3. Biomecánica: Trabajo y Energía.

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1 3. Biomecánica: Trabajo y Energía. Las fuerzas en la naturaleza son muy variables. No siempre son constantes y pueden depender del tiempo o de la posición de las partículas sobre las que actúan respecto un SR No podemos aplicar la segunda ley de Newton. Cuando las fuerzas dependen del tiempo es útil usar el impulso para obtener información del movimiento. Así conocemos la v de una partícula en el tiempo conociendo el impulso, la masa y la v 0. Cuando F = F( r) respecto de un sistema de referencia es muy difícil calcular el estado dinámico de una partícula por medio de las leyes de newton. Se introduce el concepto de trabajo, muy ligado al concepto de energía cinética permite ver el movimiento de partículas y sistemas de partículas sometidos a fuerzas que son función de la posición respecto de un sistema de referencia. Trabajo y energía: La importancia de la idea de energía surge del principio de conservación de la energía: la energía es una magnitud que puede convertirse de una forma a otra pero que ni se crea ni se destruye. La energía total se conserva. brasero eléctrico donde energía eléctrica energía calórica motor de un coche: energía interna de la gasolina energía calórica energía cinética. Seres vivos (procesos mecánicos y bioquímicos) transforma un tipo de energía en otro: energía del sol se transforma en compuestos orgánicos (fotosíntesis) animales (herbívoros) transforma éstos en energía para contraer y extirar los músculos y caminar. 1

2 Nos centramos en la energía involucrada en el movimiento producido por la acción de fuerzas y en particular en la energía cinética y como ésta se relaciona con el concepto de trabajo. Concepto de potencia: trabajo realizado en la unidad de tiempo. Muchas fuerzas que no son de contacto (fuerzas a distancia) interacciones a distancia descrita por el concepto de campo concepto de energia potencial. Concepto de trabajo, trabajo realizado por una fuerza Trabajo de una fuerza contante a lo largo de una trayectoria rectilínea O r F r ϕ r + r Partícula que se mueve en línea recta (en sist. ref. inercial) sometida a varias fuerzas constantes F = i F i trabajo realizado por esta fuerza desde r a r+ r como la magnitud W W = F r = F r cosϕ = F s cosϕ Si 0 < ϕ < 90 entonces W > 0. Si ϕ = 90 W = 0. Si ϕ > 90 W < 0. 2

3 Notad que el trabajo es una magnitud escalar. La ecuación de dimensiones para el trabajo es: [W] = [F][ r] = ML 2 T 2 Unidad en el S.I W u = 1N 1m = 1J (Julio): trabajo que realiza una fuerza de 1N al desplazar su punto de aplicación 1m a lo largo de su línea de acción. En el sistema técnico W u = 1Kp 1m = 1kgrm (kilogrómetro). En el sistema c.g.sw u = 1 dina 1cm = 1 ergio. Trabajo realizado por una fuerza variable a lo largo de una trayectoria rectilínea Supongamos un muelle. Para comprimirlo más y más ir aumentando la fuerza, debido a una mayor reacción del muelle trabajo realizado por una fuerza variable y trayectoria recta. asumimos trayectoria en el eje X entre dos puntos x 0 y x f, y asumimos la trayectoria total como s = x f x 0 = dx 1 + dx dx n, es decir suma de n intervalos infinitesimales. Supongamos que en cada intervalo d r i = dx i i la fuerza es prácticamente constante también lo son sus componentesf x,f y,f z en cada intervalo la fuerza realiza un trabajo infinitesimal dw i = F d r i = F dx i i cosϕ = F ix dx i trabajo a lo largo de la trayectoria (sumando todas las contribuciones infinitesimales) W = F 1x dx 1 +F 2x dx = xf x 0 F x dx (1) 3

4 La fuerza sobre un muelle para estirarlo una distancia x de su posición de equilibrio es 1 F = kx de donde W = x2 x 1 kxdx = 1 2 k(x2 2 x 2 1) si x 1 = 0 (posición de equilibrio del muelle) y x 2 = X (lo que se estira) entonces W = 1 2 kx2 Trabajo realizado por una fuerza variable en un trayectoria curva Partícula sometida a una fuerza variable F a lo largo de una trayectoria curva desde el punto P 1 al punto P 2. Dividimos la curva entre esos dos puntos en vectores d l tangentes a la curva. Sea ϕ el ángulo entre F y el vector d l En el sector de infinitesimal de curva que define d l la trayectoria es casi rectilínea y la fuerza casi constante (resultado anterior) 1 Notad que la fuerza que el muelle ejerce es F = kx por lo que el trabajo realizado por el muelle sería de signo contrario al que realizamos sobre el muelle al estirarlo. 4

