MUESTREO EN POBLACIONES FINITAS. Antonio Morillas 1

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1 MUESTREO E POBLACIOES FIITAS Atoo Morllas Coceptos estadístcos báscos Etapas e el muestreo 3 Tpos de error 4 Métodos de muestreo 5 Tamaño de la muestra e fereca 6 Muestreo e poblacoes ftas 6. Muestreo aleatoro smple 6. Muestreo aleatoro estratfcado Estos aputes de clase corpora dversas sugerecas realzadas por los profesores M. Agular, A. Caparrós y B. Díaz. E sus prmeras págas, especalmete, se recoge lugares comues acerca del muestreo tratados e dversos mauales.

2 Muestreo e poblacoes ftas. Coceptos estadístcos báscos A lo largo del curso se ha estudado como hacer fereca acerca de la poblacó partedo de la formacó sumstrada por la muestra. Pero cas ada se ha dcho aú sobre dos aspectos mportates del proceso de fereca: como seleccoar los elemetos u observacoes de ua muestra. como proceder e esa seleccó y cuál es su tamaño adecuado, s la poblacó o es ta grade como se ha vedo admtedo hasta ahora (fta). Se ha vsto a lo largo de la asgatura como la ceca estadístca es ua herrameta fudametal e la vestgacó ecoómca y empresaral, dado que permte coocer las característcas de poblacoes cocretas, cotrastar hpótess sobre ellas o realzar predccoes sobre su evolucó. Detro de este proceso u compoete de gra ayuda para el vestgador, que aú o se ha estudado, es la realzacó de ecuestas. Este va a ser el objeto básco de la presete leccó. o obstate, ates de meteros e ello, es coveete recordar alguos coceptos báscos: a) Poblacó. Colectvo objeto del estudo formado por u cojuto de elemetos co característcas smlares y sobre el que se pretede ferr regulardades. b) Muestra. Subcojuto de la poblacó o colectvo que se vestga. Debe ser represetatva del cojuto de la poblacó. c) Idvduos. Cada uo de los elemetos que forma la poblacó. Los dvduos puede ser: - Persoas físcas: por ejemplo, u clete de ua empresa. - Persoas jurídcas o socedades: por ejemplo, ua empresa hotelera. - Udades famlares: por ejemplo, ua famla de turstas. d) Varables cuattatvas. Caracteres que se observa e los dvduos y que so susceptbles de teer valores umércos: por ejemplo, edad y gasto mesual del ecuestado.

3 e) Atrbutos. So varables cualtatvas, que o so susceptbles de tomar valores y se epresa medate modaldades: por ejemplo, seo del ecuestado, medo de trasporte al desto, vel de estudos.. Etapas e el muestreo. Ates de pregutaros de qué maera se toma ua muestra de ua poblacó, quzás debíamos de cuestoaros sobre la ecesdad de trabajar co muestras. La alteratva sería tratar de obteer la formacó para todos y cada uo de los elemetos de la poblacó, es decr, trabajar co cesos más be que co ecuestas. Pero recordemos que hay, al meos, tres bueas razoes para que ua muestra sea geeralmete preferda a u ceso: El coste, ya que u ceso será mucho más caro y, a veces, cluso, prohbtvo. El tempo dspoble, cuado e muchos casos la formacó se ecesta de forma más o meos urgete. La precsó que presumblemete se gaaría co u ceso o compesa la pérdda e tempo y dero, pudédose alcazar u vel razoable de precsó co u adecuado método de muestreo. Los pasos a segur detro de u proceso de muestreo so:.-defr la formacó que se ecesta. Esto supoe e la práctca la búsqueda de u equlbro etre las pregutas acerca de la cuestó prcpal o motvo de la ecuesta y lo que puede ser complemetaro, troducdo co afá de aprovechar el esfuerzo ecoómco y de dedcacó que supoe ua ecuesta..-determar la poblacó a muestrear y comprobar s este u lstado. Hay que defr la poblacó de refereca de forma adecuada, pues, auque el método segudo sea correcto, las coclusoes o será váldas s la poblacó o ha sdo elegda de forma adecuada. Por ejemplo, ecuestas de opó etre los turstas procedetes de Holada, o se puede etrapolar para defr la opó del cojuto de los potecales turstas de toda la Uó Europea. Como se ha dcho aterormete, el paso prevo a la realzacó de cualquer proceso de muestro se cetra e la cocrecó de los objetvos del estudo, defedo así, mplíctamete, las característcas y la aturaleza de la poblacó a aalzar. Esta parte de la vestgacó requere ua defcó de las varables a utlzar e el ámbto poblacoal, sus característcas y su perodo de refereca. Así, por ejemplo, s se quere estudar las característcas de la demada turístca de las famlas procedetes e u determado país de la UE, es evdete que la poblacó objeto de estudo es eclusvamete la formada por las famlas resdetes e el msmo. 3

4 De acuerdo co los objetvos establecdos e la vestgacó, debe obteerse toda la formacó correspodete a esas famlas, así como los movmetos turístcos realzados por ellas. Por tato, las varables a las que se referrá el estudo será ua sere de característcas socodemográfcas, ecoómcas y culturales relatvas a esas famlas. Del msmo modo, se debe defr la cobertura o ámbto de objeto del estudo, tato temporal (perodo e que es teresate el estudo), como geográfca (delmtacó geográfca del trabajo). Cuado la poblacó está be defda es relatvamete fácl obteer ua muestra represetatva. El problema surge cuado la poblacó o está be delmtada o o es coocda. Por ejemplo, esto ocurrría s el objetvo del estudo fuera la poblacó futura de vstates a u parque temátco que se acaba de costrur. E este caso es evdete que se descooce la posble poblacó, así como las característcas que la defe. Por ello, el trabajo de obtecó de la muestra resulta más complejo, y sería mposble de realzar s o fuera co la clusó de determados supuestos e el aálss. La defcó de las udades de estudo es u paso ecesaro e esta etapa del proceso. Las udades de estudo puede ser los dvduos (los turstas que llega a u balearo) o be grupos de dvduos co alguas característcas comues (las famlas u hogares de u determado país, los jóvees, los matrmoos s hjos...). El resultado del estudo, como se ha dcho, depede e gra medda de la adecuacó de la muestra a los objetvos y al marco de la vestgacó. Es por ello que e esta fase se debe recoger eplíctamete todos los posbles casos poblacoales que se pretede aalzar. Por ejemplo, s lo que se quere estudar so las característcas de la demada potecal de u determado desto turístco es evdete que o se puede obteer ua muestra sólo de los turstas que vaja a ese desto. Esto supodría dejar de lado ua parte mportate de formacó que proporcoaría otros turstas que estaría dspuestos a vajar a ese desto, s las codcoes varara. Por el cotraro, s el objeto del estudo es aalzar las crcustacas que permte la fdelzacó de los turstas a u desto cocreto, la muestra debería ser tomada eclusvamete etre aquellos que haya vstado más de ua vez dcho desto. 3.-Defcó del método a segur para tomar la muestra y su tamaño. o hay u método óptmo de llevar a cabo la seleccó de los elemetos de la muestra. Depederá, geeralmete, del problema que os ocupa y de los recursos dspobles. El más coocdo es el muestreo aleatoro smple, e el que cada uo de los elemetos de la muestra tee la msma probabldad de ser elegdo. S embargo, hay crcustacas e que puede ser mas dcados otros tpos de muestreo. Por ejemplo, s deseamos recabar formacó acerca de la opó de los vstates de u desto turístco, o sería lógco hacer u muestreo aleatoro smple, so que lo más razoable sería hacer u muestreo por estratos, teedo e cueta característcas dferecadoras como podría ser la edad, el país de orge o el vel de reta. 4

