 ) (0.005 ) (0.005 ) (0.50 )(0.05 ) ( ) (0.005 ) Como puede verse medante smple comparacón con el ejemplo anteror, Caso 1., el únco térmno que camba en el cómputo ha sdo el últmo (Cov1.) el cual pasa de 0.01 a El resultado de esto ha sdo que la desvacón típca ha dsmnudo cerca de un 13 por cento desde 0.10 hasta Hay que recordar que el retorno esperado no ha varado ya que este se defne como la meda ponderada de los retornos esperados ndvduales; es decr, es gual a 0.0 en ambos casos. Operando de la msma forma, se obtendrá port = y port =0.50 para los casos 3. y 4. respectvamente. En el últmo caso, en donde las correlacones entre los dos actvos es 1.00, resulta ser en donde mejor se pueden ver los benefcos de la dversfcacón. port ( E ) (0.5) (0.10 ) (0.5) (0.1) (0.5)(0.5)( 0.01) (0.005 ) (0.005 ) (0.005 ) (0.5)( 0.01) ( ) ( ) 0 0 En este últmo caso, el térmno de la covaranza hace desaparecer exactamente la varanza de los térmnos ndvduales, y de este modo la desvacón típca del portafolo es cero. Este sería un portafolo sn resgo. Un gráfco de tal comportamento se puede ver en la Fgura 4. 33

35 E ( R ) Retornos Modelos Multcrtero para la Seleccón de Portafolos en la Bolsa de Madrd Fgura 4 COMPORTAMIENTO CE LOS RETORNOS MENSUALES DE DOS ACTIVOS CON CORRELACION PERFECTAMENTE NEGATIVA Retornos del Actvo A en el tempo Retorno medo del Portafolo con Actvos A y B Retornos del Actvo B en el tempo Tempo El resultado de una correlacón perfectamente negatva es que el retorno medo para los dos actvos combnados a lo largo del tempo es gual a la meda para cada uno de ellos, y no exste varabldad de los retornos para el portafolo. Los retornos sobre y por debajo de la meda para cada uno de los actvos son completamente compensados por el retorno del otro actvo, por lo tanto no exste varabldad en los retornos totales del portafolo; es un portafolo sn resgo ya que no exste ncertdumbre en cuanto a los retornos. La combnacón de dos actvos con correlacón perfectamente negatva produce el benefco máxmo de la dversfcacón, elmna el resgo. Fgura 5 G R A F I C O D E R E T O R N O - R I E S G O P A R A P O R T A F O L I O S C O N C O R R E L A C I O N E S D I S T I N T A S D e s v a c ó n T íp c a d e lo s R e t o r n o s 34

36 El gráfco de la Fgura 5 muestra la dferenca en el conjunto resgo-retorno para estos cnco casos. Como se ha dcho, el únco mpacto del cambo en la correlacón es el cambo en la desvacón típca de un portafolo que contenga los dos actvos. En la medda que se combnen actvos que no estén perfectamente correlaconados, no se afecta el retorno esperado del portafolo, aunque sí que podemos reducr el resgo del portafolo (su desvacón típca) hasta consegur la combnacón óptma en la que exste correlacón perfectamente negatva y se elmna el resgo. Combnacón de valores con retornos y resgos dstntos La explcacón preva ndcaba qué ocurría cuando se combnaban dos actvos con el msmo retorno esperado y desvacón típca, y la únca dferenca era el coefcente de correlacón (covaranza) entre los actvos. En esta seccón se consderarán dos actvos (o portafolos) que han tendo dferentes retornos esperados y desvacones típcas ndvduales. Se mostrará qué ocurre cuando varamos las correlacones entre ellos. Supondremos lo sguente: Valor E(R) W Se consderará el msmo conjunto de coefcentes de correlacón anteror, con un conjunto dferente de covaranzas de la sguente manera: 35

37 Caso Coefcente de correlacón Covaranza ( r j j ) A B C D E Como estamos suponendo que la proporcón (pesos) en todos los casos es la msma (0.50, 0.50), el retorno esperado en todas las nstancas será: E(Rport) = 0.50(0.10)+0.50(0.0) = 0.15 La desvacón típca para el Caso A será: port ( A ) (0.5) (0.7) (0.5) (0.1) (0.5)(0.5)( ) (0.5 )( ) (0.5 )(0.01) (0.5)( ) De nuevo, se muestra que en el caso de correlacón postva perfecta, la desvacón típca del portafolo es la meda ponderada de las desvacones de los actvos ndvduales: (0.50)(0.070)+(0.50)(0.10)=0.085 Obvamente, a medda que cambamos los pesos, la desvacón típca cambaría de modo lneal. Esta propedad se enfatza ya que es mportante en la ntroduccón a los modelos CAPM (Captal Asset Prcng Models), los cuales ntentan, entre otras cosas, profundzar en el 36

38 trabajo de Markowtz. Para los casos B,C,D y E, la desvacón típca para el portafolo sería como sgue 19 : port ( B ) ( ) (0.005 ) (0.5)( ) port (C ) ( ) (0.005 ) (0.5)(0) port ( D ) ( ) (0.005 ) (0.5)( ) port ( E ) ( ) (0.5)( ) Indcar que en este conjunto de ejemplos, con correlacón negatva perfecta, la desvacón típca del portafolo no es cero. Esto se debe a que los dferentes ejemplos tenen pesos guales, pero las desvacones típcas ndvduales no son guales. La Fgura 6 muestra los resultados para los dos actvos ndvduales y el portafolo de los dos actvos bajo la suposcón de coefcentes de correlacón dferentes como realzado en los casos A, hasta E. Como antes, los retornos esperados no camban debdo a que las proporcones se hacen todas (0.50, 0.50), de forma que todos los portafolos cagan a lo largo de la línea horzontal de retorno R = Cambo de pesos S se cambaran los pesos de los dos actvos para un coefcente de correlacón dado, se dervarían una sere de combnacones las cuales trazarían una elpse que nacería en el valor dos, atravesaría el 19 En todos los ejemplos sguentes, se saltarán algunos pasos debdo a que ya ha quedado claro que úncamente el últmo térmno es el que varía. 37

39 E (R ) Modelos Multcrtero para la Seleccón de Portafolos en la Bolsa de Madrd punto (0.50, 0.50) y fnalzaría en el valor uno. Para demostrar esto, se consdera el Caso C en el cual el coefcente de correlacón es cero (lo cual smplfca los cálculos), y se camban los pesos de la sguente forma: Caso W1 W E(R) F G H I J E( R) Fgura 6 G R AFICO D E R ETO R N O -R IESGO PARA PO R TAFO LIO S G R AFICO D CO E R N ETO CO R N R O ELACIO -R IESGO N ES PARA D ISTIN PO TA R TAFO S LIO S CO N CO R R ELACIO N ES D ISTIN TA S Desvacón Típca de los Retornos Desvacón Típca de los Retornos En los casos F, G, I y J, las desvacones típcas serían (el el portafolo H es ya conocdo): para port ( F ) (0.0 ) (0.07 ) (0.80 ) (0.10 ) (0.0 )(0.80 )(0) (0.04 )( ) (0.64 )(0.01)

40 port (G ) (0.40 ) (0.07 ) (0.60 ) (0.10 ) (0.40 )(0.60 )(0) port ( I ) (0.60 ) (0.07 ) (0.40 ) (0.10 ) (0.60 )(0.40 )(0) port ( J ) (0.80 ) (0.07 ) (0.0 ) (0.10 ) (0.80 )(0.0 )(0) Así pues, los pesos alternatvos, suponendo las msmas correlacones, ndcan las sguentes combnacones resgo-retorno: Caso W1 W E(R) E( port ) F G H I J

41 D esvacón T ípca E (R ) Modelos Multcrtero para la Seleccón de Portafolos en la Bolsa de Madrd Fgura 7a G RAFICO RIESG O -RETO RNO PARA PESO S D IFEREN TES CU AN D O r = D esvacón T ípca Fgura 36b G RAFICO RIESG O -RETO RN O PARA PESO S D IFEREN TES CU AN D O r = E(R ) Una representacón gráfca de lo que estas combnacones suponen en térmnos de retorno y resgo se puede ver en la Fgura 7a y Fgura 36b. Estas fguras representan la msma curva desde las dos vertentes, el resgo y el retorno. Es posble dervar una curva completa smplemente varando los pesos medante pequeños ncrementos. Como se puede observar, la curvatura de la funcón en los gráfcos dependerá de la correlacón entre los dos actvos o portafolos. 40

42 En el caso en que rj = 1, las combnacones se stuarían sobre un línea recta entre los dos actvos. S se dbujan las posbles combnacones cuando se asume que rj = -1, el gráfco el gráfco resultará más curvado que el de la Fgura 7a y Fgura 36b, e ncluso llegaría a tocar el eje donde se representan los retornos E(R) (el resgo sería cero en este caso). S se examnan un número más grande de actvos y se dervan las curvas suponendo todas las posbles combnacones de pesos, se obtendría un gráfco como el de la 41

43 Fgura 8, s solo se consderaran combnacones de dos actvos o portafolos. La curva envolvente que contene las mejores de todas estas combnacones se denomna la frontera efcente. Más específcamente, la frontera efcente es aquel conjunto de portafolos que tene el retorno máxmo para cada nvel de resgo, o el mínmo resgo para cada nvel de retorno. Un ejemplo de esta frontera está expresado en la Fgura 8.9. Como puede verse, el conjunto de portafolos de la frontera efcente domna todos los portafolos debajo de esa frontera. En detalle, cada uno de los portafolos sobre la frontera, cumple alguna de las dos sguentes condcones: (a) tene más retorno para un msmo resgo o (b) sufre un menor resgo para el msmo retorno, que cualquera de los portafolos stuados por debajo de la frontera. Por ejemplo, el portafolo A domna el portafolo C porque tene el msmo retorno pero mucho menos resgo. El portafolo B domna el portafolo C porque tene el msmo resgo pero un retorno nferor. Debdo a los benefcos de la dversfcacón entre actvos que no están correlaconados de forma perfecta, se puede afrmara que la frontera efcente estará formada por portafolos, con la posble excepcón de los dos puntos extremos (es decr, el actvo con más alto retorno y el actvo con menor resgo). 4

44 E(R ) E(R ) Modelos Multcrtero para la Seleccón de Portafolos en la Bolsa de Madrd Fgura 8 G RAFICO D EL N U M ERO SAS CO M BIN ACIO N ES D E PO RTAFO LIO S EN EL CO N JU N TO D E O PO RTU N ID AD ES D esvacón T ípca De este modo los nversores, decdrán dónde colocarse sobre la frontera basándose en su propa funcón de utldad y acttud frente al resgo. Los nversores selecconarán uno de los portafolos sobre la frontera basándose en sus preferencas respecto al resgo. Nngún portafolo stuado sobre la frontera efcente resulta domnado por algún otro portafolo. Todos ellos tenen dferentes nveles de retorno y resgo, y el retorno crece con el resgo durante toda la longtud de la frontera que utlzaremos para la aplcacón del teorema objeto de estudo en este trabajo. Fgura 9 FRO N TERA EFICIEN TE PARA PO RTAFO LIO S ALTERN ATIVO S B A C D esvacón T ípca 43

45 LA FRONTERA EFICIENTE Y LA UTILIDAD DEL INVERSOR Una vez se ha dervado la frontera efcente para portafolos construdos con los valores objeto de estudo, el nversor tene que tomar una decsón. La frontera efcente le mostrará el portafolo que ofrece el máxmo retorno posble para cada nvel de resgo (o el mínmo resgo posble para cada nvel de retorno exgdo). La curva de la frontera efcente, como puede verse en la Fgura 9, tene una forma que provoca que cuando un nversor quere obtener un mayor rendmento, tambén deberá asumr un mayor resgo. La pendente de la frontera efcente 0 : E ( R E ( port port ) ) decrece sostendamente a medda que se mueve haca arrba. Esto mplca la necesdad de asumr cada vez un mayor ncremento de resgo a medda que se le demandan ncrementos guales de retorno. Las curvas de utldad para un ndvduo especfcan las relacones trade-off que éste esta dspuesto a aceptar entre retornos esperados y resgo. Las funcones de utldad de un ndvduo se utlzan conjuntamente con la frontera efcente para determnar qué portafolo es el mejor, dadas las preferencas del nversor. Dos nversores no selecconarán el msmo portafolo del conjunto efcente a menos que sus curvas de utldad sean déntcas. En la Fgura 10, dos conjuntos de curvas de utldad se han dbujado, junto con la frontera efcente. Las curvas denomnadas U1 son para un nversor adverso al resgo (con U3>U>U1). Estas curvas son bastante pronuncadas e ndcan que el nversor no tolerará demasado resgo adconal para obtener retornos adconales. El nversor es ndferente a cualquer combnacón E(R), 0 Copeland T. E. and Weston J.F. (1988) Fnancal Theory and Corporate Polcy, Readng, Massachusetts, 169, 170, 17, 179,

46 E (R ) Modelos Multcrtero para la Seleccón de Portafolos en la Bolsa de Madrd E( ) que resdan a lo largo de una curva específca de utldad 1 (por ejemplo U1). Fgura 10 S E LECCIÓ N D E L P O R TAFO LIO O P TIM O Y X D esvacón Típca Las curvas denomnadas U 1 (U 3>U >U 1) son las correspondentes a un nversor menos adverso al resgo. Éste está dspuesto a tolerar un poco más de resgo para obtener un retorno esperado más alto; por tanto, elegrá un portafolo con más alto resgo y retorno esperado que el que elegrá el nversor cuyas curvas de ndferenca son descrtas por U1, U, U3. El portafolo óptmo es el portafolo efcente con la utldad más alta. Este se encuentra en el punto de tangenca entre la frontera efcente y la curva con la más alta utldad para un nversor dado. Para el nversor más conservador, el punto de tangenca está en el punto donde la curva U toca la frontera efcente, punto X en la Fgura El otro nversor, debdo a que es menos adverso al resgo, elegría portafolo Y, el cual tene mayor valor que el punto X en ambas dmensones, el retorno esperado y el resgo (desvacón típca). Así pues, dadas sus respectvas acttudes haca el resgo y el retorno, es 1 Copeland T. E. and Weston J.F. (1988) Fnancal Theory and Corporate Polcy, Readng, Massachusetts, 77,

47 perfectamente lógco que estos dos nversores eljan dferentes portafolos del conjunto efcente. Aquí es donde resde el problema que se ntenta resolver en este trabajo. Dadas las nfntas funcones de utldad que pueden tener los nversores, no podemos conocer el punto de tangenca entre la frontera efcente y la curva de utldad a menos que conozcamos qué funcón explícta de utldad posee el nversor, suposcón bastante poco realsta. Con la metodología utlzada en este trabajo, podemos acotar la parte de la frontera efcente en donde cualesquera funcón de utldad, que cumpla una sere de condcones muy poco restrctvas, será tangente a la frontera. A partr de esta acotacón podemos selecconar una cartera dentro de un conjunto de posbldades mucho más concreto. Gtman L.J. and Joehnk M.K. (1996) Fundamentals of Investng, Harper Collns, New York,

48 CAPÍÍTULO 7: LA MODERNA TEORÍÍA DEL PORTAFOLIIO (MPT) 7.1. La complejdad de los mercados fnanceros La evolucón de la práctca nversora Perodo anteror a la década de los Las hpótess de los mercados efcentes (EMH) Estudos de fnales de los 70 y prncpo de los El modelo Captal Asset Prcng Model (CAPM) La vsón actual 7.. El Modelo de un solo índce (Sngle-Index Model) Introduccón Inputs necesaros para el análss de portafolos Vsón general del Modelo de un solo índce 7.3. Modelos Mult-Indce Vsón general de los Modelos Mult-Indce Funconaldad de los modelos Mult-Indce 7.4. Modelos de Seleccón de Portafolos Introduccón Maxmzacón de la Meda Geométrca de los Retornos Segurdad Prmero (Safety Frst) El crtero desarrollado por Roy El crtero desarrollado por Kataoka El crtero desarrollado por Telser 47

49 Domnacón Estocástca (Stochastc Domnance) Defncón Relacón de la Metodología DE con la Metodología E-V Conexón DE Prmer Orden con E-V Conexón DE Segundo Orden con E-V Conclusones 7.5. La Potenca Replcadora de la Optmzacón de Markowtz Condcones Requerdas para la Efcenca de Portafolos Construdos Medante Ponderacones de sus Captalzacones Bursátles (Captalzed Weghted Portfolos, C-W) Cuando los Portafolos C-W son Inefcentes Los Inversores no Concden en sus Expectatvas con Relacón a los Valores Ausenca de Venta a Corto Impuestos Los Benefcos de la Optmzacón de Portafolos 7.6. Análss de Utldad Una Dervacón Axomátca del Teorema de la Utldad Esperada Seleccón Optmzada de Portafolos 48

50 LA COMPLEJIDAD DE LOS MERCADOS FINANCIEROS La Evolucón de la Práctca Inversora Perodo anteror a la década de los 70 A lo largo de toda la prmera mtad de todo este sglo y hasta ben entrada la segunda mtad, aproxmadamente hasta la década de los 70, los nversores utlzaban exclusvamente el análss de valores para tomar sus decsones de seleccón de nversones. Los managers o admnstradores de los portafolos dependían de una manera decsva de los economstas, analstas fundamentales y analstas técncos para realzar su trabajo. En este sstema de seleccón de carteras a cuatro bandas el economsta aportaba su vsón general de la economía y de las nterelacones macroeconómcas que pudesen afectar a las dstntas nversones. El analsta fundamental aportaba las prevsones de crecmento de la empresa basándose, sobre todo, en las cuentas anuales de las empresas 3, audtoras y notcas sobre polítcas empresarales que puderan fltrarse al exteror de la empresa. El analsta técnco estudaba la evolucón de los precos de cotzacón de las accones de las empresas y obtenía prevsones sobre el comportamento futuro del valor 4. Por últmo, la fnaldad del manager era prncpalmente aglutnar la nformacón que le llegaba de los otros tres departamentos ndcados y basar decsones en la nformacón recogda. La razón por la que se seguía el método antes ndcado tene explcacón lógca. Durante todo este tempo, la creenca era que una 3 Ballestero E., Plà-Santamaría D., Garca A., Pcó A. y Gadea J.E. (1999) Audtoría Evaluatora de Socedades. Dossat. Madrd. 4 Un estudo de caldad sobre los sstemas utlzados en este tpo de análss se puede encontrar en Edwads, R. and Magee, J. (1989) Análss Técnco de la Tendenca de los Valores, Gesmovasa, Madrd. 49

51 sola persona no era capaz de tener todo el conocmento necesaro para poder selecconar una cartera de valores en los que nvertr. La dfcultad se centraba entonces en encontrar una persona o departamento que fuera capaz de aglutnar todo la nformacón que los departamentos de economía, análss fundamental y análss técnco puderan obtener. El sstema fue un completo desastre, ya que la tarea de aglutnar todo el output de los demás departamentos se convrtó en mposble. Las hpótess de los mercados efcentes (EMH 5 ) Mentras que la defncón de un mercado efcente de captales es bastante drecta, solemos olvdarnos de consderar porqué los mercados de captales deben ser efcentes. Qué condcones se asume que exsten para tener un mercado de captales efcente? La prmera premsa, y de las más mportantes, es que acudan a él un gran número de partcpantes o agentes maxmzadores de benefco preocupados por el análss y valoracón de las accones y que actúan de forma ndependente unos de otros. Una segunda asuncón es que toda la nueva nformacón relaconada con los valores llega al mercado de manera aleatora y además las notcas que llegan son en general, ndependentes unas de otras 6. La tercera asuncón de un mercado efcente es especalmente crucal. Los nversores ajustan los precos rápdamente para reflejar el efecto de la nueva nformacón. Mentras que el ajuste de los precos que se produce no es sempre perfecto, sí que es nsesgado (esto es, algunas veces hay un ajuste superor al necesaro, y aveces el ajuste es nferor, pero nunca se puede prever cual de los dos errores se cometerá en un momento determnado). Sabemos que el tempo que se tarda en ajustar el preco 5 Fama E.F. (1970) Effcent Captal Markets: A Revew of Theory and Emprcal Work Journal of Fnance, 5,, Fama E.F., Fsher, L. Jensen, M. and Roll, R. (1969) The Adjustment of Stock Prces to New Informaton Internatonal Economc Revew, 10, 1,

