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1 Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso Propiedades de las funciones diferenciables. 1. Regla de la cadena Después de la generalización que hemos elaborado en el anterior capítulo, podemos empezar a utilizar ese lenguaje para extender a las funciones f : R n R m muchos resultados que hemos visto en el caso de funciones de una variable. El primero de ellos va a ser la regla de la cadena. Recordemos que la regla de la cadena se utiliza cuando queremos derivar una composición de funciones. Supongamos por tanto que tenemos dos funciones que se pueden componer. Por ejemplo, f : R n R m y g : R m R k. Vamos a utilizar esta notación: { ȳ = f( x), con x = (x 1,..., x n ) y con ȳ = (y 1,..., y m ) z = f(ȳ), con z = (z 1,..., z k ) Supongamos además que tenemos un punto p R n y sean q = f( p), r = g( q). Vamos a considerar la composición h( x) = g(f( x)) = (g f)( x) Entonces tenemos una aplicación (g f) : R n R k, que transforma x en z pasando por ȳ: x ȳ z Para poder analizar la diferenciabilidad de h necesitamos suponer que f es diferenciable en p y que g es diferenciable en q. Eso significa que se tiene cuando x está cerca de p y que f( x) f( p) + Df( p) ( x p) g(ȳ) g( q) + Dg( q) (ȳ q) cuando ȳ está cerca de q. Al componer f con g lo que hacemos es sustituir ȳ por f( x). Haciendo esta misma substitución en las anteriores aproximaciones se obtiene: h( x) = g(f( x)) g( q) + Df( q) (f( p) + Df( p) ( x p) q ) Usamos que f( p) = q y que, por tanto, g( q) = g(f( p)) = h( p) para simplificar esta expresión: h( x) h( p) + Df( q) Df( p) ( x p) Recordemos ahora que si la aplicación h : R n R k es diferenciable en p, entonces esperamos encontrar una matriz Dh( p) de orden (k, m) tal que la aproximación: h( x) h( p) + Dh( p) ( x p) sea muy buena cerca de p. Comparando esta expresión con la anterior, este razonamiento, que no es una demostración formal!, nos permite entender el siguiente enunciado de la regla de la cadena. 1

2 Teorema 1 (Regla de la cadena). [ Sean f : R n R m, g : R m R k. Si f es diferenciable en p R n, y g es diferenciable en q = f( p) R m, entonces h = (g f) es diferenciable en p y, además, D(g f)( p) = Dg(f( p)) Df( q) Otras expresiones de la regla de la cadena Al presentar y enunciar la regla de la cadena hemos empleado la notación matricial para subrayar el hecho de que el razonamiento por el que se obtiene este resultado no es esencialmente más complicado que lo que hicimos en el caso de funciones de una variable. Sin embargo, en muchas aplicaciones es importante saber expresar la regla de la cadena en términos de las funciones componentes. Estas otras expresiones siempre se deducen del resultado general, simplemente desarrollando el producto matricial. Vamos a ver cómo. Si por un lado escribimos f = (f 1,..., f m ), con f i ( x) = f i (x 1,..., x n ) y por otro lado g = (g 1,..., g k ), con g j (ȳ) = g j (y 1,..., y m ), entonces: D(g f)( p) = Dg(f( p)) Df( p) = f 1 x 1 f 1 f 2 f 2 x 1... f m x 1 f m f 1 f 2 f m f( p) g 1 g 1 g 2 g 2 g k... g k g 1 g 2 g k p Los subíndices de las matrices indican los puntos donde se calculan las derivadas parciales. Otra forma de describir esta situación anterior es mediante la notación que ahora vamos a describir. Por un lado, la aplicación que hemos llamado f de R n en R m se representa mediante estas ecuaciones: y 1 = y 1 (x 1,..., x n ) y 2 = y 2 (x 1,..., x n ) f :. y m = y m (x 1,..., x n ) Y por otro lado, la aplicación que llamamos g de R m en R k se representa mediante: z 1 = z 1 (y 1,..., y m ) z 2 = z 2 (y 1,..., y m ) g :. z k = z k (y 1,..., y m ) La forma clásica de representar y hablar de la composición g f supone que al considerar conjuntamente estos dos sistemas de ecuaciones las variables z 1,..., z k pasan a depender de las 2