5 Otro aspecto mportate, que veremos más adelate, será el tamaño de la muestra, que depederá del grado de fabldad requerdo y del coste. 4.-Dseño adecuado de la forma de obteer la formacó (cuestoaro). Los cuestoaros so la sere de pregutas que costtuye el tema de la ecuesta. La elaboracó de u cuestoaro adecuado resulta fudametal para la obtecó de la formacó ecesara para llevar a cabo el estudo. Las característcas de u bue cuestoaro ha de ser: - Objetvdad: el etrevstador uca debe flur e la opó del etrevstado. - Clardad: es mportate utlzar u leguaje fáclmete asmlable por el etrevstado. - Precsó: hay que defr be las cuestoes y evtar ambgüedades para obteer la formacó que se busca. - Correccó: ha que evtar pregutas que por su cotedo o su leguaje pueda molestar al etrevstado. - Duracó lmtada: hay que reducr el tamaño del cuestoaro lo mámo posble, evtado pregutas repetdas o ecesvamete largas, para mpedr el casaco y la mootoía e las respuestas del etrevstado. Las tpologías de pregutas que os podemos ecotrar so: - Preguta aberta: el etrevstado tee lbertad para cotestar. - Preguta cerrada: el etrevstado debe cotestar seleccoado ua o varas opcoes de las que se le propoe. La preguta cerrada faclta la tabulacó posteror de las respuestas. - Preguta mta: por ejemplo, ua preguta cerrada dode ua de las opcoes es ua preguta aberta de respuesta lbre. Las dferetes formas de realzar la etrevsta so: - Etrevsta persoal: el etrevstador y el etrevstado matee u trato drecto. - Etrevsta telefóca. - Etrevsta postal: evío del cuestoaro por correo. - Etrevsta vrtual (uso de Iteret). Desde el puto de vsta de la fereca estadístca, hay que tratar de asegurar dos aspectos claves: Que el úmero de o respuestas o sea alto, para evtar que los cuestoaros de los que respode deje de ser represetatvos del cojuto de la poblacó. El úmero de pregutas y la forma e que se realza la ecuesta (etrevsta persoal, correo, teléfoo, etc.) tee mucho que ver co la tasa de o respuesta. Covee aalzar la falta de respuesta co objeto de ver la 5

6 represetatvdad que podemos segur adjudcado a la muestra (característcas o patró de comportameto de los elemetos o observados por falta de respuesta). Que las respuestas sea hoestas y precsas. La técca (arte) e el dseño del cuestoaro y e la realzacó de la etrevsta, o forma de hacer la preguta, es esecal e este puto. 5.-Uso de la muestra para hacer fereca. Se comeza co la preparacó y aálss de los datos: codfcacó, depuracó y aálss descrptvo cal. Posterormete, se etra e la fereca, de la que ya se ha estudado dversas formas de realzarla. A lo largo de esta leccó, o obstate, trataremos alguos métodos de fereca para tpos partculares de muestreo. 6.-Obtecó de coclusoes acerca de la poblacó. Se trata de resumr y presetar la formacó obteda: estmacó por tervalos, tablas resume, presetacoes gráfcas, etc. Ua vez destacadas las coclusoes del estudo, puede argumetarse como actuar y, posblemete, sugerr la obtecó posteror de ueva formacó de terés aparecda a lo largo del estudo. E este setdo, muchas veces, la aparcó de cuestoes mportates o prevstas e el proceso, puede servr de estímulo para posterores estudos de la poblacó. 3. Tpos de error uca sabremos, certamete, cuál es el verdadero valor de cualquer parámetro poblacoal. Ua fuete posble de error procede del hecho de que o observamos toda la poblacó, y le llamamos error de muestreo, de azar o de estmacó. Este tpo de error es evtable, ya que sempre habrá dfereca etre los valores medos de la muestra y los valores medos de la poblacó. La magtud de este error depede del tamaño de la muestra (a mayor tamaño de muestra meor error) y de la dspersó o desvacó estádar del estmador (a mayor dspersó mayor error).la Estadístca estuda de qué forma se puede tratar ese tpo de error o, al meos, cómo se puede corporar e el proceso de fereca (tervalos de cofaza, vel de sgfcacó, etc.). S embargo, hay otras posbles fuetes de error que o puede ser tratadas de la msma forma. Los llamaremos errores ajeos al muestreo y alguos de ellos so: Defcó correcta de la poblacó de refereca. Respuestas mprecsas o falsas. ormalmete procede de falta de clardad e el cuestoaro y de la formulacó de pregutas delcadas para el etrevstado. Falta de respuesta. Este hecho puede producr estmacoes sesgadas, ya que los que respodero puede o represetar felmete a la poblacó. Por eso, e este caso, covee aalzar las característcas de los que o lo hcero (posble sesgo) y compararlas co los que sí lo hcero, para ver s so homogéeos o o ambos grupos. 6

7 Sesgo e la seleccó de los elemetos de la muestra. Por ejemplo, cambo de u veco por otro ausete, desatededo el proceso de muestreo estpulado. Errores de mapulacó, tabulacó y cálculo. o este u procedmeto geeral para evtar y aalzar tales errores. Pero el vestgador debe teerlos muy presetes para tratar de mmzarlos. Es precso recabar toda la formacó dspoble. Puede hacerse ua ecuesta preva para detectar posbles fallos. 4. Métodos de muestreo Los métodos de muestreo puede ser de dos tpos: aleatoros y o aleatoros, depededo del método de obtecó de la muestra. E los prmeros, la seleccó de los elemetos de la muestra es aleatora e depedete de la opó de cualquer persoa (vestgador o etrevstador). E los segudos, esta codcó o sempre se cumple. E ambos casos, puede seleccoarse elemetos de la poblacó (por ejemplo, empleados) o grupos de elemetos (por ejemplo, famlas). De esta forma, podemos establecer la sguete clasfcacó de los métodos de muestreo: Fgura. Prcpales métodos de muestreo Muestreos aleatoros Udad muestral elemetal Udad muestral grupo Muestreo aleatoro smple Muestreo aleatoro sstemátco Muestreo aleatoro estratfcado Muestreo por áreas y coglomerados Muestreo por etapas Muestreos o aleatoros Muestreo por cuotas Muestreo de juco u opó Muestreo tecoal Muestreo por bola de eve 7