52 de un valor es muy poco, debdo al alto número de partcpantes maxmzadores de benefco que acuden al mercado. El efecto combnado de (1) nformacón llegando de un modo aleatoro, y () numerosos nversores que ajustan rápdamente los precos de los valores para reflejar la nueva nformacón hace que los cambos en los precos sean ndependentes y aleatoros. Un punto crucal en esta dscusón es que el proceso de ajuste requere un alto número de nversores que sguen el movmento de precos del valor, analzan el mpacto de la nueva nformacón, y compran o venden el valor para ajustar el preco de forma que refleje la nueva notca. Esto mplca que los mercados efcentes requeren un mínmo de tradng o contratacón y que cuanta más contratacón más rápdo será el ajuste de los precos, es decr más efcenca. Fnalmente, debdo a que los precos de los valores se ajustan a toda la nueva nformacón y por tanto, se supone que reflejan toda la nformacón públca en cualquer momento del tempo. Los precos deben ser un estmador nsesgado de toda la nformacón accesble. Tenendo en cuenta todo lo ndcado podemos decr que un mercado efcente es un mercado en el que los precos de los valores se ajustan rápdamente ante la nfusón de nueva nformacón, y por tanto, los precos de los valores en cada nstante reflejan felmente toda la nformacón dsponble ncluyendo el resgo nvolucrado. Así pues, los retornos reflejan el resgo mplícto, y el retorno esperado es consstente con el resgo. Estas hpótess supuseron una arremetda contra el sstema tradconal de nversón. Todo el sstema de seleccón de nversones que se había mantendo hasta la aparcón de esta teoría se quedó antcuado de la noche a la mañana. Además, debdo al ya alto número de partcpantes que los mercados fnanceros tenían en aquellos años, sobre todo los de los EE.UU. se pensó que los mercados fnanceros de aquel país eran efcentes. Por lo tanto, con esto se estaba afrmando que los precos de 51

53 los valores se comportan sguendo un patrón aleatoro, con lo que en realdad no hay nade que pueda predecr sus movmentos y por tanto benefcarse de un análss centífco. Las úncas personas que podrían obtener un benefco sostendo en los mercados fnanceros son los nsders, ya que éstos cuentan con la nformacón relevante de un valor antes que el públco en general 7. Con todo ello, el paradgma central del estudo de los mercados fnanceros durante el fnal de la década de los 70 y hasta ben entrados los 80 fueron las EMH. Consecuenca de esta teoría fue el éxto de la admnstracón pasva de los fondos de nversón que empezó a ser popular en aquella época. El razonamento era muy lógco. S los mercados fnanceros son mercados efcentes, sgnfca que ajustan automátcamente los precos de los valores a las notcas en cuanto se conocen. Por tanto, no podemos predecr en absoluto el movmento futuro de una cotzacón. Además la efcenca hace que los cambos en los precos sean ndependentes y aleatoros. Con todo ello, es absolutamente mposble vencer al mercado. Solo nos queda una solucón: segurlo. Esto es lo únco que cabe hacer s confamos en que los mercados bursátles tenden a ncrementar precos a largo plazo. Debdo a esta creenca 7 Los prncpales estudos en esta área son: Lore J.H. and Nederhoffer (1968) Predctve and Statstcal Propertes of Insder Tradng, Journal of Law and Economcs, 11, 35-53, Pratt S.P. and DeVere C.W. (197) Relatonshp between Insder Tradng and Rates of Return for NYSE Common Stocks, , ncluded n Lore J. and Brealey R., eds. Modern Developments n Investment Management, Praeger Publshers, New York, 68-79, Jaffe J. (1974) Specal Informaton and Insder Tradng, Journal of Busness 47, 3, , Fnnerty J.E. (1976) Insders and Market Effcency, Journal of Fnance, 31, 4, , Fnnerty J.E. (1976) Insders Actvty and Insde Informaton: A Multvarate Analyss, Journal of Fnancal and Quanttatve Analyss 11,,

54 naceron los fondos ndexados y todos los sstemas de nversón que tratan de obtener los msmos retornos que un determnado índce. Estudos de fnales de los 70 y prncpo de los 80 Durante estos años se hceron un gran número de estudos empírcos cuyo objetvo era desenmascarar dstntas pautas de conducta de los retornos. Algunos de estos estudos se basaban en creencas que durante largo tempo habían estado formando parte del folklore de los mercados fnanceros como métodos de nversón. Algunos de los sstemas de nversón que se testaron durante este perodo fueron: (1) nvertr en valores de bajo PER 8, 9 ; () nvertr en empresas de captalzacón baja 30, 31 ; (3) efecto enero; (4) nvertr en empresas de alta tecnología o de gran crecmento. Los estudos que se realzaron demostraron que en algunos casos podían obtenerse retornos sgnfcatvamente superores a la meda y de forma consstente. Por lo que proveían evdenca en contra del paradgma central que en aquel tempo regía, el de las EMH 3. 8 Basu S. (1977) Investment performance of Common Stocks n Relaton to Ther Prce-Earnng Ratos: A Test of the Effcent Market Hypothess, Journal of Fnance, 3, 3, Basu S. (1975) The Informaton Content of Prce Earnng Ratos, Fnancal Management, 4,, Renganum, M.R. (1981) Abnormal Returns n Small Frm Portfolos Fnancal Analysts Journal, 37,, Renganum, M.R. (198) A Drect Test of Roll s Conjecture on the Frm Sze Effect Journal of Fnance, 37, 1, Nawrock D. (000) Portfolo Optmzaton, Heurstcs, and the 'Butterfly Effect, Journal of Fnancal Plannng, In Press. Nawrock D. (1999) A Bref Hstory of Downsde Rsk Measures. Journal of Investng, Nawrock D. and Carter W. (1998) Earnngs Announcements and Portfolo Selecton: Do They Add Value?, Internatonal Revew of Fnancal Analyss, Vol. 7, No.1, 1998,

55 El modelo Captal Asset Prcng Model (CAPM 33, 34, 35 ) Este modelo se nca justo donde acaba el modelo de Markowtz tratado en el capítulo anteror. El propósto de los CAPM es extender la teoría del portafolo a un modelo que pueda servr para valorar todos los actvos arresgados. Los CAPM permten determnar el retorno a exgr a una nversón arresgada. El prncpal problema que presentan es que su valdez se restrnge a un mundo con muchas restrccones que no se aproxma al real. Por ello, los CAPM han sdo muy crtcados sobre todo en los últmos años. Las prncpales asuncones de los CAPM son: Como se ha ndcado anterormente, los CAPM comenzan justo donde la teoría de Markowtz acaba, por lo que necesta de todas las asuncones que el modelo de Markowtz requería. Pero en los CAPM se expanden del sguente modo: 1. Todos los nversores son efcentes en el sentdo de Markowtz y aspran a posconarse en algún punto sobre la frontera efcente. La poscón exacta sobre la frontera efcente dependerá de la funcón resgo-retorno del nversor y será dferente para dstntos nversores.. Los nversores pueden pedr prestado o prestar cualquer cantdad de dnero al tpo de nterés de los actvos sn resgo (rsk free rate, RFR). Obvamente, sempre es posble prestar dnero al tpo de nterés sn resgo nomnal medante la compra de letras del tesoro o actvos equvalentes. Lo que ya es más complcado es pedr prestado al msmo tpo de nterés. Pero de todas formas se puede demostrar Nawrock D. (1997) Captal Market Theory: Is It Relevant to Practtoners? Journal of Fnancal Plannng, Sharpe W.F. (1964) Captal Asset Prces: A Theory of Market Equlbrum under Condtons of Rsk, Journal of Fnance, 19, 3, Lntner, J. (1965) Securty Prces, Rsk and Maxmal Gans from Dversfcaton Journal of Fnance, 0, 4, Mossn, J. (1966) Equlbrum n a Captal Asset Market Econometrca, 34, 4,

56 que asumr un tpo de nterés más alto para los préstamos no afecta demasado el resultado. 3. Todos los nversores tenen expectatvas homogéneas; es decr, todos los nversores estman dstrbucones estadístcas déntcas para los retornos futuros. Esta asuncón puede ser relajada y, mentras las expectatvas no sean demasado dvergentes, el efecto no es relevante. 4. Todos los nversores tenen el msmo horzonte temporal de un solo perodo. Por ejemplo, un mes, ses meses, un año, etc. El modelo será desarrollado para un perodo hpotétco. Pero se sabe que los resultados podrían verse afectados s asuméramos un perodo dstnto ya que el nversor debe dervar meddas de resgo que sean consstentes con el horzonte temporal selecconado. 5. Las nversones son dvsbles hasta el nfnto. Es posble comprar o vender pequeñas partes (accones) de todos los actvos del portafolo. Esta asuncón permte decdr sobre las dstntas posbldades de nversón como curvas contnuas. Cambar esta asuncón no tendría un mpacto elevado sobre el modelo. 6. No exsten mpuestos o costes de transaccón al comprar o vender los actvos. Esta asuncón es razonable en algunos escenaros. Por ejemplo hay muchos nversores que no tenen que pagar mpuestos como los fondos de pensones. Además los costes de transaccón para la mayoría de las nsttucones es menos del 1 por cento en la mayor parte de los nstrumentos fnanceros. De nuevo, la relajacón de esta asuncón modfca los resultados, pero no camba el resultado básco. 7. No exste nflacón n cambos en los tpos de nterés. O, lo que es lo msmo, la nflacón se puede antcpar totalmente. Esta es una asuncón de partda razonable que puede ser modfcada con posterordad. 55

57 Los mercados de captales están en equlbro. Esto mplca que el análss parte de una stuacón en la que todos los actvos están valorados apropadamente en térmnos del resgo que mplcan. Con todas estas asuncones los modelos CAPM ntentan smplfcar la realdad de forma que sea posble obtener aproxmacones a las valoracones del resgo mplícto en cada uno de los actvos cotzados en los mercados de valores. La vsón actual En los últmos años ha do tomando forma la nueva vsón del comportamento de los mercados fnanceros. En esta vsón moderna se consdera que los mercados fnanceros son sstemas complejos, no efcentes. Cualquer mercado puede comportarse sguendo uno de los tres sguentes sstemas de comportamento 36 : 1. Sstemas predecbles: son smples, como la forma de ordenarse los átomos de carbono en el damante.. Sstemas ntrínsecamente mpredecbles, como el análss de la afluenca de tráfco en una determnada autopsta dentro de 100 años. 3. Sstemas aleatoros: un modelo de comportamento que se stuaría entre los dos anterores. Estos sstemas de comportamento se caracterzan por que en ellos se pueden predecr los acontecmentos relevantes, mentras que los rrelevantes no son estmables. Se subdvden en dos sstemas: Sstemas aleatoros smples: aquellos en los que pueden modelzarse los procesos medante modelos smples, como por ejemplo un modelo de regresón de un solo índce, (ver la sguente seccón). 36 Smon, Herbert (1987) Ratonalty n Psychology and Economcs In Hogart and Reder, eds., Ratonal Choce: The Contrast Between Economcs and Psychology, Unversty of Chcago Press, Chcago. 56

58 Sstemas aleatoros complejos: aquellos en los que para modelzar sus procesos requeren la nclusón de una gran cantdad de varables. Por ejemplo la alta complejdad del DNA y la dfcultad que mplca su comprensón es posble descfrarla medante la ayuda de los modernos sstemas de gestón de la nformacón y el racocno humano 37. Los mercados fnanceros son sstemas aleatoros complejos, n ntrínsecamente mpredecbles n predecbles, por lo que las teorías smplfcadoras no son capaces de explcarlos. Por ello, últmamente los CAPM están sendo crtcados con más ahínco, ya que no pueden representar la complejdad de los mercados fnanceros. Los mercados fnanceros son, como se acaba de ndcar, sstemas muy complejos en los que la mayoría de las veces se producen profundas redes de efectos nterelaconados. Pero, de todas formas, esto no justfca la vsón nhlsta de los admnstradores ndexadores, ya que el sstema que sguen no es mpredecble. Por lo tanto es posble encontrar medos computaconales capaces de detectar regulardades 38. Estos sstemas deben ser rgurosos, objetvos y coordnados, es decr, antagóncos a los modelos departamentalzados que exsteron hasta la década de los 70. Con un sstema del tpo que se acaba de ctar es posble localzar las enormes nefcencas que se producen en los mercados fnanceros y obtener, de este modo, oportundades de nversón 39. Como ejemplo de las nefcencas que se producen en los mercados fnanceros se pueden ctar multtud de estudo entre los que 37 Kuhn, Thomas (1970) The Structure of Scentfc Revolutons, nd edton, Unversty of Chcago Press, Chcago. 38 Pagels, Henz (1988) The Dreams of Reason: The Computer and the Rase of the Scences of Complexty, Smon and Schuster, New York. 39 Jacobs, Bruce and Levy (1990) A Revoluton n Common Stock Management: Explotng Market Ineffcences and Forecastng Securty Returns, Dow-Jones Irwn, Homewood. IL. 57

59 destacan las conclusones obtendas por Jacobs, Bruce y Levy40, 41, 4, 43 ( ). En la Fgura 11 se pueden observar las nterelacones que exsten entre algunas de las dstntas anomalías detectadas en los mercados fnanceros. Efecto de benefcos Efecto de benefcos superores a los esperados superores a los esperados Fgura 11 Neglected frm effect Neglected frm effect Efecto del resgo resdual Efecto del resgo resdual Efecto enero Efecto enero Efecto de empresas pequeñas Efecto de empresas pequeñas Efecto de bajo PER Efecto de bajo PER Efecto de valores de Efecto de valores de bajo preco bajo preco Efecto del valor en lbros Efecto del valor en lbros Efecto rendmento Efecto rendmento S se tene en cuenta la gran cantdad de posbles relacones entre los dstntos efectos que han sdo analzados como posbles anomalías de la efcenca de los mercados 44, es obvo que úncamente un estudo conjunto de todos los efectos que pueden afectar a los 40 Jacobs, Bruce and Levy (1988) Calendar Anomales: Abnormal Returns at Calendar Turnng Ponts Fnancal Analysts Journal, Jacobs, Bruce and Levy (1989) Forecastng the Sze Effect Fnancal Analysts Journal. 4 Jacobs, Bruce and Levy (1989) How Dvdend Dscount Models Can Be Used To Add Value In Improvng Portfolo Performance Wth Quanttatve Models. Charlottesvlle: The Insttute of Chartered Fnancal Analysts Contnung Educaton Seres. 43 Jacobs, Bruce and Levy (1987) Investment Management: Opportuntes n Anomales? Penson World, Jacobs, Bruce and Levy (1986) Anomaly Capture Strateges Presented at the Berkley Program n Fnance Semnar on The Behavour of Securty Prces: Market Effcency, Anomales and Tradng Strateges. 58

60 retornos y en un escenaro unfcado puede dstngur entre efectos reales y efectos fctcos. Este análss supone un modelo de aplcacón con el mínmo número de asuncones posble y lo más aproxmado a la realdad que se pueda dar, ya que de lo contraro, las relacones entre los efectos pueden dfumnarse 45. Los sstemas smplfcatvos como por ejemplo los CAPM no contemplan relacones tan complcadas como las de la Fgura 11. En concreto, los CAPM defenden que la únca característca que debe recbr compensacón es el resgo sstemátco o beta. La cual es una medda de resgo clásca utlzada por los CAPM, basada en la varabldad propa de los retornos de un valor. Por lo tanto factores del tpo mes, tamaño, benefcos nesperados, etc. no deberían recbr nngún tpo de compensacón, como de hecho, los estudo ctados demuestran que sí lo hacen. Esto denota claras evdencas de nefcenca en los modelos smplfcados como los CAPM. Las expectatvas de retornos obtendos por sstemas sencllos se denomnan nave returns (retornos ngenuos ). En la vsón actual de los mercados solo se consderan los retornos denomnados puros. Estos retornos se deducen de un análss smultáneo de todos los atrbutos y efectos de la ndustra utlzando métodos que consderen dversos nputs, como por ejemplo la regresón smple 46. Otro campo en el que la actual corrente de conocmento ha avanzado bastante es la de la admnstracón del resgo. En parte debdo al mstero que todavía sguen sendo los porqués de las 45 Jacobs, Bruce and Levy (1988) Web of Regulartes Leads to Opportunty, Pensons and Investment Age, Jacobs, Bruce and Levy (1989) Tradng Tactcs n an Ineffcent Market In Wayne Wagner, ed. A Complete Gude to Securty Transactons: Controllng Costs and Enhancng Performance, John Wley, New York. 59

61 anomalías acontecdas en los retornos 47. En la actualdad, se han nvestgado dversos tpos de meddas de resgo como son la clásca varanza o desvacón típca, la semvaranza y además meddas del tamaño de la empresa, los dstntos tpos de apalancamento, la obtencón de objetvos y combnacones de dversas meddas. Dentro de los trabajos que nvestgan el paradgma actual, se encuentran, por ejemplo, aquellos que estudan la mportanca de los fundamentos de las empresas o de la economía en general. Se puede ctar a Roll (1988) el cual muestra la mposbldad de demostrar que los factores económcos de la socedad puedan nflur en más de un 33 por cento de los movmentos de las cotzacones de los valores 48. En el msmo camno pero a otro nvel se encuentra el estudo de Schller (1981), el cual concluye que los retornos de los valores son demasado volátles para ser explcados por varacones de cash-flows o ncrementos de las tasas de nterés 49. Por últmo, French y Roll (1986) demuestran que la volatldad de los mercados es mayor cuando estos están stuados en un contexto de apertura fnancera. Además, esta característca se produce ndependentemente de la nformacón fundamental que llegue al mercado referente a la economía o a las frmas en partcular 50. A esta msma conclusón llegaron Frankel y Meese (1987) 51 y Roll (1984) 5 en dstntos mercados. En defntva, de todos estos estudos se concluye que es muy dfícl ntentar explcar el 47 Jacobs, Bruce and Levy (1988) Dsentanglng Equty Return Regulartes In Equty Markets and Valuaton Methods. Charlottesvlle: The Insttute of Chartered Fnancal Analysts Contnung Educaton Seres, Roll R. (1988) R, Journal of Fnance, 43, Schller R. (1981) Do Stock Prces Move Too Much to be Justfed by Subsequent Dvdends?, Amercan Economc Revew, 71, French K. and Roll R. (1986) Stock Returns Varances: The Arrval of Informaton and the Reacton of Traders, Journal of Fnancal Economcs, 19, Roll R. (1984) Orange Juce and Weather, Amercan Economc Revew, Frankel J. and Meese R. (1987) Are Exchange Rates Excessvely Varable?, n Fscher S., ed., NBER Macroeconomcs Annual MIT Press, Cambrdge. 60

62 50 por cento o menos de las volatldades regstradas en los retornos en funcón, úncamente, de los datos fundamentales 53. Como conclusón a las deas apuntadas en este repaso de la corrente de pensamento actual, decr que se afrma que los mercados fnanceros son sstemas complejos en los que no funconan las estrategas smples como por ejemplo nvertr en empresas de baja captalzacón. Esto no quere decr que el segumento de estrategas smples mplque necesaramente retornos negatvos. Smplemente, ndca que cuando se sguen este tpo de reglas, no tenemos nnguna segurdad de que la nversón sea rentable. Por otro lado, los mercados fnanceros no se comportan de manera aleatora como defendía la teoría EMH por lo que los fondos ndexados no tenen nnguna justfcacón. Los mercados fnanceros se caracterzan por su complejdad, por lo que son necesaros sstemas computaconales para poder emprender un análss con alguna esperanza de éxto. Estos sstemas de análss nos deben permtr desmenuzar los efectos que nfluyen sobre los movmentos de los precos de las cotzacones y así, llegar a comprender un poco más su comportamento 54,55. EL MODELO DE UN SOLO ÍNDICE (SINGLE-INDEX MODEL) Introduccón El centro de la MPT no es nuevo, de hecho fue presentado por Markowtz en 1956 en su artículo ponero y su lbro subsecuente. Un 53 Cutler, D.M., Poterba J.M. and Summers L.H. (1989) What Moves Stock Prces, n Bernsten P.L. and Fabozz F.J., eds., Streetwse, The Best Of The Journal of Portfolo Selecton (1997), Prnceton Unversty Press, Prnceton Jacobs, B.I. and Levy K.N. (1990) Stock Market Complexty and Investment Opportunty In Frank Fabozz, ed., Managng Insttutonal Assets, New York, Ballnger. 55 Jacobs, B.I. and Levy K.N. (1989) The Complexty of the Stock Market n Bernsten P.L. and Fabozz F.J., eds., Streetwse, The Best of The Journal of Portfolo Management (1997), Prnceton Unversty Press, Prnceton,

63 pequeño resumen de su trabajo ha sdo ntroducdo aquí en el Capítulo 6: Una perspectva hstórca. Algún lector, vendo que la obra básca de la teoría tene más de 40 años de exstenca, puede preguntarse qué ha ocurrdo desde que la teoría fue desarrollada. Más aun, s el lector tene conocmentos acerca de los procedmentos de las nsttucones fnanceras, se puede preguntar por qué la teoría tardó tanto tempo en ser utlzada por éstas. La respuesta a ambas preguntas está muy relaconada. La mayoría de las nvestgacones en admnstracón de portafolos de los últmos 35 años se ha concentrado en métodos para la puesta en práctca de la teoría básca. Muchos de los avances en la mplementacón tardaron en llegar y fue solo con estos avances con los que la teoría del portafolo fue útl. A partr de ese momento puderon empezar a nvestgarse nuevas metodologías en la teoría del portafolo. En los próxmos epígrafes se trata la mplementacón de la teoría del portafolo, que tantos años de nvestgacón requró. Los prncpales avances en la mplementacón se pueden resumr en dos categorías: la prmera supone una smplfcacón de la cantdad y tpos de datos necesaros para llevar a cabo una seleccón de portafolos. El segundo supone una smplfcacón del proceso computaconal requerdo para calcular portafolos óptmos. Estos dos métodos son nterdependentes. Además su resolucón úncamente smplfca a grandes rasgos el análss de portafolos. Sus resultados redundan en la habldad para descrbr el problema de seleccón de carteras y sus solucones en térmnos relatvamente smples, térmnos que tenen sgnfcado ntutvo y tambén analítco; y térmnos en los cuales los profesonales de la seleccón de carteras pueden asocar. En este epígrafe se empeza con el problema de smplfcar los nputs del problema del portafolo. Se nca con una dscusón de la cantdad y tpo de nformacón que se consdera necesara para resolver un problema de seleccón de carteras. A partr de ese momento, se explca la más antgua aunque más utlzada smplfcacón de la estructura del portafolo: el modelo de un 6