3 x 1,..., x n (por intermediación de las variables y 1,..., y m ). Es decir, que sin mucha precisión, podemos pensar en expresiones como: O si queremos precisar un poco más: z j = z j (x 1,..., x n ) z j = z j (y 1 (x 1,..., x n ),..., y m (x 1,..., x n )) En cualquier caso, en muchos casos (y casi siempre en las aplicaciones a la Física o la Ingeniería) se utiliza un símbolo como z j para representar las derivadas parciales de la función compuesta g f. El principal inconveniente de este tipo de símbolo es que empleamos z para representar simultáneamente dos objetos: una función que depende de x y una que depende de ȳ. En cualquier caso, con esta notación la anterior ecuación matricial se convierte en: z 1 x 1 z 1 z 2 z 2 x 1... z k x 1 z k z 1 z 2 z k = z 1 z 1 z 2 z 2 z k... z k z 1 z 2 z k x 1 x 1 Y, al desarrollar el producto de matrices, obtenemos fórmulas como esta:... z j = z j + z j + + z j ; j = 1,..., k, i = 1,..., n Es decir: z j = m h=1 z j y h y h ; j = 1,..., k, i = 1,..., n Estas fórmulas son la versión componente a componente, y en notación clásica, de la regla de la cadena. Buena parte de la popularidad de la notación clásica se debe sin duda a lo fácil que resulta producir estas fórmulas incluso en situaciones complicadas, una vez por supuesto que se domina un poco la técnica. Para ello, sin duda, hay que hacer un número suficiente de ejercicios. Vamos a presentar algunos ejemplos en notación clásica para que el lector desarrolle un esquema correcto de cálculo. Ejemplo Sea: { u = u(x, y) v = v(x, y) Y también: { r = r(u, v) s = s(u, v) 3

4 Y supongamos que las aplicaciones definidas por estas ecuaciones son derivables. Vamos a calcular r y y s x. Una buena forma de organizarse para calcular por ejemplo r es dibujar un esquema como y este: x u y r x v y La forma de utilizar este diagrama es imaginar que debemos ir desde r hasta y de todas las formas posibles. Cada una de esas formas aporta un término a la fórmula que obtendremos. Cada camino se compone de una sucesión de flechas. Pues bien, cada flecha se traduce en un factor del término que estamos escribiendo. Por ejemplo en el esquema anterior vamos de r a u y de u a y. Eso corresponde a un término: r u u y También podemos ir primero desde r a v y de v a y. Eso significa que también tenemos un término: r v v y Y puesto que no hay más formas de ir desde r hasta y la fórmula final es la suma de estos términos: r y = r u u y + r v v y Dejamos para el lector la otra derivada parcial pedida. 2. Supongamos dada la función: F (x, y) = f(g(x, y), h(x), k(y)) y que nos piden F. Podemos hacernos un esquema como este: x x g y F h x k y Es fácil ver entonces que la fórmula buscada tiene dos términos, y es: F x = F g g x + F dh h dx 4

5 Este cálculo también ilustra que cuando una función, como h, sólo depende de una variable, cambiamos el símbolo de derivada parcial por el d de derivada total. Observación. Por supuesto, estos esquemas no son absolutamente necesarios. Cuando se tiene un poco de práctica es fácil prescindir de ellos y obtener los términos necesarios directamente. En cualquier caso, siempre es posible, en caso de duda volver sobre estos esquemas y trabajar un poco más despacio pero con más seguridad. 2. Derivación a lo largo de curvas. Velocidad y gradiente. En este apartado vamos a estudiar un caso especial de aplicación de la regla de la cadena, que por su importancia merece un análisis detallado. Ya hemos visto que una aplicación c : R R n, dada por ejemplo mediante unas ecuaciones: c : [a, b] R, dada por: c(t) = (x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)) puede interpretarse como las ecuaciones paramétricas de una curva. Si las componentes de c son funciones muy complicadas, entonces la curva puede ser un objeto geométrico muy extraño. Incluso puede resultar difícil llamar curva a semejante objeto. Por esa razón nos vamos a fijar ahora en curvas suficientemente regulares: todas las curvas que aparezcan en este apartado vendrán descritas por funciones diferenciables salvo que explícitamente digamos lo contrario. También hemos visto que en un punto t de (a, b) el vector tangente o vector velocidad de la curva c es: c(t) = ( x 1(t), x 2(t),..., x n(t) ) Supongamos ahora que f : R n R, dada mediante z = f(x 1,..., x n ) es una función escalar, que es diferenciable en p U. Suponemos además que la curva parametrizada c(t) pasa por p en el instante t 0, es decir c(t 0 ) = p. Entonces la composición f c : R R es una función (de una variable) diferenciable en t 0, que representa los valores de f a lo largo de la curva c(t): t curva c (x 1,..., x n ) función f f(x 1,..., x n ) Con el abuso de notación habitual, esta función f c se representa mediante f(t). Su derivada en t 0 se calcula aplicando la regla de la cadena: df (t 0) = (t 0 ) = f dx 1 x 1 p t ( 0) + f dx 2 p (t 0) + + f dx n p (t 0) Cuando las funciones involucradas son diferenciables en todos los puntos, se obtiene una fórmula muy importante: = df = f dx 1 x 1 + f dx f dx n 5

