Modelado, Control y Simulación de un Sistema Péndulo Invertido Sobre Base Móvil

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1 Modelado, Control y Simulación de un Sistema Péndulo Invertido Sobre Base Móvil Gabriel Romero-Rodríguez, Pablo Sánchez-Sánchez, Fernando Reyes-Cortés, Antonio Michua-Camarillo, Benjamín Calderón-Flores, Jaime Cid-Monjaraz, Juan Carlos Torres-Monsivais y Gabriela Morales-Timal Universidad Autónoma de Puebla, F. C. E., Gruo de Robótica oocelo leable@ece.bua.mx y freyes@ece.bua.mx Resumen - El objetivo de este artículo consiste en obtener el modelo dinámico de un éndulo invertido sobre base móvil emleando la metodología de Euler-Lagrange y alicar una estructura de control PD usando el método de moldeo de energía. Además, realizar la simulación del modelo dinámico y el control en dos lataformas de simulación. I. INTRODUCCIÓN El éndulo invertido es uno de los ejemlos más conocidos de sistemas ara estabilizar, fue amliamente estudiado or la comunidad científica, y actualmente es un roblema imortante de control, ya que cada vez hay más sistemas que ueden aroximarse con este modelo. El interés de este trabajo reside en obtener un modelo matemático que describa la dinámica del sistema, or lo que se emlea la metodología de Euler-Lagrange la cual considera la diferencia de energía resente en el sistema (cinética y otencial). Se hace uso de la técnica conocida como moldeo de energía en la estructura de control PD ara controlar al éndulo. Uno de los asos más imortantes del modelado y control consiste en la validación mediante una simulación. Por lo que las exresiones matemáticas del modelo dinámico y las estructuras de control son evaluadas en la lataforma de simulación SIMNON, la cuál es una herramienta que utiliza un conjunto de elementos ara describir el comortamiento de sistemas no lineales, como lo es el modelo dinámico, el cual describe desde un unto de vista matemático el comortamiento del sistema a un estímulo esecífico. Por lo tanto la validación se realiza al comarar el comortamiento de la simulación con el del sistema real. El trabajo está organizado de la siguiente forma: en la sección II se realiza una breve descrición del rototio mecánico, en la sección III se describen las ecuaciones de Euler-Lagrange y se obtienen las ecuaciones del modelo dinámico del éndulo; en la sección IV se describe la técnica de moldeo de energía con un controlador lineal tio PD y se realiza su comrobación de estabilidad or Lyaunov; en la sección V se realiza la simulación del modelo y control en dos lataformas de simulación y finalmente las conclusiones se untualizan en la sección VI. Figura 1. Péndulo invertido sobre base móvil. El éndulo gira en un lano vertical alrededor de un eje localizado en el centro de la base y erendicular al lano vertical mencionado. Puesto que el sistema del éndulo invertido tiene dos grados de libertad y sólo un actuador se trata de un sistema sub-actuado. III. DINÁMICA DEL PÉNDULO Para rooner estructuras de control es necesario contar con una reresentación matemática que describa el comortamiento del rototio mediante las leyes físicas que lo rigen. El modelo dinámico es un conjunto de ecuaciones que describen el comortamiento de un sistema a un estímulo esecífico. III-A. Metodología Euler-Lagrange La metodología de Euler-Lagrange utiliza la energía total del sistema E ( q, q& ) definida como la diferencia entre la energía cinética K ( q, q& ) y la energía otencial U ( q). Partiendo de estas consideraciones al resolver la ecuación de Euler-Lagrange ara un sistema conservativo, la ecuación que se define como: II. SISTEMA PÉNDULO INVERTIDO El éndulo invertido sobre base móvil es un sistema que consiste en una varilla que gira libremente or una de sus extremos or una articulación en la base tio carro que se mueve en un riel horizontal rectilíneo or la acción de una fuerza τ aralela al riel, esta fuerza τ es la ley de control con la que se retende controlar la osición de la varilla. donde q, q& son vectores de deslazamiento y velocidad resectivamente, f ( τ, q& ) es el vector de fricción, τ es un vector de fuerzas y ares alicados a las coordenadas generalizadas Asociación Mexicana de Mecatrónica A.C. 195 Instituto Tecnológico de Veracruz