5 P 1 F dl ϕ O P 2 dw = F d l cosϕ = F d l el trabajo total entre P 1 y P 2 (sumando todas las contribuciones infinitesimales) W = P2 P 1 F d l Integral de línea o circulación de F a lo largo la curva C que une los dos puntos. Para calcular el trabajo necesitamos la ecuación paramétrica de la curva, y cómo varía F con la curva. Como entonces se tiene F = F T e T +F N e N W = P2 P2 P2 F d l = F T e T d l+ F N e N d l = P 1 P 1 P 1 P2 P 1 F T dl 5

6 El trabajo es el área (integral) que encierra la función F T F cosϕ, esto es la componente tangente a la trayectoria de la fuerza, como función del desplazamiento l : F T P1 dl P 2 Si F perpendicular a desplazamiento trabajo realizado es cero (W fuerza centrípeta es cero). Tercera ley de Newton: una de las fuerzas está ejerciendo un trabajo positivo (la que apunta en la dirección del desplazamiento) mientras que la otra (la reacción) está ejerciendo el mismo trabajo pero de sentido contrario y por lo tanto es negativo (el vector desplazamiento tiene distinto sentido respecto a esta otra fuerza). Si resultante de todas las fuerzas es cero el trabajo también es cero. 3.2 Potencia. Si dos fuerzas distintas realizan el mismo trabajo, será más eficaz aquella que realiza el trabajo en el menor tiempo. Para medir la rapidez o eficacia con que una determinada fuerza realiza un trabajo se introduce la magnitud llamada potencia Definimos potencia media P m = W m t 6

7 Es una magnitud escalar y tiene unidades de trabajo por unidad de tiempo. Más interesante el conocer el trabajo realizado por una fuerza por unidad de tiempo en un instante t dado 1 w t 1 t 2 t3 P = lím t 0 W t = dw dt que define la potencia instantánea,. La ecuación de dimensiones es [P] = [W] [t] = ML2 T 2 T = ML 2 T 3. Unidad en el S.I. 1Julio/seg = 1vatio = 1W.Algunas otras unidades son 1kW = 10 3 W 1MW = 10 6 W 1CV (caballodevapor) = 736W 1HP (horsepower) = 746W No confundir con 1kWh (kilovatiohora), que sería una unidad de trabajo y no de potencia. Sería el trabajo realizado por una fuerza durante 1 hora y que tiene una potencia constante de 1kW (1kWh = 3, Julios). Por otra parte que P = dw dt = F Tdl dt 7 2 = F T v = F v

8 Energía cinética: teorema de las fuerzas vivas. Energía como la capacidad que tienen los cuerpos para producir trabajo. Un cuerpo puede realizar trabajo debido a: estar en movimiento (energía cinética) por su posición respecto a un campo gravitatorio, eléctrico (energía potencial) constitución interna (energía interna) movimiento de sus moléculas, p.e. agua hirviendo (energía térmica) Energía cinética de una partícula t=0 v =0 1 F F N F r 1 r dl F T v O r2 W 2 1 = 2 1,C F d l = 2 1 F T dl = dv ma T dl = m 1 dt dl 8

9 v m vdv = m 0 [ v 2 2 ] v 0 = 1 2 mv2 (Energía cinética) La energía cinética es el trabajo total necesario para para acelerar un cuerpo desde el reposo a un estado de movimiento con velocidad v : trabajo que el cuerpo tiene que realizar para pasar de un estado de movimiento con velocidad v a un estado de reposo. Teorema de las fuerzas vivas Si tenemos una partícula sometida a una fuerza F moviéndose a velocidad v 1 0 = W1 2 = [ ] v2 v v 1 mvdv = m 2 v2 2 = 1 v 2 mv mv2 1 = E c (2) E c (1). 1 El trabajo realizado por una fuerza sobre una partícula en movimiento se invierte en modificar la energía cinética de dicha partícula Consecuencias: W 2 1 = E c W 2 1 = 0 E c = 0 E c = cte. (Ej. movimiento circular, pues el valor numérico de la velocidad es constante, aunque varíe la dirección) W 2 1 < 0 E c < 0 E c (2) < E c (1). W 2 1 > 0 E c > 0 E c (2) > E c (1). 9

