Dinámica. Fuerza es lo que produce cualquier cambio en la velocidad de un objeto. Una fuerza es lo que causa una aceleración

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1 Tema 4 Dinámica Fuerza Fuerza es lo que produce cualquier cambio en la velocidad de un objeto Una fuerza es lo que causa una aceleración La fuerza neta es la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el objeto También se conoce como fuerza total o fuerza resultante 1

2 Clases de fuerzas Las Fuerzas de contacto suponen el contacto físico entre dos objetos Los campos de fuerzas actúan incluso en el vacío No es necesario el contacto físico Las fuerzas son vectores Primera ley de Newton Si un objeto no interacciona con otros objetos, es posible identificar un sistema de referencia en el que el objeto tiene aceleración nula Se conoce como Principio de inercia Define un conjunto especial de sistemas de referencia conocidos como sistemas inerciales 2

3 Sistemas inerciales Cualquier sistema de referencia que se mueve con velocidad constante con respecto a un sistema inercial es también un sistema inercial Un sistema de referencia que se mueve con velocidad constante con respecto a las estrellas lejanas es la mejor aproximación a un sistema inercial Podemos considerar a la Tierra como un sistema inercial aunque tiene una pequeña aceleración centrípeta asociada a su movimiento de rotación Primera ley de Newton (alternativa) En ausencia de fuerzas externas, y visto desde un sistema inercial de referencia, un objeto en reposo continuará en reposo y un objeto en movimiento continuará en movimiento con velocidad constante Describe lo que ocurre en ausencia de fuerzas También nos dice que si no hay fuerzas actuando sobre el objeto, la aceleración del objeto es nula. 3

4 Segunda ley de Newton Cuando se refiere a un sistema inercial, la aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta actuando sobre él e inversamente proporcional a su masa La fuerza es la causa del cambio en el movimiento, medida por la aceleración Algebraicamente, Σ F = ma Momento lineal Definimos el momento lineal, p, como p = mv es decir, el producto de la masa y la velocidad de un objeto 4

5 Segunda ley de Newton (alternativa) Con la definición de momento lineal, podemos escribir la segunda ley de Newton de la siguiente forma: ΣF dp = dt d( mv) = dt si la masa, m, es constante, entonces: dv ΣF = m dt = ma Principio de conservación del momento lineal En ausencia de fuerzas externas, el momento lineal se conserva: dp ΣF = 0 = p = Cte dt 5

6 Unidades de Fuerza Tercera ley de Newton: Principio de acción y reacción La fuerza F 12 que ejerce el objeto 1 sobre el objeto 2 es igual en módulo, tiene la misma dirección y sentido contrario que la fuerza F 21 ejercida por el objeto 2 sobre el objeto 1 F 12 = - F 21 6

7 Ejemplo de acción - reacción La fuerza normal, n, que la mesa ejerce sobre el monitor es la reacción a la fuerza que el monitor ejerce sobre la mesa. La fuerza de acción (F g, de la Tierra sobre el monitor) tiene el mismo módulo y dirección, pero sentido opuesto a la fuerza de reacción, que ejerce el monitor sobre la Tierra. 7

8 Momento de fuerzas (o torque) El momento de fuerzas, τ, es la tendencia de una fuerza a hacer rotar un objeto alrededor de algún eje El momento de fuerzas es un vector Algebraicamente, F es la Fuerza τ = r es el brazo de aplicación r F Momento de fuerzas, cont El brazo del momento, d, es la distancia perpendicular desde el eje de rotación, O, a la línea tangente a la dirección de la Fuerza d = r sen Φ Así, el módulo del momento de fuerzas es τ = F d= F rsen Φ 8

9 Momento de fuerzas, final La componente horizontal de la fuerza (F cos φ) no produce una rotación La unidades del momento de fuerzas en el S.I. son el N m, aunque son completamente distintas a las del trabajo o la energía (no se pueden escribir como Julios) El momento de fuerzas tendrá dirección Perpendicular a r y a F. Sentido determinado por el sentido de avance del sacacorchos haciendo tender r a F Momento de fuerzas neto Cuando haya varias fuerzas actuando sobre el sistema, se calculará el momento neto o momento resultante como la suma vectorial de los momentos de cada una de las fuerzas Στ = τ 1 + τ 2 = F 1 d 1 F 2 d 2 9