8 Ua clasfcacó geeral de estos métodos puede verse e la Fgura. A cotuacó, vamos a realzar u breve recorrdo de los msmos, pero cetrádoos fudametalmete e los defdos como aleatoros. ) Muestreo aleatoro. Muestreo aleatoro smple. Se caracterza porque cada elemeto de la poblacó tee la msma probabldad de ser elegdo. S se dspoe de ua lsta de los elemetos de la poblacó, la seleccó de ua muestra aleatora smple es muy seclla. Supogamos que umeramos los elemetos de la poblacó de a, ua muestra aleatora smple puede obteerse colocado bolas umeradas e ua caja, mezcládolas, y etrayedo de ella, o be, també puede utlzarse ua tabla de úmeros aleatoros, ordeador o smple calculadora de mao (tecla RADOM RD). Muestreo aleatoro sstemátco. S este ua lsta de los elemetos de la poblacó e la que aparece ordeados y el orde estete o es u factor dstorsoate de la aleatoredad para el tema bajo estudo (de ser así habría sesgo e la seleccó) se utlza co mayor frecueca el muestreo sstemátco. Se trata de seleccoar u prmer elemeto al azar (arraque aleatoro) etre y p, sedo p=/, y, s este elemeto es el k-ésmo, los demás se obtee sumádole p al medato ateror: k, k+p, k+p,... El método garatza que aparezca elemetos de todas las clases, por lo que geera muestras más represetatvas que el aleatoro smple. Este procedmeto ege, como el ateror, umerar todos los elemetos de la poblacó, pero e lugar de etraer úmeros aleatoros sólo se etrae uo. El resgo de este tpo de muestreo está e los casos e que se da perodcdades e la poblacó ya que al elegr a los membros de la muestra co ua perodcdad costate (p) podemos troducr ua homogeedad que o se da e la poblacó. Imagemos que estamos seleccoado ua muestra sobre dferetes lstas de 0 dvduos e los que los 5 prmeros so varoes y los 5 últmos mujeres, s empleamos u muestreo aleatoro sstemátco co p=0 sempre seleccoaríamos o sólo hombres o sólo mujeres, o podría haber ua represetacó de los dos seos. Otro ejemplo: s seleccoamos ua muestra de ocupacó hotelera basada e ua sere de datos mesuales para dsttos años y p=, sempre se obtedría la observacó correspodete al msmo mes, por lo que la muestra estaría afectada por el sesgo propo del factor estacoal ecotrado e el arraque aleatoro (al alza e meses de alta ocupacó, a la baja e el resto) Muestreo estratfcado. Hace refereca a poblacoes co característcas dferetes, e las que este estratos (grupos) homogéeos co respecto al carácter que se vestga y que, por tato, debe ser aalzados de forma dferete, ya que puede obteerse estmacoes más precsas (meos errores) tomado ua muestra 8

9 aleatora e cada estrato y, además, se garatza que todos los estratos (subpoblacoes, e deftva) esté represetados. Cada estrato tee elemetos que so homogéeos etre sí y heterogéeos respecto a los demás estratos. Por ejemplo, s se quere estudar característcas de los hoteles de ua determada provca, se tee como estratos los hoteles de 5 estrellas, de 4 estrellas, de 3 estrellas, etc. y se utlzará u muestreo estratfcado que os asegure ua adecuada represetacó de todos los estratos. Muestreo por coglomerados y por áreas. E el muestreo por coglomerados la udad muestral es u grupo de elemetos de la poblacó que forma ua udad, a la que llamamos coglomerado (famlas, empresas, mucpos, etc.). El muestreo por coglomerados cosste e seleccoar aleatoramete u certo úmero de coglomerados (el ecesaro para alcazar el tamaño muestral establecdo) e vestgar después todos los elemetos perteecetes a los coglomerados elegdos. E el caso partcular de que los coglomerados sea áreas geográfcas bastate frecuetehablaremos de muestreo por áreas. Muestreo poletápco o por etapas. El muestreo poletápco es ua geeralzacó del muestreo por coglomerados e el que se teta reducr el coste al mímo. E la prmera etapa se seleccoa u úmero determado de coglomerados (udades prmaras de muestreo), por ejemplo, provcas. E la seguda se seleccoa coglomerados más pequeños perteecetes a los aterores (udades secudaras de muestreo), por ejemplo, mucpos. Y así sucesvamete (procedmeto de embudo ) hasta llegar a los elemetos de la poblacó que va a ser observados (udades últmas). Sólo ecestamos, por tato, cotar co u lstado de los elemetos de esta últma etapa. Como ejemplo práctco, la Ecuesta de Poblacó Actva (EPA), ua vestgacó por muestreo de perodcdad trmestral realzada por el IE desde 964 drgda a aalzar la actvdad laboral, utlza u muestreo e dos etapas co estratfcacó e la prmera etapa. El IE seleccoa como udades muestrales prmaras alrededor de seccoes cesales de etre las más de e que esta dvdda España. E cada ua de estas seccoes cesales se etrevsta u promedo de 0 vvedas famlares (udades muestrales secudaras), obteédose ua muestra de apromadamete vvedas para las que se recoge formacó para todos sus membros, lo que produce ua muestra fal e toro a las persoas. Como resume, e térmos geerales, las vetajas e coveetes de los dsttos tpos de muestreo aleatoro se preseta e la Tabla : Ua seccó cesal es ua udad terrtoral que se establece co crteros operatvos para el trabajo de campo e las operacoes estadístcas, medate la subdvsó de los dstrtos de los mucpos atededo fudametalmete al volume de poblacó. E esta etapa el dseño de la EPA estratfca las seccoes cesales utlzado u doble crtero: geográfco y socoecoómco. 9