10 Energía cinética de un sistema de partículas Energía cinética de un sistema de partículas: la suma de las E. cinéticas de cada una de las partículas E c = i 1 2 m iv 2 i Teorema de Köening r i r i CM O R cdm E c = E cdm c +E c La demostración es sencilla: Ya que v i = V cdm + v i (teorema del coseno) tenemos v 2 i = v i 2 = V cdm 2 + v i 2 +2 V cdm v i 10

11 de donde E c = 1 2 i m ivi 2 = 1 2 V cdm 2 i m i i m i(v i )2 + V cdm i m i v i E c = 1 2 MV 2 cdm +E c + V cdm P cdm pero P cdm = 0 E c = Ec CM +E c la energía cinética de un sist. de partículas es igual a la energía cinética del centro de masas más la energía cinética del sistema respecto del centro de masas. En mov. de rotación de un sólido rígido el centro de masas no se mueve Ec cdm = 0 E c = E c = 1 m i (v i 2 )2 = 1 m i ωi 2 2 (r i )2 i donde al ser v i y r i las velocidades lineales y las posiciones de las partículas del sólido respecto del sist. de ref. c.d.m, y dado que el movimiento de las partículas es de rotación hemos usado v i = ω ir i. Pero al ser un sólido rígido se tiene ω i = ω i i E c = 1 2 ω2 i m i (r i) Iω2 ( energía cinética de rotación de un sólido rígido) que me define el momento de inercia del sólido rígido como I = i m i(r i )2. Mayor momento de inercia del sólido rígido mayor es su energía cinética de rotación. Cuanto mayor I más trabajo (energía cinética) hay que hacer para que rote con velocidad angular ω. 11

12 I depende del eje sobre el que rote el cuerpo, pues depende de las posiciones de las partículas respecto de ese eje infinitos momentos de inercia (dependiendo del eje sobre el que gire) Si hay mov de traslación y de rotación entonces E c = E cdm c Iω2 = 1 2 MV 2 cdm Iω2 energía cinética de un sólido rígido en movimiento es igual a la suma de la E c de traslación del centro de masas más la E c de rotación entorno a un eje que pasa por el centro de masas. Teorema del eje paralelo: Si I cdm momento de inercia de un cuerpo que rota entorno a un eje que pasa por el centro de masas el momento de inercia del cuerpo cuando rota entorno a un eje P paralelo al anterior y que está a una distancia d del otro es: I = I cdm +Md 2 Demostración: Sólido rígido dividido en capas infinitesimales definidas en el plano (x,y) perpendiculares al eje de giro (eje Z). En cada capa las partículas tienen vectores de posición r i = (x i,y i,0) y r i = (x i,y i,0) respecto del eje c.d.m y del eje P respectivamente r i = r d 12

13 z y y b d a x x donde d = (a,b,0) tal que d 2 = a 2 +b 2. Entonces en cada capa α se tiene I α = i α m i(r i ) 2 = i α m i[(x i a)2 +(y i b)2 ] = i α m i[(x i )2 +(y i )2 ]+(a 2 +b 2 )M α 2a i α m ix i 2b i α m iy i donde M α = i α m i (masa de la capa α), pero los dos últimos términos son cero pues son 2ax cdm 2by cdm = 0 pues son proporcionales a las coordenas x e y del centro de masas respecto de él mismo. Entonces tenemos para cada capa infinitesimal que I α = I α cdm +Mα d 2 Si ahora sumamos sobre todas las capas obtenemos el resultado buscado. 13

14 Campos conservativos: Energía potencial Concepto de campo, campos de fuerza. Interacciones en la naturaleza (gravitatoria, eléctrica) que actúan a distancia las fuerzas que las miden dependen de la posición y del tiempo se introduce el concepto de campo. Si en una región del espacio se manifiesta una magnitud física (escalar o vectorial) definida en cada punto de la región, que es función de las coordenadas respecto de un sistema de referencia dado y del tiempo, la asociación del valor de la magnitud con cada punto del espacio recibe el nombre de campo. Si la magnitud que define el campo es escalar, el campo se llama escalar Si la magnitud que define el campo es vectorial, el campo se llama vectorial Si la magnitud que define el campo es una fuerza, el campo se llama campo de fuerzas Si la magnitud que define el campo sólo depende de las coordenadas y no del tiempo F(x, y, z) campo estacionario. Si depende del tiempo F(x, y, z, t) no estacionario. A cualquier interacción a distancia se le puede asociar un campo (lo contrario es incorrecto). Ej. un cuerpo en la Tierra, la interacción gravitatoria actúa instantáneamente. Se pensó que la interacción se transmitía instantáneamente en el tiempo. Einstein demostró que nada puede moverse con velocidad mayor que la luz, y ésta es aunque muy alta, es finita. habría un tiempo en el que el cuerpo no sentiría la interacción (el tiempo que tardaría en llegar la interacción hasta el cuerpo), cosa que no se ve experimentalmente. 14