2 y el Lagrangiano L ( q, q& ) es la diferencia entre la energía cinética y la otencial, donde U( q) es la energía otencial exresada en el esacio de oeración y está acotada como: El modelo dinámico del éndulo en general ara un robot de n grados de libertad con ausencia de fricción y otras erturbaciones se escribe como: donde q, q&, q&& son el vector de osición, velocidad y nxn aceleración articular del robot, resectivamente, M ( q) es la nxn matriz de Inercias, C( q, q& ) es la matriz de Coriolis y fuerza Centríeta, g( q) es el ar gravitacional. Para rooner una estructura de control, el modelo dinámico debe cumlir ciertas roiedades fundamentales: donde kg es un escalar constante. III-B. Modelo dinámico Euler-Lagrange Como rimer aso ara obtener el modelo dinámico del éndulo se analiza su osición en el esacio mediante la cinemática directa la cual relaciona las coordenadas articulares a coordenadas cartesianas. Proiedad 1. La matriz de inercias M ( q ) es una matriz definida ositiva M ( q ) > 0, es simétrica 1 M ( q) > 0 M ( q) > 0, y está acotada, 2. Cinemática del éndulo invertido. Figura donde I es la matriz Identidad, µ ( q) 0 y 1 µ 2 ( q) es una constante escalar ara una revolución de una articulación, generalmente es una función escalar de q ara una articulación rismática. De la figura (2) se tienen la cinemática del éndulo y del carro como: Proiedad 2. Se considera la matriz T antisimétrica q& [ M& ( q) 2 C( q, q& )] q& 0, así: La matriz C( q, q& ) es una matriz lineal con resecto a q desde k c +, es decir: donde al derivar la osición se tiene la velocidad, y se eleva al 2 T cuadrado usando la siguiente roiedad V = V V, esto debido a que se emlea dicha velocidad en la energía cinética: donde k ( ) c q es una constante escalar ara una revolución articular, generalmente q es una función ara una articulación rismática. Proiedad 3. El ar gravitacional ( ) obtiene mediante el gradiente de la energía otencial ( q) sistema. g q se U del Desués usando la energía cinética tiene: K ( q, q& ) = mv + I q se 2 2 Asociación Mexicana de Mecatrónica A.C. 196 Instituto Tecnológico de Veracruz

3 y usando la energía otencial U( q) = mgh tenemos: Alicando la ecuación (3) a las ecuaciones obtenidas y sustituyendo todos los términos, tenemos: Al alicar el Lagrangiano (2) se tiene: IV. DISEÑO DE CONTROL Existen diferentes técnicas ara rooner estructuras de control, tíicamente se emlea el método de moldeo de energía ara coordenadas articulares. Para analizar estabilidad se emlea la teoría de Lyaunov. El moldeo de energía considera el modelo dinámico sin la existencia de erturbaciones externas: y usando la roiedad LT = L1 + L 2 tenemos: donde U( K, q% ) K y está definida como: es la energía otencial artificial que deende de Ahora, odemos alicar las ecuaciones de Euler-Lagrange (1) ara el carro tenemos: y f ( K, q& ) es una función que deende de una función de v v amortiguamiento K v. Donde K y roorcional y derivativa resectivamente. Kv son las ganancias Para analizar la estabilidad de la estructura de control, se describe la función de Lyaunov como: y ara el éndulo tenemos: El método de moldeo de energía trata de hallar una función candidata U( k, q% ) de Lyaunov: que cumla con las condiciones de la función Asociación Mexicana de Mecatrónica A.C. 197 Instituto Tecnológico de Veracruz

