PROBLEMAS SELECCIONADOS DE DINÁMICA / TRABAJO Y ENERGÍA

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1 PROBLEMAS SELECCIONADOS DE DINÁMICA / TRABAJO Y ENERGÍA Antonio J. Barbero / Alfonso Calera Belmonte / Mariano Hernández Puche Departamento de Física Aplicada UCLM Escuela Técnica Superior de Agrónomos Campus de Albacete 1

2 PROBLEMA 1 Un automovilista descuidado deja su vehículo aparcado en lo alto de una pendiente del 7% al final de la cual hay un rellano seguido de una cuesta arriba del 4% (véase esquema). Si el coeficiente de rozamiento efectivo una vez que el coche empieza a rodar cuesta abajo es 0.05, calcular qué distancia d recorrerá sobre la pendiente del 4%. 7% 10 m 10 m d 4%

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4 PROBLEMA Sobre una plataforma inclinada que puede girar en torno a un eje vertical (véase figura) hay un pequeño dado situado a 0 cm del eje. Si la plataforma gira a 30 rpm y su ángulo es 5º, determinar el coeficiente de rozamiento estático mínimo para que el dado no resbale. 30 rpm 0 cm 5º 4

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6 PROBLEMA 3 Una fuerza variable viene dada por la expresión 4 F = (F en newton, t en segundos) ( 1+ t ) Esta fuerza actúa sobre un cuerpo de kg inicialmente en reposo a partir de t = 0. Calcular: a) El impulso mecánico comunicado por la fuerza al cabo de 3 s. b) Velocidad adquirida en dicho instante. c) Aceleración del cuerpo en ese instante. d) Velocidad máxima que puede adquirir el cuerpo. 6

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8 PROBLEMA 4 Demostrar que cuando un cuerpo atado a una cuerda se mueve en una órbita circular situada en un plano vertical, la diferencia entre las tensiones de la cuerda en las posiciones extremas inferior y superior es igual a seis veces el peso del cuerpo. T T = mg B A 6 m R T A B A T B Punto A: La fuerza centrípeta F CA es la suma de la tensión de la cuerda y del peso (ambos de igual sentido) Punto B: La fuerza centrípeta F CB es la diferencia entre la tensión de la cuerda y del peso (sentidos opuestos) v A A T B T A mg F CA B v B mg F CB FCA = TA + mg v = m A R F CB = T B mg v = m B R 8

9 PROBLEMA 4 (Cont.) FCA = TA + mg F CB = T B T B mg v = m A R v = m B R vb = va + 4gR Relación entre las velocidades en los puntos A y B Energías: referencia de energías potenciales en B ( v v ) m mg ( TA + mg) = B A R m TB TA mg = 4gR R E + E = PA CA E 1 mg R + mv A = CB 1 mv B TB TA = 6mg m R B A Pregunta. Puede hacerse girar en un plano vertical un objeto de masa 0.5 kg sujetándolo con una cuerda que soporta una tensión máxima de.5 kp? 9

10 PROBLEMA 5 El perfil de una montaña rusa corresponde al esquema que se presenta en la figura, donde la vagoneta debe remontar un rizo circular de radio R, y termina su viaje deteniéndose a la derecha del punto F. Para que la atracción sea segura se estima que la velocidad que debe llevar la vagoneta en el punto más alto es el doble de la velocidad mínima necesaria para remontar el rizo. Se pide: Velocidad mínima inicial que debería llevar la vagoneta para superar el rizo. Velocidad mínima inicial, v B, que debe llevar la vagoneta para cumplir la condición de seguridad especificada. Reacción normal de los raíles en el punto C Velocidad de llegada al punto F (despréciese el rozamiento) C R v B F R/4 10

11 PROBLEMA 5 (Cont.) C R v B F R/4 11

12 PROBLEMA 5 (Cont.) 1

13 PROBLEMA 6 La lenteja de un péndulo se cuelga de un hilo inextensible que es capaz de soportar una tensión máxima igual a 1.3 veces el peso de la misma. Si se separa la lenteja de la vertical un ángulo inicial de 60º y a continuación se suelta dejándola oscilar libremente, completará una oscilación completa o llegará a partirse el hilo antes de conseguirlo? Existe algún valor del ángulo inicial que permita que se verifiquen oscilaciones completas de este sistema? (Considérese la lenteja como una masa puntual). 60º Resolvamos el problema general para un ángulo inicial θ 0. Debe comprobarse si la tensión a la que está sometido el hilo excede a la tensión máxima posible para algún valor del ángulo de separación con la vertical a medida que transcurre la oscilación. L 1 cosθ ) ( 0 F c L mg cosθ mg T θ θ 0 L( 1 cosθ ) mg senθ 13