15 Hoy en dia se explica el hecho de que los cuerpos sienten instantáneamente la interacción gravitatoria, precisamente, en el marco de la llamada teoría general de la relatividad de Einstein, según la cual cualquier cuerpo (por ejemplo la Tierra) por el hecho de tener masa modifica el espacio (lo curva) que es la responsable de la interacción gravitatoria. Se dice entonces que la tierra crea en su entorno un campo de fuerzas. Campo gravitatorio, los cuerpos sienten sus efectos si tienen las mismas propiedades que lo que origina el campo, es decir masa (campo eléctrico y con el campo magnético). La propiedad que siente los efectos del campo magnitud activa A. La fuerza que un campo ejerce sobre los cuerpos es directamente proporcional a la magnitud activa A: donde Ees la intensidad del campo: F = A E Campo gravitatorio F G m F G = m E la fuerza gravitatoria entre dos masas M y m separadas una distancia r es F G u r M m r F G = G Mm r 2 u r 15

16 la intensidad del campo gravitatorio creado por la masa M (notad que es la masa m la que siente la presencia de este campo) es E = F G m = GM r 2 u r (2) Unidades en el S.I. de 1N/kg = 1m/s 2 (aceleración). Cerca de la superficie de la Tierra F G = w = m g E = g = F Gm (aceleración de la gravedad es la intensidad del campo gravitatorio cerca de la superficie) unidades de fuerza por unidad de magnitud activa, en este caso, masa. Más adelante derivaremos g de la expresión más general (2) En el campo eléctrico F e q F E = q E. Por convenio E = F Eq es fuerza por unidad de carga positiva F e = K qq r 2 u r q carga que crea el campo y q la que siente el campo (podría interpretarse al revés), E = K q r 2 u r Para cualquier campo estacionario F = AE E F = A. La intensidad de un campo de fuerzas en un punto es la fuerza que el campo ejerce en ese punto sobre la unidad de magnitud activa positiva A. En general la dirección de F es igual a la dirección E. Si tenemos varios agentes (ya sean masas o cargas) que crean el campo se satisface el principio de superposición es decir el campo total en un punto es la suma de cada uno de 16

17 los campos individuales creados en ese punto es decir: E = i E i Representanción gráfica de los campos escalares y vectoriales Sea una región del espacio o del plano donde tenemos definida una magnitud física en cada punto, que es función de las coordenadas la asociación del valor de la magnitud con cada punto de la región define un campo. Para visualizar cómo varía la magnitud que define el campo acudimos a su representación gráfica: Campos escalares: Se representan mediante las llamadas superficies y líneas equipotenciales o de nivel=lugar geométrico de todos lo puntos del campo en el que la magnitud que lo define es constante. En el espacio los puntos definen superficies y si está definido en el plano, líneas. Las superficies de nivel se pueden proyectar en un plano obteniendo líneas de nivel: 17

18 La curvas de nivel suministran información rápidamente. En el caso de una montaña, las curvas dan información del contorno de la montaña a una determinada altura. La separación entre líneas nos dice cómo es la pendiente de la montaña en cada punto por unidad de longitud y en una determinada dirección. Campos vectoriales: La magnitud que define el campo es un vector, F = f(x,y,z). Se representan por las llamadas líneas de campo (líneas de fuerza si el campo es un campo de fuerzas). Las líneas de campo son curvas tangentes, en cada punto de la región en el que está definido el campo, al vector intensidad del campo E. Se les asigna un sentido que es el mismo que el del vector E que se elige pues no depende de la magnitud activa el número de líneas de campo o de fuerzas es infinito. Por convenio se dibujarn unas pocas tal que la densidad de tales líneas en un punto sea directamente proporcional al valor numérico de E en ese punto. E E E E E = g Campos conservativos: Energía potencial Una fuerza F es conservativa cuando el trabajo que realiza sobre una partícula no depende de la trayectoria seguida por esta durante la acción de la fuerza, sino de la posición inicial y final. 18