6 Lo que más nos interesa de esta fórmula es que tiene la estructura de un producto escalar entre dos vectores muy especiales: ( df f =,..., f ) ( dx1 x 1,..., dx ) n Como puede verse se trata del producto del gradiente de f por el vector tangente a la curva. Es decir: = grad f(p) c (t) (1) Esta fórmula, que hace ver una relación entre el gradiente de f y el vector tangente a c es muy importante, porque permite obtener mucha información geométrica sobre el vector gradiente y sobre la función f. Nuestro objetivo en el resto de éste y en el próximo apartado será desarrollar estas ideas. Vamos, en primer lugar a ver unos ejemplos, que nos ayudarán a comprender mejor el contenido de la ecuación (1). Ejemplo Sea z = f(x, y) = x 2 y 2, cuya gráfica es como sabemos un paraboloide hiperbólico, y sea c(t) la curva paramétrica: { x = x(t) = t y = y(t) = t 2 Obsérvese que de estas ecuaciones se deduce que en la curva se cumple y = x 2. Es decir que estas son las ecuaciones paramétricas de una parábola. Los valores de f a lo largo de la parábola se calculan mediante: La situación se ilustra en esta figura: f(c(t)) = (x(t)) 2 (y(t)) 2 = t 2 t 4 6

7 La función f(c(t)) es una función de una variable, cuya gráfica se muestra a la derecha de la figura. Cuando t = 1 la curva c pasa por el punto p = (1, 1) del plano. En ese punto la derivada de f a lo largo de c se puede calcular así: = grad f (1,1) c (1) = (2x, 2y) (1,1) (1, 2t) t=1 = (2, 2) (1, 2) = 2 t=1 Si pensamos, como podría hacer un físico, que t es el tiempo, esta derivada nos informa de la velocidad a la que cambian los valores de f a medida que recorremos la trayectoria c (tasa de cambio de f). 2. Vamos a considerar ahora una función muy sencilla, z = f(x, y) = x+y 2 1, cuya gráfica es un plano. Y, como curva paramétrica c 1 (t) vamos a emplear una circunferencia de radio 1 centrada en el origen. Usamos estas ecuaciones paramétricas: { x = cos t c 1 : y = sen t Como puede comprobarse, (x(t)) 2 + (y(t)) 2 = 1 lo cual confirma que el punto c(t) = (x(t), y(t)) se halla en la circunferencia x 2 + y 2 = 1. Hemos usado t intencionadamente como nombre del parámetro para que el lector piense que se trata del tiempo. Al considerar los valores de f a lo largo de la curva c 1 se obtiene La situación es la de esta figura. f(c 1 (t)) = cos t + sen t 2 1 Para t = π, por ejemplo, la curva c(t) pasa por el punto c(π) = ( 1, 0). La derivada de f(c(t)) en ese punto es: ( 1 = grad f ( 1,0) c (π) = t=π 2, 1 ) ( 1 ( sen t, cos t) t=π = 2 ( 1,0) 2, 1 ) (0, 1) =

