JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2 JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2 JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2 Energía Potencial eléctrica

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1 Energía Potencial eléctrica Si movemos la carga q2 respecto a la carga q1 Recordemos que la diferencia en la energía tenemos que: potencial U cuando una partícula se mueve entre dos puntos a y b bajo la influencia de una fuerza, es igual al negativo del trabajo realizado por la fuerza esto es: Wab es el trabajo realizado por la fuerza cuando la partícula se mueve desde a hasta b, esto es valido solo si la fuerza es conservativa Luego para poder definir la energía potencial eléctrica, supongamos que tenemos dos cargas dispuestas como se muestran a continuación: La ecuación 1 se cumple ya sea que q2 se mueva hacia q1 o se aleje de ella, en el primer caso rb < ra, y en el segundo caso rb > ra, también se cumple para cualquier combinación de los signos de q1 y q2. En forma general la energía potencial eléctrica es una magnitud escalar u su unidad es el Joule (J). q1 q2 (Figura 1) La carga q2 se mueve en relación a q1, por un desplazamiento, cuando una partícula cargada se mueve en un campo eléctrico, Energía potencial de un sistema de cargas puntuales. Supongamos que tenemos un sistema de cargas puntuales las cuales se mantienen en posiciones fijas por fuerzas no especificadas. tenemos que: Q1 b Q2 a a Q1 Ya que Como el campo está a lo largo del eje x entonces tenemos Q3 Q4 b (Figura 2 arreglo de cargas ) Podemos calcular la energía potencial eléctrica del sistema de la siguiente manera 1

2 Observe que la energía potencial eléctrica es una carga de sistema y no de alguna carga individual. Diferencia de potencial y potencial eléctrico Para calcular la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos A y B de un campo eléctrico, se mide el trabajo que debe realizar una fuerza externa para mover una carga de prueba puntual qo, con rapidez constante (sin ser acelerado) desde el punto A hasta el punto B. Entonces la diferencia de potencial se expresa así: Donde el El trabajo realizado puede ser: Positivo si Negativo si Nulo si Unidades En el sistema internacional (SI) Trabajo (Joule) Carga eléctrica (Coulomb) Potencial eléctrico (Voltios) Entonces Si colocamos una carga de prueba qo en un punto A a una distancia infinita del conjunto de cargas, donde el campo eléctrico sea cero. Luego desplazamos dicha carga de prueba desde esa separación infinita hasta el punto B En este proceso la energía potencial cambia de 0 a. El potencial eléctrico en B debido a esta distribución de cargas es: Ya que asumimos arbitrariamente que el potencial en el infinito es cero. El potencial eléctrico es una cantidad escalar porque tanto la carga como el trabajo son cantidades escalares. Tanto el trabajo W como la diferencia de potencial son independientes de la trayectoria seguida por la carga de prueba positiva, al ser trasladada desde A hasta B. Superficies equipotenciales Una superficie equipotencial es el lugar geométrico de todos los puntos que tienen el mismo potencial eléctrico. Potencial en un punto Según la ecuación 2

3 A (Figura 3. Superficies equipotenciales).fuente tomada del Resnik- Holliday En la figura 3, observamos que de las cuatro trayectorias marcadas como 1,2,3 y 4 sobre las cuatro superficies equipotenciales solo las trayectorias 3 y 4 tienen diferencias de potencial diferentes de cero ya que los puntos que unen la trayectoria marcada están ubicados en superficies equipotenciales diferentes. Las trayectorias 1 y 2 tienen diferencias de potencial cero, ya que sus trayectorias pertenecen a puntos ubicados en la misma superficie equipotencial. Relación entre potencial y campo eléctrico Supongamos que tenemos una fuerza externa la cual mueve a una carga puntual de prueba, desde un punto A hasta un punto B, el cual tiene las siguientes características de particularidad. a) El campo eléctrico no es uniforme b) La trayectoria es una trayectoria curva cualquiera c) La carga es trasladada con rapidez B El trabajo realizado o producido por la fuerza externa, cuando este agente externo produce un desplazamiento sobre la carga a lo largo de la trayectoria punteada es: Entonces el trabajo total al mover la carga de prueba desde A hasta B es: Por otro lado tenemos que: constante ( sin ser acelerada) 3

