Historia y Filosofía de la Lógica

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1 Historia y Filosofía de la Lógica Pablo Cobreros Tema 1: El objeto de la lógica La lógica proposicional clásica

2 El objeto de la lógica Consecuencia lógica La lógica proposicional El lenguaje proposicional Semántica Deducción Deducción y consecuencia lógica Tablas anaĺıticas Contramodelos Corrección y completud Corrección Completud Lógica no clásica Más allá de la lógica clásica Resumen

3 Consecuencia lógica Noción intuitiva de consecuencia lógica El objeto de la lógica es la relación de consecuencia lógica (o la validez de los argumentos). 1 Qué es la consecuencia lógica 2 Qué argumentos son válidos / cuáles no. Procedimientos de decisión. La consecuencia lógica tiene una fuerza modal: es imposible aceptar las premisas y rechazar su conclusión ( válido probativo ). Por tanto, intuitivamente, Definición: A es una consecuencia lógica de Γ ssi necesariamente, si todo B Γ es verdadero, entonces A es verdadero (es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa). En otras palabras, un argumento es válido ssi necesariamente preserva la verdad.

4 Consecuencia lógica Necesidad lógica Problema de la definición: la noción de necesidad es en sí misma suficientemente compleja. Cómo debemos entender la noción de necesidad involucrada en la caracterización intuitiva de la consecuencia lógica? Necesidad anaĺıtica: verdad en virtud del significado de las expresiones. Necesidad lógica: verdad en virtud del significado de las expresiones lógicas. Definición A es una consecuencia lógica de Γ ssi: para toda interpretación I del vocabulario no-lógico, si todo B Γ es verdadero en I entonces A es verdadero en I (no hay interpretación I tal que todo B Γ es verdadero en I y A es falso en I)

5 Consecuencia lógica Formalización e interpretación La gran aportación de la lógica del siglo XX es una caracterización precisa de: cuáles son las expresiones lógicas y su significado; cuáles son las expresiones no-lógicas; qué es una interpretación del vocabulario no-lógico. Un lenguaje lógico es un lenguaje con un vocabulario lógico y un vocabulario no-lógico. El vocabulario lógico tiene un significado determinado; el vocabulario no-lógico consiste en expresiones que pueden recibir una interpretación. Una interpretación es una asignación de significados a las expresiones no-lógicas del vocabulario (dependiendo de su categoría gramatical). En este tema repasaremos el lenguaje y la lógica proposicional clásicas. Es importante advertir que las ideas contenidas en esta sección se aplican de igual manera a cualquier otro lenguaje y lógica (en particular al lenguaje y lógica clásicas de primer orden que veremos más adelante).

6 El lenguaje proposicional Vocabulario Extralógico: Un conjunto infinito de variables proposicionales: p, q, r... Lógico: Constantes lógicas:,,,. Estas constantes son funciones de verdad. Símbolos auxiliares (paréntesis): (, ). Para la legibilidad unívoca. De todas las expresiones que podemos obtener combinando elementos del vocabulario, nos interesan únicamente las fórmulas bien formadas. Éstas son las únicas expresiones gramaticalmente correctas y, por tanto, las únicas que pueden tener significado.

7 El lenguaje proposicional Gramática 1. Si A es una variable proposicional, A es una fbf. 2. Si A es una fbf, A es una fbf. 3. Si A y B son fbf, (A B), (A B), (A B) son fbf 4. Cualquier expresión construida de otro modo no es fbf. Nuestra gramática aporta una definición inductiva del conjunto de fbf. Además el conjunto de fbf así definido es unívocamente legible.

8 El lenguaje proposicional Definición inductiva Base: p, q son fbf Base: 0 está en N Inducción: Si A y B son fbf, Inducción: Si n está en N, (A B) es fbf. s(n) está en N. Clausura: Nada más es fbf. Clausura: Nada más está en N. Lenguaje N Complejidad... ((p q) p) p), ((p q) p) q)... sss(0) 3 ((p q) p), ((p q) q),... ss(0) 2 (p q), (p p), (q q) s(0) 1 p, q 0 0