8 Supongamos ahora que en lugar de esa curva paramétrica consideramos estas ecuaciones, que son las mismas cambiando t por t: { x = cos 2t c 2 : y = sen 2t Estas ecuaciones definen una nueva curva paramétrica c 2 (t). En qué se diferencian las curvas c 1 (t) y c 2 (t)? La mejor forma de entender lo que representa ese cambio de t por 2t es pensar en términos físicos, interpretar t como el tiempo y esas ecuaciones como la descripción del movimiento de un punto. Entonces al cambiar t por 2t lo que hemos hecho es aumentar la velocidad a la que se mueve el punto, pero la trayectoria sigue siendo la misma. Es decir, que las ecuaciones de c 2 siguen verificando (x(t)) 2 + (y(t)) 2 = 1 Para confirmar que lo que ha sucedido es un cambio de velocidad vamos a calcular los módulos de los vectores velocidad de ambas curvas: c 1(t) = ( sen t, cos t) = 1 c 2(t) = ( 2 sen(2t), 2 cos(2t)) = 2 Como se ve, la curva c 1 representa el movimiento de un punto que da vueltas a la circunferencia a velocidad constante 1, mientras que en c 2 la velocidad del punto al girar es 2. La circunferencia es la misma, sólo cambia la forma en la que se recorre. El último ejemplo pretende ilustrar el hecho de que una curva paramétrica es algo más que un objeto geométrico, es más que un conjunto de puntos. La curva paramétrica no sólo dice cual es el recorrido del punto; además, nos da instrucciones sobre la forma en la que se lleva a cabo ese recorrido: nos dice en qué punto estamos en cada instante de tiempo. Esa información está ausente de una ecuación como x 2 + y 2 = 1. Si queremos usar acertadamente la ecuación (1), es muy importante entender la lección del último ejemplo. Al considerar f(c(t)), pretendemos en muchos casos utilizar la curva f para estudiar propiedades de la función f. La ventaja de este método es que, mientras f es una función de n variables, f(c(t)) depende sólo de t. Pero al hacer esto, no debemos perder de vista que el instrumento que utilizamos, la curva paramétrica c(t), influye en los resultados Esto se puede observar de manera muy sencilla en la ecuación = grad f(p) c (t) Como se ve, el resultado depende no sólo de f, sino de la velocidad de c. Es decir, que al usar esta ecuación para analizar f es preciso recordar que el resultado depende tanto de la función como de la curva que se utiliza. Tendremos ocasión de ver un ejemplo de este tipo de situaciones cuando tratemos sobre las derivadas direccionales Gradiente y conjuntos de nivel. Conjuntos de nivel. Curvas y superficies? Ya hemos visto lo que significan las curvas de nivel para una función de dos variables. Este concepto se extiende fácilmente a funciones escalares de más variables. 8

9 Definición 4 (Conjunto de nivel). Sea f : R n R una función escalar. Su k-conjunto de nivel es: f k = {p R n /f(p) = k} Es decir, es el conjunto de puntos donde la función vale k. Qué tipo de objeto geométrico es un conjunto de nivel? En el caso de una función de dos variables, z = f(x, y), hemos visto algunos ejemplos en los que sus conjuntos de nivel son curvas, y por eso los hemos denominado genéricamente curvas de nivel. De la misma forma, cuando se consideran funciones de tres variables, w = f(x, y, z), en muchos casos los conjuntos de nivel resultan ser superficies contenidas en R 3, las superficies de nivel de f. Ejemplo 5. Si se considera la función f : R 3 R definida mediante f(x, y, z) = x 2 + y 2 z sus conjuntos de nivel se obtienen igualando f(x, y, z) a k. Es decir: x 2 + y 2 z = k, o lo que es lo mismo z = x 2 + y 2 k Y está claro que el conjunto así descrito es un paraboloide circular. Ese paraboloide es la superficie de nivel de f para el valor k. Hay muchos otros ejemplos similares en los que los conjuntos de nivel de una función f : R 3 R se pueden interpretar de forma natural como superficies. Obsérvese que si seguimos aumentando el número de variables, la representación gráfica se vuelve imposible. En dimensiones superiores se utiliza el nombre hipersuperficie para referirse a la generalización de la idea de superficie de nivel, cuando se trata de una función f : R n R. No obstante lo anterior, también hay muchos ejemplos en los que resulta imposible interpretar un conjunto de nivel como una curva o una superficie. Ejemplo 6. En el plano, si se considera la función f(x, y) = x 2 + y 2, su conjunto de nivel 0 viene definido por x 2 + y 2 = 0. Y el único punto del plano que satisface esta ecuación es el origen. Tiene sentido decir que un punto es una curva? Un ejemplo similar en el espacio: si se considera la función f(x, y, z) = (3x 2y 1) 2 + (4x + y z) 2, su conjunto de nivel 0 está formado por aquellos puntos (x, y, z) que cumplen (3x 2y 1) 2 + (4x + y z) 2 = 0 { 3x 2y = 1 Y eso significa que esos puntos son soluciones del sistema. Y, como sabemos, 4x + y z = 0 estas ecuaciones definen una recta en el espacio. Este conjunto de nivel es una recta, no una superficie. En general puede ser muy complicado decidir en qué casos una ecuación de la forma f(x, y) = k 9