10 Tabla : Vetajas e coveetes de los dferetes tpos de muestreo aleatoro CARACTERISTICAS VETAJAS ICOVEIETES Aleatoro smple Se seleccoa ua muestra de tamaño de ua poblacó de udades, cada elemeto tee ua probabldad de clusó gual y coocda de /. Secllo y de fácl compresó. Requere que se posea de atemao u lstado completo de toda la poblacó. Caro. Sstemátco Se ecesta u lstado de los elemetos de la poblacó. Tras determar el tamaño muestral, se defe u valor p= /. Se elge u úmero aleatoro, k, etre y p (k= arraque aleatoro) y se seleccoa los elemetos de la lsta que ocupa los lugares k, k+p, k+p,... Fácl de aplcar. Cuado la poblacó está ordeada sguedo ua tedeca coocda, asegura ua cobertura de udades de todos los tpos. S la costate de muestreo está asocada co el feómeo de terés, las estmacoes obtedas a partr de la muestra puede coteer sesgo de seleccó Estratfcado E certas ocasoes resultará coveete estratfcar la muestra segú certas varables de terés. Para ello debemos coocer la composcó estratfcada de la poblacó. Tede a asegurar que la muestra Se ha de coocer la represete adecuadamete a la dstrbucó e la poblacó poblacó e fucó de las de las varables utlzadas varables seleccoadas. para la estratfcacó. Estmacoes más precsas. Su objetvo es cosegur ua muestra lo más semejate posble a la poblacó e lo referete a las varables estratfcadoras. Coglomerados- Etapas Se seleccoa aleatoramete certo Es muy efcete cuado la úmero de coglomerados y se vestga poblacó es muy grade y todos los elemetos de cada uo de ellos. El dspersa. muestreo por etapas es ua geeralzacó, o es precso teer u lstado de que va de más grades a más pequeños. Se toda la poblacó, sólo de las realza varas fases de muestreo sucesvas. udades últmas de muestreo. Meor coste. El error estádar es mayor que e el muestreo aleatoro smple o estratfcado. El cálculo del error estádar es complejo. ) Muestreo o aleatoro A veces, para estudos eploratoros, el muestreo aleatoro resulta ecesvamete costoso y se acude a métodos o aleatoros, au sedo coscetes de que o so adecuados para realzar geeralzacoes, pues o se tee certeza de que la muestra etraída sea represetatva, ya que o todos los sujetos de la poblacó tee la msma probabldad de se elegdos. Sólo cometaremos aquí el muestreo por cuotas y el de opó. Muestreo por cuotas. També deomado e ocasoes "accdetal". Se aseta geeralmete sobre la base de u bue coocmeto de los estratos de la poblacó y/o de los dvduos más "represetatvos" o "adecuados" para los fes de la vestgacó. Matee, por tato, semejazas co el muestreo aleatoro estratfcado, pero o tee el carácter de aleatoredad de aquél. 0

11 E este tpo de muestreo se fja uas "cuotas" que cosste e u úmero de dvduos que reúe uas determadas codcoes (varables de cotrol), por ejemplo: 0 dvduos de 5 a 40 años, de seo femeo y resdetes e Málaga. Sempre que se ajuste a las cuotas fjadas, el etrevstador tee lbertad para elegr a los etrevstados. Este método se utlza mucho e las ecuestas de opó. Muestreo de juco o de opó. Este tpo de muestreo se caracterza por u esfuerzo delberado de obteer muestras "represetatvas" medate la clusó e la muestra de grupos supuestamete típcos. Para la obtecó de ua muestra medate este método se puede acudr a crteros específcos de los vestgadores o be requerr las opoes de epertos e la matera. Por ejemplo, cuado el terés del estudo se cetra e comparar las característcas dferecadoras de los cletes que ha presetado certa satsfaccó e el servco respecto a aquellos otros que o, se determa a juco del vestgador u úmero predetermado de ecuestas a los cletes satsfechos y otro úmero de ecuestas a cletes satsfechos. 5. Tamaño de la muestra e fereca. La muestra debe reproducr las característcas del uverso o poblacó. Hay dos cuestoes báscas: la prmera, sobre la catdad de elemetos que debe clur la muestra y, la seguda, hasta qué puto puede geeralzarse a la poblacó el resultado obtedo e ella. Ambas cuestoes coduce al problema de la eacttud o precsó de la estmacó del parámetro descoocdo. El objetvo es o currr e errores a la hora de obteer los resultados. Pero como los errores so evtables, lo mportate etoces es mmzarlos. Ua vez especfcadas las característcas que ha de teer la muestra, hay que determar su tamaño (), de forma que sea sufcetemete represetatva de la poblacó y que asegure, para u vel de cofaza (-α) dado, u error muestral (ε) mámo permtdo. La poblacó puede ser fta (a veces, suele cosderarse fta cuado tee más de elemetos) o de tamaño fto, que es lo más geeral. Vamos a ver, como troduccó geeral al caso más real de poblacoes ftas, la forma e que se puede tratar este tema cuado la poblacó se supoe fta. Caso de la meda: El error muestral se defe como la dfereca etre el verdadero valor del parámetro y el arrojado por su estmador para la muestra e cuestó: ε = µ Recordemos que u tervalo de cofaza del 00(-α) % para la meda, e caso de ormaldad, vedría dado por:

12 z σ µ + z σ α/ α/ µ z σ σ = α / σ Se desprede de la ateror epresó que sempre so el vel de cofaza y el error estádar o desvacó típca del estmador del parámetro descoocdo los que determa la ampltud del error que cometemos al estmar dcho parámetro co ua muestra de tamaño. El error mámo para ua muestra de tamaño, cuado se estma la meda e ua poblacó ormal co ua cofaza del 00(-α) %, sería, por tato: ε = µ = z α / σ E esta epresó, σ es la desvacó típca poblacoal, la meda de la muestra y µ la meda poblacoal. Obsérvese ua cuestó que va a ser muy mportate desde u puto de vsta coceptual: dado u vel de cofaza (z, e deftva), otorgar u determado valor al error mámo que se puede cometer, equvale eactamete a fjar la varaza del estmador. Despejado, resulta que el tamaño de la muestra vee dado por la sguete epresó: z α σ = ε / Recordemos que z -α/ es u valor (percetl) de la dstrbucó ormal tpfcada que acumula a su zquerda ua probabldad de (-α/), o lo que es gual, α/ a su derecha. Este valor es de,96 para u vel de cofaza del 95 %. Es bastate frecuete redodear los valores del percetl de Z a z = y a z =3, sedo etoces del 95,5% y 99,5%, respectvamete, los correspodetes veles de cofaza. Para el prmer caso, por ejemplo, el tamaño de la muestra vedría dado por la epresó: 4σ = ε E la mayoría de los casos se descooce el valor de σ, por lo que es ecesaro establecer u proceso de muestreo prevo co formacó más reducda (muestra ploto) y a partr de ahí estmar la varaza σ, o be utlzar los resultados obtedos e otro estudo.

13 Ejemplo: Para llevar a cabo el aálss de u desto turístco co alta aflueca de turstas (00.000, e cocreto) se desea realzar ua ecuesta para determar el gasto medo por tursta. Se ha decddo aceptar u error mámo e el gasto medo de 30 euros. Supoedo ua desvacó estádar de la poblacó de 00 euros y u vel de cofaza del 95%, obtega el tamaño adecuado de la muestra. Solucó: Al ser ua poblacó mayor de elemetos, vamos a tratar el tema, por ahora, como s se tratase de ua poblacó fta, tal y como se ha dcho aterormete. Así, la fórmula para obteer el tamaño de la muestra es: z α /σ,96 00 = = = 70,74 7 ε 30 Caso de la proporcó: Cuado se estma ua proporcó, caso frecuete de respuestas dcotómcas, la varaza del estmador de la proporcó es, como se recordará: σ = ˆp pq El error mámo vedría dado, de acuerdo co lo que acabamos de ver, por: p pˆ z ε = = α / pq El tamaño de la muestra se obtedrá, como aterormete, despejado de esta epresó: = z pq ε α / Geeralmete, los valores poblacoales de la proporcó buscada (p) y de su complemetaro (q=-p) se descooce. Pero e este caso, e vez de obteerlos medate ua muestra ploto, puede sustturse por p=q=0,5, lo que coduce al mámo valor egble de, ya que cualquer otra combacó de valores de p y q, al multplcarlos, daría ua valor feror a 0,5. Obsérvese además que s se cosdera ua cofaza del 95,5%, el valor de ma queda sólo e fucó del error: 4pq 4 0,5 = = = ε ε ε ma 3