64 solo índce. La naturaleza del modelo así como algunas de sus técncas estmatvas son examnadas. En los sguentes epígrafes, se analzarán representacones de smplfcacones alternatvas del modelo del portafolo. Se tratarán con detalle algunas formas de representar y predecr la estructura de correlacón entre retornos. Tambén se verá, con relacón a la mplementacón, cómo cada una de las técncas que han sdo desarrolladas para smplfcar el nput para el análss de portafolos puede ser utlzada para reducr y smplfcar los cálculos necesaros para encontrar portafolos óptmos. Inputs necesaros para el análss de portafolos Para que se pueda defnr la frontera efcente sobre la que se colocan los portafolos efcentes en el sentdo de Markowtz, analzada en el Capítulo anteror, se requere: R port N 1 w R (7.1) donde: R port = Meda artmétca o esperanza matemátca de los retornos del portafolo (medda de la rentabldad esperada) w = Peso relatvo del stock en el portafolo R = Meda artmétca o esperanza matemátca de los retornos de cada uno de los stocks que forman parte del portafolo Y tambén: N = número de stocks que entran a formar parte del portafolo port N N N w 1 1 j 1 j w w Cov (7.) j j donde: 63

65 port = desvacón típca de los retornos del portafolo (medda del resgo esperado) = varanza de los retornos del stock Covj = covaranza de los retornos entre el stock y el stock j Estas dos ecuacones (7.1) y (7.) son las mínmas sufcentes para llevar a cabo un análss de portafolo. A partr de ellas, la necesdad de estmadores de las covaranzas o de los coefcentes de correlacón (según se formule la ecuacón 7.) dferen en magntud y sustanca de la necesdad de datos antes de plantear estas dos ecuacones que smplfcan el análss. Por ejemplo, s se tene un conjunto de aproxmadamente valores (que es el conjunto de valores al que normalmente una nsttucón fnancera vene a hacer frente como máxmo), a partr de las ecuacones (7.1) y (7.), úncamente se necesta esperanzas matemátcas y varanzas o coefcentes de correlacón. Esto smplfca la necesdad anteror de datos que se establecía en dsponer de cada uno de los retornos de cada uno de los valores para la totaldad del perodo estudado o el dato más básco de todos: cada una de las cotzacones. Con las esperanzas y las varanzas se tene resumda una gran parte de la nformacón relatva al movmento de los valores, pero todavía se presenta otro problema: las covaranzas. Para poder tener una nformacón más completa de las seres de retornos de los valores o stocks, hemos de tener en cuenta cómo se relaconan los movmentos de los retornos entre los dversos valores. Esta nformacón está almacenada en las covaranzas o en los coefcentes de correlacón y el número de éstos ya no es tan reducdo como el de los otros datos. El número de estmadores de esta relacón que se necestarían para un conjunto de valores sería de N(N-1)/ datos; esto sgnfca un número que oscla entre y 3115 estmadores. Esta alta cantdad de estmadores de un dato tan mportante como son las covaranzas ha 64

66 dfcultado durante algún tempo la mplementacón de las ecuacones (7.1) y (7.) en la resolucón práctca del problema del portafolo. Los modelos desarrollados para prever estructuras de correlacón son prncpalmente dos: 1) modelos ndexados, que surgeron sobre todo durante la época en que el paradgma exstente era el EMH, ) técncas de medas. La técnca que vamos a ver a contnuacón se enclava en el prmer grupo y supone que el comovmento entre los valores se debe a una sola nfluenca común o índce. Se denomna modelo de un solo índce o modelo del índce sencllo o smple. Vsón general del Modelo de un solo índce 56 En general, en cualquer mercado fnancero del mundo ocurre que cuando uno de los índces representatvos de la plaza sube, la mayoría de los valores ncrementan su preco, y a la nversa. Éste fenómeno tan smple que puede ser detectado por mera observacón, es la base del modelo de un solo índce 57. El fenómeno sugere que una de las razones por las que los retornos de los valores pueden estar correlaconados es por una respuesta común a los cambos del mercado. Por tanto, una buena medda de esta correlacón se obtene relaconando el retorno de un valor al retorno del mercado. R a R (7.3) m donde: a = componente del retorno del valor ndependente del mercado (varable aleatora) Rm = tasa de retorno del índce del mercado (varable aleatora) 56 Elton, E.J. and Gruber, M.J. (1984) Modern Portfolo Theory and Investment Analyss, nd Edton, , John Wley and Sons, New York. 57 Latane, H., Tuttle, J. and Young, A. (1971) How to Choose a Market Index Fnancal Analysts Journal, 7, 4,

67 = constante que mde el cambo esperado en R dado un cambo en Rm Por otro lado, tenemos que, además: a (7.4) donde: = valor esperado de a = elemento aleatoro de a con valor esperado = 0 Por tanto, susttuyendo tenemos que la ecuacón (7.3) se nos converte en: R R (7.5) m Además es convenente que se cumpla la sguente condcón: Cov (, R ) E 0 R R m m m 0 de esta forma, el nvel de ajuste descrto por la ecuacón (7.5), para cualquer valor, es ndependente de cuál sea el retorno del mercado. Construdo el modelo de esta forma solamente nos resta estmar las varables que lo forman:,. Estos estmadores pueden obtenerse medante regresón lneal u otra técnca smlar 58. La asuncón prncpal del modelo es que E 0, lo cual, j sgnfca que los valores se mueven en la msma dreccón úncamente por el movmento en común con el mercado, no exsten otros factores que nfluyan al comovmento. A modo de fcha-resumen del modelo podemos escrbr: Ecuacón básca: R R 1,,..., N m 58 Cornell, B. and Detrch K. (1978) Mean-Absolute-Devaton versus Least-Squares Regresson Estmaton of Beta Coeffcents, Journal of Fnancal and Quanttatve Analyss, XIII, 1,

68 Por construccón: 0 Modelos Multcrtero para la Seleccón de Portafolos en la Bolsa de Madrd E 1,,..., N Por asuncón: - Indce relaconado a un solo retorno: Cov (, R ) E 0 R R m 0 1,,..., N m m - E 0 parejas 1,,..., N, j 1,,..., N, j, j Por defncón: - V E 1,,..., N - V R m E R m R m m Por tanto se llega a: R R m, que se compone de dos partes 59 : únca : relaconad a con el mercado : R m m, que, a su vez, tambén se compone de dos partes: únca : relaconad a con el mercado : m j j m, solo tene una parte y ésta depende del mercado. Para poder resolver este modelo se necestan los sguentes datos, los cuales se deben obtener medante estmadores estadístcos. Los estmadores necesaros son: - Un estmador para cada uno de los N. - Un estmador para cada uno de los N. - Un estmador para cada uno de los N. - Un estmador para R m. 67

69 - Un estmador para m. Todos estos estmadores suponen un total de 3N+ datos, que para un conjunto de valores como el que se está ponendo como ejemplo ( stocks) supone una drástca dsmnucón desde los datos sn smplfcar hasta los estmadores para esta estructura smplfcada 60. La únca nueva varable con respecto al modelo sn smplfcar es. Esta es smplemente una medda de la sensbldad de un valor a movmentos del mercado. Por últmo, solo queda ndcar que exsten una gran dversdad de formas a la hora de estmar los datos necesaros: - Medante datos hstórcos. - Medante el ajuste o fltro de los msmos datos hstórcos. - Medante la Técnca de Blume. 61, 6, 63 - Medante la Técnca de Vascek Medante datos fundamentales del mercado y de las respectvas frmas. 59 Frankfurter, G. and Phlps, H. (1977) Alpha-Beta Theory: A Word of Cauton, Journal of Fnancal Management, 3, 4, Dcknson, J.P. (1974) The Relablty of Estmaton Procedures n Portfolo Analyss, Journal of Fnancal and Quanttatve Analyss, IX, 3, Blume, M (1970) Portfolo Theory: A Step Toward Its Practcal Applcaton, Journal of Busness, 43,, Blume, M (1971) On the Assessment of Rsk, Journal of Fnance, VI, 1, Blume, M (1975) Betas and Ther Regresson Tendences, Journal of Fnance, X, 3, Vascek, O (1973) A Note on Usng Cross-Sectonal Informaton n Bayesan Estmaton of Securty Betas Journal of Fnance, VIII, 5,

70 MODELOS MULTI-INDICE Dentro de los modelos ndexados que han sdo utlzados amplamente para explcar y estmar las estructuras de correlacón de los retornos de los valores el sguente que vamos a estudar es el Mult-Indce. Estos modelos ntentan capturar algunas nfluencas no relaconadas con el mercado que hacen que los valores se muevan en la msma dreccón. Estas nfluencas pueden ser factores económcos o grupos estructurales como determnadas ndustras que cuentan con movmentos comunes en precos más allá de los detectados a través del índce de mercado. Es fácl encontrar un conjunto de índces que puedan asocarse con efectos que no sean del mercado global en un perodo, pero es otro tema mucho más complejo, el encontrar un conjunto que resulte extoso al predecr covaranzas que no estén relaconadas con el mercado. En contraposcón a estos modelos ndexados, ya sean smples (modelo de un solo índce) o Mult-Indce, exsten las técncas alsadoras (o de medas). El problema de los Mult-Indces es que al contener varas fuentes de nformacón fáclmente puede ncorporar rudo aleatoro que perjudque el resultado. Las técncas alsadoras smplfcan la matrz de correlacones hstórcas en un ntento de amortguar ese rudo y mejorar las predccones. Pero este procedmento no está exento de pelgros, estas técncas pueden provocar la pérdda de nformacón real. Así pues toda metodología tene sus pros y sus contras, el analsta va a tener que selecconar el sstema que consdere más oportuno para el escenaro en que deba realzar su estudo. La seleccón de los índces a consderar puede ser tambén bastante subjetva. Exsten modelos Mult-Indce basados en regresores ndustrales 65 (datos fundamentales de fabrcacón), otros que se centran en regresores comercales, otros que fjan su atencón en 65 Aber J. (1976) Industry Effects and Multvarate Stock Prce Behavour, Journal of Fnancal and Quanttatve Analyss, XI, 4,

71 índces técncos del mercado 66, otros que mezclan dstntos tpos de regresores 67. El analsta puede construr el modelo Mult-Indce que más se cña a las expectatvas de resultados que espera obtener. Vsón general de los Modelos Mult-Indce 68 En este caso la ecuacón que representa el modelo se trata de una ecuacón de regresón múltple. Aquí, el retorno podemos escrbrlo de la sguente forma: R b... I b I b I 1 1 L L (7.6) donde: I j = valor real del índce j índce j b j = medda de la respuesta del retorno de a cambos en el La parte del retorno R no relaconada con los índces está representada por dos sumandos: c, componente aleatoro con meda cero y varanza, y c, valor esperado del retorno. Este tpo de modelos como el presentado arrba, pueden ser utlzados drectamente, pero es más convenente (debdo a dversas propedades matemátcas) s los índces fueran ortogonales (es decr, ncorrelaconados) ya que esto smplfca el cálculo del resgo y tambén la seleccón de portafolos óptmos. Afortunadamente esto no representa mayor problema, ya que matemátcamente sempre es posble tomar un conjunto de índces correlaconados y convertrlos en ncorrelaconados. 66 Cohen K. and Pogue J. (1967) An Emprcal Evaluaton of Alternatve Portfolo Selecton Models Journal of Busness, 46, Elton E. and Gruber M.J. (1971) Improvng Forecastng Through the Desgn of Homogeneous Groups, Journal of Busness, 44, Elton, E.J. and Gruber, M.J. (1984) Modern Portfolo Theory and Investment Analyss, nd Edton, , John Wley and Sons, New York. 70

72 Por otra parte, tambén es recomendable que E I I j 0 j j. Al cumplrse esta esperanza matemátca, se consgue que la ecuacón (7.6) descrba el retorno de cualquer valor de forma ndependente del nvel que alcance cualquera de los índces. A modo de fcha-resumen del modelo Mult-Indce podemos escrbr: Ecuacón básca: R b I b I b L I L Por defncón: la la varanza varanza resdual de del índce j I j,, j 1,,...N 1,,...L Por construccón: - E 0 1,,...N - Cov I, I E I I j I I k 0 j 1,,...L y k 1,,...L (j k) j k j k - Cov, I E I I j 0 j 1,,...L y 1,,...N j j Por asuncón: - Cov E 0 j 1,,...L y 1,,...N, j j Esta asuncón del modelo Mult-Indce ndca que la únca razón por los que los valores varían undos es por causa del comovmento común con el conjunto de índces que han sdo especfcados en el modelo. Por lo tanto no exste nnguna otra razón que pueda nflur en el comovmento de dos valores que no esté contemplada en los índces regresores. Obvamente, no hay nada en la construccón del modelo que asegure esto, se trata de una smplfcacón. El éxto del modelo, por tanto, dependerá de cuán buena es la aproxmacón. A su vez, esto dependerá de los Ij elegdos para capturar las pautas de movmento de los valores. 71

73 La esperanza de los retornos y covaranza entre valores cuando es el modelo Mult-Indce el que descrbe la estructura de los retornos es: - Retorno esperado: R b I b I... b I L 1 1 L - Varanza del retorno: b 1 I 1 b I... b L IL - Covaranza entre valores,j : j b b b b... b b 1 j1 I 1 j I L jl IL Ante una stuacón como la planteada, necestaremos: - N estmadores para cada uno de los a - N L estmadores para cada uno de los bk - N estmadores para cada uno de los - L estmadores para cada uno de los Ij - L estmadores para cada uno de los Ij En total se tendrán L+N+NL estmadores. S recogemos el ejemplo anteror de una nsttucón fnancera que trabaja con valores y suponendo un número de índces gual a 10 (L=10) se tendrán estmadores para este modelo; que aunque no es tan una reduccón tan mportante como la ocurrda en el modelo anterormente expuesto (modelo de un solo índce) sí es una mejora sgnfcatva respecto a lo que sería el modelo sn smplfcar. Funconaldad de los modelos Mult-Indce En prncpo parece lógco que cuantos más índces se ntroduzcan a la hora de construr el modelo, más complejo será su manejo (solventable medante equpos computerzados de cálculo), aunque más acertada su matrz de correlacones hstórcas. Por lo tanto exste un punto a favor de la ntroduccón de un alto número de índces regresores. 7

74 Pero esta buena notca deja de serlo cuando se ntroduce la varable tempo en el modelo. El que la matrz ncal de correlacones hstórcas sea más acertada, no mplca que las futuras matrces de correlacón se estmen con gual perfeccón. Este problema de correlacón ncerta se debe a que los modelos Mult-Indce a menudo contenen más rudo estadístco que nformacón relevante relaconada con la predccón. Debdo a que las posbldades de construccón de modelos Mult-Indce son práctcamente nfntas y por tanto es mposble expermentar con todas, no se puede asegurar que los Mult-Indce sean modelos que reflejan la realdad con mayor precsón que los modelos de un solo índce. MODELOS DE SELECCIÓN DE PORTAFOLIOS Introduccón Una vez se tene construdo el modelo de regresón que trata de smplfcar el análss de los movmentos de los precos en los mercados fnanceros, se deben analzar las varacones en los retornos para selecconar los valores que prometen una mayor rentabldad con menor resgo. Una de las ventajas de llevar a cabo la modelzacón preva de la estmacón de los retornos para que sea más sencllo su análss es que gracas a esta smplfcacón los nputs del problema de seleccón de carteras son mucho más manejables 69. Incluso en algunos modelos de un solo regresor no hace falta n squera una computadora para soluconar el problema del portafolo. Obvamente, tal smplcdad, posblemente pueda resultar en conclusones erróneas. Por otro lado este tpo de sencllas operatvas es útl a la hora de comprender porqué un determnado valor entra o no a formar parte de un portafolo óptmo. 69 Bawa V. Elton E.J. and Gruber M.J. (1979) Smple Rules for Optmal Portfolo Selecton n a Stable Paretan Market, Journal of Fnance, 34,. 73

75 Esto se debe a que en los modelos de un solo índce y modelos Mult- Indce 70, la estructura de correlacones formada da pe a la posbldad de crear un únco rankng de valores utlzando la sguente fórmula: R R f de forma que s el stock entra a formar parte del portafolo óptmo, tambén lo harán todos los anterores 71,7. Esto permte al analsta hacerse una dea de las característcas de cada uno de los valores antes ncluso de comenzar con el análss de seleccón 73. Los modelos de seleccón de portafolos más avanzados del tpo esperanza-varanza o meda-varanza (E-V) permten una solucón más óptma del problema del portafolo al consderar aspectos que escapan a los modelos más smples. Exsten otros crteros dferentes al E-V, pero en este punto se va a demostrar que la mayoría de ellos conducen a una solucón déntca a la solucón E-V, bajo lgeras restrccones. 1. Las hpótess de aplcacón del crtero E-V son las sguentes:. Los nversores ntentan maxmzar la utldad esperada de sus ahorros. 3. Los nversores sempre preferen más retornos a menos retornos. 4. Los nversores son adversos al resgo. 70 Elton E., Gruber M.J. and Padberg, M.W. (1979) Smple Rules for Optmal Portfolo Selecton: The Mult-Index Case n Elton and Gruber, Portfolo Theory: 5 Years Later. 71 Sharpe, W.F. (197) Smple Strateges for Portfolo Dversfcaton: Comment Journal of Fnance, VII, 1, Sharpe, W.F. (197) Smple Strateges for Portfolo Dversfcaton: Comment. A Correcton Journal of Fnance, VII, 3, Elton, E.J. and Gruber, M.J. (1984) Modern Portfolo Theory and Investment Analyss, nd Edton, , John Wley and Sons, New York. 74

76 5. Los retornos de los valores analzados se comportan como una varable aleatora gaussana. O las funcones de utldad de los nversores son cuadrátcas. Cualquera de estas dos asuncones conduce a las msmas propedades. Como se observa, las hpótess de aplcacón de la metodología E- V son muy suaves y pueden relajarse todavía en mayor medda. Incluso cuando son voladas las asuncones 1) ó ) el análss se cumple con una aproxmacón muy elevada 74. Respecto a la hpótess 4), las aproxmacones cuadrátcas son normalmente bastante buenas para funcones no cuadrátcas. El prmero de las metodologías alternatvas a la E-V es la Maxmzacón de la Meda Geométrca de los Retornos. El problema del portafolo resuelto por este método, sorprendentemente conduce, bajo algunas asuncones alternatvas, a la seleccón de portafolos sobre la frontera efcente. Por lo tanto, los portafolos que este método seleccona son efcentes desde el punto de vsta de la E-V. Otro crtero de seleccón analzado en este capítulo, es el de Segurdad Prmero (Safety Frst). En este caso se puede probar que el portafolo que maxmza la segurdad, a menudo cae sobre el conjunto efcente E-V, por tanto tambén posee las propedades de los portafolos efcentes E-V. Un tercer crtero de seleccón amplamente conocdo es el de la Domnacón Estocástca (Stochastc Domnance). Sus hpótess de trabajo son hpótess algo más relajadas que las de la metodología E-V, pero bajo certas asuncones es consstente con el análss E-V y además conduce al msmo conjunto efcente. 74 Markowtz H. (1959) Portfolo Selecton Effcent Dversfcaton of Investments, John Wley and Sons Inc, New York. 75

77 El cuarto y últmo de los crteros es el de Skewness 75. Esta metodología complca el análss al ser programacón no lneal y requere además una extensón del análss que se necesta para obtener los portafolos efcentes E-V. Esta es la únca de las metodologías que no vamos a estudar con detalle. Maxmzacón de la Meda Geométrca de los Retornos Esta metodología tene muchos defensores que abogan por su utlzacón para cualquer forma de la funcón de utldad de los nversores y para cualquera que sea la funcón de dstrbucón de los retornos de los stocks. Según estos nvestgadores, un nversor standard elegrá el portafolo que tenga el más alto valor esperado de la rqueza termnal (al fnal de la operacón) 76. Letane demostró que el portafolo que maxmza la rqueza termnal es precsamente el portafolo con la meda de retornos más alta 77. Los nvestgadores que defenden este método ndcan que el portafolo de máxma meda geométrca: 1) tene la más alta probabldad de alcanzar o exceder un nvel de rqueza dado en el perodo de tempo más corto; ) tene la probabldad más alta de exceder cualquer nvel de rqueza dado sobre un perodo de tempo dado. El atractvo de estas característcas es lo que ha provocado que el crtero aquí analzado tenga un alto número de adeptos y defensores. Pero no todos defenden las bondades de este sstema de seleccón. La metodología tene tambén detractores. Éstos ndcan que 75 Cheng L. (1977) Functonal Form, Skewness Effect and the Rsk-Return Relatonshp, Journal of Fnancal and Quanttatve Analyss, 1, 1, Elton E.J. and Gruber M.J. (1974) An Algorthm for Maxmazng the Geometrc Mean, Management Scence, Letane H. (1959) Crtera for Choce Among Rsky Ventures, Journal of Poltcal Economy,