14 PROBLEMA 6 (Cont.) L 1 cosθ ) ( 0 F c mg cosθ mg L T v L θ 0 θ L( 1 cosθ ) mg senθ = g(cosθ cosθ0) El hilo se romperá si se cumple que T 1 mv F c v = m L = T mg cosθ Tomando el origen de energía potencial en el punto más bajo de la oscilación, la velocidad de la lenteja del péndulo como función del ángulo se obtiene mediante el siguiente balance de energía mecánica: = mgl(1 cosθ ) mgl(1 cosθ ) T = mg 0 ( 0 cosθ cosθ ) = 1.3 mg cos θ cos θ 0 = cosθ cosθ = 0 = = Se rompe cuando θ = 30º Si la amplitud es θ 0 = 60º... 14

15 PROBLEMA 6 (Cont.) El valor máximo de la tensión del hilo corresponde a un ángulo θ = 0 y su valor es T m = mg ( 0 cosθ ) F c L T θ θ 0 Tm Por lo tanto, la máxima amplitud posible de una oscilación completa tiene que cumplir la condición T m <1.3 mg cosθ 0 < 0.77 θ 0 < 39.6º cos θ 0 < 1.3 cosθ 0 > 0.77 mg cosθ T = mg mg mg senθ ( 0 cosθ cosθ ) A medida que el ánguloθ se reduce desde su valor inicial θ 0 aumenta la tensión T 15

16 PROBLEMA 7 Una pequeña bolita de diámetro r situada inicialmente en reposo en el polo de una cúpula semiesférica cuyo radio es R (R = 100r) empieza a rodar sobre la superficie de la misma. Se pide: a) b) Determinar la velocidad del centro de masas de la bolita desde que empieza a rodar hasta que pierde contacto con la cúpula, determinando el ángulo θ s, medido con respecto a la vertical, para el que se produce dicha pérdida de contacto. Representar gráficamente el cuadrado de la velocidad del centro de masas de la bolita en unidades gr. c) Determinar la velocidad angular de la bolita en el momento en que pierde contacto con la superficie semiesférica. Cuántas vueltas da la bolita hasta ese momento? r R θ s O 16

17 PROBLEMA 7 (Cont.) En un instante cualquiera r R mg cosθ F c θ O θ mg R( 1 cosθ ) mg senθ A medida que rueda, la energía potencial de la bolita se va convirtiendo en energía cinética de traslación y energía cinética de rotación 1 1 mgr ( 1 cosθ ) = mv + Iω = 1 mv mr v r 7 = mv 10 Relación entre la velocidad del centro de la bolita y el ángulo descrito sobre la superficie v 10 = gr(1 cosθ ) 7 Qué fuerza obliga a la bolita a seguir una trayectoria curva? 17

18 PROBLEMA 7 (Cont.) R mg cosθ F c θ O θ mg N mg senθ A la componente radial del peso hay que restarle la reacción normal N sobre la bolita La diferencia entre ambas es la fuerza centrípeta F c = mg cosθ N El momento en que la bolita se separa de la superficie esférica es aquel en que el valor de N se reduce a cero. Denotaremos por s a las magnitudes en ese momento r R 1 cosθ ) ( s R F cs θ s θ s mg mg senθ s s v m R cosθ = mg s v s = grcosθs O mg cosθ s 18

19 PROBLEMA 7 (Cont.) 10 cos θ Combinando este resultado con el balance de energía: s = v s = grcosθs vs = gr(1 cosθs) cosθs = (1 cosθs) θ s = 54º 7 7 Sustituyendo para la velocidad angular: ( ω ) = gr 1 = gr sr ωs = gr =. 40 r 17 R r Para R = 100 r ω s = 4 rad/s La longitud L del arco de circunferencia de la cúpula recorrida por la bolita es L = θs R 54π = R 180 La longitud l de la circunferencia completa de la bolita es l = π r Por tanto el número de vueltas será (rueda sin deslizar) n L 1 54πR 1 54π 100r = = = = 15 vueltas l πr 180 πr

20 PROBLEMA 7 (Cont.) Representación gráfica (apartado b),0 1,8 1,6 1,4 Componente radial del peso (unidades mg) v en función del ángulo θ (unidades gr) 1, v /gr 1,0 0,8 0,6 0,4 0, 0, Grados 0

21 PROBLEMA 8 La figura muestra dos pistas sin rozamiento en las que hay dos deformaciones de perfil semicircular, una de ellas un promontorio y la otra un badén. Ambas pistas tienen igual longitud. En la cabecera de cada pista hay una bolita; cada una de ellas comienza a moverse en el mismo instante y con la misma velocidad. a) Cuál de ellas llegará antes al final de la pista, suponiendo que ambas lleguen? b) La velocidad inicial de ambas bolitas es m/s. La velocidad de la bolita B cuando está en el fondo del badén es 3 m/s. Qué velocidad tendrá la bolita A cuando llegue a la parte más elevada del promontorio que hay en su pista, si es que llega? A B 1

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