10 define una curva, o en qué casos una ecuación de la forma f(x, y, z) = k define una superficie. Cuando estudiemos el teorema de la función implícita volveremos brevemente sobre este asunto. El gradiente y los conjuntos de nivel Para descubrir el contenido geométrico de la ecuación (1), vamos a suponer que c : R R n es una curva parametrizada con la propiedad de que c(t) pertenece al k conjunto de nivel de f para cualquier t R. Esto significa simplemente que f c es constantemente igual a k. Por lo tanto: = 0, porque es la derivada de una constante. Pero como, por otra parte, tenemos: = grad f(p) c (t) concluimos que el gradiente es perpendicular a c (t). Ya hemos visto que hay ocasiones en que no es fácil interpretar geométricamente el conjunto de nivel. Pero el razonamiento anterior nos dice que (si f es diferenciable), el gradiente es perpendicular a cualquier curva paramétrica (diferenciable) contenida en el conjunto de nivel. Abreviaremos esta frase diciendo simplemente que el gradiente es perpendicular al conjunto de nivel. Teorema 7. [ Si f : R n R es una función escalar diferenciable, el gradiente grad(f) de f es perpendicular a los conjuntos de nivel de f. Esta información geométrica permite utilizar el gradiente para escribir encontrar el plano tangente o la recta normal a algunas superficies. Ejemplo 8. La ecuación x 4 + y 4 + z 4 = 3 define una superficie S similar a una esfera pero más cuadrada, como se muestra en la figura: 10

11 Cuál es el plano tangente a esta superficie en el punto (1, 1, 1)? Podríamos tratar de despejar z = f(x, y) en la anterior expresión, para usar los métodos que hemos visto en el caso de gráficas. Pero eso es complicado. Es mucho más fácil darse cuenta de que S es una superficie de nivel de la función g(x, y, z) = x 4 + y 4 + z 4. Por esa razón el gradiente de g: grad g(x, y, z) = (4x 3, 4y 3, 4z 3 ) es perpendicular a S en cada punto. En concreto eso significa que el vector grad g(1, 1, 1) = (4, 4, 4) es perpendicular a S en el punto (1, 1, 1). Y con esta información geométrica es sencillo ver que el plano tangente es: 4(x 1) + 4(y 1) + 4(z 1) = 0 3. Derivadas direccionales Las derivadas parciales se han definido a partir del análisis de las funciones f y0 (x) = f(x, y 0 ), f x0 (y) = f(x 0, y) y ya hemos discutido el significado geométrico de estas funciones: son las secciones de la gráfica de f con los planos verticales x = x 0, y = y 0. Pero, como ilustra la figura de la derecha, esos dos planos son sólo dos de entre los infinitos planos verticales que pasan por ese punto. Ahora queremos encontrar una forma de estudiar el comportamiento de f en esas otras direcciones. Para ello tenemos que calcular los valores de f a lo largo de una recta cualquiera de las que pasan por el punto (x 0, y 0 ). La regla de la cadena que hemos visto nos proporciona la herramienta necesaria para calcular estas derivadas. Las ecuaciones paramétricas de una de esas rectas, en la dirección del vector v = (v 1, v 2 ), son { x = x 0 + tv 1 Llamemos entonces y = y 0 + tv 2 c(t) = (x 0 + tv 1, y 0 + tv 2 ) Esta recta es obviamente una curva paramétrica diferenciable. Los valores de f a lo largo de esta recta se calculan así: f(c(t)) = f(x 0 + tv 1, y 0 + tv 2 ) 11