78 maxmzar el valor esperado de la rqueza fnal no es lo msmo que maxmzar la utldad de la rqueza fnal. Esto les lleva a rechazar la metodología consderando que lo realmente relevante para los nversores es maxmzar su utldad, no su rqueza. Segurdad Prmero (Safety Frst) 78 Se trata de una metodología que enfatza la segurdad del nversor. Este crtero antepone la segurdad de la nversón ante cualquer posble ncremento del retorno. Exsten tres crteros Segurdad Prmero (SP) dferentes: El crtero desarrollado por Roy 79 Según este autor, el mejor portafolo es aquel que tene la menor probabldad de producr un retorno por debajo de un nvel prevamente especfcado. Este crtero cumple lo sguente: Sea R p retorno del portafolo y R L nvel por debajo del cual el nversor no desea que los retornos cagan el portafolo óptmo será aquel que cumpla que: Mn Pr R p R L (7.7) Crtero desarrollado por Kataoka 80 En este caso, se trata de maxmzar el límte nferor sujeto a que la probabldad de los retornos nferores a, o guales que, el límte nferor, no sea mayor que un valor predetermnado. Es decr: 78 Bawa V. (1978) Safety-Frst, Stochastc Domnance, and Optmal Portfolo Choce, Journal of Fnancal and Quanttatve Analyss, 13, 5, Roy A.D. (195) Safety-Frst and the Holdng of Assets, Econometrcs, 0, Rechlng,P. (1996) Safety Frst-Ansätze n der Portfolo-Selekton Zetschrft für betrebswrtschaftlche Forschung, 48, S

79 Max s. a. Pr R L R p R L (7.8) Crtero desarrollado por Telser Aquí se maxmza el retorno esperado, sujeto a la restrccón de que la probabldad de un retorno nferor, o gual, a algún límte predetermnado no es superor que un valor dado. En símbolos: Max s. a. Pr R p R p R L (7.9) El crtero SP fue elaborado orgnalmente como un crtero atractvo para la toma de decsones en el problema de seleccón de portafolos. Además se establecó como una alternatva a la metodología de la utldad esperada del análss tradconal. Consderando que la funcón de probabldad de los retornos se comporta de modo normal o solamente lo sufcente para que la necuacón de Tchebyshev se cumpla, entonces cualquera de los tres crteros SP llegan al msmo portafolo efcente que la metodología E-V. Domnacón Estocástca (Stochastc Domnance) Defncón Domnacón Estocástca es un método de fltrado de valores o portafolos en base a sus propedades de resgo-rentabldad utlzando la funcón de densdad acumulada de la dstrbucón de actvos. Este método no asume nngún tpo de funcón de probabldad e ncluye un amplo grupo de funcones de utldad en su análss. El teorema formal es el sguente: s los nversores preferen más a menos, y s la probabldad acumulada de A no es nunca superor a la probabldad acumulada de B, e ncluso menor, entonces A es preferda a B. Aunque este teorema formal parece algo lógco. Se verá más claro con la sguente Fgura 1. 78

80 Probabldad Acumulada Modelos Multcrtero para la Seleccón de Portafolos en la Bolsa de Madrd Fgura 1 Funcón de Frecuenca A cu m ulad a p ara las Inversones A y B Inversón A Inversón B Retorno Obsérvese la Fgura 1, s un nversor prefere más a menos, entonces la nversón en el actvo A será preferble a la nversón en el actvo B, ya que para cualquer stuacón futura, A sempre ofrecerá un retorno mayor que B. Exsten varos nveles o formas de Domnacón Estocástca (DE). El grado más general de domnacón estocástca no hace asuncones acerca de la forma de la funcón de probabldad de los retornos. Por otro lado, no requere en nngún momento, la asuncón de una forma específca de la funcón de utldad del nversor. Se puede, de este modo, determnar conjuntos efcentes bajo asuncones alternatvas acerca de las característcas generales de las funcones de utldad de los nversores, que son consstentes con famlas enteras de funcones de utldad. Exsten tres asuncones progresvamente más fuertes acerca del comportamento del nversor empleadas en la lteratura de DE 81 : 81 Rentz W. and Westn R. (1975) A Note on Frst-Degree Stochastc Domnance and Portfolo Composton, Management Scence,, 4,

81 1) DE de prmer orden: asume que un nversor prefere más a menos. ) DE de segundo orden: asume la DE de prmer orden y además consdera que los nversores son adversos al resgo. 3) DE de tercer orden: asume la DE de segundo orden y además consdera una aversón absoluta al resgo decrecente (la tercera dervada de la funcón de utldad es postva). Asocado con cada nvel de DE, hay un teorema que permte al nversor elmnar una ampla cantdad de portafolos del estudo. La expresón detallada de estos teoremas, así como su demostracón matemátca escapan a los objetvos de este trabajo. Relacón de la Metodología DE con la Metodología E-V 8 La relacón entre ambas metodologías está clara sobre todo cuando se cumple la hpótess de retornos dstrbudos normalmente. Consderando esta hpótess, podemos analzar la relacón con mayor detalle. Conexón DE Prmer Orden con E-V La asuncón que caracterza la DE de prmer orden es que los nversores preferen más retorno a menos. El modelo de E-V tambén tene está asuncón y por tanto esto nos lleva a la conclusón de que a cualquer nvel de resgo, el nversor prefere mayor retorno R, en ambas metodologías. Por consguente, esto mplca que los portafolos selecconados por la metodología DE de prmer orden son coherentes y consstentes con los elegdos por el crtero E-V cuando los retornos se dstrbuyen normalmente. 8 Porter B. (1973) An Emprcal Comparson of Stochastc Domnance and Mean- Varance Portfolo Choce Crtera, Journal of Fnancal and Quanttatve Analyss, 8, 4,

82 Además ndcar que s la venta a corto está permtda, la seleccón del portafolo con mayor retorno para cada nvel de resgo nos conducrá a la frontera efcente E-V. S las ventas a corto no están permtdas, la metodología DE de prmer orden produce un conjunto de portafolos que se colocan en la mtad superor del borde externo del conjunto efcente producdo por el análss E-V. Estos portafolos, ncluyen el conjunto efcente del análss E-V y además todos los portafolos que tengan el máxmo retorno posble para cada nvel de resgo. Ver Fgura 13. Fgura 13 R B A C En la fgura anteror, podemos ver que los portafolo BC no están en la frontera efcente AB, pero cumplen la hpótess DE de prmer orden. Conexón DE Segundo Orden con E-V Repásense las asuncones de la DE de segundo orden: 1) los nversores preferen más a menos y ) los nversores son adversos al resgo. Recuérdese que estas son exactamente las msmas asuncones que conducen al teorema de la frontera efcente. Por tanto, no es sorprendente que s añadmos la hpótess de dstrbucón normal de retornos, el únco conjunto de portafolos que no está domnado es el de la frontera efcente. La ventaja de la metodología DE es que puede utlzarse para dervar conjuntos de portafolos deseables cuando los retornos sgan 81

83 otras dstrbucones o cuando no se queran asumr funcones de utldad específcas. Conclusones No se debe sobreenfatzar la mportanca de las ventajas de la metodología DE. En general la DE trata de comparacones a entre todas las alternatvas posbles de portafolos. Pero, en seleccón de carteras las posbldades son nfntas, a este nvel, la DE se vuelve rrealzable. De todas formas, s los retornos sguen una dstrbucón de buen comportamento, la utlzacón de DE muestra que los portafolos pueden ser selecconados de formas más smples. Por ejemplo, s la dstrbucón de los retornos es normal, la DE conduce a la msma solucón que el análss E-V. Según Bawa 83, cuando los retornos sguen una dstrbucón de dos parámetros, la DE puede ser utlzada para dervar reglas más smples basadas en esos dos parámetros para la seleccón de portafolos. LA POTENCIA REPLICADORA DE LA OPTIMIZACIÓN DE MARKOWITZ 84 En los últmos años se ha detectado un ncremento consderable de la populardad de los fondos de nversón que pretenden, como objetvo fundamental, replcar la evolucón de algún índce. Generalmente, estos índces están construdos medante la nclusón en ellos de los stocks de mayor relevanca según dferentes crteros, ponderados de dversos modos. Por ejemplo, tenemos el S&P 500, el cual contene los 500 stocks de mayor captalzacón del mercado neoyorquno. Tambén es mportante el Wlshre 5000, el cual se construye aproxmadamente de la msma forma pero para los Bawa V. (1975) Optmal Rules for Orderng Uncertan Prospects, Journal of Fnancal Economcs,, Haugen, R. and Baker, N. (1991) The Effcent Market Ineffcency of Captalzaton- Weghted Stock Portfolos, Journal of Portfolo Management. 8

84 valores más mportantes según el crtero de la captalzacón bursátl 85. En nuestro estudo, utlzaremos el índce español más relevante: el IBEX-35. Los gestores de carteras que plantean portafolos cuyo objetvo es replcar la evolucón de un índce de este tpo, están planteando carteras en donde la ponderacón vene defnda por la captalzacón bursátl de los valores que la componen. En este punto se analzarán dversas razones que demostrarán que este popular sstema de seleccón de carteras puede tener una performance nferor en comparacón con portafolos construdos efcentemente. Condcones Requerdas para la Efcenca de Portafolos Construdos Medante Ponderacones de sus Captalzacones Bursátles (Captalzed Weghted Portfolos, C-W) 86 Haca el fnal de 1995, los 00 mayores planes de pensones de los EEUU habían ndexado un total combnado de aproxmadamente mllones de dólares en portafolos del tpo C-W replcando el índce Wlshre Los admnstradores de estos fondos presumblemente creían que esto era una nversón efcente, en el sentdo que portafolos alternatvos con el msmo retorno esperado pero volatldad sgnfcatvamente menor no eran alcanzables. Este punto muestra entre otras cosas que los portafolos C-W son nversones nefcentes. Además se argumentará que excepto bajo hpótess extremadamente restrctvas, la teoría predce que estas carteras serán nefcentes ncluso s los precos del mercado de valores reflejaran efcentemente las expectatvas de cash flows relatvas a los 85 Standard and Poor's Corporaton (1997) Standard & Poor's stock market encyclopeda of the S & P "500", Annual Reports. Standard & Poor's Corporaton, New York. 86 Haugen R. (1997) Modern Investment Theory. Prentce Hall, Upper Saddle Rver,

85 stocks, e ncluso s todos los nversores optmzaran la relacón entre resgo y retorno esperado en equlbro. Para que un portafolo C-W sea efcente en el contexto de una poblacón de stocks que forma un índce, debe estar basada en un conjunto de asuncones que ncluyen las sguentes: 1. El conjunto de oportundades de la nversón para todos lo nversores que mantengan en cartera cualquera de los valores del índce se restrnge a los stocks ncludos en el índce C-W.. Todos los nversores están de acuerdo acerca del resgo y el retorno esperado para todos los valores. 3. Todos los nversores pueden vender a corto todos los valores en el índce sn nngún tpo de restrccón. 4. Todos y cada uno de los retornos de los nversores está exento de cualquer tpo de mpuesto u oblgacón de pago. S alguna de estas asuncones no se cumple, ncluso los portafolos C-W más amplos ocupan puntos dentro del conjunto de oportundades quedando, por tanto, fuera de la frontera efcente. En este contexto la teoría nos drge haca una admnstracón del resgo que obtenga carteras con la mínma volatldad posble, dado un retorno esperado. Cuando los Portafolos C-W son Inefcentes Los Inversores no Concden en sus Expectatvas con Relacón a los Valores Supóngase que los nversores tenen dferentes opnones acerca del resgo y de los retornos esperados de los valores. Fama ha demostrado que en el contexto de ventas a corto sn restrccón y exstenca de un actvo lbre de resgo, en equlbro el índce de mercado C-W será efcente. Pero esto debe ser analzado desde el contexto de medas ponderadas por las expectatvas de todos los nversores acerca de los retornos de los valores y sus covaranzas. Al tomar la meda ponderada, se están pesando las expectatvas de los nversores 84

86 medante su tasa margnal de susttucón de consumo futuro por la varanza de consumo futuro. Mentras el índce de mercado C-W es efcente en este sentdo, nngún nversor lo verá efcente excepto bajo la crcunstanca altamente nusual de que sus expectatvas respecto resgo y retorno concdan con medas ponderadas de todos los valores del índce. Además, nngún ahorrador, realza su nversón sobre el msmo índce C-W. S no que todos ellos admnstran el resgo en el contexto de sus propas expectatvas y toman poscones óptmas sobre la frontera efcente que ellos msmos percben. Algunos podrían sugerr que aquellos que nverten en portafolos C-W opnan que el mercado se comporta de forma efcente, en el sentdo que los precos reflejan la más recente nformacón referente a las expectatvas para cada valor. Así pues, ellos están dspuestos a aceptar la efcenca E-V del índce C-W sobre la base de unas expectatvas consensuadas del mercado. En un mercado nformacnoalmente nefcente, los precos de los valores reflejan las expectatvas de los nversores mejor nformados, en oposcón al consenso de los puntos de vsta de todos los nversores. Ausenca de venta a corto Se analzará ahora la asuncón de que todo el mundo puede practcar la venta a corto sn restrccón. De hecho, en los mercados fnanceros nternaconales reales, muy pocos nversores realzan esta práctca. Con restrccones en la venta a corto, se perde la propedad de que combnacones de portafolos efcentes son a su vez efcentes. En un contexto más amplo, con poblacones de valores más amplas, el reducdo conjunto efcente aparece como el representado en la Fgura 14. El conjunto de portafolos con volatldad mínma está acotado en cada extremo por los valores con mayor y menor retorno esperado. A medda que se avanza por el conjunto efcente desde uno de los extremos haca el centro, se atravesan varos puntos pvote, que 85

87 Retorno Esperado Modelos Multcrtero para la Seleccón de Portafolos en la Bolsa de Madrd srven para dvdr el conjunto. Dentro de cada partcón, dos o más stocks específcos están sendo ncludos en todos los portafolos ncludos en el conjunto de la partcón. En el momento que se cruza un punto pvote, uno de los stocks deja de estar en el conjunto o, tambén es posble que un nuevo valor sea añaddo. Mentras las combnacones de dos o más portafolos tomados dentro de una msma partcón son tambén efcentes, combnacones de portafolos tomados de dferentes partcones serán nefcentes. El conjunto efcente para la totaldad del mercado contene muchas partcones. Esto sgnfca que cuando combnamos los portafolos efcentes que mantenen los nversores (la mayoría de los cuales no pueden vender a corto sn restrccones), el índce agregado del mercado no puede ser efcente. Fgura 14 C onjunto de O portundades para una A m pla Poblacón de Stocks Partcón Stock con el M ayor Retorno Esperado Punto Pvote Conjunto Efcente Stock con el M enor R etorno Esperado V olatldad (D esvacón Típca) Impuestos La exstenca de un mpuesto gravando los retornos de las nversones, conduce el índce de mercado C-W a una poscón de relatva nefcenca. Los nversores dferen en su exposcón a los mpuestos. Los dvdendos recbdos por las corporacones, por ejemplo, pagan un tpo de gravamen dferente al que paga el nversor ndvdual. Los nversores pagarán un tpo de gravamen dferente según sus 86

88 ngresos totales anuales. Inversores con hstórcos de negocacones dferentes tendrán dstntas bases mponbles sobre las que calcular las ganancas o pérddas. Así pues, habrán dferencas dversas en el conjunto de oportundades después de mpuestos de cada nversor. Un portafolo que es efcente después de mpuestos para un nversor, será nefcente para otro y el agregado C-W de estos portafolos probablemente no será efcente para un fondo de pensones que no pague mpuestos. Los Benefcos de la Optmzacón de Portafolos En estos contextos más realstas, s los nversores ntentan duplcar el mercado, deben tener en cuenta el resgo no compensado. Esto supone que portafolos alternatvos son alcanzables con menor volatldad y el msmo retorno esperado que los índces C-W. La teoría fnancera nos conduce a la admnstracón del resgo para nvertr efcentemente. Los benefcos potencales de las nversones efcentes son sustancales. Los fondos de pensones, por ejemplo, típcamente combnan nversones en accones doméstcas con nversones de retornos fjos en una proporcón aproxmada de 60/40. S las nversones de retornos fjos se suponen lbres de resgo, pueden ocupar una poscón cerca d Rf en la Fgura 15. Combnando M con los bonos lbres de resgo en una proporcón 60/40, obtenemos el punto P pero combnando efcentemente M* con los bonos en una proporcón de 70/30, obtenemos P*. La dferenca en el retorno esperado entre P y P* representa el benefco de una nversón efcente en el mercado de accones. Fgura 15 87

89 R etorno Esperado Modelos Multcrtero para la Seleccón de Portafolos en la Bolsa de Madrd El B enefco de la Inversón E fcente M* P* M P R f V olatldad (D esvacón T ípca) La evdenca soporta la sguente hpótess: Desde 197 hasta 1989, huberon oportundades de utlzar la metodología E-V para la construccón de portafolos con gual o mayor retorno y una volatldad sgnfcatvamente menor que los más amplos portafolos construdos medante el método C-W. En un prncpo puede parecer sorprendente, pero dadas las restrccones mpuestas sobre los nversores comentadas anterormente, esta hpótess es totalmente consstente con las predccones de la MPT. ANÁLISIS DE UTILIDAD Una Dervacón Axomátca del Teorema de la Utldad Esperada El Teorema de la Utldad Esperada (TUE) puede ser desarrollado desde un conjunto de axomas o postulados que concernen al comportamento del nversor. S un nversor actúa de acuerdo con estos postulados, entonces el comportamento del nversor no es dstnguble de aquel que tome sus decsones basándose en el TUE 87. Los dos prmeros axomas concernen la ordenacón de preferencas. Los dos 87 Lease, R. Lewellen, W. and Schoarbaum, G. (1974) The Indvdual Investor: Attrbutes and Atttudes, Journal of Fnance, 9,,

90 sguentes concernen la raconaldad al ordenar esperanzas aleatoras. Los axomas son 88 : 1. Comparabldad. Un nversor puede establecer preferencas entre todas las posbldades alternatvas. Entonces, s el nversor tene que elegr entre el proyecto A y el B, su preferenca por A ó por B puede establecerse o puede expresar su ndferenca entre los dos. La asuncón de que los nversores pueden realzar comparacones entre los proyectos es un estándar en teoría económca.. Transtvdad. S el nversor prefere A a B y B a C, entonces, A se prefere a C. Esta es una asuncón en la que los nversores son consstentes en su rankng de ordenacón de resultados. Aunque resultaría razonable que la mayoría de los nversores se comportaran de esta manera, en stuacones expermentales, no sempre ocurre así. La dfcultad resde en que en algunas stuacones son lo sufcentemente complcadas como para que el nversor no comprenda todas las mplcacones de su decsón. En stuacones expermentales, cuando se detectan ntranstvdades, y se exploran sus mplcacones, la mayoría de los ndvduos preferen revsar sus decsones, de forma que sean consstentes con este axoma. 3. Independenca. Consdérense dos resultados posbles referentes a dos proyectos de nvestgacón dferentes, X e Y. Supóngase que el nversor es ndferente entre ellos. Desígnese un tercer proyecto Z. La ndependenca mplca que el nversor es ndferente entre los sguentes dos juegos: X con probabldad P y Z con probabldad 1-P, y Y con probabldad P y Z con probabldad 1-P. 88 Elton, E. and Gruber, M. (1984) Modern Portfolo Theory and Investment Analyss, John Wley and Sons, New York,