9 El lenguaje proposicional Prueba por inducción Se puede probar por inducción propiedades de elementos en conjuntos definidos inductivamente. La prueba por inducción explota el ordenación según la complejidad de un conjunto definido inductivamente: Lenguaje N.. ((p q) p) p), ((p q) p) q)... sss(0) ((p q) p), ((p q) q),... ss(0) (p q), (p p), (q q) s(0) p, q 0 Paso de inducción P(n) P(n + 1) (HI) (target) Base P(0) Ejercicio: Pruebe por inducción que cualquier fórmula del lenguaje proposicional tiene el mismo número de paréntesis izquierdos que derechos

10 El lenguaje proposicional Prueba por inducción Se puede probar por inducción propiedades de elementos en conjuntos definidos inductivamente. La prueba por inducción explota el ordenación según la complejidad de un conjunto definido inductivamente: Lenguaje N.. ((p q) p) p), ((p q) p) q)... sss(0) ((p q) p), ((p q) q),... ss(0) (p q), (p p), (q q) s(0) p, q 0 Paso de inducción P(n) P(n + 1) (HI) (target) Base P(0) Ejercicio: Pruebe por inducción que cualquier fórmula del lenguaje proposicional tiene el mismo número de paréntesis izquierdos que derechos

11 El lenguaje proposicional Prueba por inducción Se puede probar por inducción propiedades de elementos en conjuntos definidos inductivamente. La prueba por inducción explota el ordenación según la complejidad de un conjunto definido inductivamente: Lenguaje N.. ((p q) p) p), ((p q) p) q)... sss(0) ((p q) p), ((p q) q),... ss(0) (p q), (p p), (q q) s(0) p, q 0 Paso de inducción P(n) P(n + 1) (HI) (target) Base P(0) Ejercicio: Pruebe por inducción que cualquier fórmula del lenguaje proposicional tiene el mismo número de paréntesis izquierdos que derechos

12 El lenguaje proposicional Prueba por inducción Se puede probar por inducción propiedades de elementos en conjuntos definidos inductivamente. La prueba por inducción explota el ordenación según la complejidad de un conjunto definido inductivamente: Lenguaje N.. ((p q) p) p), ((p q) p) q)... sss(0) ((p q) p), ((p q) q),... ss(0) (p q), (p p), (q q) s(0) p, q 0 Paso de inducción P(n) P(n + 1) (HI) (target) Base P(0) Ejercicio: Pruebe por inducción que cualquier fórmula del lenguaje proposicional tiene el mismo número de paréntesis izquierdos que derechos

13 El lenguaje proposicional Prueba por inducción Se puede probar por inducción propiedades de elementos en conjuntos definidos inductivamente. La prueba por inducción explota el ordenación según la complejidad de un conjunto definido inductivamente: Lenguaje N.. ((p q) p) p), ((p q) p) q)... sss(0) ((p q) p), ((p q) q),... ss(0) (p q), (p p), (q q) s(0) p, q 0 Paso de inducción P(n) P(n + 1) (HI) (target) Base P(0) Ejercicio: Pruebe por inducción que cualquier fórmula del lenguaje proposicional tiene el mismo número de paréntesis izquierdos que derechos

14 El lenguaje proposicional Prueba por inducción Se puede probar por inducción propiedades de elementos en conjuntos definidos inductivamente. La prueba por inducción explota el ordenación según la complejidad de un conjunto definido inductivamente: Lenguaje N.. ((p q) p) p), ((p q) p) q)... sss(0) ((p q) p), ((p q) q),... ss(0) (p q), (p p), (q q) s(0) p, q 0 Paso de inducción P(n) P(n + 1) (HI) (target) Base P(0) Ejercicio: Pruebe por inducción que cualquier fórmula del lenguaje proposicional tiene el mismo número de paréntesis izquierdos que derechos

15 El lenguaje proposicional Prueba por inducción Se puede probar por inducción propiedades de elementos en conjuntos definidos inductivamente. La prueba por inducción explota el ordenación según la complejidad de un conjunto definido inductivamente: Lenguaje N.. ((p q) p) p), ((p q) p) q)... sss(0) ((p q) p), ((p q) q),... ss(0) (p q), (p p), (q q) s(0) p, q 0 Paso de inducción P(n) P(n + 1) (HI) (target) Base P(0) Ejercicio: Pruebe por inducción que cualquier fórmula del lenguaje proposicional tiene el mismo número de paréntesis izquierdos que derechos