19 A (I) B (II) F = f(x,y,z) El trabajo es el mismo en las dos trayectorias si la fuerza es conservativa. Un campo de fuerzas es conservativo cuando la fuerza que actúa sobre las partículas que están en su radio de acción es conservativa. Los campos gravitatorio y eléctrico son conservativos. F(x, y, z) campo conservativo B A,I F d l+ A B,II B A,I F d l = 0 F d l = A B A,I+II A,II F d l B A,I F d l = 0 A F d l = B,II F d l = 0 F d l La expresión F d l = 0 dice que una fuerza es conservativa cuando el trabajo realizado por ella a lo largo de una curva cerrada es cero. Si el trabajo realizado por una fuerza conservativa es únicamente función de las coordenadas inicial y final de la partícula y no de la trayectoria podremos encontrar una magnitud que sea únicamente función de las coordenadas tal que su diferencia de valores entre los puntos inicial y final nos dé el trabajo, B A F d l = F(x B,y B,z B ) F(x A,y A,z A ) ( E p (x B,y B,z b )) ( E p (x A,y A,z A )) 19

20 que define la energía potencial 2 en un punto del espacio E p (x,y,z) F(x,y,z) 3 W B A = B A F d l = E p (A) E p (B) = E p el trabajo realizado por una fuerza conservativa sobre una partícula entre dos puntos de su trayectoria es igual a menos la variación de su energía potencial entre esos dos puntos. De la definición de energía potencial no podemos calcular la energía potencial que tiene una partícula en un determinado punto del espacio. Por convenio asignamos el valor cero de energía potencial a un determinado punto de referencia y se calcula diferencia de energía potencial entre ese punto de referencia y cualquier otro. Sea r 0 un punto del espacio tal que E p ( r 0 ) = cte 0 r r 0 F d l = Ep ( r 0 ) E p ( r) E p ( r) = E p ( r 0 ) r r 0 F d l entonces por convenio elegimos E p ( r 0 ) = 0 de donde tenemos: r r0 E p ( r) = F d l = F d l (3) r 0 r 2 Sería la energía que tiene una partícula por su posición en un determinado campo de fuerzas. 3 Matemáticamente esto se cumple si y sólo si F = E p ( r) = ( Ep x, Ep y, Ep z ) pues en este caso se tiene B A B ( F d Ep l = A x dx+ E p y dy + E ) B p z dz = d(e p ) = E p (A) E p (B), A es decir, se convierte en una diferencial exacta la integral se puede calcular como la diferencia de dicha función entre los dos límites de integración Una definición alternativa de campo conservativo es que F = E p. 20

21 La integral anterior es lo que llamamos energía potencial de la partícula en el punto r. En realidad es la diferencia de energía potencial de la partícula entre el punto r y el punto tomado como referencia r 0 La identidad (3) dice que la energía potencial de una partícula en un punto r de un campo conservativo es igual al trabajo que ha de realizar el campo para llevarla desde la posición r al punto de referencia r 0. En el caso rectilíneo en un desplazamiento elemental considerando r = x i y r 0 = (x+dx) i dw = F d l = F x dx = [E p (x+dx) E p (x)] dx dx F x = de p dx Se puede extender a las tres dimensiones (si en cualquierd r la variación dee p en cada dimensión espacial no depende de las componentes de la fuerza en las otras dimensiones F x = de p dx F y = de p dy F z = de p dz es decir F = E p ( r) Energía potencial gravitatoria: Sea F = G Mm r 2 u r la fuerza que ejerce un planeta de masam como la tierra sobre una partícula de masa m en una posición r respecto de un sistema de referencia en centro del planeta. 21

22 F dl r dl r dl T u r r 0 R E p ( r) = W r 0 r = r 0 r F d l = r r 0 F d r ( ) l = r 0 G Mm r ur (d l 2 r +d l T ) = r ( ) r 0 G Mm r dr, donde 2 dr = d l r y (ver dibujo) d l r = dr u r. Tomando como referencia r 0 = E p ( r) = G Mm r Si la distancia es pequeña, r = R+h con h pequeño y R el radio del planeta (serie Taylor) E p (R+h) = G Mm (R+h) GMm R (1 h R ) GMm R +mgh = E p(r)+mgh donde g G M R 2 9,8m/s 2 para el caso de la Tierra tomando como referencia E p (R) = 0 E p (h) = mgh Este resultado lo podíamos haber obtenido de la expresión general E p ( r) = r r 0 F d l sin más que considerar ahora la fuerza es el peso F = mg k y d l = dz k r 0 = 0 k (superficie de la 22