4 tal que al derivar la función de Lyaunov: Al sustituir q&& (32) en la ecuación (34) tenemos: se obtiene la estabilidad del unto de equilibrio, mediante la condición: Realizando la multilicación se elimina el término M ( q) y la ecuación queda como: Comrobando la estabilidad asintótica global mediante el teorema de LaSalle: Eliminando términos y haciendo uso de la roiedad de antisimetría (5) tenemos que: IV-A. Controlador PD Tíicamente el controlador PD se define como: donde q% = qd q denota el error de osición definido como la diferencia entre la osición deseada q menos la osición actual q, d K y K son la ganancia derivativa y roorcional resectivamente v y τ es el vector del ar alicado. Sustituyendo la estructura de control en la ecuación del modelo dinámico se tiene: La derivada de la función de Lyaunov es semidefinida negativa, or lo que el unto de equilibrio es estable, según la condición (28), de manera que es osible comrobar estabilidad asintótica global usando el teorema de LaSalle (29): V. SIMULACIÓN reduciendo los términos, al desejar q&&y haciendo uso de las variables de estado odemos escribir el sistema en lazo cerrado como: Un simulador es una herramienta que reroduce el comortamiento de un sistema mediante las ecuaciones matemáticas que lo describen. Además de las ecuaciones matemáticas que describen la dinámica del sistema, una simulación requiere los arámetros físicos que se resentan en la tabla 1: Tabla 1. PARÁMETROS DEL PÉNDULO INVERTIDO Ahora bien, se roone una función candidata de Lyaunov, con base en la ecuación (25): Se observa como cumle con las condiciones (26). Al derivar la función rouesta tenemos: Asociación Mexicana de Mecatrónica A.C. 198 Instituto Tecnológico de Veracruz

5 A continuación se muestran los resultados de la simulación del modelo dinámico obtenidos en la lataforma de SIMNON : A continuación se muestra el comortamiento de la estructura de control PD, que se rogramó en SIMNON junto con el modelo dinámico. Figura 3. Comortamiento del modelo dinámico en SIMNON Figur a 4. Comortamiento del modelo dinámico en SIMNON Figura 6. Comortamiento del control en SIMNON Podemos observar el comortamiento del sistema ante la estructura de control PD, figura (6) donde se observa como la osición lineal (carro) arte de una condición inicial cero y desués, al recibir el estímulo del control se ubica nuevamente en cero. Así como en la figura (7) se muestra el comortamiento de la osición angular (éndulo), la cual arte de la condición inicial π es decir está en la osición de reoso y al recibir la energía de la estructura de control se balancea hasta llegar a la osición inestable de equilibro (cero). Ahora se emlea una lataforma de simulación alterna (8) ara el éndulo invertido, donde se desarrollan las mismas ruebas con estructuras de control PD, así como los arámetros y ganancias y se muestra su comortamiento en la figura (9). En las figuras (3,4) se observa el comortamiento de la osición lineal y angular, movimientos resentes en el carro y éndulo. El fenómeno resente en el sistema resulta un movimiento lineal y uno oscilatorio los cuales muestra el comortamiento natural del sistema ante un estímulo senoidal. La figura (5) muestra la comaración de comortamiento del modelo simulado y el modelo real ante una misma excitación. Figura 7. Comortamiento del control en SIMNON Figura 5. Modelo real y modelo simulado. Figura 8. Simulación del control PD. Asociación Mexicana de Mecatrónica A.C. 199 Instituto Tecnológico de Veracruz