10 Momento de fuerzas y aceleración angular Consideremos una partícula de masa m describiendo una circunferencia de radio r bajo la influencia de una fuerza tangencial F t La fuerza tangencial produce una aceleración tangencial: F t = m a t Momento de fuerzas y aceleración angular El módulo del momento de fuerzas producido por F t con respecto al centro de la circunferencia es: τ = F t r = (m a t ) r La aceleración tangencial está relacionada con la aceleración angular τ = (m a t ) r = (m α r) r = (m r 2 ) α Puesto que m r 2 es el momento de inercia de la partícula, τ = I α El momento de fuerza es directamente proporcional a la aceleración angular y la constante de proporcionalidad es el momento de inercia 10

11 Momento de fuerzas y aceleración angular, extensión Consideremos un objeto formado por un número infinito de elementos de masa de tamaño infinitesimal Cada elemento de masa rota en una circunferencia alrededor del origen, O Cada elemento de masa tiene una fuerza tangencial Momento de fuerzas y aceleración angular, extensión (2) De la segunda ley de Newton df t = (dm) a t Tomando el momento de fuerza asociado a la fuerza y sustituyendo la aceleración angular: dτ = r df t = a t r dm = α r 2 dm El momento de fuerzas resultante es: 2 τ α r dm = α 2 = r dm De modo que resulta: Στ=Ια 11

12 Momento angular Definiremos momento angular como el momento del momento lineal: d = dt = r p Si derivamos en ambos miembros: d dt ( r p) dr dp = p + r dt dt El primer término es nulo, pues v y p son paralelos y el segundo es la definición de fuerza de la segunda ecuación de Newton, de modo que tendremos d = r F = τ dt Ejemplo: Disco en rotación El disco está rotando de modo que aplicamos Στ=Ια La tensión es la fuerza tangencial La masa se mueve en línea recta, de modo que aplicamos la segunda ecuación de Newton ΣF y = m a y = mg - T 12

13 Condiciones de equilibrio Cuando la fuerza neta es nula: La aceleración es cero La velocidad es constante El Equilibrio ocurre cuando la fuerza neta y el momento neto son nulos El objeto, si está en reposo, continuará en reposo Si el objeto está moviéndose, continuará moviéndose con velocidad constante Equilibrio, Ejemplo 1 Una lámpara está suspendida de una cadena de masa despreciable Las fuerzas actuando sobre la lámpara son: la fuerza de la gravedad (F g ) la tensión de la cadena (T) La condición de equilibrio nos dice que: F = 0 T F = 0 y g T = F g 13

14 Equilibrio, Ejemplo 2a Equilibrio, Ejemplo 2b 14

15 Planos inclinados Las fuerzas que actúan sobre el objeto son: La fuerza normal, n, que actúa en dirección perpendicular al plano La fuerza gravitacional, F g, que actúa en dirección hacia abajo Elegiremos un sistema de coordenadas con x paralelo al plano inclinado e y perpendicular al mismo Descompondremos la fuerza de la gravedad en sus componentes Fuerzas de rozamiento Cuando un objeto está en movimiento en una superficie o a través de un medio viscoso, existe una resistencia al movimiento Esto se debe a las interacciones entre el objeto y el medio en el que se mueve Esta resistencia se conoce como fuerza de rozamiento 15

16 Fuerzas de rozamiento, cont. El rozamiento es proporcional a la fuerza normal ƒ s µ s n and ƒ k = µ k n Donde s f es el rozamiento estático y k f es el rozamiento dinámico Estas ecuaciones relacionan los módulos de las fuerzas, no son ecuaciones vectoriales La fuerza estática de rozamiento es generalmente mayor que la de rozamiento dinámico El coeficiente de rozamiento (µ) depende de las superficies en contacto Rozamiento estático y dinámico Rozamiento estático Rozamiento dinámico 16

17 Algunos coeficientes de rozamiento Ejemplo de rozamiento El bloque se desliza hacia abajo en el plano, de modo que aparece una fuerza de rozamiento hacia arriba Este montaje puede utilizarse para determinar experimentalmente el coeficiente de rozamiento µ = tan θ Para µ s se utiliza el ángulo en el que el bloque se empieza a deslizar Para µ k se utiliza el ángulo para el que el bloque se desliza a velocidad constante 17

18 Movimiento con fuerzas viscosas El movimiento puede ocurrir en un medio material, líquido o gaseoso El medio ejerce una fuerza de resistencia, R, sobreun objetoquese mueveen dicho medio El módulo de R depende del medio La dirección de R se opone a la dirección del movimiento del objeto relativo al medio R aumenta con la velocidad Movimiento con fuerzas viscosas, cont El módulo de R puede depender de la velocidad de forma compleja Nosotros sólo discutiremos la primera: R es proporcional a v Buena aproximación para movimientos lentos o para objetos pequeños R es proporcional a v 2 Buena a proximación para objetos grandes 18