4 Si el potencial en A lo consideramos en el infinito entonces tenemos Pero como tenemos que: Potencial eléctrico debido a una carga puntual positiva Supongamos que tenemos una carga positiva aislada la cual tiene las características: Como esta en el infinito a) El campo eléctrico es radial b) Las líneas de fuerza de campo eléctrico se alejan de la carga +q c) El valor del campo eléctrico en cualquier punto es Debido a la fuerza externa, la carga de prueba positiva + se mueve desde A hasta B a velocidad constante (sin ser acelerada). Ya que: En forma general Potencial debido a varias cargas puntuales Supongamos que tenemos N cargas puntuales en un sistema q1, q2, q3,.., Qn si queremos hallar el potencial en un punto dado debido a esas n cargas puntuales, se procede de la siguiente manera: Se calcula el potencial debido a cada una de esas cargas de forma aislada de las demás y luego sumamos algebraicamente cada uno de los potenciales individuales y obtenemos el el potencial total. 4

5 En forma general Supongamos que tenemos un punto de Potencial debido a una distribución de cargas continúas Para determinar el potencial eléctrico para una distribución de cargas continuas se procede de igual manera que para determinar el campo eléctrico de distribuciones de cargas continuas, se toma un pequeño diferencia de carga y se integra de tal manera que se evalué toda la distribución Se toma la ecuación Como coordenadas (x, y) ubicado en cualquier punto del espacio que rodea a un dipolo eléctrico, el potencial eléctrico en ese punto debido al dipolo se calcula de la siguiente manera: R2-R1 θ -q q 2a R2 El potencial eléctrico en el punto P creado por las dos cargas del dipolo es: R R1 P Entonces Luego Al igual que en el calculo de campo eléctrico existen tres tipos de distribuciones continuas Distribución lineal Distribución superficial Distribución volumétrica Potencial eléctrico en un punto fuera de un dipolo eléctrico Como R1, R2 2a Tenemos que R1 R2 R Θ φ Y tenemos que Finalmente Ya que P= 2aq EJERCICIOS RESUELTOS 1) Calcular el potencial eléctrico en el eje que pasa por el centro de un anillo en un punto P, situado a una distancia Z 5

6 del centro del anillo, siendo a el radio Sabemos que del anillo el cual tiene una distribución uniforme de carga λ (C/m), Entonces Z Z h X θ dθ θ dl Y Si nos piden calcular el potencial en el centro del anillo entonces tenemos: Tomamos un dl diferencial de longitud, en cuyo diferencial hay un dq (diferencial de carga), el cual origina en el punto P un dv Entonces el potencial será Donde: Entonces tenemos que: O en función de λ Si el anillo tiene una carga Q 2) Calcular la energía requerida para agrupar el arreglo de cargas de la figura siguiente, donde a = 0,20 cm, b = 0,40 cm y q = 6 μc SOLUCION 6

7 q1= q b q2=-2q Q a b a q4= 3q c La segunda integral es cero debido a que el, por estar dentro de un conductor. 3. Se tiene una esfera aisladora de radio a, con una distribución de carga dada por la función ( donde es una constante), dentro de la cavidad de un conductor esférico macizo y hueco de radios b y c y que tiene una carga Q a) Cuál es el potencial eléctrico en la superficie externa del aislante b) Cuál es la distribución de cargas en la superficie externa e interna del conductor Entonces tenemos Como Y el ángulo entre Hallemos los campos E1 y E3 Resolviendo 7

8 Luego Para encontrar E3 3. Un electrón de carga y masa se dispara con una velocidad inicial Luego desde el punto o en dirección vertical hasta una altura máxima H, determinar la velocidad inicial con la que fue lanzado el electrón. Z B Z -e R H b. A Y Por gauss E2= 0 X d dr ds 8

9 Como no existen fuerzas externas, entonces se conserva la energía = u La energía cinética en el punto B es cero ya que en ese punto se detiene el electrón Integrando tenemos que Luego regresando el cambio y evaluando entre a y b se tiene De donde Por otro lado tenemos que Ahora definamos el potencial en el punto A(ubicado en el centro del anillo) como: Para ello hacemos Z= 0 Donde Ahora definamos el potencial en el punto B, haciendo Z = H f Entonces Finalmente tenemos que la velocidad inicial es: Integrando la primera integral 9

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