16 El lenguaje proposicional Prueba por inducción Se puede probar por inducción propiedades de elementos en conjuntos definidos inductivamente. La prueba por inducción explota el ordenación según la complejidad de un conjunto definido inductivamente: Lenguaje N.. ((p q) p) p), ((p q) p) q)... sss(0) ((p q) p), ((p q) q),... ss(0) (p q), (p p), (q q) s(0) p, q 0 Paso de inducción P(n) P(n + 1) (HI) (target) Base P(0) Ejercicio: Pruebe por inducción que cualquier fórmula del lenguaje proposicional tiene el mismo número de paréntesis izquierdos que derechos

17 El lenguaje proposicional Legibilidad unívoca Que nuestro lenguaje es unívocamente legible significa que cada fórmula tiene una única manera de construcción siguiendo las reglas de la gramática. En adelante omitiremos los paréntesis externos si es que los hay. Por ejemplo, escribiremos p (q r) en lugar de (p (q r)) (pero no p (q r) en lugar de (p (q r))!. El lenguaje sigue siendo unívocamente legible.

18 Semántica Interpretación Interpretar, intuitivamente, es asignar significados. En el caso de lenguajes formales, intepretar consiste en asignar significado a la parte extralógica del vocabulario. En particular, en el caso de un lenguaje proposicional, interpretar consiste en asignar valores de verdad a las variables proposicionales. Definición Una interpretación I para una fórmula A es una asignación de valores de verdad para las variables proposicionales en A. Definición Una intepretación I para un argumento Γ A es una interpretación para las fórmulas en el argumento.

19 Semántica Extensión de una interpretación Dada una interpretación de las variables proposicionales en una fórmula A, existe una única manera de extender la interpretación para A de acuerdo a las siguientes cláusulas: 1. I( A) = 1 ssi I(A) = 0 2. I(A B) = 1 ssi I(A) = 1 y I(B) = 1 3. Ejercicio: aporte el resto de cláusulas La legibilidad unívoca del conjunto de fbf garantiza que una interpretación I para las variables proposicionales en A tiene una única extensión para A. Determine el valor de verdad de los siguientes enunciados de acuerdo a la interpretación I(p) = 1, I(q) = 0, I(r) = 1. p p q (p r) p (p q) (q r)

20 Semántica Nociones semánticas Una vez definido de modo preciso el lenguaje y la noción de interpretación podemos aportar definiciones precisas de las nociones semánticas clave: Definición Una fórmula A es satisfacible ssi hay al menos una interpretación I: I(A) = 1. Un conjunto de fórmulas Γ es satisfacible ssi hay al menos una interpretación I tal que: I(B) = 1 para todo B Γ Definición Una fórmula A es una consecuencia lógica de Γ, escrito Γ A, ssi para toda interpretación I: si I(B) = 1 para todo B Γ entonces I(A) = 1. Una fórmula A es válida, escrito A, ssi para toda interpretación I: I(A) = 1. Ejercicio: Muestre que la definición de consecuencia lógica es equivalente a: Γ A, ssi no hay interpretación I tal que: I(B) = 1 para todo B Γ y I(A) = 0. Tenga en cuenta que para todo x es lo mismo que no hay un x que no.

21 Semántica Noción intuitiva y formal de consecuencia lógica Nuestra definición formal de consecuencia lógica para el lenguaje proposicional clásico recoge las ideas del primer apartado sobre la necesaria preservación de verdad, entendiendo necesaria en el sentido de necesidad lógica apuntado anteriormente. Lo que hemos aportado en esta sección es una caracterización precisa de un lenguaje formal (vocabulario separado en lógico / no-lógico + gramática) y de una noción de interpretación para ése lenguaje formal (interpretación de variables proposicionales + extensión de la interpretación para fórmulas compuestas). Con esto hemos podido recoger la idea informal de consecuencia lógica como necesaria preservación de verdad. Este modo de proceder es una constante en cualquier lógica matemática contemporánea. Como veremos está detrás de la lógica clásica de primer orden, pero también detrás de todas las lógicas no-clásicas.

22 Deducción y consecuencia lógica Uno de los objetivos de la lógica es aportar procedimientos para establecer la validez de argumentos particulares. Un sistema deductivo es un conjunto de reglas para establecer pruebas (o deducciones) que nos permitan decidir sobre la validez de argumentos particulares. Las reglas de un sistema deductivo atienden sólo a la forma de los enunciados, y no a los significados (interpretaciones). Una prueba formal (o deducción) para un argumento es una lista finita de fórmulas de acuerdo a las reglas de un sistema deductivo, que establecen que la conclusión del argumento se sigue de las premisas. Escribimos Γ S A cuando A es deducible de Γ de acuerdo al sistema deductivo S.