14 Ejemplo Para completar el aálss del ateror desto turístco, se desea realzar utlzar la ecuesta para determar la proporcó de vstates de orge europeo. Se ha decddo aceptar u error mámo del 5%, y u vel de cofaza del 95,5%. Obteer el tamaño de la muestra. Solucó: Co esta formacó, puesto que o sabemos ada acerca del valor poblacoal de p, el tamaño de la muestra sería: 4pq 4 0,5 = = = 400 ε (0,05) ma La respuesta a por qué e estudos de mercado y ecuestas de opó se utlza a meudo u tamaño muestral de 400, 0 ó 500 está e esta fórmula: se asume u descoocmeto total de la proporcó e la poblacó, por lo que se cosdera p=0.5, se usa u vel de cofaza del 95.5% y la mprecsó máma admsble (error) se suele fjar e el 5, 3 ó %, respectvamete. Caso del total: Por últmo, el tercer parámetro e el que podemos estar teresados es por el total o suma de todos los valores de la varable, que e ua poblacó, como se recordará, vee dado por µ. Evdetemete, s estamos hablado de coocer, la poblacó ha de ser fta, cosa que o hemos supuesto e los dos casos aterores. Pero vamos a cotuar desarrollado este caso sólo co el objeto de cerrar el tratameto de la búsqueda del tamaño muestral, cuado se pretede hacer fereca sobre los tres parámetros más comues. Ya veremos, s embargo, como para poblacoes ftas todas estas epresoes del tamaño de la muestra camba. Pero, como hemos dcho aterormete, sgamos el argumeto como smple ejercco, para más adelate putualzarlo debdamete. Por ejemplo, se puede estar teresado e el gasto total aual de los turstas que vsta ua certa zoa. Es fáclmete compresble que, e este caso, el mejor estmador de ese total vedría dado por. Y, puesto que es costate, la varaza del total será: σ = Var( ) = σ σ = σ El error para el total, por tato, será el de la meda multplcado por : σ ε T = µ = z α / = ε 4

15 Smplfcado e los dos últmos membros de esta gualdad, se comprueba fáclmete que el tamaño de la muestra debería de ser eactamete gual que para el caso de la meda. Ejemplo: Para completar el aálss del desto e estudo se desea coocer també el gasto total que los turstas realzará e la zoa. Se ha decddo aceptar u error mámo e el gasto total de 6 mlloes de euros. Supoedo u vel de cofaza del 95%, obteer el tamaño adecuado de la muestra. Solucó: σ z ε = z = T σ α / α / εt, = = 70, Obsérvese que, como era de esperar, se obtee eactamete el msmo úmero de observacoes que para el caso de la meda, ya que el error del total se ha elegdo a propósto multplcado por el de la meda. De esta forma se ha matedo el especfcado aterormete para la meda: εt εt = ε ε = = = Ua vez fjado el tamaño de la muestra, y obteda ésta medate el procedmeto adecuado, la mejor estmacó por putos del gasto medo será la meda de la muestra. La de la proporcó, la observada e la muestra y la del total, la meda de la muestra multplcada por. Los correspodetes tervalos de cofaza, que os da ua dea de la horqulla e que se mueve el verdadero valor del parámetro, se costrurá para cada uo de los casos, segú lo vsto aterormete, como sgue: Meda : ( z σ µ + z σ ) α/ α/ Proporcó : ( pˆ z σ p pˆ + z σ ) α/ pˆ α/ pˆ Total : ( z σ µ + z σ ) α/ α/ Es decr, ua vez seleccoados los elemetos de la muestra, se obtedrá, respectvamete, las correspodetes estmacoes por putos de la meda, proporcó y total. Co estos datos como cetro del tervalo, para u vel de cofaza dado y coocda la varaza del estmador, quedaría determados los correspodetes tervalos para los parámetros descoocdos. 5

16 6. Muestreo e poblacoes ftas. S el tamaño de la poblacó o uverso es coocdo, la eleccó del tamaño de la muestra, auque sguedo los argumetos epuestos e el epígrafe ateror, tee certas especfcdades, que veremos a cotuacó. Las dferecas se basa fudametalmete e el hecho (relatvamete probable para el caso de ua poblacó fta, pero mposble para ua de tamaño fto) de que os podemos ecotrar co stuacoes e las que el úmero de elemetos de la muestra puede llegar a ser ua proporcó aprecable de los de la poblacó. E tal stuacó, puede etederse fáclmete que la precsó de la estmacó sería superor, al estar mejor represetada el cojuto de la poblacó. E cocreto, para el caso de poblacoes ftas, puede demostrarse que la varaza del estmador (de la meda, proporcó o total) propa de poblacoes ftas, tal como la hemos vsto aterormete, ha - de corregrse por u factor. Este factor de correccó sería, por lo que para el caso de la - meda su fórmula de cálculo quedaría como sgue: σ - σ = - S os fjamos e el umerador del factor de correccó, comprederemos que o se puede valorar de forma absoluta al tamaño de ua muestra, so que hay que cofrotarlo co el de la poblacó de la que se etrae 3. S observamos dos poblacoes, sedo la muestra de la prmera más pequeña que la de la seguda, puede llegar a dar más precsó (meor varaza) s el tamaño de la poblacó de la que procede es proporcoalmete meor. Esto, dcho así, parece algo complcado cuado resulta obvo: e gualdad de codcoes, ua muestra de tamaño 00 os forma mucho mejor sobre las característcas de ua poblacó de tamaño 00, dóde represeta la mtad de sus elemetos, que otra de tamaño 00 e ua poblacó de 0.000, que represeta sólo el % de sus elemetos. Por tato, depedetemete del úmero de elemetos que cotega, cuato mayor sea el tamaño de la muestra () e relacó al de la poblacó (), mayor garatía tedremos e las estmacoes, como se observa e la fórmula ateror. E el caso etremo de que = la varaza del estmador se hace ula. Estaríamos, evdetemete, e preseca de ua observacó ehaustva de la poblacó, propa de la estadístca descrptva, y o e u caso de fereca estadístca. Por el cotraro, cuado el tamaño de la muestra sea mímo, de ua sola observacó (=), la varaza (precsó) del estmador cocdría co el caso de ua poblacó de tamaño fto. 3 Obsérvese que s e dcha fórmula se cosdera que (-), la epresó del factor de correccó quedaría be epresada como la razó de estos dos tamaños, el de la muestra y el de la poblacó, pues (-)/ = - /. Cuato mayor es la proporcó de la muestra respecto a la poblacó, más se reduce la varaza del estmador. 6