6 [4] Karl J. Äströng, Daniel J. Block y Mark W. Song, El éndulo con volante de inercia, Deartamento de Control Automático, Colegio de Ingeniería en Sistemas de Control y Laboratorios Científicos Coordinados, del Instituto Tecnológico de London, Universidad de Illinois en Urbana-Chamaing resectivamente, Ca. 1, [5] Jerry B. Marion, Dinámica Clásica de las Partículas y Sistemas, Ca.12, Pags , Reverté, S.A., Esaña, [6] Patricia Mellodge, Abstracción de Modelos en Sistemas Dinámicos: Alicación a Control de Robots Móviles, Tesis Doctoral, Instituto Tecnológico de Virginia, 2007 Figura 9. Posición lineal y rotacional del éndulo ara el control PD A continuación se realiza una comaración gráfica entre la lataforma de simulación SIMNON y el simulador alterno, ara el caso del control PD. Se uede observar como la resuesta en la lataforma de simulación alterna ara el control PD es similar a la resuesta obtenida en SIMNON. [7] Herbert Goldstein, Charles Poole y John Saftko, Classical Mechanics, Addison Wesley, 3ra. Edición, Ca. 2, San Francisco, [8] Ronald L. Huston, C. Q. Liu, Formulas for Dynamic Analysis, CRS Press, Chater 10, [9] Watson Fulks, ADVANCED CALCULUS, An Introduction Analysis, John Wiley \& Sons Inc., Ca. 10, Pg , EEUU, [10] Mark W. Song, Swing U Control of the Acrobot Using Partial Feedback Linearization, Coordinated Science Laboratory, University of Illinois at Urbana-Chamaign, [11] V. V. Alexandrov, S. I. Zlochevskii, R. Reyes Sánchez, H. Salazar Ibargüen, Introducción a la Modelación Matemática de los Sistemas Controlables., Ca. 2, Pag. 47, BUAP, Puebla, [12] Rafael Kelly y Víctor Santibáñez, Control de Movimiento de Robots Maniuladores., PEARSON EDUCACI'ON, S. A., Pg , Madrid, [13] Red Normas y Técnicas Comlementarias ara Diseño y Construcción de Estructuras Metálicas Figura 10. Comaración entre SIMNON y el simulador rouesto VI. CONCLUSIONES Como se udo observar en las simulaciones realizadas, se comrobó que la obtención de las ecuaciones matemáticas que describen al rototio son confiables y reresentan a los fenómenos existentes en dicho sistema. Por otra arte se simuló una estructura de control ara ubicar al éndulo en la osición de inestabilidad. Debido a que la simulación realizada tanto en la lataforma alterna como en SIMNON fue satisfactoria odemos concluir que las ecuaciones de la dinámico como las de control controlan y reresentan los fenómenos físicos resentes en el sistema del éndulo invertido. REFERENCIAS [1] J. Aracil, F. Gordillo, El Péndulo Invertido: Un Desafío ara el Control No Lineal, Escuela Suerior de Ingenieros, Universidad de Sevilla, CEA-IFAC, 2005 [14] G. Edyson, J. Larriva, J. Trelles, Control de un Péndulo Invertido, Cuenca Ecuador,2003 [15] A. Viguria, A. Prieto, M. Fiacchini, R. Cano, F. R. Rubio, J. Aracil, C. Canudas-de-Wit, Desarrollo y Exerimentación de un Vehículo Basado en Péndulo Invertido (PPCAR), Deartamento de Ingeniería de Sistemas y Automática, Universidad de Sevilla, Esaña, Laboratoire d' Autometique de Grenoble (CNRS-LAG), Francia. [16] A. Valera, M. Vallés, M. Cardo, Desarrollo y Control de un Péndulo de Furuta, Universidad Politécnica de Valencia. [17] Feedback Digital Pendulum, Control Exeriments, Website: htt:// Chater 3, Printed in England by FI Ltd, Crowboruugh [18] Gunter Stein, Resect the Unstable, IEEE Control Systems Magazine, Agosto [19] María Marta Serón, Sistemas Dinámicos y Procesamiento de Señales, Universidad Nacional del Rosario, Ca. 3, Sec. 1, Pg. 5, [2] G. Píriz Mira, J. García del Prado, L. Rodríguez Cid, Toología de resas, Métodos de Auscultación, Centro Universitario de Mérida, Universidad de Extremadura, Julio de [3] K. Ogata, ''Teoría de Control y Sistemas Dinámicos'' (Ca. 3, Prentice Hall Hisanoamericana). Asociación Mexicana de Mecatrónica A.C. 200 Instituto Tecnológico de Veracruz