23 Deducción y consecuencia lógica Corrección y completud de un sistema deductivo Las nociones de consecuencia lógica ( ) y consecuencia deductiva ( S ) son distintas: la primera es semántica y la segunda es sintáctica. Sin embargo, dada una relación de consecuencia lógica, queremos obtener sistemas deductivos que rastreen perfectamente ésa relación de consecuencia lógica. Definición Un sistema deductivo S es correcto ssi, si Γ S A entonces Γ A. Definición Un sistema deductivo S es completo ssi, si Γ A entonces Γ S A. Definición Un sistema deductivo S es adecuado ssi es correcto y completo. La lógica proposicional clásica tiene sistemas deductivos adecuados. En esta sección veremos el método de tablas anaĺıticas (o tableaux ), en la siguiente sección veremos que es un sistema correcto y completo.

24 Tablas anaĺıticas Cómo funcionan Las tablas anaĺıticas son un conjunto de reglas para construir un árbol a partir de un conjunto de fórmulas Γ. El árbol responderá a la pregunta sobre si Γ es o no satisfacible. Por la siguiente conexión esto basta para proporcionar un método para probar si un argumento dado es válido. Proposición Γ A ssi Γ { A} no es satisfacible. Definiciones Un árbol está abierto cuando tiene al menos una rama abierta. Un árbol está completo cuando no podemos desarrollar más ninguna de sus ramas. En las tablas anaĺıticas, un árbol cerrado para un conjunto dado significa que el conjunto no es satisfacible. Por lo tanto, un árbol cerrado para Γ { A} es una prueba de que Γ A. Definición Γ T A ssi hay un árbol cerrado para Γ { A}. Apunte sobre árboles finitos

25 Tablas anaĺıticas Cómo funcionan Las tablas anaĺıticas son un conjunto de reglas para construir un árbol a partir de un conjunto de fórmulas Γ. El árbol responderá a la pregunta sobre si Γ es o no satisfacible. Por la siguiente conexión esto basta para proporcionar un método para probar si un argumento dado es válido. Proposición Γ A ssi Γ { A} no es satisfacible. Definiciones Un árbol está abierto cuando tiene al menos una rama abierta. Un árbol está completo cuando no podemos desarrollar más ninguna de sus ramas. En las tablas anaĺıticas, un árbol cerrado para un conjunto dado significa que el conjunto no es satisfacible. Por lo tanto, un árbol cerrado para Γ { A} es una prueba de que Γ A. Definición Γ T A ssi hay un árbol cerrado para Γ { A}. Apunte sobre árboles finitos

26 Tablas anaĺıticas Cómo funcionan Las tablas anaĺıticas son un conjunto de reglas para construir un árbol a partir de un conjunto de fórmulas Γ. El árbol responderá a la pregunta sobre si Γ es o no satisfacible. Por la siguiente conexión esto basta para proporcionar un método para probar si un argumento dado es válido. Proposición Γ A ssi Γ { A} no es satisfacible. Definiciones Un árbol está abierto cuando tiene al menos una rama abierta. Un árbol está completo cuando no podemos desarrollar más ninguna de sus ramas. En las tablas anaĺıticas, un árbol cerrado para un conjunto dado significa que el conjunto no es satisfacible. Por lo tanto, un árbol cerrado para Γ { A} es una prueba de que Γ A. Definición Γ T A ssi hay un árbol cerrado para Γ { A}. Apunte sobre árboles finitos

27 Tablas anaĺıticas Ejemplo {((p q) r)} ((p r) (q r)) ((p q) r) ((p r) (q r)) (p r) (q r) p r q r (p q) r p q

28 Tablas anaĺıticas Ejemplo {((p q) r)} ((p r) (q r)) ((p q) r) ((p r) (q r)) (p r) (q r) p r q r (p q) r p q

29 Contramodelos Definición Un contra-modelo para un argumento de premisas Γ y conclusión A es una interpretación en la que todos los miembros de Γ toman valor 1 y A toma valor 0. Un árbol abierto para un conjunto de fórmulas Γ nos indica cómo construir un una interpretación que muestra que Γ es satisfacible. Una interpretación que muestra que Γ { A} es satisfacible, es una interpretación que muestra que Γ A. Método: de una rama abierta, para toda variable proposicional p, si p aparece en la rama, I(p) = 1 y si aparece p, I(p) = 0 (el resto de asignaciones arbitrariamente).