17 Teedo e cueta esta partculardad, se preseta a cotuacó la forma e que se debe de obteer el tamaño de la muestra para el caso de poblacoes ftas y para los cada uo de los dos tpos de muestreos aleatoros más utlzados, el aleatoro smple y el estratfcado. 6.. Muestreo aleatoro smple. Caso de la meda: Como se djo aterormete, dado u determado vel de sgfcacó, fjar el tamaño del error equvale a predetermar la propa varaza del estmador. Es decr, varaza del estmador y error mámo permtdo so dos caras de ua msma moeda, sedo el tamaño de la muestra el resultado del supuesto que hagamos acerca de cualquera de ambos. Por tato, dcho tamaño se puede obteer a partr de la defcó del error o de la fórmula de la varaza del estmador. Obsérvese que, fjado el valor de z por el vel de cofaza, el error es gual a la desvacó estádar del estmador multplcado por ua costate (para el caso del 95% el valor sería,96 ): ε = z α / σ ε = 96, σ S elevamos al cuadrado e troducmos el valor de la varaza del estmador, tedremos: σ ε = z σ = z α/ α/ A partr de esta epresó, s se supoe coocdos la varaza (σ) y el tamaño de la poblacó (), y fjados el tamaño del error (ε) y el vel de cofaza que determa el valor de z -σ/, podemos obteer el correspodete tamaño de la muestra (). Esta es la forma e que geeralmete se obtee el tamaño adecuado de la muestra. Haremos este ejercco ua sola vez, ya que e adelate omtremos cálculos smlares para el resto de los casos. Operado e la gualdad ateror: ( ) ε = z σ ( ) = z σ z σ α/ α/ α/ ( ) ε + z σ = z σ α/ α/ ( ) ε + z σ = z σ α/ α/ z σ α / = ε = z ( ) ε + z σ α / σ α / 7

18 S e la fórmula obteda para susttumos el error por la epresó del msmo que ya coocemos, etoces obtedremos esta otra epresó para el tamaño de la muestra cuado se desea estmar ua meda e poblacoes ftas: σ ε σ σ = z / = = α ( ) σ + σ z α / ε Esta epresó es eactamete la que se hubera obtedo s se toma drectamete la fórmula de la varaza del estmador de la meda e poblacoes ftas para despejar de ella el valor de, cuestó que dejamos como ejercco para el alumo. E resume, coocdos el tamaño y la varaza de la poblacó, por estudos aterores o por ua ecuesta ploto desarrollada para el caso, se observa claramete e la epresó ateror que fjar el error o la varaza del estmador so procesos equvaletes, pudédose utlzar cualquera de las dos epresoes de que se acaba de mostrar. Ejemplo (msmo caso de poblacoes ftas): Para llevar a cabo el aálss de u desto turístco co alta aflueca de turstas (00.000) se desea realzar ua ecuesta para determar el gasto medo por tursta. Se ha decddo aceptar u error mámo e el gasto medo de 30 euros. Supoedo ua desvacó estádar de la poblacó de 00 euros y u vel de cofaza del 95%, obteer el tamaño adecuado de la muestra. Solucó fórmula : z σ (, 96) ( 00) α / = = = 70, 59 7 ( ) ε + z σ ( ) ( 30) + (, 96) ( 00) α / Solucó fórmula : σ ( 00) = = = 70, 59 7 ( ) σ + σ 30 ( ) + ( 00) 96, Como puede observarse, el tamaño muestral resultate es el msmo que cuado supusmos que la poblacó era fta. Ello es debdo al gra tamaño de la msma. Itervalo para la meda: Ua vez obteda la muestra, se puede calcular u tervalo de cofaza para el parámetro (meda) poblacoal. ormalmete, la varaza poblacoal es descoocda, por lo que el tervalo que se defó aterormete debe dejar paso a este otro, e el que se susttuye la varaza descoocda por su estmador sesgado e poblacoes ftas, que llamaremos ˆ σ : 8

19 z ˆ σ µ + z ˆ σ α/ α/ ˆ σ = sˆ ( - ) De esta forma, co los datos de la muestra se puede obteer u tervalo de cofaza para el verdadero valor del parámetro descoocdo, co el error y el vel de cofaza predetermados a la hora de obteer el tamaño adecuado de la muestra. Ejercco: Supogamos que la meda y la desvacó estádar obtedas e la muestra de los 7 turstas del ejercco ateror so, respectvamete, de 450 y 30 euros. Determar el tervalo de cofaza del 95% para el verdadero valor del gasto medo por tursta. Solucó: Comezaremos por obteer el estmador de la varaza: sˆ ( - ) ( s / ) ( - ) (7 30 /70) ( ) ˆ σ = = = = 60, Por tato, tedremos que ˆ σ = 4,53 y el correspodete tervalo de cofaza vedría dado por: z ˆ σ µ + z ˆ σ α/ α/ 450,96 4,53 µ 450 +,96 4,53 40,9 µ 498,08 µ (450 ± 48,08) E esta últma epresó se da el tervalo, tomado como pvote del msmo la estmacó por putos del parámetro (meda de la muestra) y fjado el error mámo cometdo a zquerda y derecha del msmo (producto del valor de z, o sea,96, por la desvacó estádar del estmador, que es 4,53). Caso de la proporcó: Como ya hemos cometado, para obteer el tamaño adecuado de la muestra e el caso de estar realzado fereca sobre la proporcó se procede de forma smlar al caso ateror. La varaza del estmador es ahora: σ pˆ = pq 9

20 Despejado, se llega a obteer la sguete epresó de cálculo para el tamaño de la muestra, cuado se hace fereca acerca de ua proporcó: pq = ( ) σ pˆ + pq Volvedo a tomar la ya coocda relacó etre error y varaza del estmador, seguda fórmula de cálculo es la sguete: ε σ =, ua pˆ z α / z pq = ( ) ε + z pq α / α / Geeralmete, o se cooce el valor de p, por lo que habrá que estmarlo medate ua ecuesta ploto o tomado formacó procedete de vestgacoes aterores. La alteratva más medata es optar por tomar el tamaño muestral mámo, cosderado pq=0,5. Ejemplo (msmo caso de poblacoes ftas): Para completar el aálss del ateror desto turístco, se desea realzar utlzar la ecuesta para determar la proporcó de turstas de orge europeo. Se ha decddo aceptar u error mámo del 5%, y u vel de cofaza del 95%. Obteer el tamaño de la muestra. Solucó fórmula : Como o se tee formacó sobre la proporcó e la poblacó, optaremos por obteer el mámo: 0, 5 0, = = = 383, ( ) σ pˆ + 0,5 0,05 ( ) + 0, 5, 96 Solucó fórmula : z pq ,96 0, 5 = = = 383, ( ) ε + z pq ( ) 0,05 +,96 0, 5 α / α / Puede comprobarse de uevo como el hecho de teer como refereca a ua poblacó de gra tamaño, o camba práctcamete el tamaño de la muestra. 0