19 R proporcional a v, Ejemplo Analizando el movimiento tenemos: dv mg bv = ma = m dt dv b a = = g v dt m Velocidad terminal Para encontrar la velocidad terminal, tomemos a = 0 mg vt = b Resolviendo la ecuación diferencial, obtenemos mg ( 1 bt m t τ v = e ) = vt ( 1 e ) b τ es la constante de tiempo y su valor es τ = m/b 19

20 Algunas velocidades terminales Trabajo Definiremos trabajo elemental, dw, como el producto escalar entre la fuerza aplicada en un punto, F y el desplazamiento diferencial en ese punto, ds dw = F ds = F ds cosφ 20

21 Ejemplo de trabajo La fuerza normal, n y la fuerza gravitatoria, mg, no realizan trabajo sobre el objeto cos θ = cos 90 = 0 La fuerza F sí realiza trabajo sobre el objeto W = F r cos θ Unidades del trabajo (y de energía) El trabajo es una magnitud escalar La unidad del trabajo en el S.I. es el julio (J) 1 julio = 1 newton. 1 metro J = N m 21

22 El trabajo es una transferencia de energía Si se realiza un trabajo positivo sobre un sistema, se transfiere energía al sistema Si se realiza un trabajo negativo sobre un sistema, se transfiere energía del sistema al exterior del mismo Trabajo realizado por una fuerza variable Cuando la fuerza que actúa sobre un sistema es variable, es necesario integrar el trabajo elemental dw W = F ds F ds cosφ = El trabajo realizado es el área de la figura 22

23 Ley de Hooke La fuerza ejercida por el muelle es F s = - Kx x es la posición del bloque con respecto a la posición de equilibrio (x = 0) K es la constante elástica o del muelle y mide la respuesta del muelle Esta ley se conoce como ley de Hooke Ley de Hooke, cont. Cuando x es positivo (el muelle se estira), F es negativo Cuando x es 0 (en la posición de equilibrio), F es 0 Cuando x es negativo (el muelle se comprime), F es negativa 23

24 Trabajo realizado por un muelle Tomaremos el bloque como el sistema Calcularemos el trabajo desde x i = - x max hasta x f = 0 W S x f = Fx dx = xi 2 ( K x) dx = K x El trabajo total hecho por el bloque desde x max a x max es nulo 0 xmax 1 2 max Energía cinética La energía cinética es la energía que tiene una partícula por el hecho de estar en movimiento 1 2 E k = m v 2 E K es la energía cinética m es la masa de la partícula v es la velocidad de la partícula Un cambio en la energía cinética es uno de los posibles resultados de realizar un trabajo para transferir energía al sistema 24

25 Energía cinética, cont Calculando el trabajo: x f f W = F dx = ma dx xi xi W = v v i f mvdv 1 1 W = mv mv 2 2 x 2 2 f i Teorema de las fuerzas vivas El teorema de las fuerzas vivas establece que ΣW = E k,f E k,i = E k En el caso de que el trabajo sea realizado en un sistema y que el único cambio en el sistema sea en su velocidad, el trabajo hecho por la fuerza neta es igual al cambio en la energía cinética. 25

26 Ejemplo del teorema de las fuerzas vivas La fuerza normal y la gravitatoria no realizan trabajo, ya que son perpendiculares a la dirección del desplazamiento W = F x W = E k = ½ mv f2-0 Fuerzas conservativas Se dice que una fuerza es conservativa (en una determinada región) cuando el trabajo realizado a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es nulo Esta definición es equivalente a que el trabajo realizado entre dos puntos cualesquiera no depende del camino Y también equivale a que el campo de fuerzas deriva de un potencial W A B B B = F dr = A A ( E ) dr = E ( A) E ( B) p p p 26

27 Energía potencial En el caso de fuerzas conservativas el trabajo es la diferencia de energía potencial, de modo que no depende del camino Conservación de la energía Según el teorema de las fuerzas vivas ΣW = E k,f E k,i = E k y en el caso de las fuerzas conservativas ΣW = E p,i E p,f = E p puesto que el trabajo es igual en ambos casos: ΣW = E k,f E k,i = E p,i E p,f E k,i + E p,i = E k,f + E p,f = E (Conservación de la energía) 27

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