23 Tierra) y r = h k entonces E p (h) = h 0 mgdz = mgz] h 0 = mgh energía potencial que tiene una partícula que está a una altura h respecto de la superficie de la Tierra. Para un cuerpo no puntual, hay un punto que es su centro de gravedad en el que podemos considerar que está aplicado su peso la expresión anterior es válida para cuerpos considerándolos como partículas de la misma masa que el cuerpo situadas en su centro de gravedad. Para demostrar esto consideremos un cuerpo rígido g es la misma para todas las partículas del cuerpo E p = i m i gz i = g i m i z i gmz cdm pues por definición la coordenada z del centro de masas del cuerpo es z cdm = 1 m i z i M entonces llamando h = z cdm se tiene i E p = Mgh Energía potencial eléctrica: Haciendo el mismo análisis que en el caso gravitatorio, para el campo eléctrico creado por una carga puntual q y que siente una carga puntual q, asumiendo de nuevo que E p ( ) = 0. E p ( r) = K qq r 23

24 Energía potencial elástica: Es la energía potencial que tiene una partícula sometida a una fuerza elástica que es aquella que la produce un cuerpo que sea elástico. Estas fuerzas son conservativas y de tipo central al igual que las fuerzas gravitatorias y eléctricas. x y x F x F F = kx i F x = kx Ley de Hooke Vamos a ver cuánto vale la energía potencial elástica. De la expresión general tenemos usando que d l = dx i W1 2 = 2 1 F d l = E p (1) E p (2) W1 2 = x 2 x 1 kxdx = 1 2 kx kx2 1 = E p(1) E p (2) Wx 0 = E p (x) E p (0) = 1 2 kx2 Por convenio E p (0) = 0 E p (x) = 1 2 kx2 24

25 Fuerzas no conservativas: El trabajo realizado por dichas fuerzas depende del camino. Las más importantes son las llamadas fuerzas resistivas o disipativas como la fuerza de rozamiento, o también la fuerza magnética como veremos más adelante. Potencial, concepto de gradiente Hemos visto antes que en un campo de fuerzas F = AE donde la magnitud activa A = m,q,... Si conocemos E en todo punto este campo esta completamente descrito. Además E p ( r) = r r 0 F d l = A r r 0 E d l es decir E p ( r) A, es decir es directamente proporcional a la magnitud activa. Definimos la magnitud escalar potencial en un punto de un campo conservativo y lo denotamos por V( r) como la energía potencial que posee en ese punto la unidad de magnitud activa. V( r) = E p( r) A V( r) no depende de la magnitud activa. Sólo depende del agente que crea el campo y de las coordenadas. Por ejemplo: Campo Gravitatorio: Campo eléctrico: V( r) = G M r V( r) = K q r (4) 25

26 Se cumple el principio de superposición si hay varias masas o cargas que crean el campo V( r) = i V( r i) V( r) = G M i i r i V( r) = K q i r i donde r i es el vector que une cada una de las masas (M i ) o cargas (q i ) que crean el campo con la magnitud activa (m,q ). Como los cuerpos esféricos y homogéneos (formados por muchas partículas) se comportan como masas puntuales localizadas en su centro geométrico (o centro de masas) las expresiones generales para una masa puntual son válidas para estos cuerpos en puntos exteriores a los mismos. En estos casos r es la distancia entre el centro geométrico del cuerpo y el punto considerado. Esto mismo ocurre en el caso de un cuerpo cargado donde la carga se distribuye homogéneamente por todo el cuerpo, y éste se comporta como una sóla partícula de carga igual a la carga total situada en su centro geométrico o centro de masas. Por otra parte de la relación anterior (4) se tiene: E p ( r) = AV( r). Teniendo en cuenta el significado de la energía potencial, el potencial en cada punto de un campo conservativo evalúa el trabajo que tiene que hacer el campo para llevar a la unidad de magnitud activa desde ese punto al punto de referencia: W 2 1 = E p( r 1 ) E p ( r 2 ) = A[V( r 1 ) V( r 2 )] V( r 1 ) V( r 2 ) = W2 1 A La diferencia de potencial entre dos puntos r 1 y r 2 del campo expresa el trabajo que tiene que hacer el campo para llevar a la unidad de magnitud activa desde el punto r 1 al r 2. Sólo depende 26