91 Al nversor puede que le gusten los dos o puede que no le guste nnguno, pero el punto relevante es que él o ella se sentrá gualmente satsfecho o nsatsfecho con cada uno. Por ejemplo, s una persona es ndferente entre tener un Talbot o un Ctroën, entonces a esa msma persona le será ndferente comprar por 1000 pesetas un tcket de rfa que ofrecera 1/500 oportundades de ganar un Talbot o un tcket de rfa que, costando lo msmo, ofrecera 1/500 oportundades de ganar un Ctroën. Esta persona puede preferr no comprar nngún tcket, pero s la decsón de partcpar en una rfa está tomada, entonces a la persona no le mportaría qué tcket adqurr. 4. Equvalente seguro. Para cada juego hay un valor (llamado la equvalente seguro) tal que el nversor es ndferente entre el juego y el equvalente seguro. Esta asuncón establece smplemente que todo tene un preco. Utlzando estos axomas, podemos dervar el TUE. Lo que sgue es una explcacón ntutva. Para una explcacón más rgurosa, ver Fama y Mller 89. Consdérese un valor G con dos posbles resultados: G b con 0 con probabld probabld ad h ad 1 - h Sea C la cantdad de dnero que haría ndferente la eleccón del nversor entre el juego G y la cantdad de dnero C, que es el equvalente seguro. Claramente C depende de la probabldad de recbr b (es decr, el valor de h). De todas formas, del axoma 4 se deduce que C debe exstr. S h varara, entonces el valor apropado para C sería dstnto. S se varara h en una banda ampla de valores y se dbujasen todos los valores de h frente a C, tendríamos un dagrama como el de la Fgura 16. Fgura Fama E. and Mller M. (197) Theory of Fnance, Holt Rnehart and Wnston, New York. 90

92 h 1.0 X X C C b C La curva de esta fgura es la curva de ndferenca del nversor. Separa combnacones de C y h para las cuales el nversor prefere el stock de los puntos en que el nversor prefere la cantdad certa. Consdérese el punto X, el cual representa el msmo juego que X pero con un equvalente seguro más alto. El nversor ha ndcado que él es ndferente entre X y C, donde C es un equvalente seguro menor que C. La mayoría de los nversores preferen más a menos, por lo que ellos preferrán el juego X al equvalente seguro C. Esto mplca que los puntos sobre la curva son puntos donde el juego es preferdo y los puntos por debajo de la msma, son puntos donde el equvalente seguro se prefere. Ahora consdérese un portafolo de stocks, S1 con N resultados posbles defndo así: S 1 w w w 1 N con con con probabld probabld probabld ad ad ad P 1 P P N Como cada w es un payoff conocdo y como las C exsten de todos los tamaños, se puede susttur cada w con un C del msmo tamaño. Así pues, el portafolo S1 puede representarse como sgue: S 1 C C C 1 N con con con probabld probabld probabld ad ad ad P 1 P P N 91

93 Ya que para cada C exste una lotería alternatva, podemos representar un portafolo alternatvo como: b con 0 con probabld probabld ad h 1 ad 1 - h 1 con probabld ad P 1 S b con 0 con probabld probabld ad h ad 1 - h con probabld ad P b con 0 con probabld probabld ad h N ad 1 - h N con probabld ad P N El nversor se declara ndferente entre cada C y la lotería. Por tanto, es razonable que S1 y S sean equvalentes. Explórese este modelo en detalle. Supóngase que ocurre la opcón. Entonces, s el nversor seleccona la opcón S1, se recbrá C. S el nversor seleccona S, entonces se recbrá b con probabldad h y 0 con probabldad 1-h. De todos modos, durante la construccón de la curva de preferencas el nversor ha ndcado una ndferenca entre C y esta lotería. Así pues, S es equvalente a S1. Nótese que por el axoma 3, el nversor no camba sus preferencas smplemente porque las alternatvas son parte de una lotería. Un dagrama en árbol puede clarfcar esta seleccón. La Fgura 17 representa el portafolo S1 y la 9

94 Fgura 18 el portafolo S. Nótese que mentras el portafolo S es equvalente a S1, S tene úncamente dos posbles resultados: b y 0. Se podría escrbr de forma equvalente S como b con probabldad P h y 0 con probabldad 1 P h. Utlzando esta técnca podemos hacer lo msmo para cualquer portafolo. Así pues, cualquer portafolo puede reducrse a dos resultados, b y 0, con probabldades conocdas. Fgura 17 W 1 P 1 P W S 1 P N -1 P N W N -1 W N 93

95 Fgura 18 h 1 b 1-h 0 1 P 1 h b P 1-h 0 S 1 P N -1 h N -1 b P N 1-h N -1 0 h N b 1-h N 0 Cómo se debe selecconar entre estos portafolos? Para decdr, el ndvduo solo necesta consderar la probabldad de recbr b, y aquel con probabldad más alta será el selecconado. Defínase H P h, donde P y h son los valores apropados para el stock en cuestón. Entonces s HK > HL, el stock K se preferrá al stock L. Esto conduce drectamente al TUE. Antes se reemplazaron todas las w por C; asocadas con cada C había una h. Por tanto, para cada w corresponde una h. Llámese a la funcón que relacona w con h una funcón de utldad y denótesela por u(). Entonces, ndcar que h es una funcón de w es lo msmo que escrbr h = u(w). Además, los sentmentos de un nversor acerca de un juego o lotería pueden ser expresados así: H P h Pu w ) ( P u w ) es la utldad esperada. Por tanto, expresar los sentmentos ( acerca de una nversón en térmnos de H es equvalente a expresarlos en térmnos de la utldad esperada. Ordenar los dstntos proyectos de nversón por H es equvalente a ordenarlos por utldad esperada. Seleccón Optmzada de Portafolos En cualquer problema de optmzacón tenemos que selecconar la mejor opcón posble de entre un conjunto de oportundades posbles. 94

96 El problema de seleccón de carteras no escapa a esta generaldad. Desde el momento en que el conjunto de oportundades queda dlucdado utlzando la metodología E-V u otra cualquera, todavía resta selecconar el portafolo que optmce la utldad del nversor. En el caso aquí analzado, al ser utlzada la metodología E-V 90, el conjunto de oportundades concde con la frontera efcente de portafolos. El portafolo efcente que maxmce la utldad del nversor, por Teoría la de la Utldad, será aquel que resulte tangente a la funcón de preferencas del nversor. Por tanto, cualquera que sea el conjunto de oportundades al que se enfrenta el nversor, su funcón de preferencas jugará un papel determnante en su decsón óptma. La estmacón de esta funcón de preferencas ha sdo analzada con detalle 91. La manera de realzar estos estudos ha sdo hacendo que un nversor tome decsones entre una sere de nversones smples alternatvas. Estudando las decsones del nversor, se puede determnar la funcón de utldad que éste está utlzando mplíctamente 9. Aplcando esta funcón de utldad a proyectos de nversón más complejos, se debería poder determnar cuál de ellos selecconaría el nversor. Un mportante número de bancos y frmas han desarrollado programas para extraer la funcón de utldad del nversor cuestonando la acttud del nversor ante dferentes nversones smples. Su éxto ha sdo lmtado. Muchos de los nversores no obedecen todos los postulados raconales sobre los que se asentan las bases de las funcones de utldad cuando se les plantea selecconar entre 90 Baron D. (1977) On the Utlty Theoretc Foundatons of Mean Varance Analyss, Journal of Fnance, 1, 5, Baker, K., Hargrove, M. and Haslem J. (1977) An Emprcal Analyss of the Rsk Return Preferences of Indvdual Investors, Journal of Fnancal and Quanttatve Analyss, 1, 3, Fredman, M. and Savage, L. (1948) The Utlty Analyss of Choces Involvng Rsk, Journal of Poltcal Economy,

97 nversones alternatvas, ncluso cuando los msmos nversores encuentran perfectamente lógcos los prncpos ndcados. Además, muchos nversores, cuando se les enfrenta a una seleccón entre proyectos de nversón complejos, encuentran aspectos del problema que no se habían consderado en la seleccón de proyectos smples. Incluso s el nversor o el admnstrador de fondos, no creen en la dervacón formal de funcones de utldad, este análss puede aclarar muchos puntos. Un conocmento profundo de las propedades de las funcones de utldad alternatvas, puede ayudar en el proceso de seleccón raconal. Esto permtrá al admnstrador del fondo o al nversor, elmnar algunos portafolos del conjunto efcente. De esta manera la probabldad de tomar una decsón equvocada se reduce. La metodología multcrtero utlzada en este estudo, tene como objetvo precsamente reducr el conjunto de portafolos efcentes a un mucho menor subconjunto, consguendo una drástca reduccón de la posbldades de eleccón del nversor. Esto redunda en su benefco al asegurar este teorema que los portafolos desechados, quedan domnados por los portafolos selecconados en el subconjunto efcente. 96

98 PARTE III METODOLOGIA MULTICRITERIO Capítulo 8: Programacón Compromso en Seleccón de Portafolos 97

99 CAPÍÍTULO 8: PROGRAMACIIÓN COMPROMIISO EN SELECCIIÓN DE PORTAFOLIIOS El presente capítulo consttuye un núcleo esencal de nuestra tess. En él se abordan la seleccón de portafolos desde la perspectva del análss compromso como herramenta frontera. Dvdremos el tema en dos partes. En la prmera se aplca la programacón compromso a estmar el óptmo de un nversor estándar. En la segunda, la msma técnca de programacón se aplca al caso de un nversor con preferencas partculares haca la rentabldad y el resgo. PARTE A: APROXIMACIÓN PARA INVERSORES ESTÁNDAR 8.1. Introduccón 8.. Programacón Compromso Aplcada al Problema del Portafolo: Conocmentos Prevos 8.3. Conjunto Compromso para Portafolos: Determnacón Gráfca 8.4. La Cuestón de los Pesos 8.5. Maxmzacón de la Utldad del Inversor Estándar: Solucón Subrogada CP 8.6. Una Comparacón Tentatva de Procedmentos 8.7. Conclusones Referentes al Inversor Estándar 98

100 PARTE B: APROXIMACIÓN DEL PORTAFOLIO OPTIMO PARA UN INVERSOR CON PREFERENCIAS PARTICULARES 8.8. Introduccón 8.9. Defncones y Asuncones El Teorema de Acotacón Conclusones Referentes al Inversor con Preferencas Partculares. 99

101 PARTE A: APROXIMACIÓN PARA INVERSORES ESTÁNDAR 93 Introduccón El método de Markowtz 94,95,96, Freund 97 y Pratt 98 para la seleccón de nversones (en partcular para la seleccón de portafolos de stocks) se compone de dos fases dstntas: () Determnar el conjunto de oportundades de nversón como una restrccón del problema, acudendo para ello a la metodología E-V. Este es un método muy ben conocdo, como ya se ha nombrado anterormente aunque según Kroll et al. algo restrctvo 99, y () maxmzar la utldad esperada de los retornos, que se denomnará Eu(R) para el nversor sobre la frontera. La prmera fase no representa demasadas dfcultades. El conjunto efcente E-V puede ser fáclmente aproxmado recurrendo a técncas de programacón matemátca. La segunda fase está llena de dfcultades conceptuales y operaconales. Como Markowtz y Levy 100 han ndcado, la opcón exacta del portafolo efcente que maxmza Eu(R) úncamente es posble s los retornos para todos los valores están dstrbudos normalmente, o s la funcón de utldad u(r) es cuadrátca. 93 Ballestero, E. and Romero, C. (1996) Portfolo Selecton: A Compromse Programmng Soluton, Journal of the Operatonal Research Socety, 47, Markowtz, H. (195) Portfolo Selecton, Journal of Fnance, 7, Markowtz, H. (1970) Portfolo Selecton: Effcent Dversfcaton of Investments. John Wley and Sons, New York. 96 Markowtz, H. (1987) Mean-Varance Analyss n Portfolo Choce and Captal Markets. Basl Blackwell, New York. 97 Freund, R. (1956) The Introducton of Rsk nto a Programmng Model, Econometrca, 4, Pratt, J. (1964) Rsk Averson n the Small and n the Large. Econometrca, 3, Kroll, Y., Levy, H. and Markowtz, H. (1984) Mean Varance versus Drect Utlty Maxmzaton, Journal of Fnance, 39, Levy, H. and Markowtz, H. (1979) Approxmatng Expected Utlty by a Functon of Mean and Varance, Amercan Economc Revew, 69,

102 Pero las dstrbucones de retornos normales son solo una hpótess que no ha sdo corroborada empírcamente y las funcones de utldad cuadrátcas presentan muchos flecos lógcos (por ejemplo, su aversón al resgo absoluta crece con la rqueza, ver Pratt 101 y Arrow 10, entre otros). Algunos analstas han ncado una complcada vía de entrada al problema comparando las solucones obtendas a partr de los problemas de maxmzacón de la Eu(R) para una muestra de funcones de utldad (ver Markowtz 103, pag. 67). Estos nvestgadores ntentan clarfcar s las objecones teórcas al enfoque Eu(R) son menos perjudcales en la práctca. Kallberg y Zemba muestran que portafolos smlares pueden ser obtendos utlzando una gran varedad de funcones de utldad con formas y parámetros dferentes, sempre que tengan el msmo coefcente absoluto de aversón al resgo de Arrow 104. En este apartado, se ofrece una metodología alternatva al enfoque Eu(R). Este modelo dfere del problema de maxmzacón de Eu(R) en los sguentes puntos: (a) se nca con la funcón de utldad bcrtero para el nversor estándar u,, donde 1 1 benefco de la nversón, y es un índce de un índce de segurdad (opuesto al resgo); (b) solamente se necesta una asuncón que está muy relaconada con la ben conocda ley de rendmento margnal de susttucón (margnal rate of substtuton, MRS); (c) el problema se enfoca: max u, sujeto al 1 conjunto efcente E-V para un nversor estándar en el contexto de 101 Pratt, J. (1964) Rsk Averson n the Small and n the Large. Econometrca, 3, Arrow, K. (1965) Aspects of the Theory of Rsk Bearng, Academc Book Store, Helsnky. 103 Markowtz, H. (1987) Mean-Varance Analyss n Portfolo Choce and Captal Markets. Basl Blackwell, New York. 104 Arrow, K. (1965) Aspects of the Theory of Rsk Bearng, Academc Book Store, Helsnky. 101

103 nformacón ncompleta referente a u y (d) para este propósto, se utlza un susttuto de la optmzacón Lagrangana. Programacón Compromso Aplcada al Problema del Portafolo: Conceptos Prevos El problema de seleccón de portafolos puede ser formulado como un problema b-crtero y puede ser resuelto con una metodología multcrtero (multple crtera decson-makng, MCDM). Utlzando los crteros retornos esperados y varanza de los retornos, el problema puede ser reformulado como un problema de programacón compromso (compromse programmng, CP). Este prmer paso no es nuevo en la lteratura (ver, Zeleny 105, pp y Romero el al 106.) pero es un punto de partda neludble para el análss. Se ntroduce la sguente notacón que, en parte, ya hemos utlzado en anterores apartados de este trabajo, pero la recordamos de nuevo aquí: E = retornos esperados del portafolo. V = varanza de los retornos. u(e, V) = funcón de utldad de los nversores en el espaco E-V. E * = valor deal o ancla para E, es decr, el mayor retorno esperado posble compatble con las restrccones del problema. V * = valor deal o ancla para V, es decr, la menor varanza de los retornos posble compatble con las restrccones del problema. E* = valor ant-deal para E, es decr el valor de E que corresponde al portafolo con la mínma varanza V *. 105 Zeleny, M. (198) Multple Crtera Decson-Makng. McGraw-Hll, New York. 106 Romero, C., Rehman, T. and Domngo, J. (1988) Compromse Rsk Programmng for Agrcultural Resource Allocaton: An Illustraton, Journal of Agrcultural Economy, 39,

104 V* = valor ant-deal para V, es decr el valor de V que corresponde al portafolo con la máxma esperanza E *. y = portfolo mx. y = fraccón del portafolo nvertda en el stock -ésmo. F = conjunto de restrccones que deben cumplr los portafolos factbles. w1, w = pesos asgnados a los crteros E y V respectvamente. p = métrca, es decr, el parámetro que defne la famla de funcones de dstanca. p = L, L = la mejor solucón compromso para las métrcas p = 1 y 1, respectvamente, son los límtes del conjunto compromso. x = -ésmo atrbuto en un contexto general de CP. * x = valor ancla para el atrbuto en el msmo contexto. = tpo de nterés. 1 = índce de la rentabldad del portafolo. = índce de la segurdad del portafolo. u, = funcón de utldad del nversor en el espaco 1 1,. MRS = tasa margnal de susttucón en el punto, u u 1 0, de u = u0, es decr, u 1 1 u, donde u u y u u. 1 1 La defncón del problema de seleccón de portafolos en la forma de un problema de CP sería: mn s. a. L p y w E E w V V 1 (8.1) F p * p p p * 1 / p Esto defne los punto y líneas mostrados en la Fgura 19. Para p = 1 el modelo (8.1) se converte en: 103

105 max s. a. w E 1 y F w V (8.) Resolvendo el programa (8.) se obtene el mejor portafolo compromso L1. Para p = solo cuenta la desvacón más grande por lo que la dstanca en la ecuacón (8.1) se converte en: * * max w E E, w V V (8.3) 1 Así pues, el límte L vene dado por: mn s. a. D y mn F max w 1 E * E, w V V * (8.4) lo cual es equvalente a (ver, por ejemplo, Zeleny 107 y Cohon 108, pag ) mn D s. a. w 1 E * E D w V V * D y F 107 Zeleny, M. (198) Multple Crtera Decson-Makng. McGraw-Hll, New York. 108 Cohon, J. (1978) Multobjectve Programmng and Plannng. Academc Press, New York. 104

106 V aranza de R etornos del Portafolo Modelos Multcrtero para la Seleccón de Portafolos en la Bolsa de Madrd Fgura 19 Program acón C om prom so para la seleccón de Portafolos y D eterm nacón G ráfca del C onjunto C om prom so. V AI. Portafolo Ant-Ideal (E *,V * ) B (E *,V * ) = K 1 = K = K 3 = W 1 E -W V = K 4 Trayectora L CO N JU N T O CO M PRO M ISO L W 1 (E * -E ) = W (V-V * ) L 1 A (E *,V * ) I. Portafo lo Ideal (E *,V * ) R etornos E sperados del Portafolo E Yu 109 probó que L1 y L son los dos límtes del conjunto compromso sobre la frontera efcente (en un espaco b-crtero). Las solucones defndas por las demás métrcas, es decr, las restantes solucones compromso, caen en el conjunto compromso entre L1 y L. Como ya se ha ndcado anterormente, los límtes (L1, L ) pueden ser calculados resolvendo los programas lneales (8.) y (8.3). Aunque estos modelos de programacón no lneal en el espaco podrían crear complcacones matemátcas, por tanto se mostrará aquí una forma más senclla para determnar (L1, L ) en problemas de portafolo sn tener que recurrr a los modelos (8.) y (8.3). Conjunto Compromso Para Portafolos: Determnacón Gráfca Resolver los modelos (8.) y (8.3) puede ser evtado. La estructura (8.) es un modelo no lneal s se defne en el espaco de la varable de decsón (y), pero su funcón objetvo es lneal cuando se 109 Yu, P. (1973) A Class of Solutons for Group Decson Problems, Management Scence, 19,

107 defne en el espaco E-V. Por lo tanto, la funcón objetvo del modelo (8.) alcanza un máxmo en el punto de tangenca entre la famla de las so-líneas w1e-wv = K y el conjunto efcente E-V (ver Fgura 19). Este punto de tangenca representa el límte L1. El límte L puede ser calculado utlzando el sguente lemma: Lemma 1 El límte L del conjunto compromso es el punto donde la línea * * recta w x x w x x corta el conjunto efcente o la frontera alcanzable (Ballestero y Romero 110 ). Cambando los atrbutos (x1, x) a un escenaro del problema del portafolo donde uno de ellos (la varanza) obedece el postulado de cuanto menos mejor, la trayectora L puede escrbrse: * * E E w V V 1 w (8.5) Por consguente, una vez se ha generado el conjunto efcente E- V, ya no tene que resolverse nnguna otra programacón matemátca para obtener el conjunto compromso. La Cuestón de los Pesos Los pesos w1 y w juegan el sguente doble papel: (a) normalzar los dos crteros E-V y (b) medr las preferencas del nversor para el retorno y resgo esperados (E-V). La funcón (a) de los pesos puede ser ejecutada recurrendo a cualquer método de normalzacón propuesto por el campo MCDM (ver Romero 111, pag ). Como se demostrará más adelante, la segunda funcón (b) puede ser elmnada en la práctca s el análss se centra en 110 Ballestero, E. and Romero, C. (1991) A Theorem Connectng Utlty Functon Optmzaton and Compromse Programmng, Operaton Research Letters, 10, Romero, C. (1991) Handbook of Crtcal Issues n Goal Programmng. Pergamon Press, Oxford. 106

108 el nversor estándar, el cual se supone que tene una funcón de utldad estándar. El caso de los nversores no estándar se analzará en el próxmo punto. Obvamente, la estmacón de preferencas medante pesos es más sencllo que hacerlo medante funcones de utldad. Los pesos pueden aproxmarse medante un método MCDM nteractvo (ver Olson 11 como resumen de unos cuantos de estos métodos). Alternatvamente el problema puede ser reducdo mplementando un análss de sensbldad junto con los valores de los pesos. Los pesos que aquí se utlzan son los pesos CP estándar; no son automátcamente los pesos del nversor estándar. Los utlzamos como un punto de partda. Así, tenemos: w w 1 V E * * V E * * (8.6) Examnemos el sgnfcado de pesar de esta manera en nuestro escenaro fnancero. Sea (E, V) un punto del conjunto E-V y consdérese la expresón: w E w V M (8.7) 1 donde M es un parámetro dado. Hacendo w 1, sendo un tpo de 1 nterés apropado y se enfoca w como una tasa de descuento para el resgo. M puede nterpretarse como el valor presente de E después de corregrlo medante un factor de descuento de resgo wv. Dado un valor de M, los valores w 1 y 1 w cambarán a medda que el punto (E,V) se mueva sobre la frontera efcente. De todas formas, podemos determnar un par de tasas sombra (precos sombra) w1 y w que satsfagan: mn s. a. w E 1 w E 1 w V w V M M (8.8) 11 Olson, D. (199) Revew of Emprcal Studes n Multobjectve Mathematcal Programmng: Subject Reflecton of Non-lnear Utlty and Learnng, Decson Scence, 3,