21 Ejemplo: E u hotel sabe que el vel de satsfaccó de sus cletes roda el 90% y quere realzar u estudo para ver s la ueva gestó de lmpezas ha sdo de su agrado. Cuál sería el tamaño ecesaro para la muestra, s el total de cletes del hotel es de 0.000? Supoga u vel de cofaza para los resultados del estudo del 95% y u error mámo permtdo del 5%. Solucó: z pq 0.000,96 0,90 0,0 = = = 36, 4 37 ( ) ε + z pq (0.000 ) 0,05 +,96 0,90 0,0 α / α / Luego, el tamaño ecesaro de la muestra sería de 37 cletes. Itervalo para la proporcó: El tervalo de cofaza para la proporcó se puede obteer de forma smlar, s más que aplcar la correspodete epresó para el msmo: pˆ z ˆ σ p pˆ + z ˆ σ α/ pˆ α/ pˆ Ahora, la varaza descoocda de la proporcó muestral se estma medate el sguete estmador sesgado: ˆ σ pˆ pq ˆˆ ( ) = ( ) Ejemplo: E la muestra de 4 cletes, se ha obtedo que 05 está satsfechos co la lmpeza. Obtega u tervalo de cofaza para el verdadero valor de la proporcó de cletes satsfechos. Solucó: La proporcó e la muestra es el estmador por putos y será el pvote utlzado para establecer el 05 tervalo: p ˆ = = 0, La varaza del estmador será: pq ˆˆ ( ) 0,7394 ( 0,7394) ( ) ˆ σ pˆ = = = 0,00347 ( ) (4 ) La desvacó estádar, por tato, es 0,0367 y el tervalo queda como sgue:

22 pˆ z ˆ σ p pˆ + z ˆ σ α/ pˆ α/ 0,7394,96 0,0367 p 0,7394 +,96 0,0367 pˆ 0,6675 p 0,83 p (0,7394 ± 0,079) Es decr, el porcetaje de cletes satsfecho está etre el 66,75% y el 8,3%, co ua cofaza del 95%. El error al estmar la proporcó puede llegar a ser de ± 0,079 (± 7,9%). Apromadamete, sete putos arrba o abajo del 74%. Caso del total: El tamaño de la muestra a la hora de hacer fereca sobre el total o suma de todos los valores de ua poblacó, como ya se cometó, es eactamete el msmo que para la meda, ya que la varaza para poblacoes ftas sería la sguete, que e ada camba los cálculos para obteer : σ - Var( ) = σ = - Sólo ha de teerse e cueta esta epresó y que el error del total sería veces el error de la meda, como ya vmos e su mometo. El tervalo de cofaza es el de la meda multplcado por, evdetemete. Las fórmulas de cálculo, por tato, sería: z σ = = ( ) ε + z σ ε α / T ε α / Var = σ σ + = ( ) ( ) σ σ Ejercco (msmo de poblacoes ftas): E el estudo sobre el gasto total e la zoa por los turstas se aceptó u error mámo e el gasto total de 6 mlloes de euros. Supoedo que la desvacó estádar poblacoal es de 00 euros y u vel de cofaza del 95%, obtega el tamaño muestral adecuado. S de la muestra obteda se obtuvese u gasto medo de 450 euros co ua desvacó estádar de 30 euros, dga cuál es el tervalo para el gasto total.

23 Solucó: Evdetemete, el resultado para va a ser el msmo que para el caso de la meda. Lo úco que hemos de hacer es pasar del error del total al error de la meda: z σ z σ α/ α/ = = = 70, 59 7 ( ) ε + z σ ε α / ( ) T + z σ α / El tervalo de cofaza o vale la pea volver a calcularlo, pues ya sabemos que es el msmo de la meda, pero multplcado por : ( µ ) Es decr, el gasto total estaría etre algo más de 80 mlloes y algo meos de 00 mlloes de euros, co ua cofaza del 95%. 6.. Muestreo aleatoro estratfcado. Como paso prevo al cálculo del tamaño de la muestra para cada uo de los tres parámetros co los que vemos trabajado y a la obtecó de los tervalos de cofaza, vamos a propoer el uso de la sguete omeclatura: Poblacó dvdda e k estratos: k = Tamaños muestrales de los estratos: k = Medas poblacoales e los estratos: µ µ µ k Medas muestrales e los estratos:.. Proporcoes muestrales e los estratos: ˆp ˆp.. p ˆ k E cada estrato, se hará u muestreo aleatoro smple e el que se defe los sguetes estmadores sesgados: o Para la meda de cada estrato µ : k o Para la proporcó de cada estrato p : p ˆ o o Para las varazas de las : Para las varazas de las p ˆ : s σ = ˆ ( - ) ˆ ˆ σ = pˆˆ q ( - ) pˆ ( -) 3

24 Para determar el tamaño de ua muestra por estratos se sgue dos etapas. E prmer lugar, se calcula el tamaño total de la muestra que se debe obteer, y posterormete se estuda el úmero de elemetos que hay que asgar a cada uo de los estratos. A este reparto o asgacó de los elemetos de la muestra a los dsttos estratos se le deoma afjacó, pudédose realzar segú los sguetes métodos o crteros: Crtero uforme: se trata de ua forma muy smple de reparto, asgado el msmo úmero de elemetos a cada estrato. Crtero proporcoal: reparto de elemetos etre los estratos de la muestra e la msma proporcó e que se preseta e la poblacó: = = Crtero óptmo: reparto e fucó de la varaza de cada estrato, co la dea que a meor varaza será precsa meor catdad de formacó y vceversa. S las varazas de los estratos fuese guales, cocdría co el proporcoal: Meda y total: σ = σ = σ ecuesta ploto Proporcó: = = pq pq p ecuesta o máma E realdad, el prmer método carece de terés, sedo los más utlzados el segudo (el más frecuete) y el tercero, e caso de estar especalmete teresados e la precsó de los estmadores. Caso de la meda y del total: A partr de la dea cal desarrollada para el muestreo aleatoro smple, pero hacedo alguas smplfcacoes para poder llegar a ua solucó, se obtee la sguete fórmula de cálculo: σ = ε Asgacó proporcoal: = ; co σ = σ z + α σ = ( σ ) Asgacó óptma: = ε = ; co σ = σ z + σ = - / - α / 4

25 Caso de la proporcó: pq = ε Asgacó proporcoal: = ; co σ pˆ = σ z pˆ + pq α = ( pq ) Asgacó óptma: = / ; co σ ˆ p / pˆ + z pq α = = = σ Ejemplo: El parque hotelero de ua determa zoa turístca costa de 4.00 hoteles. Se sabe que.50 de estos hoteles so de 4 y 5 estrellas,.0 so de 3 estrellas y 930 de meos de 3 estrellas. Se pde:. Obtega el tamaño de la muestra para estmar la facturacó meda semaal de los hoteles, co u error mámo de 500 euros y co ua cofaza del 95,5%. Supodremos que por estudos aterores se sabe que la desvacó estádar e cada uo de los estratos es de 4.000, y euros, respectvamete.. Determe el total de ecuestas que habría que realzar para estmar el grado de ocupacó, co u error mámo del 5% y co ua cofaza del 95%. 3. Supoga ahora que, por estudos aterores, se estma que el grado de ocupacó fue, respectvamete, del 70%, 90% y 60%. cuál sería el correspodete tamaño muestral? 4. Dga, falmete, cuál debe ser el tamaño deftvo de la muestra y obtega el úmero de formularos que habría que asgar a cada uo de los tres grupos mecoados, utlzado tato el crtero proporcoal como el óptmo. ε Solucó : El tamaño muestral adecuado para hacer fereca sobre la meda y sobre el total, utlzado u crtero proporcoal de reparto etre estratos, sería el sguete: σ = ( ) σ = = = = 497, σ 400 ( ), S cosderamos ahora u reparto óptmo de las observacoes de la muestra etre los dferetes estratos, el tamaño adecuado para garatzar el error y el vel de cofaza que se ha propuesto, sería el sguete: 5