30 Contramodelos Ejemplo Probar que {((p q) r), r} p y construir un contra-modelo. ((p q) r) r p p (p q) r p q Contra-modelo: I(q) = 0, I(p) = 1, I(r) = 0.

31 Contramodelos Ejemplo Probar que {((p q) r), r} p y construir un contra-modelo. ((p q) r) r p p (p q) r p q Contra-modelo: I(q) = 0, I(p) = 1, I(r) = 0.

32 Introducción En esta sección probaremos que el sistema de tablas anaĺıticas presentado es adecuado para la lógica proposicional, esto es, correcto y completo. Con símbolos: Si Γ T A entonces Γ A (correcto). Si Γ A entonces Γ S A (completo). Estos resultados, son intuitivamente correctos y relativamente triviales de probar para la lógica proposicional. Para la lógica de primer orden la prueba de completud no es trivial en absoluto.

33 Corrección Procedimiento Para probar la corrección introducimos una definición, y probamos un lema del que se seguirá facilmente el teorema. Definición: Para cualquier interpretación I y cualquier rama de una tabla b, diremos que I es fiel a b exactamente cuando para toda fórmula A en b, I asigna el valor 1 a A (abreviado I(A) = 1). Lema de la corrección Si I es fiel a una rama b de una tabla, y a b se le aplica alguna de las reglas de nuestro sistema deductivo, entonces I es fiel a al menos una de las ramas generadas.

34 Corrección Prueba del lema a) Para : a. i) Si A es de la forma (B C): b B C Como I es fiel a b, I(A) = 1. Ahora bien, I( (B C)) = 1 I(B C) = 0 I(B) = 1 y I( C) = 1 Por lo tanto, si I es fiel a la rama b, es fiel a la única rama generada por la aplicación de la regla correspondiente a (B C).

35 Corrección Prueba del lema (cont.) a. ii) Si A es de la forma (B C): b B C Como I es fiel a b, I(A) = 1. Ahora bien, I(B C) = 1 I( B) = 1 o I(C) = 1 Por lo tanto, si I es fiel a la rama b, es fiel a al menos una de las dos ramas generadas por la aplicación de la regla correspondiente a (B C).

36 Corrección Teorema de corrección Teorema de corrección: Para cualquier conjunto finito Γ de fórmulas y cualquier fórmula A, si Γ T A entonces Γ A. Supongamos (contrap.) que Γ A. Entonces, hay una interpretación I que asigna valor 1 a todos los miembros de Γ y a A. Por el lema anterior, I es fiel a al menos una rama de cualquier árbol para Γ { A}. Si Γ { A} tuviera un árbol cerrado, entonces I no podría ser fiel a ninguna rama (por qué?). Por tanto, Γ { A} no tiene ningún árbol cerrado, esto es, Γ T A.

37 Completud Procedimiento Para probar el teorema de la completud damos una definición y probamos un lema. Definición: Sea b una rama abierta completa. La interpretación inducida por b es cualquier interpretación I que asigna: I(p) = 1 si p aparece en b y I(p) = 0 si p aparece en b (si p no está en b, arbitrariamente). Lema de la completud Si b es una rama abierta completa entonces la interpretación inducida por b es tal que para toda fórmula A, Si A está en b, I(A) = 1 Si A está en b, I(A) = 0 (Por inducción sobre el conjunto de fórmulas)

38 Completud Prueba del lema Caso base: A = p. Trivial. Paso de inducción: (HI: Suponemos que el lema se cumple para fórmulas más simples, B y C) (i) A = (B C). Si (B C) está en b, entonces (dado que la rama es completa) o bien B o bien C está en b. Si B está en b, por la hipótesis de inducción, I(B) = 0. Si C está en b, entonces, por hipótesis de inducción I(C) = 1. En cualquiera de los dos casos, I((B C)) = 1. Por tanto, si (B C) está en b, entonces I(B C) = 1, como pide el enunciado del lema. Si (B C) está en b, entonces (dado que la rama es completa) tanto B como C están en b. Por HI I(B) = 1 y I(C) = 0. Por tanto, si (B C) está en b, I(B C) = 0, como pide el enunciado del lema. (El resto de casos como ejercicio)

39 Completud Teorema de completud Teorema de completud: Para cualquier conjunto finito Γ de fórmulas y cualquier fórmula A, si Γ A entonces Γ T A. Supongamos (contrap.) que Γ T A. Entonces hay un árbol completo para Γ { A} con una rama b abierta. Por el lema de completud, la interpretación inducida por b asigna valor 1 a todos los miembros de Γ y valor 0 a A, esto es, la interpretación inducida por b es un contra-modelo que muestra que Γ A.