109 para cada punto sobre la frontera E-V. Hay una sola solucón para este problema, los pesos dados por la ecuacón (8.6) (Ballestero y Romero 113 ). Por tanto, las tasas sombra (w1, w) mnmzan las dscrepancas dadas por la funcón objetvo del modelo (8.8) y al msmo tempo aseguran que el nvel M se alcanza (como muestra la restrccón). Maxmzacón de la Utldad del Inversor Estándar: Solucón Subrogada CP Examínense los rasgos esencales de la maxmzacón de la utldad para un nversor estándar cuya funcón de utldad es vrtualmente desconocda. Aunque la mnmzacón de la dstanca CP no puede ser nterpretada drectamente como la optmzacón de la utldad, se puede detectar una asocacón entre el óptmo de la utldad y el conjunto compromso bajo certas condcones plausbles. Así pues, en esta seccón se demostrará que bajo crcunstancas normales, el óptmo de utldad cae sobre el conjunto compromso. Consdérense los sguentes dos índces: 1 Indce de rentabld ad E - E E * * E * (8.9) * V-V V V * Indce de segurdad 1 - Indce de resgo 1- (8.10) * * V -V V -V * * Obvamente, 1, * * Con estos dos índces normalzados el punto deal es 1, 1 el ant-deal es (0,0). (Ver Fgura 0). Se demostrará que ambos, el deal y el ant-deal (dervados drectamente desde el conjunto de oportundades del nversor) están además relaconados con el mapa de utldad del nversor estándar s una condcón plausble se cumple (ver más adelante). Fgura Ballestero, E. and Romero, C (1993) Weghtng n Compromse Programmng: A Theorem on Shadow Prces, Operaton Research Letters, 13,

110 S olucón S ubrogada 1 Ideal I (1,1) Indce de Segurdad C onjunto C om prom so L 1 H B C u = u 0 3 A L u = u 0 u = u 0 1 A nt-ideal AI (0,0) Frontera Factble Indce de R entabldad 1 1 Por otra parte, la trayectora L es la línea recta 1 como puede comprobarse fáclmente medante susttucón. De las ecuacones (8.9) y (8.10) y u = u(e,v) la utldad del nversor estándar defnda en el espaco, se converte en : 1 * * u, u E E E V V V (8.11), 1 * 1 * * * Ahora, consdérese el sguente teorema (Ballestero y Romero 114,115 ), reformulado en el contexto del problema del portafolo: Teorema 1 Para portafolos para los cuales 1, la condcón: MRS, u u es condcón necesara y sufcente para garantzar que el máxmo de la funcón de utldad del nversor u, 1 está stuado sobre el conjunto compromso. 114 Ballestero, E. and Romero, C. (1991) A Theorem Connectng Utlty Functon Optmzaton and Compromse Programmng, Operaton Research Letters, 10, Ballestero, E. and Romero, C. (1994) Utlty Optmzaton When the Utlty Functon s Vrtually Unknown, Theory and Decson, 37,

111 La condcón en este teorema puede estar conectada con la ben conocda ley de la tase de susttucón margnal decrecente. En los escenaros en donde se cumple cuanto más mejor (en nuestro caso para ambos índces, rentabldad y segurdad), esta ley MRS ndca que: a lo largo de una curva de so-utldad u=u0 1 crece MRS u 1 u decrece 1 decrece MRS u 1 u crece donde u1 y u son dervadas parcales de y con respecto a 1 y respectvamente. De acuerdo con esta ley, se supone que la funcón de utldad del nversor estándar u, 1 cumple las típcas propedades generales para este tpo de funcón. Como el nversor es un ndvduo estándar con preferencas equlbradas entonces, de acuerdo con la ley MRS, se sugere la estructura sguente: 1 muy alto MRS = u1/u muy bajo muy bajo MRS = u/u muy alto 1 decrecendo MRS = u1/u crecendo crecendo MRS = u/u1 decrecendo 1 = MRS = u1/u = 1 1 decrecendo MRS = u1/u crecendo crecendo MRS = u/u1 decrecendo 1 muy bajo MRS = u1/u muy alto 1 muy alto MRS = u/u1 muy bajo Así pues, tenemos: 1 = MRS = u1/u = 1 se cumple la condcón del teorema el máxmo Lagrangano de u es el punto 1, sobre el conjunto compromso. Así pues, la optmzacón CP se converte en un buen subrogado, para la utldad de un nversor estándar. 110

112 Aunque la ley de la tasa de susttucón margnal decrecente no mplca por lógca, la asuncón aquí establecda (en lo que concerne al valor u1/u = 1), esta conjetura (la únca necesara para apuntalar al solucón subrogada CP) parece plausble ya que partmos del sguente trasfondo; la MRS dsmnuye (o crece) por el progresvo desequlbro del mx, 1 (es decr, por causa de la crecente dscrepanca entre 1 y ). Así pues, sensu contraro, podemos asumr que 1 = MRS = u1/u = 1 MRS = 1 como el postulado coherente con la ley MRS. Para justfcar esta asercón, supóngase que un analsta pregunta al nversor estándar: S usted se encuentra en una poscón de equlbro con respecto al rendmento y a la segurdad (es decr en la poscón 1 = ), cuántas undades margnales de segurdad está usted dspuesto a sacrfcar para ncrementar su rendmento en una undad margnal? El analsta puede fáclmente esperar una respuesta como esta: una por una (es decr, una undad margnal por una undad margnal) ya que un nversor estándar que está en una poscón de equlbro probablemente preferrá mantenerse todo lo cerca de su actual poscón como sea posble. Por lo tanto, el analsta probablemente obtendrá la sguente nformacón cuando 1 1 =. Esto es equvalente a u1 = u para, 1 = ya que: u u sobre una curva de so-utldad. Por lo tanto, la respuesta de este nversor estándar (en correspondenca con un comportamento estándar) y la asuncón básca del trabajo, normalmente concdrán. Notar que no se establece nnguna asuncón rígda como: las preferencas del nversor estándar en la stuacón de equlbro 1 = están tan marcadas que éste necesaramente deberá selecconar la poscón 1 = bajo cualquer crcunstanca. Esta asuncón sería restrctva e nflexble y conducría el equlbro al punto L. Por lo tanto, solo se asume un comportamento conservador cuando el ndvduo estándar está en una poscón de equlbro. Según el Teorema 1, este 111

113 comportamento conservador es sufcente para determnar que el óptmo de la utldad se stúa sobre el conjunto compromso. Así pues, los puntos L1 y L (aunque se han dervado de nformacón técnca procedentes de las oportundades de nversón) pueden lmtar el arco preferente sobre la frontera efcente. El modelo CP propuesto en este trabajo puede ser utlzado, para aproxmar solucones para los nversores estándar, ntroducendo la normalzacón de pesos propuesta en la ecuacón (8.6). Este punto se fnalza resumendo los pasos necesaros para mplementar el procedmento de seleccón de portafolos, que será el que se desarrolle con más detalle (salvando algunas modfcacones técncas que serán explcadas en su momento) en el próxmo capítulo. 1. Obtener el conjunto efcente E-V medante la técnca tradconal;. Transformar el espaco (E,V) en el espaco, 1 medante las relacones (8.9) y (8.10); notar que el punto deal * 1 *, es el (1,1) como muestra la Fgura Determnar el punto L medante la nterseccón 1 = y el conjunto efcente. 4. Determnar el punto L1 medante la resolucón del programa: max (8.1) 1 s.a. la solucón se encuentra dentro del conjunto efcente y 1 0, 0. En realdad este cálculo puede evtarse ya que el punto L1 concde con el punto de tangenca entre la famla de so-líneas k y el conjunto efcente. Los puntos entre 1 L1 y L sobre el conjunto efcente corresponden a las solucones subrogadas. Un procedmento equvalente, sn necestar la transformacón del espaco (E,V) en el espaco, 1 es el sguente: 1. Obtener el conjunto efcente E-V o frontera efcente. 11

114 . Calcular los pesos utlzando la fórmula (8.6). 3. Determnar L1 medante el modelo (8.). 4. Determnar L a través del programa (8.4) o medante la nterseccón de la ecuacón (8.5) y la frontera. Como se ha ndcado anterormente, los puntos del conjunto compromso son las solucones subrogadas. Una Comparacón Tentatva de Procedmentos La metodología compromso propuesta en este trabajo y la más usual metodología de la maxmzacón de Eu(R) representan dstntos marcos de trabajo desde donde enfocar el problema de la seleccón de portafolos y no pueden compararse drectamente. Aún así, se pueden comparar los resultados numércos obtendos por ambos procedmentos en un contexto real. Para llevar a cabo esta tarea se consdera el ejemplo utlzado por Kroll et al 116. con 0 stocks a lo largo del perodo que dscurre entre los años De la nformacón analzada, ellos obtuveron una malla de 9 portafolos efcentes E-V con medas dentro del ntervalo [ ]. Además, selecconaron ocho funcones usuales de utldad para descrbr un espectro del comportamento del nversor. En la Tabla 7 los valores óptmos del método de Kroll y las ocho funcones de utldad se comparan con los límtes compromso del portafolo L1 y L. Incluso se añade una comparacón en térmnos del equvalente o susttuto certo. (Ver la 116 Kroll, Y., Levy, H. and Markowtz, H. (1984) Mean Varance versus Drect Utlty Maxmzaton, Journal of Fnance, 39,

115 Tabla 7 en donde las funcones de utldad están ordenadas en orden decrecente respecto a la aversón al resgo). Tabla 7 Resultados Comparatvos Basados en un Caso Estudo de Kroll, Levy y Markowtz (1984) Coefcente Absoluto de Aversón al Resgo Portafolo Compromso Equvalente o Susttuto Certo Funcones de Utldad (1) Rqueza Anteror a los Retornos () Rqueza Posteror a los Retornos (3) Utldad Máxma del Portafolo (4) Límte L1 (5) Límte L (6) Para la Máxma Utldad (7) Para el Límte L1 (8) Para el Límte L (9) -e -x ln(x) x x ln(x+1) (x+1) (x+1) x La Tabla 7 muestra una smltud entre los portafolos con utldad óptma de Kroll y los portafolos compromso para los nversores estándar cuando el coefcente absoluto de aversón al resgo de Arrow toma valores no extremos (es decr, entre 0.5 y 0.70). Esta magnífca aproxmacón parece desvanecerse cuando la aversón al resgo toma valores extremos (por ejemplo 0.1 ó 1). Estos resultados parece que apoyan el análss aquí realzado. Obvamente, un nversor con una aversón al resgo extremadamente alta o baja, no es un nversor estándar con una funcón de utldad u, 1 que no cumple las condcones del Teorema 1, y consecuentemente su Eu(R) máxma y sus 114

116 portafolos compromso pueden dferr sgnfcatvamente. Por el contraro, s se enfoca el nversor estándar (es decr, ndvduos cuyos coefcentes de aversón al resgo se mueven a lo largo de un rango ntermedo) las funcones de utldad u, 1 generalmente satsfacen las condcones del Teorema 1 y los portafolos con máxma utldad se aproxman a las solucones de los mejores portafolos compromso. Conclusones La solucón subrogada compromso parece ser una alternatva a los enfoques tradconales utlzados para la seleccón de portafolos. Prmero, la metodología propuesta requere pocas asuncones (la prncpal asuncón se derva de la ley MRS) por lo que parece ser un esquema más plausble que el conjunto de asuncones requerdas por los enfoques estándar Eu(R). Además, el peso computaconal parece ser bastante sencllo. Una vez se ha establecdo la frontera efcente, los límtes L1 y L pueden ser determnados gráfcamente. 115

117 PARTE B: APROXIMACIÓN DEL PORTAFOLIO OPTIMO PARA UN INVERSOR CON PREFERENCIAS PARTICULARES 117 Introduccón El propósto de esta seccón es extender el enfoque presentado en la seccón anteror a nversores no estándar medante un nuevo teorema de acotacón. En el enfoque que aquí se presenta, n la asuncón prncpal, n la prueba matemátca se relaconan con el esquema de la anteror seccón. Se nca con los sguentes índces (ya nombrados anterormente): 1 Indce de rentabld ad E - E E * * E * (8.13) * V-V V V * Indce de segurdad 1 - Indce de resgo 1- (8.14) * * V -V V -V * * donde (E,V) es un punto de la frontera efcente de medavaranza; (E *,V * ) es el punto deal (máxmo E, mínmo V); y (E*,V*) es el punto ant-deal (mínmo E, máxmo V). En (8.13) y (8.14), se cumple que 0 1, 0 1. Medante 1 un cambo en (8.13) y (8.14), la frontera efcente de meda-varanza se converte en la forma T( 1, ) = 0 con 0 1 y 0 mentras que la funcón de utldad del nversor se expresa u = u( 1, ). Asuncones y Defncones En el espaco ( 1, ) el conjunto factble de portafolos está acotado y es convexo. Las asuncones comunes sobre su frontera efcente [las cuales se dervan de la frontera efcente de meda-varanza (E,V) a través de (8.13) y (8.14)] se detallan a contnuacón. 117 Ballestero, E. (1998) "Approxmatng the optmum portfolo for an nvestor wth partcular preferences", Journal of the Operatonal Research Socety, 49,

118 Defncones y Asuncones más Comunes (normalmente aceptadas en Economía) En relacón con la funcón de utldad del nversor u = u( 1, ) se asume: Asuncón A1 Cuanto más mejor, es decr, u crece monótonamente a medda que crece 1 (o ) y, a su vez, (o 1, respectvamente) no decrecen. Asuncón A Dferencabldad (en partcular las dervadas parcales de u exsten en todos los puntos del mapa de utldad). Defncón D1 Sean u 1 y u las dervadas parcales de u con respecto a 1 y respectvamente entonces, la tasa margnal de susttucón (MRS) se defne por (-1) d /d 1 = u 1/u a lo largo de la curva de so-utldad u = u0. Asuncón A3 La ley MRS decrece monótonamente a medda que 1 crece. Asuncón A4 En relacón con el conjunto alcanzable o factble de portafolos, se asume convexdad. Asuncón A5 En relacón con la frontera efcente T( 1, ) = 0 con 0 y 0 1 se supone dferencabldad (en partcular, las dervadas parcales de T exsten para cada uno de los puntos sobre la frontera efcente). Asuncón A6 es una funcón decrecente de 1 a lo largo de la frontera efcente, es decr, d /d 1 < 0. Asuncón A7 Concavdad estrcta, es decr, d /d 1 <

119 Defncón D El máxmo Lagrangano de la funcón de utldad del nversor u vene dada por la nterseccón de T( 1, ) = 0 con u 1/u = T 1/T donde T 1 y T son dervadas parcales de T( 1, ) con respecto a 1 y. Asuncón A8 El máxmo Lagrangano de la utldad del nversor u( 1, ) exste sobre la frontera efcente (este es el punto óptmo a selecconar por el nversor). Asuncón Prncpal En la funcón de utldad del nversor, la tasa de susttucón margnal, (MRS) tene un valor constante r0 a lo largo de la trayectora 1 =. Recuérdese el sgnfcado económco de la MRS = r0 a lo largo de la trayectora 1 =. Imagínese un nversor con un portafolo equlbrado entre rentabldad y segurdad, es decr, un portafolo que cumple 1 =. S por ejemplo, r0 = 1. para este nversor, tenemos que por la Defncón D1, hacendo 1 = = : MRS (, ) = u 1(, )/u (, ) =r0 = 1. (8.15) Por otra parte se tene: u 1d 1+ u d = 0 (8.16) en los puntos 1 = =. Desde (8.15) y (8.16) se obtene drectamente: (-d )/d 1 = r0 = 1. (8.17) Según (8.18) este nversor está dspuesto a perder 1. undades margnales de segurdad (índce ) para ncrementar su rentabldad (índce 1) en una undad margnal. Para justfcar la asuncón prncpal notar que las funcones de utldad que satsfacen esta asuncón son mucho más generales que las funcones de utldad Coob-Douglas que requeren unas hpótess 118

120 mucho más restrctvas (el valor constante de la MRS a lo largo de cada trayectora = 1). Además en la utldad Coob-Douglas, la MRS debe ser proporconal a ( / 1). Obvamente, las funcones Coob-Douglas (las cuales han sdo recentemente propuesta por Coleman 118 como un enfoque sufcente capaz de reflejar cualquer clase de mapa de utldades) son un caso partcular en relacón con la asuncón prncpal. El Teorema de Acotacón De la asuncón prncpal (junto con las asuncones A1 A8) y las defncones D1 D aceptadas comúnmente en Economía) se puede demostrar lo sguente: Teorema 1 El máxmo Lagrangano de la utldad del nversor u sobre la frontera efcente T( 1, ) = 0 con 0 1 y 0 está acotado entre los puntos L y L, defndos como sgue (ver Fgura 1): L es la mejor solucón de programacón compromso con la métrca. Es la nterseccón de 1 = con la curva de la frontera T( 1, ) = 0. En otras palabras, este punto es el límte normalzado L del conjunto compromso (esto quere decr, cuando dos pesos relatvos a preferencas guales se atrbuyen a los índces 1 y ). Así pues, este límte no depende de las preferencas del nversor. L es el punto máxmo de la utldad lneal V = r0 1 +, sobre la frontera efcente, es decr, la solucón a max (r0 1 + ) sujeto a T( 1, ) = 0, con 0 y 0. S r 1 1 0, el límte L dfere del límte L1 del conjunto compromso. Como dferentes nversores tenen dferentes valores de r0 (es decr, dferentes valores de sus respectvas MRS los cuales reflejan sus preferencas en la funcón de utldad) el límte L depende de las preferencas del nversor entre rentabldad y segurdad. 118 Coleman, J. (1990) (Unttled). In: Swedberg R (Ed). Economcs and Socology, Prnceton Unversty Press, New Jersey, pp

121 Demostracón Sea M( 1M, M) el máxmo Lagrangano de u [ver la Asuncón A8] y L( 1L, L) el máxmo de V. Uncamente ocurren los dos sguentes casos no trvales: () 1L < 1M; () 1L > 1M (el caso trval 1L = 1M drectamente conduce a el cumplmento del teorema). (Ver Fgura 1) Fgura 1 Frontera E fcente N orm alzada y Poscón de los Puntos R elevantes en el Caso () C (0,1) L M (1,1) L A(1,0) 1 Caso 1. En este caso, desde la Asuncón A6 y la Asuncón A7 la pendente de T en el punto M es mayor que la pendente en el punto L (ambos en valor absoluto). Entonces T 1( 1M, M)/T ( 1M, M) > r0. Desde la Defncón D (la condcón de óptmo Lagrangana de la utldad del nversor), tenemos: u 1( 1M, M)/u ( 1M, M) = T 1( 1M, M)/T ( 1M, M) > 0 (8.18) Ahora, desde (8.3), según la Asuncón A3 (ley MRS) y la Asuncón Prncpal, se tene 1M - M < 0. De hecho, u 1/u = r0 en los puntos 1 = (Asuncón Prncpal), entonces u 1/u > r0 mplca que 1M < M (ley MRS). Susttuyendo las coordenadas (1,0) por ( 1, ) en ( 1 - ) el resultado es un número postvo [ 1 - = 1 0 = 1 > 0]. Así pues, como 10

122 1M - M < 0 y 1-0 > 0, L se stúa entre M y el punto (1,0) ya que la línea 1 - = 0 ntercepta la frontera en el punto L. Así pues, M se stúa entre L y L. Caso. Un razonamento análogo conduce al msmo resultado. Por lo tanto, el Teorema 1 queda demostrado. Conclusones Las dferencas prncpales entre el modelo presentado en la seccón anteror y el presentado en esta son las sguentes: 1. El modelo anteror se refere a un nversor estándar y por lo tanto, se basa en la asuncón prncpal de comportamento estándar. En contraste, el modelo presentado en esta seccón vene referdo a nversores con preferencas partculares. Su asuncón prncpal refleja estas preferencas a través del parámetro r0.. Los límtes en el modelo anteror son L1 y L (es decr, los límtes del conjunto compromso de Yu 119 ). En contraste, los puntos L y L (este últmo dependente de r0) son los límtes de este modelo. Cuanto menos dspersas estén las preferencas (de las preferencas del nversor estándar) más estrecho será el óptmo de utldad en el este modelo. 119 Yu, P. (1973) A Class of Solutons for Jont Decson Problems, Management Scence, 19,