26 ( σ ) ( ) ,79 47 = = = = 500 σ + σ ( ) =, Luego hay ua dfereca de 7 cuestoaros etre utlzar ua u otra forma de asgar los elemetos de la muestra etre los tres estratos cotemplados. Solucó : Comezaremos determado el tamaño de la muestra para estmar el grado de ocupacó (proporcó). Como o se sabe ada acerca de las proporcoes muestrales e los dferetes estratos, buscaremos el mámo: pq 0, 5 0, 5 = = = σ + pq + + 0, 5 = = ma ε 0, 5 ε pˆ = z α/ = z α/ Como se puede observar, al o dstgur etre las dferetes proporcoes poblacoales de los estratos, lo que mplca varazas guales e todos ellos, la epresó del tamaño de la muestra cocde práctcamete co el caso de muestreo aleatoro smple y, por supuesto, el resultado es détco para ambos tpos de asgacó (proporcoal u óptma). Obteédolo por el proporcoal, se tee: ma 0,5 0, = = = 35,97 35 ε 0,05 + 0,5 zα ,5 /, 96 Solucó 3: S supoemos que por aterores vestgacoes se sabe que la ocupacó fue, respectvamete, del 70%, 90% y 60%, los cálculos arrojaría este otro resultado para el crtero de asgacó proporcoal: pq 50 0,70 0, ,90 0, ,60 0,40 = = = = σ 0,05 pˆ + pq ( 50 0,70 0, ,90 0, ,60 0,40) =, ,87 7 Evdetemete, los resultados os dca que, al teer mayor formacó sobre las varazas de los estratos, la precsó del estmador aumeta y la catdad de elemetos ecesaros para hacer fereca sobre la poblacó resulta más pequeña. S cosderamos ahora el crtero de asgacó óptma, el resultado sería el sguete: 6

27 ( pq ) ( 50 0, 7 0, , 9 0, , 6 0, 4 ) 400 5,89 6 = = = = σ 0, 05 pˆ + pq ( 50 0, 7 0, , 9 0, , 6 0, 4) =, Luego se ecestaría cuestoaros meos co este tpo de dstrbucó del tamaño de la muestra etre los dsttos estratos. Veamos ahora eactamete cuatos debemos asgar a cada uo. Solucó 4: La prmera preguta que hay que hacer es co qué tamaño de muestra hemos de trabajar falmete, s deseamos llevar a cabo e paralelo las dos vestgacoes, sobre la facturacó meda y sobre el grado de ocupacó. Evdetemete, la respuesta o puede ser otra: hay que seleccoar el tamaño muestral adecuado para coservar e el más desfavorable de los casos el grado de fabldad y el error que se ha propuesto. Es decr, tomaremos el tamaño egble para hacer fereca sobre la meda, que es el que arroja u mayor úmero de observacoes: 498 para el reparto proporcoal y 47 para el óptmo. Co ese tamaño aseguramos la precsó de la fereca sobre la facturacó meda y sobre la ocupacó, mejorado e este últmo caso el error s se matee fjo el vel de cofaza. Veamos: Asgacó proporcoal: = , = = = , = = = , = = = Tamaño fal 500 (redodear por eceso) Asgacó óptma: o Caso de la meda y del total: σ = σ = = 47 = 87, = 47 = 46, = 47 = 4, Tamaño fal 477 (redodear por eceso) 7

28 Como puede observarse, el reparto dfere sgfcatvamete, amplado especalmete el úmero de cuestoaros del grupo 3, que es el de mayor varabldad y, por tato, más dfícl de predecr el valor del parámetro a estmar, y reducedo el del grupo, co meor dspersó. El cremeto de formacó e el msmo, a costa de ua dsmucó de los que tee meor varabldad, muy especalmete del prmero, hace que la estmacó sea más precsa. Itervalos para la meda, el total y la proporcó: El procedmeto para obteer los tervalos de cofaza sgue sedo báscamete el msmo, como es lógco. Ua vez hechas las correspodetes estmacoes por putos, el problema será calcular las correspodetes estmacoes de las varazas de cada uo de los estadístcos. Para la meda y la proporcó, se llega fáclmete a las sguetes epresoes: Meda (estmador y su varaza): Poblacó: µ = µ Estmador: = = = Var( ) = Var( ) = = ˆ ˆ σ σ = = sedo ˆ σ sˆ = Proporcó (estmador y su varaza): Poblacó: p = p Estmador: pˆ = pˆ = = Var( pˆ) = Var( pˆ ) = ˆ = ˆ σ pˆ σ pˆ = = pˆˆ q ( - ) sedo ˆ σ ˆ = ( -) p Ua vez obtedos los valores de las varazas para la meda muestral o para la proporcó, los tervalos se establece eactamete gual que e muestreo aleatoro smple. Se toma la estmacó por putos (meda o proporcó e la muestra obteda) como pvote del tervalo y se le suma y resta el error; es decr, el producto de z (por ejemplo,,96 para ua cofaza del 95%) por la desvacó estádar del estadístco correspodete ( ˆ σ o ˆ σ pˆ, respectvamete). El tervalo para el total es el de la meda multplcado por, como sempre. Los cálculos so algo más farragosos, puesto que hay que estmar prevamete las varazas para u muestreo smple e cada uo de los estratos, pero, e 8

29 eseca, se trata del msmo procedmeto. Las fórmulas de dchos tervalos será, al f y al cabo, las msmas que para el muestreo aleatoro smple, pero tomado e cosderacó la dferete forma e la que hay que obteer la varaza del estmador, tal como se ha epuesto e el párrafo ateror. Ejercco: Tomado el reparto proporcoal, establecer u tervalo de cofaza para la facturacó meda, supoedo que e la muestra falmete seleccoada las medas y correspodetes desvacoes típcas, así como las proporcoes e la muestra para los estratos fuero las sguetes: =.50; =.0; = 930; = = 6.68; =.593; = s = 4.87; s = 6.95; s = pˆ = 0,80; pˆ = 0,85; pˆ = 0,70 3 Solucó: Para comezar, se obtee la estmacó putual de la meda: = = ( ) =.695, = Como segudo paso, se calcula las estmacoes de las desvacoes típcas para cada uo de los estratos: σ ( ) /36 (50-37) ˆ = = 336, s σ = ˆ ( - ) ˆ σ (5 695 ) / 5 (0-5) ˆ = = 367, ( 843 ) /0 (930 -) σˆ = = 737, Y la varaza del estmador de la meda será, por tato: 9

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