27 del agente que crea el campo y de las coordenadas (posición), es decir, V( r). Como V( r) depende de las coordenadas, la asociación de cada punto del campo con el valor que toma el potencial en ese punto define un campo escalar, que podemos representar por las llamadas líneas equipotenciales (que son el lugar geométrico del espacio que tiene el mismo valor del potencial V( r)) Para que un campo conservativo pueda ser descrito por V( r) es necesario que a partir del valor del potencial en cada punto podamos deducir el valor de E en módulo, dirección y sentido y por tanto el valor de F podremos además representar gráficamente el campo de fuerzas mediante las líneas de fuerza y también por las superficies equipotenciales: W1 2 = r 2 r 1 F d r2 l = A r 1 E d l = Ep ( r 1 ) E p ( r 2 ) = A[V( r 1 ) V( r 2 )] r2 r 1 E d l = V( r1 ) V( r 2 ) r 2 r 1 dv dv = E d l = dw A el trabajo elemental realizado por el campo sobre la unidad de A para moverla entre dos puntos muy próximos es igual a menos la variación elemental del potencial entre los mismos. Ejemplos: El campo mueve la partícula tangencialmente a las líneas equipontenciales 27

28 E E dl E V=cte dv = 0 E d l = E d l cosθ = 0 θ = 90 o Es decir,el vector E es en todo punto perpendicular a las superficies equipotenciales. Su sentido es el de los potenciales decrecientes Supongamos dos superficies equipotenciales muy próximas: dl gradv θ E V < V B A V B V A dv = E d l = E d l cosθ 28

29 si llamamos ds = d l se tiene trivialmente dv ds = E cosθ que se le conoce como derivada direccional e indica la deriva de la función potencial en la dirección que marca d l. Si ponemos el producto escalar en función de sus coordenadas y usando que d l = dx i+dy j +dz k E = E x i+e y j +E z k dv = (E x dx+e y dy +E z dz) Por definición de diferencial de una función V( r) = V(x,y,z) se tiene que de donde igualando se tiene dv = V V V dx+ dy + x y z dz E x = V x E y = V y E z = V z Introduciendo el vector gradiente grad = x i+ y j + z k un campo conservativo F = AE puede definirse mediante el potencial V( r) en la forma E = gradv( r) = V( r) El vector intensidad del campo E en un punto de una campo conservativo es igual a grad del potencial V en ese punto Podemos obtener E a partir de V( r), y podemos describir el campo de fuerzas mediante el potencial y representarlo mediante superficies equipotenciales. 29

30 Notad que el gradv( r) es perpendicular a las superficies equipotenciales y tiene el sentido de los potenciales crecientes. La dirección de los vectores E y gradv( r) es aquella en la cual el potencial varía más rápidamente por unidad de longitud. No hay que confundir líneas de fuerza y superficies equipotenciales: E E E E E = g Además notad que como E F = A y V = W2 1 /A = E p/a F/A = gradv( r) = 1 AgradE p ( r) por lo que F = grade p ( r) = E p ( r) Resultado que ya habiamos encontrado antes. Por lo tanto si el sistema está aislado F = 0 Principio de conservación de la energía Supongamos una fuerza conservativa actuando sobre una partícula que se mueve de A a B WA B = E } c(b) E c (A) WA B = E E p(a) E p (B) c (B) E c (A) = E p (A) E p (B) E c (B)+E p (B) = E c (A)+E p (A) 30

31 Introduciendo la energía mecánica de la partícula E m E c +E p E m (B) = E m (A) E m = cte E m = 0 principio de conservación de la E. mecánica de una partícula La energía mecánica de una partícula que se mueve sometida a fuerzas conservativas se mantiene constante durante el movimiento Nota: El término de E p incluye aquí todas las energías potenciales de la partícula (gravitatoria, eléctrica, elástica,...) Supongamos la partícula sometida a fuerzas conservativas y a fuerzas no conservativas WA B = WB A (C)+WB A (NC) = E } c(b) E c (A) WA B(C) = E WA p(a) E p (B) B(NC) = [E c(b)+e p (B)] [E c (A)+E c (A)] WA B(NC) = E m Cuando sobre una partícula actúan fuerzas conservativas y no conservativas, la variación de la energía mecánica de la partícula entre los puntos final e inicial es igual al trabajo realizado por las fuerzas no conservativas. Por ejemplo, supongamos que la fuerza no conservativa es el rozamiento A B W B A (R) = E m = E m (B) E m (A) < 0 En este caso se dice que la partícula está realizando trabajo a costa de perder energía mecánica W B A(R) Q E m +Q = 0 El resultado anterior no es más que un caso particular de otro más general: La energía no se crea ni se destruye, únicamente se transforma, afirmación que se conoce como principio de conservación de la energía. 31