123 PARTE IV CASO ESTUDIO Y CONCLUSIONES Capítulo 9: Caso Estudo: Aplcacón a la Bolsa de Madrd Resumen y Conclusones 1

124 CAPÍÍTULO 9: CASO ESTUDIIO: APLIICACIIÓN A LA BOLSA DE MADRIID 9.1. Introduccón 9.. Cálculo de Rendmentos Mensuales 9.3. Cálculo de Fronteras Efcentes 9.4. Estmacón de Óptmos para Clentes Estándar 9.5. Estmacón de Óptmos para Clentes Agresvos 9.6. Estmacón de Óptmos para Clentes Conservadores 13

125 INTRODUCCIÓN Para poder empezar con el análss, lo prmero que se necesta es stuarnos en el tempo. Los cálculos se realzaron durante el curso académco , por ello, el perodo de análss selecconado fue el comprenddo entre De esta manera se cubría un año económco completo. En el momento de comenzar el estudo, habían cotzando en el mercado contnuo madrleño un total de 14 valores bursátles, repartdos en 3 sectores dferentes como los que se ndcan en la Tabla 8. Tabla 8 S ectores C ontem plados en la B olsa de M adrd a 31 de dcem bre de 1997 Aguas Cartera Construccón Metálcas báscas Servcos Alm entacón, bebdas y tabaco Aparcam entos y autopstas C em entos y m aterales de construccón Eléctrco y gas O tras ndustras m anufactureras Com erco Holdng Papel y m adera Autom óvles Com pañías de seguros Inm oblaras Petróleos Bancos Com uncacones Maqunara Q uím cas S IM Transform acón productos m etálcos Tras un estudo detallado de los datos de los que se dsponía, se procedó a elmnar todos aquellos valores que no cumpleran con las sguentes característcas: El valor debe de haber estado cotzando desde el prncpo del perodo analzado. No debe de haberse fusonado con nnguna otra compañía durante el perodo de análss, de manera que su cotzacón a partr del momento de la cotzacón se vea afectada de manera sgnfcatva. Fruto de este tamz prevo, 104 valores resultaron aptos para aplcar el análss de portafolo sobre ellos. 14

126 Se barajaron dversas preseleccones para sanear los datos de posbles errores por causas debdas a los datos analzados, entre ellas destacan, elmnacón de valores con esperanza negatva, seleccón úncamente de los stocks que tuveran un retorno superor al del actvo sn resgo, para el cual se consderaron las cotzacones medas día a día del mercado secundaro de las letras del tesoro entre entdades excepto el Banco de España. Fnalmente, se optó por la opcón de que fuese el msmo modelo el que fltrase estos valores que obvamente, no deberán entrar a formar parte de la cartera. Los stocks sobre los que fnalmente se comenzó a aplcar el análss de portafolo se detallan en la Tabla 11, al fnal de esta seccón. Los valores desde los que se partó en la realzacón de este análss, que son los que estaban cotzando en el momento de dar comenzo los cálculos, se enumeran en la Tabla 9. 15

127 Tabla 9 16

128 En la Tabla 10 se ndcan los valores que se desestmaron y la razón por la cual no entraron a formar parte del análss. Tabla 10 V alores D esestm ados y su C ausa ABENGOA, S.A. Comenza a Cotzar Después de 1/1/9 ACERALIA CORPORACION SIDERURGICA, S.A. Comenza a Cotzar Después de 1/1/9 ACS,ACTIVIDADES DE CONST.Y SERVICIOS S.A. Fusón ADOLFO DOMINGUEZ, S.A. Comenza a Cotzar Después de 1/1/9 AGF UNION -FENIX,SEGUROS Y REASEGUROS,S.A. Fusón ALDEASA, S.A. Comenza a Cotzar Después de 1/1/9 BANCO DE VALENCIA, S.A. N /D BANCO DE VITORIA. N /D BANCO SIMEON S.A. Comenza a Cotzar Después de 1/1/9 BARON DE LEY, S.A. Comenza a Cotzar Después de 1/1/9 BAYER A.G. Comenza a Cotzar Después de 1/1/9 BODEGAS RIOJANAS, S.A. Comenza a Cotzar Después de 1/1/9 CATALANA OCCIDENTE,S.A.DE SEGUROS Y REAS. Comenza a Cotzar Después de 1/1/9 CEMENTOS PORTLAND. Comenza a Cotzar Después de 1/1/9 CENTROS COMERCIALES CONTINENTE,S.A. Comenza a Cotzar Después de 1/1/9 CIA.VALENCIANA DE CEMENTOS PORTLAND,S.A. Fusón COMMERZBANK AKTIENGESELLSCHAFT. Comenza a Cotzar Después de 1/1/9 COMPAÑIA VINICOLA DEL NORTE DE ESPAÑA. Comenza a Cotzar Después de 1/1/9 CORPORACION BANCARIA DE ESPAÑA, S.A. Comenza a Cotzar Después de 1/1/9 CORPORACION MAPFRE,CIA.INT.DE REASEGUROS. N /D CORTEFIEL, S.A. Comenza a Cotzar Después de 1/1/9 DINAMIA CAPITAL PRIVADO S.A. Comenza a Cotzar Después de 1/1/9 DOGI Comenza a Cotzar Después de 1/1/9 EMPRESA NACIONAL DE CELULOSAS, S.A. (ENCE) N /D ESTACIONAMIENTOS SUBTERRANEOS, S.A. Comenza a Cotzar Después de 1/1/9 FAES FABRICA ESP.PROD.QUIMICOS Y FARMAC. Comenza a Cotzar Después de 1/1/9 FOMENTO DE CONTRUCCIONES Y CONTRATAS,S.A. (FOCSA) Fusón GAS NATURAL SDG, S.A.(CATALANA GAS) Fusón GRUPO ACCIONA S.A. (CUBIERTAS) Fusón IBERPAPEL GESTION, S.A. Comenza a Cotzar Después de 1/1/9 INDO INTERNACIONAL S.A. N /D LAFARGE,S.A. Comenza a Cotzar Después de 1/1/9 MAPFRE VIDA,S.A.DE SEGUROS Y REAS.VIDA. Comenza a Cotzar Después de 1/1/9 MIQUEL Y COSTAS & MIQUEL, S.A. Comenza a Cotzar Después de 1/1/9 PAPELERA ESPAÑOLA, S.A. N /D SOL MELIA,S.A. Comenza a Cotzar Después de 1/1/9 TELE PIZZA S.A. Comenza a Cotzar Después de 1/1/9 VO LKSW AG EN AKT IEN G ESELLC H F T. C o menza a C otzar D espués de 1/1/9 Como puede observarse en la tabla anteror, las causas prncpales por las que se han tendo que dsmnur los valores desde 14 hasta 104 stocks son las ndcadas anterormente además de la falta de dsponbldad de datos para algunos valores. Como paso prevo a la ncacón del análss con los valores preselecconados, se presenta una tabla con todos los valores preselecconados y los momentos de prmer y segundo orden referentes a sus retornos mensuales calculados para la totaldad del perodo analzado. 17

129 Tabla 11 V alores C onsderados en el A nálss y M om entos de P rm er y S egundo O rden R eferentes a sus R etornos M ensuales C alculados para la Totaldad del Perodo Analzado ( ) Nº SEC T O R VALO R SÍM BO LO ESPE R AN Z A D ESVIA C IÓ N T ÍPIC A 1 AGUAS SDAD.GENERAL AGUAS DE BARCELONA, S.A. AGS ALIMENTACION, BEBIDAS Y TABACO EL AGUILA,S.A.(FABR.DE CERVEZAS Y MALTA. AGI ALIMENTACION, BEBIDAS Y TABACO SDAD.GENERAL AZUCARERA DE ESPAÑA, S.A. AZU ALIMENTACION, BEBIDAS Y TABACO BODEGAS Y BEBIDAS, S.A. BYB ALIMENTACION, BEBIDAS Y TABACO CAMPOFRIO ALIMENTACION,S.A. CPF ALIMENTACION, BEBIDAS Y TABACO EBRO AGRICOLAS, COMPAÑIA DE ALIMENTACION. EBA ALIMENTACION, BEBIDAS Y TABACO KOIPE, S.A. KOI ALIMENTACION, BEBIDAS Y TABACO PULEVA,S.A. PUL ALIMENTACION, BEBIDAS Y TABACO TABACALERA, S.A. TAB ALIMENTACION, BEBIDAS Y TABACO VISCOFAN, S.A. VIS APARCAMIENTOS Y AUTOPISTAS AUTOPISTAS CONCESIONARIA ESPAÑOLA, S.A.(ACESA) ACE APARCAMIENTOS Y AUTOPISTAS AUTOPISTAS DEL MARE NOSTRUM, S.A. AUM APARCAMIENTOS Y AUTOPISTAS EUROPISTAS CONCESIONARIA ESPAÑOLA, S.A. EUR APARCAMIENTOS Y AUTOPISTAS IBERICA DE AUTOPISTAS, S.A. (IBERPISTAS) IBP AUTOMOVILES CITROEN HISPANIA, S.A. CIT BANCOS BANCO DE ALICANTE. ALI BANCOS BANCO DE ANDALUCIA, S.A. AND BANCOS BANCO ATLANTICO, S.A. ATL BANCOS BANCO BILBAO VIZCAYA. BBV BANCOS BANCO CENTRAL HISPANO AMERICANO. BCH BAN C O S BAN KIN T ER,S.A. BKT BANCOS BANCO ESPAÑOL DE CREDITO,S.A. BTO BANCOS BANCO DE CASTILLA, S.A. CAS BANCOS BANCO DE CREDITO BALEAR S.A. CBL BANCOS BANCO DE GALICIA, S.A. GAL BANCOS BANCO GUIPUZCOANO, S.A. GUI BANCOS BANCO HERRERO, S.A. HRR BANCOS BANCO PASTOR, S.A. PAS BANCOS BANCO POPULAR ESPAÑOL, S.A. POP BANCOS BANCO SANTANDER, S.A. SAN BANCOS BANCO DE VASCONIA, S.A. VAS BANCOS BANCO ZARAGOZANO, S.A. ZRG CARTERA GRUPO PICKING PACK,S.A. GHS CEMENTOS Y MATERIALES DE CONST CRISTALERIA ESPAÑOLA, S.A. CRI CEMENTOS Y MATERIALES DE CONST FINANCIERA Y MINERA, S.A. FYM CEMENTOS Y MATERIALES DE CONST HORNOS IBERICOS ALBA. (HISALBA) HSB CEMENTOS Y MATERIALES DE CONST UNILAND CEMENTERA S.A. UND CEMENTOS Y MATERIALES DE CONST URALITA, S.A. URA CEMENTOS Y MATERIALES DE CONST PORTLAND VALDERRIVAS, S.A. VDR C O M ER C IO F IN AN Z AU T O, S.A. F N Z COMERCIO PRYCA S.A. PRY COMUNICACIONES TELEFONICA DE ESPAÑA,S.A. TEF CONSTRUCCION AGROMAN, S.A., EMPRESA CONSTRUCTORA. AGR CONSTRUCCION DRAGADOS Y CONSTRUCCIONES, S.A. DRC C O N STRUCCIO N H U AR T E, S.A. HHU CONSTRUCCION CONSTRUCCIONES LAIN S.A. LAI CONSTRUCCION GRAL. OBRAS Y CONSTR. OBRASCON S.A. OBR ELECTRICO Y GAS HIDROELECTRICA DEL CANTABRICO, S.A. CAN ELECTRICO Y GAS ENDESA, S.A. ELE ELECTRICO Y GAS EMPRESA NAC.HIDROELECTRICA RIBAGORZANA.(ENHER ) ENH

130 Tabla 63 Contnuacón V alores C onsderados en el A nálss y M om entos de P rm er y S egundo O rden R eferentes a sus R etornos M ensuales C alculados para la Totaldad del Perodo Analzado ( ) Nº SEC T O R VALO R SÍM BO LO ESPE R AN Z A D ESVIA C IÓ N T ÍPIC A 51 ELECTRICO Y GAS ELECTRICAS REUNIDAS DE ZARAGOZA, S.A. ERZ ELECTRICO Y GAS FUERZAS ELECTRICAS DE CATALUÑA, S.A. (FECSA) FEC ELECTRICO Y GAS GAS Y ELECTRICIDAD, S.A. GES ELECTRICO Y GAS IBERDROLA, S.A. IBE ELECTRICO Y GAS SALTOS DEL NANSA, S.A. NAN ELECTRICO Y GAS COMPAÑIA SEVILLANA DE ELECTRICIDAD S.A. SEV ELECTRICO Y GAS UNION ELECTRICA-FENOSA,S.A. UNF ELECTRICO Y GAS ELECTRA DE VIESGO, S.A. VGO HOLDING CORPORACION FINANCIERA ALBA, S.A. ALB HOLDING CORPORACION FINANCIERA REUNIDA,S.A. (COFIR ) CFR HOLDING GRUPO FOSFORERA S.A. FFR HOLDING CORPORACION IND.FINANCIERA DE BANESTO. LCB INMOBILIARIAS BAMI,S.A.INMOBILIARIA DE CONSTRUCCIONES. BAM IN M O BILIAR IA S F ILO, S.A. F IL INMOBILIARIAS INMOBILIARIA ZABALBURU, S.A. IZB INMOBILIARIAS INMOBILIARIA METROPOLITANA VASCO CENTRAL. S.A. MVC INMOBILIARIAS PRIMA INMOBILIARIA S.A. PIN INMOBILIARIAS SOTOGRANDE S.A. STG INMOBILIARIAS URBANIZACIONES Y TRANSPORTES, S.A. (URBAS) UBS INMOBILIARIAS INMOBILIARIA URBIS, S.A. URB IN M O BILIAR IA S VALLEH ER M O SO, S.A. VAL IN M O BILIAR IA S IN BESO S, S.A. BES M AQ U IN AR IA AM P ER, S.A. AM P MAQUINARIA AZKOYEN S.A. AZK MAQUINARIA CONSTRUCCIONES Y AUXILIAR DE FERR. MAQ. (C.A.F.) CAF MAQUINARIA DIMETAL S.A. DMT MAQUINARIA GRUPO DURO FELGUERA, S.A. MDF MAQUINARIA NICOLAS CORREA S.A. NEA MAQUINARIA RADIOTRONICA S.A. RAD MAQUINARIA SDA.ESPAÑOLA DEL ACUMULADOR TUDOR, S.A. TUD MAQUINARIA ZARDOYA OTIS, S.A. ZOT METALICAS BASICAS ACERINOX, S.A ACX METALICAS BASICAS ASTURIANA DEL ZINC S.A. AZC METALICAS BASICAS NUEVA MONTAÑA DE QUIJANO, S.A. NMQ METALICAS BASICAS ESPAÑOLA DEL ZINC, S.A. ZNC OTRAS INDUSTR MANUFACTURERAS TAVEX ALGODONERA SAN ANTONIO, S.A. ASA OTRAS INDUSTR MANUFACTURERAS SEDA DE BARCELONA, S.A. (LA). SED OTRAS INDUSTR MANUFACTURERAS VIDRALA S.A. VID PAPEL Y MADERA EUROP.PAPER A.PACKAGINS INVEST. EPC PAPEL Y MADERA SARRIO S. A. SAR PAPEL Y MADERA SDAD. NAC. IND. APL. CEL. ESPAÑOLA, S.A. (SNIACE) SNC PAPEL Y MADERA TABLEROS DE FIBRAS, S.A. (TAFISA) TFI PAPEL Y MADERA UNIPAPEL, S.A. UPL PETROLEOS CIA.ESPAÑOLA DE PETROLEOS, S.A. (CEPSA) CEP PETROLEOS REPSOL S.A. REP QUIMICAS ENERGIA E INDUSTRIAS ARAGONESAS, S.A. ARA QUIMICAS SAD.ESPAÑOLA DE CARBUROS METALICOS, S.A. CAR QUIMICAS ERCROS S.A. ECR SERVICIOS GRUPO ANAYA S.A. ANY SERVICIOS MARCO IBERICA DE DISTRIBUCIONES S.A. (MIDESA) MID SERVICIOS PROSEGUR S.A., CIA. DE SEGURIDAD. PSG SIM CIA.GENERAL DE INVERSIONES,S.A.S.I.M. CGI TRANSFORMACION PROD METALICOS GLOBAL STEEL W IRE, S.A. GSW TRANSFORMACION PROD METALICOS TUBACEX,S.A. TUB CÁLCULO DE RENDIMIENTOS MENSUALES El prmer cálculo que se ha realzado a partr de las prmtvas cotzacones daras es el de estmacón de los rendmentos mensuales. Para la estmacón de este dato, se ha optado por una técnca dealzadora del comportamento del mercado que paso a explcar a contnuacón. La fórmula que se ha utlzado para el cálculo de los rendmentos mensuales es la sguente: 19

131 E A t t t t R (9.1) t B t D B donde: Et = Cotzacón dealzada del valor correspondente al últmo día del mes t. At = Cotzacón meda del derecho de suscrpcón del valor valorado en el mes t (mes en donde el derecho deja de cotzar). Dt = Dvdendos brutos repartdos por la entdad en el mes t. Bt = Cotzacón dealzada del valor correspondente al prmer día del mes t. Rt = Retornos dealzados correspondentes al valor en el mes t. El térmno retornos dealzados se está refrendo a que éstos están calculados a partr de unas cotzacones teórcas que no corresponden con las que tuveron efectvamente lugar los días prmero y últmo de cada mes. Para la obtencón de estos valores se ha utlzado la sguente regresón lneal para cada uno de los meses del perodo analzado. P a b d (9.) kt t t t sendo: t 7 1 k 31, para los meses de enero, marzo, mayo, julo, agosto, octubre, dcembre. novembre. donde: 1 k 30, para los meses de abrl, juno, septembre, 1 k 8, para los meses de febrero. at = coefcente ndependente de la regresón lneal correspondente al mes t y al valor. bt = coefcente dependente de d de la regresón lneal correspondente al mes t y al valor. 130

132 d = varable ndependente de la regresón lneal referente al valor, en este caso, el número del día del mes t (1-31) del cual queremos conocer su valor dealzado. = coefcente de error aleatoro para el valor en el mes t. Pkt = Preco teórco del valor en el día k del mes t. La razón de los valores dealzados es elmnar posbles volatldades que puderan darse en los días prmero y últmo de cada mes que, de hacerlo drectamente sn dealzar, serían las úncas cotzacones que se consderarían en el estudo. De esta forma, todas las cotzacones del mes partcpan en la elaboracón de una aproxmacón lneal a la tendenca de los precos y a partr de todas ellas, se estman las plusvalías que se generan en el mes. Así se obtenen las plusvalías dealzadas que tuveron lugar durante los meses que contempla el estudo. Por tanto, defnendo las plusvalías del valor en el mes t como Lt: L E B (9.3) t t t la ecuacón (9.1) se converte en : L A t t t R (9.4) t B t D Por lo cual, los retornos mensuales correspondentes a cada uno de los valores que forman parte del estudo se calculan medante la adcón de las plusvalías dealzadas (cuyo cálculo ya se ha explcado anterormente), el valor de cotzacón medo de los derechos de suscrpcón y los dvdendos repartdos por las socedades. El resultado de esta suma se dvde por la cotzacón dealzada al prncpo del perodo de cálculo, es decr, al prncpo del mes consderado. Con ello, se obtene una estmacón del rendmento mensual de cada valor, neta de la volatldad propa de los datos prmero y últmo de cada mes. El número total de estmacones de este tpo que se manejan en este trabajo es de 7 (mensualdades) 104 (valores) = 7488 estmacones. 131

133 A modo de ejemplo (ya que la totaldad de los datos se presentarán formando parte del Apéndce 1), en la Tabla 1 pueden verse las estmacones de los rendmentos netos de volatldad para los cnco prmeros valores consderados en el estudo 10. Las fórmulas de la aplcacón utlzada que se han empleado para el cálculo efectuado son: =PENDIENTE(rango de datos); esta fórmula se utlzó para calcular la pendente d de la recta de regresón utlzada en la estmacón de las cotzacones deales para cada mes y cada stock. =INTERSECCION.EJE(rango de datos); está fórmula se utlzó para calcular la ordenada en el orgen at de la recta de regresón utlzada en la estmacón de las cotzacones deales para cada mes y cada stock. A partr de esas dos fórmulas, y utlzando la msma hoja de cálculo, se procede de la sguente manera: a) Obtencón de la Revalorzacón del Stock al Fnal de Cada Perodo Mensual (Lt). La revalorzacón dealzada al fnal de cada mensualdad se obtene medante la sguente operacón: =PENDIENTE(rango de datos) kmax, sendo kmax = valor máxmo que puede tomar k en cada uno de los meses (número de días de cada mes). b) Obtencón de los Retornos Mensuales (Lt + At + Dt). Al preco calculado en a), se le deben adconar los derechos de suscrpcón y el reparto de dvdendos de la manera que anterormente se ha ndcado. c) Obtencón de los Retornos Mensuales Normalzados (Rt). 10 Todos los cálculos explcados en este apartado se realzaron con Mcrosoft Excel