40 Más allá de la lógica clásica En este tema hemos caracterizado la relación de consecuencia lógica al estilo Bolzano-Tarski. Sin embargo, aún asumiendo tal visión, podemos motivar lógicas distintas a la lógica clásica según diversas consideraciones. Nuevo vocabulario lógico. Lógicas modales. Temas?? Distinto significado para el mismo vocabulario. Condicional estricto. Lógica intuicionista. Temas?? Limitación de la lógica clásica en su aplicación al lenguaje natural. Vaguedad. Temas?? Antes conviene ver, aunque sólo sea rápidamente, qué es la lógica (clásica) de primer orden.

41 Resumen Qué se entiende intuitivamente por consecuencia lógica El lenguaje proposicional y su semántica. Definiciones inductivas y pruebas por inducción. La relación de consecuencia lógica para el lenguaje proposicional La diferencia entre consecuencia lógica y deducción El sistema de tableaux para la lógica proposicional La completud y consistencia del sistema de tableaux

42 Resumen Qué se entiende intuitivamente por consecuencia lógica El lenguaje proposicional y su semántica. Definiciones inductivas y pruebas por inducción. La relación de consecuencia lógica para el lenguaje proposicional La diferencia entre consecuencia lógica y deducción El sistema de tableaux para la lógica proposicional La completud y consistencia del sistema de tableaux

43 Resumen Qué se entiende intuitivamente por consecuencia lógica El lenguaje proposicional y su semántica. Definiciones inductivas y pruebas por inducción. La relación de consecuencia lógica para el lenguaje proposicional La diferencia entre consecuencia lógica y deducción El sistema de tableaux para la lógica proposicional La completud y consistencia del sistema de tableaux

44 Resumen Qué se entiende intuitivamente por consecuencia lógica El lenguaje proposicional y su semántica. Definiciones inductivas y pruebas por inducción. La relación de consecuencia lógica para el lenguaje proposicional La diferencia entre consecuencia lógica y deducción El sistema de tableaux para la lógica proposicional La completud y consistencia del sistema de tableaux

45 Resumen Qué se entiende intuitivamente por consecuencia lógica El lenguaje proposicional y su semántica. Definiciones inductivas y pruebas por inducción. La relación de consecuencia lógica para el lenguaje proposicional La diferencia entre consecuencia lógica y deducción El sistema de tableaux para la lógica proposicional La completud y consistencia del sistema de tableaux

46 Resumen Qué se entiende intuitivamente por consecuencia lógica El lenguaje proposicional y su semántica. Definiciones inductivas y pruebas por inducción. La relación de consecuencia lógica para el lenguaje proposicional La diferencia entre consecuencia lógica y deducción El sistema de tableaux para la lógica proposicional La completud y consistencia del sistema de tableaux

47 Resumen Qué se entiende intuitivamente por consecuencia lógica El lenguaje proposicional y su semántica. Definiciones inductivas y pruebas por inducción. La relación de consecuencia lógica para el lenguaje proposicional La diferencia entre consecuencia lógica y deducción El sistema de tableaux para la lógica proposicional La completud y consistencia del sistema de tableaux

48 Resumen Sugerencia sobre lecturas Si te ha gustado el uso de tablas para resolver problemas de consecuencia lógica puede echar un vistazo a lo siguiente: Smullyan, R First-Order Logic. Springer (Edición de 1995, Dover Publications). Restall, G Logic: an introduction. London: Routledge. Bell J. L., Devidi D. y Solomon G Logical Options. Broadview Press. Beall, JC y van Fraassen Bas C Possibilities and Paradox. Oxford University Press. Priest, G An introduction to non-classical logic. Cambridge University Press. Fitting M. y Mendelsohn R. L First-order modal logic. Kluwer Academic.

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