Construcción de señales usando escalones y rampas

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1 Consrucción de señales usando escalones y rampas J. I. Huircán Universidad de La Fronera March 3, 24 bsrac Se planean méodos para componer y descomponer señales basadas en escalones y rampas. Se de ne la función pulso, la cual al muliplicarla con ora señal permie eliminar pare de ella en deerminados ramos. Finalmene, se consruyen disinas funciones ales como dienes de sierra, renes de pulso y oras basadas en escalones y rampas. Inroducción Muchas funciones pueden ser consruidas a parir las señales singulares, sin embargo, es necesario aplicar propiedades sobre esas funciones, ya sea muliplicación por un escalar, desplazamieno emporal, u oras. La consrucción en forma analiica de señales básicas usadas en el área de Ingeniería Elécrica, ales como las señales ipo pulso, dienes de sierra, señales exponenciales y sinusoidal es fundamenal, pues decriben el comporamieno de los sisemas elécricos y elecrónicos ya sea como pare de la exciación o de la respuesa. 2 Señal Pulso Esa señal se consruye usando dos escalones, uno posiivo y oro negaivo rerasado en el iempo. Sea el escalón uniario de nido como para + u () = No de nido para = para Luego la señal pulso p() de la Fig., esará dada como () p() = u() u( ) (2) Donde represena el araso en el iempo. Como la disancia es el ancho del pulso, ése se rede ne como

2 u() u ()= -u(- ) - p() Figure : Pulso Uniario. p () = para + y para y + (3) 2. raso y adelano del pulso La Fig. 2 muesra el pulso uniario de ancho arasado o adelanado. p () a p () ad a a+ -a -a+ Figure 2: rasado. delanado. nalíicamene se iene p a () = p( a) = u( a) u( a ) (4) Considerando que a <. p ad () = p( + a) = u( + a) u( + a ) (5) Example Sea la función pulso de ancho de la Fig. 3, p () = p( a) arasada en un iempo a, donde a <. nalizar si se cumple (3). 2

3 p () a a+ Figure 3: Pulso uniario arasado en = a. La función p () se expresa de acuerdo a (4) como p () = u( a) u( a ) (6) sí, para = a se iene que p () = u(a a) u(a a ): Como a < a, enonces se iene que u(a a) = y u(a a ) = ; luego p (a ) = : Lo mismo ocurrirá para = a + +, es decir, p(a + + ) = : Para = a +, se iene que p (a + ) = u(a + a) u(a + a ) = ; pues, u(a + a) = y u(a + a ) = : Qué sucede si la función se evalua en = a +? Qué sucede si a >? nalice el caso para p 2 () = p( + a). 2.2 Pulso de ampliud disina de la unidad Se puede generalizar la función para ampliudes disinas a la unidad, luego p() = K [u( ) u( 2 )] (7) Donde K; y 2 números reales, < 2. Noe que K puede ser posiivo o negaivo. p() K p() 2 2 -K Figure 4: Pulso. Posiivo. Negaivo. La noación a ; a + hace referencia al valor por la izquierda o por la derecha de a. De forma similar, +. 3

4 2.3 Muliplicación de una función por el pulso uniario Eso permie esablecer un valor para una función f() arbiaria, durane el inervalo en el cual el valor de la señal p() es uniario. Para fuera del inervalo del pulso, la función muliplicada será cero como se indica en la Fig. 5. f() p() f()p() Figure 5: Función muliplicada por un pulso. Sea f() una señal arbiraria cualquiera, luego p () f() = f() para denro del inervalo, + para fuera del inervalo, ^ + (8) Ese proceso permiirá consruir funciones más complejas las cuales pueden ener componenes sinusoidales, rampas y funciones exponenciales. 3 Función Diene de Sierra Esa puede ser consruida analíicamene a parir de la suma de funciones rampas muliplicadas por funciones pulso uniario posiivos y negaivos, adelanados y rerasados. sí, la señal de la Fig. 6, puede ser expresada de acuerdo a (9). f() 2 Figure 6: Diene de sierra. 4

5 f() = r()p() r( )p( ) = r() fu() u( )g r( ) fu( ) u( 2 )g (9) La Fig. 7 expresa grá camene ambos érminos de la suma. r () r () 2 r(- ) 2 p () p () 2 p(- ) r () p () r 2() p 2() 2 2 Figure 7: Consrucción de un función diene de sierra. sí superponiendo las ondas de la Fig 7a y la Fig. 7b se obiene la señal. Ora opción se indica en () en la cual no se usa la señal pulso en forma explícia, pues, se resan rampas y escalones. f() = r() r( ) u( )+ r( ) Exercise 2 Expresar en forma analíica la siguiene función r( 2 ) u( 2 ) () f() Figure 8: Variane de la función diene de sierra. Donde 2 = 4 3 y =

6 4 Oras funciones basadas en escalones La inversión del argumeno de la función escalón permie la generación de formas de onda que ienen valores de nidos para <<. sí se de ne u ( ) = para < No de nido para = para > + () f() Figure 9: Escalón Inverido. Escalón inverido adelanado y arasado f() f() a -a Figure : rasado. delanado. Donde el escalón arasado esá dado por Y el adelanado por f() = u( ( a)) = u( + a) (2) f() = u( ( + a)) = u( a) (3) Surgen algunas pregunas, Cómo saber si (2) y (3) esán correcamene expresadas? Para el caso de (2), se puede evaluar en = a, así u( a + a) = por de nición del escalón uniario, pues a < a: Por oro lado, para = a +, u( a + + a) =, pues a < a +. De la misma forma se puede veri car (3). Usando esa versión del escalón se puede conruir la siguiene función f() = u( + ) + u( 2 ) (4) 6

7 f() 2 Figure : Función usando escalón con argumeno inverido. 5 Conclusiones La consrucción de señales usando escalones se basa en la suma y resa de ésas en disininos insanes de iempo. La señal pulso permie recorar abruamene odo ipo de funciones lo cual hace muy fácil el proceso de sumar disinas funciones por ramos sin que ninguna de ellas afece a la ora. Las funciones ipo dienes de sierra pueden ser implemenadas básicamene sumando y resando rampas. Lo principal es usar el mínimo de componenes de al forma que la señal expresada sea muy simple y fácil de enender. Se puede deerminar si una función esá bien implemenada evaluando en algunos punos críicos de la señal (ejercicio recomendable). 7

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