134 Se dvde el resultado obtendo en b) por el valor prevamente calculado =INTERSECCION.EJE(rango de datos). Con esto se consguen los retornos mensuales en tanto por uno. Estos son los datos que nos servrán como nput para la sguente fase del cálculo. Tabla 1 133

135 CÁLCULO DE FRONTERAS EFICIENTES Introduccón Para la contrastacón de la metodología que aquí se aplca, se han comparado dversos sstemas de nversón. Algunos de éstos, están basados en la eleccón de portafolos medante la programacón compromso. Otros, se basan en sencllas reglas heurístcas 11. Generalmente, en la lteratura de seleccón de carteras, los nuevos sstemas de nversón se comparan con una seleccón aleatora de stocks y se comprueba s el nuevo sstema de eleccón puede mejorar el rendmento aleatoro de una forma contnuada y consstente 1. Con este objetvo como meta, se decde contrastar dos sstemas de nversón que sguen la metodología compromso, con otros sstemas heurístcos o aleatoros. En este trabajo úncamente nos vamos a centrar en la obtencón de los rendmentos realzados del sstema compromso de seleccón de portafolos. El análss de éstos rendmentos queda fuera del objetvo de esta tess, dejándose para ulterores nvestgacones. Los dos sstemas compromso que se decden evaluar cuentan con las sguentes característcas: Sstema A: portafolo seleccón Compromso Buy & Hold (CBH). El portafolo CBH se obtene aplcando la metodología compromso sobre los datos de los retornos antes calculados tenendo en cuenta los 60 meses que van desde enero de 199 hasta dcembre de Este portafolo CBH se mantendrá durante todo el año Año sobre el que se va a analzar la efcaca del sstema de seleccón. 11 Ggerenzer G. and Todd P.M. (1999) Smple heurstcs that make us smart, Oxford Unversty Press, New York. 1 Relly, F. (1985) Investment Analyss and Portfolo Management, The Dryden Press, New York, p

136 Sstema B: seleccón Compromso con Ajustes Dnámcos mensuales (CAD). El portafolo CAD se recalcula cada mensualdad de manera que el correspondente a enero de 1997 concde con el CBH (CAD1 = CBH). El correspondente a febrero (CAD) de 1997 se calculará utlzando los 60 datos mensuales provenentes de los meses de febrero de 199 a enero de 1997 (60 meses). El CAD3 o portafolo CAD correspondente a marzo se calculará tenendo en cuenta los datos de rendmentos mensuales de los meses que van desde marzo de 199 hasta febrero de Y así sucesvamente hasta llegar al CAD1 que se habrá calculado utlzando los meses desde dcembre de 199 hasta novembre de Se supone que en esta estratega se ajusta la cartera mensualmente vendendo y comprando las cantdades oportunas de los valores selecconados de manera que se obtenga el nuevo portafolo óptmo. Estas compras y ventas se consdera que se realzan el prmer día de cotzacón de cada mes (desde enero hasta dcembre de 1997). Se han dejado de consderar los costes transacconales. Cálculo Detallado de las Fronteras Efcentes Para la obtencón de las 1 fronteras efcentes (una para cada mes de 1997) se sgueron los sguentes pasos: Prmer paso: Obtencón de los doce vectores de medas artmétcas de los rendmentos mensuales normalzados. Segundo paso: Obtencón de las doce matrces de varanzas y covaranzas de los rendmentos mensuales normalzados. A modo de ejemplo, en las sguentes tablas: Tabla 13, Tabla 14 y Tabla 14 Contnuacón, puede verse el vector de medas y la matrz de 135

137 varanzas y covaranzas correspondentes la prmera mensualdad de 1997, calculada, como ya se ha ndcado con los datos de los retornos mensuales de los meses de enero de 199 hasta dcembre de Tabla 13 Para el cálculo de estos valores se ha utlzado de nuevo la aplcacón Mcrosoft Excel 97. La fórmula que ha permtdo obtener la meda artmétca de los rendmentos ha sdo: =PROMEDIO(rango de rendmentos). Por otro lado, la fórmula que ha permtdo obtener la matrz de varanzas y covaranzas ha sdo: =COVAR(prmer rango de rendmentos; segundo rango de rendmentos). Cuando lo que se quere obtener es la varanza de un valor, los dos rangos de rendmentos concdrán. 136

138 Tabla

139

140 Tabla 66 Contnuacón 139

141 Tercer paso: Una vez se dspone de las matrces de covaranzas y esperanzas, se procede a ntroducr los datos en una aplcacón o programa de optmzacón que sea capaz de calcular el portafolo con mínma varanza para una esperanza dada. Los detalles del programa que se ha utlzado en este trabajo pueden verse en la Fgura. Fgura Este programa LINGO, tene una coleccón de modelos-ejemplo entre los que se encuentra el modelo de optmzacón utlzado en este trabajo. S el modelo no estuvera en el conjunto ejemplos (samples), se debería programar la aplcacón para que realzara la optmzacón que nos nteresa. La optmzacón que aquí se estuda aparece, como se acaba de ndcar, entre los modelos-ejemplo de la aplcacón. El problema resde en que el modelo-ejemplo que trata la aplcacón es para una matrz de covaranzas de 3 3, por lo que se tuvo que estudar las característcas del programa y realzar algunos cambos en el programa de Markowtz para que pudera optmzar una poblacón de valores. El modelo orgnal, tal como se presenta en el programa LINGO es el sguente. MODEL:! GENPRT: Generc Markowtz portfolo; SETS: ASSET/1..3/: RATE, UB, X; COVMAT( ASSET, ASSET): V; ENDSETS 140

142 DATA:! The data;! Expected growth rate of each asset; RATE = ;! Upper bound on nvestment n each; UB = ;! Covarance matrx; V = ;! Desred growth rate of portfolo; GROWTH = 1.1; ENDDATA! The model;! Mn the varance; [ VAR] MIN COVMAT( I, J): V( I, J) * X( I) * X( J));! Intal budget; [ ASSET: X) = 1;! Upper bounds on 0, X, UB););! Desred value or return after 1 perod; [ ASSET: RATE * X) >= GROWTH; END Partendo de este modelo, y realzando una sere de cambos que se comentarán mas adelante se llegó al modelo adecuado para la optmzacón de nuestro sstema. El programa de optmzacón que se utlzó fue el sguente: MODEL:! GENPRT: Generc Markowtz portfolo; SETS: ASSET/1..104/: RATE, UB, X; COVMAT( ASSET, ASSET): V; ENDSETS DATA:! The data;! Expected growth rate of each asset; RATE EXP_RET);! Upper bound on nvestment n each; UB UPP_BOU);! Covarance matrx; V COV_MAT); 141

143 ! Desred growth rate of portfolo; GROWTH = 0; Modelos Multcrtero para la Seleccón de Portafolos en la Bolsa de Madrd ENDDATA! The model;! Mn the varance; [ VAR] MIN COVMAT( I, J): V( I, J) * X( I) * X( J));! Intal budget; [ ASSET: X) = 1;! Upper bounds on 0, X, UB););! Desred value or return after 1 perod; [ ASSET: RATE * X) = GROWTH; END Este es el programa que corresponde al cálculo para la prmera frontera efcente, la aplcable a enero de Repasando las alteracones realzadas al programa se detectan las sguentes varacones: a) En la cuarta línea se observa el sguente cambo: Modelo prmtvo: ASSET/1..3/: RATE, UB, X; Modelo adaptado: ASSET/1..104/: RATE, UB, X; Este cambo se debe a que es en esta línea en donde se defne el rango de la matrz de varanzas y covaranzas, matrz de esperanzas y matrz de límte superor de los pesos. b) En el apartado a la ntroduccón de los datos en el programa, exsten mportantes modfcacones. La razón de estas modfcacones resde en que la ventana de programacón de LINGO, tene una ampltud lmtada. Así pues, s las matrces de datos son excesvamente grandes, deben guardarse en archvos separados, establecendo un enlace entre el programa en LINGO y el archvo de datos. De esta manera tenemos: Modelo prmtvo: 14

144 DATA:! The data;! Expected growth rate of each asset; RATE = ;! Upper bound on nvestment n each; UB = ;! Covarance matrx; V = ;! Desred growth rate of portfolo; GROWTH = 1.1; ENDDATA Modelo adaptado: DATA:! The data;! Expected growth rate of each asset; RATE EXP_RET);! Upper bound on nvestment n each; UB UPP_BOU);! Covarance matrx; V COV_MAT);! Desred growth rate of portfolo; GROWTH = 0; ENDDATA De esta manera, el modelo adaptado está hacendo una llamada a un archvo de datos denomnado DOO.XLS en donde se encuentran las matrces de covaranzas y retornos. El modelo ncluye una matrz adconal que recoge el límte superor al que pueden llegar los pesos dentro del portafolo. Este límte se ha establecdo al 5 por cento de forma que se cumpla la reglamentacón legslatva española respecto al máxmo peso de un msmo actvo arresgado en un fondo de nversón. c) El sguente cambo que aparece es el referente al crecmento deseado para la cartera. Modelo prmtvo: GROWTH = 1.1; Modelo adaptado: GROWTH = 0; 143

145 Esta línea se refere al retorno que se le exge al portafolo. Así pues, el valor 0, habrá que r elevándolo paulatnamente haca valores superores hasta que el rendmento requerdo sea nalcanzable. d) El últmo cambo realzado al modelo se refere a los límtes de la optmzacón. Modelo prmtvo: [ ASSET: RATE * X) >= GROWTH; Modelo adaptado: [ ASSET: RATE * X) = GROWTH; Esto sgnfca que se está mnmzando la varanza del portafolo de forma que resulte un valor de la esperanza puntual, no un valor superor o gual al ndcado. Este cambo se decdó nclur para poder representar gráfcamente la frontera de forma exacta sobre las dmensones esperanza-varanza. Con el programa preparado y las matrces de datos creadas y enlazadas, se procede al cálculo de los puntos que forman la frontera efcente. Para realzar estos cálculos, se utlzó un aula de nformátca del edfco Ferrándz de la EPS Alcoy. Esta aula cuenta con 8 PC Pentum II a 166 Mhz con 3 Mb de RAM. La causa de la utlzacón de esta aula de nformátca es la necesdad de ahorrar tempo, ya que cada punto de la frontera efcente tarda entre cnco mnutos y dos horas en ser calculado. De este modo, utlzando los 8 PC, fueron obtendos 93 puntos correspondentes a 1 fronteras efcentes. El ntervalo selecconado para el ncremento de la rentabldad exgda al portafolo fue de 0.5 por cento. En la Tabla 15 pueden verse los 93 puntos que defnen las fronteras efcentes calculadas. Podemos ver que no todos los meses tenen el msmo rango de rendmentos accesble. Algunos meses, como por ejemplo enero, no puede alcanzar una rentabldad del 10.5 por cento, mentras que el mes de octubre, alcanza hasta un 13.5 por cento. Obsérvese, a modo de curosdad, que a partr de agosto, 144

146 tenendo en cuenta las restrccones que hemos ntroducdo en el programa, no es posble obtener una rentabldad gual o nferor al 0.5 por cento. Tabla 15 Un dato curoso que se obtuvo al calcular estas fronteras y que se detectó al representarlas gráfcamente, fue que en la zona próxma a los menores rendmentos exgdos, un ncremento de la rentabldad exgda propcaba un decremento del resgo o varanza. Esta rregulardad de la frontera que parecía un error de cálculo o de programacón, resultó ser corroborada por los dversos autores que fueron consultados ver, por ejemplo, a Haugen 13. Esta rregulardad es la causa de que la frontera efcente tome una frontera con forma de bala, (bullet shaped), nombre con el que se la conoce en la lteratura especalzada. Para que la zona rregular, pueda observarse mejor, se ha amplado la seccón de la Fgura 3, que la ncluye. Esta amplacón se representa en la Fgura 4. Se pueden detectar otras rregulardades en las fronteras efcentes, las cuales van hacéndose más regulares a medda que se van ncrementando los valores de la rentabldad exgda y la volatldad resultante. Estas rregulardades no son tan llamatvas como la señalada anterormente, aunque aparecen como extrañas desvacones de una normal evolucón del resgo en relacón con la 13 Haugen. R. (1997) Modern Investment Theory, Prentce-Hall Inc., Upper Saddle Rver. 145

147 rentabldad exgda. Estas pequeñas alteracones de la fgura típca de la frontera efcente, no son extrañas cuando ésta se estma a partr de datos reales, ya que éstos pueden provocar puntos de nflexón debdo a su estructura. La ctada Fgura 3, contene la representacón gráfca de las doce fronteras estmadas. En el Apéndce 5 del trabajo aparecen las gráfcas de las fronteras por separado. Indcar que generalmente, en el eje de abscsas se representa la varanza, y en el de ordenadas el rendmento. En este caso no se ha hecho así por mposbldad físca, ya que el programa con el que se han hecho las fguras, no facltaba el cambo de eje. Fgura 3 146

148 Fgura 4 ESTIMACIÓN DE ÓPTIMOS PARA CLIENTES ESTÁNDAR Tenendo ya calculadas las fronteras efcentes, procedemos a la estmacón de los óptmos para el prmer tpo de nversores analzados, los nversores estándar. Este proceso consta de los sguentes pasos: Prmer paso: Calcular la frontera rentabldad-segurdad que nos permtrá aplcar el teorema de seleccón compromso. Para la estmacón de esta frontera complementara a la efcente, se debe llevar a cabo prevamente una transformacón sobre los datos referentes a rentabldad y varanza, de la sguente forma: 1 Indce de rentabld ad E - E E * * E * (9.5) * V-V V V * Indce de segurdad 1 - Indce de resgo 1- (9.6) * * V -V V -V * * Donde: E = retornos esperados del portafolo. 147

149 V = varanza de los retornos. E * = valor deal o ancla para E, es decr, el mayor retorno esperado posble compatble con las restrccones del problema. V * = valor deal o ancla para V, es decr, la menor varanza de los retornos posble compatble con las restrccones del problema. E* = valor ant-deal para E, es decr el valor de E que corresponde al portafolo con la mínma varanza V *. V* = valor ant-deal para V, es decr el valor de V que corresponde al portafolo con la máxma esperanza E *. Así, se obtenen unos índces de rentabldad y segurdad sobre los que poder trabajar. Por tanto, este prmer paso trata de calcular los índces 1 y, para cada uno de las fronteras efcentes. Transformando cada frontera efcente rentabldad-resgo en una nueva frontera efcente rentabldad-segurdad. Antes de proceder al cálculo, se ha de desprecar la parte rregular de la frontera efcente prmtva, aquellos puntos en donde al ncrementar la rentabldad dsmnuye el resgo meddo por la varanza. De este modo el cálculo de los índces 1 y, se lleva a cabo utlzando las fórmulas (9.5) y (9.6). A modo de ejemplo, se presenta en la Tabla 16 el cálculo realzado para la frontera correspondente al mes de enero de 1997, el resto de tablas referentes a este cálculo pueden consultarse en el Apéndce

150 Indce de Segurdad Modelos Multcrtero para la Seleccón de Portafolos en la Bolsa de Madrd Tabla 16 Frontera E fcente R endm ento- S egurdad E nero 1997 Esperanzas Varanzas Teta 1 Teta A partr de estos datos, se pueden construr todas las fronteras efcentes rentabldad-segurdad correspondentes a los doce meses de A modo de ejemplo, se expone aquí la correspondente a enero de 1997 (Fgura 5), el resto de las fronteras aparecen en el Apéndce 6. Fgura 5 Frontera Efcente R entabldad-segurdad Enero Indce de Rentabldad Segundo paso: Una vez tenemos las doce fronteras normalzadas rentabldadsegurdad, se procede a la aplcacón del teorema compromso por el que se selecconan los portafolos óptmos dentro del conjunto accesble. Para ello, partmos de 1 y, calculados anterormente y se opera de la forma ndcada en el Capítulo 8. Los cálculos se pueden observar en la Tabla

151 Tabla 17 O btencón de L1 y Lnfnto para E nero 1997 Esperanzas Varanzas Teta 1 Teta Teta1 /Teta L1 = M ax (T eta 1+ Teta ) # D IV /0! Las cuatro prmeras columnas son las msmas que se tenían hasta ahora. La qunta columna: 1/, se ncluye para calcular la métrca L. La sexta columna: L1 = Max ( 1+ ), se ncluye para calcular la métrca L1. El cálculo de L se realza de la sguente forma. L es aquel punto en que 1 =, por lo que s se calcula el cocente entre ambos, el punto más cercano a L será aquel en que se cumpla que el cocente entre 1 y se aproxme más a uno. El valor selecconado se ha coloreado en la Tabla 17 con fondo anaranjado claro. En el caso de la frontera de enero de 1997, este valor es el , que se corresponde con una rentabldad esperada de un 7.5 por cento. El cálculo de L1 es más sencllo. L1 se corresponde con el punto en donde 1 + alcanza un máxmo. Así pues, el punto en que se cumple esta condcón para la frontera de enero del 97 es el correspondente a una rentabldad esperada de 7.5 por cento. Este punto se ha coloreado en la Tabla 17 con fondo amarllo. Con esto se concluye el subconjunto de la frontera efcente prmtva que maxmza la utldad de un nversor estándar será aquel que tenga un rentabldad esperada exactamente gual a 7.5 por cento. Obvamente el conjunto compromso será más amplo, pero para 150

152 localzar otros puntos se debería reducr el ntervalo del ncremento de la rentabldad exgda. Así pues, en este caso, la únca cartera de las estmadas que se encuentra dentro del conjunto compromso es aquella a la que se le exge una rentabldad del 7.5 por cento. El crtero que se ha segudo en este trabajo para la seleccón de la cartera que será computada, cuando más de una cartera forme parte del conjunto compromso, ha sdo el sguente: Tres casos posbles: S concden L1 y L en el msmo portafolo, se elge este. Esta posbldad se ha presentado en los meses de enero y marzo. S L1 y L no concden en el msmo portafolo, y exste un portafolo entre ellos dos, se seleccona el portafolo nteror. Esta posbldad se ha presentado en los meses de: juno, septembre, novembre y dcembre. En el tercer caso que se ha presentado, se estuda qué punto se ha selecconado como L, s se trata de un punto donde el resultado de 1/ más cercano a 1 supera la undad, entonces se seleccona el límte nferor, ya que el verdadero L será nferor a ese punto y por lo tanto ese portafolo se encontrará fuera del conjunto compromso. Este caso se ha presentado en el mes de mayo. Por el contraro, s el punto selecconado como L se corresponde con un punto donde el resultado de 1/ más cercano a 1 no supera la undad, se seleccona este msmo valor, ya que se stuará dentro del conjunto compromso. Sguendo estos msmos crteros, para todas las fronteras rentabldad-segurdad calculadas, se obtenen cada uno de los portafolos óptmos para cada mensualdad. Estos portafolos compromso óptmos, así como los conjuntos compromso se ndcan en la Tabla

153 Tabla 18 C onjuntos Com prom so y S eleccón del P ortafolo Ó ptm o P ara el Inversor Estándar Esperanzas Varanzas Teta 1 Teta Teta1/Teta L 1 = M ax (T eta1+t eta) Enero F eb rero M arzo Ab rl M ayo Juno Julo Ag o sto Sep tem b re O ctub re N o vem b re D cem b re Los portafolos coloreados con un fondo azul claro, corresponden a los selecconados para su computacón en el caso estudo que se está llevando a cabo. ESTIMACIÓN DE ÓPTIMOS PARA CLIENTES AGRESIVOS Reptendo los dos pasos que se acaban de explcar para el caso de los nversores estándar, pero esta vez para los nversores arresgados o agresvos se obtene el sguente cuadro de portafolos óptmos. 15

154 Tabla 19 C onjuntos Com prom so y S eleccón del P ortafolo Ó ptm o P ara el Inversor A gresvo Esperanzas Varanzas Teta 1 Teta Teta1/Teta L = M ax (T eta1*1.7+t eta) Enero F eb rero M arzo Ab rl M ayo Juno Julo Ag o sto Sep tem b re O ctub re N o vem b re D cem b re Los portafolos óptmos para los nversores arresgados se han obtendo calculando el punto L, en vez del punto L1, este punto L se obtene calculando el Max ( 1 r0 + ). En este trabajo se ha consderado que r0, para los nversores agresvos, toma un valor gual a 1.7 a modo de ejemplo. El cual respondería a un nversor con unas preferencas más marcadas por la rentabldad que por la segurdad, aunque sn llegar a desestmar totalmente éste últmo ben. ESTIMACIÓN DE ÓPTIMOS PARA CLIENTES CONSERVADORES Reptendo de nuevo, los dos pasos que se acaban de explcar para el caso de los nversores estándar y agresvos, pero esta vez para los nversores conservadores, se obtene el sguente cuadro de portafolos óptmos. 153

155 Tabla 0 Los portafolos óptmos para los nversores agresvos se han obtendo calculando el punto L, en vez del punto L1, este punto L se obtene calculando el Max ( 1 r0 + ). En este trabajo se ha consderado que el r0, para nversores conservadores, toma un valor gual a 0.3 a modo de ejemplo. El cual respondería a un nversor con unas 154