12 Esta expresión nos permite calcular, a partir de t, los valores de f. Y por tanto, esperamos que la derivada d(f(c(t))) en t = 0, que corresponde al punto p nos sirva para averiguar cómo cambia f en la dirección del vector v. Pero, como vimos al hablar de curvas paramétricas, esta derivada depende no sólo de f sino de la velocidad a la que se recorre la curva paramétrica (ver la sección (2), página 5 y especialmente el ejemplo (3) y la discusión siguiente). Recordemos que era: = grad f(p) c (t) = grad f(p) v ya que la velocidad de la recta es precisamente el vector v = (v 1, v 2 ). Es decir, recordando la definición de producto escalar: = grad f(p) v cos θ siendo θ el ángulo entre el gradiente de f y la recta, con dirección definida por v. Lo que estamos tratando de definir es una forma de medir cómo cambia f en la dirección de la recta. De los tres ingredientes que aparecen en esta ecuación: 1. El módulo del gradiente en p depende sólo de f 2. El ángulo θ depende de la dirección de v, no de su módulo. 3. Pero v es arbitrario, podemos recorrer la recta a la velocidad que queramos. Está claro entonces que para obtener una noción útil, debemos eliminar esa arbitrariedad, haciendo el resultado independiente de la velocidad a la que se recorre la recta. Eso se puede conseguir dividiendo el resultado por el módulo de v, de manera que la noción que nos interesa es 1 v que, en los casos en que se aplique la regla de la cadena, será lo mismo que Así, finalmente llegamos a esta definición. grad f(p) cos θ Definición 9 (Derivada direccional). La derivada direccional de f en el punto p = (x 0, y 0 ) y en la dirección del vector no nulo v = (v 1, v 2 ) es, si existe, el resultado del siguiente cálculo: D v f(p) = 1 ( ) v lím f(x0 + tv 1, y 0 + tv 2 ) f(x 0, y 0 ) t 0 t Es decir, se trata de la derivada en t = 0 (que corresponde a p) de la función compuesta f(x 0 + tv 1, y 0 + tv 2 ) que mide los valores de f a lo largo de la recta, y dividido por el módulo de v para hacer que la definición no dependa de ese módulo. 12

13 Ejemplo 10. Nos piden que calculemos la derivada direccional de f(x, y) = x 2 + y 2 en el punto (x 0, y 0 ) = (1, 2) y en la dirección del vector v = (2, 3). Para ello observamos que v = 13 y por tanto D v f(p) = 1 ( ) v lím f(x0 + tv 1, y 0 + tv 2 ) f(x 0, y 0 ) = 1 ( ) f(1 + 2t, 2 3t) f(1, 2) lím = t 0 t 13 t 0 t 1 (1 + 2t) 2 + (2 3t) 2 5 lím = 1 8t + 13t 2 lím 13 t 0 t 13 t 0 t = 8 13 La discusión con la que hemos empezado este apartado, indica que la regla de la cadena nos permite calcular las derivadas direccionales. Es decir, que en el caso de una función diferenciable se tiene este resultado. Proposición 11 (Derivadas direccionales y gradiente). Si la función f es diferenciable en p, entonces existen todas las derivadas direccionales D v f(p), sea cual sea el vector v. Y además, esas derivadas se pueden calcular usando la fórmula: D v f(p) = 1 (grad f(p) v) v 3.1. Dirección de máximo crecimiento La expresión que hemos obtenido para calcular las derivadas direccionales en la proposición (11) tiene una consecuencia geométrica que merece la pena subrayar. Si θ es el ángulo entre el gradiente de f y el vector v, se cumple que D v f(p) = 1 1 (grad f(p) v) = grad f(p) v cos θ = grad f(p) cos θ v v como hemos señalado anteriormente. En qué dirección se obtiene un valor máximo de la derivada direccional? Cuando cos θ = 1. Es decir, cuando v y grad f(p) son paralelos. Esa es la dirección en la que f crece más rápidamente. En resumen, Teorema 12. Si la función f es diferenciable en p, entonces el gradiente de f en p indica la dirección de máximo crecimiento de f (en el plano xy); es decir, la derivada para la que se obtiene el mayor valor de la derivada direccional D v f(p). Ese valor máximo coincide con el módulo del gradiente, grad f(p). La definición de derivada direccional y los teoremas y propiedades que hemos visto en esta sección para funciones de dos variables, se extienden sin ninguna dificultad al caso de funciones f : R n R. 13

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