32 Sistemas de partículas Sea un sist. partículas sometido a fuerza exteriores e interiores Teorema de las fuerzas vivas W B A,ext +W B A,int = E c (B) E c (A) El trabajo realizado por las fuerzas exteriores e interiores sobre un sistema de partículas en movimiento es igual a la variación de la energía cinética del sistema. Sist. de partículas moviéndose con distancias relativas fijas (sólido rígido) W B A,int = 0 Si sólo hay movimiento de traslación W B A,ext = E c (B) E c (A) W B A,ext = 1 2 MV 2 B 1 2 MV 2 A Si hay movimiento de traslación y rotación (en el plano) WA,ext B = 1 2 MV B ( 1 2 Iω2 B 2 MV A ) 2 Iω2 A Principio de conservación en el caso de que las F ext y las F int sean conservativas Entonces W B A,ext +WB A,int = E c(b) E c (A) W B A,ext +WB A,int = E p(a) E p (B) donde E p = i Ei p,ext + i Ei p,int E p +E c = cte E m = cte E m = 0 32

33 Si son conservativas y no conservativas: Sistema aislado ( F ext = 0) con F int conservativas E m +Q = 0 W B A,int = E c(b) E c (A) W B A,int = E p(a) E p (B) donde ahora E p = i Ei p,int Entonces otra vez E p +E c = cte E m = cte E m = 0 Sistema aislado con F int conservativas y no conservativas Entonces despejando ahora tenemos W B,con A,int +W B,ncon A,int = E c (B) E c (A) W B,con A,int = E p (A) E p (B) donde ahora E p = i Ei p,int W B,ncon A,int = E m Si tenemos que F ncon int = F roz entonces W B,ncon A,int = Q < 0 E m +Q = 0 Sistema no aislado con F int = 0 y F ext conservativas y no conservativas, tendríamos (Ejercicio) W B,ncon A,ext = E m 33

34 y en el caso de que tengamos la fuerza externa sea la de rozamiento Colisiones W B,ncon A,ext = Q < 0 E m +Q = 0 Si las fuerzas que actúan entre dos partículas que chocan son mucho más grandes que las fuerzas externas (gravedad o fuerza eléctrica) podemos despreciar las fuerzas externas (únicas fuerzas importantes van a ser las fuerzas internas, que aparecen cuando las partículas chocan) y considerar el sistema constituido por las dos partículas que chocan como un sistema aislado. El momento total del sistema por tanto se conserva (como ya hemos visto) tiene el mismo valor antes y después de la colisión y la energía potencial debido a las fuerzas externas siempre es la misma. P antes = P después m A v A +m B v B = m A v A +m B v B = Ep después E antes p Sean dos partículas que chocan. Si las fuerzas entre los cuerpos que chocan son conservativas no hay variación de la energía mecánica del sistema en el choque colisión se dice que es elástica (choques de bolas de billar, casi elástica). Como el sistema está aislado, en una colisión elástica la energía cinética total de sistema antes y después del choque es la misma. Antes del choque el sistema tiene una determinada energía cinética que durante el choque disminuye y se invierte en aumentar la energía potencial elástica de repulsión entre las dos partículas que de nuevo se invierte en aumentar la velocidad de las mismas y por lo tanto en aumentar su energía cinética total hasta el valor original (ver dibujo). 34

35 v B v A B A v B v A B A v B B v A A v B v A B A v B v A B A E antes c = E después c 1 2 m AvA m BvB 2 = 1 2 m Av 2 A m Bv 2 B Una colisión en la que la energía mecánica (o la energía cinética total) después de la colisión es menor que antes de la colisión se denomina colisión inelástica (disparo a un tronco de madera, o un choque entre dos coches). Una colisión inelástica se llama completamente inelástica cuando los cuerpos que colisionan se mantienen unidos después del choque. El grado de inelasticidad 35

36 se mide con el llamado coeficiente de restitución que se define e = v B v A v B v A que puede tomar valores entre cero y uno. Para un choque elásticoe = 1 y para uno totalmente inelástico (las masas quedan unidas después del choque) e = 0. Un colisión es frontal cuando la dirección en que se mueven los cuerpos que chocan es la misma antes y después del choque. Es lateral cuando las direcciones antes y después no son las mismas En muchas situaciones se puede despreciar el término de energía potencial debido a que el choque transcurre a la misma altura sobre la superficie terrestre. En resumen, en cualquier colisión en que las fuerzas externas son despreciables el momento se conserva y el momento total antes y después de la colisión es el mismo, y sólo en las colisiones elásticas la energía cinética total antes y después de la colisión son las mismas. 36